2020-2021学年北京市东城区北京二中教育集团九上期中数学模拟试卷
2020-2021学年北京市东城区中考数学第二次模拟试题及答案解析
北京市东城区最新第二学期统一练习（二）初三数学学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分.考试时间120分钟.2．在试卷上准确填写学校名称、班级、姓名和考号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.4．在答题卡上选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1．我国最大的领海是南海，总面积有3 500 000平方公里，将数3 500 000用科学记数法表示应为A．63.510⨯B．73.510⨯C．53510⨯D．80.3510⨯2．如图，已知数轴上的点A，O，B，C，D分别表示数﹣2，0，1，2，3，则表示数22-的点P应落在线段A．A O上B．OB上C．B C上D．C D上3．一个不透明的盒子中装有6个除颜色外完全相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是A．13B．25C．12D．234. 下列图案中，既是中心对称又是轴对称图形的是A B C D5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是A B C D6 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD等于A．18°B．36°C．54°D．64°7．某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是劳动时间（小时） 3 3.5 4 4.5人数 1 1 2 1A．中位数是4，平均数是3.75 B．众数是4，平均数是3.75C．中位数是4，平均数是3.8 D．众数是2，平均数是3.88．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是A．4 B．3 C．2D．19. 如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省A．1元B． 2元C．3元D．4元10. 某班有20位同学参加乒乓球、羽毛球比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14人.”乙说：“两项都参加的人数小于5人.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的是A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：2242ax ax a -+=．12．关于x 的一元二次方程0122=-+x kx 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是． 13. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，请你添加一个条件，使得△ABP ∽△ACB ，这个条件可以是．14.九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ．15．定义运算“*”，规定x *y =a （x +y ）+xy ，其中a 为常数，且1*2=5，则2*3= ．16．在平面直角坐标系中，小明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位，…，依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第8步时，棋子所处位置的坐标是；当走完第2016步时，棋子所处位置的坐标是．三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：0112sin 6012(3π)()4-︒-+.18．已知023a b =≠，求代数式22422a b a b a ab-++的值． 19．如图，已知∠ABC =90°，分别以AB 和BC 为边向外作等边△ABD 和等边△BCE ，连接AE ，CD . 求证：AE =CD ．20．列方程或方程组解应用题：为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A ，B 两种商品进行打折出售．打折前，买6件A 商品和3件B 商品需要108元，买3件A 商品和4件B 商品需要94元.问：打折后，若买5件A 商品和4件B 商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？21.如图，在边长为4的正方形ABCD 中，请画出以A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD 的边上，且含边长为3的等腰三角形．（要求：画出三个．．大小不同，符合题意的等腰三角形，只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）DCBADCBADCBA22．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 于点E ．（1）求证：∠BAM =∠AEF ；（2）若AB =4，AD =6，4cos 5BAM ∠=，求DE 的长.23.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，．反比例函数(0)my x x=>的图象经过点D . （1）求反比例函数的解析式；（2）经过点C 的一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数的图象交于P 点，当k ＞0时，确定点P 横坐标的取值范围（不必写出过程）. 24.阅读下列材料：2013年是北京市正式执行新《环境空气质量标准》的第一年.这一年，北京建立起35个覆盖全市的监测站点，正式对PM2.5、二氧化硫、二氧化氮等六项污染物开展监测.2013年全年,本市空气质量一级优的天数有41天；二级良天数135天.本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为89.5微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，全年共有204天达到一级优或二级良水平.2014年全年， PM2.5年均浓度为85.9微克/立方米.，PM2.5优良天数总计204天，其中PM2.5一级优天数达到93天，比2013年的71天增加了22天.2015年全年，本市空气质量达标天数为186天，即空气质量优良的好天儿占了一半，比2014年增加了14天. 本市主要大气污染物PM2.5年均浓度为80.6微克/立方米，单就PM2.5的浓度而言，2015年PM2.5优良天数累计达到223天，其中一级优天数首次突破100达到105天，二级良天数累计为118天. 根据以上材料解答下列问题：（1）北京市2014年空气质量达到优良的天数为天；单就PM2.5的浓度而言，北京市2013年全年达到二级良的天数为天；（2）选择统计表或统计图，将2013—2015年北京市PM2.5的年均浓度和PM2.5的优良天数表示出来.25. 如图，在△ABC 中，BA =BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F ． （1）求证：∠ABC =2∠CAF ； （2）若AC =1010sin CAF ∠=，求BE 的长．26. 阅读下列材料：在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =1，∠A =α，求sin2α（用含sin α，cos α的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取AB 的中点O ，连接OC ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则∠COB = 2α，然后利用锐角三角函数在Rt △ABC 中表示出AC ，BC ，在Rt △ACD 中表示出CD ，则可以求出sin 2α=CD OC=21sin AC ⋅α=21cos sin αα⋅=ααcos sin 2⋅．图1 图2阅读以上内容，回答下列问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =1. (1)如图3，若BC =13，则 sin α=，sin2α=； 图3(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出tan2α的表达式（用含sin α，cos α的式子表示）．27.二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）. （1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.28. 【问题】在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点E 在直线BC 上（B ,C 除外），分别经过点E 和点B 做AE 和AB 的垂线，两条垂线交于点F ，研究AE 和EF 的数量关系. 【探究发现】某数学兴趣小组在探究AE ，EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点E 是BC 的中点时，只需要取AC 边的中点G （如图1），通过推理证明就可以得到AE 和EF 的数量关系，请你按照这种思路直接写出AE 和EF 的数量关系；图1【数学思考】那么当点E 是直线BC 上（B ，C 除外）（其它条件不变），上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点E 在线段BC 上”；“点E 在线段BC 的延长线”；“点E 在线段BC 的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；图2【拓展应用】当点E 在线段CB 的延长线上时，若BE =nBC （01n ＜＜），直接写出ABC S △：AEF S △的值．请备用图29. 定义：y 是一个关于x 的函数，若对于每个实数x ，函数y 的值为三数2+x ，12+x ，205+-x 中的最小值，则函数y 叫做这三数的最小值函数.（1）画出这个最小值函数的图象，并判断点A （1， 3）是否为这个最小值函数图象上的点；（2）设这个最小值函数图象的最高点为B ，点A （1, 3），动点M （m ，m ）.①直接写出△ABM 的面积，其面积是；②若以M 为圆心的圆经过B A ,两点，写出点M 的坐标；③以②中的点M 为圆心，以2为半径作圆. 在此圆上找一点P ，使22PA PB +的值最小，直接写出此最小值.初三数学参考答案及评分标准 2016.6题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A BD AAC CCBB二、填空题（本题共18分，每小题3分）题号 1112131415 16答案22(1)a x -1k >-且0k ≠ABD C∠=∠答案不唯一92%11(9,2)；(2016,672)三、解答题（本题共72分，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 17．计算：0112sin 6012(3π)()4-︒-+. 解：原式32314+…………4分=33- …………5分18. 解：22422a b a b a ab-++=224(2)(2)a b a a b a a b -++=2a ba -…………3分 023a b=≠Q ， ∴设2,3.a k b k ==…………4分∴ 原式=-2.…………5分19. 证明：Q △ABD 和△BCE 为等边三角形，∴∠ABD =∠CBE =60°，BA=BD ，BC=BE.…………2分∴∠ABD+∠ABC =∠CBE+∠ABC ，即∠CBD =∠ABE.…………3分∴△CBD ≌△EBA.（SAS ） …………4分∴AE=CD. …………5分20.解：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元.…………1分依据题意，得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩.…………3分 解得：1016x y =⎧⎨=⎩.…………4分所以5×10+4×16-86=28（元）答：比打折前节省了28元. …………5分 21.满足条件的所有图形如图所示：…………5分注意：画出一个给2分，二个给4分，三个给5分. 22.解：（1）∵矩形ABCD ，∴∠B =∠BAC =90°. ∵EF ⊥AM ，∴∠AFE =∠B =∠BAD =90°.∴∠BAM +∠EAF =∠AEF+∠EAF =90°. ∴∠BAM =∠AEF.…………2分（2）在Rt △ABM 中，∠B =90°，AB =4，cos ∠BAM =45， ∴AM =5.∵F 为AM 中点， ∴AF =52. ∵∠BAM =∠AEF ， ∴cos ∠BAM = cos ∠AEF =45. ∴sin ∠AEF =35. 在Rt △AEF 中，∠AFE =90°，AF =52，sin ∠AEF =35， ∴AE =256. ∴DE=AC-AE =6-256=116. …………5分 23.解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，点(10)(31)(33)A B C ，，，，，，∴BC =2.∴D （1,2）. ∵反比例函数my x=的图象经过点D ， ∴21m =. ∴2m =.∴2y x=. …………3分（2）233p x <<. …………5分 24.解：（1）172；133.…………2分 PM2.5的年均浓度（单位：微克/立方米）PM2.5的优良天数2013年 89.5 204 2014年 85.9 204 2015年80.622325.（1）证明：连结BD .∵AB 是O e 的直径， ∴90ADB ∠=︒.∴90DAB DBA ∠+∠=︒. ∵AB AC =，∴2ABD ABC ∠=∠，12AD AC =. ∵AF 为⊙O 的切线， ∴∠FAB =90°.∴90FAC CAB ∠+∠=︒. ∴FAC ABD ∠=∠.∴2.ABC CAF ∠=∠…………2分⑵解：连接AE.∴∠AEB =∠AEC =90°.∵10sin CAF ABD CAF CBD CAE ∠∠=∠=∠=∠， ∴10sin sin ABD CAF ∠=∠=∵90210ABD AC ∠=︒=，∴10AD =10sin AD AB ABD==∠=BC . ∵9010AEC AC ∠=︒=， ∴sin 2CE AC CAE =⋅∠=.∴1028BE BC CE =-=-=.…………5分26.解：（1）sin α=13，sin2α=429. …………2分 （2）∵AC =cos α，BC =sin α，∴CD =AC BC AB ⨯=sin cos αα⋅. ∵∠DCB =∠A ，∴在Rt △BCD 中，BD =sin 2α.∴OD =12- sin 2α. ∴tan2α=CD OD =22sin cos 2sin cos 112sin sin 2αααααα⋅⋅=--. …………5分 27.解：（1）∵21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）， ∴217164.b c b c =-+⎧⎨=++⎩， ∴21.b c =-⎧⎨=-⎩， ∴221y x x =--. …………2分（2）∵二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，∴22:21C y x x =-++.∴2C 的顶点为（1,2）.∵A （-1,2），B （4,7）,∴过A 、B 两点的直线的解析式：3y x =+.令x =1，则y =4.∴2C 的顶点不在直线AB 上. …………4分（3）414m <≤或4m =-. …………7分28.解：【探究发现】：相等.…………1分【数学思考】证明：在AC 上截取CG=CE ，连接GE. ∵∠ACB =90°,∴∠CGE =∠CEG =45°.∵AE ⊥EF ，AB ⊥BF ，∴∠AEF =∠ABF =∠ACB =90°, ∴∠FEB +∠AEF =∠AEB =∠EAC +∠ACB. ∴∠FEB =∠EAC.∵CA=CB ，∴AG=BE ，∠CBA =∠CAB =45°. ∴∠AGE =∠EBF =135°.∴△AGE ≌△EBF.∴AE=EF.…………5分【拓展应用】ABC S △：AEF S △=1：（222n n ++）…………7分 29.解：（1）图象略；是.…………2分（2）①2.…………4分②M （3,3）.…………6分 5 …………8分。
2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)
2020-2021北京市初三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+2x ﹣3的图象如图所示，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是（ ）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣42．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(－1，0)，对称轴为直线l.则下列结论：①abc ＞0；②a －b ＋c ＝0；③2a ＋c ＜0；④a ＋b ＜0.其中所有正确的结论是( )A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④3．用配方法解方程2680x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(3)17x -=B ．2(3)14-=xC ．2(6)44x -=D ．2(3)1x -=4．若点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点成中心对称，则m n +的值是（ ） A ．1B ．3C ．5D ．75．已知()222226x y y x +-=+，则22xy +的值是（ ）A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且3 6．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．17．如图，Rt AOB V 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x轴的交点为()1,0x 、()2,0x ，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④()21a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0． 其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=-B ．()247x +=-C ．()2425x +=D ．()247x +=二、填空题13．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.14．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图11所示，且P ＝|2a ＋b|＋|3b －2c|，Q ＝|2a －b|－|3b ＋2c|，则P ，Q 的大小关系是______．15．如图，五边形ABCD 内接于⊙O ，若AC=AD ，∠B+∠E=230°，则∠ACD 的度数是__________．16．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．17．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________． 18．关于x 的方程的260xx m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为________．19．如图，把正方形铁片OABC 置于平面直角坐标系中，顶点A 的坐标为（3，0），点P （1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P 的坐标为____________________．20．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°，AB ＝4，则⊙O 的半径为_____．三、解答题21．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？22．“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小．23．已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ． （I ）如图①，若BC 是⊙O 的直径，BC ＝4，求BD 的长； （Ⅱ）如图②，若∠ABC 的平分线交AD 于点E ，求证：DE ＝DB ．24．如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，以AC 为直径作O e 交BC 于点D ，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E .（1）求证：DE 是O e 的切线. （2）若3DE =30C ∠=︒，求»AD 的长.25．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：抛物线y=x 2+2x ﹣3与x 轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项B ，无法确定点A 、B 离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y 1与y 2的大小，该选项错误；选项C ，y 的最小值是﹣4，该选项错误；选项D ，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：①∵二次函数图象的开口向下， ∴a ＜0，∵二次函数图象的对称轴在y 轴右侧，∴﹣2ba ＞0， ∴b ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故①错误；②∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0）， ∴a ﹣b+c=0，故②正确； ③∵a ﹣b+c=0，∴b=a+c ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2（a+c ）+c ＜0，∴6a+3c ＜0，∴2a+c ＜0，故③正确； ④∵a ﹣b+c=0，∴c=b ﹣a ．由图可知，x=2时，y ＜0，即4a+2b+c ＜0， ∴4a+2b+b ﹣a ＜0，∴3a+3b ＜0，∴a+b ＜0，故④正确． 故选D ．考点：二次函数图象与系数的关系．3．A解析：A 【解析】 【分析】利用配方法把方程2680x x --=变形即可. 【详解】用配方法解方程x 2﹣6x ﹣8＝0时，配方结果为（x ﹣3）2＝17， 故选A ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．4．C解析：C 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】解：∵点()1,5P m -与点()3,2Q n -关于原点对称，∴13m -=-，25n -=-， 解得：2m =-，7n =， 则275m n +=-+= 故选C . 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.5．B解析：B 【解析】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260xyx y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-= ，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．D解析：D 【解析】 【分析】设x 2﹣2x +1＝a ，则（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0化为a 2+2a ﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可． 【详解】解：设x 2﹣2x +1＝a ，∵（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0， ∴a 2+2a ﹣3＝0， 解得：a ＝﹣3或1，当a ＝﹣3时，x 2﹣2x +1＝﹣3， 即（x ﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解； 当a ＝1时，x 2﹣2x +1＝1，此时方程有解， 故选：D ． 【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.7．D解析：D 【解析】【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD=∠A，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t，∴S△OCD=12×OD×CD=12t2（0≤t≤3），即S=12t2（0≤t≤3）．故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．8．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9．B解析：B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B 、是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．C解析：C 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-得2b a =＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，则abc ＜0；由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性得到抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2；抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，2x =-时，421a b c -+<-；抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =得：2y am bm c =++，且1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +；对称轴为直线12bx a =-=-得2b a =,由于1x =时，0y >，则a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,然后利用1c <-得到13a >-. 【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-=-，∴b=2a＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c＜0，∴abc＜0， 所以①错误；∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，而对称轴为1x =-，由于抛物线与x 轴一个交点在点（0，0）与点（1，0）之间，根据抛物线的对称轴性，∴抛物线与x 轴另一个交点在点（-3，0）与点（-2，0）之间，即有-3＜2x ＜-2，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线1x =-，且c ＜-1，∴当2x =-时，421a b c -+<-, 所以③正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线1x =-，∴当1x =-时，y a b c =-+最小值，当x m =代入2y ax bx c =++得：2y am bm c =++，∵1m ≠-，∴y a b c =-+<最小值，即a b -<2am bm +,所以④错误； ∵对称轴为直线12bx a=-=-，∴2b a =, ∵由于1x =时，0y >，∴a b c ++>0,所以2a a c ++>0,解得13a c >-,根据图象得1c <-，∴13a >-，所以⑤正确. 所以②③⑤正确, 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴、y 轴的交点，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 决定抛物线开口方向；c 的符号由抛物线与y 轴的交点的位置确定；b 的符号由a 及对称轴的位置确定；当x ＝1时，y ＝a b c ++；当1x =-时，y a b c =-+.11．B解析：B 【解析】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜0；故①错误。
2022-2023学年北京二中教育集团九年级上学期期中考试数学试卷带讲解
∵ 是 的直径，
∴ ．（直径所对圆周角是直角）
∴四边形 是正方形．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理和正方形的判定方法．
北京二中教育集团2022—2023学年度第一学期
初三数学期中考试试卷
考生须知：
1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题纸，共14页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题纸6页．全卷共三道大题，28道小题．
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟．
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题纸的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号．
【答案】 ##
【分析】过点C作AC的垂线，在垂线上截取 ，连接DF，从而可证 ，进而得到 ，将求线段OE的最大值转化为求FD的最大值，然后结合点与圆的位置关系求出最大值即可．
【详解】如图，过点C作AC 垂线，在垂线上截取 ，连接DF，
∴ ，
∴ ，
∵ 绕点 顺时针旋转 得到 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
C.二次函数关系，正例函数关系D.二次函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】分别列出 与 的关系式， 与 的关系式判断即可；
【详解】解：由题意可得： ，
∴ 与 成一次函数关系； 与 成二次函数关系；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的表达形式；熟练根据题意列出相对应的函数关系式是解题的关键．【分析】Leabharlann 程整理后,利用因式分解法求出解即可.
