第一章绪论

数学模型数学模型对大多数人来说，是既陌生又熟悉的。

说陌生，是指数学模型作为一门新的数学分支还只有很短的历史；说熟悉，是因为凡是要想对实际问题作出一个定量或定性的结果，都需要建立数学模型。

数学模型作为一门课程在国内出现于1980年前后，最初是作为应用数学专业的研究生训练理论联系实际的能力而设置的，后来随着大学生数学建模竞赛的蓬勃开展而出现了一个数学建模热潮。

为了提高学生数学应用的能力，配合国家的素质教育政策，促进高校数学教学的改革，许多学校都开设了数学建模课程，我校也是在这种背景下第一次作为一门必修课在信息与计算科学专业中开设。

以往也开设过，但都是为了参加全国大学生数学建模竞赛而开的选修课。

数学模型不是一个专业，它没有自己的理论，也没有自己的方法。

但从另一个角度来讲，也可以说所有的数学理论都是它的理论，所有的数学方法都是它的方法。

之所以这样讲，是因为数学模型本身的特点所决定的，这门课程就是用已有的方法或创造新的方法来解决各种各样的实际问题。

它的研究对象是各种各样的实际问题，它所用的工具就是我们在数学中学过的各种各样的方法，当然，创造性是这门课程的灵魂。

第一章绪论§1.1 模型及其意义一、什么是模型对这个问题，我们可以举出很多实例，比如，地球仪、玩具飞机、塑料花盆景等等。

那么，什么是模型，或者说模型的实质是什么，目前还没有统一的定义，但诸家的说法却越来越清晰，那就是，如果我们把现实世界的一部分，例如，某种或某些事物所构成的体系或系统叫做一个现实原型，那么模型就是对现实原型的一种抽象或模仿。

这种抽象或模仿有一定的目的性，因为原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映于某种目的有关的那些方面的层次。

一个原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型，如放在展览厅里的飞机模型应该在外形上逼真，但是不一定能飞；而参加航模竞赛的模型飞机在外形上不过分苛求，但一定要能飞才行；至于在飞机设计、试制过程中，用到的各种数据和计算机模拟，则只要在数量规律上真实的反映飞机的飞行动态特性，毫不涉及飞机的实体，所以模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。

按照这种说法，模型的意义是很广泛的。

自然科学和工程技术中的一切概念、公式、定律和理论都是某种现实原型的模型。

社会科学中的学术、原理、政策以及小说、美术、表格、语言等，也都是某种现实原型的一种模型。

例如，牛顿第二定律是物体在力的作用下，其运动规律这个原型的一种模型；计算机是人类的某些功能或智能这个原型的一种模型。

一张照片是某种实体（如人）的反映，一场戏剧是某类事件的再现，吃饭这句或使人往嘴里送东西达到充饥的动作的抽象，如此等等都可以看作是模型。

二、模型的意义模型的含义既然如此广泛，它的意义也就不言而喻了。

具体说来，在社会科学领域里，马克思主义和共产主义学说，就是消灭阶级社会中阶级压迫和阶级剥削，使人类走向理想社会的一种科学模型。

有了这种模型，人们向理想社会奋斗才成为可能，其意义是划时代的创举。

我国政府的对外开放、对内搞活的方针和政策，就是我国实现四化的政策性模型之一，有了它，我国的社会主义建设就稳步前进，人民生活不断改善。

在自然科学和工程技术领域里，模型的意义就更加具体。

在自然界里，许多实际问题的解决是不可能或者很难对原型直接实验和操作的，即使可能也要花很大的代价才能实现，如果有模型就能化不可能为可能，化难为易，变浪费为节约。

例如，为了练习射击的准确性，通常是不能对原型（人或物）直接进行的，而只能在靶场练习，靶场这个模型就使不可能变为可能，机器人这种模型，它不但可以代替人不能实现的一些工作，而且更多的是可以节省人力、物力和财力。

