导数的概念
导数的定义与计算
导数的定义与计算导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点上的变化率。
它在数学和科学领域有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决各种问题。
本文将介绍导数的定义与计算方法。
一、导数的定义导数表示函数在某一点上的瞬时变化率。
我们以函数 f(x) 为例进行说明。
函数 f 的导数在点 x 处的定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim 表示极限，h 为一个无穷小量，表示 x 的增量。
导数的定义表示当 x 的增量无穷小时，f(x) 在该点上的变化率。
二、导数的计算1. 基本函数的导数计算对于简单的函数，我们可以利用导数定义来计算其导数。
以下是一些常见函数的导数计算公式：常数函数导数为 0：f(x) = c，则 f'(x) = 0，其中 c 为常数。
幂函数导数为其指数乘以常数：f(x) = x^n，则 f'(x) = nx^(n-1)，其中 n 为常数。
指数函数导数为其自身乘以常数：f(x) = a^x，则 f'(x) = ln(a)*a^x，其中 a 为常数。
对数函数导数为其自身的倒数：f(x) = log_a(x)，则 f'(x) = 1 /(x*ln(a))。
三角函数导数：正弦函数导数为余弦函数：f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
余弦函数导数为负的正弦函数：f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
其他三角函数的导数计算与此类似。
2. 导数的性质导数具有一些重要的性质，我们可以利用这些性质来计算复杂函数的导数。
导数的加法规则：若 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，则 [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x)。
导数的乘法规则：若 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，则 [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
导数的定义与性质解析
导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。
对于函数y = f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。
导数的定义可以通过极限表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在性：函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。
- 导数与函数图像：函数在某一点导数存在，则函数在该点的图像有切线。
切线的斜率即为导数的值。
- 导数与连续性：若函数在某点可导，则函数在该点连续。
- 导数的四则运算：若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)（其中g(x) ≠ 0）。
- 链式法则：若y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别可导，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用，其中包括：- 切线与法线：导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线，从而帮助我们研究函数图像的特性。
- 极值与拐点：函数在极值点导数为零，通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。
- 函数图像的草图：通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点，有助于绘制函数的草图。
- 物理学应用：导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。
综上所述，导数是函数变化率的重要工具，通过导数的定义与性质，我们可以深入理解函数的特性与行为。
高中数学导数的概念及其意义
高中数学导数的概念及其意义
导数(Derivative)概念及意义
一、导数的定义
1、导数的定义
导数是一种描述曲线的变化率的度量，它表示的是做一个变量的变化
的大小和另一个变量的变化的方向以及变化的变化率之间的关系。
2、导数的计算公式
导数的计算公式为：y’=limΔx→0 (f(x+Δx)-f(x))/Δx，其中f(x)表示函数，Δx表示x在很小的量度上的变动值。
3、导数的形式表示
导数的形式有两种：一种是函数的图象，用斜率来表示；另一种是用
函数的微分式表示。
二、导数的意义
1、导数的实际意义
导数的实际意义是曲线某一点上的斜率，它表示曲线在该点处的变化率，也就是曲线在该点处的微小位移对应的函数值的变化率。
2、导数的数学意义
数学意义上，导数是一种尺度，也是一种衡量函数变化率的标准，它可以实现曲线的斜率变化规律，从而发现函数的性质，如果曲线的斜率变化率是恒定的，就可以称这种曲线为等差线。
3、导数的应用
