线性规划的灵敏度分析与最优解的解释(3)
线性规划灵敏度分析
淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号***********指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容，而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析，最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ,Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’, the variety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis.This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table.Linear programming of sensitivity analysis in physically of application is mainly about application of the variety of resources c ondition‘i b ’in the economic management ‘shadow price problem’.Keywords simplex method, sensitivity analysis, optimum solution ， resourcescondition ，cost coefficient目录引言 (1)一、价值系数的变化分析 (2)二、技术系数的变化分析 (5)三、右端常数的变化分析 (6)四、增加新约束条件的灵敏度分析 (8)五、增加一个新变量的灵敏度分析 (9)六、线性规划灵敏度分析的应用 (9)七、线性规划在经济及管理问题上的典型应用 (14)八、从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征 (16)结论 (17)参考文献 (18)致谢 (19)引言灵敏度分析是运筹学中一个比较重要的问题，在现实生活中，尤其是在经济 管理与投资中有着广泛的应用.随着经济的发展，已有不少学者对其进行研究，本文基于已有的研究上进行归纳总结，并在对其研究理论的基础上，对灵敏度分析的应用进行分析.在研究线性规划的灵敏度分析之前，先了解几个定义： 定义 线性规划的标准形：（LP ）max ..0Z CX AX b s t X ==⎧⎨≥⎩ (1.1)(1.2)(1.3) 其中()12,,,n C c c c =为行向量，()12,,,Tn X x x x =，()12,,,Tm b b b b =均为列向量，()ij m nA a ⨯=为m n ⨯矩阵；0b ≥，并假设A 的秩为m ，在问题（LP ）中，约束方程（1.2）的系数矩阵A 的任意一个m m ⨯阶满秩子矩阵B （0B ≠）称为线性规划问题的一个基解或基.这就是说，基矩阵B 是由矩阵A 中m 个线形无关的列向量组成的，不失一般性，可假设()111121,,,m m m mm a a B p p p a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭并称()1,2,i p i m =为基向量，与基向量相对应的变量()1,2,i X i m =称为基变量不在B 中的列向量()1,2,j p j m m n =++称为非基向量，与非基变量相对应的变量()1,2j X j m m n =++称为非基变量，并记()1,11,12,1,,,m m m m n m m mn a a N p p p a a ++++⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭，则系数矩阵A 可以写成分块形式，不失一般性(,)A B N =， （1.4） 将基变量和非基变量组成的向量分别记为()12,,,TB m X x x x =，()12,,,TN m m n X x x x ++=，则向量X 相应的写成分块形式B N X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1.5）再将（1.5）代入约束方程组（1.2）中，得(),B N X B N b X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由矩阵的乘法可得B N BX NX b +=，又因为B 是非奇异方阵，所以1B -存在，将上式两边乘以1B -，移项后，得11B N X B b B NX --=-现在可以把N X 看作一组自由变量（又称独立变量），给他们任意一组值N X ，则相应的B X 的一组值B X ，于是B N X X X ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭便是约束方程组（1.2）的一个解.特别令0N X =时，则1N X B b -=，现把约束方程组的这种特殊形式的解10B b X -⎛⎫= ⎪⎝⎭，称为基本解.满足变量非负约束条件（1.3）的基本解称为基本可行解. 现在来研究线性规划的灵敏度分析.灵敏度分析的含义是指对系统或事物因为周围条件变化显示出来的敏感度.具体说来就是要研究初始单纯形表上的系数变化对最优解的影响，研究这些系数在什么范围内变化时原最优基仍然是最优的.若原最优基不是最优的，如何用简便的方法找到新的最优解.现考虑标准形线性规划问题：（LP ）max ..0Z CXAX b s t X ==⎧⎨≥⎩当线性规划问题中的一个或几个参数变化时，可以用单纯形法从头计算，看最优解有没有变化.但这样做即麻烦又没有必要，因为单纯形法的迭代过程是从一组基向量变换为另一种基向量，每次迭代都和基变量的系数矩阵B 有关，表中每次迭代得到的数据只随基向量的不同选择而改变，因此可以把个别参数的变化直接在计算得到的最优解的单纯形表上反映出来.这样就不需要从头计算，而直接在最优性单纯形表进行审查，看一些数字变化后，是否仍满足最优性的条件，如果不满足的话再从这个表开始进行迭代计算，求得最优解.下面就各个参数改变后的情况进行讨论：一、 价值系数j c 的变化分析（一）非基变量j x 的价值系数j c 的变化若非基变量j x 的价值系数j c 的改变为j j j c c c '=+∆，则变化后的检验数为1j j j B j c c C B p σ-'=+∆-，0要保持原最优基不变，即当j c 变化为j c ∆后，最终单纯形表中这个检验数小于或等于零，即10j j j B j c c C B p σ-'=+∆-≤，因此j j c σ∆≤-∆，这就确定里在保持最优解不变时非基变量j x 的目标函数j c ，的变化范围，当超出这个范围时，原最优解将不是最优解了.为了求新的最优解，必须在原最优单纯形表的基础上，继续进行迭代以求得新的最优解.例1 已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++()12341234123423280054341200..3453100001,2,3,4j x x x x x x x x s t x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩（Ⅰ）为保持原最优解不变，分别求非基变量13,x x 的系数13,c c 的变化范围 （Ⅱ）当1c 变为5时，求新的最优解.解 （i ）由图表可知：113/4σ=-，311/4σ=-，于是由公式j j c σ∆≤-∆知，保持原最优解不变，则有 1313/4,11/4c c ∆≤∆≤，当111113/417/4c c c '=+∆≤+=，333311/423/4c c c '=+∆≤+=时，原最优解不变.（ii ）当1517/4c =>时，已经超出了1c 的变化范围，最优解发生了变化，下面来求新的最优解.首先求出的检验数：()11111/450,4,523/403/4B c C B p σ-⎛⎫⎪''=-=-=> ⎪ ⎪-⎝⎭故1x 为换入基，用新的检验数13/4σ'=代替原来的检验数113/4σ=-，其余数据不变，得到新的单纯形表，并继续迭代得：表（1.2） 由表中可看出已得到新的最优解()*100,175,0,0,75Tx =及新的目标函数最优值 *1375Z =.（二）基变量j x 的价值系数j c 的变化若r c 是基变量r x 的价值系数，因为r B c C ∈，当r c 变为r r c c +∆时，就引起BC 的变化，则()()()1111120,,,0,,,B B B rB r r r rnC C B A C B A c B A C B A c a a a ----'''+∆=+∆=+∆其中 ()12,,,r r rn a a a '''是矩阵1B A -的第r 行.于是，变化后的检验数为1j j B j r rj j r rj c C B p c a c a σσ-'''=--∆=-∆ （j = 1，2，，n ）若要求最优解不变，则必须满足0j j r rj c a σσ''=-∆≤ （j = 1，2，，n ）由此可以导出当0rj a <时，有/r j rj c a σ'∆≤ ； 当0rj a >时，有/r j rj c a σ'∆≥. 因此，r c ∆的允许范围是{}{}max /|0min /|0j rj rj r j rj rj jja a c a a σσ''''>≤∆≤<使用此公式时，首先要在最优表上查出基变量r x 所在行中的元素()1,2,,rj a j n '=，而且只取与非基变量所在列相对应的元素，将其中的正元素放在不等式的左边，负元素放在不等式右边，分别求出r c ∆的上下界.例2 为保持现有最优解不变，分别求出例1 中基变量24,x x 的变化范围.若当B C 由（0，4，5）改变为（0，6，2）时，原最优解是否保持最优，如果不是，该怎么办？解 根据上述公式，利用表（1.1），为使最优基变量()245,,x x x 不变，4c ∆的变化范围是413/41/413/41/4max ,min ,213/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭即4114c -≤∆≤ 故当41554c ≤≤时，原最优解不变， 现在4c 变为6，已超出了4c ∆的允许变化范围.同样的，2c ∆的允许范围是211/4113/41/4max ,min ,11/413/43/4c ----⎧⎫⎧⎫≤∆≤⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭，即2113c -≤∆≤故当21643c ≤≤时，原最优解不变，现在2c 变为2，也不在2c ∆的允许变化范围内，当B c 由（0，4，5）变为（0，6，2）即4c 变为6，2c 变为2，都超过了它们的允许变化范围，需要求新的最优解.