高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A选修22
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高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法课件 新人教A
论归结为判定一个明显成 P2⇐P3 → … → 法 或 执
立的条件(已知条件、定___理_、 得到一个明显
果索因
成立的条件
法.
_定__义__、_公__理__等)为止，这
种证明方法叫做分析法.
核心要点探究
知识点一 综合法 【问题1】 用综合法证明命题的基本思路是什么？ 答案 综合法的基本思路是“由因导果”，由已知 走向求证，即从已知条件、公理、定理出发，经过严格的 逻辑推理，最后达到待证的结论或需求的问题．
【问题2】 综合法的推理过程是合情推理还是演绎 推理？
答案 综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步 推理都是严密的逻辑推理，得到的结论是正确的．
知识点二 分析法 【问题1】 用分析法证明命题的基本思路是什么？ 答案 分析法的基本思路是“执果索因”．由求证 走向已知，即从数学题的待征结论或需要求证的问题出发 ，一步一步探索下去，最后寻找到使结论成立的一个明显 成立的条件，或者是可以证明的条件．
典题示例
【典例】 (12 分)若 a，b，c 为不全相等的正数，求证： lga＋2 b＋lgb＋2 c＋lgc＋2 a＞lg a＋lg b＋lg c.
[审题指导]
典题试解
已知函数 f(x)＝lg1x－1，x∈0，12，若 x1，x2∈0，12 且 x1≠x2.
求证：12[f(x1)＋f(x2)]＞fx1＋2 x2.
【问题3】 什么是分析综合法？
答案 “分析综合法”又叫混合型分析法，是同时 从已知条件与结论出发，寻找其之间的联系而沟通思路 的方法．在解题过程中，分析法和综合法是统一的，不 能把分析法和综合法孤立起来使用，分析和综合相辅相 成，有时先分析后综合，有时先综合后分析．分析综合 法的方法结构如图所示：
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修2_2
知识点二 分析法
思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知 a，b>0，求证：a＋2 b≥ ab. 证明：要证a＋2 b≥ ab，只需证 a＋b≥2 ab， 只需证 a＋b－2 ab≥0，只需证( a－ b)2≥0，
因为( a－ b)2≥0 显然成立，所以原不等式成立.
答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证 明的结论变成一个明显成立的条件.
梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学 定义、公理、_定__理_ 等，经过一系列的 推理论证 ，最后推导出所要证明的 结论 成立，这种 证明方法叫做综合法. (2)综合法的框图表示
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
(P表示 已知条件 、已有的 定义 、公理、定理 等，Q表示所要 证明的结论)
跟踪训练2 已知非零向量a，b，且a⊥b， 求证：|a|a|＋＋|bb||≤ 2. 证明 a⊥b⇔a·b＝0，要证|a|a|＋＋|bb||≤ 2， 只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|，
只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2a2＋2b2， 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即证(|a|－|b|)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证.
A.( 2－ 3)2<( 6－ 7)2
B.( 2－ 6)2<( 3－ 7)2
√C.( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2
D.( 2－ 3－ 6)2<(－ 7)2
解析 根据不等式性质，当a>b>0时，才有a2>b2， 只需证 2＋ 7< 6＋ 3， 即证( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2.
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1第1课时综合法课件新人教A版选修1_2
又 AC∩CC1＝C， 失分警示：若漏掉此处的说明，则扣1分. 所以 BD⊥平面 ACC1.(8 分) 而 AC1⊂平面 ACC1， 所以 BD⊥AC1.(9 分) 因为 M，N 分别是 A1B1，A1D1 的中点，
所以 MN∥BD，从而 MN⊥AC1.(10 分) 同理可证 PN⊥AC1.(11 分) 又 PN∩MN＝N， 失分警示：若漏掉此处的说明，则扣1分 所以直线 AC1⊥平面 PQMN.(12 分)
归纳升华 1．注意定理的应用． 利用立体几何中的定理证明问题时，注意定理满足条 件的应用，如本例证明(1)决不能漏掉条件“FP⊂平面 EFPQ，且 BC1⊄平面 EFPQ”．
2．转化思想的应用． 解答立体几何的关键是线与线、线与面与面与面的转 化，如本例的求解就用到了上述三种关系的转化．
[类题尝试] (2017·江苏卷)如图，在三棱锥 A-BCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E， F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD.
所以 sin A＋sin C＝2sin B 由正弦定理，得 a＋c＝2b. 故 a，b，c 成等差数列．
类型 2 综合法在代数证明中的应用 [典例 2] 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，设 bn＝2an－n 1，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项 公式． 证明：因为 an＋1＝2an＋2n 所以a2n＋n 1＝2an－n 1＋1
[变式训练] 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分 别为 a，b，c，已知 sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.
求证：a，b，c 成等差数列． 证明：∵sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1 ∴(sin A＋sin C)sin B＝2sin2B 在△ABC 中，sin B≠0
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版选修1208303
S9=
=9a5<0.