导数的应用非常广泛，目前主要在图形科学、机器学习、控制理论和金融计算等领域。
导数的概念和定义
导数的概念和定义导数的概念和定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在实际应用中，导数可以用来求解函数的最大值、最小值、拐点等问题。
本文将从以下几个方面详细介绍导数的概念和定义。
一、导数的基本概念导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在该点处的切线斜率。
具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处的导数定义为：f'(a) = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)其中，“lim”表示极限，“(x-a)”表示自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时所取得的差值，“f(x)-f(a)”表示因变量y沿着这个方向所取得的差值。
二、导数的几何意义从几何角度来看，函数在某一点处的导数等于该点处切线斜率。
具体地说，设函数y=f(x)，则它在x=a处切线斜率k为：k = lim (f(x) - f(a)) / (x - a) (x → a)当自变量x沿着无限接近于a但不等于a的方向逼近时，切线斜率k即为导数f'(a)。
因此，导数可以用来描述函数在某一点处的变化率。
三、导数的符号表示通常情况下，我们用f'(a)来表示函数y=f(x)在x=a处的导数。
其中，f'表示函数的导数运算符，被称为“d/dx”或“dy/dx”。
四、导数的计算方法求解函数在某一点处的导数需要使用极限运算。
具体地说，可以通过以下几种方法来计算函数在某一点处的导数：1. 使用极限定义法：根据导数的定义公式，将自变量沿着无限接近于该点但不等于该点的方向逼近，并求出其极限值。
2. 使用公式法：对于常见函数（如幂函数、指数函数、对数函数等），可以直接使用其导数公式进行计算。
3. 使用运算法则：对于复合函数和多项式函数等复杂函数，可以使用求导法则（如加减乘除法则、链式法则等）进行计算。
五、导数存在的条件有些函数在某些点处可能不存在导数。
具体地说，一个函数在某一点处存在导数需要满足以下两个条件：1. 函数在该点附近存在连续性；2. 函数在该点附近存在斜率有限的切线。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
导数的定义解释
导数的定义解释在数学中，导数是描述函数变化的重要概念，它表示函数增长率，既可以描述数字函数也可以描述几何函数，是数学进行求解和分析的基础。
导数的定义解释如下：1、定义：函数f（x）的n阶导数是指在变量x上，使函数的变化量（即增量）与x的变化量（即增量）的比值关系趋于某一常数，即定义为n阶导数的函数。
2、解释：函数f（x）的n阶导数，是指表示函数f（x）对变量x的变化量之比率的函数。
通俗点讲，就是当变量x发生变化时，函数f（x）所发生的变化量和x变化量之比例所确定的量。
3、形式：此量可以表示为函数f（x）的n次微分式：f（x）的n阶导数=f（（n）（x）/dxn上式中，dx表示变量x的微小变化量，即对变量x进行微分的步长，dx的数值等于变量x的变化量/微分次数，微分次数即n。
4、说明：从定义中可以看出，当函数f（x）变化时，函数f（x）的n阶导数可以看作是函数f（x）和变量x变化量之比例，也即函数f（x）关于变量x的变化率。
简单来说，导数是一种特征量，它可以对函数表达式进行更为细致的分析，可以表示函数的变化趋势，从而为数学求解和分析提供更多的有效信息。
以下为一个简单的例子，关于求解一元函数的最大值和最小值：已知函数f（x）=3x3+2x2+x+1求f（x）的最大值和最小值解：f（x）的一阶导数为f（x）=3x2+4x+1设f（x）= 0，得3x2+4x+1=0解得x=-1/6，x=-2又得f（-1/6）=-4/27，f（-2）=-17/2即函数f（x）在x=-1/6处取得最大值f（-1/6）=-4/27，在x=-2处取得最小值f（-2）=-17/2由此可见，导数在数学求解和分析中起着非常重要的作用，因此，对导数的定义解释也是十分重要的。
以上就是关于“导数的定义解释”的全部内容，希望能够帮助到大家。
在数学中，导数的概念非常重要，为我们的求解和分析提供了更多有效的信息，因此，要深入理解导数的定义解释，从而运用自如。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数，是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍导数的定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义导数，通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示，表示函数f(x)在某一点x处的变化率。
具体地说，导数定义为以下极限：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，h为自变量x的增量。
这个极限表示当h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率的极限值。
二、导数的几何意义导数可以给出函数图像的切线斜率。
在函数图像上任意一点x处，函数的导数等于切线的斜率。