又比如，一项优化设计模型，它不仅可以使该项设计科学可靠，而且可以取得向当大的经济效益。

由此看来，模型的意义是无可估量的。

既然这样，我们每个人，特别是科学工作者、工程技术人员、经济管理工作者、领导者，都应通晓模型的意义和方法，掌握这门技术，构造更多更好的模型，促进四化建设。

§1.2模型及其分类模型从大的方面来说，可以分成社会科学模型和自然科学模型两大类，其中每一类还可以细分。

例如，经济模型、法律模型、工程模型、医学模型等。

但是这种分类意义不大，因为我们学习模型，不只是要看懂模型，更重要的是要学会构造模型。

因此，只有从规律上分类，才能使我们获得构造模型的本领。

按照这个观点，模型大致可分成三类或3种形式。

一、形象模型这种模型就是把现实原型加以形象地缩小或放大，它既可以使实体的，也可以使虚体的，但它看得见，抓得住。

如航空模型、建筑模型、雕塑、原子结构、电路教学板、细菌图片以及政策、口号等等。

二、模拟模型这种模型是用某种性质的简单东西去代替具有另一种性质的复杂东西，当然这两种不同性质的东西要具有相同的对应关系。

例如，等高线，陪练等。

三、数学模型这种模型使用数字、字母以及其它符号来体现和描述现实原型的各种因素形式以及数量关系的一种数学结构。

它通常表现为定律、定理、公式、算法以及图表等。

这是一种最一般、最抽象的模型，也是自然科学和工程技术中最常用的模型。

数学模型还可以进一步分类，而且分类方法颇多。

例如，按变量间的关系,可分为几何模型、代数模型、方程模型、概率统计模型、逻辑模型等。

按变量的形式来分，可分为确定性模型、随机性模型和模糊性模型，或者分为连续性模型和离散性模型。

本课程从我校的实际情况出发主要讲授初等模型、运筹学模型、概率统计模型、微分方程模型以及相关的应用软件。

不刻意追求全面，但力争使教学内容具有实用性，为学生定量分析问题打下良好的基础。

§1.3 数学建模及其重要性马克思曾说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步”。

可以认为，数学在各门科学中被应用的水平标志着这门科学发展的水平。

随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学、技术到工农业生产建设，从经济到社会的各个领域。

一般的说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果是，往往都离不开数学的应用，而如何将已有的数学成果应用于实际问题，就需要建立数学模型来解决。

那麽，什么叫数学模型呢？简单来说，就是用数学的语言和方法通过抽象、简化去近似地刻划实际问题，进而通过计算机分析得出结果，再回到实际中接受检验，逐步完善，最终解决实际问题，以求得更高的经济、社会效益。

随着数学模型的不断应用，数学建模的方法及应用领域不断扩大。

今天，数学建模已经发展成为一个相对独立的数学分支，而且不断向应用数学和纯粹数学提供大量的挑战性问题，从而推动了数学科学的发展。

§1.4 建立数学模型的一般步骤和原则建立数学模型是一种十分复杂的创造性劳动，因此不可能用一些条条框框规定出每种模型如何建立这里所说的步骤只是一种大体上的规划，具体问题具体分析，灵活应用，边干边创造。

一、模型准备当我们得到或接受一个现实原型，或者说一个实际问题要建立数学模型时，首先要对原型进行仔细的分析，明确建模的目的，特别是对生产实际问题，要到原型所处的环境中进行深入的调查研究，了解用户对问题的各种要求，搜集已有的各种资料和数据，为建立数学模型提供可靠的依据。

二、模型假设根据原型的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化、并用精确的语言作出假设。

一般的说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也难求解。

不同的简化假设会得到不同的数学模型。

假设做得太少，试图把复杂的原型的各方面因素都考虑得很周全，则或者模型无法建立，或者建立的模型在数学上取法求解；假设做得太多，把本应当考虑的因素都忽略掉，模型固然好建立并容易求解，但这时模型可能反映不了原型，也是失败。

总之，模型假设要根据问题的要求，本着抓主要矛盾的方针合理的作出。

三、模型构成根据所作的假设分析原型各环节之间的因果关系，利用其内在规律和适当的数学工具，建立各个量（常量与变量）之间的等式（或不等式）关系或其他数学结构。

这里除需要一些相关学科的专门知识外，数学方面必要的知识是必需的。

如果遇到所用工具不够，就要进行大胆的创造，这是建立数学模型最重要的一步。

四、模型求解采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法得到模型的结果，就是模型求解。

这里需要特别提出的是，随着数学模型这门学科的不断发展，计算机技术称为了重要的甚至是必不可少的工具。

五、模型分析对模型的结果进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有事实根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制。

不论哪种情况还常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性或灵敏性分析等。

六、模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题中去，并和实际的现象、数据进行比较，以检验模型的合理性和实用性，模型检验的结果如果不符合或部分不符合实际，问题通常处在模型假设上，应该修改、补充假设、重新建模。

有时模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意。

§1.5 数学模型的特点和建模能力的培养一、模型的真实性和可操作性首先对实际问题建立的数学模型，不论作出了何种假设和简化，一定要反映实际问题，否则就没有意义；其次，要具有可操作性，不管建立的模型在数学上如何漂亮，推理如何严密，若是难于求解，或者不容易对现实问题进行分析、预报、决策和控制，都是不行的。

二、模型的稳定性模型的结构和参数常常是由实际问题的各种信息和资料的基础上确定的，存在各种各样的误差，这时要求具有稳定性，也即当决策变量有微小的改变时要求模型的结果也只能有微小的改变，否则模型的用处便不大了。

三、模型的一般性所建立的模型应具有推广的价值，模型既然是原型的抽象或模仿，它来源于实际问题，却高于实际问题，对同类型的实际问题应能够通用才行。

比如99年全国大学生数学建模竞赛的B题，若建立的模型只对指定的县区适用，换上一个县区便无法应用，则不是一个好模型。

四、模型的渐进性稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过反复修改，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型。

在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程。

从19世纪力学、热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证。

基于数学模型的以上要求和特点，一个人建立数学模型的能力至少应包括以下几个方面：一、是理解实际问题的能力，包括有广博的知识面，搜集信息、资料和数据的能力和文字表达能力等。

二、是抽象分析问题的能力，包括善于抓主要矛盾，，选择决策变量，进行归纳、联想、类比等创造能力。