人教A版数学必修一函数的奇偶性.docx
3.2.2函数的奇偶性-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册讲义
新教材必修第一册3.2.2：函数的奇偶性课标解读：1. 函数的奇偶性的概念.（理解）2. 函数奇偶性的几何意义.（了解）3. 函数奇偶性的应用.（掌握） 学习指导：1. 学习时，应类比单数单调性，先由具体函数入手，对函数奇偶性有初步认识，然后由此抽象概括并用符号语言描述奇、偶性的定义.2. 实际上，函数的奇偶性就是平面几何中心对称图形，轴对称图形的解析表示. 知识导图：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧函数奇偶性的应用函数奇偶性的判断方法单调性特征图像特征定义域特征奇、偶函数的特征函数奇偶性的定义函数的奇偶性 知识点1：函数的奇偶性 1.定义2.常见函数的奇偶性3.奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设)(),(x g x f 的定义域分别是F 、G ，若F=G ，则有下列结论：例1-1：给出下列结论：①若)(x f 的定义域关于原点对称，则)(x f 是偶函数； ②若)(x f 是偶函数，则它的定义域关于原点对称； ③若)2()2(f f =-，则)(x f （R x ∈）是偶函数； ④若)(x f （R x ∈）是偶函数，则)2()2(f f =-； ⑤若)2()2(f f ≠-，则)(x f （R x ∈）不是偶函数； ⑥既是奇函数又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=；⑦若)(x f 是定义域为R 的奇函数，则0)0(=f . 其中正确的结论是 .（填序号） 答案：②④⑤⑦例1-2：若函数)0)()((≠x f x f 为奇函数，则必有（ ）A.0)()(>-⋅x f x fB.0)()(<-⋅x f x fC.)()(x f x f -<D.)()(x f x f -> 答案：B知识点2：奇、偶函数的图像特征（几何意义） 1.奇函数的图像特征若一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图像是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. 2.偶函数的图像特征若一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数. 3.奇、偶函数的单调性根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论.（1）奇函数在关于端点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.上述结论可简记为“奇同偶异”.（2）偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.例2-3：下列四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定经过原点； ③偶函数的图像关于y 轴对称；④奇函数))((R x x f y ∈=的图像必经过点)).(,(a f a - 表述正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D.4 答案：A例2-4：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的取值范围是（ ）.A.)32,31(B.)32,31[C.)32,21(D.)32,21[ 答案：A重难拓展知识点3：函数图像的对称性 1.图像关于点成中心对称图像结论1：函数)(x f y =的图像关于点）（b a P ,成中心对称图形的充要条件是函数b a x f x g -+=)()(为奇函数.一般结论：2.图像关于直线成轴对称图形结论2：函数)(x f 的图像关于直线a x =成轴对称图形的充要条件是函数)()(a x f x g +=为偶函数. 一般结论：例3-5：在定义在函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=.若)(x f 在区间上单调递减，则)(x f （ ）.A.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递增B.在区间]1,2[--上单调递增，在区间]4,3[上单调递减C.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递增D.在区间]1,2[--上单调递减，在区间]4,3[上单调递减 答案：B变式训练：若函数),(3)(2R b a bx ax x f ∈++=满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 的最大值为4，则=)(x f . 答案：322++-x x例3-6：函数233)(x x x f -=的图像的对称中心是（ ）A.（1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（-1,2） 答案：C题型与方法题型1：函数奇偶性的判断 1.一般函数的奇偶性的判断 例7:判断下列函数的奇偶性；（1）;1)(23--=x x x x f （2）|;2||2|)(+--=x x x f （3）),0()(2R a x xa x x f ∈≠+=； （4）1111)(22+++-++=x x x x x f .答案：（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）奇函数.变式训练：已知|,2|)(,4)(2-=-=x x g x x f 则下列结论正确的是（ ） A. )()()(x g x f x h +=是偶函数 B. )()()(x g x f x h ⋅=是奇函数 C. xx g x f x h -⋅=2)()()(是偶函数 D. )(2)()(x g x f x h -=是奇函数 答案：D2.分段函数奇偶性的判断例8：已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-->+=0,1210,121)(22x x x x x f ，则（ ）.A. )(x f 是奇函数B. )(x f 是偶函数C. )(x f 既是奇函数又是偶函数D. )(x f 既不是奇函数也不是偶函数 答案：A例9：如果)(x f 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）. A.)(x f x y += B.)(x xf y = C.)(2x f x y += D.)(2x f x y = 答案：B例10.（1）已知函数R x x f ∈),(，若R b a ∈∀,，都有)()()(b f a f b a f +=+，求证：)(x f y =为奇函数.（2）已知函数R x x f ∈),(，R x x ∈∀21,，都有)()(2)()(212121x f x f x x f x x f ⋅=-++，求证：)(x f y =为偶函数.（3）设函数)(x f 是定义在),(l l -上，证明：)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数. 答案：略题型2：奇、偶函数图像特征的应用例11：已知)(x f y =是偶函数，)(x g y =是奇函数，它们的定义域都是]3,3[-，且它们在]3,0[上的图像如图所示，则不等式0)()(<x g x f 的解集是 .答案：}321012|{<<<<-<<-x x x x 或或例12：（1）奇函数)(x f y =的局部图像如图所示，则)2(f 与)4(f 的大小关系为 .（2）已知)(x f 是定义在]3,0()0,3[⋃-上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图像如图所示，那么)(x f 的值域是 .答案：（1）)4()2(f f > （2）]3,1()1,3[⋃-- 题型3：函数奇偶性的应用 1.利用奇偶性求参数的值例13：（1）若函数b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，定义域为]2,1[a a -，则a = ；=b .（2）若)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . （3）已知函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则a = . 