2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案
2020—2021学年北京XX中学九年级上期中数学试卷含答案一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：43．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就明白了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：25．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+18．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y210．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形能够运算不能直截了当测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m，他在阳光下的影长是2.4m，在同一时刻测得某棵树的影长为15m，则这棵树的高度约为__________m．12．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范畴为__________．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为__________cm．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为__________．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，同时图象通过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．19．关于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范畴__________．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范畴；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．24．百货商店服装柜在销售中发觉：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范畴．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？26．阅读明白得：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．五．综合运用（27、28题7分，29题8分，共22分）27．已知抛物线y=（m﹣1）x2﹣2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值；（3）若一次函数y=kx﹣k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．28．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍旧成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边通过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求的值．29．如图，已知抛物线通过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年北京XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）1．已知3x=4y，则的值为( )A．B．C．7 D．【考点】比例的性质．【分析】依照等式的性质，可得用x表示y，依照分式的性质，可得答案．【解答】解：由3x=4y，得y=．===7．故选：C．【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出y=是解题关键，又利用了分式的性质．2．如图，点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10，OA′=20，则五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值是( )A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考点】位似变换．【分析】由以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，可得五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，然后由相似多边形的性质可得：五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积的比值．【解答】解：∵以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，OA=10cm，OA′=20cm，∴五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的位似比为：10：20=1：2，∴五边形ABCDE的面积与五边形A′B′C′D′E′的面积比是：1：4．故选：D．【点评】此题考查了位似图形的性质，利用相似多边形的面积比等于相似比得出答案是解题关键．3．如图，D是△ABC的边AC上的一点，则下列条件中不能判定△ABC∽△ADE的是( )A．∠ADE=∠B B．=C．∠AED=∠C D．=【考点】相似三角形的判定．【分析】依照相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∴△ABC∽△ADE，A正确；∵，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，B正确；∵∠AED=∠C，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE，C正确；D不符合两边成比例且夹角相等，D错误；故选：D．【点评】此题要紧考查学生对相似三角形的判定方法的把握情形，常用的判定方法有：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．4．如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，然后测出AC，BC的中点M，N，并测量出MN的长为12m，由此他就明白了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是( )A．AB=24m B．MN∥AB C．△CMN∽△CAB D．CM：MA=1：2【考点】三角形中位线定理；相似三角形的应用．【专题】几何图形问题．【分析】依照三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半可得MN∥AB，MN=AB，再依照相似三角形的判定解答．【解答】解：∵M、N分别是AC，BC的中点，∴MN∥AB，MN=AB，∴AB=2MN=2×12=24m，△CMN∽△CAB，∵M是AC的中点，∴CM=MA，∴CM：MA=1：1，故描述错误的是D选项．故选：D．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边同时等于第三边的一半，相似三角形的判定，熟记定理并准确识图是解题的关键．5．下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是( )A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】本题要紧应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，2，．A、三角形三边2，，3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；B、三角形三边2，4，2，与给出的三角形的各边成正比例，故B选项正确；C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；D、三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故D选项错误．故选：B．【点评】此题考查三边对应成比例，两三角形相似判定定理的应用．6．如图，平面直角坐标系中的二次函数图象所对应的函数解析式可能为( )A．B． C．D．【考点】二次函数的图象．【分析】依照二次函数图象得出顶点位置，进而依照各选项排除即可．【解答】解：依照二次函数顶点坐标位于第三象限，只有选项D的顶点符合要求，故选：D．【点评】此题要紧考查了二次函数图象，依照图象得出顶点位置是解题关键．7．（1998•台州）把二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是( )A．y=3（x﹣2）2+1 B．y=3（x+2）2﹣1 C．y=3（x﹣2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】变化规律：左加右减，上加下减．【解答】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y=3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．8．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ) A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】依照二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数通过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都通过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数通过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数通过二、四象限，故A选项错误；故选：D．【点评】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象通过一、三象限；小于0，通过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．9．已知二次函数y=ax2+bx+c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：x …0 1 2 3 4 y … 4 1 0 1 4点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系正确的是( )A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y2【考点】二次函数图象上点的坐标特点．【专题】运算题．【分析】由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1，当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判定y1与y2的大小．【解答】解：∵当1＜x＜2时，函数值y小于1，当3＜x＜4时，函数值y大于1，∴y1＜y2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点．关键是由表格判定自变量取值范畴内，函数值的大小．10．如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时刻为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则s（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】由点E，F分别从B，C两点同时动身，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，得到BE=CF=t，则CE=8﹣t，再依照正方形的性质得OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，然后依照“SAS”可判定△OBE ≌△OCF ，因此S △OBE =S △OCF ，如此S 四边形OECF =S △OBC =16，因此S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t ，然后配方得到S=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8），最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判定．【解答】解：依照题意BE=CF=t ，CE=8﹣t ，∵四边形ABCD 为正方形，∴OB=OC ，∠OBC=∠OCD=45°，∵在△OBE 和△OCF 中，∴△OBE ≌△OCF （SAS ），∴S △OBE =S △OCF ，∴S 四边形OECF =S △OBC =×82=16，∴S=S 四边形OECF ﹣S △CEF =16﹣（8﹣t ）•t=t 2﹣4t+16=（t ﹣4）2+8（0≤t ≤8）， ∴s （cm 2）与t （s ）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t ≤8． 故选：B ．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：先依照几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范畴．二．填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）11．利用相似三角形能够运算不能直截了当测量的物体的高度，小雪的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是2.4m ，在同一时刻测得某棵树的影长为15m ，则这棵树的高度约为10m ．【考点】相似三角形的应用． 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，通过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：因为=， 因此：树的高度=×树的影长=×15=10（m ）．故答案是：10．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后依照对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．12．已知函数y=（k ﹣3）x 2+2x+1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范畴为k ≤4．【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】分为两种情形：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，求出△=b 2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k ﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X 轴有交点；即可得到答案．【解答】解：①当k ﹣3≠0时，（k ﹣3）x 2+2x+1=0，△=b 2﹣4ac=22﹣4（k ﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k ≤4；②当k ﹣3=0时，y=2x+1，与x 轴有交点；故k的取值范畴是k≤4，故答案为：k≤4．【点评】本题要紧考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的明白得和把握，能进行分类求出每种情形的k是解此题的关键．13．如图，在▱ABCD中，E为线段AD上一点，AE=4ED，CE、BD交于点F，若DF=4cm，则BF的长为20cm．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由在▱ABCD中，且AE=4ED，易得DE：BC=1：5，△ADF∽△EBF，然后依照相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵AE=4ED，∴DE：AD=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴DE：BC=1：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=DF：BF=1：5，∵DF=4cm，∴BF=20cm．故答案为：20．【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练把握相似三角形的判定和性质是解题的关键．14．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】依照二次函数图象上点的坐标特点，把点P的坐标代入二次函数解析式运算即可得解；依照点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后依照顶点式解析式形式写出即可．【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，∴（﹣1）2﹣1=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，即y=x2﹣2x．故答案为：0，y=x2﹣2x．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特点，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．15．在△ABC中，AB=6，AC=4，E是AB上一点，AE=2，在AC上取一点F，使以A、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为或3．【考点】相似三角形的判定．【分析】依照相似三角形的相似比求AF，注意分情形考虑．【解答】解：∵∠A=∠A，∴两种情形进行讨论：①当时，△ABC∽△AEF，即，解得：AF=；②当时，△ABC∽△AFE，即，解得：AF=3；综上所述：AF的长为或3；故答案为：或3．【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练把握相似三角形的判定，分情形讨论是解决本题的关键．16．已知二次函数y=ax2+bx+c满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有①②③⑤．①a＜0 ②a﹣b+c＜0 ③c＞0 ④a﹣2b＞0 ⑤．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特点．【分析】由抛物线满足：（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；判定a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判定c与0的关系，然后依照对称轴及抛物线与x轴交点情形进行推理，进而对所得结论进行判定．【解答】解：∵（1）a＜b＜c；（2）a+b+c=0；（3）图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象过（1，0）点，∵a＜b＜c，a+b+c=0，∴a＜0，c＞0，故①③正确，∵图象与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；∴图象一定只是（﹣1，0）点，且另一交点坐标在（﹣1，0）右侧，∴a﹣b+c＜0，故②正确，∴图象对称轴一定在x轴的正半轴，∴0＜﹣＜1，∴a，b异号，∴a﹣2b＜0，故④此选项错误，∵b＜c，a+b+c=0，∴c=﹣（a+b），∴b＜﹣（a+b），即a+2b＜0，∴2b＜﹣a，∴＞，∴＞﹣，∴﹣＜，故⑤选项正确，故正确的有：①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用．三、解答题（共6个小题，每小题5分，共30分）17．已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，且∠ACD=∠B，若AB=10，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】运算题．【分析】第一依照∠ACD=∠B，∠A=∠A得到△ACD∽△ABC，然后利用相似三角形对应边的比相等得到，再依照D是AB的中点和AB=10得到后代入以上比例式后即可求得AC的长．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．∴．∵D是AB的中点，AB=10，∴．∴．∴AC2=50．∴（舍负）．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形得到正确的比例式是解决本题的关键．18．若二次函数图象的对称轴方程是x=1，同时图象通过A（0，﹣4），B（4，0），（1）求此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标；（2）求此函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化-对称．【分析】（1）直截了当利用对称性求解即可；（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式，解三元一次方程组可得y=x2﹣x﹣4．【解答】解：（1）∵二次函数图象的对称轴方程是x=1，∴此二次函数图象上点B关于对称轴x=1的对点B′的坐标为：B′（﹣2，0）；（2）设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x=1代入解析式得：，解得：，故二次函数解析式为：．【点评】此题要紧考查了二次函数的概念、性质以及待定系数法求解析式，正确把握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．19．关于抛物线y=x2﹣4x+3．（1）将抛物线的解析式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x ……y ……（3）结合图象，当0＜x＜3时，y的取值范畴﹣1≤y＜3．【考点】二次函数的图象．【分析】（1）由于二次项系数是1，因此直截了当加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一样式转化为顶点式．（2）利用列表、描点、连线的方法画出图形即可；（3）依照函数图象回答即可．【解答】解：（1）y=x2﹣4x+3=（x2﹣4x+4）﹣4+3=（x﹣2）2﹣1．∴抛物线的顶点式为故答案为：y=（x﹣2）2﹣1．（2）列表：x …0 1 2 3 4 …y … 3 0 ﹣1 0 3 …函数图象如图所示：（3）依照函数图象可知：当0＜x＜3时，y的取值范畴﹣1≤y＜3．故答案为：﹣1≤y＜3．【点评】本题要紧考查的是二次函数的顶点式、画函数的图象，利用函数图象求得y的取值范畴是解题的关键．20．如图，已知△ABC顶点的坐标分别为A（1，﹣1），B（4，﹣1），C（3，﹣4）．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．在所给的直角坐标系中画出旋转后的△AB1C1，并写出点B1的坐标；（2）以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，使得它与△ABC 的位似比等于2：1．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）由题意得，将△ABC绕点A逆时针旋转90°后，得到△AB1C1．则AB1⊥AB，AC1⊥AC，画出图形写出坐标．（2）依照以坐标原点O为位似中心，在第二象限内再画一个放大的△A2B2C2，能够得出A 1，B 1，C 1的坐标扩大2倍，且横纵坐标改变符号，得出即可．【解答】解：（1）如图：正确画出△AB1C1，B1（1，2），（2）如图：正确画出△A2B2C2，【点评】此题要紧考查了图形的旋转与位似，利用位似图形的性质得出A 1，B 1，C 1的坐标是解决问题的关键．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，且=，连结DE．若AC=3，AB=5．求证：（1）△ABC∽△AED；（2）DE⊥AB．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）依照已知条件得到，由于∠A=∠A，因此得到△ADE∽△ACB；（2）依照相似三角形的性质得到∠ADE=∠C=90°，由垂直的定义即可得到结论．【解答】证明：（1）∵，=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB；（2）∵△ABC∽△AED，∴∠ADE=∠C=90°，∴DE⊥AB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练把握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．如图，在正方形ABCD中，点E是CD上一点（DE＞CE），连接AE，并过点E作AE 的垂线交BC于点F，若AB=9，BF=7，求DE长．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】第一由正方形的性质和已知条件证明△ADE∽△ECF，依照相似三角形的性质可知：，设DE=x，则EC=9﹣x，代入运算求出x的值即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD=BC=AB=9，∠D=∠C=90°，∴CF=BC﹣BF=2，在Rt△ADE中，∠DAE+∠AED=90°，∵AE⊥EF于E，∴∠AED+∠FEC=90°，∴∠DAE=∠FEC，∴△ADE∽△ECF，∴，设DE=x，则E C=9﹣x，∴，解得x1=3，x2=6，∵DE＞CE，∴DE=6．【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是设DE=x，利用方程思想解决几何问题．四、解答题（共4个小题，每小题5分，共20分）23．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范畴；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】探究型．【分析】（1）依照抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△＞0且m﹣2≠0，从而能够解答本题；（2）依照第一问求得的m的取值范畴，能够得到m的最大整数，从而能够求得抛物线与x 轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范畴是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确抛物线与x轴的交点与（m﹣2）x2+2mx+m+3=0时，△的值有关．24．百货商店服装柜在销售中发觉：某童装每天可卖20件，每件盈利40元，为迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉：每件童装降价1元，每天可多卖2件，要想平均每天获利1200元，那么每件童装应降价多少元？要使每天盈利最多，每件应降价多少元？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【分析】（1）利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可；（2）设每天销售这种童装利润为y，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【解答】解：（1）设每件童装应降价x元，依照题意列方程得，（40﹣x）=1200，解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去）．答：每件童装降价20元；（2）设每天销售这种童装利润为y，则y=（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，答：当每件童装降价15元时，能获最大利润1250元．【点评】此题要紧考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判定所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．25．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上一个动点（不与B、C点重合），∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE．（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范畴．（3）当点D在线段BC的什么位置时，AE的长度最短？请说明理由，并求出AE的最短长度是多少？【考点】相似形综合题．【分析】（1）先判定△ABC为等腰直角三角形得到∠B=∠C=45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2=135°，利用平角定义得到∠2++∠3=135°，则∠1=∠3，因此可依照有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论；（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3）依照函数图象的顶点坐标可求出其最小值．【解答】（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE；（2）解：由（1）得△ABD∽△DCE，∴，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC=，DC=﹣x，EC=1﹣y，∴，∴y=x2﹣x+1（0＜x）；（3）解：∵y=x2﹣x+1=，∴当x=时，y有最小值为，即BD=时，AE的最短长度是．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质定理和等腰直角三角形的性质，综合运用相似三角形的判定及性质定理和二次函数的最值是解答此题的关键．26．阅读明白得：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED，EC，能够把四边形ABCD分成三个三角形，假如其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；假如这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD 的边AB上的强相似点．解决问题：（1）如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判定点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．【考点】相似形综合题．。
2020-2021学年东城区初三一模数学试题及答案
东城区2020—2021学年度第二学期初三年级统一测试（一） 初三数学 2021．5一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1.某几何体的三视图如图所示，该几何体是 A ． 三棱柱 B ． 正方体 C ． 圆锥 D ． 圆柱2. 在平面直角坐标系xOy 中， 下列函数的图象不过．．点（1，1）的是 A ．1y x= B ． 2y x = C ．+1y x =- D ． 3y x =3. 2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射.2021年2月10日，在经过长达七个月，475 000 000公里的漫长飞行之后， “天问一号”成功进入火星轨道.将475 000 000用科学记数法表示应为A ．74.7510⨯B ．84.7510⨯C ． 94.7510⨯D ．647510⨯4. 一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上. 在图中所标记的角中，与∠1相等的角是 A ． ∠2 B ． ∠3C ． ∠4D ． ∠55. 如图，△ABC 经过旋转或轴对称得到△AB ′C ′，其中△ABC 绕点A 逆时针旋转60°的是6. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示. 下列式子正确的是A ．a b ＞B ．a b ＜-C ． 0a b -＜D ．ac bc ＞7. 如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别为A ，B ，PO 的延长线交⊙O 于点C ，连接OA ，OB ，BC . 若AO =2，OP ＝4，则∠C 等于A ．B ．C ．D ．8. 一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是30cm ，40cm. 现要做一个与其相似的三角形木架，如果以60cm 长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到A ． 60 cmB ． 75 cmC ． 100 cmD ． 120 cm二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 若分式21xx -的值为0，则x 的值等于 ． 10. 分解因式：2244ma mab mb -+= ．11. 用一组a ，b 的值说明“若a b ＞，则22a b ＞”是假命题，这组值可以是a = ，b = ．12. 4月23日是世界读书日. 甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量.设甲同学购买图书x 本、乙同学购买图书y 本，则可列方程组为 .13. 有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：20︒30︒45︒60︒根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为 .（精确到0.001）14. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 15. 若关于x 的一元二次方程()221+=0x m x c ++有两个相等的实数根，则c 的最小值是 ．16. 小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通方式有地铁、公交车、出租车、共享单车等.小青的家到地铁站（或公交）有一段距离，地铁站（或公交站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车. 共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算. 出行方式的相关信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）：根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断: ①如果使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4； ②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；③如果选择公交和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么，除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元.其中推断合理的是 .三、解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.计算：11816sin 45.3-⎛⎫+---︒ ⎪⎝⎭18. 已知221010x x --=，求代数式()()()21211x x x ---+的值 ．19.尺规作图：如图，已知线段a ，线段b 及其中点．求作：菱形ABCD ，使其两条对角线的长分别等于线段a ，b 的长．作法：①作直线m ，在m 上任意截取线段AC =a ；②作线段AC 的垂直平分线EF 交线段AC 于点O ；③以点O 为圆心，线段b 的长的一半为半径画圆，交直线EF 于点B ，D ； ④分别连接AB ，BC ，CD ，DA ； 则四边形ABCD 就是所求作的菱形.(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵OA =OC ，OB =OD ，∴四边形ABCD 是 ． ∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形. ()(填推理的依据) ．20. 解不等式组： 并写出其中的正整数解．21. 解分式方程：132122x xx x--=+++．22. 如图，在平行四边形ABCD 中，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DE 的延长线交AB 于点F .过点B 作 BG ∥DF 交DC 于点G ，交AC 于点M . 过点G 作GN ⊥DF 于点N ． (1) 求证：四边形NEMG 为矩形； （2）若AB =26，GN =8，5sin =13CAB ∠，求线段AC 的长．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：y =kx +b 与直线y =3x 平行，且过点A （2，7）．(1) 求直线的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线2l 与直线关于y 轴对称，直线y=m 与直线1l ，2l 围成的区域W 内(不包含边界)恰有6个整点，求m 的取值范围．1+251635341x x x x -⎧+⎪⎨⎪+-⎩＞，≥1l 1l24. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OE⊥BC于点E，交CD于点F．（1）求证：∠A+∠OFC=90°；（2）若3tan,62A BC==，求线段CF的长.25. 第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行.为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析.下面给出了相关信息：a. 30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：b. 30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100)：c. 测试成绩在70≤x ＜80这一组的是： 70 73 74 74 75 75 77 78d. 小明的冬奥知识测试成绩为85分． 根据以上信息，回答下列问题：（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第 ； （2）抽取的30名同学的成绩的中位数为________；（3）序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差为记21s ；序号为11-20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为22s ，序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为23s ，直接写出21s ，22s ，23s 的大小关系；（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为 人．26. 在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ,()22,B x y 在抛物线()2222+2y x a x a a =-+--上，其中12x x ＜.（1）求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）； （2） ①当x a =时，求y 的值；②若120y y ==，求1x 的值（用含a 的式子表示）；（3）若对于12+x x ＜-4，都有12y y ＜， 求a 的取值范围.27. 已知∠MAN =30 ，点B 为边AM 上一个定点，点P 为线段AB 上一个动点（不与点A ，B 重合），点P 关于直线AN 的对称点为点Q ，连接AQ , BQ ． 点A 关于直线BQ 的对称点为点C ，连接PQ ，CP ． (1) 如图1，若点P 为线段AB 的中点.①直接写出∠AQB 的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP 与AP 的数量关系；(2) 如图2，若线段CP 与BQ 交于点D ．①设∠BQP=α，求∠CPQ 的大小（用含α的式子表示）； ②用等式表示线段DC ，DQ ，DP 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知正方形ABCD ，其中202A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，，202B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，202C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， ，202D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，．M N ，为该正方形外两点，1M N =． 给出如下定义：记线段M N 的中点为P ，平移线段MN 得到线段M N ''，使点M N ''，分别落在正方形ABCD 的相邻两边上，或线段M N ''与正方形的边重合（M N P '''，，分别为点M N P ，，的对应点），线段PP '长度的最小值称为线段M N 到正方形ABCD 的“平移距离”．（1）如图1，平移线段M N ，得到正方形ABCD 内两条长度为1的线段1122M N M N ， ，则这两条线段的位置关系是________；若12P P ，分别为1122M N M N ，的中点，在点12P P ，中，连接点P 与点________的线段的长度等于线段M N 到正方形ABCD 的“平移距离”；（2）如图2，已知点2102E ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭，，若M N ，都在直线BE 上，记线段M N 到正方形ABCD 的“平移距离”为1d ，求1d 的最小值；（3）若线段MN的中点P的坐标为(2，2)，记线段M N到正方形ABCD的“平移距离”为2d，d的取值范围．直接写出2东城区2020-2021学年度第二学期初三年级统一测试（一）初三数学参考答案及评分标准 2021.5一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 0 10. ()22m a b - 11. 