所以S5最小.
第二十五页，共30页。
6. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60°，
PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． (1)证明：CD⊥AE. (2)证明：PD⊥平面 ABE.
第二十六页，共30页。
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中， 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，故PA⊥CD. 因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以(suǒyǐ)CD⊥平面PAC， 而AE⊂平面PAC，所以(suǒyǐ)CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA， 因为E是PC的中点，所以(suǒyǐ)AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD， 且PC∩CD＝C，所以(suǒyǐ)AE⊥平面PCD. 而PD⊂平面PCD，所以(suǒyǐ)AE⊥PD，
想到a·b
a
b
cos C和SABC
1 2
a
b sin C.利用
sin C 1 cos2 C经适当转化就可以获得结论.
第十二页，共30页。
证明 因为SABC (zhèngm
1 2
a
b sin C，cosC
ab， ab
íng)：所以S 2ABC
1 4
a
2
b 2 sin2 C
1
2
a
b 2（1 cos2 C）
2.2 直接证明与间接(jiàn jiē)证明 2.2.1 综合法和分析法 第1课时 综合法
第一页，共30页。
有趣的数学(shùxué)证明引人入胜
第二页，共30页。
推理
合情推理 （或然性推理）
演绎推理 （必然性推理）
高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法课件新人教A版选修2_2
[小组合作型]
综合法的应用 (1)在△ABC 中， 已知 cos Acos B>sin Asin B，则△ABC 的形状一定
是__________． (2)已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0 的四个根组成一个首项为12的等比数
列，则|m－n|＝__________. (3)下面的四个不等式：①a2＋b2＋3≥ab＋ 3(a＋b)；②a(1－a)≤14；③ba＋ab
3．将下面用分析法证明a2＋2 b2≥ab 的步骤补充完整：要证a2＋2 b2≥ab，只 需证 a2＋b2≥2ab，也就是证______，即证__________．由于__________显然成 立，因此原不等式成立.
【解析】 用分析法证明a2＋2 b2≥ab 的步骤为：要证a2＋2 b2≥ab 成立，只需 证 a2＋b2≥2ab，也就是证 a2＋b2－2ab≥0，即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0 显然 成立，所以原不等式成立．
只需证 1＋a－b－ab>1，
只需证 a－b－ab>0，即a－ abb>1，
即1b－1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．
[探究共研型]
综合法与分析法的综合应用 探究 1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都 是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的 “猜想”． 探究 2 综合法与分析法有什么区别？ 【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导 果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步 寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利 获解．
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A选修22 (1)
如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些
性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.
【巩固训练】已知x>0,y>0,x+y=1,求证 【证明】方法一:因为1=x+y,
1 1 (1 )(1 ) 9. x y
所以
ห้องสมุดไป่ตู้
1 1 xy xy (1 )(1 ) (1 )(1 ) x y x y y x x y (2 x>0,y>0, )(2 ) 5所以 2( ). 又因为 x y y x x× y 所以 ≥5+2 2=9. 2, y x 1 1 (1 )(1 ) x y
方法二:因为x>0,y>0,x+y=1, 所以令x=cos2α,y=sin2α,则
此结论是一个很重要的不等式,许多不等式的证明都可
以用该结论.
(5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系由 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)给出,三个式子中知道
两个式子,第三个式子可以由该等式用另外两个式子表
示出来.
【拓展延伸】证明不等式的注意点 在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,
结论: 1.综合法的定义 一般地,利用_________和某些数学定义、公理、定理等, 已知条件 经过一系列的_________,最后推导出所要证明的_____成 推理论证 立,这种证明方法叫做综合法. 结论
2.综合法的流程
其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表
示所要证明的_____,Q1,Q2,…,Qn表示中间结论.
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》758PPT课件
＋λe2(λ∈R)与向量2e1－e2共线的充要条件 是________.