答案：（1）310 （2）4 （3）-1变式训练：若函数),)(2)(()(为常数b a a bx a x x f ++=是偶函数，且它的值域为]4,(-∞，则该函数的解析式)(x f = .答案：422+-x2.利用奇偶性求函数的值例14：（1）已知8)(35-++=bx ax x x f ，且10)2(=-f ，则=)2(f （ ）. A.-26 B. -18 C.-10 D.10 （2）已知)(x f 为奇函数，3)2(,2)()(=-+=g x f x g ，则=)2(f （ ）. A.-1 B. 0 C.1 D.2（3）设函数1)1()(22++=x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则M+n= .答案:（1）A （2）A （3）2例15：设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）A.0.5B. -0.5C.1.5D.-1.5 答案：B3.利用奇偶性求分段函数形式的解析式例16：（1）已知函数)(x f 为R 上的偶函数，且当0<x 时，)1()(-=x x x f ，则当0>x 时，=)(x f .（2）)(x f 为R 上的奇函数，当0>x 时132)(2++-=x x x f ，则)(x f 的解析式为=)(x f .（3）已知⎩⎨⎧>+≤+=0,0,)(22x bx ax x x x x f 为奇函数，则b a += .答案：（1）)1(+x x （2）⎪⎩⎪⎨⎧<-+=>++-0,1320,00,13222x x x x x x x （3）0变式训练：若函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，11)()(-=+x x g x f ，则)(x f = .4.函数奇偶性的综合应用 1.函数奇偶性与单调性综合例17：已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0,2]上单调递增，则（ ）A.)4()3()1(f f f <<-B.)1()3()4(-<<f f fC.)1()4()3(-<<f f fD.)3()4()1(f f f <<- 答案：D例18:：（1）已知函数)(x f y =在定义域[-1,1]上既是奇函数，又是减函数，若0)1()1(2<-+-a f a f ，则实数a 的取值范围为 .（2）定义在[-2,2]上的偶函数)(x f 在区间[0,2]上单调递减，若)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围为 .2.函数奇偶性与对称性的综合例19:（1）定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递增，且)2(+x f 为偶函数，则（ ） A.)3()1(f f <- B.)3()0(f f > C.)3()1(f f =- D.)3()0(f f = （2）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则)2()1(f f + +=++)5()4()3(f f f . 答案：（1）A （2）0易错提醒易错1： 没有搞清分段函数的概念致错例20：判断函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=<++=0,320,30,32)(22x x x x x x x x f 的奇偶性.答案：既不是奇函数也不是偶函数易错2：判断含参函数的奇偶性时忽略对参数的讨论致错.例21：已知函数R x a x x x f ∈+-+=,1||)(2，a 为实数，判断函数)(x f 的奇偶性. 答案：0=a 时，是偶函数；0≠a 时，既不是奇函数也不是偶函数高考链接考向1：函数奇偶性的直接考察例23：设函数)(x f ，)(x g 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A.)()(x g x f 是偶函数B.|)(|)(x g x f 是奇函数C.)(|)(|x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数答案：B例24：设函数ax x a x x f +-+=23)1()(，)(x f 是奇函数，则=a .答案：1例25：已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当)0,(-∞∈x 时，,2)(23x x x f +=则=)2(f .答案：12例26：函数)(x f 在),(+∞-∞上单调递减，且为奇函数.若1)1(-=f ，则满足1)2(1≤-≤-x f 的x 的取值范围是（ ）A.[-2,2]B.[-1,1]C.[0,4]D.[1,3]答案：D基础巩固1.已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b}，则a+b=（ ）. A.-1 B.1 C.0D.22.下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的是（ ）. A.x x f =)( B.1)(2+-=x x fC.xx f 1)(= D.1||)(-=x x f3.如图奇函数)(x f 在区间[3,7]上单调递减且最小值为5，那么)(x f 在区间[-7，-3]上（ ）.A.单调递增且最小值为-5B.单调递增且最大值为-5C.单调递减且最小值为-5D.单调递减且最大值为-54.已知偶函数)(x f 在区间[-3，-1]上单调递减，则)2(),1(),3(f f f -的大小关系为 .5.若定义在(-1,1)上的奇函数1)(2+++=nx x m x x f ，则常数m ，n 的值分别为 .6.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=.（1）现已画出)(x f 在y 轴及y 轴左侧的图像，如图所示，请把函数)(x f 的图像补充完整，并根据图像写出)(x f 的单调递增区间；（2）写出函数)(x f 的值域.能力提升：7.设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）.A.)(|)(|x g x f -是奇函数B.)(|)(|x g x f +是偶函数C.|)(|)(x g x f -是奇函数 B.|)(|)(x g x f +是偶函数8.若定义在R 上的函数)(x f 满足：R x x ∈∀21,，有)()()(2121x f x f x x f +=++1，则下列说法一定正确的是（ ）.A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.1)(+x f 是奇函数D.1)(+x f 是偶函数9.已知函数)(x f 是定义在]2,1[a a -上的偶函数，且当0>x 时，)(x f 单调递增，则关于x 的不等式)()1(a f x f >-的解集为（ ） A.)35,34[ B.]35,34()32,31[⋃ C.)32,31[]31,32(⋃-- D.无法确定，随a 的变化而变化 10.已知函数)(x f y =是偶函数，其图像与x 轴有9个交点，则方程0)(=x f 的所有实数根之和是（ ）A.0B.3C.6D.911.已知定义在R 上的函数)(x f 在)2,(-∞上单调递减，且)2(+x f 为偶函数，则)211(),4(),1(f f f -的大小关系为（ ） A.)211()1()4(f f f <-< B.)211()4()1(f f f <<- C.)1()4()211(-<<f f f D.)4()211()1(f f f <<- 12.若,+∈∈N n R x ，定义：)1(...)2)(1(-+⋅⋅++=n x x x x M n x ，例如）（）（）（）（234555-⨯-⨯-⨯-=-M 1201-=-⨯）（，则函数199)(-=x xM x f （ ）A. 是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数13.已知)(x f 是奇函数，当0<x 时，x x x f 2)(2+=，则)1(f 的值是 .14.函数)(x f 是奇函数，且在[-1,1]上单调递增，1)1(-=-f .（1）则)(x f 在[-1,1]上的最大值为 .（2）若12)(2+-≤at t x f 对任意∈x [-1,1]及任意∈a [-1,1]都成立，则实数t 的取值范围是 .15.已知)(x f 是定义在R 上的函数，设2)()()(,2)()()(x f x f x h x f x f x g --=-+=. （1）试判断)(x g 与)(x h 的奇偶性；（2）试判断)(x g ，)(x h 与)(x f 的关系；（3）由此你能猜想出什么样的结论？