图形的认识初步(10)角的比较、角平分线
第七章几何图形的初步认识
第七章几何图形的初步认识知识回顾1、点，线，面：①图形是由构成的。
②面与面相交得，线与线相交得。
③点动成，线动成，面动成。
2、线：①线段有两个: 。
②将线段向一个方向无限延长就形成了。
只有一个。
③将线段的两端无限延长就形成了。
没有端点。
④经过两点直线（两点确定直线）。
3、比较长短：①两点之间的所有连线中，最短。
②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的。
4、角：角的度量与表示：①角由两条具有的射线组成，两条射线的是这个角的顶点。
②一度的是一分，一分的是一秒。
角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着而成的。
②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做。
始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做。
④余角：。
⑤补角：。
⑥邻补角：。
⑦从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成，这条射线叫做这个角的平分线。
⑧同角或等角的相等。
⑨同角或等角的相等。
5、平行：①同一平面内，的两条直线叫做平行线。
②经过直线外一点，有直线与这条直线平行（平行公理）。
③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线（平行线的传递性）。
④相等，两直线平行。
⑤相等，两直线平行。
⑥，两直线平行。
⑦，同位角相等。
⑧两直线平行，。
⑨两直线平行，。
6、垂直：①如果两条直线相交且夹角成，那么这两条直线互相垂直。
②互相垂直的两条直线的交点叫做。
③平面内，过一点直线与已知直线垂直。
7、垂直平分线（线段的中垂线）：一条线段的直线叫垂直平分线。
8、垂直平分线定理：性质定理：在垂直平分线上的点到的距离相等。
判定定理：在这线段的垂直平分线上。
9、角平分线：把一个角叫该角的角平分线。
10、角平分线定理：性质定理：角平分线上的点到相等。
判定定理：在该角的角平分线上。
6.2 角第2课时角的度量与角平分线 苏科版七年级数学上册教学课件
正确的有( B )
①∠1=∠2,∠3=∠4;
②OC平分∠AOE;
③∠BOE=∠AOD;
④2∠BOD=∠AOE.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
本节小结
角的度量
角
1周角＝360°；1平角＝180° 1°＝60′；1′＝60″.
角的平分线
解：（4）15°20′÷6 ＝12°200′÷6 ＝12°÷6＋200′÷6 ＝2°＋198′÷6＋2′÷6 ＝2°＋33′＋120″÷6 ＝2°33′20″.
课程讲授
1 角的度量与计算
练一练：将31.39°用度分秒表示，结果是( C ) A.31°3′9″ B.31°23′4″ C.31°23′24″ D.31°23′
随堂练习
1.填空： （1）2.8°＝ 2° ′；48 （2）39°36′＝ 39.6°
随堂练习
2.若∠1=25°12′，∠2=25.12°，∠3=25.2°，下列结论 中正确的是( C ) A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠1=∠3 D.∠1=∠2=∠3
随堂练习
3.从3时到6时,钟表的时针转过的角的度数是( C ) A.30° B.60° C.90° D.120°
O
B A
课程讲授
2 尺规作角
DB
O
CA
BB''
D'
OO' '
C'
AA''
∠A'O'B'就是所求的角.
课程讲授
3 角的平分线
问题1：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经 过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上 任取一点记作点C.类比线段中点的定义，试着归纳角平 分线的定义.
《角的平分线的性质》教学设计
《角的平分线的性质》教学设计《角的平分线的性质》教学设计1教材分析1、本节课是11、3角分线的性质第一课时内容包括角平分线的作法、角平分线的性质有及初步应用；2、本节课是在学完11、2三角形全等的判定的基础上进行教学的，作角的平分线是基本作图，角的平分线性质为证明线段和角的相等开辟了新的途径，同时为后面角的平分线的判定定理的学习奠定了基础。
所以本节内容在初中数学知识体系中起到承上启下的作用。
学情分析1、学生在学习了11、2三角形全等的判定定理后已掌握了证明线段相等的方法，但学生的动手操作能力、猜想能力、总结归纳能力、对定理的灵活运用能力比较欠缺。
2、根据学生认知特点和接受水平，把本节课的教学任务定为：掌握角平分线的画法及角平分线的性质定理的证明和运用性质定理证明线段相等。
3、学生对角平分线的尺规作图作法及运用性质定理证明线段相等教学目标1、知识与技能：角平分线定理及定理的证明及应用。
2、过程与方法：培养学生探索知识和分析问题、解决问题的能力。
3、情感、态度与价值观：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受。
教学重点和难点教学重点：角平分线的性质定理的探究、证明、运用。
教学难点：角平分线的作图方法、角平分线的性质的运用。
《角的平分线的性质》教学设计2【教学目标】1．使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理，并会用两个定理解决有关简单问题．2．通过引导学生参与实验、观察、比较、猜想、论证的过程，使学生体验定理的发现及证明的过程，提高思维能力．3．通过师生互动以及交互性多媒体教学课件的使用，培养学生学习的自觉性，丰富想象力，激发学生探究新知的热情．【教学重点】角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用．【教学难点】理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理以及两个定理的区别与联系．【教学方法】启发探究式．【教学手段】多媒体（投影仪，计算机）．【教学过程】一、复习引入：1．角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫这个角的平分线．表达方式：如图1，∵ OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2（或∠AOB=2∠1=2∠2或∠1=∠2= ∠AOB）．2．角平分线的画法：你能用什么方法作出∠AOB的平分线OC？（可由学生任选方法画出OC）．可以用尺规作图，可以用折纸的方法，可以用TI图形计算器．3．创设探究角平分线性质的情境：用两个全等的30的直角三角板拼出一个图形，使这个图形中出现角平分线，并且平分出的两个角都是30．学生可能拼出的图形是：（拼法1）（拼法2）（拼法3）选择第三种拼法（如图2）提出问题：（1）P是∠DOE平分线上一点，PD、PE与∠DOE的边有怎样的位置关系？（2）点P到∠DOE两边的距离可以用哪些线段来表示？（3）PD、PE有怎样的数量关系？（投影）二、探究新知：（一）探索并证明角平分线的性质定理：1．实验与猜想：引导学生任意画出一个角的平分线，并在角平分线上任取一点，作出到角两边的距离．通过度量、观察并比较，猜想它们有怎样的数量关系？用TI图形计算器实验的结果：（教师用计算机演示：点P在角平分线上运动及改变∠AOB大小，引导学生观察PD与PE的数量关系）．引导学生用语言阐述自己的观点，得出猜想：命题1在角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．2．证明与应用：（学生写在笔记本上）已知：如图3，OC是∠AOB的平分线，P为OC上任意一点，PD⊥OA于D，PE ⊥OB于E．求证：PD＝PE．（投影）证明：∵ OC是∠AOB的平分线，∴∠1=∠2．∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴∠ODP=∠OEP=90．又∵ OP=OP,∴△ODP≌△OEP(AAS)．∴ PD＝PE三、作业设计反思：一、重视情境创设，让学生经历求知过程。