0,-1（答案不唯一） 21,12.22.x y x y =+⎧⎨+=⎩13. 0.167 14. 6 15. 0 16. ①②③ 三. 解答题（本题共68分，第17-19题，每小题5分，第20题6分，第21-23题，每小题5分，第24-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：1116sin 453-⎛⎫+--︒ ⎪⎝⎭= 16- ………………………………………………………………4分=2……………………………………………………………………5分18. 解：()()()21211x x x ---+22=22121x x x x x --+---………………………………………………………3分 2=5x x -. ……………………………………………………………4分∵221010x x --=，∴2152x x -=. ∴原式=2152x x -=. ……………………………………………………………5分 19. 解： (1)尺规作图如图；……………………………………………………………………………………3分（2） 平行四边形； ……………………………………………………………………4分对角线互相垂直的平行四边形是菱形.……………………………………………5分 20. 解：1+251,63534 1.x x x x -⎧+⎪⎨⎪+-⎩＞①≥②由①去分母，得 ()1+225+6x x -＞.去括号，得 1+410+6x x -＞.移项，得 410+61x x ---＞.合并同类项，得35x --＞.系数化为1，得 53x ＜.∴不等式①的解集为53x ＜. ………………………………………………2分 由②移项，得 5431x x ---≥.合并同类项，得4x -≥.∴不等式②的解集为4x -≥. ………………………………………………4分 所以，不等式组的解集为 53x -4≤＜，………………………………………………5分 其中正整数解为x =1. …………………………………………………6分21. 解：去分母，得 1=32+2x x x --+.……………………………………………………1分移项，得+2=32+1x x x -+.……………………………………………………… 2分合并同类项，得2=6x. …………………………………………………………3分系数化为1，得=3x. …………………………………………………………4分经检验，=3x是原方程的解.所以，原方程的解为=3x. …………………………………………………………5分22. (1)证明：∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°.∵BG∥DF,∴∠GME+∠DEC=180°.∴∠GME=90°.……………………………………………………………1分∵GN⊥DF,∴∠ENG=90°.∴四边形NEMG为矩形.………………………………………………………2分(2)解：∵四边形NEMG为矩形，∴EM=NG=8.在Rt△AMB中，∠AMB=90°.∵sin∠CAB=513BMAB, AB=26，∴BM=10. …………………………………………………………………3分根据勾股定理，得AM=24.∴AE=AM-EM=16.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,AD=BC.∴∠DAE=∠BCM.∵∠AED=∠CMB=90°，∴△ADE≌△CBM(AAS).∴AE=CM.∴AC =2AE +EM =40.……………………………………………………………………5分23. 解：（1）∵直线与直线y =3平行，∴. …………………………………………………………………1分∵直线过点（2，7），∴.∴直线的表达式为.…………………………………………………2分（2）①当时，∵把代入，得, ∴直线与直线的交点为. 由图形的对称性，可知直线与直线2l 的交点为4(,5)3-. 结合图象，可知当m 1＜≤5时，区域W 内（不包含边界）整点个数小于6，不符合题意.当56m ＜≤时，区域W 内（不包含边界）恰有6个整点：（0，2），（0,3），（0，4），（-1,5），（0,5），（1,5）.当m ＞6时，区域W 内（不包含边界）整点个数大于6，不符合题意.∴56m ＜≤. ……………………………………………………………………4分 ② 当1m <时，由图形的对称性，得43m -<-≤.综上所述， 43m -<-≤，或5m ＜≤6.…………………………………………5分24.方法1：（1）证明：如图，作直径CG ，连接BG ，则∠GBC =90°.∵OE ⊥BC ， 1l 3k =1l 1b =1l 31y x =+1m >5y =31y x =+43x =5y =1l 4(,5)35y =∴∠1=90°=∠GBC.∴OF∥BG.∴∠G=∠2.∵∠G=∠A，∴∠A=∠2.∵CD是⊙O的切线，∴CG⊥CD.∴∠OCF=90°.∴∠2+∠OFC=90°.∴∠A+∠OFC=90°.……………………………………………………3分（2）∵∠G=∠A=∠2，∴3 tan tan2tan.2G A=∠==在Rt△BCG中，BC=6，3 tan2BCGBG==，∴BG=4.根据勾股定理，得CG=213. ∴OC=13.在Rt△OCF中，3 tan22CFOC∠==，∴3132CF=. ……………………………………………………………6分方法2（1）证明：如图，连接OC，OB，∵OE⊥BC,OB=OC,∴∠2=12∠BOC.∴∠A =12∠BOC . ∴∠A =∠2.∵CD 是⊙O 的切线，∴CO ⊥CD .∴∠2+∠OFC =90°.∴∠A +∠OFC =90°. ……………………………………………………3分(2) 解：∵OE ⊥BC ,∴CE =12BC =3. ∵∠3+∠OFC =90°，∠A+∠OFC =90°.∴∠A=∠3. ∴3tan 3tan .2A ∠== 在Rt △CEF 中，CE =3，3tan 32EF CE ∠==， ∴EF =92.根据勾股定理，得CF …………………………………………6分 25. 解:（1）5； …………………………………………………………………………1分（2）74； …………………………………………………………………………3分（3）222213s s s ＞＞； …………………………………………5分（4）140. …………………………………………………………………………6分 26. 解：（1）抛物线的对称轴为直线()2112a x a -=-=--. ………………………2分 （2）①当x a =时，222222=0y a a a a a =-+--+； ………………………3分②1=2x a -. ……………………………………………4分（3）①当a ≥-1时，∵12x x ＜，12+x x ＜-4，∴1x ＜-2，只需讨论1-1x a ＜的情况.若121x x a -＜＜，∵1x a -＜时，y 随着x 的增大而增大，∴12y y ＜，符合题意；若121x a x -＜＜，∵12a --≥，∴()14a --2≥.∵12+x x ＜-4，∴()12+1x x a -＜2.∴()121x a x --＜2.∵()2=1x a x --2时，2=y y ，1x a -＜时，y 随着x 的增大而增大， ∴12y y ＜，符合题意.②当a ＜-1时，令1=1x a -，2=2x -，此时12+x x ＜-4，但12y y ＞，不符合题意；综上所述，a 的取值范围是a ≥-1. ……………………………………6分27.（1）解：①∠AQB =90°；②补全图形，如图1，3CP AP =.………………………………………………………………3分（2）①解：如图2，连接CQ ，∵点P ，点Q 关于直线AN 对称，点A ，点C 关于直线BQ 对称， ,,.AP AQ CQ PAN QAN CQB AQB ∴==∠=∠∠=∠30,MAN ∠=︒60.PAQ ∴∠=︒∴△APQ 为等边三角形.60AQP ∴∠=︒，PQ =AQ . ∴CQ =PQ .∴∠C =∠CPQ .,BQP α∠=60.CQB α∴∠=︒+602.CQP α∴∠=︒+60.CPQ α∴∠=︒- …………………………………………………………5分 ②结论：.DC DP DQ =+证明：,CDQ CPQ BQP ∠=∠+∠60.CDQ ∴∠=︒在DC 上截取DE =DQ ，连接EQ ，∴△DEQ 为等边三角形.∴QE =QD .60.DEQ EDQ ∴∠=∠=︒120.CEQ PDQ ∴∠=∠=︒,,C CPQ CQ PQ ∠=∠=(AAS).CEQ PDQ ∴△≌△.EC DP ∴=∴=.DC EC DE DP DQ =++……………………………………………7分28.解：(1)平行，1P ； ……………………………………………………2分(2)如图，连接1BP ． ∵2102E ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，，∴CE =1，即BC =CE ．∵∠ACB =45°，∴∠CBE =∠CEB =22.5°．∵11//M N BE ，∴1122.5BN M CBE ==︒∠∠．∵点1P 为11M N 的中点，∴11112BP N P ==∠． ∴111122.5N BP BN P ==︒∠∠.∴145PBE =︒∠ 过点P 1作P 1H ⊥BE 于点H ,则1BPH △为等腰直角三角形. ∵112BP =， ∴124PH =． ∵11PP PH ≥， ∴124PP ≥． ∴1d 的最小值是24. ……………………………………………………5分 (3)213322.22d -≤≤ ……………………………………………………7分。
2023-2024学年北京市东城区九年级上学期期中考试模拟数学试卷含详解
北京市东城区2023-2024学年度第一学期期中复习训练试卷考试时长120分钟，满分100分．一、选择题（本大题共8小题，共16分）1.如图所示图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE 测量物的高度，已知标杆BE 高1.5m ，测得AB ＝1.2m ，AC ＝14m ，则建筑物CD 的高是（）A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m3.已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数22y x =-的图象上，则（）A.123y y y << B.132y y y << C.213y y y << D.321y y y <<4.若x =2是方程x 2+3x -2m =0的一个根,则m 的值为（）A.2B.3C.4D.55.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦.若∠BAD=24°，则C ∠的度数为（）A.24°B.56°C.66°D.76°6.⊙O 的半径为7，点P 在⊙O 外，则OP 的长可能是（）A .4B.6C.7D.87.如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝EC ；④∠A ＝∠EBC ；其中一定正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②③④8.如图，边长为1的正方形网格中，O ，A ，B ，C ，D 是网格线交点，若弧AB 与弧CD 所在圆的圆心都为点O ，则阴影部分的面积为（）A.πB.2πC.3π22- D.2π2-二、填空题（本大题共8小题，共16分）9.点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____．10.若关于x 的方程2120x kx --=的一个根为2，则k 的值为______．11.如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转30︒得到ADE V ，点B 的对应点D 恰好落在边BC 上，则ADE ∠=____________．12.天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度．数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为19米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为米______米．13.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连接OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为____．14.抛物线2y ax bx c =++的对称轴及部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为______．15.如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，连接OC ，若52OC AE ==，，则CD 等于___．16.抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,A m ，且经过点()5,0B ，其部分图像如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①0abc <；②0a b c -+>；③40a b +=；④90m a +=；⑤若此抛物线经过点(),C t n ．则4t -一定是方程2ax bx c n ++=的一个根．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共12小题，共68分）17.解下列方程：（1）22150x x +-=（2）()()2220x x x -+-=18.已知AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点O ，若OA ＝2，OD ＝4，AB ＝3，（1）求证：△ABO ∽△DCO ；（2）求线段CD 的长．19.若二次函数的图象经过()1,0-，()3,0，()0,3三点，求这个二次函数的解析式．20.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．21.已知关于x 的一元二次方程21=0x mx m -+-.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m 的取值范围.22.下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P （如图1）．求作：⊙P，使它与直线l相切．作法：如图2，①在直线l上任取两点A，B；②分别以点A，点B为圆心，AP，BP的长为半径画弧，两弧交于点Q；③作直线PQ，交直线l于点C；④以点P为圆心，PC的长为半径画⊙P．所以⊙P即为所求．根据小融设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AP，AQ，BP，BQ．∵AP＝，BP＝，∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，∴⊙P与直线l相切（）（填推理的依据）．23.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠墙（墙长8m），隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长．（1）设垂直于墙的一边AB长度为m x，整个隔离区的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）求整个隔离区的面积的最大值．24.如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°，画出旋转后的11AB C △；（2）在变换的过程中，求点B 经过的路径1B B 的长度．25.在Rt ABC ∆中，90,20cm,15cm ∠=︒==C AC BC ，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点O 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（05t ≤≤）．设运动时间为t 秒，求：（1）用含t 的代数式表示CQ ，CP ；（2）当t 为多少时，PQ 的长度等于10？（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？26.如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE CD ⊥交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．27.在ABC 中，90ABC ∠=︒，BA BC =，点D 为线段AC 上一点，将线段BD 绕点B 顺时针旋转90︒，得到线段BE ，连接DE ．（1）①请补全图形：②直接写出,,CD AD ED 之间的数量关系____________；（2）取AD 中点F ，连接BF 、CE ，猜想CE 与BF 的位置关系与数量关系，并证明．28.对于C 与C 上一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与C 交于点Q ，且2PA QA =，则称点P 为点A关于C 的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是()20，．（1）如图1，点O 是坐标原点，O 的半径是2，点P 是点A 关于O 的“倍距点”①若点P 在x 轴的负半轴上，直接写出点P 的坐标______；②若点P 在第二象限，且45PAO ∠=︒，求点P 的坐标；（2）设点(),0T t ，以T 为圆心，TA 长为半径作T e ，直线4y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点D 、E ，若直线4y x =-+上存在点P ，使得P 是点A 关于T e 的“倍距点”，求t 的取值范围．北京市东城区2023-2024学年度第一学期期中复习训练试卷考试时长120分钟，满分100分．一、选择题（本大题共8小题，共16分）1.如图所示图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.2.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，AC＝14m，则建筑物CD的高是（）A.17.5mB.17mC.16.5mD.18m【答案】A【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题．【详解】解：∵EB ⊥AC ，DC ⊥AC ，∴EB //DC ，∴△ABE ∽△ACD ，∴AB BEAC CD =，∵BE ＝1.5m ，AB ＝1.2m ，AC ＝14m ，∴1.2 1.514DC=，解得，DC ＝17.5（m ），即建筑物CD 的高是17.5m ，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质．3.已知1a <-，点()11,a y -，()2,a y ，()31,a y +都在函数22y x =-的图象上，则（）A.123y y y <<B.132y y y << C.213y y y << D.321y y y <<【答案】D【分析】先求出抛物线的对称轴，抛物线22y x =-的对称轴为y 轴，即直线=0x ，图象开口向上，当1a <-时，110a a a -+＜＜＜，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小，由此可判断123y y y ，，的大小关系．【详解】解：∵当1a <-时，110a a a -+＜＜＜，而抛物线22y x =-的对称轴为直线=0x ，开口向上，∴三点都在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，∴321y y y <<．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数0a ＞时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大；0a ＜时，在对称轴的左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小．4.若x =2是方程x 2+3x -2m =0的一个根,则m 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【详解】试卷解析：因为2x =为方程2320x x m +-=的一个根，所以将2x =代入方程得223220m +⨯-=，解得5m =，故本题应选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦.若∠BAD=24°，则C ∠的度数为（）A.24°B.56°C.66°D.76°【答案】C【分析】先求出∠B 的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可.【详解】∵AB 是⊙O 的直径∴90BDA ∠=︒∵∠BAD=24°∴180902466ABD ∠=︒-︒-︒=︒又∵AD AD=∴C BAD ∠=∠=66°故答案为：C.【点睛】本题考查了圆周角定理的推论:①在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等；②直径所对圆周角等于90°6.⊙O 的半径为7，点P 在⊙O 外，则OP 的长可能是（）A.4B.6C.7D.8【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系即可得出答案．【详解】解：∵⊙O 的半径为7，点P 在⊙O 外，∴OP>7，∵4、6、7都不符合，只有8符合．故答案为D ．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系：当点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；当点在圆上时，点到圆心的距离等于半径；当点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．7.如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝EC ；④∠A ＝∠EBC ；其中一定正确的是（）A.①②B.②③C.③④D.②③④【答案】C 【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．【详解】解：∵旋转，∴AC DC =，但是旋转角不一定是60︒，∴ACD 不一定是等边三角形，∴AC AD =不一定成立，即①不一定正确；∵旋转，∴BC EC =，故③正确；∵旋转，∴ACD BCE ∠=∠，∵等腰三角形ACD 和等腰三角形BCE 的顶角相等，∴它们的底角也相等，即A EBC ∠=∠，故④正确；∵90A ABC ∠+∠=︒不一定成立，∴90EBC ABC ∠+∠=︒不一定成立，∴AB EB ⊥不一定成立，即②不一定正确．故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．8.如图，边长为1的正方形网格中，O ，A ，B ，C ，D 是网格线交点，若弧AB 与弧CD 所在圆的圆心都为点O ，则阴影部分的面积为（）A.πB.2πC.3π22-D.2π2-【答案】C 【分析】利用整体减去部分求阴影部分面积，即扇形COD 减去扇形BOE 再减去BOD 的面积即可．【详解】解：如图所示：=BODCOD BOE S S S S -- 阴影部分扇形扇形2OB =OD ∴===4590COB COD ∠=︒∠=︒，(2902360COD S ππ∴=⨯⨯=扇形245123602BOES ππ=⨯⨯=扇形12222BOD S =⨯⨯= 13=22=222S πππ∴---阴影部分，故选C ．【点睛】本题主要考查整体减部分求不规则图形面积，熟练掌握扇形面积及三角形面积的计算是解决本题的关键．二、填空题（本大题共8小题，共16分）9.点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为_____．【答案】（1，3）【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【详解】解：点（﹣1，﹣3）关于原点的对称点的坐标为：（1，3）．故答案为：（1，3）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标，准确计算是解题的关键．10.若关于x 的方程2120x kx --=的一个根为2，则k 的值为______．【答案】4-【分析】将2x =代入方程可得一个关于k 的一元一次方程，解方程即可得．【详解】解：由题意，将2x =代入方程2120x kx --=得：221202k --=，解得4k =-，故答案为：4-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根、解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的定义是解题关键．11.如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转30︒得到ADE V ，点B 的对应点D 恰好落在边BC 上，则ADE ∠=____________．【答案】75︒##75度【分析】根据旋转的性质得到AD AB ADE B =∠=∠，，根据等腰三角形的性质得到ADB B ∠=∠，求得75ADE ADB ∠=∠=︒．【详解】解：由旋转的性质可知，AD AB ADE B =∠=∠，，30BAD ∠=︒，∴ADB B ∠=∠，∵30BAD ∠=︒，∴1(18040)752ADE ADB B ∠=∠=∠=⨯︒︒-=︒，故答案为：75︒．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．12.天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度．数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB 长2米，在太阳光下，它的影长BC 为1米，同一时刻，祈年殿的影长EF 约为19米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为米______米．【答案】38【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，进行解答即可．【详解】解：∵相同时刻的物高与影长成比例，∴DE EF AB BC =，即1921DE =解得38DE =．所以祈年殿DE 的高度为38米．故答案为：38．【点睛】本题考查了投影的知识，利用在同一时刻物高与影长的比相等的知识，考查利用所学知识解决实际问题的能力．13.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连接OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为____．【答案】80︒##80度【分析】根据切线的性质得AB AC ⊥，根据50C ∠=︒和三角形内角和定理得40ABC ∠=︒，又因为OB =OD ，所以40ABC BDO ∠=∠=︒，即可得．【详解】解：∵AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，∴AB AC ⊥，∴90BAC ∠=︒，∵50C ∠=︒，∴180180905040ABC BAC C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵OB =OD ，∴40ABC BDO ∠=∠=︒，∴404080AOD ABC BDO ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故答案为：80︒．【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角定理和三角形的外角性质，解题的关键是掌握这些知识点．14.抛物线2y ax bx c =++的对称轴及部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根为______．【答案】11x =-，23x =【分析】利用图象法可得11x =-，再根据抛物线的对称性求得23x =，即可求解．【详解】解：∵根据图象可得：抛物线与x 轴的交点为()1,0-∴11x =-，∵对称轴为1x =∴()22113x =⨯--=∴方程的解为11x =-，23x =，故答案为：11x =-，23x =．【点睛】本题考查了用图象法解一元二次方程的问题，掌握图象法解一元二次方程的方法、抛物线的性质是解题的关键．15.如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为点E ，连接OC ，若52OC AE ==，，则CD 等于___．【答案】8【分析】根据圆的性质可得OE OA AE =-，再根据CE =进而可求；【详解】解：∵AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，∴2CD CE =，∵52OC AE ==，，∴5OA =，∴523OE OA AE =-=-=，∴4CE ===，∴28CD CE ==．故答案为：8．【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．16.抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,A m ，且经过点()5,0B ，其部分图像如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①0abc <；②0a b c -+>；③40a b +=；④90m a +=；⑤若此抛物线经过点(),C t n ．则4t -一定是方程2ax bx c n ++=的一个根．其中所有正确结论的序号是______．【答案】①③④【分析】由抛物线开口和抛物线与y 轴交点，对称轴，判断①，由抛物线的对称性及经过点()5,0B 可判断②，由对称轴为2x =，得出4b a =-,即可判断③，由抛物线对称轴为直线2x =可得4b a =-,由0a b c -+=可得5c a =-,从而判断④，点C 对称点横坐标为4t -可判断⑤．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵b x 02a=->∴0b <，∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方，∴0c >，∴0abc >，①正确．∵抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,A m ，∴对称轴为2x =∵抛物线过点()5,0B ，∴由对称性可得抛物线经过点()1,0-，∴0a b c -+=，②错误，∵22b a-=，∴4b a =-，即40a b +=，故③正确∴50a c +=，∴5c a=-∵()2,A m 为抛物线顶点，∴42,a b c m ++=∴485a a a m --=,即90m a +=，④正确，∵点(),C t n 在抛物线上，∴点C 关于对称轴对称点（4,t n -）在抛物线上，∴4t -为2ax bx c n ++=的一个根，⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．三、解答题（本大题共12小题，共68分）17.解下列方程：（1）22150x x +-=（2）()()2220x x x -+-=【答案】（1）15x =-，23x =；（2）12x =，21x =．【分析】（1）用因式分解法即可求解；（2）用因式分解法即可求解；【小问1详解】解：22150x x +-=，()()530x x +-=，∴15x =-，23x =；【小问2详解】解：()()2220x x x -+-=，()()220x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，()()2220x x --=，∴12x =，21x =．【点睛】此题考查了解一元二次方程，选择合适的方法求解一元二次方程是本题的关键．18.已知AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点O ，若OA ＝2，OD ＝4，AB ＝3，（1）求证：△ABO ∽△DCO ；（2）求线段CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）线段CD 的长为6．【分析】（1）由AB ∥CD 得到∠A =∠D ，∠B =∠C ，根据相似三角形的判定方法得到△ABO ∽△DCO ；（2）利用相似三角形的性质可计算出CD ．【详解】（1）证明：∵AB ∥CD ，∴∠A =∠D ，∠B =∠C ，∴△ABO ∽△DCO ；（2）解：∵△ABO ∽△DCO ，∴AB OA CD OD =，即324CD =，∴CD =6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．19.若二次函数的图象经过()1,0-，()3,0，()0,3三点，求这个二次函数的解析式．【答案】223y x x =-++【分析】根据待定系数法设出解析式代入求解即可得到答案．【详解】解：设二次函数解析式为2y ax bx c =++，将()1,0-，()3,0，()0,3代入可得，09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴223y x x =-++．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据题意设出适合的解析式．20.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【答案】最大深度为2m【分析】根据题意作OD AB ⊥于E ，交O 于点D ，再利用勾股定理得出OE ，即可解答.【详解】解：作OD AB ⊥于E ，交O 于点D 12AE AB ∴=8AB = 4AE ∴=在Rt AEO ∆中，5AO =223OE OA AE ∴=-=2ED ∴=∴筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m【点睛】此题考查垂径定理，解题关键在于作辅助线利用勾股定理进行计算.21.已知关于x 的一元二次方程21=0x mx m -+-.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）1m <【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；（2）求方程两根，结合条件则可求得m 的取值范围．【详解】（1）2224()41(1)(2)b ac m m m ∆=-=--⨯⨯-=-，∵2(2)0m -≥，∴方程总有实数根；（2）∵2b b ac x a-=，∴1212m m x m +-==-，2212m m x -+==，∵方程有一个根为负数，∴10m -<，∴1m <．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．22.下面是小融设计的“过直线外一点作圆与这条直线相切”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P （如图1）．求作：⊙P ，使它与直线l 相切．作法：如图2，①在直线l 上任取两点A ，B ；②分别以点A ，点B 为圆心，AP ，BP 的长为半径画弧，两弧交于点Q ；③作直线PQ ，交直线l 于点C ；④以点P 为圆心，PC 的长为半径画⊙P ．所以⊙P 即为所求．根据小融设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AP ，AQ ，BP ，BQ ．∵AP＝，BP＝，∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，∴⊙P与直线l相切（）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2）AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【分析】（1）按照题目要求作图即可；（2）根据垂直平分线的性质和切线的判定填写即可．【详解】（1）如图所示，；（2）证明：连接AP，AQ，BP，BQ．∵AP＝AQ，BP＝BQ，∴点A，点B在线段PQ的垂直平分线上．∴直线AB是线段PQ的垂直平分线．∵PQ⊥l，PC是⊙P的半径，∴⊙P与直线l相切（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：AQ；BQ；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的判定和性质，圆的性质，切线的判定，掌握知识点并且灵活运用是解题关键．23.如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠墙（墙长8m），隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长．（1）设垂直于墙的一边AB 长度为m x ，整个隔离区的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）求整个隔离区的面积的最大值．【答案】（1）2312S x x =-+，443x <≤（2）212m 【分析】（1）设垂直于墙的一边为m x ，则平行于墙的一面的长为()123m x -，然后根据长方形面积公式进行求解即可；（2）利用二次函数的性质进行求解即可．【小问1详解】设垂直于墙的一边为m x ，则平行于墙的一面的长为()123m x -，∴312x <，且1238x -≤，∴443x <≤，∴()2123312S x x x x =-=-+，∴自变量的取值范围是：443x <≤【小问2详解】∵()()22231234443212S x x x x x =-+=--+-=--+，∵30-<，443x <≤，∴当2x =时，S 有最大值，最大值为：12，∴隔离区面积最大为212m ．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出S 与x 的关系式．24.如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°，画出旋转后的11AB C △；（2）在变换的过程中，求点B 经过的路径1B B 的长度．【答案】（1）见解析（2）点B 的移动路径长52π=．【分析】（1）利用网格特点和性质的性质画出B 、C 的对应点1B 、1C 即可；（2）先利用勾股定理计算出AB ，然后利用弧长公式计算点B 的移动路径长．【小问1详解】解：如图，11AB C △为所作；；【小问2详解】解：22345AB =+=，所以点B 的移动路径长90551802ππ⋅⋅==．【点睛】本题考查了作图-旋转变换：旋转图形的作法：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．还考查了弧长公式．25.在Rt ABC ∆中，90,20cm,15cm ∠=︒==C AC BC ，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s ，点O 的速度是2cm/s ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（05t ≤≤）．设运动时间为t 秒，求：（1）用含t 的代数式表示CQ ，CP ；（2）当t 为多少时，PQ 的长度等于？（3）当t 为多少时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似？【答案】（1）CQ =2t cm ，CP =(20-4t )cm ，0≤t ≤5；（2）2；（3）3或4011．【分析】(1)先由运动知，CQ =2t cm ，CP =(20-4t )cm ，再确定出0≤t ≤5；(2)利用勾股定理得出222(204)(2)t t =-+，解方程，即可得出结论；(3)分①△CPQ ∽△CA B 和②△CPQ ∽△CBA ，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【小问1详解】由运动知，AP =4t cm ，CQ =2t cm ，AC =20cm ，∴CP =(20-4t )cm ，点P 在AC 上运动，∴4t ≤20，即t ≤5，点Q 在BC 运动，∴2t ≤15，∴t ≤7.5，∴0≤t ≤5，故答案为：CQ =2t cm ，CP =(20-4t )cm ，0≤t ≤5；【小问2详解】在Rt △PCQ 中，根据勾股定理得，222PQ CP CQ +=，222(204)(2)t t ∴=-+，解得：2t =或6t =(舍去)，故答案为：2；【小问3详解】以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，且∠C =∠C =90°，∴①△CPQ ∽△CAB ，CP CQ AC BC ∴=，20422015t t -∴=，∴t =3，②△CPQ ∽△CBA ，CP CQ BC AC ∴=，20421520t t -∴=，4011t ∴=，即当t 为3或4011时，以点C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似，故答案为：3或4011．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．26.如图，已知O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D 是AB 延长线的一点，AE CD ⊥交DC 的延长线于E ，CF ⊥AB 于F ，且CE ＝CF ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若AB ＝6，BD ＝3，求AE 和BC 的长．【答案】（1）证明见解析（2）932AE BC ==，【分析】（1）如图，连接OC ，证明()Rt AEC Rt AFC HL ≌，则EAC FAC ∠=∠，ACO FAC ∠=∠，可得90ECA ACO ∠+∠=︒，OC AE ⊥，进而结论得证；（2）由ACO OCB OCB BCD ∠+∠=∠+∠，可得ACO BCD ∠=∠，由CAD ACO ∠=∠可得CAD BCD ∠=∠，证明BCD CAD ∽△△，则BD CD CD AD =即363CD CD =+，求出CD =333cos 62CD CDO OD ∠===，可知30CDO ∠=︒，60EAF ∠=︒，1302FAC EAC EAF ∠=∠=∠=︒，3cos 2AC AF CAB AB AC ∠===，可求AC 与AF 的值，由60ABC BCD D ∠=︒=∠+∠，可得30BCD ∠=︒，BC BD =，进而可求BC 的值．【小问1详解】证明：如图，连接OC由题意知，90ACB ∠=︒，90AEC AFC ∠=∠=︒在Rt AEC 和Rt AFC V 值∵AC ACCE CF=⎧⎨=⎩∴()Rt AEC Rt AFC HL ≌∴EAC FAC∠=∠∵OA OC=∴ACO FAC∠=∠∵90EAC ECA ∠+∠=︒∴90ECA ACO ∠+∠=︒∴OC AE⊥又∵OC 是半径∴DE 是O 的切线．【小问2详解】解：∵90ACB OCD ∠=∠=︒∴ACO OCB OCB BCD∠+∠=∠+∠∴ACO BCD∠=∠∵CAD ACO∠=∠∴CAD BCD∠=∠又∵BDC CDA∠=∠∴BCD CAD∽△△∴BD CD CD AD =即363CD CD =+解得CD =∵6OD =，333cos 62CD CDO OD ∠===∴30CDO ∠=︒∴60COD ∠=︒∵OC AE∥∴60EAF ∠=︒∴1302FAC EAC EAF ∠=∠=∠=︒∵cos AC AF CAB AB AC ∠==∴362AC AF AC ==解得AC =92AF =∵60ABC BCD D∠=︒=∠+∠∴30BCD ∠=︒∴3BC BD ==∴AF 的长为92，BC 的长为3．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦值，含30°的直角三角形，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．27.在ABC 中，90ABC ∠=︒，BA BC =，点D 为线段AC 上一点，将线段BD 绕点B 顺时针旋转90︒，得到线段BE ，连接DE ．（1）①请补全图形：②直接写出,,CD AD ED 之间的数量关系____________；（2）取AD 中点F ，连接BF 、CE ，猜想CE 与BF 的位置关系与数量关系，并证明．【答案】（1）图见解析，222AD CD DE +=（2）2CE BF =，CE BF ⊥，证明见解析【分析】（1）如图，连接AE ，证明BCD BAE ≌，得到，AE CD =，BAE C ∠=∠，推出=90DAE ∠︒，即可得出,,CD AD ED 之间的数量关系；（2）如图，设BF 交CE 于H ，延长BF 至G ，使GF BF =，连接AG ，证明()SAS BCD BAE ≌和()SAS GAB EBC ≌，即可得证．【小问1详解】解：①补全图形如下：②连接AE ，∵将线段BD 绕点B 顺旋转90︒，得到线段BE ，∴90DBE ∠=︒，BD BE =，∵90CBA ∠=︒，∴CBD DBA ABE DBA ∠+∠=∠+∠，∴CBD ABE ∠=∠，又∵AB BC =，∴()SAS BCD BAE ≌，∴AE CD =，BAE C ∠=∠，∵90C CAB ∠+∠=︒，∴90BAE CAB ∠+∠=︒，即：=90DAE ∠︒，∴222AD AE DE +=，∴222AD CD DE +=；【小问2详解】2,CE BF CE BF =⊥，证明如下：如图，设BF 交CE 于H ，延长BF 至G ，使GF BF =，连接AG ，∵F 是AD 中点，∴AF DF =，∵FG BF =，AFG DFB ∠=∠，∴()SAS AFG DFB ≌，∴GAF FDB AG BD ∠=∠=，，∵BD BE =，∴AG BE =，∵90ABC ∠=︒，BA BC =，∴45BCD CAB =∠=︒，∴45FDB DBC DCB DBC ∠=∠+∠=∠︒＋，∴45GAF DBC ∠+∠=︒，∴454590GAB GAF BAC DBC DBC ∠︒=+=∠∠∠+︒∠+=+︒∵90CBE DBC DBE DBC ∠=∠+∠=∠︒＋∴GAB CBE ∠=∠，∵AB BC =，∴()SAS GAB EBC ≌，∴BG CE ABG BCE =∠=∠，，∵2BG BF =，∴2CE BF =，∵90ABG GBC ∠+∠=︒，∴90BCE GBC ∠=∠+︒，∴90BHC ∠=︒，∴CE BF ⊥．【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．28.对于C 与C 上一点A ，若平面内的点P 满足：射线AP 与C 交于点Q ，且2PA QA =，则称点P 为点A关于C 的“倍距点”．已知平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是()20，．（1）如图1，点O 是坐标原点，O 的半径是2，点P 是点A 关于O 的“倍距点”①若点P 在x 轴的负半轴上，直接写出点P 的坐标______；②若点P 在第二象限，且45PAO ∠=︒，求点P 的坐标；（2）设点(),0T t ，以T 为圆心，TA 长为半径作T e ，直线4y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点D 、E ，若直线4y x =-+上存在点P ，使得P 是点A 关于T e 的“倍距点”，求t 的取值范围．【答案】（1）①()60-，②点P 的坐标()24-，；（2）满足条件的t 的值为1t ≤或1t ≥+．【分析】（1）①②根据点P 为点A 关于C 的“倍距点”的定义，画出图形解决问题即可；（2）取AD 的中点N ()30，，过点N 作NK DE ∥交y 轴于点K ．当点T 在点A 的左侧与直线NK 相切于点M 时，作射线AM 交直线DE 于点P ，此时2PA AM =，存在点P ，使得P 是点A 关于T e 的“倍距点”，再结合图形，可得结论．当点T 在点A 的右侧与直线NK 相切于点M 时，作射线AM 交直线DE 于点P ，此时2PA AM =，存在点P ，使得P 是点A 关于T e 的“倍距点”，同法可得结论．【小问1详解】解：①如图1中，当点P 在x 轴的负半轴上时，4QP AQ ==，。