16.已知函数21)(x b ax x f ++=是定义在（-1,1）上的奇函数，且.52)21(=f （1）确定函数)(x f 的解析式；（2）用定义证明)(x f 在（-1,1）上是增函数;（3）解不等式：0)()1(<+-t f t f .17.已知定义在),0()0,(+∞⋃-∞上的函数)(x f 满足：①)()()(),,0()0,(,y f x f xy f y x +=+∞⋃-∞∈∀ ②当1>x 时，,0)(>x f 且1)2(=f .（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）判断函数在),0(+∞上的单调性；（3）求函数)(x f 在区间]4,0()0,4[⋃-上的最大值；（4）求不等式4)()23(≥+-x f x f 的解集.参考答案1. A2. D3. B4. )3()2()1(-<<f f f5. 0 06. （1）图像略 )(x f 的单调增区间是),1(,0,1+∞-）（ （2）值域为),1[+∞ 7. D8. C9. B10. A11. A12. A13. 114. （1）1 （2）}202|{≥=-≤t t t t 或或15. （1）)(x g 是偶函数 )(x h 是奇函数 （2）)()()(x h x g x f += （3）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.16. （1）21)(x x x f += （2）略 （3）}210|{<<t t 17. （1）)(x f 为偶函数 （2）单调递增 （3）2 （4）}382{≥-≤x x 或.。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
y
f(x)
O
x
y
g(x)
O
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第16页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
1
1
(3) f ( x) x x
(4)
y f(x)=5
x
(5)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
(6)
(7)
(8)
第15页，共22页。
y f(x)=0 x
(9)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
P85 1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
4
3 2
g(x) 1 x
1
12 345
函数
g(x) 1 x
的定义域为{x|x≠0},
o
x
–1
–2
–3
它关于原点对称,
–4
–5
且 g(x) 1 1 g(x)
即
g
(
x)
1
xx
是奇函数.
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第12页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
y
4
3
f (x) x
2
–3 –2 –1
1 123
o
最新人教A版高中数学必修一第三章函数的概念与性质 第2节函数的基本性质 第3课时函数奇偶性的概念
3．2.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念教材要点要点1．偶函数的概念一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数．2．奇函数的概念一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于________成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于________对称；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．状元随笔 奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)已知f (x )是定义在R 上的函数．若f (－1)＝f (1)，则f (x )一定是偶函数．( ) (2)奇函数的图象一定过原点．( )(3)偶函数的图象与x 轴交点的个数一定是偶数．( ) (4)f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)＝0.( ) 2．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－xC ．y ＝1x 3 D ．y ＝－x 2＋143．若函数y ＝f (x )，x∈[－2，a ]是偶函数，则a 的值为( ) A ．－2 B ．2C ．0D ．不能确定4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)题型1 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性 (1)f (x )＝√1−x 2+√x 2−1； (2)f (x )＝2x 2+xx+1；(3)f (x )＝x 2−1|x|；(4)f (x )＝{x (1−x )，x ＜0x (1+x )，x ＞0.方法归纳判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义进行判断．步骤如下：①判断函数f (x )的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f (x )为非奇偶函数，若对称，则进行下一步．②验证．f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )． ③下结论．若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数； 若f (－x )＝f (x )，且f (x )为偶函数；若f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，则f (x )为非奇非偶函数．(2)图象法：f (x )是奇(偶)函数的等价条件是f (x )的图象关于原点(y 轴)对称． 跟踪训练1 (1)(多选)下列函数中，是偶函数的是( )A ．y ＝√1+x 2B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝x 2＋1x 2 D ．y ＝x ＋x 2 (2)函数f (x )＝{12x 2+1，x ＞0，−12x 2−1，x ＜0是()A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 题型2 函数奇偶性的图象特征例2 已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已知画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出完整函数y ＝f (x )的图象．(2)根据图象写出函数y ＝f (x )的递增区间．(3)根据图象写出使y ＝f (x )＜0的x 的取值范围．方法归纳1．巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性．(2)作出函数在[0，＋∞)(或(－∞，0])上对应的图象．(3)根据奇(偶)函数关于原点(y 轴)对称得出在(－∞，0](或[0，＋∞))上对应的函数图象． 2．奇偶函数图象的应用类型及处理策略(1)类型：利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题．(2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察．跟踪训练2 设奇函数f (x )的定义域为[－5，5]，若当x ∈[0，5]时，f (x )的图象如图，则不等式f (x )＜0的解集是________．题型3 利用函数奇偶性求值 角度1 利用函数的奇偶性求参数例3 (1)已知函数f (x )＝x 2－(2－m )x ＋3为偶函数，则m 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)函数f (x )＝x+2a+3x 2+8为奇函数，则实数a ＝( )A ．－1B ．1C ．－32D ．