第二讲 函数-映射

第二讲 函数－映射
映射：设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射 记作：B A f →:
象、原象：给定一个集合A 到集合B 的映射，且B b A a ∈∈,，如果元素a 和元素b 对应，则元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象 辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B 可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
②有序性：映射是有方向的，A 到B 的映射与B 到A 的映射往往不是同一个映射； ③存在性：映射中集合A 的每一个元素在集合B 中都有它的象； ④唯一性：映射中集合A 的任一元素在集合B 中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A 的任一元素的象都必须是B 中的元素，不要求B 中的每一个元素都有原象，即A 中元素的象集是B 的子集.
映射三要素：集合A 、B 以及对应法则f ，缺一不可；
一、例题讲解
例1判断下列两个对应是否是集合A 到集合B 的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则12:+→x x f （2）设}1,0{,*==B N A ，对应法则得的余数除以2:x x f → （3）N A =，}2,1,0{=B ，除所得的余数被3:x x f → （4）设}4
1
,31,21,
1{},4,3,2,1{==Y X 取倒数x x f →: （5）N B N x x x A =∈>=},,2|{，的最大质数小于x x f →: 二、练习：
1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A 中的元素x 按照对应法则“乘2加1”和集合B 中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）
2．设A=N*，B={0，1}，集合A 中的元素x 按照对应法则“x 除以2得的余数”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A 中没有象））
3．A=Z ，B=N*，集合A 中的元素x 按照对应法则“求绝对值”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A 中的元素x 按照对应法则“f ：a τ b=(a -1)2”和集合B 中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
5．在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法哪一个是正确的？ （A ）B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个 （B ）A 中的某一个元素a 的象可能不止一个 （C ）A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 （D ）B 中的两个不同元素的原象可能相同 6．下面哪一个说法正确？
（A ）对于任意两个集合A 与B ，都可以建立一个从集合A 到集合B 的映射
（B ）对于两个无限集合A 与B ，一定不能建立一个从集合A 到集合B 的映射
（C ）如果集合A 中只有一个元素，B 为任一非空集合，那么从集合A 到集合B 只能建立
一个映射
（D ）如果集合B 只有一个元素，A 为任一非空集合，则从集合A 到集合B 只能建立一个
映射
7．集合A=N ，B={m|m=1212+-n n ,n ∈N},f:x →y=1
21
2+-x x ，x ∈A ，y ∈B.请计算在f 作用下，象
119，13
11
的原象分别是多少.( 5，6.) 分析：求象119的原象只需解方程1212+-x x =119求出x 即可.同理可求13
11
的原象.
函数的有关概念
设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函
数y=f(x)的值域.
函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .
(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.
（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)(
（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f
（一）已学函数的定义域和值域
1．一次函数 2．反比例函3． 二次函数 （二 ）函数的值：关于函数值 )(a f
例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=2
2+3×2+1=11
注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样
2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”
3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数
（三）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10-5510
Q'
P'O'
N'M'L'K'
G'G
Q
P O
N
M
L K 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数 三、例题讲解
例1 求下列函数的定义域：
① 21)(-=
x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x
x x f -++=21
1)(. 强调：解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义.由本例可知，求函数的定
义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域.
例2 已知函数)(x f =32
x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1). 例3下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？
⑴()2
x y =
；⑵33x y =；⑶2
x y =
解：⑴()2
x y =＝x （0≥x ）,0≥y ，定义域不同且值域不同，不是；
例4 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？
①3
)
5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （定义域不同）
②111-+=
x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同）
③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同） 函数的表示法 例一作出函数x
x y 1
+=的图象 列表描点：
补充：
8
6
4
2
-2
-4
-6
-10-5510
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6-4-22468
1．作函数y=|x-2|(x ＋1)的图像
分析 显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当x ≥2时，即x-2≥0时，
4
9
)21(2)1)(2(22--=--=+-=x x x x x y
当x ＜2时，即x-2＜0时，
4
9
)21(2)1)(2(22+--=++-=+--=x x x x x y .
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝
⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=492149212
2
x x y
22<≥x x 这是分段函数，每段函数图象可根据二次函
数图象作出
2． 作出函数|32|2
--=x x y 的函数图像
解：
⎩⎨⎧<-----≥----=0
32)
32(0
32322
2
22x x x x x x x x y 步骤：（1）作出函数y=2
x -2x -3的图象
（2）将上述图象x 轴下方部分以x 轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得
y=|2
x -2x -3|的图象。