为此用变换后的B c '代替B c ，将表（1.2）改成表1.3（I ），在继续进行迭代求得新的最优解，由该表知，已求得最优解()*0,0,0,300,200,0,100Tx =及目标函数最优值*1800Z =.j 最优解对目标函数中的价值系数j c 的改变不十分灵敏，而对价值系数j c 的灵敏度分析的应用意义是：企业可以在不改变资源优化分配的前提下，在一定幅度内改变价值系数j c 的值，来积极应对市场挑战.二、 技术系数ij a 的变化分析由于对价值系数j c 的分析分为基变量价值系数和非基变量价值系数，现也可以按这种方法把对技术系数ij a 的分析分为两类：（一）、非基向量列j P 改变为j P ' 12j j j nj a a P a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这种情况指初始表中的j P 到数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是非基向量.这一改变直接影响最优单纯形表上的第j 列数据与第j 个检验数.最终单纯形表上的第j 列数据变为1j B P -'，而新的检验数1j j B j c c B P σ-''=-，若0j σ'≤，则原最优解仍是新问题的最优解.若0j σ'>，则最优基在非退化情况下不再是最优基.这是，应在原来最优单纯形表的基础上，换上改变后的第j 列数据1j B P -'和j σ'，把j x 作为换入变量，用单纯形法继续迭代.（二）、基向量列j P 改变为j P '这种情况指初始表中的j P 列数据改变为j P '，而第j 个列向量在原最终表上是基向量，此时，原最优解的可行性和最优性都可能遭到破坏，需要重新计算.三、 右端常数i b 的变化分析右端常数i b 的变化在实际问题中表明可用资源的数量发生变化.当第r 个约束方程的右端常数由原来的r b 变为r r r b b b '=+∆，其它系数都不变，即初始表上新的限定向量12000r r m b b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+∆=+⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，其中1200,0r r n b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆=⎢⎥⎢⎥∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设原最优解为121m B B B B x x X B b x -⎡⎤⎢⎥⎢⎥'==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则新的最优解为1111100B r X B b B b B b B b B b -----⎡⎤⎢⎥⎢⎥''⎢⎥==+∆=+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若原最优基B 仍是最优的，则新的最优解0B X '≥，即1111000r B r ir B r r mr d X B b B b B b d X b D d ---⎡⎤'⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥''⎢⎥=+∆=+=+∆≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦其中r D 是1B -的第r 列，即12r r r mr d d D d ⎡⎤'⎢⎥⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎣⎦故()01,2,,i B r ir x b d i m '+∆≥=因此，r b 的允许变化范围是：max |0min |0i iB B ir r ir i iir ir x x d b d d d ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪''->≤∆≤-<⎨⎬⎨⎬''⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭如果r b ∆超出上述范围，则新的解不是可行解.但由于r b 的变化不影响检验数，故仍保持检验数0σ≤，即 满足对偶可行性，这时可在原最终表的基础上，用对偶单纯形法继续迭代，以求出新的最优解.一般来说，当b 变为b '时，也可以直接计算1B b -，若有10B b -≥，则原最优基B 仍是最优基，但最优解和最优值要重新计算.若1B b -不恒大于零，则原最优基B 对于新问题来说不再是可行基，但由于所有检验数0σ≥，现行的基本解仍是对偶可行的，因此，只要把原最终表的右端列改为11B B b C B b --'⎡⎤⎢⎥'-⎢⎥⎣⎦，就可用对偶单纯形法求解新问题. 例3 线性规划问题12121122312max 232212416..515,0Z x x x x b x b s t x b x x =++≤+∆⎧⎪≤+∆⎪⎨≤+∆⎪⎪≥⎩分别分析123,,b b b ∆∆∆在什么范围内变化，问题的最优基不变.解 先分析1b ∆的变化，由公式10B B X X B b -'=+∆≥知，使问题最优基不变的条件是1111101325324421042053031005b λλ⎛⎫-⎡⎤ ⎪+⎢⎥∆⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪+-=-≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭由此推得162λ-≤≤同理由23403λ⎡⎤⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得， 24λ-≤≤∞，3331354405135λλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+≥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦从而3515λ-≤≤.四、 增加新约束条件的灵敏度分析若在线性规划问题中再增加一个新的约束条件，即 有1,11nm jj m j ax b ++=≤∑，即11m m A X b ++≤ （4.1） 其中 ()11,11,21,,,,m m m m n A a a a ++++=，()12,,,Tn X x x x =，由于增加一个约束，则可行域有可能减小，但不会使可行域增大，因此，若原问题的最优解满足这个新的约束，则在新问题中仍是最优解；若原来的最优解不满足这个新约束，那么现再来求新的最优解.设原来的最优基为B ，各基向量集中于A 的前m 列，最优解为 10B N x B b X x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对新增加的约束（4.1），引进松弛变量1n x +，又因为()()()111,m m m BNA A A +++=，则（4.1）式变成()()1111m B m N n m B N A X A X X b ++++++= （4.2）显然，1n x +是约束（4.2）的基变量.增加约束后，新的基B '、()1B -'及右端向量b '如下：()101m B B B A +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦，()()111101m B B B A B ---+⎡⎤'=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，1m b b b +⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦， 对于新增加约束后的新问题，在现行基下对应变量()1j x j m ≠+，的检验数是：()()()111111,0,01j j j j j B j j B j B j j m m j B P B c z c C B P c C c C B P A B a σσ----++⎡⎤⎡⎤'''''=-=-=-=-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦它与不增加约束时相同.又因为1n x +是基变量，故10n σ+'=.因此，现行的基本解是对偶可行的，现行基本解是：()()()1111111111101B n m m n m m B B B b X bb B B b b A B X b A B b -----++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 若()()1110m m B b A B b -++-≥，则现行的对偶可行的基本解是新问题的可行解，即最优解.若()()1110m m B b A B b -++-<，则在原来最终解的基础上增加新约束（4.2）的数据，通过矩阵的初等行变换，把原最终表上的各基向量列及新增列1n P +化为单位阵，再用对偶单纯形法继续求解.五、 增加一个新变量的灵敏度分析假设要增加一个非负的新变量1n x +，其相应的系数列向量为1n P +，价值系数为1n C +.又知原问题的最优解是B ，显然，增加这个新变量，对原最优解的可行性没有影响.现计算新的检验数1111n n B n C C B P σ-+++=-若10n σ+≤，则原最优解是新问题的最优解；若10n σ+>则原最优解不再是最优解.这时，把11n B P -+加入到原最终表内，并以新变量1n x +作为换入变量，按单纯形法继续迭代，即可得到新的最优解.六、线性规划灵敏度分析的应用线性规划灵敏度分析的应用主要是资源条件的应用，而对资源条件b 的分析的一个重要应用是：“影子价格问题”定义 设线性规划对偶问题1max nj j j Z c x CX ===∑ min W Yb =（P ）()()11,2,,..01,2,,nij j i j ja x AXb b i m s t x j n =⎧=≤==⎪⎨⎪≥=⎩∑ （D ） ..0YA Cs t Y ≥⎧⎨≥⎩右端常数()1,2,,i b i m =表示第i 种资源的现有量下面讨论i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的变化. 