北京二中教育集团2021—2022学年度第一学期初三数学期中试卷
北京二中教育集团2021—2022学年度第一学期初三数学期中考试试卷考查目标1．知识：人教版九年级上册《一元二次方程》、《旋转》、《二次函数》、《圆》（部分）．2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，几何作图能力，数形结合能力．学业成绩考生须知1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷6页，答题卡8页。
全卷共三大题，28道小题。
2．本试卷满分100分，考试时间120分钟。
3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号。
4．考试结束，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题 共16分）一、选择题（以下每题只有一个．．．．正确的选项，每小题2分，共16分） 1．随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．班级姓名考号座位号密 封 线 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2．二次函数2(1)2y x =+-的最小值是（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2- 3．将抛物线221y x =-向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）A ．()2213y x =+- B ．()2211y x =-+ C ．()2213y x =--D ．()2211y x =++4．关于x 的一元二次方程22(2)40a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A ．2或 2 B ．2 C ．2 D ．125．方程x 2-2x -3=0的一个实数根为m ,则2022-m 2+2m 的值是( )A ．2022B ．2021C ．2020D ．20196．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,3)，点 B 的坐标为(2,1)，点C 的坐标为(2,-3)，经画图操作，可知△ABC 的外心的坐标应是（ ） A ．(0,0) B ．(1,0) C ．(-2, -1) D ．(2,0)7．如图，直线12y x =和抛物线224y x x =-+，当12y y >时，x 的取值范围是（ ） A ．02x << B ．02x x <>或C ．04x <<D ．04x x <>或8．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，BC 的长y 米，菜园的面积为S (单位：平方米) ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系xyy 2y 1O第Ⅱ卷（非选择题 共84分）二、填空题（每小题2分，共16分）9．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y 轴交于点(0,2)，这个二次函数的解析式可以是 ．10．如图，在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，∠A=50°，则∠BOC= °．11．若关于x 的一元二次方程2(1)10k x x -++=有实数根，则k 的取值范围是 ．12．近年来某县加大了对教育经费的投入，2019年投入2500万元，2021 年预计投入3500万元；假设该县投入教育经费的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为 ．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC =3，点D 在AC 上，且AD =2，将点D 绕着点A 顺时针方向旋转，使得点D 的对应点E 恰好落在AB 边上，则旋转角的度数为 ，CE 的长为 ．14．在半径为2的⊙O 中，弦AB 的长为2，则弦AB 所对的圆周角的度数为 ．15．已知二次函数2y x =，当12x -≤≤时，函数值y 的取值范围是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,0)，B (3,0)，C 为平面内的动点，且满足∠ACB =90°，D 为直线y =x 上的动点，则线段CD 长的最小值为 ．E ABDxyy =x AOBCD三、解答题（共68分，第17题5分，第18-19题，每题4分，第20-22题，每题5分，第23-25题，每题6分，第26-27题，每题7分，第28题8分） 17．计算：02sin 60122(π+--．18．解方程：2531x x x -=+．19．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60°”的尺规作图过程．已知：⊙O ．求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于⊙O ，且其对角线AC ，BD 的夹角为60°．作法：如图， ①作⊙O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧,交直线AC 上方的圆弧于点B ； ③连接BO 并延长交⊙O 于点D ； ④连接AB ，BC ，CD ，DA .所以四边形ABCD 就是所求作的矩形 根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；（2）完成下面的证明证明：∵点A ，C 都在⊙O 上，∴OA=OC ． 同理OB=OD ．∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠ABC =90°( )(填推理的依据) ．∴四边形ABCD 是矩形． ∵AB = =BO ， ∴∠AOB =60°．∴四边形ABCD 是所求作的矩形．密 封 线-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------CA20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5 m 为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB 长为8m ，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．21．已知二次函数223y x x =+-．（1）将二次函数化成k h x a y +-=2)(的形式； （2）在平面直角坐标系中画出223y x x =+-的图象； （3）结合函数图象，直接写出0>y 时x 的取值范围．班级 姓名考号座位号密 封 线 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------图1 图222．在刚刚结束的校运动会的实心球比赛中，小宇在决赛中，实心球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知实心球出手处A 距离地面的高度是95米，当实心球运行的水平距离为4米时，达到最大高度5米的B 处．小宇此次投掷的成绩是多少米？23．已知：关于x 的方程2(3)30mx m x +--=（m 为实数，m ≠0）．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值． 24．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +b （k ≠0）的图象由函数12y x =的图象向下平移2个单位长度得到．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x ＞-4时，对于x 的每一个值，函数y ＝mx （m ≠0）的值大于一次函数y ＝kx +b 的值，直接写出m 的取值范围．25．如图，AB 是⊙O 直径，点C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线CG ，过点B 作CG 的垂线，垂足为点D ，交⊙O 于点E ，连接CB .（1）求证：CB 平分∠ABD ； （2）若BC =5，BD =3，求AB 长．BAxyO GE BA O26．已知二次函数2(0)y ax bx a =+≠，其对称轴为直线x=t ． （1）当a =1，b =4时，t = ；（2）当a <0时，若点A (1，m )，B (5，n )在此二次函数图象上，且m <n ，则t 的取值范围是 ；（3）已知点C (0，a )，D (2，3a -2b )，若此二次函数图象与线段CD 有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．27．在ABC ∆中，90ACB AC BC ∠=︒=，，G 是AB 边上一点，过点G 作射线CP ，过点A 作AM CP M ⊥于点，过点B 作BN CP N ⊥于点，取AB 中点O ，连接ON ．（1）①依题意在图1中补全图形；②求证：CM=BN ；（2）猜想线段AM ，BN ，ON 的数量关系，并证明；（3）当∠BCP =22.5°时，若ON =1，则GN 的值为 ．备用图 图1GPCBAGPCB A28．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为一定点，点P 和图形W 的“旋转中点”定义如下：点Q 是图形W 上任意一点，将点Q 绕原点顺时针旋转90°，得到点Q '，点M 为线段P Q '的中点，则称点M 为点P 关于图形W 的“旋转中点”． （1）如图1，已知点A (0,4)，B (2,0)-，C (0,2)，①在点(0,3)H ，(1,1)G ，(2,2)N 中，点 是点A 关于线段BC 的“旋转中点”；②求点A 关于线段BC 的“旋转中点”的横坐标m 的取值范围；（2）已知点D (,0)t ，E (2,0)t +，F (3,0)，⊙O 的半径为2．若⊙O 的内部（不包括边界）存在点F 关于线段DE 的“旋转中点”，求出t 的取值范围．xyCBA 1234–1–2–3–41234–1–2–3–4O密 封 线-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------图1备用图。
2020-2021九年级数学上期中一模试卷及答案(4)
2020-2021九年级数学上期中一模试卷及答案(4)一、选择题1．方程x 2+x-12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=32．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点A ，连接OD ，OE ，如果40DOE ∠=︒，那么A ∠的度数为（ ）A ．35°B ．40°C ．60°D ．70° 3．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定4．如图，已知⊙O 的半径为5，锐角△ABC 内接于⊙O ，BD ⊥AC 于点D ，AB=8，则tan ∠CBD 的值等于（ ）A ．43B ．45C ．35D ．345．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65° 6．方程2(2)9x -=的解是（ ）A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 7．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①c ＞0；②若点B （32-，1y ）、C （52-，2y ）为函数图象上的两点，则12y y <； ③2a ﹣b=0； ④244ac b a-＜0，其中，正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．下列交通标志是中心对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．9．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．在平面直角坐标系中，点A （m ，2）与点B （3，n ）关于y 轴对称，则（ ） A ．m ＝3，n ＝2 B ．m ＝﹣3，n ＝2 C ．m ＝2，n ＝3 D ．m ＝﹣2，n ＝﹣311．在一个不透明的袋子中装有5个黑球和3个白球，这些球的大小、质地完全相同，随机地从袋子中摸出4个球，下列事件是必然事件的是（ ）．A ．摸出的4个球中至少有一个球是白球B ．摸出的4个球中至少有一个球是黑球C ．摸出的4个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的4个球中至少有两个球是白球 12．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x += D ．()247x += 二、填空题13．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2.14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．15．写出一个二次函数的解析式，且它的图像开口向下，顶点在y轴上______________ 16．新园小区计划在一块长为20米，宽12米的矩形场地上修建三条互相垂直的长方形甬路（一条橫向、两条纵向，且横向、纵向的宽度比为3：2），其余部分种花草．若要使种花草的面积达到144米2．则横向的甬路宽为_____米．17．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为__．18．如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点Q，且PQ=OQ，则满足条件的∠OCP的大小为_______．19．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是3cm，则圆锥侧面积是_________.20．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为__．三、解答题21．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？22．一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球,其中红球有x个,白球有2x个,其他均为黄球,现甲从布袋中随机摸出一个球,若是红球则甲同学获胜,甲同学把摸出的球放回并搅匀,由乙同学随机摸出一个球,若为黄球,则乙同学获胜.(1)当x=3时,谁获胜的可能性大?(2)当x为何值时,游戏对双方是公平的?23．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．24．如图，已知抛物线y=2x +mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．25．如图，ABO与CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．求证：FD=BE．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D【解析】试题分析：将x2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论．x2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0，则x+4=0，或x﹣3=0，解得：x1=﹣4，x2=3．考点：解一元二次方程-因式分解法2．D解析：D【解析】【分析】连接CD，由圆周角定理得出∠BDC＝90°，求出∠DCE＝20°，再由直角三角形两锐角互余求解即可，【详解】解：连接CD，如图，∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠DOE＝40°，∴∠DCE＝20°，∴∠A＝90°−∠DCE＝70°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．3．C解析：C【解析】【分析】把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．【详解】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∴M-N＜0，∴M＜N．故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．4．D解析：D【解析】过B作⊙O的直径BM，连接AM，则有：∠MAB=∠CDB=90°，∠M=∠C，∴∠MBA=∠CBD，过O作OE⊥AB于E，Rt△OEB中，BE=12AB=4，OB=5，由勾股定理，得：OE=3，∴tan∠MBA=OEBE=34，因此tan∠CBD=tan∠MBA=34，故选D．5．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.6．A解析：A【分析】此方程已经配方，根据解一元二次方程的步骤解方程即可.【详解】()229x -＝，故x －2＝3或x －2＝－3，解得：x 1＝5，x 2＝－1，故答案选A.【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的基本解法，这是很简单的解方程，难度不大.7．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，①正确；∵对称轴为直线x=﹣1，∴x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大，∴y 1＞y 2②错误；∵对称轴为直线x=﹣1， ∴﹣2b a=﹣1， 则2a ﹣b=0，③正确；∵抛物线的顶点在x 轴的上方， ∴244ac b a-＞0，④错误； 故选B.8．C解析：C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．【详解】解：A 、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；B 、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；C 、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；D 、不是中心对称的图形，不合题意．故选C ．【点睛】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．9．B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．10．B解析：B【解析】【分析】根据“关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相同”解答．【详解】∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2．故选：B．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．B解析：B【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．【详解】解：A、是随机事件，故A选项错误；B、是必然事件，故B选项正确；C、是随机事件，故C选项错误；D、是随机事件，故D选项错误．故选B．本题考查随机事件．12．D解析：D【解析】【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】2890x x++=，289x x+=-，2228494x x++=-+，所以()247x+=，故选D.【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.二、填空题13．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y随x值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 15．【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足由此举例得出答案即可【详解】解：设所求二次函数解析式为：∵图象开口向下∴∴可取∵顶点在轴上∴对称轴为∴∵顶点的纵坐标可取任意实数∴取任意实数∴可取∴二 解析：2y x =-【解析】【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足0a <、02b a-=，由此举例得出答案即可． 【详解】 解：设所求二次函数解析式为：2y ax bx c =++∵图象开口向下∴0a <∴可取1a =-∵顶点在y 轴上 ∴对称轴为02b x a =-= ∴0b =∵顶点的纵坐标可取任意实数∴c 取任意实数∴c 可取0∴二次函数解析式可以为：2y x =-．故答案是：2y x =-【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，涉及到的知识点有：二次函数2y ax bx c =++的顶点坐标为24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；对称轴为2b x a =-；当0a >时，抛物线开口向上、当0a <时，抛物线开口向下；二次函数的图象与y 轴交于()0,c ．16．3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x 米则纵向的甬路宽为2x 米由剩余部分的面积为144米2即可得出关于x 的一元二次方程解之取其较小值即可得出结论【详解】设横向的甬路宽为3x 米则纵向的甬路宽为2x 米根解析：3【解析】【分析】设横向的甬路宽为3x 米，则纵向的甬路宽为2x 米，由剩余部分的面积为144米2，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】设横向的甬路宽为3x 米，则纵向的甬路宽为2x 米，根据题意得：（20﹣2×2x ）（12﹣3x ）=144整理得：x 2﹣9x +8=0，解得：x 1=1，x 2=8．∵当x =8时，12﹣3x =﹣12，∴x =8不合题意，舍去，∴x =1，∴3x =3．故答案为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17．135°【解析】分析：如图连接EC 首先证明∠AEC=135°再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题详解：如图连接EC ∵E 是△ADC 的内心∴∠AEC=90°+∠ADC=135°在△AEC 和△AEB 中∴△解析：135°．【解析】分析：如图，连接EC ．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC ≌△EAB 即可解决问题. 详解：如图，连接EC ．∵E 是△ADC 的内心，∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°， 在△AEC 和△AEB 中， AE AE EAC EAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAC ≌△EAB ，∴∠AEB=∠AEC=135°，故答案为135°．点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．18．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°19．【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=【详解】根据圆锥的侧面积公式：底面半径是2cm 母线长是3cm 的圆锥侧面积为故答案是：【点睛】本题考查圆锥的侧面积解题的关键是记住圆锥是侧面积公式解析：26cm π【解析】【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2=RL π．【详解】根据圆锥的侧面积公式：RL π底面半径是2cm ，母线长是3cm 的圆锥侧面积为 236ππ⨯⨯=故答案是：26cm π【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键是记住圆锥是侧面积公式．20．3【解析】连接OB∵六边形ABCDEF 是⊙O 内接正六边形∴∠BOM==30°∴OM=OB•cos∠BOM=6×=3故答案为：3解析：33 【解析】 连接OB ，∵六边形ABCDEF 是⊙O 内接正六边形，∴∠BOM=36062︒⨯ =30°， ∴OM=OB•cos∠BOM=6×3 =33， 故答案为：33.三、解答题21．（1）月销售量450千克，月利润6750元；（2）销售单价应定为80元/千克【解析】【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量，即可求解；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x 元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）月销售量为：500﹣5×10＝450（千克），月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．（2）设单价应定为x元，得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得：x1＝60，x2＝80．当x＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．22．（1）当x=3时，B同学获胜可能性大（2）当x=4时，游戏对双方是公平的【解析】【分析】（1）比较A、B两位同学的概率解答即可.（2）根据游戏的公平性，列出方程解答即可.【详解】（1）A同学获胜可能性为，B同学获胜可能性为，因为＜，当x＝3时，B同学获胜可能性大.（2）游戏对双方公平必须有：，解得x＝4，所以当x＝4时，游戏对双方是公平的.【点睛】本题主要考查随机事件的概率的概念.23．60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】【分析】根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1；（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．【详解】解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个， 第3个点阵中有：3×6+1=17个， 第4个点阵中有：4×9+1=37个， 第5个点阵中有：5×12+1=61个， …第n 个点阵中有：n×3（n ﹣1）+1=3n 2﹣3n+1， 故答案为61，3n 2﹣3n+1；（2）3n 2﹣3n+1=271，n 2﹣n ﹣90=0，（n ﹣10）（n+9）=0，n 1=10，n 2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【点睛】本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．24．(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.【解析】【分析】（1）首先把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3，利用待定系数法即可求得m 的值，继而求得抛物线的顶点坐标；（2）首先连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC 的解析式，继而求得答案．【详解】解：（1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线y=2x -+mx+3得：0=23-+3m+3， 解得：m=2，∴y=2x -+2x+3=()214x --+，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，∵点C （0，3），点B （3，0）， ∴033k b b =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质．25．详见解析【解析】【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．【详解】证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．∵AF=CE，∴OF=OE．∵在△DOF和△BOE中，OB ODDOF BOEOF OE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．。
2020-2021学年度九年级(上)期中数学试卷 (附答案)
2020-2021学年度九年级（上）数学期中试卷（附答案）一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共18分）1．（3分）如下图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，A、B、C三点在圆O上，∠B＝36°，则∠A O C的度数为（）A．36°B．54°C．72°D．90°3．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）4．（3分）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AP上运动，则OP的最小值是（）A．2B．3C．4D．55．（3分）已知函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，（x，2017）、（x，2017）是12该函数图象上的两个点，则当x=122时，函数值y＝（A．﹣2017B．c C．0）D．c﹣20176．（3分）下表中所列x，y的数值是某二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x＜x＜x＜x＜x＜x＜x，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（）①a 1234567＞0；②9＜m＜16；③k≤9；④b2≤4a（c﹣k）x… (x1x2)mx3x4kx5x6mx7……y169916 A．①②B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）函数y=√3−中，自变量x的取值范围是．8．（3分）如图，将正三角形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正三角形重合，那么旋转的角度至少是度．9．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根分别是x，x，那么（1+x）（1+x）的值1212是．10．（3分）如图，将△AB C绕点A逆时针方向旋转到△A DE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠B＝125°，∠E＝30°，则∠α＝°．11．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，有下列结论：．①二次三项式ax2++的最大值为4；②4+2+＜0；③一元二次方程2++＝1的bx c a b c ax bx c 两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．x2﹣2x﹣15＝0．̂̂14．（6分）如图，在⊙O中，=A40D，∠＝°，求∠的度数．15．（6分）如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽1度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池41面积的，求道路的宽．616．（6分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B′落到BC边上，∠B＝50°．求∠CB′C′的度数．17．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的解析式；（2）填空：该抛物线的对称轴是；顶点坐标是；当x＝时，y随x的增大而减小．18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BA D是它的个外角，OP⊥B C交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的角平分线AF；（2）在图2中，画出△ABC的外角∠BA D的角平分线A G．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2＝0．（1）不解方程，判别方程的根的情况；（2）方程有两个不相等的正整数根时，求整数a的值．20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且O D∥B C，O D与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CA D的度数；（2）若AB＝4，A C＝3，求DE的长．21．（8分）如图，△OB D中，O D＝B D，△OB D绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OA C，此时B，D，C三点正好在一条直线上，且点D是B C的中点．（1）求∠C O D度数；（2）求证：四边形O D A C是菱形．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．。
2020-2021北京市初三数学上期中试题含答案