人教版八年级数学上《角的平分线的性质》知识全解
《角的平分线的性质》知识全解课标要求：理解并掌握角平分线的性质及判定知识结构：内容解析：前面已经学过角平分线的尺规作图，这为本节课学习角平分线的性质做好了铺垫；本章前面学习的全等三角形的有关知识，为本节课证明角平分线的性质创造了条件；本节课对角平分线性质的探究为今后学习图形对称、等腰三角形奠定了基础；对角平分线性质的证明为学生学会思考问题，注重书写格式，清楚地表达思考的过程提供了方法，使学生体会证明的必要性；角平分线性质的应用为证明线段相等、角相等开辟了新的途径。
1、尺规作图画角平分线（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）画射线OC．射线OC即为所求．2、角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．图形表示：若CD平分∠ADB,点P是CD上一点PE⊥AD 于点E，PF⊥BD于点F，则PE=PF．3、角的平分线的性质推论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．图形表示：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE=PF，则PD平分∠ADB4、证明命题的步骤：（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．重点、难点：本节课重点是：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用.难点是：（1）对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；（2）对于性质定理的运用（学生习惯找三角形全等的方法解决问题而不注重利用刚学过的定理来解决，结果相当于对定理的重复证明）教法导引：1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习.学法建议：在学习过程中，应在理解的基础上熟记角平分线的性质及判定，抓住关键词是“平分角”“到角的两边的距离相等”，解题中出现相关条件时就容易想到角平分线的性质这个知识点．。
北师大数学七年级上《基本平面图形》第10讲：角
第十讲：角1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：【例1】利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【例2】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【例3】下图中，能用∠ABC，∠B，∠1三种方法表示同一个角的图形是（）A． B．C． D．角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．【例1】将下列角度转化为度分秒：（1）23.46°= °′″；（2）13.16°×3= °′″；（3）52.52°= °′″；（4）23.16°+7.61°= °′″．【例2】计算下列各题：（1）152°49′12″+20.18°= ；（2）82°-36°42′15″= ；（3）35°36′47″×9= ；（4）41°37′÷3= ．角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．【例1】如图，已知OD平分∠AOB，射线OC在∠AOD内，∠BOC=2∠AOC，∠AOB=114°．求∠COD的度数．【例2】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80，求：∠MON.【例3】如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【例4】如图，已知O是直线AC上一点，OD平分AOB，OE在BOC内，且BOE＝12EOC，DOE＝70°，求EOC的度数.方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．【例1】已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于．钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【例1】在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线?【例2】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间?一、选择题1．关于平角、周角的说法正确的是( )．A．平角是一条直线. B．周角是一条射线．C．反向延长射线OA，就成一个平角． D．两个锐角的和不一定小于平角．2. 在时刻8：30时，时钟上的时针与分针之间的所成的夹角是（）A．60° B．70° C．75° D．85°3．下面等式成立的是（）A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′4．如图所示，将一幅三角板叠在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC的值（）．A．小于180° B．等于180° C．大于180° D．不能确定5．如图，O为我国南海某人造海岛，某国商船在A的位置，∠1=40°，下列说法正确的是（）A．商船在海岛的北偏西50°方向 B．海岛在商船的北偏西40°方向C．海岛在商船的东偏南50°方向 D．商船在海岛的东偏南40°方向二、填空题1．如图所示，∠AOC与∠BOD都是直角，且∠AOB:∠AOD＝2:11，则∠AOB＝_______．2.从A沿北偏东60°的方向行驶到B，再从B沿南偏西20°的方向行驶到C，则∠ABC= 度．3．如图，在一个正方体的两个面上画了两条对角线 AB，AC，那么这两条对角线的夹角等于．三、解答题1. 如图，∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠BOD，若∠AOD:∠BOC=5:1，求∠COE的度数。
2024-2025学年数学人教版七年级上册 第六章 第10课时 角的比较与运算(2)
所以∠BOE＝∠DOE＝75°，∠BOD＝
2∠DOE＝150°.