32角度2 利用函数的奇偶性求函数值例4 (1)已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋2，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋3，且f (－2)＝10，则函数f (2)的值是________．方法归纳1．已知函数的奇偶性求参数值的三种思路(1)若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程．(2)一般化策略：对x 取定义域内的任一个值，利用f (－x )与f (x )的关系式恒成立来确定参数的值．(3)特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解，不过，这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去．2．利用函数的奇偶性求函数值的方法已知函数的某一个值，求对应的函数值时，常利用函数的奇偶性或部分函数的奇偶性求值．跟踪训练3 (1)设函数f (x )＝(x+1)(x+a )x为奇函数，则a ＝________．(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －2，2a ]，则a ＝________，b ＝________．(3)已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f (－2)＝10，则f (2)＝________． 易错辨析 忽视函数的定义域致误例5 关于函数f (x )＝√x 2−4+√4−x 2与h (x )＝√x −4+√4−x 的奇偶性，下列说法正确的是( )A ．两函数均为偶函数B ．两函数都既是奇函数又是偶函数C ．函数f (x )是偶函数，h (x )是非奇非偶函数D ．函数f (x )既是奇函数又是偶函数，h (x )是非奇非偶函数解析：函数f (x )＝√x 2−4+√4−x 2的定义域满足{x 2−4≥0，4−x 2≥0，即x 2＝4，因此函数f (x )的定义域为{－2，2}，关于原点对称，此时f (x )＝0，满足f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数，而函数h (x )＝√x −4+√4−x 的定义域为{4}，不关于原点对称，因此函数h (x )是非奇非偶函数．故选D.答案：D课堂十分钟1．(多选)下列函数是奇函数的有( )A ．y ＝x 3＋√x 3B ．y ＝1x (x ＞0)C ．y ＝x 3＋1D ．y ＝x 2+1x2．函数f (x )＝√1−x 2|x+3|−3的奇偶性是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数3．函数y＝4xx2+1的图象大致为()4．已知函数f(x)＝{−x2+x，x＞0，ax2+x，x＜0是奇函数，则a＝________．5．已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5，0]上的图象；(2)写出使f(x)＜0的x的取值集合．3．2.2 奇偶性第1课时 函数奇偶性的概念 新知初探·课前预习要点3．原点 y 轴[基础自测]1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．答案：C 3．答案：B4．答案：(2)(4) (1)(3)题型探究·课堂解透例1 解析：(1)函数f (x )＝√1−x 2+√x 2−1的定义域为{－1，1}，关于原点对称，此时f (x )＝0，所以函数f (x )＝√1−x 2+√x 2−1既是奇函数又是偶函数．(2)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(−1，+∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．(3)函数f (x )＝x 2−1|x|的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．又f (－x )＝(−x )2−1|−x|＝x 2−1x ＝f (x )，所以函数f (x )＝x 2−1|x |是偶函数．(4)方法一：∵函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，∴f (－x )＝(－x )[1－(－x )]＝－x (1＋x )＝－f (x )． 当x ＜0时，－x ＞0， ∴f (－x )＝－x (1－x )＝－f (x )． ∴函数f (x )为奇函数．方法二：作出函数的图象，如图所示的实线部分：由图可知，该函数为奇函数．跟踪训练1 解析：(1)由偶函数的定义可知AC 是偶函数．故选AC.(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．当x ＞0时，－x ＜0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－(12x 2＋1)＝－f (x )；当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－(－12x 2－1)＝－f (x )． 综上可知，函数f (x )＝{12x 2+1，x ＞0，−12x 2−1，x ＜0是奇函数．故选A. 答案：(1)AC (2)A例2 解析：(1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞).(3)据图可知，使f (x )＜0的x 的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．跟踪训练2 解析：由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f (x )在定义域[－5，5]上的图象如图，由图可知不等式f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案：{x |－2<x <0或2<x ≤5}例3 解析：(1)f (－x )＝(－x )2－(2－m )(－x )＋3＝x 2＋(2－m )x ＋3，由函数y ＝f (x )为偶函数，知f (－x )＝f (x )，即x 2＋(2－m )x ＋3＝x 2－(2－m )x ＋3，∴2－m ＝－(2－m )，∴m ＝2.故选B.(2)由题意f (x )为奇函数，则f (0)＝0，即0＋2a ＋3＝0，∴a ＝－32.此时f (x )＝xx 2+8为奇函数．故选C.答案：(1)B (2)C例4 解析：(1)∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋2， 由－x 代入x 得：f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋2 由题意知f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， ∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋2，所以f (1)＋g (1)＝－1＋1＋2＝2.故选D. (2)令g (x )＝ax 3＋bx∵g (－x )＝a (－x 3)＋b (－x )＝－ax 3－bx ＝－(ax 3＋bx )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数．∴f (－x )＝g (－x )＋3＝－g (x )＋3， ∴g (2)＝－7，∴f (2)＝g (2)＋3＝－7＋3＝－4. 答案：(1)D (2)－4跟踪训练3 解析：(1)方法一(定义法) 由已知f (－x )＝－f (x )， 即(−x+1)(−x+a )−x＝－(x+1)(x+a )x.显然x ≠0得，x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.(经检验满足题意) 方法二(特值法) 由f (x )为奇函数得 f (－1)＝－f (1)， 即(−1+1)(−1+a )−1＝－(1+1)(1+a )1，整理得a ＝－1.解析：(2)由f (x )为偶函数知，其定义域关于原点对称， 故有a －2＋2a ＝0，解得a ＝23.又f (x )为偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 即－b2a ＝0，解得b ＝0. (3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ， 则g (x )是定义在R 上的奇函数． 从而g (－2)＝－g (2)．又f (x )＝g (x )－8，∴f (－2)＝g (－2)－8＝10. ∴g (－2)＝18，∴g (2)＝－g (－2)＝－18. ∴f (2)＝g (2)－8＝－18－8＝－26. 答案：(1)－1 (2)23 0 (3)－26[课堂十分钟]1．答案：AD 2．答案：A 3．答案：A 4．答案：15．解析：(1)如图，在[0，5]上的图象上选取5个关键点O ，A ，B ，C ，D .分别描出它们关于原点的对称点O ′，A ′，B ′，C ′，D ′， 再用光滑曲线连接即得．(2)由(1)图可知，当且仅当x ∈(－2，0)∪(2，5)时，f (x )<0. ∴使f (x )<0的x 的取值集合为(－2，0)∪(2，5)．。