2020-2021北京市初三数学上期中试题含答案一、选择题1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与x的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c-n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．44．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°5．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2x﹣3的图象如图所示，点A（x1，y1），B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，其中﹣3≤x1＜x2≤0，则下列结论正确的是（）A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 的最小值是﹣3D ．y 的最小值是﹣46．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -=B ．213()24x +=C ．215()24x += D ．215()24x -= 7．如图，将三角尺ABC （其中∠ABC=60°，∠C=90°）绕点B 按逆时针方向转动一个角度到△A 1BC 1的位置，使得点A 1、B 、C 在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 8．若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+5x+m 2﹣5m+4=0有一个根为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．1或4C ．4D ．09．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠ 10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 12．有两个一元二次方程2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中，0ac ≠，a c ≠，下列四个结论中错误的是（ ） A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数B ．如果4是方程M 的一个根，那么14是方程N 的另一个根 C ．如果方程M 有两根符号相同，那么方程N 的两符号也相同D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x二、填空题13．如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B ＝120°，OA ＝1，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°至OA 'B ′C '的位置，则点B '的坐标为_____．14．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC 与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动上面的三角尺ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C′间的距离是_____．15．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.16．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2.17．已知、是方程的两个根，则代数式的值为______.18．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；19．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm 20．已知x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，则1211+x x ＝_____． 三、解答题21．某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组（x 表示成绩，单位：分），A 组：75≤x ＜80；B 组：80≤x ＜85；C 组：85≤x ＜90；D 组：90≤x ＜95；E 组：95≤x ＜100．并绘制出如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（1）参加初赛的选手共有 名，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，C 组对应的圆心角是多少度？E 组人数占参赛选手的百分比是多少？ （3）学校准备组成8人的代表队参加市级决赛，E 组6名选手直接进入代表队，现要从D 组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．22．某商场经销一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题．（1）当销售单价定为每千克55元，计算月销售量和月销售利润；（2）商场计划在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？23．解方程：2220x x +-=.24．在2017年“KFC ”篮球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）25．今年5月份，我市某中学开展争做“五好小公民”征文比赛活动，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划分为A ，B ，C ，D 四个等级，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图： 等级成绩（s ） 频数（人数） A90＜s≤100 4 B80＜s≤90 x C70＜s≤80 16 D s≤70 6根据以上信息，解答以下问题：（1）表中的x= ；（2）扇形统计图中m= ，n= ，C 等级对应的扇形的圆心角为 度；（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人做为学校“五好小公民”志愿者，已知这四人中有两名男生（用a 1，a 2表示）和两名女生（用b 1，b 2表示），请用列表或画树状图的方法求恰好选取的是a1和b1的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.故选B．考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．2．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．3．C解析：C【解析】【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.4．D解析：D【解析】试题解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．5．D解析：D【解析】试题分析：抛物线y=x2+2x﹣3与x轴的两交点横坐标分别是﹣3、1；抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4），对称轴为x=﹣1．选项A，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项B，无法确定点A、B离对称轴x=﹣1的远近，无法判断y1与y2的大小，该选项错误；选项C，y的最小值是﹣4，该选项错误；选项D，y 的最小值是﹣4，该选项正确．故答案选D.考点：二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．6．C解析：C【解析】【分析】本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.【详解】解：2x+x=12x+x+14=1+14 215()24x+=.故选C【点睛】考点：配方的方法.7．D解析：D【解析】根据题意旋转角为∠ABA1，由∠ABC=60°，∠C=90°，A、B、C1在同一条直线上，得到∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°解：旋转角为∠ABA1，∵∠ABC=60°，∠C=90°，∴∠ABA1=180°-∠A1BC1=180°-60°=120°；故答案为D点评：本题考查了弧长的计算公式：l=n R180π，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．8．C解析：C【解析】【分析】先把x ＝0代入方程求出m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m 的值．【详解】解：把x ＝0代入方程得m²−5m ＋4＝0，解得m ₁＝4，m ₂＝1，而a−1≠0，所以m ＝4．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．注意一元二次方程的定义．9．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯，解得：116k ，此时116k 且0k ≠； 综上，116k．故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．11．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．12．D【解析】【分析】分别根据判别式的意义、方程根的意义、根与系数的关系进行分析判断即可．【详解】解：A、∵方程M有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＞0，∵方程N的△＝b2−4ac＞0，∴方程N也有两个不相等的实数根，故不符合题意；B、把x＝4代入ax2＋bx＋c＝0得：16a＋4b＋c＝0，∴110 164c b a++=，∴即14是方程N的一个根，故不符合题意；C、∵方程M有两根符号相同，∴两根之积ca＞0，∴ac＞0，即方程N的两根之积＞0，∴方程N的两根符号也相同，故本选项不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根也可以是x＝－1，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】首先连接OBOB′过点B′作B′E⊥x轴于E由旋转的性质易得∠BOB′＝105°由菱形的性质易证得△AOB是等边三角形即可得OB′＝OB＝OA＝1∠AOB＝60°继而可求得∠AOB′解析：【解析】【分析】首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′＝105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′＝OB＝OA＝1，∠AOB ＝60°，继而可求得∠AOB′＝45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案．【详解】连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，根据题意得：∠BOB′＝105°，∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB，∠AOB＝12∠AOC＝12∠ABC＝12×120°＝60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB＝OA＝1，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝105°﹣60°＝45°，OB′＝OB＝1，∴OE＝B′E＝OB′•sin45°＝1×22 22，∴点B′的坐标为：（22，﹣22）．故答案为：（22，﹣22）．【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系，辅助的正确作出是解题的关键.14．5【解析】【分析】连接CC1根据M是ACA1C1的中点AC=A1C1得出CM=A1M=C1M=AC=5再根据∠A1=∠A1CM=30°得出∠CMC1=60°△MCC1为等边三角形从而证出CC1=CM解析：5【解析】【分析】连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=12AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．【详解】解：如图，连接CC1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，∴CM=A1M=C1M=12AC=5，∴∠A1=∠A1CM=30°，∴∠CMC1=60°，∴△CMC1为等边三角形，∴CC1=CM=5，∴CC1长为5．故答案为5．考点：等边三角形的判定与性质．15．20【解析】【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x因为经过两年时间让市区绿地面积增加44则有（1+x）2=1+44解这个方程即可求出答案【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x根据题意得（1解析：20%【解析】【分析】本题可设这两年平均每年的增长率为x，因为经过两年时间，让市区绿地面积增加44%，则有（1+x）2=1+44%，解这个方程即可求出答案．【详解】解：设这两年平均每年的绿地增长率为x，根据题意得，（1+x）2=1+44%，解得x1=-2.2（舍去），x2=0.2．答：这两年平均每年绿地面积的增长率为20%．故答案为20%【点睛】此题考查增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，增长用+，减少用-．但要注意解的取舍，及每一次增长的基础．16．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S 侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.17．【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0b2-b-3=0即a2=a+3b2=b+3则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5整理解析：【解析】【分析】根据一元二次方程解的定义得到a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5，整理得2a2-2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．【详解】∵a，b是方程x2-x-3=0的两个根，∴a2-a-3=0，b2-b-3=0，即a2=a+3，b2=b+3，∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）-11a-b+5=2a2-2a+17=2（a+3）-2a+17=2a+6-2a+17=23．18．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x第一次降价后价格变为100（1-x）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x）（1-x）即100（1-x）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x，第一次降价后价格变为100（1-x）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x）（1-x），即100（1-x）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（1-x）2元．根据题意，得100（1-x）2=64，即（1-x）2=0.64，解得x1=1.8，x2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．19．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1； 所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半． 20．-【解析】【分析】利用根与系数的关系可得出x1+x2=1x1•x2=-3将其代入=中即可得出结论【详解】∵x1x2是方程x2﹣x ﹣3＝0的两根∴x1+x2＝1x1•x2＝﹣3∴＝＝＝﹣故答案为：﹣【解析：-13【解析】【分析】 利用根与系数的关系可得出x 1+x 2=1，x 1•x 2=-3，将其代入1211+x x =1212x x x x +⋅中即可得出结论．【详解】∵x 1，x 2是方程x 2﹣x ﹣3＝0的两根，∴x 1+x 2＝1，x 1•x 2＝﹣3， ∴1211+x x ＝1212x x x x +⋅＝13-＝﹣13． 故答案为：﹣13． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于c a ”是解题的关键． 三、解答题21．（1）40；画图见解析；（2）108°，15%；（3）23． 【解析】【分析】 （1）用A 组人数除以A 组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B 组所占百分比得到B 组人数，从而补全频数分布直方图；（2）用360度乘以C 组所占百分比得到C 组对应的圆心角度数，用E 组人数除以总人数得到E 组人数占参赛选手的百分比；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：（1）参加初赛的选手共有：8÷20%=40（人），B 组有：40×25%=10（人）． 频数分布直方图补充如下：故答案为40；（2）C 组对应的圆心角度数是：360°×1240=108°，E 组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%； （3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有8种结果，∴抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为812=23． 22．（1）月销售量450千克，月利润6750元；（2）销售单价应定为80元/千克【解析】【分析】（1）销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．那么涨价5元，月销售量就减少50千克．根据月销售利润＝每件利润×数量，即可求解；（2）等量关系为：销售利润＝每件利润×数量，设单价应定为x 元，根据这个等量关系列出方程，解方程即可．【详解】（1）月销售量为：500﹣5×10＝450（千克），月利润为：（55﹣40）×450＝6750（元）．（2）设单价应定为x 元，得：（x ﹣40）[500﹣10（x ﹣50）]＝8000，解得：x 1＝60，x 2＝80．当x ＝60时，月销售成本为16000元，不合题意舍去．∴x ＝80．答：销售单价应定为80元/千克．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．23．11=-x 21=-x ．【解析】【分析】把常数项移到右边 ，然后利用配方法进行求解即可．【详解】2220x x +-=，222x x +=，22121x x ++=+，()213x +=，1x +=11=-x ，21=-x【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．配方法的步骤：先把常数项移到等号的右边，把二次项系数化1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，两边开平方进行求解．24．14【解析】【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】根据题意画出树状图如下：一共有4种情况，确保两局胜的有1种，所以，P=14．考点：列表法与树状图法．25．（1）14；（2）10、40、144；（3）恰好选取的是a1和b1的概率为16．【解析】【分析】（1）根据D组人数及其所占百分比可得总人数，用总人数减去其他三组人数即可得出x的值；（2）用A、C人数分别除以总人数求得A、C的百分比即可得m、n的值，再用360°乘以C等级百分比可得其度数；（3）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与恰好选取的是a1和b1的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵被调查的学生总人数为6÷15%=40人，∴x=40﹣（4+16+6）=14，故答案为14；（2）∵m%=440×100%=10%，n%=1640×10%=40%，∴m=10、n=40，C等级对应的扇形的圆心角为360°×40%=144°，故答案为10、40、144；（3）列表如下：a1a2b1b2a1a2，a1b1，a1b2，a1a2a1，a2b1，a2b2，a2b1a1，b1a2，b1b2，b1b2a1，b2a2，b2b1，b2a1和b1的有2种结果，∴恰好选取的是a1和b1的概率为21 126．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法或树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小；概率=所求情况数与总情况数之比．。
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷(含答案)一、选择题1．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象，其顶点是（1，n ），且与x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a-b+c ＞0；②3a+b=0；③b 2=4a （c-n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知抛物线y=x 2-2mx-4（m ＞0）的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M 的坐标为（ ）A ．（1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20） 3．如果关于x 的方程240x x m -+=有两个不相等的实数根，那么在下列数值中，m 可以取的是（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8 4．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ） A ．5x >B ．5x <-C ．3x ≥-D ．3x ≤- 5．已知实数x 满足（x 2﹣2x +1）2+2（x 2﹣2x +1）﹣3＝0，那么x 2﹣2x +1的值为（ ） A ．﹣1或3B ．﹣3或1C ．3D ．1 6．一元二次方程2410x x --=配方后可化为（ ） A ．2(2)3x += B ．2(2)5x += C ．2(2)3x -= D ．2(2)5x -= 7．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，圆弧恰好经过圆心O ，点P 是优弧¼AMB 上一点，则∠APB 的度数为（ ）A ．45°B ．30°C ．75°D ．60°8．如图，直线y=kx+c 与抛物线y=ax 2+bx+c 的图象都经过y 轴上的D 点，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD ．直线y=kx+c 与x 轴交于点C （点C 在点B 的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ）①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k ＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k ．A ．①②③B ．②③⑤C ．②④⑤D ．②③④⑤ 9．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根 10．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2 11．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ）A ．-41B ．-35C ．39D ．45 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB =90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD =52，则BC 的长为_____．14．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x 步，那么根据题意列出的方程为_____．15．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D(﹣1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c ＜0；③c ﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根.其中正确结论是________.16．某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为64元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ；17．如图，直线l 经过⊙O 的圆心O ，与⊙O 交于A 、B 两点，点C 在⊙O 上，∠AOC =30°，点P 是直线l 上的一个动点（与圆心O 不重合），直线CP 与⊙O 相交于点Q ，且PQ =OQ ，则满足条件的∠OCP 的大小为_______．18．将抛物线y=﹣5x 2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线的函数关系式为_____________ .19．一元二次方程()22x x x -=-的根是_____.20．若3是关于x 的方程x 2－x ＋c ＝0的一个根，则方程的另一个根等于____．三、解答题21．某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价5元,商场平均每天可多售出10件.求:(1)若商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利多少元?(2)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(3)要使商场平均每天盈利1600元,可能吗?请说明理由.22．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，D 是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）若点P 在第一象限内的抛物线上，且S △ABP =4S △COE ，求P 点坐标．23．（1）解方程：x2﹣2x﹣8=0；（2）解不等式组3(2)1112x xx--<⎧⎪⎨-<⎪⎩24．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）25．如图，在中，，是的外接圆，点P在直径BD的延长线上，且．求证：PA是的切线；若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间，则当x=-1时，y>0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a =1，即b=-2a ，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n 有一个公共点，则抛物线与直线y=n-1有2个公共点，于是可对④进行判断．【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y ＞0，即a-b+c ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1，即b=-2a ， ∴3a+b=3a-2a=a ，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴244ac b a-=n ， ∴b 2=4ac-4an=4a （c-n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系，熟练掌握二次函数性质是解题的关键.2．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：22224=()4y x mx x m m =-----，∴点M （m ，﹣m 2﹣4），∴点M′（﹣m ，m 2+4），∴m 2+2m 2﹣4=m 2+4．解得m=±2．∵m ＞0，∴m=2，∴M （2，﹣8）． 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的性质． 3．A解析：A【分析】根据根的判别式的意义得到16﹣4m＞0，然后解不等式得到m＜4，然后对各选项进行判断．【详解】根据题意得：△=16﹣4m＞0，解得：m＜4，所以m可以取3，不能取5、6、8．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．4．D解析：D【解析】【分析】由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3可得：x≤﹣3．【详解】∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a取何值，x≤﹣3．故选D．【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．5．D解析：D【解析】【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，∴a2+2a﹣3＝0，解得：a＝﹣3或1，当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，故选：D．【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.6．D解析：D【解析】【分析】根据移项，配方，即可得出选项．【详解】解：x2-4x-1=0，x2-4x=1，x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解题的关键．7．D解析：D【解析】【分析】【详解】作半径OC⊥AB于点D，连结OA，OB，∵将O沿弦AB折叠，圆弧较好经过圆心O，∴OD=CD，OD=12OC=12OA，∴∠OAD=30°（30°所对的直角边等于斜边的一半），同理∠OBD=30°，∴∠AOB=120°，∴∠APB=12∠AOB=60°.（圆周角等于圆心角的一半）故选D.8．B解析：B【解析】试题解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0．∵抛物线对称轴是x=1，∴b＜0且b=-2a．∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0．∴①abc＞0错误；∵b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＞0，∴②3a+b＞0正确；∵b=-2a，∴4a+2b+c=4a-4a+c=c＞0，∴④4a+2b+c＜0错误；∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，∴k＜0．∵OA=OD，∴点A的坐标为（c，0）．直线y=kx+c当x=c时，y＞0，∴kc+c＞0可得k＞-1．∴③-1＜k＜0正确；∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=kx+c，得x1=0，x2=k b a -由图象知x2＞1，∴k ba-＞1∴k＞a+b，∴⑤a+b＜k正确，即正确命题的是②③⑤．故选B．9．D解析：D【解析】【分析】求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．【详解】x2+2x+2=0，这里a=1，b=2，c=2，∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，∴方程无实数根，故选D.【点睛】此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键10．C解析：C【解析】【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h＝8，r＝6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l10，圆锥侧面展开图的面积为：S侧＝12×2×6π×10＝60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．11．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a3ab8b2a++-变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a，b为方程2x5x10--=的两个实数根，∴a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a3ab8b2a++-=2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2=39．故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，则x1+x2=ba-，x1·x2=ca；熟练掌握韦达定理是解题关键．12．A 解析：A 【解析】【分析】连OA ，OB,可得△OAB 为等边三角形，可得：60∠=o ，AOB 即可得∠C 的度数． 【详解】连OA ，OB ，如图，∵OA=OB=AB ，∴△OAB 为等边三角形，60AOB ∴∠=o ，又12C AOB ∠=∠Q ， 16030.2C ∴∠=⨯=o o 故选：A ．【点睛】本题考查了圆周角的性质，掌握圆周角的性质是解题的关键．二、填空题13．8【解析】【分析】连接AD 根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°故可得出AD=BD 再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形利用勾股定理求出AB 的长在Rt△ABC 中利用勾股定解析：8【解析】【分析】连接AD ，根据CD 是∠ACB 的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知△ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，∵∠ACB=90°，∴AB 是⊙O 的直径．∵∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴2．∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴AB=22AD BD +=10．∵AC=6，∴BC=2222106AB AC -=-=8．故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．14．x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据面积为864即可得出方程【详解】解：设矩形田地的长为x 步那么宽就应该是（x ﹣12）步根据矩形面积＝长×宽解析：x （x ﹣12）＝864【解析】【分析】如果设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步，根据面积为864，即可得出方程．【详解】解：设矩形田地的长为x 步，那么宽就应该是（x ﹣12）步．根据矩形面积＝长×宽，得：x （x ﹣12）＝864．故答案为：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，读懂题意根据面积公式列出方程是解题的关键．15．②③④【解析】【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（00）和（10）之间所以当x=解析：②③④【解析】 【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac>0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D （-1，2）得a-b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=-2b a=-1得b=2a ，所以c-a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax 2+bx+c=2，所以说方程ax 2+bx+c-2=0有两个相等的实数根．【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2﹣4ac>0，所以①错误；∵顶点为D(−1,2)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1，∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点(−3,0)和(−2,0)之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，∴当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，所以②正确∵抛物线的顶点为D(−1,2)，∴a−b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=−2b a =−1， ∴b=2a ，∴a−2a+c=2，即c−a=2，所以③正确；∵当x=−1时，二次函数有最大值为2，即只有x=−1时, ax 2+bx+c=2，∴方程ax 2+bx+c−2=0有两个相等的实数根，所以④正确【点睛】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握二次函数与x 轴交点的意义. 16．20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x 第一次降价后价格变为100（1-x ）元第二次在第一次降价后的基础上再降变为100（1-x ）（1-x ）即100（1-x ）2元从而列出方程求出答案【详解解析：20％【解析】【分析】此题可设每次降价的百分率为x ，第一次降价后价格变为100（1-x ）元，第二次在第一次降价后的基础上再降，变为100（1-x ）（1-x ），即100（1-x ）2元，从而列出方程，求出答案．【详解】设每次降价的百分率为x ，第二次降价后价格变为100（1-x ）2元．根据题意，得100（1-x ）2=64，即（1-x ）2=0.64，解得x 1=1.8，x 2=0.2．因为x=1.8不合题意，故舍去，所以x=0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故答案为20%．17．40°【解析】：在△QOC 中OC=OQ ∴∠OQC=∠OCQ 在△OPQ 中QP=QO ∴∠QOP=∠QPO 又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ∠AOC=30°∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°∴3∠OCP 解析：40°【解析】：在△QOC 中，OC=OQ ，∴∠OQC=∠OCQ ，在△OPQ 中，QP=QO ，∴∠QOP=∠QPO ，又∵∠QPO=∠OCQ+∠AOC ，∠AOC=30°，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，∴3∠OCP=120°，∴∠OCP=40°18．【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（00）然后根据向左平移横坐标加向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标然后写出即可【详解】抛物线的顶点坐标为（00）∵向左平移1个单位长度后向下平移2个单 解析：25(1)1y x =-+-【解析】【分析】先确定出原抛物线的顶点坐标为（0，0），然后根据向左平移横坐标加，向下平移纵坐标减，求出新抛物线的顶点坐标，然后写出即可．【详解】抛物线251y x =-+的顶点坐标为（0，0），∵向左平移1个单位长度后，向下平移2个单位长度，∴新抛物线的顶点坐标为（-1，-2），∴所得抛物线的解析式是()2511y x =-+-．故答案为：()2511y x =-+-．【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键． 19．x1=1x2=2【解析】【分析】整体移项后利用因式分解法进行求解即可得【详解】x(x-2)-(x-2)=0x-1=0或x-2=0所以x1=1x2=2故答案为x1=1x2=2【点睛】本题考查了解一元二解析：x 1=1, x 2=2.【解析】【分析】整体移项后，利用因式分解法进行求解即可得.【详解】x(x-2)-(x-2)=0，()()120x x--=，x-1=0或x-2=0，所以x1=1，x2=2，故答案为x1=1，x2=2.【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，根据方程的特点熟练选择恰当的方法进行求解是关键.20．-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根代入可得9-3+c=0解得c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0即（x+2）（x-3）=0解得x=-2或x=3即可得方程的另一个根是x=解析：-2【解析】已知3是关于x的方程x2-5x+c=0的一个根，代入可得9-3+c=0，解得，c=-6；所以由原方程为x2-5x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，解得，x=-2或x=3，即可得方程的另一个根是x=-2．三、解答题21．(1)商场每件衬衫降价4元,则商场每天可盈利1008元；(2)每件衬衫应降价20元；(3)不可能.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答；（2）利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可；（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】(1)410205⎛⎫⨯+⎪⎝⎭×(40-4)=1008(元).答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1008元.(2)设每件衬衫应降价x元，根据题意，得(40-x)(20+2x)=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得x1=10，x2=20，∵要尽量减少库存，∴x=20.答：每件衬衫应降价20元.(3)不可能.理由如下：令(40-x)(20+2x)=1600，整理得x2-30x+400=0，∵Δ=900-4×400<0，∴商场平均每天不可能盈利1600元.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．22．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）C（0，3），D（1，4）；（3）P（2，3）．【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标．【详解】（1）由点A（﹣1，0）和点B（3，0）得10 930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，∴C（0，3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4）；（3）设P（x，y）（x＞0，y＞0），S△COE=12×1×3=32，S△ABP=12×4y=2y，∵S△ABP=4S△COE，∴2y=4×32，∴y=3，∴﹣x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2，∴P（2，3）．【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、抛物线的顶点坐标求法，图形面积的求法等知识，根据S△ABP=4S△COE列出方程是解决问题的关键．23．（1）x=﹣2或x=4；（2）52＜x＜3【解析】【分析】（1）用因式分解法求解；（2）分别求不等式，再确定公共解集．【详解】解：（1）∵（x+2）（x ﹣4）=0，∴x+2=0或x ﹣4=0，解得：x=﹣2或x=4；（2）解不等式x ﹣3（x ﹣２）＜1，得：x ＞52， 解不等式12x -＜1，得：x ＜3， ∴不等式组的解集为52＜x ＜3． 【点睛】 考核知识点：解一元二次方程方程，解不等式组．掌握解不等式组和一元二次方程的基本方法是关键．24．（1）21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元；（3）3600．【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本．【详解】解：（1）由题意，得：w=（x ﹣20）•y=（x ﹣20）•（﹣10x+500）=21070010000x x -+-，即21070010000w x x =-+-（20≤x≤32）；（2）对于函数21070010000w x x =-+-的图象的对称轴是直线x=7002(10)-⨯-=35． 又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W 随着X 的增大而增大，∴当x=32时，W=2160答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．（3）取W=2000得，210700100002000x x -+-=解这个方程得：1x =30，2x =40．∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当30≤x≤40时，w≥2000．∵20≤x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2000．设每月的成本为P （元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000∵k=﹣200＜0，∴P随x的增大而减小，∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．25．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）如图，连接OA；证明∠OAP=90°，即可解决问题．（2）如图，作辅助线；求出OM=1，OA=2；求出△AOB、扇形AOB的面积，即可解决问题．【详解】如图，连接OA；，；而，；而，；，，是的切线．如图，过点O作，则，，，，；，，图中阴影部分的面积．【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与扇形面积公式.。