因为∠AOB＋∠BOD＝180°，
所以∠AOB＝180°－∠BOD＝30°.
第3题图
因为 OC 平分∠AOB，所以∠BOC＝12 ∠AOB＝15°.
所以∠COE＝∠BOE＋∠BOC＝75°＋15°＝90°.
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与角的平分线有关的运算
例2 如图，∠AOB＝168°，OC平分∠AOB.求∠AOC，∠BOC的
度数． 解：因为OC平分∠AOB，∠AOB＝168°， 所以∠AOC＝∠BOC＝12 ∠AOB＝21 ×
168°＝84°.
例2题图
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第10课时 角的比较与运算(2)
第1题图
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第10课时 角的比较与运算(2)
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2.如图，BD平分∠ABC，∠ABE∶∠CBE＝2∶3，∠ABC＝100°， 求∠DBE的度数．
解:因为BD平分∠ABC，∠ABE∶∠CBE＝2∶3，
∠ABC＝100°，
所以∠ABD＝12 ∠ABC＝50°，∠ABE＝
第5题图
所以∠DOE＝180°－∠COD＝180°－60°＝120°.
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第10课时 角的比较与运算(2)
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(2)试猜想∠AOC和∠DOE的数量关系，并说明理由．
解:(2)∠DOE＝2∠AOC.理由如下：
因为∠AOB＝90°，
所以∠BOC＝90°－∠AOC. 因为OB平分∠COD， 所 以 ∠COD ＝ 2∠BOC ＝ 2×(90° － ∠AOC)＝180°－2∠AOC. 因为∠COD＋∠DOE＝180°，
角的平分线的性质教案多篇
角的平分线的性质教案多篇角的平分线的性质教案1一、教学目标【知识与技能】了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明与计算。
【过程与方法】在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力。
【情感态度与价值观】在主动参与数学活动的过程中，增强探究问题的兴趣、有合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,获得解决问题的成功体验。
二、教学重难点角的平分线的性质的证明及应用。
角的平分线的性质的探究。
三、教学过程(一)导入新课1.复习角平分线的画法2.利用PPT创设情景：如图是小明制作的风筝，他根据AB=AD，BC=DC.不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗?(二)生成新知探究做一做(学生独立完成，同组同学交流，找学生到黑板上板演.教师纠正答案)如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论?试着证明你的结论.0011.jpg∴△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PE.(三)深化新知思考：角的平分线的性质在应用时应该注意什么问题?(由学生讨论汇报)(四)应用新知1.例题：解决导入中PPT的问题2.练一练：(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形_____ 中PD=PE.0012.jpg(五)小结作业小结：通过这节课的学习，你有什么收获?你对今天的学习还有什么疑问吗?作业：必做题，选做题，思考题：角平分线性质的逆命题并证明。
角的平分线的性质教案2一、教学目标【知识与技能】进一步了解角平分线的性质和判定，能够证明角平分线的性质和判定定理并且会运用角平分线性质去解决问题。
【过程与方法】通过对“角平分线性质”的探究，提高分析问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】通过一系列的证明过程，体验数学活动充满着探索性和创造性，增强学习数学的兴趣和勇于创新的精神。
【数学课件】角的比较
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思考题
1、当∠2= 2∠1时， ∠1、∠2是什么关系？ 1 2、 当2 1时, 2与 3 1是什么关系?