高一数学一函数知识点总结归纳.docx
高一数学必修一函数知识点总结归纳1.函数的奇偶性(1)若 f(x) 是偶函数，那么 f(x)=f(-x);(2)若 f(x) 是奇函数， 0 在其定义域内，则 f(0)=0( 可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式： f(x) ±f( -x)=0 或(f(x)≠0);(4) 若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性 ; 偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性 ;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为 [a ，b], 其复合函数f[g(x)] 的定义域由不等式 a≤g(x) ≤b解出即可 ; 若已知 f[g(x)] 的定义域为 [a,b], 求 f(x) 的定义域，相当于 x∈[a,b] 时，求 g(x) 的值域 ( 即f(x) 的定义域 ); 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定 ; 3.函数图像 ( 或方程曲线的对称性 )(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心( 对称轴 ) 的对称点仍在图像上 ;(2)证明图像 C1 与 C2的对称性，即证明 C1 上任意点关于对称中心(对称轴 ) 的对称点仍在 C2上，反之亦然 ;(3) 曲线 C1：f(x,y)=0, 关于 y=x+a(y=-x+a) 的对称曲线 C2的方程为 f(y-a,x+a)=0( 或 f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线 C1:f(x,y)=0 关于点 (a,b) 的对称曲线 C2方程为： f(2a-x,2b-y)=0;(5) 若函数 y=f(x) 对 x∈R时， f(a+x)=f(a-x) 恒成立，则 y=f(x) 图像关于直线 x=a 对称 ;(6)函数 y=f(x-a) 与 y=f(b-x) 的图像关于直线 x=对称 ; 4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立 , 则 y=f(x) 是周期为 2a 的周期函数;(2)若 y=f(x) 是偶函数，其图像又关于直线 x=a 对称，则 f(x) 是周期为 2︱a︱的周期函数 ;x=a 对称，则f(x)是周(3) 若 y=f(x) 奇函数，其图像又关于直线期为 4︱a︱的周期函数 ;(4)若 y=f(x) 关于点 (a,0),(b,0) 对称，则 f(x) 是周期为 2 的周期函数 ;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b) 对称，则函数y=f(x)是周期为 2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-或f(x+a)=，则y=f(x)是f(x)(周期为 2 的周期函数 ;5. 方程k=f(x)有解k∈D(D 为f(x)的值域 );6.a ≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A 中元素必须都有象且唯一 ;(2)B 中元素不一定都有原象，并且 A 中不同元素在 B中可以有相同的象 ;9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
优选整合人教A版高中数学必修一函数的奇偶性精品课件
f x在-1，1上为增函数，
a 2 2a 3 a 1 1 a 2 1 1 a 3
1 2a 3 1 1 a 2 1 a 2.
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
由此我们可以得到奇函数的定义：
f(-x)= - f(x)
一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x, 都有____________,
那么函数f（x）就叫做奇函数.
想一想
如果一个函数的图象关于原点对称， 那么它的定义域应该有什么特点？
定义域也应该关于原点对称！
应用同样的方法给出奇函数的注意事项.
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
观看下列两个奇函数的图像，思考：y轴两侧 的图像有何特点？可得出什么结论？
f (x) x 1 y x
O
x
y
f (x) x3
O
x
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
第一章 集合与函数概念 1.3.2 函数的奇偶性
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
学习目标
➢1.理解函数的奇偶性概念. ➢2.会判定函数的奇偶性. ➢3.会推断奇偶函数的性质.
观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
优选整合人教A版高中数学必修一函数 的奇偶 性精品 课件
根据下列函数的图象，写出函数的定义域并判断函数的奇偶
【新教材】新人教A版 高中数学必修一 函数的奇偶性 课件
奇偶性 偶函数
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有_f_(－ ___x_)＝__f_(x_)_，那么 关于_y_轴__对称 函数f(x)就叫做偶函数
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任 奇函数 意一个x，都有__f(_－__x_)_＝__－__f(_x_)， 关于原 __点 __对称
常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．
Thank you for watching !
(1)定义法
[谨记通法] 判定函数奇偶性的3种常用方法
(2)图象法
考点三 函数性质的综合应用 [锁定考向] 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在
高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调 性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求 函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
考点一 函数奇偶性的判断 [题组练透]
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； 解：∵由x12－－x12≥ ≥00， ， 得 x＝±1， ∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又 f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即 f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
那么函数f(x)就叫做奇函数
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点 对称．定义域)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0) ＝－f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)．
新人教版高中数学必修第一册3.2.2函数的奇偶性(课件)
奇(偶)函数的性质及应用
【拓展】（2）奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性： 设 ， 的定义域分别是A和B，在公共定义域上有：
偶
偶
偶
奇
偶
偶
偶
奇
偶
偶
【注】上表中不考虑
和
中需
，
.