2020-2021学年北京二中教育集团九年级(上)期中数学试卷-普通用卷
2020-2021学年北京二中教育集团九年级（上）期中数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A. 科克曲线B. 笛卡尔心形线C. 赵爽弦图D. 斐波那契螺旋线2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tan B的值是()A. 512B. 513C. 1213D. 13123.抛物线y=x2+2x+2的对称轴是()A. 直线x=1B. 直线x=−1C. 直线y=−1D. 直线y=14.如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O′，则点A′的坐标为()A. (3,1)B. (3,2)C. (2,3)D. (1,3)5.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD.若点A(1,2)，B(2,0)，D(5,0)，则点A的对应点C的坐标是(),5) C. (3,5) D. (3,6)A. (2,5)B. (526.如图，在⊙O中，点C是AB⏜上一点，若∠AOB=126°，则∠C的度数为()A. 127°B. 117°C. 63°D. 54°7.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是()A. a>0，b>0B. a<0，b<0C. a>0，b<0D. a<0，b>08.如图，点A，B，C，D，E为⊙O的五等分点，动点M从圆心O出发，沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动，设运动的时间为t，∠DME的度数为y，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共7小题，共14.0分）9.如图所示的网格是正方形网格，则tanα______tanβ.(填“>”，“=”或“<”)10.如图，点P是反比例函数y=k图象上一点，过点P分x别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形面积是3，那么反比例函数的解析式是______．11.将y=x2−2x+3化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，则y=______．12.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？”意思就是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为______．13.若关于x的一元二次方程(a+3)x2+2x+a2−9=0有一个根为0，则a的值为______．14.如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，C，D分别是AB，BP的中点．若AB=4，∠APB=45°，则CD长的最大值为______．15.下表显示了同学们用计算机模拟随机投针实验的某次实验的结果．投针次数n100020003000400050001000020000针与直线相交的次数45497014301912238647699548 m针与直线相交的频率0.4540.4850.47670.4780.47720.47690.4774p=mn下面有三个推断：①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，针与直线相交的概率是0.454；②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，针与直线相交的频率一定是0.4769．其中合理的推断的序号是：______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）)−1+√18+|−2|−6sin45°．16.计算：(1317.下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：⊙O的一条切线，使这条切线经过点P．作法：①连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点A；②以A为圆心，AO为半径作圆，交⊙O于点M；③作直线PM，则直线PM即为⊙O的切线．根据小芸设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明：证明：连接OM，由作图可知，A为OP中点，∴OP为⊙A直径，∴∠OMP=______°，(______)(填推理的依据)即OM⊥PM．又∵点M在⊙O上，∴PM是⊙O的切线．(______)(填推理的依据)18.关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．19.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．(1)求证：△ABE∽△DFA；(2)若AB=6，BC=4，求DF的长．(k≠0)的图象交于20.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+2与函数y=kxA，B两点，且点A的坐标为(1,m)．(1)求k，m的值；(2)直接写出关于x的不等式2x+2>k的解集；x(3)若Q在x轴上，△ABQ的面积是6，求Q点坐标．21.甲、乙、丙、丁4人聚会，吗，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起．(1)甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是______；(2)甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率．22.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长．23.用长为6米的铝合金条制成如图所示的框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米(铝合金条的宽度不计)．(1)y与x之间的函数关系式为______(不要求写自变量的取值范围)；(2)如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出最大面积．24.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，如图一是函数y=x2−1的图象，通过图象可以探究它的对称性，增减性，最值等情况．下面对函数y=|x2−1|展开探索．经历分析解析式、列表、描点、连线等过程得到函数y=|x2−1|的图象如图二所示：x…−3−52−2−32−1−12121322523…y (821)43a0341b05432148…(1)表格中a=______，b=______；(2)观察发现：函数y=|x2−1|的图象是轴对称图形，写出该函数图象的对称轴；(3)拓展应用：①如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是______；②已知方程|x2−1|=k(k是一个常数)有两个解，则k的取值范围是______．25.已知抛物线y=x2−2mx+m2−4，抛物线的顶点为P．(1)求点P的纵坐标．(2)设抛物线x轴交于A、B两点，A(x1,y1)，B(x2,y2)，x2>x1．①判断AB长是否为定值，并证明．②已知点M(0,−4)，且MA≥5，求x2−x1+m的取值范围．26.如图，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，在BC边上取一点E，使得CD=CE，连接AE并延长交BD于点F．(1)依题意补全图形；(2)求证：AF⊥BD；(3)连接CF，点C关于BD的对称点是Q，连接FQ，用等式表示线段CF，CQ之间的数量关系，并加以证明．27.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(a,b)，点P的变换点P′的坐标定义如下：当a>b时，点P′的坐标为(−a,b)；当a≤b时，点P′的坐标为(−b,a)．(1)点A(3,1)的变换点A′的坐标是______；点B(−4,2)的变换点为B′，连接OB，OB′，则∠BOB′=______°；(2)已知抛物线y=−(x+2)2+m与x轴交于点C，D(点C在点D的左侧)，顶点为E.点P在抛物线y=−(x+2)2+m上，点P的变换点为P′.若点P′恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D是菱形，求m的值；(3)若点F是函数y=−2x−6(−4≤x≤−2)图象上的一点，点F的变换点为F′，连接FF′，以FF′为直径作⊙M，⊙M的半径为r，请直接写出r的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.【答案】A【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，∴BC=√AB2−AC2=√132−52=12．∴tanB=ACBC =512．故选：A．先根据勾股定理求出BC的长，再运用三角函数定义解答．本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．同时考查了勾股定理．3.【答案】B【解析】解：y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a，代入数值求得对称轴是直线x=−1；故选：B．利用二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a可求出答案．本题考查了二次函数的性质．求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值通常有两种方法：(1)公式法；(2)配方法．4.【答案】D【解析】解：如图，点A′的坐标为(1,3)．故选D．根据网格结构找出点A、B旋转后的对应点A′、B′的位置，然后与点O顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标．本题考查了坐标与图形变化−旋转，熟练掌握网格结构作出旋转后的三角形，利用数形结合的思想求解更简便．5.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点的关系是解题关键．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k.利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B(2,0)，D(5,0)，∴OBOD =25，∵A(1,2)，∴C(52,5)．故选B．6.【答案】B【解析】解：如图：作圆周角∠ADB，使D在优弧上，∵∠AOB=126°，∴∠D=12∠AOB=63°，∵∠ACB+∠D=180°，∴∠ACB=180°−63°=117°，故选：B．作圆周角∠ADB，使D在优弧上，根据圆周角定理求出∠D的度数，再根据圆内接四边形性质求出∠C即可．本题考查了圆周角定理和圆内接四边形性质的应用，正确作辅助线是解此题的关键．7.【答案】D【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+1可知图象经过点(0,1)，∵二次函数y=ax2+bx+1的图象还经过点A，B，则函数图象如图所示，>0，∴a<0，−b2a∴b>0，故选：D．根据二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A，B，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的性质，利用数形结合是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：根据题意，分3个阶段；①P在OA之间，∠DME逐渐减小，到A点时，为36°，②P在AC⏜之间，∠DME保持36°，大小不变，③P在CO之间，∠DME逐渐增大，到O点时，为72°；又由点P作匀速运动，故①③都是线段；分析可得：B符合3个阶段的描述；故选：B．根据题意，分M在OA、AC⏜、CO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故①③都是线段，分析选项可得答案．本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．9.【答案】<【解析】解：由图知∠β>∠α，∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴tanα<tanβ，故答案为：<．由外角性质知∠β>∠α，再根据锐角的正切函数值随角度的增大而增大求解可得．本题主要考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是掌握三角形外角的性质和锐角的正切函数值随角度的增大而增大．10.【答案】y=3x【解析】解：设P(x,y)，∵矩形面积是3，∴xy=3，∵点P是反比例函数y=k图象上一点，x∴k=xy=3，∴反比例函数的解析式是y=3，x．故答案为：y=3x设P(x,y)，根据题意可得xy=3，进而可得反比例函数解析式．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．11.【答案】(x−1)2+2【解析】解：y=x2−2x+3=(x−1)2+2．故答案为(x−1)2+2．直接利用配方法把一般式配成顶点式即可．本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c(a,b，c是常数，a≠0)，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是(0,c)；顶点式：y= a(x−ℎ)2+k(a,h，k是常数，a≠0)，其中(ℎ,k)为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(ℎ,k).熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键．12.【答案】四丈五尺【解析】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴x15=1.50.5，解得x=45(尺)，45尺=四丈五尺．故答案为：四丈五尺．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．13.【答案】3【解析】解：根据题意，将x=0代入方程可得a2−9=0，解得：a=3或a=−3，∵a+3≠0，即a≠−3，∴a=3．故答案为：3．将x=0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一个基础题，解题时候注意二次项系数不能为0，难度不大．14.【答案】2√2【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，三角形中位线定理，熟练运用圆周角定理是本题的关键．由三角形中位线定理可得CD=12AP，即当AP为直径时，CD长最大，由直角三角形的性质可求AP的长，即可求解．【解答】解：∵C，D分别是AB，BP的中点，∴CD=12AP，当AP为直径时，CD长最大，∵AP为直径，∴∠ABP=90°，且∠APB=45°，AB=4，∴AP=4√2，∴CD长的最大值为2√2，故答案为2√2．15.【答案】②【解析】解：①投掷1000次时，针与直线相交的次数是454，可以估计针与直线相交的概率是0.454，错误；②随着实验次数的增加，针与直线相交的频率总在0.477附近，显示出一定的稳定性，可以估计针与直线相交的概率是0.477，正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为10000时，可以估计针与直线相交的频率是0.4769，错误；故答案为：②根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，利用数形结合的思想解答．16.【答案】解：原式=3+3√2+2−6×√22=3+3√2+2−3√2=5．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.【答案】解：(1)补全图形，如图所示：(2)90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【解析】解：(1)见答案；(2)证明：连接OM，由作图可知，A为OP中点，∴OP为⊙A直径，∴∠OMP=90°，(直径所对的圆周角是直角)，即OM⊥PM．又∵点M在⊙O上，∴PM是⊙O的切线．(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)，故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】(1)根据作图步骤利用尺规作图可得；(2)①根据“直径所对圆周角是直角”可得；②根据“经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可得．本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的尺规作图及圆周角定理、切线的判定．18.【答案】(1)证明：依题意，得△=[−(m+3)]2−4(m+2)=m2+6m+9−4m−8=(m+1)2．∵(m+1)2≥0，∴△≥0．∴方程总有两个实数根．(2)解：解方程，得x1=1，x2=m+2，∵方程的两个实数根都是正整数，∴m+2≥1．∴m≥−1．∴m的最小值为−1．【解析】(1)先根据方程总有两个实数根列出关于m的代数式，判断△≥0即可；(2)根据题意得到x1=1和x2=m+2是原方程的根，根据方程两个根均为正整数，可求m的最小值．本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解，在解答(2)时得到方程的两个根是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD=∠B=90°，∴△ABE∽△DFA；(2)∵E是BC的中点，BC=4，∴BE=2，∵AB=6，∴AE=√AB2+BE2=√62+22=2√10，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，∵△ABE∽△DFA，∴ABDF =AEAD，∴DF=AB⋅ADAE =210=65√10．【解析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．(1)由矩形性质得AD//BC，进而由平行线的性质得∠AEB=∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似证明；(2)由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，最后根据相似三角形的性质求得DF．20.【答案】解：(1)∵点A(1,m)在直线y=2x+2上，∴m=2×1+2=4，∴点A的坐标为(1,4)，代入函数y=kx (k≠0)中，得4=k1，∴k =4．(2)解{y =2x +2y =4x 得{x =1y =4或{x =−2y =−2， ∴B(−2,−2)，∴关于x 的不等式2x +2>kx 的解集是−2<x <0或x >1．(3)在y =2x +2中令y =0，解得x =−1，则直线与x 轴的交点是(−1,0)． 设点Q 的坐标是(a,0)．∵△ABQ 的面积是6，∴12⋅|a +1|⋅(2+1)=6，则|a +1|=4，解得a =3或−5．则点Q 的坐标是(−5,0)或(3,0)．【解析】(1)将点A 坐标代入直线解析式可求m 的值，再将点A 坐标代入反比例函数解析式可求k 的值；(2)解析式联立成方程组，解方程组求得B 的坐标，然后根据函数的图象即可求得不等式2x +2>k x 的解集．(3)由直线解析式求得直线与x 轴的交点坐标，然后设出Q 的坐标，根据三角形面积公式得到12⋅|a +1|⋅(2+1)=6，解得a 的值，即可求得点Q 的坐标．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式以及三角形的面积，正确利用Q 的横坐标表示出△ABQ 的面积是关键． 21.【答案】34【解析】解：(1)甲抽到不是自己带来的礼物的概率为：34；故答案为：34；(2)设甲、乙、丙、丁4人的礼物分别记为a 、b 、c 、d ，根据题意画出树状图如图：一共有12种等可能的结果，甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的结果有7个， ∴甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率为712．(1)根据概率公式计算即可得出答案；(2)画出树状图，然后根据概率公式列式进行计算即可得解．本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：(1)直线DE与⊙O相切．连结OD，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODA=∠CAD，∴OD//AC，∵DE⊥AC，即∠AED=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线；(2)过O作OG⊥AF于G，∴AF=2AG，∵∠BAC=60°，OA=2，∴AG=1OA=1，2∴AF=2，∴AF=OD，∴四边形AODF是菱形，∴DF//OA，DF=OA=2，∵∠EFD=∠BAC=60°，∴EF=1DF=1．2【解析】(1)欲证明DE 是⊙O 的切线，只要证明∠ODE =90°即可；(2)过O 作OG ⊥AF 于G ，得到AF =2AG ，根据直角三角形的性质得到AG =12OA =1，得到AF =2，推出四边形AODF 是菱形，得到DF//OA ，DF =OA =2，于是得到结论．本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 23.【答案】y =−32x 2+3x(0<x <2)【解析】解：(1)根据题意，得窗框的高为x 米，则长为12(6−3x)，所以y =12(6−3x)⋅x =−32x 2+3x ，因为x >0，6−3x >0，所以0<x <2．故答案为y =−32x 2+3x(0<x <2)．(2)y =−32x 2+3x =−32(x −1)2+32，∵−32<0， ∴当x =1时，y 有最大值，即窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米， 答：窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光面积最大，最大面积是1.5平方米．(1)根据题意和图形即可求解；(2)根据二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是确定长方形的长．24.【答案】54 34 x >1或−1<x <0 k >1或k =0【解析】解：(1)根据函数的对称性得，a =54，b =34，故答案为：54，34；(2)从图象看，函数的对称轴为x =0，故答案为：x =0；(3)①从图象看，如果y随x的增大而增大，则x的取值范围是：x>1或−1<x<0，故答案为：x>1或−1<x<0；②设：y=k，方程|x2−1|=k(k是一个常数)有两个解，可以看成y=|x2−1|和y=k 有两个交点，从图象看，此时则k的取值范围是k>1或k=0，故答案为：k>1或k=0．(1)根据函数的对称性即可求解；(2)观察函数图象即可求解；(3)观察函数图象即可求解．本题考查函数的图象与性质，解题的关键是学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．25.【答案】(1)∵y=(x−m)2−4，∴P(m,−4)，即顶点P的纵坐标为−4；(2)①AB长为定值，令y=0，则x2−2mx+m2−4=0则(x−m)2=4，解得x=m+2或x=m−2，AB长为：m+2−(m−2)=4，②当MA=5时，可求A点坐标为(−3,0)或(3,0)∵AB=4，∴MA=5时，m=−1或m=1∵x2−x1+m=4+m，结合图象可知，x2−x1+m的取值范围为x2−x1≤−1或x2−x1+m≥5．【解析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．(1)把一般式配成顶点式即可得到P点坐标；(2)①令y=0，可求得A、B两点的坐标，则AB长可求；②由MA=5时，求得A点坐标，结合图象可得取值范围．26.【答案】解：(1)如图1：(2)在△ACE和△BCD中，{AC=BC∠ACB=∠BCD=90°CE=CD，∴△ACE≌△BCD(SAS)．∴∠CAE=∠CBD．∵∠AEC=∠BEF，∴∠BFE=∠ACE．∵∠ACE=90°，∴∠AFB=90°．∴AF⊥BD；(3)数量关系是：CQ=√2CF，过C作CG⊥CF交AF于G.如图2，∴∠GCF=90°．∵∠ACB=90°，∴∠CGA=∠CFA．∵∠CAF=∠CBD，AC=BC，∴△ACG≌△BCF(ASA)．∴CG=CF．∴△CGF是等腰直角三角形．∴∠CFG=45°．∴∠CFD=45°．∵点C与Q关于BD对称，∴CF=FQ．∠CFD=∠QFD=45°．∴△CFQ是等腰直角三角形．∴CQ=√2CF．【解析】(1)根据提示画出图形即可；(2)根据全等三角形的判定和性质解答即可；(3)过C作CG⊥CF交AF于G.根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答即可．本题考查了三角形的综合题，根据全等三角形的性质和判定和等腰直角三角形的性质解答，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．27.【答案】(−3,1)90°【解析】解：(1)∵点A(3,1)，3>1，∴点A的对应点A′的坐标是(−3,1)．∵B(−4,2)，−4<2，∴点B的变换点为B′的坐标为(−2,−4)．过点B作BC⊥y轴，垂足为C，过点B′作B′D⊥y轴，垂足为D．∵B(−4,2)、B′(−2,−4)，∴OC =B′D =2，BC =OD =4．在Rt △BCO 和Rt △ODB′中{BC =OD∠BCO =∠ODB′CO =B′D，∴Rt △BCO≌Rt △ODB′．∴∠BOC =∠B′．∵∠B′+∠B′OD =90°，∴∠B′OD +∠BOC =90°．∴∠BOB′=90°．故答案为：(−3,1)；90°．(2)由题意得y =−(x +2)2+m 的顶点E 的坐标为E(−2,m)，m >0．∵点P 在抛物线y =−(x +2)2+m 上，∴设点P 的坐标为(x,−(x +2)2+m)．①若x >−(x +2)2+m ，则点P′的坐标为P′(−x,−(x +2)2+m)．∵点P′恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，∴{−x =−2−(x +2)2+m =−m.∴m =8，符合题意．②若x ≤−(x +2)2+m ，则点P′的坐标为P′((x +2)2−m,x)．∵点P′恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，∴{(x +2)2−m =−2x =−m.∴m =2或m =3，符合题意．综上所述，m =8或m =2或m =3．(3)设点F 的坐标为(x,−2x −6)．当x >−2x −6时，解得：x >−2，不和题意．当x ≤−2x −6时，解得：x ≤−2，符合题意．∵点F 的坐标为(x,−2x −6)，且x ≤−2x −6，∴点F′的坐标为(2x +6,x)．∴FF′=√(2x +6−x)2+(−2x −6−x)2=√(x +6)2+(−3x −6)2=√10(x +125)2+725． ∴当x =−125时，FF′有最小值，FF′的最小值=√725=6√105，当x =−4时，FF′有最大值，EF′的最大值=2√10．∴FF′的取值范围为：6√105≤FF′≤2√10． ∵r =12FF′， ∴r 的取值范围是3√105≤r ≤√10．(1)依据对应的定义可直接的点A′和B′的坐标，然后依据题意画出图形，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ，过点B′作B′D ⊥y 轴，垂足为D.接下来证明Rt △BCO≌Rt △ODB′.由全等三角形的性质得到∠BOC =∠B′，然后可求得∠BOB′=90°；(2)抛物线y =−(x +2)2+m 的顶点E 的坐标为E(−2,m)，m >0.设点P 的坐标为(x,−(x +2)2+m).①若x >−(x +2)2+m ，则点P′的坐标为P′(−x,−(x +2)2+m).然后依据点P′恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，可得得到股阿奴m ，x 的方程组，从而可求得m 的值；②若x ≤−(x +2)2+m ，则点P′的坐标为P′((x +2)2−m,x)，同理可列出关于x 、m 的方程组，从而可求得m 的值；(3)设点F 的坐标为(x,−2x −6).依据题意可得到点点F′的坐标为(2x +6,x)，然后依据两点间的距离公式可得到FF′的长度与x 的函数关系式，从而可求得FF′的取值范围，然后可求得r 的取值范围．本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了对应点的定义、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、两点间的距离公式，依据两点间的距离公式得到FF′与x 的函数关系式是解题的关键．。
北京市东城区二校联考2021-2022学年九年级上期中数学试题
2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、选择题（共8小题）.1. 一元二次方程2x x--=的二次项系数、一次项系数、常系数分别是3610A. 3，6，1B. 3，6，-1C. 3，-6，1D.3，-6，-12. 如图，以点P为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l相切的是（）A. PAB. PBC. PCD. PD3. 抛物线y＝（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A. （3，1）B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1）4. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝36°，那么∠BAD等于（）A. 36°B. 44°C. 54°D. 56°5. 关于频率和概率关系，下列说法正确的是（）.A. 频率等于概率B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 实验得到的频率与概率不可能相等6. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =，以A 为圆心AC 为半径画圆，交AB 于点D ，则阴影部分面积是（ ）A.3π- B.6π C.6π-D.π-7. 关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ） A. k 为任何实数，方程都没有实数根B. k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C. k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种8. 随着时代的进步，人们对PM 2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM 2.5的值y 1（ug/m 3）随时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0时到t 时PM 2.5的值的极差（即0时到t 时PM 2.5的最大值与最小值的差），则y 与t 的函数关系大致是（ ）A. B.C. D.二、填空题：9. 请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为___．10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则n＝___．11. 如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠CAE的度数为___________.12. 如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于E，若∠ABC＝30°，OE则OD长为___．13. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：14. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是___.15. 已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和CD围成的图形（图中阴影部分）的面积S是___.16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，N是A′B′的中点，连接MN，若BC＝4，∠ABC＝60°，则线段MN的最大值为___.三、解答题：17解一元二次方程：2x2﹣2x﹣1＝0．18. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点P．求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B．作法：如图，①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；④作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PE和PF，∵OE＝MN，OA＝OM＝12 MN，∴点A是OE的中点．∵PO＝PE，∴PA⊥OA于点A（）（填推理的依据）．同理PB⊥OB于点B．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．（）（填推理的依据）．19. 已知关于x的方程2240x x k++-=．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若1k=，求该方程的根．20. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．21. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，4OC=，AC=．(1)求点O到AC的距离；(2)求ADC∠的度数．22. 北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游完路线，如下表：每条线路被选择的可能性相同．（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率． 23. 如图，用一条长40m 的绳子围成矩形ABCD ，设边AB 的长为m x ．（1）边BC 的长为___________m ，矩形ABCD 的面积为___________2m （均用含x 的代数式表示）；（2）矩形ABCD 的面积是否可以是2120m ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12y x =与双曲线ky x=的一个交点是()2,A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线ky x=上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(),0B b ． ①若1m =，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．25. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD ＝90°，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且∠CED ＝∠BAC ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 延长线交于点F ，若//DE AC ，AB ＝4，AD ＝2，求AF 的长．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx =+与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）①直接写出抛物线的对称轴是________； ②用含a 代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x 轴交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．27. 在△ABC 中，AB ＝，CD ⊥AB 于点D ，CD ． （1）如图1，当点D 是线段AB 中点时， ①AC 的长为 ；②延长AC 至点E ，使得CE ＝AC ，此时CE 与CB 的数量关系为 ，∠BCE 与∠A 的数量关系为 ．（2）如图2，当点D 不是线段AB 的中点时，画∠BCE （点E 与点D 在直线BC 的异侧），使∠BCE ＝2∠A ，CE ＝CB ，连接AE ． ①按要求补全图形； ②求AE 的长．28. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1≤d2，则称d1为点P的“引力值”；若d1＞d2，则称d2为点P的“引力值”．特别地，若点P在坐标轴上，则点P的“引力值”为0．例如，点P（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，因为2＜3，所以点P的“引力值”为2．（1）①点A（﹣1，4）的“引力值”为；②若点B（a，3）的“引力值”为2，则a的值为；（2）若点C在直线y＝﹣2x+4上，且点C的“引力值”为2，求点C的坐标；（3）已知点M是以（3，4）为圆心，半径为2的圆上一个动点，那么点M的“引力值”d的取值范围是．2021-2022学年北京市东城区九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. 一元二次方程2--=的二次项系数、一次项系数、常系数分别是x x3610A. 3，6，1B. 3，6，-1C. 3，-6，1D.3，-6，-1【答案】D【解析】【详解】对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项.故方程3x 2-6x-1=0的二次项系数是3，一次项系数是-6，常数项是-1. 故选D.2. 如图，以点P 为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l 相切的是（ ）A. PAB. PBC. PCD. PD【答案】B 【解析】【分析】圆的切线垂直于过切点的半径，据此解答． 【详解】∵以点P 为圆心，所得的圆与直线l 相切， ∴直线l 垂直于过点P 的半径， ∵PB ⊥l ，∴PB 的长是圆的半径， 故选：B ．【点睛】此题考查切线的性质定理：知切线得垂直，熟记定理是解题的关键． 3. 抛物线y ＝（x ﹣3）2+1的顶点坐标是（ ） A. （3，1） B. （3，﹣1）C. （﹣3，1）D. （﹣3，﹣1） 【答案】A 【解析】【分析】根据题目中二次函数的顶点式2()y a x h k =-+可以直接写出它的顶点坐标． 【详解】解：2(3)1y x =-+，∴此函数的顶点坐标为(3,1)，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记：顶点式2()y a x h k =-+，顶点坐标是(,)h k ，对称轴是直线x h =．4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝36°，那么∠BAD 等于（ ）A. 36°B. 44°C. 54°D. 56°【答案】C 【解析】【分析】根据题意由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB=90°，又由∠ACD=36°，可求得∠ABD 的度数，再根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°， ∵∠ACD=36°， ∴∠ABD=36°∴∠BAD=90°-∠ABD=54°， 故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理．注意掌握直径所对的圆周角是直角以及在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并结合数形结合思想进行应用． 5. 关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ）. A. 频率等于概率B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近D. 实验得到的频率与概率不可能相等 【答案】B 【解析】【详解】A 、频率只能估计概率； B 、正确； C 、概率是定值；D 、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同． 故选B ．6. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =，以A 为圆心AC 为半径画圆，交AB 于点D ，则阴影部分面积是（ ）A.3π- B.6πC.6π- D.π-【答案】B【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到BC==60A∠=︒，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：ABC中，90C∠=︒，30B∠=︒，1AC=，∴BC==60A∠=︒，∴ABCACDS S S∆=-阴影扇形21601123606ππ⨯=⨯=．故选：B．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．7. 关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A. k为任何实数，方程都没有实数根B. k为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C. k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D. 根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B【解析】【详解】∵关于x的方程x2+2kx+k﹣1=0中△=（2k）2﹣4×（k﹣1）=4k2﹣4k+4=（2k﹣1）2+3＞0∴k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根故选B．8. 随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y与t的函数关系大致是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据极差的定义，分别从0t =、010t <、1020t <及2024t <时，极差2y 随t 的变化而变化的情况，从而得出答案．