12.2.4 直角三角形全等的判定
12.2.4三角形全等的判定(HL)
B
AC=BC DC=EC
∴Rt△ACD≌ Rt △BCE（HL） ∴ DA=EB （全等三角形对应边相等）
第18页，共26页。
练习1：如图，AB=CD，AE ⊥BC，DF ⊥BC， CE=BF.求证AE=DF.
C
D
∵ＣＥ=ＢF ∴ＣＥ－ＥＦ=ＢＦ－ＥＦ 即ＣＦ=ＢＥ。
FE
A
B
课本14页练习2题
第19页，共26页。
射线C´N于点A´;
⑷ 连接A´B´.
现象：两个直角三角形能重合。
说明：
第13页，共26页。
M BB´´
∟
∟
A
C N AA´ ´
C´´
三角形全等判定定理5
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(简写为“斜边、直角边”或“HL”。)
A
A´
∟ ∟
B
C
B´
C´
几何语言： ∵在RRt△t ABC和RtR△tA´B´C´中 AB=A´B´ BC=B´C´
第1页，共26页。
旧知回顾
我们学过的判定三角形全等的方法：
SSS ASA
SAS AAS
第2页，共26页。
A
三边对应相等的两个三角
B
C 形全等。(简写成
D
“边边边”或“SSS”）
E
F
第3页，共26页。
两边和它们夹角对应
相等的两个三角形全
等。(简写成
B
“边角边”或“SAS”）
E
第4页，共26页。
A C
A
D
B
CE
F
第12页，共26页。
请你动手画一画
任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°。再画一 个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°， B´C´=BC， A´B´= AB。
12.2.4三角形全等的判定(HL)--新人教版初中数学导学案八年级上册《全等三角形》【一流精品】
12、2三角形全等的判定(HL)【学习目标】理解直角三角形全等的判定方法“HL”，并能灵活选择方法判定三角形全等.【学习重点】运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题.【学习难点】熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
【课前预习案】1、判定两个三角形全等的方法：、、、2、如图，Rt△ABC中，直角边是、，斜边是2题图 3题图3、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，①若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据②若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据③若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据④若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ABC与△DEF （填“全等”或“不全等”）根据【课中探究案】活动、如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？(1)动手试一试。
已知：Rt△ABC求作：Rt△'''A B C，使'C=90°，''A B =AB, ''B C=BC作法：(2) 把△'''A B C与△ABC是否能够完全重合？A B C剪下来放到△ABC上，观察△'''(3)归纳；由上面的画图和实验可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形（可以简写成“”或“”）AD C(4)用数学语言表述上面的判定方法在Rt △ABC 和Rt '''A B C ∆中,∵''BC B C AB =⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △(5)直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法 “ ”、 “ ”、 “ ”、 “ ”、 还有直角三角形特殊的判定方法 “ ”例1、如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD. 求证：BC=AD.例2、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ， AB=DC ，BE=CF ，求证：AB ∥CD例3.公路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距26km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=16km ，BC=10km ，现要在公路AB 上建一个土特产收购站E ，使CD 两村庄到E 站的距离相等，那么E 站应建在距A 站多远才合理？BA 11C1BDCBA 【课末达标案】1．判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （2）一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （3）两直角边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） （4）两边对应相等的两个直角三角形全等..（ ）（5）一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等.（ ） 图 12．如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是高，则△ADB 与△ADC （填“全等”或“不全等” ）, 3．判断两个直角三角形全等的条件不正确的是（ ）A. 两条直角边对应相等B. 斜边和一锐角对应相等C. 斜边和一条直角边对应相等D. 两个锐角对应相等4. 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.【课后拓展案】基础达标：1、如图，AC=AD ，∠C ，∠D 是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC 与BD 相等吗？2、如图，AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ， CE=BF.求证AE=DF.应用提高：.ABCD EF3如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，具有BF=AC ，FD=CD ，试探究BE 与AC 的位置关系.4. 如图，A 、E 、F 、B 四点共线，AC ⊥CE 、BD ⊥DF 、AE=BF 、AC=BD ，求证：△ACF ≌△BDE.思维拓展：5．如图，在△ABC 中，∠ACB= 90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.ANABDCE F。
12.2.4 “斜边、直角边”判定三角形全等
方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)； 方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角 (ASA或AAS)． 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边， 发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全 等的”．你相信他的结论吗？
二、探究新知 多媒体出示教材探究5. 任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′， 使∠C′＝′C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB. 想一想，怎么样画呢？
本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础 上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生 充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的 理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比 较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻 辑推理能力．
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
三、巩固练习 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一 端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的 距离相等吗？请说明你的理由．
12.2.4直角三角形全等的判定 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
复习旧知
老师提出问题，学生回答：
1、判定两个三角形全等的方法：
、
、
、
2、如图，Rt△ABC中，直角边是
、
，
斜边是
3、如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，
则△ABC与△DEF
（填“全等”或“不全等” ）
根据
（用简写法）
（2）若∠A=∠D，BC=EF，
则△ABC与△DEF
巩固练习
3、判断两个直角三角A）两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等 （C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等
巩固练习
4、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量 这两根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等 吗？说说你的理由。
N
A
B
CM
C′
(1) 先画 ∠MC′N＝90°；
N
A
B
C M B′
C′
(2) 在射线 C′M 上截取 B′C′＝BC；
N
A
A′
B
C M B′
C′
(3) 以点 B′ 为圆心，AB 长为半径画弧，交射线 C′N 于 A′；
画图思路
A
B
C M B′
(4) 连接 A′B′.