总结：
若P为已知的条件、定义、公理、定 理等，Q表示结论，则综合法即为 P＝＞Q1＝＞Q2＝＞……＝＞Q
练练手：
例1 已知a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)>=
4abc
练练手：
例2 在三角形ABC中，三个内角A、B、 C的对边分别为a,b.c，且A，B，C成等差 数列，a,b.c成等比数列，求证：三角形 ABC是等边三角形。
C 中，求证：tan Atan B>1. (2) .设e1，e 2是两个 不共线向量，则向量e1
综合法
定义：一般地，利用已知条件 和数学定义、定理、公理等， 经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立， 这种方法叫做综合法。
经验传授：
为了很好地利用综合法解题，应做到以下几点：
1、解题时必须做到有理有据，不可想当然，凭 感觉；
2、每拿到一道题时，快速地判断这是哪一章、 哪一节的内容，把相关的内容、方法在脑海中过 一遍电影； 3、积极、主动地将题目的语言叙述、图形叙述 改为符号表示； 4、积极、主动地将题目中式子进行处理、变形、 化简，将式子与“电影”中的内容进行对照。
证明方法
同心中学 马立军
复习旧知
1、推理方法有几种？ 2、合情推理有几种？
归纳推理具体怎样操作？ 类比推理有哪些经验之谈？ 3、什么是演绎推理？以何种形式呈献？
开动脑筋 1、合情推理得出的结论是否必然正确？ 2、你能举一些例子吗？
证明方法的种类
证明方法主要有两类：直接证明和间接证明
直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析 法
总结：
若P为已知的条件、定义、公理、定 理等，Q表示结论，则综合法即为 P＝＞Q1＝＞Q2＝＞……＝＞Q
练练手：
例1 已知a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)>=
4abc
练练手：
例2 在三角形ABC中，三个内角A、B、 C的对边分别为a,b.c，且A，B，C成等差 数列，a,b.c成等比数列，求证：三角形 ABC是等边三角形。
C 中，求证：tan Atan B>1. (2) .设e1，e 2是两个 不共线向量，则向量e1
综合法
定义：一般地，利用已知条件 和数学定义、定理、公理等， 经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立， 这种方法叫做综合法。
经验传授：
为了很好地利用综合法解题，应做到以下几点：
1、解题时必须做到有理有据，不可想当然，凭 感觉；
2、每拿到一道题时，快速地判断这是哪一章、 哪一节的内容，把相关的内容、方法在脑海中过 一遍电影； 3、积极、主动地将题目的语言叙述、图形叙述 改为符号表示； 4、积极、主动地将题目中式子进行处理、变形、 化简，将式子与“电影”中的内容进行对照。
证明方法
同心中学 马立军
复习旧知
1、推理方法有几种？ 2、合情推理有几种？
归纳推理具体怎样操作？ 类比推理有哪些经验之谈？ 3、什么是演绎推理？以何种形式呈献？
开动脑筋 1、合情推理得出的结论是否必然正确？ 2、你能举一些例子吗？
证明方法的种类
证明方法主要有两类：直接证明和间接证明
直接证明的两种最基本的方法：综合法和分析 法
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法课件新人教B版选修2_2
������+������
������
������
解析：因为 x>0,y>0,
������ ������ 所以 1+������ + 1+������
>
������ ������ + 1+������+������ 1+������+������
=
������+������ . 1+������+������
题型一
题型二
题型三
分析法 【例题2】 如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E, 过E作SC的垂线,垂足为F,求证:AF⊥SC.
分析：本例所给的已知条件中,垂直关系较多,我们不容易确定 如何在证明中使用它们,因而用综合法比较困难.这时,可以从结论 出发,逐步反推,寻求使要证结论成立的充分条件.
题型一
题型二
题型三
证明：要证AF⊥SC,只需证SC⊥平面AEF,只需证AE⊥SC(因为 EF⊥SC),只需证AE⊥平面SBC,只需证AE⊥BC(因为AE⊥SB),只需 证BC⊥平面SAB,只需证BC⊥SA(因为AB⊥BC).由SA⊥平面ABC可 知,上式成立.所以AF⊥SC. 反思 在分析法证明中,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都 是结论成立的充分条件,最后一步归结到已被证明了的事实.因此, 从最后一步可以倒推回去,直到结论,但这个倒推过程可以省略.
证明与推理有哪些联系与区别? 剖析：(1)联系:证明过程其实就是推理的过程.就是把论据作为 推理的前提,应用正确的推理形式,推出论题的过程.一个论证可以 只含一个推理,也可以包含一系列的推理;可以只用演绎推理,或只 用归纳推理,也可以综合运用演绎推理和归纳推理,所以证明就是 推理,是一种特殊形式的推理. (2)区别:①从结构上看,推理包含前提和结论两部分,前提是已知 的,结论是根据前提推出来的;而证明是由论题、论据、论证三部 分组成的.论题相当于推理的结论,是已知的,论据相当于推理的前 提.
高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法与分析法课件新人教A版选修1_2
法三 1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2 当 a＝b 时，取“＝”号．
ba·ab＝4.当且仅
题型二 分析法的应用 【例 2】 设 a，b 为实数，求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)．
[思路探索] 题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注 意分析法证明问题的格式即可．
即( a－ b)2≥0.
该式显然成立，所以 a ＋ b ≥ ba
a＋
b.
题型三 综合法和分析法的综合应用 【例 3】 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0<x<1.
求证：logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc
[规范解答] 要证明： logxa＋2 b＋logxb＋2 c＋logxa＋2 c<logxa＋logxb＋logxc， 只需要证明 logxa＋2 b·b＋2 c·a＋2 c<logx(abc)．(2 分) 由已知 0<x<1，只需证明a＋2 b·b＋2 c·a＋2 c>abc.(4 分) 由公式a＋2 b≥ ab>0，b＋2 c≥ bc>0，a＋2 c≥ ac>0.(8 分) 又∵a，b，c 是不全相等的正数，
• 2．分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问 题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否 具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看 需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因 为……，为了证明……，只需证明……，即……，因 此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论 成立”．
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》763PPT课件
的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，
求证 AF⊥SC．
S
证明：要证AF⊥SC， 只需证 SC⊥平面AEF，
F E
只需证证 AE⊥BC ， 只需证 BC⊥平面SAB ， 只需证 BC⊥SA ， 只需证 SA⊥平面ABC ，
A
C
B 因为 SA⊥平面ABC成立，
∴sinA＋sinB＋sinC > cosA＋cosB＋cosC.