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当∠2= 2∠1时，∠1= ∠3. 即射线OC把∠2分成两个相 等的角。则称OC为∠AOB 的角平分线。
Hale Waihona Puke BC 21O
A
1、对“中”——角的顶点对量角器的中心 2、重合——角的一边与量角器的零线重合 3、读数——读出角的另一边所对的度数
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角的比较方法2:实物叠合比较 （请同学们用三角板作实物比较）
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目标2
会根据图形判断角的和差倍 分
1
2
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3
1 2
∠2= ∠1+∠3 ∠1= ∠2-∠3
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练习2：P.32第2、3题
第2题 (1)是 （2）不是 第3题 β﹤ α ﹤ γ
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小结与目标回顾 1、会用量角器度量角，并会 比较两个角的大小。 2、会根据图形判断角的和差倍分。 3、记住角平分线的定义。
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五分钟测评： P.32第4、5、6题
好好学习，天天向上。
学习目标
1、会用量角器度量角，并会 比较两个角的大小。
2、会根据图形判断角的和差倍分。 3、记住角平分线的定义。
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目标一
会用量角器度量角， 并会比较两个角的大小。
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【教案】角的比较与运算
第四章几何图形初步4.3 角4.3.2 角的比较与运算一、教学目标【知识与技能】1.知道角的大小的含义，会通过观察或用量角器比较角的大小.2.知道角的和、差的意义，会用一副三角尺通过和差画出特殊角.3.知道角平分线的意义，会画一个角的平分线.4.会结合图形进行角度的运算.【过程与方法】实际观察、操作，体会角的大小，培养学生的观察思维能力；【情感态度与价值观】角的测量和折叠等，体验数、符号和图形是描述现实世界的重要手段．二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】1.角的大小比较方法2.角平分线的意义，角度的运算.【教学难点】1.从图形中观察角的和、差关系2.结合图形进行角度的运算.五、课前准备教师：课件、圆规、量角器、三角尺、角的纸片数张等。
学生：三角尺、圆规、量角器、三角尺、角的纸片数张、铅笔。
六、教学过程（一）导入新课有一天学生小明和小华各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话: 小明:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些. （出示课件2-3）小华:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.同学们有办法帮他们进行判断吗？怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?（二）探索新知1.师生互动，探究角的大小与比较教师问1：我们知道，线段可以比较大小，观察下图，说一说谁长谁短？（出示课件5-6）线段长短的比较：学生回答：AB>CD学生回答：AB=CD学生回答：AB<CD教师讲解：线段的和、差：AB=BC+ACBC=AB–ACAC=AB–BC线段中点：若点C是线段AB的中点，则AC = BCAC = BC = 1AB2AB = 2 AC = 2 BC教师问2：类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？（出示课件7）师生共同解答如下：可以用度量法，量角器直接测量出角度再比较大小教师问3：还有其他方法吗？教师引导学生回答：叠合法。
将两个角放在同一个顶点进行比较。
（出示课件8）教师问4：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？( 两个角分别记作∠AOB，∠A'O'B' )教师讲解：教师问5：我们知道，两条线段可以相加，可以相减，那么两个角也可以相加、相减吗？观察图片说一说图中有几个角？它们之间有什么关系？（出示课件9）师生一起解答：图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.它们的关系：∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC–∠BOC；类似地，∠AOC–∠AOB = .学生回答：∠BOC教师讲解：求角的度数例如图，O 是直线AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.（出示课件11）师生共同解答如下：解：因为∠AOB 是平角，∠AOB＝∠AOC+∠BOC.所以∠BOC＝∠AOB–∠AOC＝180°–53°17′＝179°60′–53°17′＝126°43′.易错警示：计算180°–53°17′时，可以向180º 借1º，化为179°60′.教师讲解：角的度数的计算例：把一个周角7 等分，每一份是多少度的角(精确到分)？（出示课件15）师生共同解答如下：解：360°÷7 = 51°+3°÷7= 51°+180′÷7≈ 51°26′.答：每份是51°26′的角.易错警示：计算3°÷7时有余数，可以把度的余数化成分后再除，即3°化为180′.总结点拨：（出示课件16）涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.2.师生互动，探究角平分线的定义动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C. 如图所示教师问6：类比线段中点的定义，你能在横线上把问题补充完整吗？（出示课件18）∠AOC_____∠COB;∠AOB=_____∠AOC.学生回答：∠AOC=∠COB; ∠AOB=2∠AOC.教师讲解：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线. 如图OC即为∠AOB的角平分线数学语言： 因为 OC 是∠AOB 的角平分线，所以 ∠AOC ＝∠BOC ＝ 1 2∠AOB ，∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.考点1：利用角平分线求角的度数例：如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线.（出示课件20-22）(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD 是多少度？(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？师生共同解答如下：解：（1） 因为 OB 平分∠AOC ，∠AOC=80°，所以 ∠BOC= 21 ∠AOC= 21×80°=40°.（2）解：因为OB 平分∠AOC ，所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.因为OD 平分∠COE ，所以∠COD=∠DOE = 30°，所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.（3）解：因为∠COD=30°，OD 平分∠COE ，所以∠COE=2∠COD=60°，所以∠AOC=∠AOE –∠COE=140°– 60°= 80°.