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
12.2.4 直角三角形全等的判定 2024-2025学年人教版数学八年级上册
素养目标
1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的 过程； 2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决实际问题。 3、探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够思考并进行简单的推理。
12.2第4课时直角三角形全等的判定(HL)
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
2．如图 12－2－45 所示，P 是∠BAC 内一点，且点 P 到 AB，AC 的距离 PE，PF 相等，则直接得到 Rt△PEA≌Rt△PFA 的依据是( C )
A．AAS C．HL
B．ASA D．SSS
图 12－2－45
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF； (2)若∠CAE＝30°，求∠ACF 的度数．
图 12－2－56
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中，AAEB＝ ＝CCFB， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． (2)∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠BAC＝45° ∵∠CAE＝30°，∴∠BAE＝∠BAC－∠CAE＝45°－30°＝15°. 由(1)知 Rt△ABE≌Rt△CBF， ∴∠BCF＝∠BAE＝15°， ∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
14．如图 12－2－57，已知 AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高，如果 AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.
图 12－2－57
第4课时 直角三角形全等的判定(HL)
证明：∵AD，AF 分别是两个钝角三角形 ABC 和 ABE 的高， ∴∠ADC＝∠AFE＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中，AACD＝ ＝AAEF， ， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴CD＝EF. 在 Rt△ABD 和 Rt△ABF 中，AABD＝ ＝AABF， ，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)， ∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF， 即 BC＝BE.
人教版八年级数学上册12.2.4《直角三角形全等的判定》教学设计
人教版八年级数学上册12.2.4《直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是人教版八年级数学上册第12.2.4节的内容，本节课主要让学生掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法，并能够运用该方法解决实际问题。
本节课是学生在学习了三角形的基本概念、全等三角形的性质及判定方法的基础上进行的，是对全等三角形判定方法的进一步拓展和深化。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、全等三角形的性质及判定方法，能够运用SSS、SAS、ASA、AAS判定两个三角形全等。
但是，对于直角三角形全等的判定方法，学生可能还比较陌生，需要通过实例分析、自主探究等方式，让学生理解和掌握HL判定两个直角三角形全等的方法。
三. 教学目标1.让学生掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握HL（斜边-直角边）判定两个直角三角形全等的方法。
2.教学难点：如何让学生理解和运用HL判定两个直角三角形全等。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究法：引导学生通过合作交流、动手操作，自主发现HL判定两个直角三角形全等的方法。
3.讲解法：教师对HL判定两个直角三角形全等的方法进行讲解，帮助学生理解和掌握。
4.练习法：通过适量练习，让学生巩固所学知识，提高运用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示直角三角形全等的判定方法。
2.学习材料：准备相关的学习材料，如三角形模型、直角三角形等。
3.教学设备：准备黑板、粉笔、投影仪等教学设备。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例，如建筑工人测量高度，引入直角三角形全等的概念。
提问：如何判断两个直角三角形全等呢？2.呈现（10分钟）展示直角三角形全等的判定方法，引导学生观察、思考，引导学生发现HL判定两个直角三角形全等的方法。
直角三角形全等的判定(HL)(教学设计)-八年级数学上册同步备课系列(人教版)
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)教学设计一、教学目标：1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等．二、教学重、难点：重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL．难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等．三、教学准备：课件、三角尺、圆规等。
四、教学过程：复习回顾1.判定两个三角形全等方法____________________.2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E.(1)若∠A=∠D，AB=DE.则与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(2)若∠A=∠D，BC=EF.则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).(3)若AB=DE，BC=EF.则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用简写法).若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？知识精讲探究：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=A B.把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).注意：(1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法.因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”.(2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△.