练习：设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线 交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x 轴（如图），证明直线AC经过原点O.
y
4
A
2
OF
5
x
CB
－2
－4
－6
分析法
复习
一般地，利用已知条件和某些已经学过的定义、 定理、公理等，经过一系列的推理、论证，最后推导 出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
所以 AF⊥SC成立．
练习
已知α，β ≠ kπ + π (k ∈Z)，且 2
sinθ + cosθ = 2sinα，sinθcosθ = sin2 β，
求证：1-tan2α = 1-tan2 β . 1+ tan2α 2(1+ tan2 β)
Q P1
P1 P2
P2 P3 …
得到一个明显 成立的结论．
例3．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分 别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成 等比数列，求证△ ABC为等边三角形．
证明：∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B． ∵A＋B＋C＝180°， ∴B＝60°， ∴b²＝a²＋c²－2accos60°＝a²＋c²－ac． ∵a，b，c成等比数列 ，∴b2＝ac， ∴ab＝a²＋c²－ac，即 (a－c)²＝0， ∴a＝c， 则A＝C， ∴ A＝C＝B ＝ 60°， ∴ △ ABC为等边三角形．
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答案： a<b
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件。
要证：
要证：
只要证：
格 式 只需证：
显然成立 上述各步均可逆 所以 结论成立
所以 结论成立
例 例：.
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθgcosθ= sin2β
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
问题:在《数学 5(必修)》中，我们如何证明基本不等式
ab ≤ a b (a 0, b 0)? 指出其中的证明方法的特点. 2
证法1:对于正数a,b, 有
Q（ a b）2 ≥ 0 a b 2 ab ≥ 0 a b ≥ 2 ab a b ≥ ab
.
只需证 2 56 2 50 ,即56 50. 故不等式成立.
注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。
3．设 a＝ 3＋2 2，b＝2＋ 7，则 a、b 的大小关系为 ________．
解析： a＝ 3＋2 2，b＝2＋ 7两式的两边分别平方， 可得 a2＝11＋4 6，b2＝11＋4 7，明显 6< 7，故 a<b.
注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
… Qn Q
特点:由因导果(浮想联翩,尝试前进!)
探索求知
2.分析法 ——执果索因
从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直 至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法. （又称倒推证法）
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件。
要证：
要证：
只要证：
格 式 只需证：
显然成立 上述各步均可逆 所以 结论成立
所以 结论成立
例 例：.
已知α,β≠
kπ+π(k 2
Z),且
sinθ+ cosθ= 2sinα
sinθgcosθ= sin2β
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
问题:在《数学 5(必修)》中，我们如何证明基本不等式
ab ≤ a b (a 0, b 0)? 指出其中的证明方法的特点. 2
证法1:对于正数a,b, 有
Q（ a b）2 ≥ 0 a b 2 ab ≥ 0 a b ≥ 2 ab a b ≥ ab
.
只需证 2 56 2 50 ,即56 50. 故不等式成立.
注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。
3．设 a＝ 3＋2 2，b＝2＋ 7，则 a、b 的大小关系为 ________．
解析： a＝ 3＋2 2，b＝2＋ 7两式的两边分别平方， 可得 a2＝11＋4 6，b2＝11＋4 7，明显 6< 7，故 a<b.
注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
… Qn Q
特点:由因导果(浮想联翩,尝试前进!)
探索求知
2.分析法 ——执果索因
从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直 至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法. （又称倒推证法）
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考点二 综合法证明不等式
【例2－1】 (2017·全国Ⅱ卷)已知实数a>0，b>0，且a3＋b3 ＝2. 证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. 证明 (1)∵a>0，b>0，且a3＋b3＝2. 则(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a4－2a2b2＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
综合法与分析法
高二数学黄楚贞
①综合得出命题成立.综合 法又叫顺推证法或由因导果法. ②分析法：从要证的结论出发，逐步 寻求使它成立的充分条件，所需条件 为已知条件或一个明显成立的事实(定 义、公理或已证明的定理、性质等)， 从而得出要证的命题成立，这种证法 称为分析法，即“执果索因”的证明 方法.
考点一 比较法证明不等式
【例1－1】 (2017·江苏卷)已知a，b，c，d 为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16.试证 明：ac＋bd≤8. 证明 ∵(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2 ＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2－(a2c2＋ b2d2＋2acbd) ＝b2c2＋a2d2－2acbd＝(bc－ad)2≥0， ∴(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2， 又a2＋b2＝4，c2＋d2＝16. 因此(ac＋bd)2≤64，从而ac＋bd≤8.