又因为OB 平分∠AOC ，所以∠AOB= 21 ∠AOC= 21 ×80°= 40°. 考点2：利用比例或倍分求角的度数例：如图，已知∠AOB=40°，自O 点引射线OC ，若∠AOC ：∠COB= 2：3．求OC 与∠AOB 的平分线所成的角的度数．（出示课件25）解：分以下两种情况：①如图，在∠内部，平分∠，设∠AOC=2x，∠COB=3x，因为∠AOB=40°，所以2x+3x=40°，得x=8°，所以∠AOC=2x=2×8°=16°.因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，所以∠COD=∠AOD–∠AOC=20°–16°=4°．②如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，（出示课件26）所以设∠AOC=2x，∠COB=3x，因为∠AOB=40°，所以3x–2x=40°，得x=40°，所以∠AOC=2x=2×40°=80°，因为OD平分∠AOB，所以∠AOD=20°，所以∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．所以OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．总结点拨：（出示课件27）涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.（三）课堂练习（出示课件29-36）1．已知∠MON＝40°，∠NOP＝15°，则∠MOP等于( )A．55°B．25°C．55°或25° D.50°2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是( )A．25°B．40°C．50°D．65°3.如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为_______ ．4.计算：86°23′12″–67°36′50″=_________.5.如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.6.计算：(1)15°24′×5;(2)31°42′÷5.7.如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．8.如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1) 求∠EOD的度数；(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．参考答案：1.C2.A3.150°42′解析：因为∠BOC=29°18′,所以∠AOC的度数为180°–29°18′=150°42′．4.18°46′22″解析: 86°23′12″–67°36′50″= 86°22′72″–67°36′50″= 85°82′72″–67°36′50″= (85–67)°(82–36)′(72–50)″=18°46′22″.5.解:因为∠BOC =∠AOB–∠AOC=170°–90°=80°,所以∠COD=∠BOD –∠BOC=90°–80°=10°.6.解:(1)15°24′×5=75°120′=77°;(2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5=6°+102′÷5=6°+20′+2′÷5=6°20′+120″÷5=6°20′+24″=6°20′24″.7.解：设∠COD=x ，因为∠AOC=60°，∠BOD=90°，所以∠AOD=60°–x ，所以∠AOB=90°+60°–x=150°–x ，因为∠AOB 是∠DOC 的3倍，所以150°–x=3x ，解得x=37.5°，所以∠AOB=3×37.5°=112.5°．8.解：(1)因为∠AOB ＝120°， OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，所以∠EOD ＝∠DOC ＋∠EOC＝ 21(∠BOC ＋∠AOC )＝ 21∠AOB ＝ 21×120°＝60°.(2)解：因为∠AOB ＝120°，∠BOC ＝90°，所以∠AOC ＝120°–90°＝30°.因为OE 平分∠AOC ，所以∠AOE ＝21∠AOC ＝21×30°＝15°.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:1．角的比较方法(1)度量法；(2)叠合法．2．角的计算(1)利用角平分线；(2)利用角的比例或倍分．（五）课前预习预习下节课（4.3.3）的相关内容。
《几何图形初步》全章知识讲解
《几何图形初步》全章知识讲解【学习目标】1．认识一些简单的几何体的平面展开图及三视图，初步培养空间观念和几何直观； 2．掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法； 3．初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题；4．逐步掌握学过的几何图形的表示方法，能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形． 【要点梳理】要点一、多姿多彩的图形 1． 几何图形的分类要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果. 2．立体图形与平面图形的相互转化 （1）立体图形的平面展开图：把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来． 要点诠释：①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的 11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践. （2）从不同方向看：立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等. ⎧⎨⎩平面图形：三角形、四边形、圆等.几何图形⎧⎨⎩主（正）视图----------从正面看几何体的三视图左视图----------------从左边看俯视图----------------从上面看要点诠释：①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.（3）几何体的构成元素及关系几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.要点二、直线、射线、线段1.直线，射线与线段的区别与联系2. 基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线。
2024年七年级数学上册第二章几何图形的初步认识复习题及答案解析微探究小专题4与角平分线有关的计算
°−°
所以∠ BMA1＋∠ CMD1＝
＝75°.
所以∠ BMC ＝∠ BMA1＋∠1＋∠ CMD1＝30°＋75°＝105°.
思路点拨
此题主要考查折叠的性质，角平分线的性质，将∠ BMA1＋∠ CMD1
看成一个整体求解，运用了整体思想.
(2)受兴趣小组的启发，智慧小组将一个直角三角尺中60°角的顶点放
在点 O 处(如图3)，即当∠ COD ＝60°时，请你求出∠ MOC ＋∠ DON
的度数；
数学思考：(3)请你在图1中，求∠ MOC ＋∠ DON 的度数(用含有α的式
第二章
几何图形的初步认识
微探究小专题4
与角平分线有关的计算
微探究小专题4
类型1
与角平分线有关的计算
与角的和差倍分有关的计算
1. 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠ DOE ＝90°， OF 平分
∠ BOD ，∠ AOE ＝24°，则∠ DOF 的度数是(
A. 24°
B. 33°
1
2
B
)
所以∠ BOD ＝ ∠ AOB ＝15°.
因为∠ BOC ＝50°，
所以∠ DOC ＝∠ BOC －∠ BOD ＝35°.
综上所述，∠ DOC 的度数为35°或65°.