【详解】解：当0t =时，极差285850y =-=， 当010t <时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为43； 当1020t <时，极差2y 随t 的增大保持43不变； 当2024t <时，极差2y 随t 的增大而增大，最大值为98； 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是能从函数图象获取相应信息．二、填空题：9. 请写出一个开口向上且过点（0，﹣2）的抛物线表达式为 ___． 【答案】22y x =- 【解析】【分析】令抛物线的对称轴为y 轴，二次项系数为1，则抛物线的解析式可设为2y x m =+，然后把已知点的坐标代入求出m 即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为2y x m =+， 把(0,2)-代入得2m =-，所以满足条件的抛物线解析式为22y x =-． 故答案为：22y x =-（答案不唯一）【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 10. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n 个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则n ＝___． 【答案】1 【解析】【分析】根据随机摸出一个球，它是白球的概率为23，结合概率公式得出关于n 的方程，解之可得n 的值，继而得出答案． 【详解】解：根据题意，得：2223n =+， 解得1n =，经检验：1n =是分式方程的解， 所以1n =， 故答案是：1．【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及解分式方程的步骤．11. 如图，在△ABC 中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，当点B 的对应点D 恰好落在AC 边上时，∠CAE 的度数为___________.【答案】50° 【解析】【分析】由旋转可得∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE ，则∠CAE=∠CEA ，再由三角形的外角性质可得∠CDE=∠CAE+∠AED 可求出∠CAE 的度数． 【详解】∵△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ∴∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE ， ∴∠CAE=∠CEA ， 则∠AED=∠CEA-30°又∵∠CDE=∠CAE+∠AED 即∠CAE+∠CAE-30°=70° 解得∠CAE=50° 故答案为：50°．【点睛】本题考查三角形中的角度计算，解题的关键是利用旋转的性质得到旋转后的角度，并利用三角形的外角性质建立等量关系．12. 如图，AB 是⨀O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若∠ABC ＝30°，OE 则OD 长为 ___．【答案】 【解析】【分析】先利用垂径定理得到AD AC =，再根据圆周角定理得到60AOD ∠=︒，然后根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD 的长． 【详解】解：CD AB ⊥，∴AD AC =，223060AOD ABC ∴∠=∠=⨯︒=︒，则∠EDO =30°在Rt ODE △中，22OD OE ===，故答案是：【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13. 某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率．在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：【答案】0.9 【解析】【分析】用频率估计概率即可．【详解】解：∵大量实验时成活的频率稳定在0.902， ∴估计树苗移植成活的概率是0.9． 故答案为：0.9．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14. 如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型.若扇形的半径为R ，圆的半径为r ，则R 与r 满足的数量关系是 ___.【答案】4R r =##14r R = 【解析】【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算． 【详解】解：扇形弧长是：901802R Rππ=， 圆的半径为r ，则底面圆的周长是2r π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：22Rr ππ=，即：4R r =，R 与r 之间的关系是4R r =．故答案是：4R r =．【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，解题的关键是要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．15. 已知：如图，半圆O 的直径AB ＝12cm ，点C ，D 是这个半圆的三等分点，则弦AC ，AD 和CD 围成的图形（图中阴影部分）的面积S 是 ___.【答案】26cm π 【解析】【分析】如图，连接OC 、OD 、CD ，OC 交AD 于点E ，由点C ，D 是这个半圆的三等分点可得60AOC COD ∴∠=∠=︒，在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出1302CAD COD ∠=∠=︒，再根据OA OC OD ==得，AOC △，COD △都是等边三角形，所以60ACM DOM ∠=∠=︒，AC OC OD ==，可证()ACM DOM AAS ≅，故=COD S S 阴扇形，由扇形的面积公式计算即可．【详解】如图所示，连接OC 、OD 、CD ，OC 交AD 于点E ，点C ，D 是这个半圆的三等分点，180603AOC COD DOB ︒∴∠=∠=∠==︒， 1302CAD COD ∴∠=∠=︒，OA OC OD ==，AOC ∴，COD △都是等边三角形，60ACM DOM ∴∠=∠=︒，AC OC OD ==，在ACM △与DOM △中，AMC DMO ACM DOM AC DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ACM DOM AAS ∴≅，ACMDOM SS ∴=，2260()60362=6(cm )360360COD AB S S πππ⨯⨯⨯⨯∴===阴扇形． 故答案为：26cm π．【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，证明ACM DOM ≅，把求阴影部分面积转化为求扇形面积是解题的关键．16. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将△ABC 绕顶点C 逆时针旋转得到△A ′B ′C ，M 是BC 的中点，N 是A ′B ′的中点，连接MN ，若BC ＝4，∠ABC ＝60°，则线段MN 的最大值为 ___.【答案】6 【解析】【分析】连接CN ，根据直角三角形斜边中线的性质求出142CN A B =''=，利用三角形的三边关系即可得出结果．【详解】解：连接CN ，如图所示：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，4BC =，60B ∠=︒，30A ∴∠=︒，28AB A B BC ∴=''==，NB NA '='，142CN A B ∴=''=， 2CM BM ==，6MN CN CM ∴+=，MN ∴的最大值为6，故选：6．【点睛】本题考查旋转的性质、含30角直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形的三边关系等知识；解题的关键是灵活运用三角形的三边关系．三、解答题：17. 解一元二次方程：2x 2﹣2x ﹣1＝0．【答案】1x ，2x ． 【解析】【分析】先计算2=4b ac -，然后利用求根公式x =．【详解】解：2x 2﹣2x ﹣1＝0， ∵221a b c ==-=-，，， ∴ ()22=4=2+42=12b ac --⨯，∴ x =，∴1x 2x ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，并能灵活应用是关键．18. 下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程． 已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：直线PA 和直线PB ，使PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ．作法：如图，①作射线PO，与⊙O交于点M和点N；②以点P为圆心，以PO为半径作⊙P；③以点O为圆心，以⊙O的直径MN为半径作圆，与⊙P交于点E和点F，连接OE和OF，分别与⊙O交于点A和点B；④作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面证明．证明：连接PE和PF，∵OE＝MN，OA＝OM＝12 MN，∴点A是OE的中点．∵PO＝PE，∴PA⊥OA于点A（）（填推理的依据）．同理PB⊥OB于点B．∵OA，OB为⊙O的半径，∴PA，PB是⊙O的切线．（）（填推理的依据）．【答案】（1）答案见解析；（2）三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【解析】【分析】(1)根据直线的定义，线段的定义，圆的定义作图即可；(2) 连接PE和PF，根据OE=MN，OA=OM=12MN，得到点A是OE的中点，利用PO=PE，证得PA⊥OA于点A，同理PB⊥OB于点B，即可得到结论．【详解】（1）补全图形如图：（2）证明：连接PE 和PF ， ∵OE=MN ，OA=OM=12MN ， ∴点A 是OE 的中点， ∵PO=PE ，∴PA ⊥OA 于点A （ 三线合一 ）． 同理PB ⊥OB 于点B ， ∵OA ，OB 为⊙O 的半径，∴PA ，PB 是⊙O 的切线．（ 经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切 线 ）． 故答案为：三线合一；经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．．【点睛】此题考查尺规作图--圆，根据语句描述画射线，等腰三角形的三线合一的性质，圆的切线的判定定理，正确理解语句作出图形，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 19. 已知关于x 的方程2240x x k ++-=．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若1k =，求该方程的根．【答案】（1）5k <；（2）13x =-，21x =【解析】【分析】（1）根据根的判别式△＞0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）将k ＝1代入方程x 2+2x ＋k−4＝0，解方程即可求出方程的解； 【详解】（1）()22414204∆=-⨯⨯-=-k k ．方程有两个不相等的实数根，0∴∆>．解得5k <；（2）当1k =时，原方程化为2230x x +-=． 解得13x =-，21x =．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根的判别式△＝b 2−4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．20. 二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过（3，0）点，当x ＝1时，函数的最小值为﹣4． （1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x ＝m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）和直线y ＝x ﹣3的交点分别为点C ，点D ，点C 位于点D 的上方，结合函数的图象直接写出m 的取值范围．【答案】（1）2(1)4y x =--；（2）0m <或3m >． 【解析】【分析】（1）设顶点式2(1)4(0)y a x a =--≠，再把(3,0)代入求出a 得到抛物线解析式，然后利用描点法画出二次函数图象；（2）先画出直线3y x =-，则可得到直线3y x =-与抛物线的交点坐标为(0,3)-，(3,0)，然后写出抛物线在直线3y x =-上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：（1）当1x =时，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最小值为4-，∴二次函数的图象的顶点为(1,4)-，∴二次函数的解析式可设为2(1)4(0)y a x a =--≠，二次函数的图象经过(3,0)点，2(31)40a ∴--=．解得1a =．∴该二次函数的解析式为2(1)4y x =--；如图，（2）画出直线3y x =-，则可得到直线3y x =-与抛物线的交点坐标为(0,3)-，(3,0)，由上图象可得0m <或3m >．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．21. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，4OC =，AC =． (1)求点O 到AC 的距离； (2)求ADC ∠的度数．【答案】；(2)135°． 【解析】【分析】（1）作OM ⊥AC 于M ，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA ，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【详解】(1)作OM AC ⊥于M ，∵AC =∴AM CM == ∵4OC =，∴OM ==； (2)连接OA ，∵OM MC =，090OMC ∠=， ∴045MOC MCO ∠=∠=， ∵OA OC =， ∴045OAM ∠=， ∴090AOC ∠=， ∴045B ∠=， ∵0180D B ∠+∠=， ∴0135D ∠=．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22. 北京世界园艺博览会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游完路线，如下表：每条线路被选择的可能性相同．（1）求小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是多少？（2）用画树状图或列表的方法，求小美和小红恰好选择同一条路线的概率． 【答案】（）14；（2）14【解析】【分析】（1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比； （2）根据列表法即可求得概率．【详解】（1）依题意，共4条路线，每条线路被选择的可能性相同．∴小美选择路线“清新园艺之旅”的概率是14； （2）依题意，列表可得∴小美和小红恰好选择同一条路线的概率为41=164． 【点睛】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数． 23. 如图，用一条长40m 的绳子围成矩形ABCD ，设边AB 的长为m x ．（1）边BC 的长为___________m ，矩形ABCD 的面积为___________2m （均用含x 的代数式表示）；（2）矩形ABCD 的面积是否可以是2120m ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．【答案】（1）()20x -；()220x x -+；（2）不可以，见解析【解析】【分析】（1）根据矩形周长公式求得边BC 的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形ABCD 的面积；（2）根据矩形的面积公式得到关于x 的方程，通过解方程求得答案． 【详解】解：（1）根据题意，知边BC 的长为：（20−x ）m ， 矩形ABCD 的面积为：（20−x ）x ＝（−x 2＋20x ）m 2； 故答案是：（20−x ）；（−x 2＋20x ）；（2）若矩形ABCD 的面积是120m 2，则−x 2＋20x ＝120．∵△＝b 2−4ac ＝−80＜0， ∴这个方程无解．∴矩形ABCD 的面积不可以是120m 2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 24. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12y x =与双曲线ky x=的一个交点是()2,A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线ky x=上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(),0B b ． ①若1m =，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b值．【答案】（1）2k =．（2）①3b =；②1b =或3. 【解析】【分析】（1）由直线解析式求得A （2，1），然后代入双曲线y=kx中，即可求得k 的值； （2）①根据系数k 的几何意义即可求得n 的值，得到P 的坐标，继而求得直线PA 的解析式，代入B （b ，0）即可求得b 的值；②分两种情况讨论求得即可． 【详解】（1）∵直线y=12x 与双曲线y=k x的一个交点是A （2，a ）， ∴a=12×2=1， ∴A （2，1）， ∴k=2×1=2； （2）①若m=1，则P （1，n ）， ∵点P （1，n ）是双曲线y=kx上不同于A 的一点， ∴n=k=2， ∴P （1，2），∵A（2，1），则直线PA的解析式为y=-x+3，∵直线PA与x轴交于点B（b，0），∴0=-b+3，∴b=3；②如图1，当P在第一象限时，∵PB=2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时2，代入y=2x求得x=1，∴P（1，2），由①可知，此时b=3；如图2，当P在第，三象限时，∵PB=2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时-2，代入y=2x求得x=-1，∴P（-1，-2），∵A（2，1）则直线PA的解析式为y=x-1，∴b=1，综上，b的值为3或1．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．25. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED＝∠BAC．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若//DE AC ，AB ＝4，AD ＝2，求AF 的长．【答案】（1）相切，理由解析；（2）83AF = 【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD 是O 的直径，得90BCD ∠=︒，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得90BDE ∠=︒，可得DE 是O 的切线；（2）先根据平行线的性质得：90BHC BDE ∠=∠=︒．由垂径定理得AH CH =，AD CD =，由垂直平分线的性质得4BC AB ==，2CD AD ==．证明FAD FCB ∆∆∽，列比例式得CF 2AF =，设AF x =，则22DF CF CD x =-=-，根据勾股定理列方程可解答．【详解】解：（1）相切． 理由是：连接BD ，如图1．四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，BD ∴是O 的直径，即点O 在BD 上．90BCD ∴∠=︒． 90CED CDE ∴∠+∠=︒． CED BAC ∠=∠．又BAC BDC ∠=∠，90BDC CDE ∴∠+∠=︒，即90BDE ∠=︒．DE OD ∴⊥于点D ．DE ∴是O 的切线．（2）如图2，BD 与AC 交于点H ，//DE AC ，90BHC BDE ∴∠=∠=︒．BD AC ∴⊥．AH CH ∴=．4BC AB ∴==，2CD AD ==．90FAD FCB ∠=∠=︒，F F ∠=∠， FAD FCB ∴∆∆∽．∴AD AFCB CF=． 2CF AF ∴=．设AF x =，则22DF CF CD x =-=-． 在Rt ADF 中，222DF AD AF =+，222(22)2x x ∴-=+．解得：183x =，20x =（舍)． 83AF ∴=．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，解题的关键是求出4BC =．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+3y ax bx =+与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）①直接写出抛物线对称轴是________； ②用含a 的代数式表示b ；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线与x 轴交于P 、Q 两点，该抛物线在P 、Q 之间的部分与线段PQ 所围成的区域（不包括边界）恰有七个整点，结合函数图象，求a的取值范围．【答案】（1）①x ＝1；②b ＝－2a ；（2）-1≤a≤23-或10＜a≤11 【解析】【分析】(1) ①根据抛物线的对称性可以直接得出其对称轴；②利用对称轴公式2b x a=-进一步求解即可；(2)如图，分两种情况：①a>0，②a<0，据此依次讨论即可． 【详解】解：（1）①抛物线2+3y ax bx =+与y 轴交于点A ，∴A （0,3），将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，∴B （2,3），点A 和点B 关于对称轴对称，∴对称轴是：x ＝1；②对称轴为直线2b x a=-=1 ∴b ＝－2a ；（2）由题可知：A （0，3），B （2，3）， ①若a ＞0时，如图1所示，有七个整点， 当x=1时，y=a+b+3=a-2a+3=-a+3， ∵恰有7个整数点（不包括边界）， ∴-8≤-a+3＜-7， ∴10＜a≤11；。
北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
北京市东城区北京二中教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．A ．21x -≤≤B ．2x ≤-，或1x ≥C ．14x ≤≤D ．1x ≤，或4x ≥7．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠过点()1,0和点()0,2-，且顶点在第三象限，则下列判断错误的是（）A ．2a b +=B ．02b <<C ．10a bc -<-+<D ．方程230ax bx c ++-=有两个不相等的实数根8．某小区有一块绿地如图中等腰直角ABC 所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN ，其中点P ，M ，N 分别在边AC ，BC ，AB 上，记PM x =，PN y =，图中阴影部分的面积为S ，当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（）A ．正比例函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，一次函数关系D ．正比例函数关系，二次函数关系二、填空题12．如图，小明同学用一张长10cm，宽盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，（损耗不计）．设剪去的正方形边长为13．如图，在△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°当点B的对应点D恰好落在AC边上时，∠14．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为条网格线的交点叫格点）上，以点的圆心坐标为．15．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表．抛掷50100（1）若4AE =，则ADE V （2）若BC CE ⊥，且BE 三、解答题17．解方程：22610x x -+=．18．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO ⊥CD 于点A ，求间径就是要求⊙O 的直径．再次阅读后，发现AB ＝1寸，CD ＝10寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出⊙O 的直径．四、未知19．下面是小涵同学设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l 及直线l 外一点P ，求作：直线PQ ，使得PQ l ∥．小涵同学的作法如下：（1）在直线l 的下方取一点O ；（2）以点O 为圆心，OP 长为半径画圆，O 交直线l 于点A 、B （点A 在左侧），连接AP ；（3）以点B 为圆心，AP 长为半径画圆，交O 于点Q 、R （点Q 与点P 位于直线l 同侧）；（4）作直线PQ ，所以直线PQ 即为所求．请你依据小涵同学设计的尺规作图过程，完成下列问题：(1)使用直尺和圆规，完成作图；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明证明：连接BP ，BQ ，∵AP BQ=∴ AP BQ=（________）（填推理的依据）∴PBA BPQ ∠=∠（________）（填推理的依据）∴PQ l ∥．五、解答题20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的顶点分别是()1,1A ，()2,3B ，()3,2C ．(1)作出ABC 关于原点O 成中心对称的图形111A B C △；(2)以点()0,1-为旋转中心，将ABC 逆时针旋转90︒，得到222A B C △，请画出222A B C △，并写出点B 的对应点2B 的坐标．六、未知(1)(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)在（1）的条件下，m取最小的整数时求方程的解．(1)从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“指南针”的概率为________；(1)若60BAC∠=︒，则CBD∠(2)作CH AB⊥于点H，交(3)若3cos5BAC∠=，BQ25．某校九年级课外科技活动小组的同学们研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：s）变化的数据如表．飞行时间/st0飞行水平距离/mx0【探究发现】x与t，y与t之间的数量关系可用我们学过的函数来描述．（1）直接写出x关于t的函数解析式和y值范围）．(1)请你依据题意，补全图形；∠的度数；（用含有α的代数式表示）(2)求ACE的坐标为()4,3．(1)点()14,0B 、()22,3B -、()36,1B -中是点A 的关联点的是______；(2)点()0m ,是点A 的关联点，求m 的取值范围；(3)已知直线y x b =-+交坐标轴于M 、N 两点，若线段MN 上的所有点都是点A 的关联点，直接写出b 的取值范围．。
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷及答案
2020-2021北京市九年级数学上期中一模试卷及答案一、选择题1．若二次函数2y x bx =+的图象的对称轴是经过点(2,0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程25x bx +=的解为（ ）．A ．10x =，24x =B ．11x =，25x =C ．11x =，25x =-D ．11x =-，25x = 2．若x 1是方程ax 2+2x+c ＝0(a≠0)的一个根，设M ＝(ax 1+1)2，N ＝2﹣ac ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不能确定3．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为⊙O 上的一点，过点C 作⊙O 的切线，交直径AB 的延长线于点D ，若∠A =25°，则∠D 的度数是（ ）A ．25°B ．40°C ．50°D ．65° 4．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x += 5．下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +<7．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C=45°，AB=2，则⊙O 的半径为（ ）A ．1B ．2C ．2D 2 8．若关于x 的方程240kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是( )A ．k 16≤B ．1k 16≤C ．k 16≤且k 0≠D ．1k 16≤且k 0≠9．如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B ＝135°，P′A ∶P′C ＝1∶3，则P′A ∶PB ＝( )A ．1∶2B ．1∶2C ．3∶2D ．1∶3 10．如图，已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＜0；③213a -≤≤-； ④248acb a ->；其中正确的结论是（ ）A ．①③④B ．①②③C ．①②④D ．①②③④ 11．长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，面积为2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为（ ）A ．2y x =B ．2(12)y x =-C ．(12)y x x =-D ．2(12)y x =-12．若a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，则22a 3ab 8b 2a ++-的值为（ ） A ．-41 B ．-35 C ．39 D ．45二、填空题13．已知方程x 2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．15．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．16．如图，将正六边形ABCDEF 放置在直角坐标系内，A(﹣2，0)，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2020次翻转之后，点C 的坐标是_____．17．现有甲、乙两个盒子，甲盒子中有编号为4，5，6的3个球，乙盒子中有编号为7，8，9的3个球．小宇分别从这两个盒子中随机地拿出1个球，则拿出的2个球的编号之和大于12的概率为_____．18．已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm 和4cm ，则这个直角三角形的内切圆的半径为 cm19．用半径为12cm ，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为_______cm ．20．如图，将ABC V 绕点A 逆时针旋转150 ，得到ADE V ，这时点B C D 、、恰好在同一直线上，则B Ð的度数为______．三、解答题21．已知：如图，AB 是⊙O 的弦，⊙O 的半径为10，OE 、OF 分别交AB 于点E 、F ，OF 的延长线交⊙O 于点D ，且AE=BF ，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF 是等边三角形；（2）当AE=OE 时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）22．为满足市场需求，新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子，根据市场预测，该品牌粽子每个售价 4 元时，每天能出售 500 个，并且售价每上涨 0.1 元，其销售量将减少 10 个，为了维护消费者利益，物价部门规定，该品牌粽子售价不能超过进价 的 200%，请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价，使超市每天的销售利润为 800 元．23．三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A ，B 中，可随机选择其中的一个通过．（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A 通道通过的概率是 ；（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率．24．已知关于x 的一元二次方程225x x m --=（）（）（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）若此方程的两实数根12,x x 满足221233x x +=，求实数m 的值.25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【详解】∵二次函数y=x 2+bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，∴抛物线的对称轴为直线x=2，则−2b a =−2b =2， 解得：b=−4， ∴x 2+bx=5即为x 2−4x−5=0，则(x−5)(x+1)=0，解得：x 1=5，x 2=−1.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程的问题.2．C解析：C【解析】【分析】把x1代入方程ax2+2x+c=0得ax12+2x1=-c，作差法比较可得．【详解】∵x1是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，∴ax12+2x1+c=0，即ax12+2x1=-c，则M-N=（ax1+1）2-（2-ac）=a2x12+2ax1+1-2+ac=a（ax12+2x1）+ac-1=-ac+ac-1=-1，∵-1＜0，∴M-N＜0，∴M＜N．故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．3．B解析：B【解析】连接OC，∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∵OA=OC，∴∠ACO=∠BAC=25°，∴∠COD=∠ACO+∠BAC=50°，∴∠D=90°-∠COD=40°，故选B.4．B解析：B【解析】【分析】根据配方法可以解答本题．【详解】x2−4x＋1＝0，（x−2）2−4＋1＝0，（x−2）2＝3，故选：B ．【点睛】本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．5．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可得答案.【详解】A.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，B.是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意，C.不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意，D.是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．6．B解析：B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．7．D解析：D【解析】【详解】解：连接AO ，并延长交⊙O 于点D ，连接BD ，∵∠C=45°，∴∠D=45°，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=∠D=45°，∵AB=2，∴BD=2，∴22222222AB BD +=+=∴⊙O 的半径AO=22AD =． 故选D ．【点睛】 本题考查圆周角定理；勾股定理．8．B解析：B【解析】【分析】当0k =时，代入方程验证即可，当0k ≠时，根据方程的判别式△≥0可得关于k 的不等式，解不等式即得k 的取值范围，问题即得解决.【详解】解：当0k =时，40x -+=，此时4x =，有实数根；当0k ≠时，∵方程240kx x -+=有实数根，∴△2(1)440k =--⨯⨯…，解得：116k …，此时116k …且0k ≠； 综上，116k …．故选B. 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程的根的判别式与根的关系是解题的关键.9．B解析：B【解析】【分析】解：如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，∴BP =BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90°，又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′，在△ABP 和△CBP ′中，∵BP =BP ′，∠ABP =∠CBP ′，AB =BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ），∴AP =P ′C ，∵P ′A ：P ′C =1：3，∴AP =3P ′A ，连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形，∴∠BP ′P =45°，PP ′=2PB ， ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°﹣45°=90°，∴△APP ′是直角三角形，设P ′A =x ，则AP =3x ，根据勾股定理，PP ′=22'AP P A -=22(3)x x -=22x ， ∴PP ′=2PB =22x ，解得PB =2x ，∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形以及直角三角形，把P ′A 、P ′C 以及P ′B 2倍转化到同一个直角三角形中是解题的关键．10．B解析：B【解析】【分析】①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0，∵12b x a=-=，∴2a+b=0．∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤．解得：213a -≤≤-，故③正确； ④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248acb a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0，∴224b c a -<，∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误． 【详解】解:①由抛物线的对称性可求得抛物线与x 轴令一个交点的坐标为（3，0），当x ＞3时，y ＜0，故①正确；②抛物线开口向下，故a ＜0， ∵12b x a=-=， ∴2a+b=0． ∴3a+b=0+a=a ＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y=a （x+1）（x ﹣3），则223y ax ax a =--，令x=0得：y=﹣3a ．∵抛物线与y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴233a ≤-≤． 解得：213a -≤≤-， 故③正确；④．∵抛物线y 轴的交点B 在（0，2）和（0，3）之间，∴2≤c≤3，由248ac b a ->得：248ac a b ->，∵a ＜0， ∴224b c a-<， ∴c ﹣2＜0，∴c ＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,结合图像,数形结合的思想的运用是本题的解题关键.．11．C解析：C【解析】【分析】根据周长关系求出另一边的长，再用面积公式即可表示y 与x 的函数.【详解】∵长方形的周长为24cm ，其中一边长为()x cm ，∴另一边为12-x ，故面积2ycm 则长方形中y 与x 的关系式为(12)y x x =- 故选C【点睛】此题主要考查函数的表示，解题的关键是熟知长方形的周长与面积公式.12．C解析：C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把22a 3ab 8b 2a ++-变形为2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．【详解】∵a ，b 为方程2x 5x 10--=的两个实数根，∴a 2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，∴22a 3ab 8b 2a ++-=2(a 2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2=2×0+3×（-1）+8×5+2 =39．故选：C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x 2，则x 1+x 2=b a -，x 1·x 2=c a；熟练掌握韦达定理是解题关键． 二、填空题13．【解析】∵x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根∴△=∴9﹣4k=0∴k=故答案为 解析：94【解析】 ∵x 2﹣3x +k=0有两个相等的实数根，∴△=2(3)410k --⨯⨯=，∴9﹣4k=0，∴k=94． 故答案为94． 14．⑤【解析】【分析】①由图象可知a>0b<0则问题可解；②根据图象与x 轴交点问题可解；③由图象可知当x=2时对应的点在x 轴下方x=2时函数值为负；④由图象可知抛物线对称轴为直线x=1当x>1时y 随x 值解析：⑤【解析】【分析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a ＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题． 15．