布置作业
1．a＋b＋c＝1，证明： (1)ab＋bc＋ca≤； (2)＋＋≥1. 2.设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明： (1)a＋b≥2； (2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立. 3.已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|. 若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》811PPT课件
c·13≤c＋2 13，
三式相加得
a＋ 3
b＋ 3
3c≤(a＋b＋c)＋12＝1，
∴ a＋ b＋ c≤ 3.
工具
第三章 推理与证明
栏目导引
设 a、b、c 为不全相等的正数，且 abc＝1， 求证：1a＋1b＋1c＞ a＋ b＋ c. 证明： ∵a＞0，b＞0，c＞0，且 abc＝1， ∴1a＋1b＋1c＝abc1a＋1b＋1c＝bc＋ca＋ab. 又 bc＋ca≥2 bc· ca＝2 abc2＝2 c， 同理 bc＋ab≥2 b，ca＋ab≥2 a，
3．由于综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为如 下图所示：
工具
第三章 推理与证明
栏目导引
故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必惟一，如B、 B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能 更多，如C、C1、C2、C3、C4等等．最终能有一个(或多个)可推 演出结论D即可．
运算法则 通过 演绎推理 一步步地接近要证明的结论，
直到完成命题的证明，这种思维方法称为
综合法 ．
2．综合法的推证过程 A命题的条件或已有的定义、公理、定理等 ⇒ 结论B ⇒ 结论C ⇒ 命题的结论D
工具
第三章 推理与证明
栏目导引
1．若实数 a，b 满足 0＜a＜b，且 a＋b＝1，则下列四
个数中最大的是( )
由余弦定理及b2＝ac，可得：b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2 －ac，
工具
第三章 推理与证明
栏目导引
∴a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0， 因此 a＝c，从而有 A＝C. ∴A＝B＝C＝3π，所以△ABC 为正三角形．
工具
第三章 推理与证明
高中数学《第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法》784PPT课件
问题2 能否用比较法或综合法证明不等式：3+ 7 p 2 5
关于分析法:
1.从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件
被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法就是分析法.(又称逆 推法或执果索因法)
有时,我们也可以首先假定所要证明的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这 个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法, 注意应强调”以上每一步都可逆”,并说出可逆根据来.
2
0;
rr 即 ：( a - b )2 0.
完全平方 公式化简
上式显然成立,故原不等式成立.
方法点评: 1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法,其主要过程是
从结论出发,逐步寻求使结论成立的充分条件. 2.分析法是”执果索因”,它是从要证的结论出发,倒着分析,逐
渐地靠近已知事实. 用分析法证,”若P, 则Q.”这个命题的模式是:
证明:
Q
a
0,
b
0且ab1,故0a1,
0
b
1,
0
a
ab
b
1
4
要证：(a 1 )(b 1) 25；
a
b4
只需证：ab a2 b2 1 25 ；
ab
4
展开,通分,移项,化简
只需证：4(ab)2 4(a2 b2 ) 25ab 4 0；
只需证：4(ab)2 4(1 2ab) 25ab 4 0；
一、教学目标 1.掌握分析法证明不等式; 2.理解分析法实质------执果索因; 3.提高证明不等式证法的灵活性.
二、教学重难点 教学重点:分析法 教学难点:分析法实质的理解
三、考纲定位
关于分析法:
1.从求证的不等式出发,逐步寻求使不等式成立的充分条件,直至所需条件
被确认成立,就断定求证的不等式成立,这种证明方法就是分析法.(又称逆 推法或执果索因法)
有时,我们也可以首先假定所要证明的不等式成立,逐步推出一个已知成立的不等式,只要这 个推出过程中的每一步都是可以逆推的,那么就可以断定所给的不等式成立.这也是用分析法, 注意应强调”以上每一步都可逆”,并说出可逆根据来.
2
0;
rr 即 ：( a - b )2 0.
完全平方 公式化简
上式显然成立,故原不等式成立.
方法点评: 1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法,其主要过程是
从结论出发,逐步寻求使结论成立的充分条件. 2.分析法是”执果索因”,它是从要证的结论出发,倒着分析,逐
渐地靠近已知事实. 用分析法证,”若P, 则Q.”这个命题的模式是:
证明:
Q
a
0,
b
0且ab1,故0a1,
0
b
1,
0
a
ab
b
1
4
要证：(a 1 )(b 1) 25；
a
b4
只需证：ab a2 b2 1 25 ；
ab
4
展开,通分,移项,化简
只需证：4(ab)2 4(a2 b2 ) 25ab 4 0；
只需证：4(ab)2 4(1 2ab) 25ab 4 0；
一、教学目标 1.掌握分析法证明不等式; 2.理解分析法实质------执果索因; 3.提高证明不等式证法的灵活性.