这是因为在极小的增量h内，函数值的变化就近似于切线的斜率。
三、导数的计算1. 基本导数公式：可以通过基本导数公式计算导数，例如：常数函数（f(x)=c）的导数为0；幂函数（f(x)=x^n）的导数为f'(x)=nx^(n-1)；指数函数（f(x)=a^x，其中a>0）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)；对数函数（f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1）的导数为f'(x)=1/(x *ln(a))；三角函数的导数为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)等。
2. 导数运算法则：导数具有一系列运算法则，包括常数倍数法则、加减法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
通过运用这些法则，可以计算复杂函数的导数。
四、导数的性质导数具有许多重要的性质，如下所示：1. 导数存在性：如果函数在某一点处可导，则该点处一定存在导数。
但是反过来并不一定成立，存在函数在某点的导数不存在的情况。
2. 函数连续性与可导性：如果函数在某一点可导，则该点处函数一定连续。
但是反过来也不一定成立，存在函数在某点连续但导数不存在的情况。
导数的概念定义
导数的概念定义导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数的概念定义可以从几何和代数两个方面来进行解释。
一、几何意义几何意义上，导数可以理解为函数图像在某一点处的切线斜率。
具体来说，设函数y=f(x)，在x=a处有导数，则该点切线的斜率即为f'(a)。
当x靠近a时，函数值f(x)也会越来越接近于f(a)，此时切线斜率也会越来越接近于f'(a)。
因此，导数可以用来描述函数在某一点附近的变化情况。
二、代数意义代数意义上，导数可以理解为函数在某一点处的极限值。
具体来说，设函数y=f(x)，在x=a处有导数，则该点导数的定义式为：f'(a)=lim(x->a){(f(x)-f(a))/(x-a)}这个式子表示当x无限接近于a时，(f(x)-f(a))/(x-a)的极限值即为该点导数。
这个极限值可以看作是函数在该点处微小增量与自变量微小增量之比的极限值。
三、符号表示通常情况下，我们用dy/dx或y'来表示函数y=f(x)的导数。
其中，dy/dx表示y关于x的导数，y'表示函数f(x)的导数。
四、求导法则求导法则是计算导数的基本方法。
以下是常用的求导法则：1. 常数函数的导数为0。
2. 幂函数的导数为其指数乘以系数。
3. 指数函数的导数为其自身乘以ln(a)。
4. 对数函数的导数为其自变量倒数。
5. 三角函数和反三角函数的导数可以通过公式推出。
6. 复合函数求导需要使用链式法则或者换元法等方法。
五、应用1. 导数可以用来求解最值问题。
当函数在某一点处取得最大值或最小值时，该点处必须满足其切线斜率为0或不存在。
因此，我们可以通过计算函数在每个可能取得最值的点处的导数来确定最值点。
2. 导数可以用来分析曲线形状。
通过计算不同点处的斜率，我们可以了解曲线在不同位置上升或下降程度以及拐点位置等信息。
3. 导数还有其他应用，如牛顿迭代法、泰勒展开式等。
导数的定义
x x0
x0
x
二、导数概念
1.导数定义
定义: 设y f (x)在点x0的某邻域内有定义, 若存在极限
y lim
lim
f ( x0 x ) f ( x0 )
x0 x x0
x
则称此函数在x0可导，极限值为函数 f 在点 x0 处
的导数或微商 , 记作
因此，在x =2处函数y =x的导数
f (2) lim y lim f (2 x) f (2) lim x
x0 x x0
x
x0 x
=1
用（2）式.
f (2) lim f (x) f (2)
x2 x 2
x
f
2
( x0
)
lim
x x0
1 2
g(t
2 0
2t0
t
t 2 )
1 2
gt
2 0
t
s(t0 )
s
s(t0 t)
g 2
(2t0
t).
令
t 0 ，得瞬时速度
v(t0 )
lim
t 0
g(t0 2
t)
gt0
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
切线
切线可看作曲线上过某定点的一系列割线的极限位置。
f ( x) f ( x0 ) . x x0
lim =1
x2 x 2
练习：求函数 y
f (x)
1在
x
x2
的导数
2.单侧导数
若 lim x x0
f (x) f (x0) x x0
高等数学-导数的概念
0− 时，极限
(0 +)−(0 )
−
存
→0
在，则称此极限值为函数 = ()在0 处的左导数，记为
−′ (0 )
=
(0 +)−(0 )
−
→0
=
()−(0 )
−
.
−
→0
0
16
01 导数的定义
4.左导数和右导数
′ 在点0 处的函数值，即 ′ (0 ) = ′ ()|=0 ．
12
01 导数的定义
例2 求函数() = ( > 0)的导数．
根据导数定义，使用分子有理化得
( + ) − ()
+ −
′
() =
=
→0
→0
注
如果 ′ (0 ) = ∞，曲线 = ()在点(0 , (0 ))处的
切线为垂直于轴的直线 = 0 .
19
02 导数的意义
结论 1 曲线 = ()上点(0 , 0 )处的切线方程为
− 0 = ′ (0 )( − 0 ) .