书写格式为：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，==AB A B BC B C′′′′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)典例解析例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=B D.求证BC=AD.证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠C 与∠D 都是直角，在Rt △ABC 和Rt △BA D 中，BDAC BA AB ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴BC =AD.【针对练习】如图，C 是路段AB 的中点，两人从C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D 、E 两地.DA ⊥AB ，EB ⊥A B.D ，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？解：AD =BE ，理由如下：依题意可得，AC =BC ，CD =CE .∵DA ⊥AB ，EB ⊥AB ，∴∠A =∠B =90°，在Rt △ACD 和Rt △BCE 中，BCAC CE CD ∴Rt △ACD ≌Rt △BCE (HL)，∴AD =BE.例2.如图，AC ⊥AD ，BC ⊥BD ，AC=BD ，求证：AD=BC .证明:连接D C.∵AC ⊥AD ，BC ⊥BD ，∴∠A =∠B =90°，在Rt △ADC 和Rt △BC D 中，AB BA AC BD∴Rt △ADC ≌Rt △BCD (HL)，∴AD =BC.【针对练习】已知：如图，AB ，AD DC ，AB AD ，求证：BC DC ．证明：连接AC,如下图，∵AB ⊥BC,AD ⊥DC,∴∠B =∠D =90°,在Rt △ABC 和Rt △AD C 中，AC AC AD AB∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL),∴BC =BD.例3.如图，已知AD 是△ABC 的角平分线,且BD =CD ，DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足分别为E 、F .求证BE =CF.证明:AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，∴∠AED =∠AFD =90°，在△AED 和△AFD 中，AED AFD EAD FAD AD AD∴△AED ≌△AFD (AAS)，∴DE =DF ，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，BD CD DE DF∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），∴BE =CF .【针对练习】已知：如图，点A 、E 、C 同一条直线上，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝A D ．求证：BE ＝DE．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴在Rt ABC 与Rt ADC 中，AB AD AC AC，∴Rt ABC ADC ≌R t （HL ），∴∠BAE ＝∠DAE ，在ABE △与ADE 中，AB AD BAE DAE AE AE，∴ABE ADE ≌（SAS ），∴BE ＝DE ．例4.如图，在△AB C 中，∠C ＝90°，AD 是∠CAB 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，点F 在边AC 上，连接DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若DF ＝DB ，试说明∠B 与∠AFD 的数量关系；（3）在（2）的条件下，若AB ＝m ，AF ＝n ，求BE 的长（用含m ，n 的代数式表示）．（1）证明：∵∠C ＝90°，DE ⊥AB ，∴∠C ＝∠AED ＝90°，在△ACD 和△AE D 中，C AED CAD EAD AD AD，∴△ACD ≌△AED （AAS ），∴AC ＝AE ；（2）解：∠B +∠AFD ＝180°，理由如下：由（1）得：△ACD ≌△AED ，∴DC ＝DE ，在Rt △CDF 和Rt △ED B 中，DC DE DF DB，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴∠CFD＝∠B，∵∠CFD+∠AFD＝180°，∴∠B+∠AFD＝180°；（3）解：由（2）知，Rt△CDF≌Rt△EDB，∴CF＝BE，由（1）知AC＝AE，∵AB＝AE+BE，∴AB＝AC+BE，∵AC＝AF+CF，∴AB＝AF+2BE，∵AB＝m，AF＝n，∴BE＝12（m﹣n）．课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)教案
举例：在教学过程中，教师应重点讲解HL判定法的原理和运用步骤，通过示例演示和练习题，让学生熟练掌握这一判定方法。同时，强调直角三角形全等在解决几何问题中的重要性，如计算边长、角度等。
2.教学难点
-理解HL判定法背后的逻辑关系，尤其是斜边和直角边对应关系；
-在复杂图形中识别并运用HL判定法；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形全等判定HL的基本概念。HL是指当两个直角三角形的斜边和直角边分别相等时，这两个三角形全等。这一判定方法是解决几何问题的重要工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例中直角三角形全等的判定过程，了解HL在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-解决与直角三角形全等相关的综合问题。
举例：
a)难点突破：教师应详细解释HL判定法中斜边和直角边对应关系，通过直观图示和实际操作，让学生理解全等的条件。例如，可以设计对比实验，让学生比较全等和不全等的直角三角形，从中感悟到对应边的重要性。
b)识别运用：针对复杂图形，教师应引导学生如何从众多信息中提取关键直角三角形的边角关系，并应用HL判定法。例如，可以给出一些包含多个直角三角形的图形，让学生识别哪些部分可以用HL判定法证明全等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调斜边和直角边相等这一判定条件和其在解决问题中的应用。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与直角三角形全等相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用模型或教具演示HL判定法的基本原理。
12-2-4 三角形全等的判定AAS(解析版)