二、教学重难点 教学重点:分析法 教学难点:分析法实质的理解
三、考纲定位
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》精品课件_31
成等比数列,求证△ABC为等边三角形.
2、求证 3 7 2 5
说一说：
请对综合法与分析法进行比较，说说 它们各自特点，回顾以往数学学习， 说说你对这两种证明方法的新认识。
综合法的特点:由因导果，
分析法的特点：执果索因.
研一研：
1.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
要证
ab 1
1 a1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
2.2.1 直接证明
——综合法与分析法
问题 1：已知 a, b 0 ，求证：a(b2 c2 ) b(c2 a2 )≥ 4abc
法一：∵ b2 c2 ≥ 2bc , a 0 ,
你怎样求证？
∴ a(b2 c2 )≥ 2abc .又∵ c2 a2 ≥ 2ac , b 0 ,
思考小结: 1.综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 其格式为: 由因导果 (已知) A B1 Bn B (结论) 2.分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 其格式为: 不断转化 (结论) B B1 Bn A (已知)
注:分析法被认为是解数学题的“绝招 ”,因 为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟 悉.当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出 分析的成果作为证明.
象这种利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综 合法.(又称顺推证法)
2、求证 3 7 2 5
说一说：
请对综合法与分析法进行比较，说说 它们各自特点，回顾以往数学学习， 说说你对这两种证明方法的新认识。
综合法的特点:由因导果，
分析法的特点：执果索因.
研一研：
1.△ABC三边长a, b, c的倒数成等差数列，求证：B 90
证明：
要证
ab 1
1 a1
1 ab
a 1 b 1 a2 1 b2 1
a2 1 0, b2 1 0
只需证 a b2 (1 ab)2 因此 (a2 1)(b2 1) 0
只需证 (a2 1)(b2 1) 0 所以原命题成立.
2.2.1 直接证明
——综合法与分析法
问题 1：已知 a, b 0 ，求证：a(b2 c2 ) b(c2 a2 )≥ 4abc
法一：∵ b2 c2 ≥ 2bc , a 0 ,
你怎样求证？
∴ a(b2 c2 )≥ 2abc .又∵ c2 a2 ≥ 2ac , b 0 ,
思考小结: 1.综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 其格式为: 由因导果 (已知) A B1 Bn B (结论) 2.分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 其格式为: 不断转化 (结论) B B1 Bn A (已知)
注:分析法被认为是解数学题的“绝招 ”,因 为它能把问题化繁为简，化难为易，化陌生为熟 悉.当然,为了表述的简洁,我们常用综合法写出 分析的成果作为证明.
象这种利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推 导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫综 合法.(又称顺推证法)
人教A版高中数学选修1-2《二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法》精品课件_14
证法2:要证 ab ≤ a b 2
只要证 2 ab ≤ a b 只要证 0 ≤ a 2 ab b
只要证 0 ≤ ( a b )2
因为最后一个不等式成 立，故结论成立。
分析法
表达简洁!
目的性强,易于探索!
直接证明
综合法和分析法的推证过程如下： 综合法
已知条件 结论
分析法
所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+b2 ≥2bc,b>0 所以b(c2+a2)≥ 2abc. 因此 a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
三、综合法 (顺推证法、由因导果法)
1、综合法的概念
从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运 算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证 明的结论成立.
要证： 只要证： 只需证： 显然成立 上述各步均可逆 所以 结论成立
例：求证不等式： 8 7 5 10.
证明：要证 8 7 5 10 , 只需证 ( 8 7 )2 ( 5 10 )2. 即证 8 7 2 56 5 10 2 50.
.
只需证 2 56 2 50 ,即56 50. 故不等式成立.
注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。
练习：求证 3 7 2 5
解:要证 3 7 2 5 只需证 ( 3 7)2 (2 5)2
展开,只需证 21 5
只需证 21<25
因为 21<25成立,所以 3 7 2 5
综合法的特点:由因导果
分析法的特点：执果索因.
上联：由因导果，顺藤摸瓜 下联：执果索因，逆推破案 横批：得心应手
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法． (2)分析法就是从结论推向已知． (3)所有证明的题目均可使用分析法证明． ( × ) ( ×) ( ×)
2．若 a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是 A．a2＞ab 1 1 C．a＞b B．ab＞b2 D．a2＞b2
1 1 解：(1)∵ － ＝1， 1－an＋1 1－an
1 ∴ 1－a 是公差为 n
1 的等差数列．
1 1 1 又∵ ＝1，∴ ＝n，an＝1－n. 1－a1 1－an
(2)证明：由(1)得 1－ an＋1 n＋1－ n 1 1 bn＝ ＝ ＝ － ， n n n＋1· n n＋1 1 1 1 ∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn＝1－ ＋ － ＋„＋ 2 2 3 1 1 1 － ＝1－ ＜1. n n＋1 n＋1 ∴Sn＜1.