2 如果 ′ (0 ) ≠ 0，曲线 = ()在点 0 , 0
(0 + ) − (0)
=
→0
→0
=
1
()3
−0
1
2
→0 ()3
O
x
= +∞，
即导数为无穷大（导数不存在）．
26
→0
= ()在
点0 处可导，并称这个极限值为函数 = ()在点0 处的导数，
记作
′ (0 )， ′ |=0 ，
导数的概念及其意义、导数的运算
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算学习目标了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y =.f ′(x 0)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )．5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎡⎦⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x ＋1x 在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x －1x 2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x ，则f ′(x )＝________. 答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1x ln 2x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e xC.⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D.⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2 答案 AD解析 ⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ， 故A 正确；(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ，故B 错误；⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3′＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故C 错误；⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝⎛⎭⎫π3sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝⎛⎭⎫π3cos x ， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝2π3＋12f ′⎝⎛⎭⎫π3， ∴f ′⎝⎛⎭⎫π3＝4π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin 2x －cos 2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4B ．cos 2x ＋sin xC ．cos 2x －sin 2xD ．22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos 2x ＋2sin 2x ＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ，则f (2 021)－f (0)等于( ) A ．e 2 021cos 2 021 B ．e 2 021sin 2 021 C.e2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ， 所以f (x )＝e x sin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2 021)－f (0)＝e 2 021sin 2 021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2(x ＋2)－(2x －1)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(－1＋2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵ f (x )＝a ln x ＋b ，∴ f ′(x )＝a x ，由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln 1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x (a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x ，若切点为(x 0，0e x a )， 则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0，∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea ＝0e x (2－x 0)有两个不同的解， 令φ(x )＝e x (2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x ，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0； x →＋∞时，φ(x )→－∞， ∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)或(－1,3) D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)， f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2，∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3；当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(－∞，2]D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tan π4＝1对于任意的x >0恒成立，即1x ＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立， 所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2 (1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝e x－2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)，代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4， 当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1，因为直线l 与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g (x )＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫e24，＋∞ 解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ， 由y ＝e x ，得y ′＝e x ，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x 存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x +， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x+-， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e 24.∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫e 24，＋∞.延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞ 解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e 24，又x →0时，f (x )→＋∞， x →＋∞时，f (x )→＋∞， ∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x ＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为 y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,xxxy x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2 B ．5 C ．1 D ．0答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x 的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x ， ∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2， g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)， 切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln 10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x 答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln 10)′＝0，∴C 错； (e 2x )′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sin π＋cos π＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433 D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x ＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b＋c －a 的值为( ) A ．0 B ．π C ．