12.2.4三角形全等的判定AAS知识点管理归类探究用AAS判定三角形全等概念两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）【注】：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.题型一：通过添加条件利用AAS，判定三角形全等【例1】（2020·江苏盐城·八年级期中）如图，AC，BD相交于点O，AO＝DO，请你补充一个条件,能直接利用AAS证全等，使得△AOB△△DOC．你补充的条件是_____________________________．【答案】∠B=∠C【分析】线段AC、BD相交于点O，且AO=DO，有一对对顶角∠AOB与∠DOC，添加∠B=∠C，能证出∠AOB∠∠DOC．【详解】解：∠AO=DO，∠AOB=∠DOC，∠B=∠C，∠∠ABO∠∠DOC（AAS）．故答案为：∠B=∠C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法AAS.根据已知结合图形，找到已经有的条件，然后结合判定方法选择条件是正确解答本题的关键．特别注意题目要求利用AAS判定全等,需要的是两个角和其中一个角的对边对应相等.【变式1-1】（2020·江苏苏州市·八年级期末）如图，点B 在AE 上，∠CAB =∠DAB ，要利用AAS 使ABC ABD △≌△，可补充的一个条件是：______．【答案】C D ∠=∠，【详解】补充：C D ∠=∠，结合,CAB DAB AB AB ∠=∠=， 利用角角边定理可得ABC ABD △≌△，从而可得答案．【变式1-2】（2019·江苏镇江市·八年级月考）如图，∠BAC=∠DAC ，若要以AAS 证明∠ABC∠∠ADC ，要补充的一个条件是_________ 【答案】∠B=∠D【详解】添加AB =AD ，再加上条件∠BAC =∠DAC ，公共边AC ，可利用AAS 定理判定∠ABC ∠∠ADC ．【变式1-3】（2019·江苏南京市·八年级期中）如图，已知AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，则补充条件_____可使∠ACE∠∠DBF （填写你认为合理的一个条件）． 【答案】∠E ＝∠F （答案不唯一）【详解】根据等式的性质可由AB=DC 得到AC=BD ，若利用AAS 定理判定∠ACE∠∠DBF ，则还需要添加一组角对应相等即可．题型二：直接利用AAS 证明三角形全等【例题2】（2021·广东广州市·九年级二模）如图，已知AD AE =，B C ∠=∠．求证：ACD ABE △△≌． 【分析】利用AAS 定理即可得证． 【详解】证明：在ACD △和ABE △中，A AC B AD AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACD ABE AAS ∴≅．【点睛】AAS 证明全等需要三个条件，在此类简单的证明题中往往题目中给出两个明显的条件，第三个条件可能隐藏在公共边、公共角、对顶角等；也可能第三个需要通过角度的和差或者线段的和差得到；此外还可能需要寻找题目中已知条件或者图形中隐含条件通过等量代换达到证明全等的目的.【变式2-1】（2021·北京九年级专题练习）如图，已知Rt ABD ∆中，90A ∠=︒，将斜边BC 绕点B 顺时针方向旋转至BD ，使//BD AC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ． 求证：ABC EDB ∆≅∆；【分析】根据AAS 证明∠ABC ∠∠EDB 即可． 【详解】（1）证明：DE BC ⊥，90DEB ∴∠=︒， //AC BD ，90A ABD DEB ∴∠=∠=∠=︒，90ABC CBD ∠+∠=︒， 90CBD BDE ∴∠+∠=︒， ABC BDE ∴∠=∠，BC BD =，()ABC EDB AAS ∴∆≅∆．【变式2-2】（2021·全国七年级课时练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，则∠__≅∠___． 【答案】ACD AED 【详解】 证明：AD 平分BAC ∠，CAD EAD ∴∠=∠，又DE AB ⊥，90C =∠AED C ∴∠=∠,在Rt ADC 和Rt AED △中，{CAD EAD C AED AD AD∠=∠∠=∠=， ()Rt ACD Rt AED AAS ≅．AAS 证明全等的应用题型三：全等三角形性质与AAS 判定的综合运用【例题3】（2021·广东广州市·九年级一模）如图，∠B ＝∠E ，∠1＝∠2，BC ＝EC ． 求证：AB ＝DE ．【分析】先证出∠ACB =∠DCE ，再根据AAS 证明 ∠ABC ∠∠DEC ，即可得出AB =DE ； 【详解】证明：∠∠1=∠2 ， ∠∠ACB =∠DCE ， 在∠ABC 和∠DCE 中，=B EACB DCE BC EC ⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∠∠ABC ∠∠DEC (AAS )， ∠AB =DE ．【点睛】方法总结:证明线段相等或角相等可以通过证明三角形全等而得到，所以可以根据题目给出的已知条件，考虑证明三角形全等，还需要什么条件这些条件怎样可以得到.由对应边角相等的条件边得到三角形全等，这是全等三角形的判定;由三角形全等得到对应的边角相等，这是全等三角形的性质. 变式训练【变式3-1】（2021·山西一模）如图，,,//AD BF EC AB DE ∠∠＝＝．求证：AC DF ＝． 【分析】由已知//AB DE ，可得∠B ＝∠E ，由BF ＝EC ，可得BC ＝EF ，易证ABC DEF △≌△，即可得出AC ＝DF ．【详解】证明：∠//AB DE ，,B E ∴∠∠＝ ,BF CE ＝,BC EF ∴＝在ABC 和DEF 中，,A DB E BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABC DEF AAS ∴≌（），AC DF ∴＝．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是证出ABC DEF △≌△【变式3-2】（2020·浙江八年级期末）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点D 是AB 边上的一点，DE AB ⊥于D ，交AC 于M ，且ED AC =，过点E 作//EF BC 分别交,AB AC 于点,F N ． （1）试说明：ABC EFD ≌△△； （2）若25A ∠=︒，求EMN ∠的度数． 【答案】（1）见解析；（2）65° 【分析】（1）根据平行线的性质求得∠B =∠EFD ，然后依据AAS 即可证得∠ABC ∠∠EFD ； （2）根据三角形内角和定理求得∠AMD ，然后根据对顶角相等即可求得． 【详解】解：（1）∠DE ∠AB 于D ， ∠∠EDF =90°， ∠∠C =90°， ∠∠C =∠EDF ， ∠EF ∠BC ， ∠∠B =∠EFD ， 在∠ABC 与∠EFD 中，C EDFB EFD AC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABC ∠∠EFD （AAS ）； （2）∠∠EDF =90°， ∠∠ADM =180°-∠EDF =90°，在∠ADM 中，∠A +∠AMD +∠ADM =180°且∠A =25° ∠∠AMD =180°-∠A -∠ADM =65°， ∠∠EMN =∠AMD =65°．【变式3-3】（2021·湖北月考）如图，已知∠C ＝∠D ，∠CAB ＝∠DBA ，求证：AD ＝BC ．【分析】根据全等三角形的判定方法判定∠ABC ∠∠BAD （AAS ），再根据全等三角形的对应边相等即可得到结论． 【详解】证明：在∠ABC 和∠BAD 中，C D CAB DBA AB BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABC ∠∠BAD （AAS ）， ∠AD ＝BC ．