[活学活用]
已知 a，b，c 都为正实数，求证：
证明：要证 a2＋b2＋c2 a＋b＋c ≥ ， 3 3
a2＋b2＋c2 a＋b＋c ≥ . 3 3
a2＋b2＋c2 a＋b＋c2 只需证 ≥ ， 3 3
只需证 3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， 只需证 2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac， 只需证 (a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2≥0，而这是显然成立的，所以 a2＋b2＋c2 a＋b＋c ≥ 成立． 3 3
件 __，直至最后，把要证明的
结论归结为判定一个明显 成 立 的 条 件 ( 已 知 条
公理等) 件、 定理 、 定义、
为止． 这种证明方法叫做分 析法
得到一个明显成立的条件 果索 因法
3．综合法、分析法的区别
综合法 推理方向 解题思路 顺推，由因导果 探路较难，易生
分析法 倒溯，执果索因 容易探路，利于思考
答案： a＞b＞0
综合法的应用
在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列． 3 2 C 2 A 求证：acos ＋ccos ≥ b. 2 2 2 [证明] ∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac. a(1＋cos C) c(1＋cos A) 1 1 ∵左边＝ ＋ ＝ (a＋c)＋ (acos C＋ccos A) 2 2 2 2 2 2 2 b2＋c2－a2 1 1 a ＋b －c ＝ (a＋c)＋ a· ＋ c· 2 2 2ab 2bc 1 1 b b 3 ＝ (a＋c)＋ b≥ ac＋ ＝b＋ ＝ b＝右边， 2 2 2 2 2 3 2C 2 A ∴acos ＋ccos ≥ b. 当且仅当 a＝c 时等号成立． 2 2 2 [典例]
(
)
答案：C
3．欲证 2－ 3＜ 6－ 7成立，只需证 A．( 2－ 3)2＜( 6－ 7)2 B．( 2－ 6)2＜( 3－ 7)2 C．( 2＋ 7)2＜( 3＋ 6)2 D．( 2－ 3－ 6)2＜(－ 7)2
(
)
答案：C
4．如果 a a＞b b，则实数 a，b 应满足的条件是________．
综合法的解题步骤
[活学活用]
1．已知 a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2 ≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2 ＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
1 1 2．设数列{an}满足 a1＝0， － ＝1. 1－an＋1 1－an (1)求{an}的通项公式； 1－ an＋1 (2)设 bn＝ ，Sn＝b1＋b2＋„＋bn，证明：Sn＜1. n
2 2
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 2 2 ∴ a ＋b ≥ (a＋b)成立．综上所述，不等式得证． 2
≥
2 (a＋b)2. 2
分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本 性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的 证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不 等式的证明，常用分析法； (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等 式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条 件是已知(或已证)的不等式； (4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地 用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
2．2.1 综合法和分析法
预习课本 P85～89，思考并完成下列问题
(1)综合法的定义是什么？有什么特点？ (2)综合法的推证过程是什么？ (3)分析法的定义是什么？有什么特点？ (4)分析法与综合法有什么区别和联系？
[新知初探]
1．综合法
定义 利用 已知条件 和某些数 推证过程 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 特点
分析法的应用
[典例]
[证明]
设 a，b 为实数，求证：
2 a ＋b ≥ (a＋b)． 2
2 2
当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， 2 2 2 ∴ a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2 当 a＋b＞0 时， 用分析法证明如下： 要证 只需证( a ＋b )
2 2 2 2 2
2 a ＋b ≥ (a＋b)， 2
公理 、定理 等， 学 定义 、 顺推证 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q 经过一系列的 推理论证， 法或由 (P 表示已知条件 ， 已有的 最后推导出所要证明的结 因导果 定义 _____、公理 、 定理 等， 论成立，这种证明方法叫 法 Q 表示 所要证明的结论 ). 做综合法
2.分析法
定义 从要证明的 结论出发 ， 逐 步寻求使它成立的 充分条 逆推 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 证法 或执 框图表示 特点
枝节
形式简洁，条理 清晰 侧考的 侧重点
叙述繁琐，易出错
侧重于结论提供的信息
[点睛]
一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解
题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问 题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理 地表述解题过程．
[小试身手]
2．若 a＞b＞0，则下列不等式中不正确的是 A．a2＞ab 1 1 C．a＞b B．ab＞b2 D．a2＞b2
1 1 解：(1)∵ － ＝1， 1－an＋1 1－an
1 ∴ 1－a 是公差为 n
1 的等差数列．
1 1 1 又∵ ＝1，∴ ＝n，an＝1－n. 1－a1 1－an
(2)证明：由(1)得 1－ an＋1 n＋1－ n 1 1 bn＝ ＝ ＝ － ， n n n＋1· n n＋1 1 1 1 ∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn＝1－ ＋ － ＋„＋ 2 2 3 1 1 1 － ＝1－ ＜1. n n＋1 n＋1 ∴Sn＜1.