奇
奇
奇
偶
奇
奇
偶
奇
奇
偶
的情况；
【1】已知 是偶函数， 是奇函数，将下面的图像补充完整.
【解】根据奇偶函数的对称性，分别将偶函数沿着y轴作对称； 把奇函数沿着原点作中心对称，答案见图上.
【解】(1)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断：
所以此函数是偶函数；
【解】(2)首先判断定义域为R，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是奇函数；
【解】(3)首先判断定义域为
，关于y轴对称，再判断：
判断函数奇 偶性，首先 要看定义域.
【解】(3)首先判断定义域为
所以此函数是奇函数； ，关于y轴对称，再判断： 所以此函数是偶函数.
“ THANKS ”
【2】几何法，函数的图像关于y轴对称，那么函数就是偶函数
要证明某个函数不是偶函数，只需要列举出一个反例x0，证明f(-x0)≠f(x0)即可
偶函数 偶函数
图像关于y轴对称
本资料分享自高中数学 同步资源千人教师QQ群 483122854 本群专注同 代数特步入征资与源分收享集 期待你的加
几何特征
定义中，
函数奇偶性的判断
利用定义判断函数奇偶性的方法： 【1】一看定义域：奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称，如果一个函数的定
义域关于y轴对称，那么它才有可能是奇函数或者偶函数，否则就没有探究下 去的必要.
人教A版数学必修一1.3.2第1课时函数奇偶性的概念
误区：判断函数的奇偶性时，因忽略定义域而出错
【典例】判断函数 f(x)＝(x－1)
11＋ －xx的奇偶性．
【错误解答】f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx ＝－ 1＋x1－x＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
【正确解答】函数f(x)的定义域为{x|－1≤x＜1}，不关于原 点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
(2)用定义判断函数奇偶性的步骤为： ①求函数f(x)的定义域；
Байду номын сангаас
②判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点 对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对 称，则进行下一步；
③结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式； ④求f(－x)； ⑤根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性． (3)函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关 于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函 数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)∵4|x－＋x22|≥－02，≠0， ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． 此时 f(x)＝|x＋42－|－x22＝ 4－x x2． 又 f(－x)＝ 4－－－x x2＝－ 4－x x2＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋42－|－x22为奇函数．
x2＋2x＋3 x<0， 已知函数 f(x)＝0 x＝0，
4分
(2)f(x)的定义域是 R，
6分
又 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|
＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
8分
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，10分 不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．12分
高中数学必修一人教A版..函数的奇偶性
【点拨】可设F(x)＝f(x)＋8为奇函数，即本题利用了 F(2)＋F(－2)＝0.
第十九页，共27页。
互动探究1 在本例中，若f(m)＝10，则f(－m)＝ ________. 解析：令F(x)＝f(x)＋8，则 F(m)＋F(－m)＝0， ∴f(m)＋8＋f(－m)＋8＝0， ∴f(－m)＝－f(m)－16＝－10－16＝－26.
第十页，共27页。
二、函数奇偶性和单调性的关系：
例：P39.B组3题
结论：
(1)如果函数f(x)是一个奇函数,那么它在关于原点对 称的区间上的单调性是相同的.
(2)如果函数f(x)是一个偶函数,那么它在关于原点对 的区间上的单调性是相反的.
练习：试卷选择题2.3
第十一页，共27页。
三、判断函数奇偶性的步骤：
解：设 x>0，则－x<0， ∴f(x)＝f(－x)＝－x(2＋x)， 又 f(0)＝0，
x2－x x<0
∴f(x)＝0 x＝0
.
－x2＋x x>0
第二十三页，共27页。
3 .已f(知 x)是奇x 函 0 时 数 f(， x)， x(1x), 求x 当 0 时 f(x)的解 . 析式
4.已知f(偶 x)满 函 x 足 0时 数 f(x)x2x, 则 f( 1)6 ___
【点拨】 此类问题的一般做法是： ①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪
个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入．
③利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出 f(x)．
第二十二页，共27页。
互动探究 若将题设中的“f(x)是奇函数”改 为“f(x)是偶函数，f(0)＝0”，其他条件不变，则 f(x)的解析式又是什么？
高中数学人教A版必修第一册函数的奇偶性课件共
问题： f (x) x, x 1, 是奇函数吗？
y
解：
3
2 1
不是。
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
高中数学人教A版（2019）必修第一册 3.2.2 函数的 奇偶性 课件共27张PPT
高中数学人教A版（2019）必修第一册 3.2.2 函数的 奇偶性 课件共27张PPT
域内；
2、都有 f x f x
一般地，设函数f x 的定义域为I ,
如果x I，都有 x I，且
f x f x ，
那么函数f x 就叫做奇函数。
高中数学人教A版（2019）必修第一册 3.2.2 函数的 奇偶性 课件共27张PPT
高中数学人教A版（2019）必修第一册 3.2.2 函数的 奇偶性 课件共27张PPT
奇函数 偶函数
既奇又偶函数 f x 0
非奇非偶函数
2、奇、偶函数性质：
偶函数的 定义域关于原点对称
图象关于y 轴对称
奇函数的 定义域关于原点对称
高中数学人教A版（2019）必修第一册 3.2.2 函数的 奇偶性 课件共27张PPT
图象关于原点对称。
高中数学人教A版（2019）必修第一册 3.2.2 函数的 奇偶性 课件共27张PPT
学习目标 1.知识与能力目标 （1）理解偶函数、奇函数的定义。 （2）能用定义来判断函数的奇偶性。 （3）掌握奇、偶函数图象的性质。 2.过程与方法目标 （1）初步培养学生数形结合的思想。 （2）从数和形两个角度理解函数的奇偶性。 3.情感态度与价值观目标 （1）体会具有奇偶性函数的图象对称的性质， 感受数学的对称美，体现数学美学价值。 （2）通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学 生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结 合思想，从特殊到一般的数学思想。
人教A版高中数学必修一函数的奇偶性课件
f (x) x
y 3
f (x) 1 (x 0) x
y
2 1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
-x0 O P '(x0, f (x0 ))
P(x0 , f (x0 ))
x0
x
f(-x0)=-f(x0)
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的先决条件。
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
练习: 说出下列函数的奇偶性:
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
思考1:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数， 那么怎样定义偶函数？
定义：一般地，如果对于函数f(x)定义域 内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立， 则称函数f(x)为偶函数.