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2
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7
8
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微探究小专题4
与角平分线有关的计算
4. 在同一平面内，若∠ BOA ＝50°，∠ BOC ＝30°， OM 平分
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三角形的角平分线
三角形的角平分线引言三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在三角形中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分为两个相等的角的线段。
本文将介绍三角形的角平分线的性质和相关定理。
角平分线的定义在三角形ABC中，假设角A的顶点是顶点A，其角平分线是指从顶点A出发，将角A分为两个相等的角。
角平分线的性质在三角形ABC中，角平分线有以下性质：1.角平分线将角分为两个相等的角。
证明：假设角A的角平分线为AD，可以通过角A的两边与角平分线的交点D分别连接线段CD和BD，得到三个小三角形ACD、BCD和ABD。
根据直角三角形的性质，我们知道ACD ≌ BCD 和ABD ≌ BCD，因此角ACD和角ABD是相等的。
2.角平分线上的点到三角形的两边距离相等。
证明：假设角A的角平分线为AD，可以通过点D分别作垂线DE和DF分别与边AC和边BC相交。
根据直角三角形的性质，我们可以得知三角形AED ≌三角形BED和三角形AFD ≌ 三角形BFD。
因此，DE = DF。
3.三角形的三条角平分线交于一点。
证明：假设角A的角平分线为AD，角B的角平分线为BE，角C的角平分线为CF。
我们可以通过两条角平分线相交的性质，得到∠CAD = ∠BAD 和∠BAE =∠CAE。
由于∠CAD = ∠BAE，所以角DAB = ∠CAB。
同理，可以证明角BAC = ∠BAC。
因此，三个角平分线交于点D。
角平分线的相关定理角平分线定理在三角形ABC中，角A的角平分线和边BC的关系为：angle_bisector_theoremangle_bisector_theorem其中，BD为角平分线，根据角平分线的性质可得：AB/AC = BD/CD。
角平分线的外角定理在三角形ABC中，如果角平分线BD将边AC分成了线段AE和EC，那么∠BAD = ∠BCE。
角平分线的内角定理在三角形ABC中，如果角平分线BD将角BAC分成了角BAD和角CAD，那么∠BAD = ∠CAD。
角平分线的性质教案
第十一章角平分线的性质一学习目标1.知识与技能：了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。
2.过程与方法：通过观察，归纳作图，总结出角平分线的性质，提高学生的动手操作能力和实践能力3.情感，态度和价值观：提高学生对数学学习的兴趣，体验数学作图的乐趣。
二重点、难点重点：角平分线的性质和判定。
难点：角平分线的性质和判定的综合应用。
三教学工具圆规，直尺，三角板四教学方法探究归纳法，实践法六教学过程1.知识梳理1）角平分线的定义2）角平分线的尺规作法3）角平分线的性质4）角平分线的判定2.新授知识点一作角平分线例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB⊥于C。
思路分析：由于AB是直线，要求作CM AB⊥，实际上就是要作平角ACB∠的平分线。
根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM。
解答过程：作法：1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；2、分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，使两弧交于点M；3、作直线CM。
所以，直线CM即为所求。
解题后的思考：此题要求“大于12DE的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。
在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。
小结：本题属于作图题。
在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。
知识点二角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角平分线性质的符号语言：P在AOB∠的平分线上PD OA⊥于D，PE OB⊥于E∴PD PE=例2：如图，AD是ABC∆的角平分线，DE AB⊥，DF AC⊥，垂足分别是,E F。
连接EF，交AD于点G。
说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。
几何图形初步基础知识详解
几何图形初步目录一、几何图形二、直线、射线、线段三、角四、《几何图形初步》全章复习与巩固一、几何图形基础知识讲解【学习目标】1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；2.掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；3.理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.【要点梳理】要点一、几何图形1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．要点诠释：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．要点诠释：(1)常见的立体图形有两种分类方法：(2)常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．要点二、从不同方向看从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．要点三、简单立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．要点四、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系.此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.A.题目典型易错，重思路分析—“渔、鱼”兼得！按照★到★★★★标注难度。