设B 是问题（P ）的最优基，则*1****1122B m m Z C B b Y b y b y b y b -===+++，当i b 变为1i b +时（其余右端常数不变，并假设这种变化不影响最优基B ）目标函数最优值变为*****1122(1)i i m m Z y b y b y b y b '=++++++，于是目标函数最优值的改变量为****i Z Z Z y '∆=-=，由上式可以看出*i y 的意义，它表示当右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值的改变量，也可以写成**i iZ y b ∂=∂()1,2,,i m =，即*i y 表示*Z 对i b 的变化率.在一对对偶问题（P ）和（D ）中，若（P ）的某个约束条件的右端常数i b 增加1个单位时所引起的目标函数最优值*Z 的改变量*i y 称为第i 个约束条件的影子价格，又称边际价格.由定义可知，影子价格*i y 的经济意义是在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数最优值的变化，即对偶变量i y 就是第i 个约束条件的影子价格.影子价格是针对某一具体的约束条件而言的.而问题中所有其它数据保持不变，因此影子价格也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数.影子价格又称灵敏度系数，通常指线性规划对偶模型中对偶变量的最优解.如果原规划模型属于一定资源约束条件下，按一定的生产消耗生产一组产品并需求总体效益目标最大化问题，那么其对偶模型属于对本问题中每一资源以某种方式进行估价，以便得出与最优生产计划相一致的一个企业最低总价值.该对偶模型中资源的估价表现为相应资源的影子价格.影子价格在经济管理中的应用很多，下面就下面这个问题进行分析： 影子价格指示企业内部挖掘潜力的方向.设线性规划模型（LP ）：()()11max 1,2,,..01,2,,nj jj nij ji j iZ c x a x b i m s t x j n ===⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得：min ..0Z C X AX b s t X ''='=⎧⎨'≥⎩ 其中(),0c c '=-，0是m 维行向量， (),A A I '=为m m *单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基*x ，最优解为： ***11n n j j j j j j Z c x c x =='==∑∑ ，并可设()()1****,,0B B N N x B b x c c c x -⎡⎤⎡⎤'''⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()1*11*****111,0n n m j j j j B N B B i j j i i B b Z c x c x c c c B b c B b ---===⎡⎤⎡⎤'''''⎢⎥=====⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑∑∑ 所以可令**ii Z y b∂=∂，即()()1**,1,2,,iB i y c B i m -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦因此，有***11nmj ji i j i Z c x y b ====∑∑ （6.1）再令()()1*****12,,,m B y y y y c B -'==，由单纯形法最优原则可知：()1**0B y A c c B A c -'''''-=-≤ （6.2） 即()()*(,),0,0y A I c c ≤-=-因此，有*0y ≥ （6.3） 而由（6.2），（6.3）及线性规划的对偶结构可知：*y 是对偶问题的可行解. 再由（6.1）及对偶定理可知：*y 是对偶问题的最优解.可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零.反之就是，若影子价格*0y >，则对应的是*x 的起作用约束.因此，影子价格*0i y =表示第i 种资源i b 未得到充分利用；而*0i y >则表示第i 种资源i b 已得到充分利用.影子价格直接应用到企业资源最有效的部门中去.当影子价格大于资源的市场价格时，企业应购进这种产品，使利润增加；当当影子价格小于资源的市场价格时出现多做多赔的情形，应出售这种资源.大公司还可借助资源的影子价格确定一些内部结算价格，以便控制有限资源的使用和考核下属企业经营的好坏.又如在社会上对一些紧缺资源，借助影子价格规定使用这种资源企业必须上缴的利润额，以控制企业自觉地节约使用紧缺资源，使有限资源发挥更大经济效益.“影子价格问题”：影子价格 设线性规划模型（LP ）Max∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 有最优解*x ，最优解为**j j z c x =∑则可令iib z ∂∂=**ϖ 则必有∑∑--==mi i i nj j j b x c z 1*1**ϖ和0*≥i ϖMax∑-nj j jx c1..s t 1(1,2,)0(1,2)nij j i j j a x b i m x j n -⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ 存在最优解.对（LP ）标准化后，得min x c ''..t s 0Ax b x '=⎧⎨'≥⎩其中3(,)T x x x '=（5x 为松弛变量，是m 维列变量），(,0)c c '=-,这里0是m 维行向量，而(,)A A I '=为*m m 单位阵.因为设（LP ）有最优解，故由线性规划单纯形法求解，可得最优基可行解*x ，最优解为：∑∑--'==nj nj j j jj x c xc z 11***并可设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-N B x x b B x **1**0)(，),(N B c c c ''=' i m i i B B nj N B jj n j j j b B c b B c b B c c xc x c z ∑∑∑------'='=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''='==11*1*11**1**])([)(0)(),( 所以可令iib z ∂∂=**ϖ，即[]i B i B c 1**)(-=ϖ，),,2,1(m i = 因此有∑∑--==n j mi i i j j b x c z 11***ϖ （6.4）再令1***2*1*)(),,(-'==B c Bm ϖϖϖϖ 由单纯形法最优准则可知0)(1**≤'-''='-'-c A B c c A B ϖ （6.5） 即)0,()0,(),(*c c I A -=-≤ϖ因此有0*≥ϖ (6.6) 而由(6.5)和(6.6)，由线性规划的对偶规划结构可知：*ϖ是对偶规划的可行解，再由(6.4)，以及对偶定理可知：*ϖ是对偶规划的最优解.）称*ϖ为第i 种资源的影子价格，****12(,,)n ωωωω=为影子价格向量.*ϖ表示，第i 种资源bi 对最优值的边际贡献.从线性规划对偶理论易见，影子价格就是对偶规划的最优解.而由前述对资源条件的灵敏度分析可知，对于最优解*x 的不起作用约束而言，若此约束的资源条件bi 在灵敏度范围内变动时，则最优值*z 不变，所以0**=∂∂=iib z ϖ 可见，最优解*x 的不起作用约束的影子价格为零。
第4章线性规划灵敏度分析
-2 x1 1
0
σj
0
0
-4 0 0 B-1b
x3 x4 x5 -1/5 -2/5 1/5 2/5 7/5 -1/5 -2/5 11/5 -9/5 -8/5 -1/5 -28/5
从表中看到 c3= -4, σ3= -9/5 可得到Δc3 ≤-σ3 = 9/5 时，即 c’3≤-4 + 9/5 = -11/5 时原最优解不变。
（1）参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变—— 数据的稳定区间；
（2）当参数超出（1）的变化范围时，最优解或最优基有何变 化——如何求出新的最优解和最优基。
当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新 求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取得的最优结果 的基础上进行分析或求解，既可减少计算量，又可事先知道参 数的变化范围，及时对原决策作出调整和修正。
xk为换入变量
对 所 有 aik>0 计 算 θi=bi/aik 令θl=min{θi} 第l个基变量为换出变
量，alk为主元素
令 bl/alk→bl; alj/alk→ajl 对主元素列(第k列)令1→alk; 0→其它 元素表中其它行列元素 令 aij-ali/alk·aik→aij
bi-bl/alk·aik→bi бj- alj/alk· бk → бj
4
3+Δc2 x2 0 1
1/2
-1/8
0
2
σj
0 0 -3/2-Δc2 /2 -1/8+ Δc2 /8 0 14+2Δc2
17
Ci
2 3+Δc2
0
0
0
B-1b
CB XB x1 x2
x3
x4
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。
首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。
然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。
最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。
它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。
它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。
然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。
如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介
灵敏度分析是研究线性规划的参数(非可控输入)发生 变化对最优解的影响程度
线性规划的参数包括：
• 目标函数系数 • 约束条件右侧值 • 约束条件系数矩阵
最优解中包含的信息：
• 目标函数值 • 决策变量值 • 递减成本(reduced cost) • 松弛/剩余变量
4
3.1 灵敏度分析简介
利用Lingo 软件做灵敏度分析
16
17
利用Excel做灵敏度分析