题型四：AAS 的实际应用【例题4】（2020·驻马店市第一高级中学分校七年级期中）如图，小明和小华两家位于A ，B 两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B 出发沿河岸画一条射线BF ，在BF 上截取BC CD =，过点D 作DE //AB ，取点E 使E ，C ，A 在同一条直线上，则DE 的长就是A ，B 之间的距离，说明他设计的道理．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得A E ∠=∠，然后利用“角角边”证明ABC 和EDC △全等，根据全等三角形对应边相等解答； 【详解】 解：//DE AB ，A E ∴∠=∠，在ABC 和EDC △中，A E ACB ECD BC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABC EDC AAS ∴≅，DE AB ∴=，即DE 的长就是A 、B 两点之间的距离．【点睛】此题型主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法． 变式训练【变式4-1】（2021·湖南湘西土家族苗族自治州·八年级期末）如图，小强学习全等三角形后，用10块高度都是5cm 的相同长方体积木，搭了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离． 【答案】两堵木墙之间的距离为50cm ．【分析】根据题意可得AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD∠DE ，BE∠DE ，进而得到∠ADC ＝∠CEB ＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE ＝∠DAC ，再证明ADC CEB ∆∆≌即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】 解：由图可得， ∠ACB ＝90°，∴∠ACD+∠BCE ＝90°又∠ACD+∠CAD ＝90°∴∠CAD ＝∠BCE在ADC 和CEB △中，CAD BCEADC CEB AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ AD C CEB ∴∆∆≌∴AD=CE=3×5=15cmBE=CD=7×5=35cm∴DE=CD+CE=35+15=50cm答：两堵木墙之间的距离是50cm ．题型五：三垂直模型与AAS的综合运用【例题5】如图，在∠ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD∠直线m，CE∠直线m，垂足分别为D，E．（1）求证：∠ABD∠∠ACE；（2）若BD＝2cm，CE＝4cm，DE＝cm．【答案】（1）见解析；（2）6【分析】（1）根据BD∠直线m，CE∠直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断∠ADB∠∠CEA；（2）根据全等三角形的性质得出AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE．【详解】证明：（1）∠BD∠直线m，CE∠直线m，∠∠BDA＝∠CEA＝90°，∠∠BAC＝90°，∠∠BAD+∠CAE＝90°，∠∠BAD+∠ABD＝90°，∠∠CAE＝∠ABD，∠在∠ABD和∠ACE中，ABD CAEBDA CEAAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE（AAS），（2）∠∠ABD∠∠ACE，∠AE＝BD，AD＝CE，∠DE＝AE+AD＝BD+CE，∠BD＝2cm，CE＝4cm，∠DE＝6cm；故答案为：6．变式训练【变式5-1】（2019·福建期中）如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．（1）∠ACD与∠CBE全等吗？说明你的理由．（2）猜想线段AD、BE、DE之间的关系．（直接写出答案）【答案】（1）详见解析；（2）AD=BE-DE；【分析】（1）观察图形，结合已知条件，可知全等三角形为：∠ACD与∠CBE．根据AAS即可证明；（2）由（1）知∠ACD∠∠CBE，根据全等三角形的对应边相等，得出CD=BE，AD=CE，从而求出线段AD、BE、DE之间的关系．【详解】证明：（1）∠AD∠CD，BE∠CD，∠∠ADC=∠CEB=90°，又∠∠ACB=90°，∠∠ACD=∠CBE=90°-∠ECB．在∠ACD与∠CBE中，ADC CEBACD CBEAC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD∠∠CBE（AAS）；（2）AD=BE-DE，理由如下：∠∠ACD∠∠CBE，∠CD=BE，AD=CE，又∠CE=CD-DE，∠AD=BE-DE．【变式5-2】（2019·河南月考）（1）如图1，在∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B 在直线l同侧，BD∠l，AE∠l，垂足分别为D，E．求证：∠AEC∠∠CDB．（2）如图2，AE∠AB，且AE＝AB，BC∠CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝．【答案】（1）见解析；（2）S= 50．【分析】（1）因为BD∠l，AE∠l，可得∠AEC=∠CDB，结合题意得到∠CAE=∠BCD，再根据AAS证明即可．（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质进行计算即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∠BD∠l，AE∠l，∠∠AEC=∠CDB=90°，∠∠CAE+∠ACE=90°，∠∠BCD+∠ACE=90°，∠∠CAE=∠BCD，在∠AEC和∠CDB中90AEC CDBCAE BCDAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∠∠AEC∠∠CDB（AAS）．（2）如图2中，因为AE∠AB，且AE＝AB，BC∠CD，且BC＝CD，由（1）可知：∠EFA∠∠AGB，∠BGC∠∠CHD，∠EF=AG=6，AF=BG=CH=3，CG=DH=4，∠S=12（6+4）×16-18-12=50．故答案为50．【真题1】（2017·江苏常州市·中考真题）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）112.5°．【分析】()1根据同角的余角相等可得到24∠=∠，结合条件BAC D∠=∠，再加上BC CE=，可证得结论；()2根据90ACD AC CD∠=︒=，，得到145D∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到3567.5∠=∠=︒，由平角的定义得到1805112.5DEC∠=︒-∠=︒．【详解】()1证明：90BCE ACD∠=∠=︒，2334，∴∠+∠=∠+∠24∴∠=∠，在∠ABC和∠DEC中，24BAC DBC CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AASABC DEC∴≌，AC CD∴=；（2）∠∠ACD＝90°，AC＝CD，∠∠1＝∠D＝45°，∠AE＝AC，∠∠3＝∠5＝67.5°，∠∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．【拓展1】（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期中）探究：（1）如图∠，在∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB 于点D，若∠B＝28°，则∠ACD的度数是．