[活学活用]
已知 a，b，c 都为正实数，求证：
证明：要证 a2＋b2＋c2 a＋b＋c ≥ ， 3 3
a2＋b2＋c2 a＋b＋c ≥ . 3 3
a2＋b2＋c2 a＋b＋c2 只需证 ≥ ， 3 3
只需证 3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac， 只需证 2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac， 只需证 (a－ b)2＋ (b－ c)2＋ (c－ a)2≥0，而这是显然成立的，所以 a2＋b2＋c2 a＋b＋c ≥ 成立． 3 3
件 __，直至最后，把要证明的
结论归结为判定一个明显 成 立 的 条 件 ( 已 知 条
公理等) 件、 定理 、 定义、
为止． 这种证明方法叫做分 析法
得到一个明显成立的条件 果索 因法
3．综合法、分析法的区别
综合法 推理方向 解题思路 顺推，由因导果 探路较难，易生
分析法 倒溯，执果索因 容易探路，利于思考
答案： a＞b＞0
综合法的应用
在△ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列． 3 2 C 2 A 求证：acos ＋ccos ≥ b. 2 2 2 [证明] ∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac. a(1＋cos C) c(1＋cos A) 1 1 ∵左边＝ ＋ ＝ (a＋c)＋ (acos C＋ccos A) 2 2 2 2 2 2 2 b2＋c2－a2 1 1 a ＋b －c ＝ (a＋c)＋ a· ＋ c· 2 2 2ab 2bc 1 1 b b 3 ＝ (a＋c)＋ b≥ ac＋ ＝b＋ ＝ b＝右边， 2 2 2 2 2 3 2C 2 A ∴acos ＋ccos ≥ b. 当且仅当 a＝c 时等号成立． 2 2 2 [典例]
(
)
答案：C
3．欲证 2－ 3＜ 6－ 7成立，只需证 A．( 2－ 3)2＜( 6－ 7)2 B．( 2－ 6)2＜( 3－ 7)2 C．( 2＋ 7)2＜( 3＋ 6)2 D．( 2－ 3－ 6)2＜(－ 7)2
(
)
答案：C
4．如果 a a＞b b，则实数 a，b 应满足的条件是________．
综合法的解题步骤
[活学活用]
1．已知 a，b，c，d∈R，求证：(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
证明：∵左边＝a2c2＋2abcd＋b2d2 ≤a2c2＋(a2d2＋b2c2)＋b2d2 ＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝右边， ∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
1 1 2．设数列{an}满足 a1＝0， － ＝1. 1－an＋1 1－an (1)求{an}的通项公式； 1－ an＋1 (2)设 bn＝ ，Sn＝b1＋b2＋„＋bn，证明：Sn＜1. n
2 2
1 2 即证 a ＋b ≥ (a ＋b2＋2ab)，即证 a2＋b2≥2ab. 2 ∵a2＋b2≥2ab 对一切实数恒成立， 2 2 2 ∴ a ＋b ≥ (a＋b)成立．综上所述，不等式得证． 2
≥
2 (a＋b)2. 2
分析法证明不等式的依据、方法与技巧 (1)解题依据：分析法证明不等式的依据是不等式的基本 性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论； (2)适用范围：对于一些条件复杂，结构简单的不等式的 证明，经常用综合法．而对于一些条件简单、结论复杂的不 等式的证明，常用分析法； (3)思路方法：分析法证明不等式的思路是从要证的不等 式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条 件是已知(或已证)的不等式； (4)应用技巧：用分析法证明数学命题时，一定要恰当地 用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语．
2．2.1 综合法和分析法
预习课本 P85～89，思考并完成下列问题
(1)综合法的定义是什么？有什么特点？ (2)综合法的推证过程是什么？ (3)分析法的定义是什么？有什么特点？ (4)分析法与综合法有什么区别和联系？
[新知初探]
1．综合法
定义 利用 已知条件 和某些数 推证过程 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 特点
分析法的应用
[典例]
[证明]
设 a，b 为实数，求证：
2 a ＋b ≥ (a＋b)． 2
2 2
当 a＋b≤0 时，∵ a2＋b2≥0， 2 2 2 ∴ a ＋b ≥ (a＋b)成立． 2 当 a＋b＞0 时， 用分析法证明如下： 要证 只需证( a ＋b )
2 2 2 2 2
2 a ＋b ≥ (a＋b)， 2
公理 、定理 等， 学 定义 、 顺推证 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q 经过一系列的 推理论证， 法或由 (P 表示已知条件 ， 已有的 最后推导出所要证明的结 因导果 定义 _____、公理 、 定理 等， 论成立，这种证明方法叫 法 Q 表示 所要证明的结论 ). 做综合法
2.分析法
定义 从要证明的 结论出发 ， 逐 步寻求使它成立的 充分条 逆推 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 证法 或执 框图表示 特点
枝节
形式简洁，条理 清晰 侧考的 侧重点
叙述繁琐，易出错
侧重于结论提供的信息
[点睛]
一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解
题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问 题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理 地表述解题过程．
[小试身手]