Microsoft Excel 16.0 敏感性报告 工作表: [数据模型与决策第3章例题.xlsx]第三章例题1 报告的建立: 2021/5/29 10:48:56
可变单元格
单元格 $B$15 $C$15
名称 决策变量值 x1 决策变量值 x2
作者
John Loucks
St. Edward’s University
1
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
2
第三章 线性规划的灵敏度分析和最优解的解释
3.1 灵敏度分析简介 3.2 目标函数系数变化的分析 3.3 约束条件右端值变化的分析 3.4 传统灵敏度分析的局限性
6
x1 < 6
2x1 + 3x2 < 19 x1 + x2 < 8
x1, x2 > 0
固定x2的系数7，改变x1 的系数
5
最优解:
Max 14/3x1 + 7x2
4
x1 = 5, x2 = 3
3
Max 7x1 + 7x2
线性规划的灵敏度分析
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
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§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
线性规划和最优解
线性规划和最优解线性规划是一种在数学和运筹学领域常见的问题求解方法，可以应用于各种现实生活中的决策问题。
它是通过一系列线性等式和不等式来建模，并在满足特定约束条件下求解使目标函数取得最优值的变量值。
线性规划的最优解能够帮助我们做出高效的决策，下面将详细介绍线性规划的原理和求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划中，我们首先需要明确问题的目标，并将其表示为一个线性函数，也被称为目标函数。
目标函数可以是最大化或最小化的，具体取决于问题的需求。
其次，我们需要确定一组变量，这些变量的取值将会对目标函数产生影响。
接下来，我们还需要列举出一系列约束条件，这些约束条件通常来自于问题的实际情况，例如资源限制、技术要求等。
最后，我们需要确定这些变量的取值范围，这也是约束条件的一部分。
二、线性规划的数学建模在线性规划中，我们可以通过以下步骤进行数学建模：1. 确定目标函数：根据问题的要求，我们可以定义一个线性函数作为目标函数。
例如，如果我们要最大化某个产品的利润，那么利润就可以是目标函数。
2. 列举约束条件：根据问题的实际情况，我们需要列举出一系列约束条件。
这些约束条件可以是线性等式或不等式，并且通常包含了变量的取值范围。
3. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，我们需要确定变量的取值范围。
例如，如果某个变量代表一个产品的产量，那么它的取值范围可能是非负数。
4. 构建数学模型：根据目标函数、约束条件和变量的取值范围，我们可以构建一个数学模型，将问题转化为线性规划模型。
三、线性规划的最优解求解方法线性规划的最优解可以通过以下方法求解：1. 图形法：对于只有两个变量的简单线性规划问题，我们可以通过绘制变量的可行域图形，并计算目标函数在图形上的最优解点来求解问题。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。
它通过逐步迭代改进解向量，从而逼近最优解。
这个方法通常适用于复杂的线性规划问题，可以在较短的时间内得到比较好的结果。
线性规划灵敏度分析
淮北师范大学2011届学士学位论文线性规划灵敏度分析学院、专业数学科学学院数学与应用数学研究方向运筹学学生姓名陈红学号20071101008指导教师姓名张发明指导教师职称副教授2011年4月10日线性规划的灵敏度分析陈 红（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘 要本文主要从价值系数j c 的变化，技术系数ij a 的变化，右端常数i b 的变化以及增加新的约束条件和增加一个新变量的灵敏度这几个方面来进行研究；资源条件是线性规划灵敏度分析中的主要应用内容,而对于资源条件b 的一个重要应用是：“影子价格问题”的实际应用，最后简述了线性规划在经济及管理问题上的典型应用和从求解例题的图解法揭示了最优解的一些重要特征。
关键词 单纯形法，灵敏度分析,最优解，资源条件，价值系数Sensitivity Analysis of Linear ProgrammingChen Hong(School of Mathematical Science,Huaibei Normal University ，Huaibei,235000)AbstractThis thesis is mainly from the variety of the cost coefficient ‘j c ’, the variety of technology coefficient ‘ij a ’， the var iety of the resources condition‘i b ’and increase the new restraint and new variable to analytical linear programming of sensitivity analysis 。
This thesis is mainly based on the simplex method and dual simplex method of linear programming to system analytical the influence of the variety upon the optical solution of the coefficient of the simplex table 。
浅谈线性规划问题的灵敏度分析
浅谈线性规划问题的灵敏度分析符龙飞2016年5月15日摘要线性规划是运筹学的一个重要的分支，本文主要讨论有关线性规划问题的灵敏度分析，灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析，在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.因此本文讨论在实际问题中当技术系数、资源系数、价值系数以及增加一个变量和增加一个约束条件时，原问题最优解的变化，对原线性规划问题进行灵敏度分析.关键词：线性规划；灵敏度；最优解AbstractLinear programming is an important branch of operational research, this paper mainly discusses the sensitivity analysis of linear programming, sensitivity analysis of the definition refers to the analysis of the sensitivity of its own because of changes in ambient conditions and displayed on things or to make the whole system of linear programming problems, we assume that the technology of data resources the data value and data vector or matrix elements in the known constant, but in the actual problems in these data are just some forecast data and estimates, the establishment of a linear programming model to deal with practical problems, will not change the data, is not very accurate, may be modified in this paper.When discussing technical factors, in the actual problem of resource factor, value factor and add a variable and add a constraint condition, the original problem of optimal solution Sensitivity analysis of the original linear programming problem.Keywords: Linear programming; sensitivity; optimal solution目录第一章前言 (1)1.1 线性规划问题及线性规划发展史 (1)1.2 灵敏度分析的概念 (1)1.3线性规划模型 (1)1.4灵敏度分析的方法及步骤 (2)1.5 符号说明 (2)第二章技术系数a的变化分析 (3)ij2.1 非基变量系数列向量发生变化 (3)2.2 基变量系数列向量发生变化 (4)第三章资源系数b的变化分析 (7)ic的变化分析 (10)第四章价值系数i4.1 非基变量价值系数变化 (10)4.2基变量价值系数变化 (11)第五章增加新的变量的变化分析 (13)第六章增加新约束条件的变化分析 (16)总结 (18)[参考文献] (19)第一章前言1.1 线性规划问题及线性规划发展史线性规划是我们研究运筹学最基本的也是最重要的问题之一，是运筹学中相对比较成熟的一个重要分支.线性规划是近几十年发展起来的一种数学规划的方法，它主要研究在给定的线性不等式或者线性方程约束条件下，对所求的目标函数在一定意义下的极值问题，使其线性指标最优.它广泛应用于工、商、农、军事、交通运输、经济管理以及计划等各个领域.具有应用广泛、适应性强、计算技术比较简单等特点，线性规划在理论上已经也来越成熟，其应用也越来越广泛和深入[1].线性规划的发展是运筹学史上几代人智慧的结晶.1939年，原苏联数学家康托洛维奇发表了《生产组织与计划中的数学方法》学术报告，首次提出了线性规划问题，但是他没有找到一个统一的求解这类问题的方法，1941年美国学者希奇柯克独立的提出了运输问题这样一类特殊的线性规划问题，1947年，美国学者丹捷格提出求解线性规划的单纯形法和许多相关的理论，为线性规划奠定了理论基础，推动了线性规划的发展.自此以后线性规划在计算上趋向成熟，应用也更加广泛深入[2].1.2 灵敏度分析的概念灵敏度分析顾名思义就是指对事物或者使整个系统因为其自身周围环境条件变化而表现出来的敏感程度的分析.