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样 表述？
自变量相反时对应的函数值相反
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
思考6:函数
是奇函数
吗？奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
人教A版高中数学必修一函数奇偶性判断文字素材
函数奇偶性判断在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)x (f )x (f -=-（或)x (f )x (f =-），那么函数)x (f 就叫做奇函数（或偶函数）。
函数奇偶性的定义反映在定义域上：若)x (f 是奇函数或偶函数，则对于定义域D 上的任意一个x ，都有D x ∈-，即定义域是关于原点对称的。
函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。
1.相加判别法对于函数定义域内的任意一个x ，若0)x (f )x (f =+-，则)x (f 是奇函数；若)x (f 2)x (f )x (f =+-，则)x (f 是偶函数。
例1 判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性。
解法1：利用定义判断，由)1)x (x lg()x (f 2+-+-=-x1x 1lgx1x x 1x lgx1x )x 1x )(x 1x (lg2222222++=++-+=++++-+=)x (f )1x x lg()x 1x lg(212-=++-=++=-，可知)x (f 是奇函数。
解法2：由x ∈R ，知R x ∈-。
因为)1)x (x lg()1x x lg()x (f )x (f 22+-+-+++=-+ 01lg )]1)x (x )(1x x lg[(22==+-+-++=，所以)1x x lg()x (f 2++=是奇函数。
2. 相减判别法对于函数定义域内任意一个x ，若)x (f 2)x (f )x (f =--，则)x (f 是奇函数；若0)x (f )x (f =--，则)x (f 是偶函数。
例2 判断函数2x12x )x (g x+-=的奇偶性。
解：由x ∈R ，知R x ∈-。
因为12)12(x 2x 12x 2x 12x)x (g )x (g x x x x --=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--- 0x x x =-=-，所以)x (g 是偶函数。
人教A版数学必修一函数的奇偶性
1.3.3函数的奇偶性
►基础达标
1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为()
A．－1B．0C．1D．无法确定
解析：∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
答案：B
2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋ ，则f(－1)＝()
(1)函数f(x)是奇函数；
证明：显然f(x)的定义域是R.
设任意x∈R，
∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．
证明：在区间(－1,1)上任取x1，x2，且x1＜x2.
f(x2)－f(x1)
＝－(x2－x1)(x ＋x2x1＋x )＋3(x2－x1)
(2)确定f(－x)与f(x)的关系．
(3)作出相应结论．
2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．
3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．
5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．
＝(x2－x1)(3－x －x2x1－x )．
因为－1＜x1＜x2＜1，所以(x2－x1)＞0，
(3－x －x2x1－x )＞0，
所以f(x2)＞f(x1)．
所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．
人教A版数学必修一2.1.4函数奇偶性
学校：北京市首都师大附中 教师：数学科组
教学背
景分析
教法分
析和学
法指导 教学过 程设计
内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A 版必修1第一章第三节;
函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此成 为函数的重要性质之一,它的研究也为今后幂函数 、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的 作用;
教学过 程设计
（三）合作探究、类比发现(10min)
设计意图
•通过类比发现， 培养学生的自主 探究、合作交流 能力
教学过 程设计
（三）合作探究、类比发现(10min)
设计意图
•通过比较，加 深学生对函数 奇偶性的记忆
•强调定义域关
于原点对称是 函数具有奇偶
性的条件,引起
学生重视
注意：定义域关于原点对称
教学背 景分析
奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学 生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着 数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体 现。
已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法 已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学 生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的 特殊对称性早已有一定的感性认识；
在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然 后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方 法的感性认识；
高一学生具备一定的观察能力，但观察的深刻性及稳定 性也都还有待于提高；
教学背 景分析
高一学生的学习心理具备一定的稳定性,有明确的学习动 机，能自觉配合教师完成教学内容。
知识与技能目标： ……理解函数奇偶性的概念 ……能利用定义判断函数的奇偶性 过程与方法目标： ……培养学生的类比，观察,归纳能力 ……渗透数形结合的思想方法，感悟由形象到具体,再 从具体到一般的研究方法 情感态度与价值观目标： ……对数学研究的科学方法有进一步的感受 ……体验数学研究严谨性，感受数学对称美
人教A版高中数学必修一3函数的奇偶性
函数的奇偶性
还能回忆起： 什么是轴对称图形？ 什么是中心对称图形吗？
中国的古建筑讲求对称美，相映成趣, 给人以稳 重、博大、端庄的感觉！
其实数学中的函数图象也有对称性……
二、探究新知
动手画出函数
及
的图像
以上函数图像有什么共同特征呢？
• 以上函数图像都关于y轴对称
观察 & 发现
对称，故函数 f(x)不具有奇偶性.