拓展：（2）如图∠，∠MCN＝90°，射线CP在∠MCN的内部，点A、B分别存CM、CN上，分别过点A、B作AD∠CP、BE∠CP于点D、E，若AC＝CB，则AD、DE、BE三者间的数量关系为．应用：（3）如图∠，点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上，射线CP在∠MCN的内部，点D、E在射线CP上，连结AD、BE、AE，且使∠MCN＝∠ADP＝∠BEP．当AC＝BC时，∠∠∠；此时如果CD＝2DE，且S∠CBE＝6，则∠ACE的面积是．链接中考满分冲刺【答案】（1）28° （2）DE ＝AD ﹣BE ；理由见解析 （3）ACD ；CBE ；9 【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等判断出∠CAD ＝∠BCE ，进而判断出∠ACD∠∠CBE ，即可得出结论；（3）利用等式的性质判断出∠ADC ＝∠CEB ，进而判断出∠ACD∠∠CBE ，得出S ∠ACD ＝S ∠CBE ，再求出S ∠ADE ＝3，即可得出结论． 【详解】解：探究：∠CD∠AB ， ∠∠CDB ＝90°， ∠∠B ＝28°，∠∠BCD ＝90°﹣∠B ＝68°， ∠∠ACB ＝90°，∠∠ACD ＝90°﹣∠BCD ＝28°， 故答案为：28°； 拓展：(2)∠∠MCN ＝90°， ∠∠ACD+∠BCE ＝90°， ∠AD∠CP ，BE∠CP ， ∠∠ADC ＝∠BEC ＝90°， ∠∠ACD+∠CAD ＝90°， ∠∠CAD ＝∠BCE ， 在∠ACD 和∠CBE 中，ADC CEB CAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ACD∠∠CBE （AAS ）， ∠CD ＝BE ，AD ＝CE ， ∠DE ＝CE ﹣CD ＝AD ﹣BE ， 故答案为：DE ＝AD ﹣BE ； 应用：(3)∠∠MCN ＝∠ACD+∠BCD ，∠MCN ＝∠ADP ，∠∠ADP ＝∠ACD+∠BCD ， ∠∠ADP ＝∠ACD+∠CAD ， ∠∠CAD ＝∠BCE ， ∠∠ADP ＝∠BEP ， ∠∠ADC ＝∠CEB ， 在∠ACD 和∠CBE 中，ADC CEBCAD BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ACD∠∠CBE （AAS ）， ∠S ∠ACD ＝S ∠CBE ， ∠S ∠CBE ＝6， ∠S ∠ACD ＝6， ∠CD ＝2DE ， ∠S ∠ACD ＝2S ∠ADE ， ∠S ∠ADE ＝12S ∠ACD ＝3， ∠S ∠ACE ＝S ∠ACD +S ∠ADE ＝9， 故答案为：ACD ，CBE ，9．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，同角的余角相等，等式的性质，全等三角形的判定和性质，判断出∠ACD∠∠CBE 是解本题的关键．。
12.2.4 三角形全等的判定(四)(HL)人教版数学八年级上册课件
足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
变式3 如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC
的位置关系.
A
HL
Rt△ABD≌Rt△CDB
B
∠ADB=∠CBD
AD∥BC
D C
B
C
A'
B'
C'
课堂练习
1.下列条件：
①两条直角边对应相等；
②斜边和一锐角对应相等；
C'
解：全等，依据是SAS.
利用“HL”判定直角三角形全 等
问题4：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°.再画一个
Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 °，B′C′=BC，A ′B ′=AB，
把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们
能重合吗？
A
B
C
直角三角形全等的判定（“HL”）
掌握用一般方法及特殊方法证明两直角三角形全等.
能够将证明一组角相等或线段相等转化证全等.善于 利用图中隐含的公共边或角.
课前预习
1.布置学生的课前预习任务； 2.进行预习方法指导； 3.对学生预习任务进行检查与评定。
回顾引入
想一想，填一填：
图形
A
B
C
A'
B'
C'
条件
是否能判定三角形全等
三边相等（SSS）
N A
A'
B
C
M
B'
C'
作法：（1）先画∠MCN=90°，
直角三角形全等的判定(HL)(分层作业)(解析版)docx
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)夯实基础篇一、单选题：1．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，下列条件中不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是（）A．AC=A′C′，∠B=∠B′B．∠A=∠A′，∠B=∠B′C．AB=A′B′，AC=A′C′D．AB=A′B′，∠A=∠A′【答案】B【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】解：A、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定△ABC≌△A′B′C′．故本选项不符合题意；B、根据AAA不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项符合题意；C、根据全等三角形的判定定理可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；D、根据全等三角形的判定定理AAS可以判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′．故本选项不符合题意；故选B．【分析】根据三角形全等的判定方法，SSS、SAS、ASA、AAS，HL等逐一检验．2．下面说法不正确的是（）A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有两角对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【知识点】直角三角形全等的判定（HL）【解析】【解答】A、∵直角三角形的斜边和一锐角对应相等，所以另一锐角必然相等，∴符合ASA定理，不符合题意；B、两边对应相等的两个直角三角形全等，若是两条直角边，可以根据SAS判定全等，若是直角边与斜边，可根据HL判定全等．不符合题意；C、有两个锐角相等的两个直角三角形相似，符合题意；D、有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形符合ASA定理，可判定相等，不符合题意．故答案为：C【分析】直角三角形中已经有一个直角对应相等，需要它们全等的话，只需要再有一个角和一组边对应相等，利用AAS或者ASA判断出它们全等；或者只需要两组边对应相等，利用HL或者SAS就可判定出它们全等；根据判定方法即可一一判断出答案。
12.2.4三角形全等的判定-HL(教案)