在线性规划问题中，我们都假定技术数据、资源数据和价值数据向量或者矩阵中元素为已知常数，但是在实际的问题工作中这些数据往往只是一些预测的数据和估计值，在处理实际问题的建立线性规划模型时，这些数据并不是不会变化的，不是很精确,有可能进行了修改.如果市场条件发生了变动，价值系数的值就会发生变化，技术系数会随着工艺技术条件的变化而变化，同样，在资源投入量发生变化时，资源系数也会随之发生变化，它的值会根据资源投入后能产出多大经济效果来决定的一种决策选择.因此，当这些数据发生变化时，线性规划的最优目标值或者最优解会发生怎样的变化？或者是不是这些参数在一定的范围内其线性规划问题的最优解不会发生变化？这就是本文我们研究线性规划问题的灵敏度分析所要解决的问题.1.3线性规划模型线性规划模型的标准形式如下：max z CX(0)0AX b b X =≥⎧⎨≥⎩我们在求解线性规划问题时首先就应该把数学模型转化成标准形式.1.4灵敏度分析的方法及步骤要进行灵敏度分析，首先要弄明白的就是上述问题：①当系数发生变化时，最优解或者最优目标值发生变化，我们如何简便地求出新的最优目标值和最优解；②当系数在什么一定范围内，线性规划的最优解是不变的.我们可以将灵敏度度分析归纳为：（1）将参数的改变计算反映到最终单纯形表上来，具体的计算方法是按下列公式计算出由技术参数、资源参数和价值参数的变化引起的最终单纯形表上有关数字的变化，即*1b B b -∆=∆*1j j P B P -∆=∆()()*1mj j j j ij i i c z c z a y =∆-=∆--∑（2）检查原问题是否仍为可行解； （3）检查对偶问题是否仍为可行解.（4）我们可以按照下表1-1所列出的情况得出结论或者得出继续计算的步骤[3].表1-1原问题 对偶问题 结论或者继续计算的步骤 可行解 可行解 表中的解仍为最优解 可行解 非可行解 用单纯法继续迭代求最优解 非可行解 可行解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 非可行解非可行解引入人工变量，编制新的的单纯形表，求最优解1.5 符号说明①ij a 技术数据； ②i b 资源数据； ③j c 价值数据； ④B 最优基； ⑤s .t . 约束条件.第二章 技术系数ij a 的变化分析2.1 非基变量系数列向量发生变化如果我们用最优基B 来说，当非基变量j x 的系数列向量j A 改变为'j j jA A A =+∆就会有变化后的检验数为()'1j j B j j j j c C B A A Y A σσ-=-++∆=+∆ ()1,2,,j n =[4]在这里，对偶可行解为1B Y C B -=，我们要使原来的线性规划最优基B 仍然保持不变的话，必须有'0j σ≥，即j j Y A σ∆≥- ()1,2,,j n =而当()0,,,,0Tj ij P a ∆=∆时，则由上式可得()10,,0im i ij j ij y y y y a a σ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∆≥-∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦我们可以导出 当0i y >时，有jij ja y σ∆≥-；当0i y <时，有jij ja y σ∆≤-.例1已知线性规划问题12345max 2300Z x x x x x =---++s .t .()12341234347901,2,3,4,5j x x x x x x x x x j ⎧+++=⎪⎪+++=⎨⎪≥=⎪⎩ 23a 怎样变化时最优解保持不变？解：最终单纯形表如下表2-1j c2- 3- 1-0 0bB C B X 1x2x3x 4x5x2-1x 1 0 1-43 13- 1 3-2x0 1 2 13- 13 2j σ353138Z =-由此表可得[]133323234113312,311331233B cC B p a a σ-⎡⎤-⎢⎥⎡⎤=-=----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=+ 32323120233a a σ=+≥⇒≥-所以[232,)a ∈-+∞原最优解保持不变.2.2 基变量系数列向量发生变化仍然对于最优基B 来说，当基变量j x 的系数列向量j A 发生变化的时候，对于基向量B 和它的逆矩阵1B -都会有一定的影响，则线性规划的解的可行性、最优性以及它的最优目标值都会随之发生变化.我们要求出一个一般公式是很难的，因此，我们会用单纯形法重新求解变化后的线性规划问题.对于重新的求解可以在原来的单纯形终表上变换数据后进行迭代[5].例2已知线性规划问题1234max 534Z x x x x =+++s .t .()123412341234232800543412003453100001,2,3,4jx x x x x x x x x x x x x j +++≤⎧⎪+++≤⎪⎨+++≤⎪⎪≥=⎩如果非基变量3x 的系数由135⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦变为141⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，那么原线性规划的最优解是否还是最优？如果不是求出最优.解:由3110431154A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦则330115110,,114444Y A σ⎡⎤⎛⎫⎢⎥∆==-<-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦因此不满足j j Y A σ∆≥-，那么原线性规划的最优解就不再是最优解了，根据灵敏度分析的步骤，求新的最优解我们应该先求出新的检验数'1'3330130,,111044B c C B A σ-⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-+=-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦所以可以取3x 为进基变量，然后计算1'311111401143312014B A -⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦用它去替换原线性规划最优单纯形表表2-1的第3列，从而得到表2-2，继续迭代可以得到表2-3，如下表2-1 原线性规划最优单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 134- 0 1 141- 4x20022-111-2x100 34-1 114 0 0 34-1 1300134114141表2-2 改变后的单纯形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 100 140 1 0 1 141- 4x 200 20 31 0 11-2x100 34-1 2- 0 0 34-1 13001341-141表2-3 迭代后的单形表15341x2x3x4x5x6x7x5x 1003 512- 0 0 13- 1 112-23- 4x 2003 23 0 1 13 0 13 13- 2x7003 712 1 0 23 0 112- 13 41003471213712 23我们由上表就可以看得出来，求得的最优解*7002001000,,,0,,0,0333X ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及改变后的最优值*41003z =.第三章 资源系数i b 的变化分析我们知道，资源系数发生变化的问题关键就是怎样把i b 的变化直接的反映到原来线性规划问题的最终单纯形表，对于单纯形法的迭代过程，其实就是矩阵的初等变换过程，用所学的知识我们知道，对于分块矩阵[]BI我们进行初等变换时，把矩阵B 变成单位矩阵I ,会有单位矩阵I 变成矩阵1B -，即1IB -⎡⎤⎣⎦因此我们可以知道，若在已知的最终单纯形表中基可行解所对应的基“B ”（最终单纯形表中的基变量在初始单纯形表中的列向量所构成的矩阵），即可在最终单纯形表中找到“1B -”（初始单纯形表中的单位矩阵I 在最终单纯形表中所对应的矩阵），我们可以有'1b B b -=[6].例3对于线性规划问题12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩ 如果把第二个约束条件的右端项增大到32，那么分析一下最优解如何让变化.解：由最终单纯形表表3-1表3-1 最终单纯形表1x2x3x4x5x3x 152 0 0 1 54 152- 1x 72 1 0 0 14 12- 2x32114- 32i i z c -0 0 014 12因为003224880b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由*1b B b -∆=∆，得*51514201011082420213042b ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦将其加到表3-1一列数字上的最终单纯形表的基变量解，得表3-2.表3-21x2x3x4x5x3x 352 0 0 1 54 152- 1x 112 1 0 0 14 12- 2x12- 0 1 0 14- 32 i i z c -1412又因为上表中原问题是非可行解，因此我们需继续计算，采用对偶单纯形法可以得到表3-3表3-31x2x3x4x5x3x 15 0 5 1 0 0 1x 5 1 10 0 12x20 4-0 1 6-i i z c -12从表中我们可以看出新的最优解15x =，*2510z =⨯=.第四章 价值系数i c 的变化分析4.1 非基变量价值系数变化假设()12n A p p p =.若j j j c c c =+∆，j N ∈,则1T j j B j j j c c B p c σσ-=-=+∆如果使最优基不变，则必须有0j σ≤，因此非基变量价值系数j c ，j N ∈的变动范围应该满足j j c σ∆≤-例4已知线性规划问题123max 234Z x x x =---s .t .123412341234523234,,,,0x x x x x x x x x x x x x ---+=-⎧⎪-+-+=-⎨⎪≥⎩求解价值系数在什么范围变化时，最优解不变.解：表4-1是最终单纯形表表4-1j c →2-3- 4- 0 0b cB X b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x1151 0 75 15- 25- j σ95- 85- 15- 由单纯形法计算可得表4-2表4-2j c →2-3-34c -+∆0 0b cb x b1x2x3x4x5x3-2x 25 0 0 15- 25- 15 2-1x115175 15- 25- j σ0 0395c -+∆85- 15- 从表4-2中我们可以看出当395c ∆≤时，最优解不变. 