人教版数学七年级上第四单元几何图形初步《角的比较与运算》说课稿
§4.3.2 角的比较与运算说课稿一、说教材一）说课内容：我说课的内容是初中数学课本七年级上册第四单元《几何图形初步》第三节。
二）教材分析《角的比较与运算》第一课时是初中数学课本七年级上册第四单元《几何图形初步》第三节，角的比较、角的和与差、角的平分线，这三个内容是本章重要的基础知识，也是后续学习图形与几何必备的基础。
比较两角的大小是本节知识的起点，角的和与差是问题的延伸，等分问题又是角的和与差的特殊化，这三个知识点相互之间是紧密联系的，而且与生活息息相关。
三）学情分析在前面已经学过线段的大小比较、线段的和与差，线段的中点，本节课可以采用类比的学习方法，便于理解与掌握。
这是学生的有利条件。
然而学生处于几何的启蒙阶段，如何正确的用图形语言、文字语言、符号语言综合描述所研究的对象将是他们的难处。
四）教学目标根据学生的年龄特点，认知规律及对教材的剖析与学生的分析，我确立了本课教学目标及重难点。
1、会比较角的大小，理解两个角的和、差、倍、分的意义，掌握角平分线的概念，培养学生归纳、分析能力。
2、学生经历“观察——对比——归纳”的学习过程，培养用数学语言描述图形的能力及类比的数学思想方法。
3、培养学生爱思考的习惯，通过对角大小的比较，使学生体会数学的形象直观美，向学生渗透团结协作的合作精神，培养勇于探索的精神和解决问题的优化意识。
五）教学重难点重点：角的大小的比较方法，角平分线的定义难点：角的加减运算，角的平分线的运用六）教学具为了突出重点，突破难点，加大课堂练习密度，我采用了多媒体教学与教具。
二、说教学法教法：学生在前面学习过线段的大小比较，线段的和与差，线段的中点基础上，教师采用启发式教学，引导学生自主探索，合作交流，体会类比的数学思想。
学法：初一学生仍以形象思维能力为主，因此要充分利用学生已有的认知基础和他们已掌握的操作方法和方式，结合“观察、比较、操作、发现”的学法指导，引导学生在自己动手的过程中，利用知识的迁移，把新旧知识联系在一起，使学生抽象思维能力得到发展.三、教学流程（一）情景导入：以登山的情景导入新课，学生在选择登山路径的过程中，若考虑路径的长短，则是对线段的大小比较，若是考虑坡度的陡与缓，则是对角的大小比较。
新华师大版八年级数学上册《角平分线》教案
新华师大版八年级数学上册《角平分线》教案一、教学内容本节课选自新华师大版八年级数学上册第七章第二节《角平分线》。
内容包括：角平分线的定义、性质、判定以及应用。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握角平分线的定义、性质和判定方法，能够运用这些知识解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生的空间观念、逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感、态度和价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养合作交流的意识，提高学生的自主学习能力。
三、教学难点与重点教学重点：角平分线的定义、性质和判定方法。
教学难点：角平分线的性质和判定方法的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：三角板、量角器、圆规、直尺等。
2. 学具：三角板、量角器、圆规、直尺、练习本等。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）引导学生观察三角板上的角，思考如何将角平均分成两个相等的角。
（2）让学生尝试用直尺和圆规在纸上画出一个角的平分线。
2. 例题讲解（1）讲解角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。
（2）讲解角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（3）讲解角平分线的判定方法：如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。
3. 随堂练习（1）让学生在纸上画出给定角的平分线。
（2）判断下列各题中，哪些是角的平分线。
4. 小组讨论与交流（1）讨论：如何证明一个点在角的平分线上？（2）交流：在生活中，你见过哪些应用了角平分线的地方？六、板书设计1. 定义：角的平分线2. 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等3. 判定方法：点到角的两边的距离相等七、作业设计1. 作业题目（1）画出一个角的平分线。
（2）判断下列各题中，哪些是角的平分线。
（3）已知角的平分线和一组对边相等，求证：这个三角形是等腰三角形。
2. 答案（1）见学生作业。
（2）见学生作业。
（3）证明：延长角的平分线，交另一边于点D，连接BD。
认识角平分线与垂直平分线幼儿园教案
认识角平分线与垂直平分线幼儿园教案目标：通过本节课的学习，幼儿将能够理解角平分线和垂直平分线的概念，并能够利用这些概念解决简单的几何问题。
一、前期准备：1. 准备一个大型平面图形，如一个三角形或矩形，并将其固定在黑板上。
2. 准备黏土或纸板，用于幼儿制作角平分线和垂直平分线的示意图。
二、教学过程：Step 1：引入知识（15分钟）1. 教师出示平面图形，引导幼儿观察图形的特点，并提问：“你们能说出图形中的角吗？”2. 根据幼儿的回答，引导幼儿了解角的概念，并解释角的两个重要概念：角平分线和垂直平分线。
3. 向幼儿展示角平分线和垂直平分线的示意图，并解释它们是如何分割角和线段的。
Step 2：角平分线（20分钟）1. 教师向幼儿展示一个角，并要求幼儿观察该角，找出它的平分线。
2. 引导幼儿学习如何使用尺子或直尺绘制角平分线，并帮助幼儿实践操作。
3. 给予幼儿练习机会，让他们在制作角平分线的示意图上尝试多个角，并观察角平分线如何将角分为两个相等的部分。
Step 3：垂直平分线（20分钟）1. 教师向幼儿展示一个线段，并要求幼儿观察该线段，找出它的垂直平分线。
2. 引导幼儿学习如何使用直尺绘制垂直平分线，并帮助幼儿实践操作。
3. 给予幼儿练习机会，让他们在制作垂直平分线的示意图上尝试多个线段，并观察垂直平分线如何将线段分为两个相等的部分。
Step 4：巩固练习（25分钟）1. 分发练习册或工作纸给幼儿，让他们在纸上回答一些简单的问题，如“绘制一个角的平分线”或“找到一个线段的垂直平分线”。
2. 巡视课堂，指导幼儿完成练习，并及时给予肯定和反馈。
3. 收集练习纸，以检查幼儿的学习进展。