－2 D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x ，g ′(x )＝－π2sin πx2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0，又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点，∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫0，3π4 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4 D.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x －f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x －x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)， ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π. 7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确． 设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，3π4上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x 答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4， f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数； 对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x ＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数； 对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ， f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数； 对D ，f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数． 9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ， f ′(π)＝cos π－π·sin π＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1.10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________.答案 2解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2＋e xcos x －e xsin x ＝－a(ax －1)2＋e x cos x －e x sin x ， ∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x ，故f ′(x )＝(x 2)′2e x ＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝⎛⎭⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝⎛⎭⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0， 解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1， 则f ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f (1)－f (0)1－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c－1和y ＝11＋c的图象只有一个交点，所以e c －1＝11＋c ，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1.14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b <a B ．e a <b C ．0<a <e b D ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x (x 0－a )，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a .方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线 ，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a .15．若曲线y ＝14sin 2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3 B.π2 C.2π3 D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin 2x ＋32cos 2x＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝e x ＋m ，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－∞，2ln 2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧k 1＝1e x m+＝2x 2(k 1>0)，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1(x 2－x 1)＝x 22－1ex m+，故k 1⎝⎛⎭⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1， 整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减， 故f (k )max ＝f (4)＝ln 4－44－1＝2ln 2－2，所以只需满足m <2ln 2－2即可．。
导数的定义与计算方法
导数的定义与计算方法导数是微积分中的重要概念之一，用于研究函数的变化率和曲线的切线斜率。
本文将从导数的定义入手，介绍导数的计算方法，并给出一些例题来帮助读者更好地理解和应用导数。
一、导数的定义在数学上，给定一个函数y=f(x)，其导数定义为函数在某一点x处的变化率。
导数可以用极限来表示，即：f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，Δx为自变量的增量。
导数的值可以表示函数在该点的切线斜率，即函数曲线在该点处的速率。
二、导数的计算方法导数的计算方法有多种，下面列举几种常见的：1. 基本导数公式对于常见的基本函数，存在一些导数的基本公式，如：- 常数函数导数为零：d/dx(c) = 0，其中c为常数；- 幂函数导数为功率减一：d/dx(x^n) = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数导数等于自身：d/dx(e^x) = e^x；- 对数函数导数为倒数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
通过应用基本导数公式，可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的四则运算规则对于已知的函数f(x)和g(x)，导数的四则运算规则如下：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2以上规则为导数的基本运算规则，可以根据需要进行组合和推广。
3. 链式法则如果函数y=f(g(x))是由两个函数复合而成，那么它的导数可以用链式法则来计算。
链式法则可以表示为：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)通过链式法则，可以求解更复杂的复合函数的导数，进一步扩展了导数的计算方法。
导数概念
一．导数的概念1.导数的定义：如果当0x ∆→时，y x∆∆有极限，就说函数()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()y f x =在点0x 处的导数。
记作0'()f x 或0'|x x y =。
即00000()()'()=lim lim x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆=∆∆。
2.导数的几何意义：函数()y f x =在点0x 处的导数0'()f x 就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处切线的斜率，即0'()k f x =。
此时相应的切线方程为000'()()y y f x x x -=-。
3.导函数：函数()y f x =的导数，是一个函数。
其求法与在一点处导数一致。
()y f x =在0x 处的导数0'()f x 就是导函数'()y f x =在0x 处的函数值。
二．基本初等函数的导数三．导数的运算1.和、差、积、商的求导法则（1）加减：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±； （2）积：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=+；（3）商：2()'()()()'()'()()f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。
2.复合函数的求导法则复合函数(())y f g x =可看做(),()y f u u g x ==的复合，其求导法则为'''u x y y u =⋅，即是等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积四．导数的应用1.函数的单调性：求函数的单调区间①确定函数的定义域；②解方程'()0f x =，得到所有在定义域内的根；③将定义域内的间断点与解得的根从小到大排列，得到若干个区间；④确定每个区间'()f x 的符号，'()0f x >的为增区间，'()0f x <的为减区间。
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。
导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。
二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。
这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。
2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln(a)。