4.2基变量价值系数变化如果B B B c c c =+∆,则对于j N ∀∈,11TT B j j j j B j c c B p c B p σσ--=-=-∆这时，若保持最优基不变，一定要使得0j σ≥，j N ∀∈.所以基变量价值系数Bc 满足不等式组的取值范围为1T B j jc B p j N σ-∆≤∀∈例5已知线性规划问题123max 2z x x x =-++s .t .1231241234624,,,0x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨⎪≥⎩当1c 变为4时，求新问题的最优解.解：这个线性规划模型的最终单纯形表为表4-3 .表4-31x2x3x4x2x 6 1 1 1 0 4x1030 11 i i 1c 是非基变量的系数，则()1133,132c c ∆≤--=≤-+=所以，1c 在12c ≤的范围内变化时，最优解不变.当1c 变为4时，超出范围，则重新计算()()1'1241144,42,003TB j c B p c c p σ-⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭把表4-3中13σ=-变为2，选择1x 为入基变量，4x 为出基变量，进行迭代，得到的最终单纯形表，表4-4表4-41x2x3x 4x2x83 0123 13- 4x 1031 013 13 i i c z - 0 053- 23- 新的最优解为：1234108,,033x x x x ====；最优值：*563z =.第五章 增加新的变量的变化分析增加一个新的变量实际上就是在单纯形表中增加一列，假如增加一个新的变量1n x +，1n c +是它所对应的价值系数，()111211,,,Tn n n mn A a a a ++++=是它在约束矩阵中的对应系数列向量，则增加一列'11'''2111'1n n n n mn a a A B A a +++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其检验数1111n n B n c C B A σ-+++=-+那么就得到了新问题的单纯形表，如果10n σ+≥，则原线性规划问题的最优解不变.我们通过具体例题来讨论增加新的约束条件.例6某生产加工厂计划用两种不同的原料生产四种商品，四种商品的收益和消耗的原料数以及消耗的原料定量如表5-1表5-1产品（万件）/原料（kg ）甲 乙 丙 丁 提供量 第一种原料3 2 104 18 第二种原料 0 0 2 1/2 3 求：如果增加第一种原料，增加多少原最优基不变？解：设生产甲、乙、丙、丁四种产品各1x ，2x ，3x ，4x 万件，则线性规划模型为1234max 985019Z x x x x =+++s .t .()1234343210418123201,2,3,4j x x x x x x x j ⎧+++≤⎪⎪+≤⎨⎪⎪≥=⎩增加第一种原料时，1b 就会发生变化，设1118b b =+∆，1(18,3)b b =+∆，则1111210221833314311636b b B b b -⎡⎤⎡⎤-+∆⎢⎥⎢⎥+∆⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥--∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则需满足12203b +∆≥，11106b -∆≥原最优基不变，得136b -≤∆≤，即11524b ≤≤.函数1112(0,0,1,2)63t X b b =-∆+∆，113883Z b =+∆是1b ∆最优值和最优解，当16b ∆>，13b ∆<-时，原来的最优基就会改变，原问题的最优基如下表表5-2.表5-2j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-2 503x12- 13- 1 0 16- 43 1j σ4- 23- 0133- 103- 88Z =当16b ∆>时，情形如下，常数项用111223116b B b b -⎡⎤+∆⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-∆⎢⎥⎣⎦代替，用对偶单纯法得表5-3.表5-3j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 243 0 1 23 103-1223b +∆503x12- 13- 116- 43 1116b -∆j σ4-23- 0 0133- 103-113883Z b =+∆用对偶单纯形法求解，第二行需乘以3-,第一行加上第二行乘以43-,可以得到单纯形表表5-4.表5-4j c9 8 50 19 0 0bB cB x 1x2x3x4x5x6x19 4x 00 41 02683x321 3-0 124-1132b ∆- j σ3- 02- 04-6-1904Z b =+∆当11302b ∆-≥，即16b ∆>，新的最优基42(,)B P P =,最优解为11(0,3,0,6)2b ∆-，最大收益为1904b +∆万元.第六章 增加新约束条件的变化分析我们在处理实际问题时，往往会遇到在其问题的基础上增加新的约束条件，如果新添加的约束条件能够使原来的最优解得到满足，那么它的最优解一定不变，反之，则需对问题继续进行分析.例7对于线性规划问题 12max 2z x x =+s .t .212121251562245,0x x x x x x x ≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩增加一个新的约束条件123212x x +≤，分析最优解的变化.解：把原来线性规划问题最优解带入新的约束条件中，因为 73273212222⨯+⨯=> 则约束条件可以写成1263212x x x ++=，6x 为基变量，反映到表3-1中得表6-1.表6-11x2x 3x 4x5x6x 0 3x 152 0 0 1 54 152- 0 2 1x 72 1 0 0 14 12- 0 1 2x 320 1 0 14- 320 06x12 3 2 0 01 i i c z -14121将1x ，2x 列系数变为单位向量，用对偶单纯法进行迭代，得最终单纯形表，表6-2.表6-21x2x 3x 4x5x 6x0 3x 15 0 0 1 52 0 5-2 1x 4 1 0 0 13 0 13-1 2x 0 0 1 0 12- 0 16x13 2 0 16 1 23- i i c z -16- 013-则新的最优解为*124,0,8x x z ===.总结从本文中讨论我们可以看出，在线性规划问题中，一些数据发生变化时，特别是当数据变化的幅度较小时，用灵敏度分析新的问题要比从头求解新问题简便的多，因此我们要学会掌握线性规划问题的灵敏度分析并加以推广.[参考文献][1] 李小光.线性规划中的灵敏度分析[J].2000,20(3),15-20.[2] 张伯声．运筹学[M]．北京：科学出版社，2008，65-75．[3] 党耀国，李邦义．运筹学[M]．北京：科学出版社，2009，61-73．[4] 施泉生.运筹学[M].北京：中国电力出版社，2004，44-50.[5] 孙麟平.运筹学[M].北京：科学出版社，2005，32-38.[6] 吕蓬，潘志.运筹学数学规划篇[M].北京：清华大学出版社，2011，32-40.。
运筹与决策PPT：线性规划的灵敏度分析
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Total Profit $4,000
门的单位利润PD=$300升到 PD=$500，而最优解保持不变！
案例1：Wyndor 玻璃制品公司产品组合问题
改变目标系数（利润）会怎样？
B
C
D
3
Doors
Windows
4
Unit Profit
$1,000
$500
一般说来，不同的问题参数会求出不同 的最优解。但由于实际环境中，要精确估计 各种参数几乎是不可能的。
在无法精确估计参数的情况下，最优解 是否还有意义？参数的波动对最优解的影响 到底有多大？
灵敏度分析就是解决以上问题的强有力的工具！
3.1 灵敏度分析的基本概念
▪ 数学模型只是实际问题的一个粗略的抽象； ▪ 最优解一般只是针对某一特定的问题环境的； ▪ 管理者要对未来可能发生的事件做各种假设，
门的单位利润PD=$300升到 PD=$1000时，最优解发生变化！
案例1：Wyndor 玻璃制品公司产品组合问题 目标系数（单位利润）变化对最优解的影响
案例1：Wyndor 玻璃制品公司产品组合问题
利用Excel Solver进行灵敏度分析
Unit Profit
Doors $300
Windows $500
以上信息对于有效指导管理者作出最终的决 策是至关重要的
3.2 目标函数系数的灵敏度分析
▪ 单个系数发生变化 ▪ 多个系数同时发生变化
目标系数代表对未来收益 情况（不可控环境因素）的预期， 相应的灵敏度分析是考察环境的 不确定性或变化对最优解有什么 影响。
案例1：Wyndor 玻璃制品公司产品组合问题
线性规划模型的应用与灵敏度分析(DOC)
摘要线性规划是解决稀缺资源最优分配的有效方法，使付出的费用最少或获得的利益最大。
它的研究对象是有一定的人力、财力、资源条件下，如何合理安排使用，效益最高；某项任务确定后，如何安排人、财、物，使之最省。
它要解决的问题的目标可以用数值指标反映，对于要实现的目标有多种方案可以选择，有影响决策的若干约束条件。
本文主要介绍了线性规划模型在实际生活中的应用，其中包括解线性方程组的各种方法，如图解法、单纯形法、以及对偶单纯形法等等，以及简单介绍了有关灵敏度分析的方法。
由于许多问题仅仅利用线性规划的方法还不足以解决，因此用到了对偶理论，也因此引出了对偶单纯形法。
对偶规划是线性规划问题从另一个角度进行研究，是线性规划理论的进一步深化，也是线性规划理论整体的一个不可分割的组成部分。
灵敏度分析是对线性规划结果的再发掘，是对线性规划理论的充要应用，本文以实例验证灵敏度分析的实际应用。