三、总结与评价（10分钟）1. 教师引导幼儿回顾本节课所学内容，强调角平分线和垂直平分线的重要性和应用。
2. 让幼儿分享他们在学习过程中遇到的困难和收获。
3. 对幼儿的表现给予积极评价，并提供可能的改进建议。
四、拓展活动（15分钟）1. 将幼儿分组，并要求他们在小组内合作制作一幅包含角平分线和垂直平分线的图画。
角平分线
知识分析：①重点：掌握角的平分线的性质定理②难点：角平分线定理的应用教学目标：1、初步掌握角的平分线的性质定理．2、尺规作图：作已知角的平分线3、能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题.4、经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理．5、通过测量操作，发现角的平分线的性质定理6、培养学生严谨的逻辑思维能力。
1、知识点详细内容一、创设情境独立思考（1）如何作已知角的平分线？（尺规作图）（2）角平分线有什么性质？（3）如何证明角平分线的性质定理？（4）证明一个几何命题时具体步骤是什么？（1）如图，AB＝AD，BC＝DC，求证：AC是∠DAB的平分线（2）用尺规作一个角的平分线◆已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线OC作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．◆练习，画出下列角的平分线◆角平分线的性质①思考，教材P48②命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 题设：一个点在一个角的平分线上◆角平分线的性质②命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到这个角的两边的距离相等.◆结合图形请你写出已知和求证，并证明命题的正确性已知AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。
求证：OE=OD。
四、归纳总结巩固新知1、知识点的归纳总结：（1）角平分线上的到角两边的相等。
（2）证明命题的步骤：①画图②已知，求证③证明（４．如图，已知AD是△ABC的角平分线，且D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：BE=CF５．如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
探究：点P在∠A的平分线上吗？为什么？证明：1）角的平分线的性质定理的内容是什么？用数学语言如何表示？（2）画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？（3）求证：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上1、知识点的归纳总结：◆到角的两边的距离相等的点在角的平分线上AB D CFE2、运用新知解决问题（1）例题：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等证明：。
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(初一数学)第四章 图形认识初步（十）-----角的平分线
第 周 星期 班别： 姓名： 学号：
（一）学习目标：
1、学会比较角的大小，
2、明确角的平分线的定义，会进行有关的计算。
（二）新课学习：
一、角的和、差
1、如图，图中共有 个角，
分别是
2、计算：∠AOD ＝∠AOB ＋∠ ∠AOD ＝∠AOC ＋∠
∠COD ＝∠AOD －∠ ∠BOD ＝∠AOD －∠
二、角的平分线的概念：
1、角的平分线定义：
如图，像OC 这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成 的两个角的 线，叫做这个角的
2、用几何语言表示：
如图，∵OC 平分∠AOB
∴∠AOC=∠ （1）
∠AOB=2∠ ，∠AOB=2∠ （2）
∠AOC=
12∠ ，∠BOC=12
∠ （3）
类似地，还有角的三等分线等
如图，∵OC 、OD 是∠AOB 的三等分线
∴∠1=∠ =∠ =31∠ ∠AOB=3∠ =3∠ =3∠
3、例1：如图，O是直线AB上的一点，∠AOC=53°17′
求∠BOC的度数？
解：∵∠AOB= °，
∴∠BOC=∠－∠
= °－° =
例2：如图，已知∠BOC=40°，OC平分∠AOB，
求∠AOC和∠AOB的度数？
解：∵OC平分∠AOB
∴∠AOC= （在上面的（1）、（2）、（3）中找一个合适的等式填写）∵∠BOC=40°
∴∠AOC= °
∵OC平分∠AOB
∴∠AOB= （在上面的（1）、（2）、（3）中找一个合适的等式填写）∵∠BOC=40°
∴∠AOB= °
三、练习A组：
1、下图中有几个角，比较这些角的大小，并用“<”连接。
解：图中有个角，
2、如果∠1=∠2，∠2=∠3，则∠1_____∠3
如果∠1>∠2，∠2>∠3，则∠1_____∠3
3、按图填空：
（1）∠AOB+∠BOC=___________ ;
（2）∠AOC+∠COD=___________
（3）∠BOD－∠COD=___________ （4）∠AOD－_______=∠AOB
4、如图，已知∠DEF=78度，EH 平分∠DEF ，求∠HEF 的度数；
解：
5、如图，BD 和CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
且∠DBC=∠ECB=31°，求∠ABC 和∠ACB 的度数，
它们相等吗？
解：
四、练习B 组：
1、如图，已知∠AOB=50度，OD 是∠COB 的角平分线，求∠AOD 的度数； 解：∵∠AOB=50度
∴∠COB=180°－∠
=180°－ °= °
∵OD 是∠COB 的角平分线 ∴∠DOB=12
∠ =12× °= ° ∵∠AOD=∠ +∠
= °+ °= °
2、如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，
（1）如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD 是多少度？
（2）如果∠AOE=140°，∠COD=30°，那么∠AOB 是多少度？
解：
3、如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD=31°28′。
求∠AOD的度数？
4、如图，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，
求∠DOE的度数？。