（5）对于函数
,其定义域是 R
因为 f (1) (1)2 (1) 2 1 f (1) 12 +2 1=3
所以 f (-1) f (1) 所以 f (x) 不是偶函数
又因为 f (1) - f (1) 所以 f (x) 不是奇函数
所以 f (x) 既不是奇函数也不是偶函数
f (1) 1 f (1) f (2) 4 f (2)
f (3) 9 f (3) ……
f (x) f (x)
x ...3 2 1 0 1 2
... f (x) x2
941 0 14
3 ... 9 ...
偶函数的定义
一般地，设函数f (x)的定义域为I x I ,都有- x I，且f (-x) f (x) 那么函数f (x)就叫偶函数
人教A版高中数学必修一第三章3.2.2 函数的 奇偶性 （共19 张PPT）
我会总结
f (x)是 函数f (x)的图像x I，都有- x I 偶函数 关于y轴对称 且f (x) f (x)
f (x)是 函数f (x)的图像
x I，都有- x I
奇函数关于原点对称 且f (x) - f (x)
人教A版高中数学必修一第三章3.2.2 函数的 奇偶性 （共19 张PPT）
人教A版数学必修一1.3函数的基本性质——奇偶性.pptx
在此输入您的封面副标题
函数的基本性质 ——奇偶性
讲授新课
1.奇函数、偶函数的定义 奇函数：设函数y＝f(x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)， 则这个函数叫奇函数.
偶函数：设函数y＝g(x)的定义域为D，如 果对D内的任意一个x，都有g(－x)＝g(x)， 则这个函数叫做偶函数.
上的奇函数，又f(x)在(0,＋∞)上是减函 数，且f(x)＜0，试判断函数 F ( x) 1
f (x)
在(－∞，0)上的单调性，并给出证明.
课堂小结
1.奇函数、偶函数的定义； 2.奇函数、偶函数图象的对称性； 3.判断函数奇偶性的步骤和方法.
课后作业
1．阅读教材P.33-P.36； 2．《习案》：作业11.
(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点
对称，则这个函数关于原点对称且这
个函数为奇函数；
(错)
(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义
域关于坐标原点对称.
(对)
(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对
称，则这个函数为偶函数；
(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数为偶函数.
练习
2.判断下列论断是否正确
练习
1.判断下列函数的是否具有奇偶性 (1)f(x)＝x＋x3；(奇)(2)f(x)＝－x2；
(3)h(x)＝x3＋1；
(4) k( x)
1 x2 1
x [1, 2]；
(5)f(x)＝(x＋1)(x－1)；
(6)g(x)＝x(x＋1)；
(7) h( x) x 3 x ；
(8) k( x)
1 x2 1.
4.如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的 偶函数，试问F(x)＝f(x)＋g(x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学·必修1(人教A 版)
1.3.3 函数的奇偶性
►基础达标
1．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (0)的值为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．无法确定
解析：∵f (x )为R 上的奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，∴f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.
答案：B
2．(2013·山东卷)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2
＋1x ，则f (－1)＝( )
A ．－2
B ．0
C ．1
D ．2
答案：A
3．如果偶函数在区间[a ，b ]上有最大值，那么该函数在区间[－b ，
－a ]上( )
A．有最大值B．有最小值
C．没有最大值D．没有最小值
解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值．
答案：A
4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝()
A．7 B．－7 C．12 D．17
解析：∵f(－7)＝－7，
∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7，
∴73a＋7b＝12.
∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17.
答案：D
5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∴k－1＝0，∴k＝1，
∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
►巩固提高
6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()
A．f(x)f(－x)是奇函数
B．f(x)|f(－x)|是奇函数
C．f(x)－f(－x)是偶函数
D．f(x)＋f(－x)是偶函数
解析：取f(x)＝x，则f(x)f(－x)＝－x2是偶函数，A错，f(x)|f(－x)|＝x2是偶函数，B错；f(x)－f(－x)＝2x是奇函数，C错．故选D.
答案：D
7．已知定义在R上的偶函数f(x)的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f(x)＜f(2)成立的自变量取值范围是()
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－2,2)
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：∵f (x )是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：
由图示可知：f (x )＜f (2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－
2)∪(2，＋∞)．
答案：D
8．设函数f (x )满足：①函数在(－∞，－1)上递减；②函数具有
奇偶性；③函数有最小值．则f (x )可以是：____________.
答案：f (x )＝x 2(答案不唯一)
9．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，
0)时，f (x )＝x －x 2.求当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )的表达式．
解析：当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)，
因为x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2，
所以f (－x )＝(－x )－(－x )2，
因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，
所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋x 2.
综上，x ∈(－∞，＋∞)时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2(x ＞0)，0(x ＝0)，x －x 2(x ＜0).
10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x .求证：
(1)函数f(x)是奇函数；
证明：显然f(x)的定义域是R.
设任意x∈R，
∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数．
(2)函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．
证明：在区间(－1,1)上任取x1，x2，且x1＜x2.
f(x2)－f(x1)
＝－(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋3(x2－x1)
＝(x2－x1)(3－x22－x2x1－x21)．
因为－1＜x1＜x2＜1，所以(x2－x1)＞0，
(3－x22－x2x1－x21)＞0，
所以f(x2)＞f(x1)．
所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．
1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：
(1)首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．
(2)确定f(－x)与f(x)的关系．
(3)作出相应结论．
2．若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数．
3．若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
4．函数是奇函数或是偶函数称为函数有奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．
5．由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．
6．奇函数在其对称区间上的单调性相同、函数值相反．
7．偶函数在其对称区间上的单调性相反、函数值相同．
8．设f(x)，g(x)有公共的定义域，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．。