关键词：线性规划；单纯形法；对偶单纯形法ABSTRCTLinear programming is an effective method to solve the optimal allocation of scarce resources, make the cost of pay or receive at least the interests of the largest. Its object of study is the human and financial resources, resource conditions, how to reasonably arrange to use, benefit is supreme; A task is determined, how to arrange people, goods, and make it the most provinces. It to the target can be used to solve the problem of the numerical indicators, to achieve a variety of solutions to choose from, have an impact on the decision of some constraint conditions. Through the subject design, can deepen the operations research, optimization method, linear programming, nonlinear programming, to improve the integrated use of knowledge, improve the ability of using the sensitivity analysis to solve various practical problems. This article mainly introduces the application of linear programming model in real life, including the various methods of solving linear equations, as shown in figure method, simplex method and dual simplex method, etc., and simply introduces the method of sensitivity analysis. Due to many problems just by using the method of linear programming is not enough to solve, so use the duality theory, thus raises the dual simplex method. The dual programming is linear programming problem from another Angle, is the further deepening of linear programming theory, linear planning theory as a whole is also an integral part of. Sensitivity analysis is to discover, the result of the linear programming is the charge to application of linear programming theory. Keywords: linear programming；Simplex method；The dual simplex method目录前言线性规划模型的应用与灵敏度分析 (1)第一章线性规划问题 (1)1. 线性规划及灵敏度分析简介 (1)2. 线性规划模型应用的发展 (1)3. 线性规划模型研究的问题 (2)4. 线性规划模型的应用 (2)4.1问题 (2)4.2线性规划方法的特点及局限性 (2)4.3线性规划模型的基本结构 (3)4.4线性规划模型的一般形式 (3)4.4线性规划的性质…………………………………………………………………………………5第二章求解线性规划的方法 (6)1. 图解法 (6)2. 单纯行法 (7)2.1 单纯行法的基本思路 (7)2.2 单纯形法的求解步骤 (11)2.3 单纯形法的求解过程小结 (12)2.3.1人造基、初始基本可行解 (12)2.3.2最优解判别定理： (14)2.3.3单纯行过程的两种方法 (14)3. 单纯行法 (14)3.1对偶问题的提出 (14)3.2线性规划的对偶理论 (15)3.3对偶单纯形法的步骤 (15)4. 单纯行表......................................................................................................错误!未定义书签。
线性规划的灵敏度分析与最优解的解释
只要右端值在这些范围之内，系统分析结果中的那些对 偶价格就不会改变。右端值如果超过了这些范围，对偶价 格信息会随之改变。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
假设Par公司的会计部门指出原先的标准袋和高级袋利 润计算有误，应该是11.5美元和8.25美元。为了确定这样 的变化是否会对最优解产生影响，我们先要定义两个术语 “允许增加量”和“允许减少量”。对于目标函数的系数， 允许增加量是在不超过最优范围的情况下，系数尽可能增 加的最大量；而允许减少量是在不低于最优范围下限的情 况下，系数可能减少的最大量。
第三章 线性规划的灵敏度分析与最优解 的解释
引言
灵敏度分析是研究当一个线性规划问题中的系 数发生变化时，其对函数最优解的影响程度。运 用灵敏度分析，我们可以回答以下问题： 1.如果目标函数的系数发生了变化，对最优解会产 生什么影响？ 2.如果改变约束条件的右端值，对最优解会产生什 么影响？
首先我们将介绍如何使用图解法进行双变量 线性规划问题的灵敏度分析，然后介绍如何使用 管理科学家软件得到灵敏度分析报告。
3.3 灵敏度分析：计算机求解
3.3.2 多系数同时变化
系统灵敏度分析的输出是基于单函数系数变化的。它假 设所有其他系数都保持不变。因此目标函数系数和约束右 端值的变化范围只能适用于单个系数发生变化的情况。然 而很多情况下，我们可能更关注两个或两个以上系数同时 变化时，目标函数将怎样变化。有些多系数同时变化的分 析可能会用到100%法则。下面分析如何应用100%法则。
3.2 图解法灵敏度分析
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析
线性规划中的对偶问题与灵敏度分析线性规划是一种优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题。
在线性规划中，对偶问题与灵敏度分析是两个重要的概念和工具，可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
1. 对偶问题在线性规划中，对偶问题是指与原始问题相对应的一个问题。
它通过转换原始问题并构造一个新的问题，以便从不同的角度来解释和解决原始问题。
对偶问题能够提供原始问题的一些有用信息，并且在某些情况下，对偶问题的解与原始问题的解是相等的。
对偶问题的构造可以通过拉格朗日对偶性理论来完成。
该理论通过构造一个拉格朗日函数，将原始问题中的约束条件转化为拉格朗日乘子，从而得到对偶问题。
对偶问题的目标函数是原始问题的约束条件的线性组合。
解决对偶问题可以通过求解拉格朗日函数的最优化问题来实现。
对于线性规划问题，对偶问题的解可以通过求解一组线性方程或线性不等式来获得。
对偶问题的解不仅可以提供原始问题的一些信息，还可以用于检验原始问题的解的可行性和最优性。
2. 灵敏度分析灵敏度分析是在线性规划中评估解决方案对问题参数变化的响应程度的方法。
它可以帮助我们了解如果问题的参数发生变化，对解决方案的影响有多大，并做出相应的调整和决策。
灵敏度分析可以通过改变单个参数或多个参数来进行。
其中，常见的灵敏度分析包括目标函数系数的变化、约束条件右侧常量的变化和新增或取消约束条件。
这些变化可以用来模拟实际情况中可能发生的条件变化，以及评估解决方案的稳定性和可行性。
在进行灵敏度分析时，我们可以通过计算变动参数对解决方案的影响程度来得到一些关键指标。
例如，参数的变化导致目标函数值的变化量称为“影子价格”，而约束条件右侧常量的变化导致解决方案中相应决策变量的变化量，则称为“机会成本”。
灵敏度分析的结果可以帮助我们确定参数的重要性，判断解决方案的可行性和稳定性，以及找到最佳的决策方案。
在实际应用中，灵敏度分析可以帮助我们应对不确定性和风险，做出更加准确和可靠的决策。
线性规划的解的唯一性与最优性知识点总结
线性规划的解的唯一性与最优性知识点总结线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于各个领域，如运筹学、经济学、管理学等。
在解决实际问题时，了解线性规划问题的解的唯一性与最优性是十分重要的。
本文将对线性规划的解的唯一性与最优性相关的知识点进行总结。
1. 线性规划问题的基本形式线性规划问题可用如下形式表示：\[\begin{align*}\text{目标函数：} & \text{max}\, z = c_1x_1 + c_2x_2 + \ldots +c_nx_n \\\text{约束条件：} & \begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \leq b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n \leq b_2 \\\ldots \\a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n \leq b_m \\\end{cases} \\\text{非负约束：} & x_1, x_2, \ldots, x_n \geq 0\end{align*}\]其中，目标函数为线性函数，约束条件为一组线性不等式，非负约束表示决策变量必须为非负数。
2. 解的存在性与唯一性线性规划问题的解可能存在以下情况：- 无解：约束条件相互矛盾，无法找到满足所有约束条件的解。
- 有界解：存在满足所有约束条件的解，但在此解上目标函数值无上界或下界，即目标函数值可以无限增大或无限减小。
- 无界解：在满足所有约束条件的解中，目标函数值既没有上界也没有下界，即可以一直朝着无限大或无限小的方向增加。
解的唯一性有以下情况：- 无穷多解：存在多个解能够同时满足所有约束条件且具有相同的目标函数值。
- 唯一解：满足所有约束条件的解只有一个。
3. 解的最优性解的最优性是指在满足约束条件的前提下，使得目标函数值最大或最小。
线性规划优化问题知识点整理
线性规划优化问题知识点整理线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面就来对线性规划优化问题的相关知识点进行一个系统的整理。