本节课将围绕这些核心素养目标进行教学设计，旨在提高学生的综合素养，为学生的终身发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）掌握HL（斜边和直角边）判定法的条件：两个直角三角形，当斜边和直角边分别相等时，这两个三角形全等。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了三角形全等的判定-HL这一章节。通过引导学生们从日常生活出发，思考三角形全等的应用，我发现他们对这个概念产生了浓厚的兴趣。在讲授过程中，我尽量用简洁明了的语言解释HL判定法的原理，并结合具体案例进行分析，让学生能够更好地理解这一判定法的实际运用。
在实践活动中，学生们分组讨论并操作实验，我注意到他们在交流与合作中，对HL判定法的理解得到了加深。但同时，我也发现有些学生在运用HL判定法时仍然存在一些困难，比如容易混淆斜边和直角边的概念，或者在复杂图形中难以找到符合条件的关键信息。
2.提高学生的逻辑推理能力，让学生在运用HL判定法证明直角三角形全等的过程中，学会分析问题、解决问题，形成严谨的逻辑思维。
3.增强学生的数学建模能力，通过解决实际例子，培养学生将现实问题转化为数学模型的能力，并运用数学知识解决这些问题。
4.培养学生的数学运算能力，让学生在运用HL判定法解题时，熟练掌握相关运算，提高解题效率。
举例：在非直角三角形的情况下，学生可能会错误地尝试使用HL判定法。
（4）熟练运用HL判定法进行证明和计算。学生在证明过程中，可能会出现逻辑不严谨、步骤不完整等问题。
举例：在证明过程中，学生需要明确表述判定条件，并按照严谨的逻辑顺序进行证明。
为帮助学生突破难点，教师可以采取以下教学方法：
12.2.4 直角三角形全等的判定 HL
反思
小结
今天我们学习了哪种判定直角三角形全等 的方法？
斜边·直角边（HL）
斜边及其一条直角边对应相等
∠Ｂ=∠Ｅ
BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SＡS）
判定三：两角和它们的夹边对应相等的两 个三角形全等. 可简写为角边角或ASA
符号语言：
B A Ｄ
C
Ｅ
Ｆ
在△ABC与△DEF中 ∠B=∠E
BC=EF
∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
判定四：两角和其中一角的对边对应相等 的两个三角形全等.可简写为角角边或AAS
判定一：三边对应相等的两个三角形全等 （简写为：SSS）
用符号语言进行表述：
在△ABC与△DEF中 AB=DE A D
AC=DF
BC=EF B C E F ∴△ABC≌△DEF（SSS）
判定二：两边和它们的夹角对应相等的两 个三角形全等. 可简写为边角边或SAS
符号语言：
B A Ｄ
C
Ｅ
Ｆ
在△ABC与△DEF中 AB=DE
动动手： 画出一个直角三角形，使它的一条 直角边的长为 3cm ，斜边的长为 6cm, 画好以后小 组内进行比较，你有什么发现？ 画法: 1.画∠DCE=90°;
2.在射线CD上截取CB=3cm；再以点B为 圆心6cm长为半径画弧，交射线CE于点A； 3. 连接A、B两点. 结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等.
可简写为斜边·直角边或HL
归纳新知
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形 全等. 可简写为斜边·直角边或HL 符号语言：
12.2 第4课时 直角三角形全等的判定(“HL”)
知识点二 直角三角形全等的判定方法 判定：斜边和___一_条_直__角_边____分别相等的两个直角三角形全等( 可 以 [注简意写] 可成用“斜“S边S、S”直“角S边A”S或”“H“LA”S)A．”“AAS”来判定直角三 角形全等，还可用“HL”来判定．
已知：如图12－2－18所示，AB⊥CF于点B，AD⊥CE于点D，
且AB＝AD，DE＝BF.求证：AF＝AE.
证明：在 Rt△ABF 和 Rt△ADE 中，
AB＝AD，
BF＝DE， ∴Rt△ABF≌Rt△ADE(HL)，
∴AF＝AE.
图12－2－18
上面的推理过程正确吗？如果不正确，说明错在哪里，并写出正
确的推理过程．
解：不正确，错用了“HL”． 证明：∵AB⊥CF，AD⊥CE，∴∠ABF＝∠ADE＝90°.
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
第十二章 全等三角形
第4课时 直角三角形全等的 判定(“HL”)
目标突破 总结反思
目标突破
目标一 用“HL”判定直角三角形全等
例1 教材例5针对训练 已知：如图12－2－16，在四边形 ACBD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD. 求证：AC＝AD.
图12－2－16
证明：连接பைடு நூலகம்AB.
AB＝AB， 在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，
BC＝BD， ∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)． ∴AC＝AD.
【归纳总结】“HL”只适用于判定两个直角三角形全等，不适用 于判定两个一般三角形全等．
目标二 综合运用不同方法证明直角三角形全等
找第三边→SSS
(2)已知两角找 找夹 一边 角→ 的A对S边A→AAS
12.2.4 直角三角形全等的判定(HL)(教案)-2022-2023学年八年级数学上册同步备课系列
12.2.4 直角三角形全等的判定(HL)（教案）一、教学目标1.理解直角三角形的定义和性质；2.掌握直角三角形全等判定的HL定理；3.能够应用HL定理判定直角三角形的全等性。
二、教学准备1.教师准备：教案、教学PPT、黑板、粉笔、直角三角形模型、练习题；2.学生准备：课本、练习笔、铅笔、橡皮。
三、教学过程第一步：导入1.引入直角三角形的概念，让学生回顾直角三角形的定义和性质；2.提问：如何判断两个三角形全等？引导学生思考与回答。
第二步：HL定理的介绍1.先让学生观察直角三角形模型，引导他们思考直角三角形的特点；2.引导学生推测：在什么条件下，两个直角三角形可以全等？提示学生思考HL定理；3.准确介绍HL定理：如果两个直角三角形中的一条直角边和另一条边分别相等，那么这两个直角三角形是全等的；4.讲解HL定理的证明过程，引导学生理解HL定理的合理性。
第三步：HL定理的应用1.列举几个例子，让学生运用HL定理判断两个直角三角形是否全等；2.通过PPT展示多个实例，让学生动手操作，尝试使用HL定理判定。
第四步：练习与巩固1.布置练习题，让学生灵活运用HL定理判定直角三角形的全等情况；2.鼓励学生互相交流讨论，提高解题的效率和质量；3.分享解题思路，讲解解题过程，及时纠正错误。
四、课堂总结1.复习直角三角形的定义和性质；2.总结HL定理的内容和使用方法；3.强调学生的实际应用能力和解决问题的能力。
五、作业布置1.完成课堂上未完成的练习题；2.预习下节课的内容：直角三角形全等的判定（其他定理）。
以上是12.2.4 直角三角形全等的判定(HL)的教案。
通过本节课的学习，学生将了解到直角三角形的性质和定义，掌握HL定理的判定方法，并能够应用HL定理判断直角三角形的全等性。
教师在教学过程中要通过引导和举例演示，激发学生的学习兴趣和思维能力，并鼓励学生多思考、多实践，培养解决问题的能力。
12.2.4直角三角形全等的判定(HL)教学设计 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
课题：12.2.4直角三角形全等的判定（HL）课型：新授课【教学内容】直角三角形全等的判定（HL）【学习目标】1.知识与技能：（1）探索并掌握直角三角形全等的判定方法“HL”；（2）能够合理选择恰当的直角三角形判定方法来解决问题。
2.过程与方法：经历探索直角三角形全等判定方法的过程，体会利用操作、证明、归纳获得数学结论的过程，培养学生反思的习惯和理性的思维习惯。