这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。
4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln(a))。
5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。
- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。
- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。
以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。
三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。
1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。
导数定义公式知识点总结
导数定义公式知识点总结导数的基本概念导数的定义是描述一个函数在某一点处的变化率。
具体来说，当自变量x在给定点a处发生微小改变dx时，函数f(x)在该点处相应地发生微小的改变df。
这个微小的改变df与dx 之比就是函数在点a处的导数。
导数用符号f'(a)表示，其定义公式如下：f'(a) = lim (h -> 0) [f(a+h) - f(a)] / h这个公式描述了函数f(x)在点a处的变化率。
函数f(x)的导数f'(a)表示了当x在点a处发生微小变化时，f(x)对应的变化率。
导数的计算方法是通过极限的概念，即当自变量x的变化趋于0时，函数在点a处的变化率。
导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质在微积分的应用中起到了重要的作用。
其中，最重要的性质是导数的线性性质。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)分别在点a处有导数，则它们的和、差、积和商也分别在点a处有导数。
这些性质可以用数学公式表示如下：1. (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)2. (f-g)'(a) = f'(a) - g'(a)3. (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)4. (f/g)'(a) = [f'(a)g(a) - f(a)g'(a)] / [g(a)]^2这些性质证明了导数具有线性性质，这对于计算复杂函数的导数是非常有用的。
导数的线性性质使得微积分计算变得更加简单和方便。
另外，导数还有一些重要的性质，如导数的非负性和导数的单调性。
导数的非负性指的是如果函数f(x)在某一点处的导数大于0，则该函数在该点处是增函数；如果函数f(x)的导数小于0，则该函数在该点处是减函数。
这个性质可以通过微积分的概念和数学公式来证明。
导数的计算方法导数的计算方法有多种，其中最基本的是用导数的定义公式进行计算。
导数的理解
导数的理解
导数是微积分中的一个重要概念，它是描述函数变化率的工具。
导数的概念最早由莱布尼茨和牛顿独立发明，是微积分的基础之一。
导数的理解对于学习微积分和应用数学都非常重要。
导数的定义是函数在某一点处的变化率，也就是函数在该点处的斜率。
导数可以用极限的概念来表示，即函数在某一点处的导数等于该点处的极限值。
导数的符号通常用f'(x)表示，也可以用dy/dx表示。
导数的意义在于描述函数在某一点处的变化率。
例如，如果一个函数在某一点处的导数为正，那么函数在该点处是递增的；如果导数为负，那么函数在该点处是递减的；如果导数为零，那么函数在该点处是平稳的。
导数还可以用来求函数的最大值和最小值，以及函数的拐点等。
导数的计算方法有很多种，其中最常用的是求导法则。
求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。
这些法则可以帮助我们快速准确地求出函数在某一点处的导数。
导数在实际应用中有很多用途。
例如，在物理学中，导数可以用来描述物体的速度和加速度；在经济学中，导数可以用来描述市场的变化率和趋势；在工程学中，导数可以用来描述电路的电流和电压
等。
导数在各个领域都有广泛的应用。
导数是微积分中的一个重要概念，它可以帮助我们描述函数的变化率和趋势，求出函数的最大值和最小值，以及在实际应用中解决各种问题。
对于学习微积分和应用数学的人来说，理解导数的概念和计算方法是非常重要的。
高中导数的概念
高中导数的概念导数定义一、导数第一定义设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内) 时相应地函数取得增量△y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在则称函数y = f(x) 在点x0 处可导并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第一定义二、导数第二定义设函数y = f(x) 在点x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在x0 处有变化△x ( x - x0 也在该邻域内) 时相应地函数变化△y = f(x) - f(x0) 如果△y 与△x 之比当△x→0 时极限存在则称函数y = f(x) 在点x0 处可导并称这个极限值为函数y = f(x) 在点x0 处的导数记为f'(x0) ,即导数第二定义三、导函数与导数如果函数y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间I 内可导。
这时函数y = f(x) 对于区间I 内的每一个确定的x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数y =f(x) 的导函数记作y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。
导函数简称导数。
导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
右上图为函数y = ƒ(x) 的图象，函数在x_0处的导数ƒ′(x_0) = lim{Δx→0} [ƒ(x_0 + Δx) - ƒ(x_0)] / Δx。
如果函数在连续区间上可导，则函数在这个区间上存在导函数，记作ƒ′(x)或dy / dx。
导数的定义与基本性质
导数的定义与基本性质一、导数的定义1. 导数的概念导数是描述函数在某一点上的变化率的量。
在函数f(x)的定义域中，函数在x=a处的导数表示函数的变化速率，记作f'(a)或df/dx|a。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数表示函数在该点切线的斜率。
斜率正表示函数递增，负表示函数递减，斜率为零表示函数有极值。
二、导数的基本性质1. 可导性若函数f(x)在某一区间内处处可导，则该函数在此区间上连续。
2. 代数运算(1) 常数函数的导数为零，即d/dx(c) = 0。
(2) 导数与函数的和差规则：[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)。
(3) 导数与函数的乘积规则：[f(x)·g(x)]' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)。
3. 反函数与复合函数(1) 若函数y=f(x)可逆，则其反函数y=f^(-1)(x)存在。
(2) 若函数f(x)在[a,b]上可导，且f'(x)≠0，则其反函数f^(-1)(x)在(f(a),f(b))上可导，且有(f^(-1))'(y) = 1 / f'(f^(-1)(y))。
4. 高阶导数若函数f(x)的导数f'(x)在某一区间内可导，则导数f'(x)的导数f''(x)称为函数f(x)的二阶导数。
依此类推，可以定义f(x)的任意阶导数。
5. 导数的应用导数可以用于求曲线的斜率、切线方程，求函数的极值点，分析函数的递增递减区间等。
结语：导数的定义与基本性质是研究微积分的重要内容，对于深入理解函数的性质和应用具有重要意义。
在实际问题中，导数在物理、经济、生物等领域的应用广泛，对于解决实际问题起到了重要的作用。
因此，理解导数的定义和基本性质对于学生的学习和发展是至关重要的。
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《导数的概念》教案
七星关区燕子口中学丁昌陆
本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时．
教学内容分析
1．导数的地位、作用
导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.
2．本课内容剖析
教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．
基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的．
进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想．
教学目的
1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；
2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；
3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；
4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；
5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．
教学重点
通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念．
教学难点
使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念．
教学准备
1．查找实际测速中测量瞬时速度的方法；
2．为学生每人准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，并对学生进行技术培训；
3．制作《数学实验记录单》及上课课件．
教学流程框图
教学流程设计充分尊重学生认知事物的基本规律，使学生在操作感知的基础上形成导数概念的表象，再通过表象抽象出导数概念，并通过运用导数概念解决实际问题使学生进一步体会导数的本质．
教学的主要过程设计如下：
教学过程设计
间段））
内，
在学生实验与观察的基础上指出：
当趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度．
用表示
即
当的极限．
处，的极
．在
在处的导数，记作或
）
）；（）。