一、线性规划的基本概念1、决策变量决策变量是线性规划问题中需要确定的未知量，通常用字母如＼（x_1\），＼（x_2\），＼（＼cdots\），＼（x_n\）表示。
这些变量的值决定了问题的解决方案。
2、目标函数目标函数是表示问题目标的数学表达式，通常是决策变量的线性函数，例如＼（Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n\），我们的任务就是找到决策变量的值，使得目标函数达到最优值（最大值或最小值）。
3、约束条件约束条件是对决策变量的限制，通常以线性不等式或等式的形式表示，例如＼（a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{1n}x_n ＼leq b_1\）等。
4、可行解满足所有约束条件的决策变量的取值称为可行解。
5、可行域所有可行解的集合称为可行域。
6、最优解使目标函数达到最优值的可行解称为最优解。
二、线性规划问题的数学模型一般形式为：目标函数：＼（Z ＝＼sum_{j=1}＾｛n} c_j x_j\）约束条件：＼（＼begin{cases} ＼sum_{j=1}＾｛n} a_{ij} x_j ＼leq b_i ＆（i ＝ 1, 2, ＼cdots, m) ＼＼ x_j ＼geq 0 ＆（j ＝ 1, 2, ＼cdots, n) ＼end{cases}＼）其中，＼（c_j\）为目标函数中决策变量＼（x_j\）的系数，＼（a_{ij}＼）为约束条件中决策变量＼（x_j\）的系数，＼（b_i\）为约束条件的右端项。
三、线性规划问题的求解方法1、图解法对于两个决策变量的线性规划问题，可以通过在平面直角坐标系中画出可行域和目标函数的等值线来求解。
线性规划的方法论
线性规划的方法论线性规划（Linear Programming, LP）是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的优化问题。
它的目标是找到一个最优的决策方案，使得目标函数值最大化或最小化。
线性规划在经济、管理、工程、决策科学等领域得到广泛应用，是运筹学的重要分支之一。
线性规划的方法论主要包括六个基本步骤：问题建模、目标函数的确定、约束条件的建立、单纯形法求解、解的解释和灵敏度分析。
下面我将逐一介绍这些步骤。
1. 问题建模问题建模是线性规划的第一步，需要将实际问题转化为数学模型。
首先需要明确决策变量，即需要进行决策的变量。
然后确定目标函数，即需要最大化或最小化的函数。
最后建立约束条件，即限制决策变量取值的条件。
2. 目标函数的确定目标函数是衡量决策结果优劣的函数，可以是最大化利润、最小化成本等。
目标函数的形式可以是线性函数、多项式函数或指数函数等，但在线性规划中，目标函数通常是线性函数。
3. 约束条件的建立约束条件是限制决策变量取值的条件，它们可以是等式约束或不等式约束。
线性规划中的约束条件是由给定的问题决定的，比如资源约束、技术约束等。
约束条件的形式需要与目标函数形式匹配，即线性约束条件与线性目标函数相匹配。
4. 单纯形法求解单纯形法是一种求解线性规划问题的算法，它通过不断迭代来找到最优解。
单纯形法的基本思想是从可行解中找到一个改进的方向，然后沿该方向进行移动，直到找到最优解为止。
单纯形法的求解过程中，需要对角度表和单纯形表进行操作，通过选择基本变量和非基本变量进行迭代计算。
5. 解的解释线性规划求解得到的解需要进行解释和分析。
解的解释是对最优解的实际意义进行解释，包括各个决策变量的取值以及目标函数的值。
解的分析是对解进行灵敏度分析，分析最优解的变化情况对问题的影响。
6. 灵敏度分析灵敏度分析是对线性规划解进行分析，分析结果对问题的解释和应用。
灵敏度分析可以分为参数变化分析和解的变化分析两个部分。
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（显然，当前产品单位成本正好处于上面的区间， 所以，Reduced Costs均为0） 管理定量方法 赵建群
由于约束条件1为“≥”，所以，约束条件1对应的应该是Surplus=125， 即“资源”约束还可以往上调整125，才会引起解的变化 A
2A+3B
② ③ ①
B
管理定量方法 赵建群
约束条件2不存在资源“剩余”（非为“闲置”）， 即右端值不能再上调， 否则将对最优解产生影响 A
2A+3B
③ ② ①
B
管理定量方法 赵建群
A
约束条件2对应的对偶价格为-4，意味着，右端值 增加一个单位，将导致目标函数值“改进”-4个单位 由于目标函数是求最小化，因此，应该是使目标 函数增加4单位，即总成本增加4单位
管理定量方法
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要求
1、展示时间不超过10分钟 2、使用PPT 3、使用 MS；计算过程忽略，但是必须有 计算结果的截图 4、对计算结果进行解析
管理定量方法
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管理定量方法
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总结上述，可以发现，（以最大化问题为例） ①reduced costs为0，通常对应的 value大于0，表示，该类产品的利润率足 够高，即使不再提高，也可以生产 ② 如果reduced costs为0，同时value 也等于0，通常表示可能存在多重解
管理定量方法
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③是否存在多重解，关键看Objective coefficient ranges中是否出现当前值与 Limit重合的情况
比如：当第2个约束条件右端值处于[300,475]之间时， 每增加一单位，将导致总成本增加4单位， 超出该范围，再变化一单位， 导致的总成本的变化将不是“增加4单位”
管理定量方法
赵建群
例三：最小化问题的求解（正斜率的情况）
min 2A-3B 1A+1B≤350 2A+1B≤600
管理定量方法
赵建群
管理定量方法 赵建群
B
②
①
A
管理定量方法
赵建群
考察变量A的系数变化范围： 当前值为2， 显然，往上变化，不会导致变量值改变（由0变为非0）； 如果往下变化，则只要变化5个单位（由2变为-3）， 将导致变量值的改变（由0变为非0） 。 这正好对应了前面的Reduced Costs=5
管理定量方法
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min 2A-3B
B
②
①
A
管理定量方法
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管理定量方法
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B
②
①
A
最小化的问题；A的reduced costs为5，故A的系 数必须降低5，增加A才会对改善目标函数有意义
管理定量方法 赵建群
约束条件1的Slack为0，Dual Prices为3，说明，资源无闲置， 当资源处于某区间时（从第三部分可知为[0,600]）， 每增加一单位，将导致目标函数“改进”3单位，即值降低3
管理定量方法
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关于多重解与突变点
比如下面的情况
max
7 10 1 2 S 1 10 S 5 6 2 3 S 1 4 D 135 D 708 D 600
7 S 10 D
S D 630
① ② ③ ④
S , D
0
管理定量方法
赵建群
D
1200 1000 800 600 400 200
7 S 10 D
S
200 400 600
800
1000
1200
1400
管理定量方法
赵建群
从Value和 Reduced Costs看， 只有唯一解， 但是从 Objective coefficient ranges 可以发现， 出现当前值与 Limit重合的情况， 因此存在多重解
管理定量方法
赵建群
2A+3B
③ ② ①
B
管理定量方法 赵建群
A
约束条件3对应的对偶价格为1，意味着，右端值 增加一个单位，将导致目标函数值“改进1个单位 由于目标函数是求最小化，因此，应该是使目标 函数减少1单位，即总成本减少1单位
2A+3B
③ ② ①
B
管理定量方法 赵建群
从上面的结果可以发现，前面关于对偶价格的结论， 只有在右端值处于上面的范围内进行单位移动时，才成立
400
600
800
1000
S
目标函数与约束条件4的斜率一致 管理定量方法 赵建群
D
1200 1000 800 600 400 200
3 .6 S 9 D
S
200 400 600
800
1000
1200
1400
管理定量方法
赵建群
管理定量方法
赵建群
上面出现一种比较特殊的情况：X1的Value和Reduced Costs都为0 通常说明解可能处于突变点，并且可能存在多重解。 存在多重解的判断方法： Objective coefficient ranges中的当前值和极限值之一端重合
第三章 线性规划的灵敏度分析 与最优解的解释(3)
例二：目标函数最小化问题（P64）
min
2 A 3B
1A
125
1 A 1 B 350
2 A 1 B 600
A, B
0
管理定量方法
赵建群
A
Min 2A+3B
② ③ ①
B 管理定量方法 赵建群
管理定量方法
赵建群
当产品的单位成本分别处于[- ∞,3]、[2,+∞]时，最优解为
例四：关于多重解与突变点
max
7 10 1 2 S 1 10 S 5 6 2 3 S 1 4 D 135 D 708 D 600
3 .6 S 9 D
S D 630
① ② ③ ④
S , D
0
管理定量方法
赵建群
1000
800①②D600③
400 200
④
200
管理定量方法
赵建群
④ 如果约束条件为≤，则可能出现Slack； Slack=0，说明资源处于稀缺状态，Dual prices大于0； Slack大于0，说明资源处 于宽松状态，Dual prices等于0 如果约束条件为≥，则可能出现Surplus； Surplus大于0，说明资源约束值还有上调 空间
管理定量方法
赵建群
⑤ objective coefficient ranges给定 的范围与value、reduced costs的值相 对应 ⑥right hand side ranges给定的范围 与slack/surplus及dual prices相对应
管理定量方法
赵建群
练习： P79的第18、20、22、28、30题 P122的第2、4、6题