3.情感态度与价值观：通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性。
【学习重点】掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法-HL。
【学习难点】灵活应用直角三角形的判定方法解决问题。
【教法学法】探究、讨论、归纳法【教学准备】直角三角形板、两张透明纸、圆规直尺【课时安排】1课时【教学流程】预习提纲教案1.斜边与一条直角边分别相等的两个直角三角形.（简写成“”或“”）.2.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”）根据（用简写法）.3.略.4.课后练习题……（略）.教案一、情境导入、目标引领（时间：5分钟）1、判定两个三角形全等的方法有：、、、。
2、这些方法能判定直角三角形全等吗？3、思考：对于两个直角三角形，除了直角相等外，还要添几个条件，这两个直角三角形就全等呢？我们知道直角三角形是特殊的三角形，所以可以用一般三角形全等的判定方法: SSS 、SAS、ASA、AAS。
只要添加一边一锐角或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了。
4.问题：如果两个直角三角形满足斜边和一条直角边分别相等，那么这两个直角三角形全等吗？二、自主学习、合作探究（时间：10分钟）探究：动手画一画（小组比较）1．任意画出一个Rt△ABC,∠C=90°，再画一个Rt△A´B´C´，使得∠C´= 90°，B´C´=BC，A´B´= AB。
12.2.4三角形全等的判定——斜边直角边(同步课件)-人教版初中数学八年级上册
你画的三角形与同伴画的一定全等吗？
A
B
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 (简写成“斜边、直角边”或“HL”).
B
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， AB = A′B′，
BC = B′C′， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ (HL).
A
C
B′
A′
C′
特别提醒：在做题时往往在相等的边或角上
在 △GBF 和 Rt△GDE 中，
D
BF＝DE
∠BFG＝∠DEG
∠BGF＝∠DGE
∴△GBF≌△GDE (AAS)
∴GF=GE，即BD平分EF.
如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求 DE的长．
解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC=∠D=90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
∴ BF = DE.
B
F
C
E
D
如图，AB = CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF. 求证：BD 平分 EF.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中， AB = CD， AF = CE，
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE (HL).
B
FC AEG
∴BF＝DE
如图，AB = CD， BF⊥AC，DE⊥AC，AE = CF.求证：BF = DE.
证明：∵ BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BFA =∠DEC = 90°.
∵ AE = CF，∴ AE + EF = CF + EF，
即 AF = CE.
在 Rt△ABF 和 Rt△CDE 中，
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教学目标 知识与技能 掌握直角三角形全等的条件:“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题
过程与方法 经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系
情感态度与价值观 通过画图、探究、归纳、交流,发展学生的实践能力和创新精神
【教学重点】：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题
【教学难点】：解决简单的推理证明问题.
【教学方法】自主探究，合作交流
【教学准备】多媒体课件
第一次备课 一、情境导入
小明去公园玩,在公园看到了如下两个长度相同的滑梯,
左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等,
小明说只要测量出左边滑梯AB 的长度就可以知道右边滑
梯有多高了,小明的说法正确吗?
二、新授课及合作深究
画图分析，寻找规律．如下：
规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL ”）．
个Rt △A ′B ′C ′，使B ′C ′=BC,AB=AB;
MC ′N=90°。
线C ′M 上取B ′C ′BC 。
′为圆心，AB 为半径画弧，交射线C ′N 于点A ′。
A ′
B ′。
二、范例点击，应用所学
【例4】如课本图11．2─12，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC=BD ，求证BC=AD ．
【思路点拨】欲证BC=•AD ，•首先应寻找和这两条线段有关的三角形，•这里有△ABD 和△BAC ，△ADO 和△BCO ，O 为DB 、AC 的交点，经过条件的分析，△ABD 和△BAC•具备全等的条件．
【教师活动】引导学生共同参与分析例4． 证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥BD ，
∴∠C 与∠D 都是直角．
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）．
∴BC=AD ．
【学生活动】参与教师分析，提出自己的见解．
【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA ”来证明．
三、课堂练习：
两直角三角形，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“_______________”条件。
两直角三角形，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“_______________”条件。
两直角三角形，一个锐角、一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，是根据两三角形全等的“_______________”条件。
两直角三角形全等的特殊条件是_________和__________对应相等。
（1）如图，∠ACB=∠ADB=90º，要使ΔABC ≌ΔBAD ，还需增加一个什么条件？把增加的条件填在横线上，并在后面的括号填上判定全等的理由。
①________________（ ）
②________________（ ）
如图所示，AC=AD ，∠C=∠D=90º，你能说明BC=BD 吗？
,,AB BA AC BD =⎧⎨=⎩
5种判定方法中,选用哪一种方法
于题目中的已知条件,若已知两边对应相等
若已知两角对应相等,则必须再找一组对。