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程通过解新方程来求k 的值【详解】∵方程x2+kx −3=0的一个根为1∴把x=1代入得12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了解析：2【解析】【分析】把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1，∴把x=1代入，得12+k×1−3=0，解得，k=2.故答案是：2.【点睛】本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用. 16．(40382)【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为OC＝1根据正六边形的特点每6次翻转为一个循环组循环用2020除以6根据商和余数的情况确定出点C的位置然后求出翻转B前进的距离连接CE过点D作解析：(4038，【解析】【分析】先求出开始时点C的横坐标为12OC＝1，根据正六边形的特点，每6次翻转为一个循环组循环，用2020除以6，根据商和余数的情况确定出点C的位置，然后求出翻转B前进的距离，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，求出CE＝2CH＝2×CDsin60°＝C的坐标．【详解】∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠AOC＝120°，∴∠DOC＝120°﹣90°＝30°，∴开始时点C的横坐标为：12OC＝12×2＝1，∵正六边形ABCDEF沿x轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，∴每6次翻转为一个循环组循环，∵2020÷6＝336…4，∴为第336循环组的第4次翻转，点C在开始时点E的位置，如图所示：∵A（﹣2，0），∴AB＝2，∴翻转B前进的距离＝2×2020＝4040，∴翻转后点C的横坐标为：4040﹣2＝4038，连接CE，过点D作DH⊥CE于H，则CE⊥EF，∠CDH＝∠EDH＝60°，CH＝EH，∴CE＝2CH＝2×CDsin60°＝2×2×32＝23，∴点C的坐标为（4038，23），故答案为：（4038，23）．【点睛】本题考查了正六边形的性质、坐标与图形、翻转的性质、含30°角直角三角形的性质、三角函数等知识；根据每6次翻转为一个循环组，确定出翻转最后点C所在的位置是解题的关键．17．【解析】【分析】列举出所有情况找出取2个球的编号之和大于12的情况即可求出所求的概率【详解】列树状图得：：共有9种等可能的情况其中编号之和大于12的有6种所以概率=故答案为：【点睛】此题主要考查了利解析：2 3【解析】【分析】列举出所有情况，找出取2个球的编号之和大于12的情况，即可求出所求的概率．【详解】列树状图得：：共有9种等可能的情况，其中编号之和大于12的有6种，所以概率= 62 93 ，故答案为：23．【点睛】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn是解题的关键．18．1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半计算出内切圆半径最后求它们的差解：因为斜边==5内切圆半径r==1；所以r=1故填1会利用解析：1【解析】通过勾股定理计算出斜边的长，得到三角形的外接圆半径；再利用内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半，计算出内切圆半径，最后求它们的差．解：因为斜边==5，内切圆半径r==1；所以r=1．故填1．会利用勾股定理进行计算．其内切圆半径等于两直角边的和与斜边的差的一半．19．【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长然后根据圆的周长公式即可求解【详解】解：圆锥的底面周长是：=6π设圆锥底面圆的半径是r则2πr=6π则r=3故解析：【解析】【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．【详解】解：圆锥的底面周长是：9012180π⨯=6π，设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=6π，则r=3．故答案为：3．【点睛】本题考查圆锥的计算．20．15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°AD=AB再判断出△BAD是等腰三角形最后用三角形的内角和定理即可得出结论详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°得到△ADE∴∠BAD=150°AD=解析：15【解析】分析：先判断出∠BAD=150°，AD=AB，再判断出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的内角和定理即可得出结论．详解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°，AD=AB，∵点B，C，D恰好在同一直线上，∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12（180°-∠BAD）=15°，故答案为15°．点睛：此题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，判断出三角形ABD是等腰三角形是解本题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）503 25π-．【解析】【分析】（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°即可得出结论．（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°，故∠AOF=90°，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AOD﹣S△AOF即可得出结论．【详解】解：（1）证明：作OC⊥AB于点C，∵OC⊥AB，∴AC=BC．∵AE=BF，∴EC=FC．∵OC⊥EF，∴OE=OF．∵∠EOF=60°，∴△OEF是等边三角形．；（2）∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°，AE=OE，∴∠A=∠AOE=30°．∴∠AOF=90°．∵AO=10，∴OF=3103 tan1033AO AOE⋅∠=⨯=．∴110350310233ACFS=⨯=V,2901025360AODSππ⋅⋅==扇形．∴50325ACFAODS S Sπ∆=-=-阴影扇形22．每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．【解析】试题分析：首先设每个粽子的定价为x元，然后根据题意得出方程，从而求出x的值，然后根据售价不能超过进价的200%，从而得出x的取值范围，从而得出答案.试题解析：设每个粽子的定价为x 元时，每天的利润为800元．根据题意，得（x ﹣3）（500﹣10×）=800， 解得x 1=7，x 2=5．∵售价不能超过进价的200%， ∴x ≤3×200%．即x≤6． ∴x=5．答：每个粽子的定价为5元时，每天的利润为800元．考点：一元二次方程的应用23．（1）18；（2）12【解析】【分析】（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A 通道通过的情况数占总情况数的多少即可；（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B 通道通过的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：（1）画树状图得：共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A 通道通过的情况数有1种，所以都选择A 通道通过的概率为18， 故答案为：18； （2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B 通道通过的有4种情况， ∴至少有两辆汽车选择B 通道通过的概率为4182=． 【点睛】考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．24．（1）详见解析；（2）实数m 的值为2±【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△=b 2-4ac ，即可得出△249m =+，结合4m 2≥0可得出△＞0，进而可证出：无论m 取任何实数，方程都有两个不相等的实数根；（2）利用根与系数的关系可得出212127,10x x x x m +==-Q g ，结合x 12+x 22=33可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值．【详解】解：（1）证明：Q 关于x 的一元二次方程225x x m --=（（）整理，得227100x x m -+-=249410m =--V （）249404m =-+249m =+2240490m m ∴≥∴+>∴对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根；（2）： 212127,10x x x x m +==-Q g221233x x +=()21212233x x x x ∴+-= ()24921033m --=解得m =答：实数m 的值为【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x 12+x 22=33，找出关于m 的一元二次方程．25．(1) 2m <；(2) m 的值是1.【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于m 的不等式，解之可得； （2）由（1）中m 的范围且m 为非负整数得出m 的值，代入方程，解之可得．【详解】解：（1）根据题意得：()()22410m --->，解得：2m <.故m 的取值范围为2m <；（2）由（1）得：2m <m Q 为非负整数， 0m ∴=或1，把0m =代入原方程得：2210x x --=，解得：11x =21x =，0m =不合题意舍去；把1m =代入原方程得：220x x -=，解得：10x =，22x =.故m的值是1.【点睛】此题考查根的判别式及一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式及一元二次方程的解的定义是解题关键．。
北京二中教育集团2019-2020九年级上学期期中数学试卷 含解析
2019-2020九年级上学期期中数学试卷一．选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共20分）1．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°3．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣254．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3m，则⊙O直径的长是（）A．m B．m C．m D．m5．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．6．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a＜0，b＞0，c＞0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列命题正确的是（）A．三个点确定一个圆B．相等的圆心角所对的弧也相等C．平分弦的直径垂直于弦D．弧的度数等于它所对圆心角的度数8．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y＝﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09ax2+bx+c判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.269．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan ∠CPN为（）A．1 B．2 C ．D ．10．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二.填空题（每空2分，共20分）11．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的图象的对称轴是直线x＝1，二次函数的解析式为；该二次函数的最大值是．12．若点A（﹣3，n）、B（m，n）在二次函数y＝3（x+2）2+k的图象上，则m的值为．13．已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1y2（填“＜”、“＝”或“＞”）14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是步．15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O且半径为3，则AB的长为．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．17．如图，木工师傅在板材边角处做直角时，往往使用“三弧法”，其做法是：（1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D；（3）连接BD、BC．下列说法正确的是：（把所有正确的序号都写出来）①∠CBD＝30°；②S△BDC＝AB2；③点C是△ABD的外心；④sin2A+cos2D＝118．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．三、解答题（本题共60分，第19-21题，每小题5分，第22-25题，每小题5分，第26-28题，每小题5分）19．计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，cos A＝，AB＝4，过点C作CD∥AB，且CD＝2，连接BD，求BD的长．21．随着网络技术的发展，人们的支付方式也发生了很大改变，不带现金也能完成支付，比如使用银行卡、微信、支付宝等．在一次购物中小明和小亮都想从银行卡、微信、支付宝三种支付方式中选择一种．使用树状图或列表格的方式，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．22．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移多少个单位，图象经过原点，并直接写出此时新函数的解析式．23．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E，请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考依据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）24．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y 轴的交点为B，直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，m）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞的解集；（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BP，当S△ABM＝2S△OMP时，求点P的坐标．25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB．（1）求直线DC与⊙O的交点个数；（2）已知⊙O半径长为3，AC＝2，求AD长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．27．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B 作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠BDF＝α．①按要求补全图形；②∠EBF＝（用含α的式子表示）；③判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．28．对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为；（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x+b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y＝﹣上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（2，5）B．（﹣2，5）C．（﹣2，﹣5）D．（2，﹣5）【分析】根据二次函数的性质y＝a（x+h）2+k的顶点坐标是（﹣h，k）即可求解．【解答】解：抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），故选：A．2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选：B．3．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【解答】解：y＝x2﹣8x﹣9＝x2﹣8x+16﹣25＝（x﹣4）2﹣25．故选：B．4．如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3m，则⊙O直径的长是（）A．m B．m C．m D．m【分析】根据垂径定理得出EF⊥CD，则CF＝DF＝1，在Rt△COF中，有OC2＝CF2+OF2，进而可求得半径OC．【解答】解：如图，连接OC，∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，∴EF⊥CD．∴CF＝FD．∵CD＝2，∴CF＝1，设OC＝x，则OF＝3﹣x，在Rt△COF中，根据勾股定理，得12+（3﹣x）2＝x2．解得x＝，∴⊙O的直径为．故选：D．5．如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6cm，圆锥的侧面积为15πcm2，则sin∠ABC的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据扇形的面积公式S＝L•R求出母线长，再根据锐角三角函数的定义解答即可．【解答】解：设圆锥的母线长为R，由题意得15π＝π×3×R，解得R＝5．∴圆锥的高为4，∴sin∠ABC＝＝，故选：C．6．如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则：①二次函数的最大值为a+b+c；②a＜0，b＞0，c＞0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图可知：x＝1是抛物线的对称轴，且抛物线的开口向下，∴当x＝1时，y的最大值为y＝a+b+c，故①正确；②∵抛物线开口向下，与y轴的交点在正半轴，∴a＜0，c＞0，∵﹣＝1，b＝﹣2a＞0，故②正确；③由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④（﹣1，0）关于x＝1对称点为（3，0），∴﹣1＜x＜3，y＞0，故④正确；故选：D．7．下列命题正确的是（）A．三个点确定一个圆B．相等的圆心角所对的弧也相等C．平分弦的直径垂直于弦D．弧的度数等于它所对圆心角的度数【分析】对各个选项分别进行判断，即可得出答案．【解答】解：A、∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆，∴选项A不正确；B、∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等，∴选项B不正确；C、∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，∴选项C不正确；D、∵一条弧的度数等于它所对圆心角的度数，∴选项D正确；故选：D．8．根据下列表格的对应值：x 3.23 3.24 3.25 3.26y＝﹣0.06 ﹣0.08 ﹣0.03 0.09ax2+bx+c判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解为x的取值范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26【分析】根据函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c＝0的根，再根据函数的增减性即可判断方程ax2+bx+c＝0一个解的范围．【解答】解：函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的根，函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：y＝0在y＝﹣0.03与y＝0.09之间，对应的x的值在3.25与3.26之间，即3.25＜x＜3.26．故选：D．9．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan ∠CPN为（）A．1 B．2 C．D．【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN ＝90°，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：连接格点MN、DM，如图所示：则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝2，MN＝BM＝，∴∠CPN＝∠DNM，∴tan∠CPN＝tan∠DNM，∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝＝＝2，故选：B．10．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：连接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：D．二．填空题（共8小题）11．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的图象的对称轴是直线x＝1，二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x；该二次函数的最大值是 1 ．【分析】根据对称轴公式求得m的值，从而求得二次函数的解析式，然后把解析式化成顶点式即可求得函数的最值．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2+1的图象的对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1，解得m＝1，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x；∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴二次函数的最大值是1，故答案为y＝﹣x2+2x；1．12．若点A（﹣3，n）、B（m，n）在二次函数y＝3（x+2）2+k的图象上，则m的值为﹣1 ．【分析】利用抛物线的对称性得到点A和点B为抛物线上的对称点，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，从而得到m﹣（﹣2）＝﹣2﹣（﹣3），然后解方程即可．【解答】解：∵点A（﹣3，n）、B（m，n），∴点A和点B为抛物线上的对称点，∵二次函数y＝3（x+2）2+k的图象的对称轴为直线x＝﹣2，∴m﹣（﹣2）＝﹣2﹣（﹣3），∴m＝﹣1．故答案为﹣1．13．已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1＜y2（填“＜”、“＝”或“＞”）【分析】由于二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象的开口向上，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），∴抛物线开口向上，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1＜y2．故答案为＜．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是 6 步．【分析】设三角形△ABC，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，设内切圆的半径为r，由S△ABC＝（AB+BC+CA）•r可求得半径，则可求得直径．【解答】解：设三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，∴AB＝＝17，设内切圆的半径为r，则S△ABC＝（AB+BC+CA）•r，∴AC•BC＝（AB+BC+CA）•r，即×8×15＝×（8+15+17）•r，解得r＝3，∴内切圆的直径是6步，故答案为：615．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O且半径为3，则AB的长为 3 ．【分析】连接OA、OB，由正六边形的性质得出∠AOB＝60°，证出△AOB是等边三角形，得出AB＝OA＝OB＝3即可．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB＝3，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝3，故答案为：3．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是60 度，阴影部分的面积为．【分析】连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．【解答】解：∵AC＝A′C，且∠A＝60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′＝60°，∴∠A′CB＝90°﹣60°＝30°，∵∠CA′D＝∠A＝60°，∴∠CDA′＝90°，∵∠B′CB＝∠A′CB′﹣∠A′CB＝90°﹣30°＝60°，∴∠CB′D＝30°，∴CD＝CB′＝CB＝×2＝1，∴B′D＝＝，∴S△CDB′＝×CD×DB′＝×1×＝，S扇形B′CB＝＝，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．17．如图，木工师傅在板材边角处做直角时，往往使用“三弧法”，其做法是：（1）作线段AB，分别以为A、B为圆心，AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径做弧，交AC的延长线于点D；（3）连接BD、BC．下列说法正确的是：①②③（把所有正确的序号都写出来）①∠CBD＝30°；②S△BDC＝AB2；③点C是△ABD的外心；④sin2A+cos2D＝1【分析】①根据尺规作图的过程即可得结论；②根据①和勾股定理即可得结论；③根据直角三角形的外接圆的性质即可得结论；④根据锐角三角函数即可得结论．【解答】解：①根据题意的作图过程，可知△ABC是等边三角形，∠ABD＝90°，∴∠CBD＝30°．故①正确．②∵∠ABD＝90°，∠CBD＝30°．∴2AB＝AD，根据勾股定理，得BD＝＝AB，∵BC是△ABD的中线，∴S△ABC＝S△BCD＝S△ABD＝（AB•BD）＝AB2故②正确．③∵点C是直角三角形ABD斜边AD的中点，∴点C是△ABD的外心．故③正确．④在Rt△ABD中，sin A＝，cos D＝∴sin2A+cos2D＝+＝≠1．故④不正确．故答案为①②③．18．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为2或﹣1 ．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，∴a＝2或a+1＝0，∴a＝2或a＝﹣1，故答案是：2或﹣1．三．解答题（共10小题）19．计算：cos30°•tan60°﹣4sin30°+tan45°．【分析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．【解答】解：原式＝×﹣4×+1＝﹣2+1＝．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，cos A＝，AB＝4，过点C作CD∥AB，且CD＝2，连接BD，求BD的长．【分析】在Rt△ABC中，求出BC，再在Rt△利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，∴，∵AB＝4，∴AC＝6，∴，∵DC∥AB，∴∠DCB＝∠ABC＝90°，∵CD＝2，∴BD＝＝＝2．21．随着网络技术的发展，人们的支付方式也发生了很大改变，不带现金也能完成支付，比如使用银行卡、微信、支付宝等．在一次购物中小明和小亮都想从银行卡、微信、支付宝三种支付方式中选择一种．使用树状图或列表格的方式，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．22．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移多少个单位，图象经过原点，并直接写出此时新函数的解析式．【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+4，然后把（2，﹣5）代入求出a的值即可；（2）通过解方程﹣（x+1）2+4＝0可得抛物线与x轴的交点坐标，通过计算自变量为0时的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标；（3）由于抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），把点（1，0）向左平移1个单位到原点，所以把抛物线解析式y＝﹣（x+1）2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点，根据平移的规律求得即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，把（2，﹣5）代入得a•9+4＝﹣5，解得a＝﹣1，所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）当x＝0时，y＝﹣（x+1）2+4＝﹣1+4＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）；当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，则抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）；（3）因为抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0），所以把抛物线解析式y＝﹣（x+1）2+4向左平移1个单位，该函数图象恰好经过原点，所以新的函数的解析式为＝﹣（x+2）2+4．23．在北京市开展的“首都少年先锋岗”活动中，某数学小组到人民英雄纪念碑站岗执勤，并在活动后实地测量了纪念碑的高度，方法如下：如图，首先在测量点A处用高为1.5米的测角仪AC测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为35°，然后在测量点B处用同样的测角仪BD测得人民英雄纪念碑MN顶部M的仰角为45°，最后测量出A，B两点间的距离为15m，并且N，B，A三点在一条直线上，连接CD并延长交MN于点E，请你利用他们的测量结果，计算人民英雄纪念碑MN的高度．（参考依据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7）【分析】在Rt△MED中，由∠MDE＝45°知ME＝DE，据此设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，由ME＝EC•tan∠MCE知x≈0.7（x+15），解之求得x的值，根据MN＝ME+EN 可得答案．【解答】解：由题意得四边形ABDC、ACEN是矩形，∴EN＝AC＝1.5，AB＝CD＝15，在Rt△MED中，∠MED＝90°，∠MDE＝45°，∴ME＝DE，设ME＝DE＝x，则EC＝x+15，在Rt△MEC中，∠MEC＝90°，∠MCE＝35°，∵ME＝EC•tan∠MCE，∴x≈0.7（x+15），解得：x≈35，∴ME≈35，∴MN＝ME+EN≈36.5，答：人民英雄纪念碑MN的高度约为36.5米．24．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x+b的图象与x轴的交点为A（2，0），与y 轴的交点为B，直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，m）．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直接写出关于x的不等式2x+b＞的解集；（3）点P是这个反比例函数图象上的点，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，连接OP，BP，当S△ABM＝2S△OMP时，求点P的坐标．【分析】（1）将点A，点C坐标代入一次函数解析式y＝2x+b，可得b＝﹣4，m＝﹣6，将点C坐标代入反比例函数解析式，可求k的值，即可得一次函数和反比例函数的表达式；（2）求得直线与反比例函数的交点坐标，然后根据图象求得即可；（3）由S△ABM＝2S△OMP＝6，可求AM的值，由点A坐标可求点M坐标，即可得点P坐标．【解答】解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0∴b＝﹣4，∴一次函数的解析式为y＝2x﹣4将C（﹣1，m）代入直线y＝2x﹣4中，得2×（﹣1）﹣4＝m∴m＝﹣6∴C（﹣1，﹣6）将C（﹣1，﹣6）代入y＝，得﹣6＝，解得k＝6∴反比例函数的解析式为y＝；（2）解得或，∴直线AB与反比例函数y＝的图象交于点C（﹣1，﹣6）和D（3，2）．如图，由图象可知：不等式2x+b＞的解集是﹣1＜x＜0或x＞3；（3）∵S△ABM＝2S△OMP，∴×AM×OB＝6，∴×AM×4＝6∴AM＝3，且点A坐标（2，0）∴点M坐标（﹣1，0）或（5，0）∴点P的坐标为（﹣1，﹣6）或（5，）．25．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB．（1）求直线DC与⊙O的交点个数；（2）已知⊙O半径长为3，AC＝2，求AD长．【分析】（1）连接OC，由OA＝OC、AC平分∠DAB知∠OAC＝∠OCA＝∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线，∴直线DC与⊙O只有一个交点．（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB＝2AO，∠ACB＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴＝，∵AB＝2AO＝6，AC＝2，∴AD＝．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．【分析】（1）利用配方法即可解决问题．（2）①m＝1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx+m﹣1＝m（x﹣1）2﹣1，∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．（2）①∵m＝1，∴抛物线为y＝x2﹣2x，令y＝0，得x＝0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），∴线段AB上整点的个数为3个．②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），当抛物线经过（﹣1，0）时，m＝，当抛物线经过点（﹣2，0）时，m＝，∴m的取值范围为＜m≤．27．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B 作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，∠BDF＝α．①按要求补全图形；②∠EBF＝45°﹣α（用含α的式子表示）；③判断线段BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．【分析】（1）①由题意补全图形即可；②由正方形的性质得出∠DBE＝∠ABC＝45°，由三角形的外角性质得出∠BEF＝∠DBE+∠BDF＝45°+α，由直角三角形的性质得出∠EBF＝90°﹣∠BEF＝45°﹣α即可；③在DF上截取DM＝BF，连接CM．证明△CDM≌△CBF，得出CM＝CF，∠DCM＝∠BCF．证明是等腰直角三角形，得出MF＝CF，即可得出结论；（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF＝BF+CF；理由同（1）③；②当点E在线段BC的延长线上时，BF＝DF+CF；在BF上截取BM＝DF，连接CM．同（1）③得：△CBM≌△CDF得出CM＝CF，∠BCM＝∠DCF．证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF＝CF，即可得出结论；③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF＝CF；在DF上截取DM＝BF，连接CM．同（1）③得：△CDM≌△CBF得出CM＝CF，∠DCM＝∠BCF．证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF＝CF，即可得出结论．【解答】解：（1）①补全图形如图1所示：②∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∠DBE＝∠ABC＝45°，∴∠BEF＝∠DBE+∠BDF＝45°+α，∵BF⊥DE，∴∠BFE＝90°，∴∠EBF＝90°﹣∠BEF＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α；故答案为：45°﹣α；③线段BF，CF，DF之间的数量关系是：DF＝BF+CF；理由如下：在DF上截取DM＝BF，连接CM．如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BDC＝∠DBC＝45°，∠BCD＝90°∴∠CDM＝∠CBF＝45°﹣α，在△CDM和△CBF中，，∴△CDM≌△CBF（SAS）．∴CM＝CF，∠DCM＝∠BCF．∴∠MCF＝∠BCF+∠MCE＝∠DCM+∠MCE＝∠BCD＝90°，∴△CMF是等腰直角三角形，∴MF＝CF，∴DF＝DM+MF＝BF+CF；（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF＝BF+CF；理由同（1）③；②当点E在线段BC的延长线上时，BF＝DF+CF；理由如下：在BF上截取BM＝DF，连接CM．如图3所示：同（1）③得：△CBM≌△CDF（SAS）．∴CM＝CF，∠BCM＝∠DCF．∴∠MCF＝∠DCF+∠MCD＝∠BCM+∠MCD＝∠BCD＝90°，∴△CMF是等腰直角三角形，∴MF＝CF，∴BF＝BM+MF＝DF+CF；③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF＝CF；理由如下：在DF上截取DM＝BF，连接CM．如图4所示：同（1）③得：△CDM≌△CBF（SAS）．∴CM＝CF，∠DCM＝∠BCF．∴∠MCF＝∠DCF+∠MCD＝∠DCF+∠BCF＝∠BCD＝90°，∴△CMF是等腰直角三角形，∴MF＝CF，即DM+DF＝CF，∴BF+DF＝CF；综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF，CF，DF之间的数量关系为DF＝BF+CF，或BF＝DF+CF，或BF+DF＝CF．28．对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，3），则点A，B的“确定圆”的面积为25π；（2）已知点A的坐标为（0，0），若直线y＝x+b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，求点B的坐标；（3）已知点A在以P（m，0）为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y＝﹣上，若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据勾股定理，可得AB的长，根据圆的面积公式，可得答案；（2）根据确定圆，可得l与⊙A相切，根据圆的面积，可得AB的长为3，根据等腰直角三角形的性质，可得AE＝EB＝AB，可得答案；（3）根据圆心与直线垂直时圆心到直线的距离最短，根据确定圆的面积，可得PB的长，再根据30°的直角边等于斜边的一半，可得CA的长．【解答】解：（1）由勾股定理，得AB＝5，点A，B的“确定圆”的面积为52π＝25π，故答案为：25π；（2）∵直线y＝x+b上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为9π，∴⊙A的半径AB＝3且直线y＝x+b与⊙A相切于点B，如图，∴AB⊥CD，∠DCA＝45°．，①当b＞0时，则点B在第二象限．过点B作BE⊥x轴于点E，∵在Rt△BEA中，∠BAE＝45°，AB＝3，∴．∴．②当b＜0时，则点B'在第四象限．同理可得．综上所述，点B的坐标为或．（3）如图2，，直线y＝﹣当y＝0时，x＝3，即C（3，0）．∵tan∠BCP＝，∴∠BCP＝30°，∴PC＝2PB．P到直线y＝﹣的距离最小是PB＝4，∴PC＝8．3﹣8＝﹣5，P1（﹣5，0），3+8＝11，P（11，0），当m≤﹣5或m≥11时，PD的距离大于或等于4，点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π．点A，B的“确定圆”的面积都不小于9π，m的范围是m≤﹣5或m≥11．。
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2020-2021学年北京市东城区北京二中教育集团九上期中数学模拟试卷
一、选择题（共9小题；共45分）
1. 下面的图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
2. 函数中自变量的取值范围是
A. B. C. D. 全体实数
3. 如图所示，在中，，，，则的值为
A. D.
4. 如图所示，在中，为中点，交于点，则
与的面积比为
A. B. C. D.
5. 如图所示，，，，是上的四个点，，那么与的数
量关系是
A. B. C. D. 无法确定
6. 如图所示，反比例函数的图象上有一点，过点作于，
则是
A. B. C. D.
7. 如图所示，在中，，则等于
A. B. C. D.
8. 在抛物线上的一个点是
A. C. D.
9. 如图所示，中，，．甲、乙、丙、丁四名同
学分别在内画出一个阴影三角形与相似，其中画的错误的是
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁。