第十一章 第4课时 三角形的内角(1)
第十一章 三角形知识点总结
第十一章三角形一．三角形知识要点梳理1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
4、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）5、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
6、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
二．多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形分类2：叫做正多边形。
非正多边形：1、边形的内角和等于180°（n-2）。
多边形的定理2、任意多形多边形的外角和等于360°。
3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）三．典型例题讲解类型一：多边形内角和及外角和定理应用1．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，它是几边形？总结升华：本题是多边形的内角和定理和外角和定理的综合运用. 只要设出边数n，根据条件列出关于的方程，求出n的值即可，这是一种常用的解题思路.【变式1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为1800°，求这个多边形的边数.【变式2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为2750°，求这个多边形的内角和是多少？.【变式3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求这个多边形的边数。
第十一章--三角形教材分析.doc
第十一章三角形教材分析三角形是一种基本的几何图形．本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质,进而研究多边形的概念与性质．在本章,学生进一步学习通过推理得出数学结论的方法,提高推理能力．本章的有关内容有广泛的实际应用,也是学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）与平行四边形等图形知识的基础．本章教学时间约需8课时,具体分配如下（仅供参考）：11.1 与三角形有关的线段2课时11.2 与三角形有关的角 3课时11.3 多边形及其内角和2课时数学活动小结 1课时一、教科书内容和本章学习目标1.本章知识结构本章知识结构框图如下：2.教科书内容本章首先介绍三角形的有关概念和性质,分为两节．11.1节研究与三角形有关的线段．首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念,进而研究三角形的分类．对于三角形的边,证明了三角形两边的和大于第三边．接下来,给出了三角形的高、中线与角平分线的概念．结合三角形的中线介绍了三角形的重心的概念．最后结合实际例子介绍三角形的稳定性．11.2节研究与三角形有关的角．对于三角形的内角,证明了三角形内角和定理．然后由这个定理推出直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．最后给出三角形的外角的概念,并由三角形内角和定理推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．以三角形的有关概念和性质为基础,本章11.3节接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式．三角形是多边形的一种,因而可以借助三角形介绍多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来．三角形是最简单的多边形,因而常常将多边形分为几个三角形,利用三角形的性质研究多边形．多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的．将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排,可以加强它们之间的联系,便于学生学习．3.本章学习目标1.理解三角形及与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念,证明三角形两边的和大于第三边,了解三角形的重心的概念,了解三角形的稳定性．2.理解三角形的内角、外角的概念,探索并证明三角形内角和定理,探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3.了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）,探索并掌握多边形的内角和与外角和公式．二、编写时考虑的几个问题1.加强与实际的联系三角形是基本的几何图形之一,在生产和生活中有广泛的应用．教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形,形成三角形的概念．多边形概念的引入,也是类似处理的．三角形有很多重要的性质,如稳定性,三角形的内角和等于180°．教科书在介绍三角形的稳定性的同时,顺带介绍了四边形的不稳定性．这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做呢？”．然后让学生通过实验得出三角形有稳定性,四边形没有稳定性的结论,进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木条”的道理．除此之外,教科书还举出了一些应用三角形的稳定性,四边形的不稳定性的实际例子．对于三角形的内角和等于180°,教科书则安排求视角的实际问题作为例题,加强与实际的联系．在本章的数学活动中,教科书从用地砖铺地引入镶嵌,进而让学生探究一些多边形能否镶嵌成平面图案,并运用通过探究得出的结论进行简单的镶嵌设计．在编写时关注上述从实践到理论,再从理论到实践的全过程,使学生对理论来源于实践又运用于实践的认识进一步加深．2.加强与已学内容的联系学生在前两个学段已学过三角形的一些知识,对三角形的许多重要性质有所了解,在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识,初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征,会进行简单的推理．上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180°可以启发学生得出证明这个结论的方法,而证明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．在编写时关注本章内容与已学内容的联系,帮助学生掌握本章所学内容．另一方面,又注意让学生通过本章内容的学习,温习稳固已学的内容．3.加强推理能力的培养学生在七年级已经通过推理证明了一些图形的性质,如同角（等角）的补角相等,对顶角相等、两直线平行,内错角相等．本章中的许多结论也要通过推理来证明．在本章中加强推理能力的培养,可以提高学生已有的思维水平．也为学习全等三角形、等腰三角形、平行四边形等内容打下基础．在“相交线与平行线”一章已经给出了证明的概念,在本章中进一步借助三角形的内角和等于180°”这个结论的探索与证明让学生体会证明的必要性．教科书首先回顾学生在小学是通过度量与剪拼的方法知道这个结论的．然后指出：测量常常有误差,并且只能对有限个三角形运用上述方法,而形状不同的三角形有无数个,不能通过上述方法得出这个结论,所以需要通过推理的方法去证明．这样通过以上分析让学生明白为什么要证明,提高对推理证明的认识．三角形内角和定理是本章的重点内容．在本章中,由平行线的性质与平角的定义证明了这个定理．由这个定理还证明了“直角三角形的两个锐角互余”“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”以及多边形内角和公式．此外,还由“两点之间,线段最短”证明了“三角形两边的和大于第三边”,由多边形内角和公式证明了多边形外角和公式．安排这些内容有助于提高学生的推理能力．学生在本章仍处于进一步熟悉证明的阶段,学习通过推理的方法证明本章中的有关结论有一定难度．因此,教科书注意分析证明结论的思路,通过多提问题,留给学生足够的思考时间,让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程．例如,对于三角形内角和定理,设计实验操作的探究栏目,并对操作过程进行分析,从而获得证明的思路．注重证明思路的分析有助于学生学好推理证明．三、对教学的几个建议1.把握好教学要求与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度就可以了,进一步的要求可通过后续学习达到．如对于三角形的角平分线,在本章中只要知道它的定义,能够从定义得出角相等就可以了．学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,在下一章“全等三角形”中再证明这个结论．同样,三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明．在本章中,三角形的稳定性是通过实验得出的,待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”,可进一步明白其中的道理．证明三角形的内角和等于180°有一定的难度,只要学生了解得出结论的过程,不要在辅助线上花太多的精力,以免影响对内容本身的理解与掌握,对推理的要求应循序渐进．2.开展好数学活动镶嵌作为数学活动的内容安排在本章的最后,学习这个内容要用到多边形的内角和公式．通过这个数学活动,学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,综合应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力．这个数学活动可以如下展开：（1）背景了解多边形覆盖平面问题来自实际．（2）实验发现有些多边形能覆盖平面,有些则不能．（3）分析讨论多边形能覆盖平面的基本条件,发现问题与多边形的内角大小有密切关系,运用多边形内角和公式对实验结果进行分析．（4）运用进行简单的镶嵌设计．首先引入用地砖铺地,用瓷砖贴墙等问题情境,并把这些实际问题转化为数学问题：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖．然后让学生通过实验探究一些多边形能否镶嵌成平面图案,并记下实验结果：（1）用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1）．用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．（2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案．用正三角形与正六边形也可以镶嵌成一个平面图案．（3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案, 用任意四边形可以镶嵌成一个平面图案(图2)．观察上述实验结果,得出如下结论：如果拼接在同一个点（例如图2中的点O）的各个角的和恰好等于360°（周角）,相邻的多边形有大众边（例如图2中的OA 两侧的多边形有大众边OA）,那么多边形能镶嵌成一个平面图案．运用上述结论解释实验结果,例如,三角形的内角和等于180°,在图2中,∠1+∠2+∠3=180°．因此,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点（如图2）, 一定能使以这点为顶点的6个角的和恰好等于360°,并且使边长相等的两条边贴在一起．于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案．又如,由多边形内角和公式,可以得到五边形的内角和等于(5－2)×180°=540°．因此,正五边形的每个内角等于540°÷5=108°,360°不是108°的整数倍,也就是说用一些108°的角拼不成360°的角．因此,用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．最后,让学生进行简单的镶嵌设计,使所学内容得到稳固与运用．知识改变命运。
第十一章《三角形》教案人教版
11.1.1三角形的边教案课型：新授课主备人：黄海娟复备人：八年级数学备课组教学目标：1．三角形的概念，用符号语言表示三角形，并把三角形分类．2．三角形三边不等的关系．3．让学生懂得判断三条线段能否构成一个三角形的方法，•能用于解决有关的问题教学重点：三角形三边不等关系．教学难点：判断三条线段能否构成一个三角形的方法．教学过程：一、读一读：课本1-3页探究前的内容二、填一填：（见导学案），然后个别展示答案三、练一练：（见导学案）（小组合作、交流、展示）四、探一探，说一说：（课本第3页探究）小结：三角形的三边关系五、用一用：（导学案及课本第3页例题，）（小组合作、交流、展示）六、谈一谈：本节课你学到了那些知识？还有哪些疑惑？七、测一测：（见导学案）11.1.2三角形的高，中线与角平分线教案课型：新授课主备人：黄海娟复备人：八年级数学备课组教学目标：1.让学生认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；2. 让学生认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；3. 让学生认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；教学重点：让学生认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形教学难点: 画出三角形的高线、中线与角平分线．教学过程:一、想一想：1、三角形按边分可分为什么？按角分可分为什么？2、下列长度的三个线段能否组成三角形？（1）3，6，8 （2）1，2，3 （3）6，8，2二、看一看：课本第4-5页内容三、探一探：（先独立再合作）（一）高线：1、高线的定义2、作出下列三角形三边上的高并归纳结论（见导学案）（二）中线：1、中线的定义2、作出下列三角形三边上的中线并归纳结论（见导学案）（三）角平分线：1、角平分线的定义2、作出下列三角形三角的角平分线并归纳结论（见导学案）总结：三角形的高、中线、角平分线都是一条。
巩固练习：课本第5页四、谈一谈：本节课你学到了那些知识？还有哪些疑惑？五、测一测：（见导学案）11.1.3三角形的稳定性教案课型：新授课主备人：黄海娟复备人：八年级数学备课组教学目标：1．让学生认识三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题；2、通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段。
第十一章课件第四课时三角形的内角
A
∠A+∠B+90°= 180 ° ∠A+∠B =
90 °
C B
有两个角互余的三角形是直角三角形. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
如直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
A C
B
直角三角形的两个锐角互余.
符号语言：∵∠C=90° ∴ ∠A +∠B= 90 °； 或∠B = 90 °- ∠A； 或∠A= 90 ° - ∠B
八年级
上册
第十一章 三角形
11.2.1 三角形的内角
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180° 求证：∠A+∠B+∠C=180°
A
B
C
证明1：过点A作EF∥BC， ∴∠B=∠2，∠C=∠1
又∵∠2+∠1+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
A
E
2
B
1
F
C
在这里，为了证明的需要，在原
如图所示：△ABC中，
CD⊥AB，BE⊥AC，∠A=50° ，求∠BFC度数。
如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
的度数。
F H A B G C E M
D
通过本课时的学习，需要我们掌握：
辅助线
转化为一个平角 证法 三角形的内角 和等于180°. 求角度 应用 性质：直角三角形的两个锐角互余. 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 或同旁内角互补
来的图形上添加的线叫做辅助线.在
平面几何里，辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°,转 化为一个平角或同旁内角互补,这种
第十一章 三角形知识归纳
第十一章 三角形知识归纳基础知识归纳一、三角形的定义由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示． 二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 推论：三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系． 三、三角形的分类 1.按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 2.按边分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形四、三角形的三条重要线段线段名称三角形的高三角形的中线三角形的角平分线文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言作图语言过点A 作AD ⊥BC 于点D ．取BC 边的中点D ，连接AD ．作∠BAC 的平分线AD ，交BC于点D ． 标示图形符号语言 1．AD 是△ABC 的高． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的高．3．AD ⊥BC 于点D ．4．∠ADC ＝90°，∠ADB ＝90°．(或∠ADC ＝∠ADB ＝90°) 1．AD 是△ABC 的中线． 2．AD 是△ABC 中BC 边上的中线． 3．BD ＝DC ＝12BC 4．点D 是BC 边的中点． 1．AD 是△ABC 的角平分线． 2．AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ．3．∠1＝∠2＝12∠BAC ．推理语言 因为AD 是△ABC 的高，所以AD ⊥BC ．(或∠ADB ＝∠ADC ＝90°) 因为AD 是△ABC 的中线，所以BD ＝DC ＝12BC ．因为AD 平分∠BAC ，所以∠1＝∠2＝12∠BAC ． 用途举例1．线段垂直．2．角度相等． 1．线段相等．2．面积相等． 角度相等．注意事项1．与边的垂线不同．2．不一定在三角形内． —与角的平分线不同．重要特征三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 五、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.六、三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．七、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．八、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：要点诠释：(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n 边形的一个顶点可以引(n -3)条对角线，n 边形对角线的条数为； (3)过n 边形的一个顶点的对角线可以把n 边形分成(n -2)个三角形． 九、多边形内角和n 边形的内角和为(n -2)·180°(n ≥3)． 要点诠释：(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；十、多边形的外角和多边形的外角和为360°． 要点诠释：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n 边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；(2)正n 边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．(3)2n n -(2)180n n-°360n°凸多边形凹多边形。
人教版八年级上册数学第11章 直角三角形的性质与判定1(20页)
∴△EFP为直角三角形．
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
归纳总结
“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三 角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两个角互余的 三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形内 角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三 角形的定义．
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为( C )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．以上都有可能
2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( D )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A＝
1 2
1 ∠B＝ 3
∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
探究新知 知识点1：直角三角形两锐角的关系
观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？ 那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
如图， 在直角三角形ABC中，∠C = 90°， 由三角形内角和
定理，得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°，即
学习目标
新课讲授
当堂检测
课堂总结
练一练
1.如图，∠ACB=90°， CD丄AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什
么关系？为什么？
C
解： ∠ACD＝∠B.理由如下：
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°.
因为CD⊥AB，
A
所以∠BCD＋∠B＝90ห้องสมุดไป่ตู้.
人教版数学八年级上册第十一章 三角形说课课件(共33张PPT)
4.说教法学法
➢说学法
学生的学习应当是一个生动活泼的、主动的和 富有个性的过程。所以利用学生的好奇心设疑， 组织活泼互动、有效的教学活动，鼓励学生积极 参与，在学生在经历观察、实验、猜测、推理、 验证等活动过程中，体会了数学学习方法，体验 到了自主探索和合作交流快乐，更好更准确的理 解和掌握了本节课的内容。
第十一章 《三角形》说课
第十一章 《三角形》说课
接下来我将从以下六个方面展开我的说课
说课标
说教材
说学情
说教学 设计
说教学 评价
说教法 学法
说课标
1.说课标
➢ 初二学段的课程标准
经历探索物体与图形基本性质、变换、位置关系的 过程，掌握三角形、多边形以及轴对称等的基本性质， 掌握基本的识图、作图等技能；体会证明的必要性、掌 握基本的推理技能；在探索图形的性质、图形的变换以 及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中，初 步建立空间观念，发展几何直觉。
5.说教学设计
重难点突破二：探究多边形的内角和公式
追问1:这里连接对角线起到什么作用？
将四边形分割成两个三角形， 进而将四边形的内角和问题转化为 两个三角形所有内角和的问题。
5.说教学设计
重难点突破二：探究多边形的内角和公式
追问2:类比前面的过程，你能探索出五边形的内角 和吗？六边形呢？
基于以上分析，学生不 难想到将五边形、六边形分 别分割成三个、四个三角形， 从而得到它们的内角和 。
l
通过添加与边BC
BA C
平行的辅助线l，利用
平行线的性质和平角
的定义即可证明结论．
B
C
重难点突破一：探究并证明三角形内角和定理
追问3 结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？ 已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
11.2.1三角形的内角(教案)案例
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形内角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的教学中，我尝试通过生活化的导入和实践活动，让学生对三角形的内角产生直观的认识。我发现，当学生能够在实际情境中感受到数学知识的应用时，他们对新概念的学习兴趣会更加浓厚。这样的教学方式有助于提高学生的参与度和积极性。
在讲授新课的过程中，我注重对三角形内角和定理的讲解，并通过不同的例子来强调这个定理的重要性。我注意到，一些学生在理解定理的证明过程中遇到了困难，这让我意识到需要在今后的教学中加强对这部分内容的辅导和引导。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《三角形的内角》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算三角形内角的情况？”比如，在拼图或搭建模型时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形内角的奥秘。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作的效果比我预期的要好。他们通过合作探究，不仅加深了对三角形内角和定理的理解，还学会了如何将理论知识应用于解决实际问题。这让我感到很欣慰，也证明了我的教学方法是有效的。
然而，我也发现了一些问题。在学生小组讨论环节，部分学生表现得不够积极，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对讨论的问题感到困惑。针对这一点，我计划在今后的教学中，更加关注学生的个体差异，提供更具针对性的引导和帮助。
人教版初中数学《与三角形有关的角》_精品课件
新课讲解
问题2：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的和 等于多少呢？
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理， 得∠A +∠B+∠C=90°,即 ∠A +∠B=90°.
？思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
归纳总结
1.直角三角形的两个锐角互余．
A
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新课讲解
（2）如图2，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由.
解：∠A=∠C.理由如下：
A
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
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归纳总结
？思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
新课引入
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大， 那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为 180°，相互矛盾，因而是不可能的.
在这个家里，我 是永远的老大.
1 直角三角示是我们常用的三角板,两锐角的度 数之和为多少度?
30°+60°=90°
45°+45°=90°
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
八年级第十一章三角形知识点复习
21D CB AD CB AD CB A十一章 三角形知识点复习⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
三角形有三条边，三个内角，三个顶点，组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类：(2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段．表示法：是△ABC 的BC 上的中线. 2. 如果AD 是?ABC 的中线，那么BD=DC=12BC.是?ABC 中BC 边上的中线，AD 是?ABC 的中线。
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：是△ABC 的∠BAC 的平分线.2. AD 平分?BAC ，交BC 于D ；3. 如果AD 是?ABC的角平分线，那么∠1=∠2=12∠BAC（或者可以表示成?BAD=?DAC=21?BAC.）。
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：是△ABC 的BC 上的高线.⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°.4. AD 是?ABC 的高；如果AD 是?ABC 中BC 边上高，那么AD ?BC ，垂足是E ；如果AD 是?ABC 中BC 边上的高，那么?AMB=?AMC=90?。
人教版八年级数学上册《三角形的内角》三角形PPT精品课件
。
在Rt△ABC中， “ 直 角 三 角 形 的 两 个 锐 角 互 余 ” 其 几 何 语 言 可 表 示 为∵：∠ A = 9 0 °
∴∠B+∠C=90°
若在三角形中，有两个锐角互余，则该三角形是否就是直角三角形呢？
新知讲解
已知：在△ABC中，∠A与∠B互余。 求证：该三角形为直角三角形
证明：∵∠A与∠B互余 ∴∠A+∠B=90° 由三角形内角和定理，可得 ∠A+∠B+∠C=180° ∴90°+∠C=180° ∴∠C=90° ∴△ABC为直角三角形
1、（2022·河南周口·八年级期末）若一个三角形的三个内角度数之比1:3:4，则这个三角
形是（ B ） A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【解析】∵三角形三个内角度数的比为1：3：4， ∴三个内角分别是 ∴该三角形是直角三角形 故选答案选B
课堂练习
2、（2022·湖南邵阳·八年级期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（ A ）
∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）
新知讲解
方法三、证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB
A E
F
B
D
C
∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC（两直线平行，同位角相等）
∴∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴∠A=∠EDF ∴∠EDB+∠EDF+∠FDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°
人教版八年级数学上册《三角形内角和定理》教学设计
人教版八年级上学期第11章11.2 三角形内角和定理教学设计学校: 教师：一、内容和内容解析（一）内容：三角形内角和定理（二）内容解析三角形内角和定理是八年级上册第十一章的重要内容，也是“图形与几何”必备的知识基础.它从“角”的角度刻画了三角形的特征.三角形内角和定理的探究体现了由实验几何到论证几何的研究过程，同时说明了证明的必要性.三角形内角和定理的证明以平行线的相关知识为基础.定理的验证方法从剪拼图的实验活动中获得添加辅助线的思路和方法，定理的证明思路是不同位置的三个内角转化为平角或同旁内角.基于以上分析，确定本节课的教学重点：体会证明的必要性；探索并证明三角形内角和定理，二、目标和目标解析（一）目标1.探索并证明三角形内角和定理.2.能运用三角形内角和定理解决简单问题.（二）目标解析达成目标1的标志是：学生能通过度量或剪拼图等实验进一步感知三角形的内角和等于180°，发现操作实验的局限性，进而了解证明的必要性；在实验的过程中能发现其中蕴含的辅助线，并运用平行线的性质证明三角形内角和定理.达成目标2的标志是：学生能运用三角形内角和定理解决简单的与三角形中角有关的计算和证明问题.三、学情分析学生学习技能基础：学生在以前的几何学习中，已经学习过平行线的判定定理与平行线的性质定理以及它们的严格证明，也熟悉三角形内角和定理的内容，而本节课是建立在学生认识了三角形掌握了平行线的性质、判定等知识的基础上展开的，因此，学生具有良好的知识基础.数学活动经验基础：本节课主要采取的活动形式是学生自主探究与合作交流的学习方式，学生具有较熟悉的数学活动经验．证明三角形内角和定理需要添加辅助线，这是学生第一次遇到添加辅助线证明定理的问题.由于添加辅助线是一种尝试性活动，规律性不强，要根据需要而定，学生会感到困难.教学时，教师要让每个学生都亲自动手进行剪图、拼图，引导学生在实验的过程中感悟添加辅助线的方法，进而发现思路、证明定理.基于以上分析，确定本节课的教学难点：如何添加辅助线，证明三角形内角和定理.四、教学过程设计为达到本节课教学目标，本节课的设计分为五个环节：知识回顾、新课引入——操作验证、探索新知——巩固练习、强化应用——课堂小结、升华提升——作业布置、反馈教学.第一环节：知识回顾、新课引入新课导入：上一节课，我们认识了三角形.（出示课件）我们知道，组成三角形的基本元素有边和角；然后我们又重点研究了三边的关系.那么你认为，接下来我们可以研究哪些内容呢？（三角的关系、角与边的关系）问题1：关于三角形的内角，你都知道哪些知识呢？回忆小学的时候，我们是通过哪些方法验证这个结论的呢？师：具体的，你是如何操作的？方法1：度量法.分别测量出三个内角的度数，然后计算它们的和;方法2：剪拼法.将三角形的三角剪下，随意将它们拼凑在一起.设计意图：在初步认识三角形的基础上，将研究的视角定格在研究角之间的关系，在提问中引导学生回顾三个内角的关系：三个角的和是定值.在启发如何知道这个结论时，引导学生回到思维的起点，让学生回顾小学的研究方法：度量法、剪拼法.第二环节：操作验证、探索新知活动1 实验论证请同学们利用手中的三角形纸片，进行剪拼，再次验证这个结论.学生活动：1学生动手操作.2. 班级展讲.（学生在黑板右上方展示两种图形）.无论是度量法还是剪拼法，我们能够验证有限个三角形，它们的内角和等于180°;但是，形状不同的三角形有无数多个；如果我们要说明“所有三角形的内角和等于180°”，那我们应该用什么方法呢？生：推理论证.设计意图：在启发中引导学生找到这些方法存在的缺憾，老师适当留给学生思维的空白，目的是为了让学生感受要进行推理证明的“必要性”，突出了本节课的第一个重点：体会证明的必要性.同时，通过实验操作的方法验证结论的合理性，发展学生合情推理的能力，为下一步作辅助线提供方法.活动2 推理论证接下来，我们要证明:三角形的内角和等于180°.这是一个文字命题.对于文字命题的证明，一般要先画出图形，写出已知、求证.我们一起完成已知、求证的书写.探究一：转化两个角师：要证明的结论是什么？生：NA+NB+NC=180° .观察图形，4ABC中，NA、NB、NC处在不同的位置，没有明显的联系.那我们应该怎么做呢？（学生思考半分钟）回顾一下我们的拼图过程，我们把NB “搬”到了NA的左侧, /^搬”到了NA的右侧，组成了一个角/DAE.请同学们思考：剪拼的目的是什么？（三个角建立起关系）师：剪拼的过程，实际上进行了“角的转化”，从而让三个角建立起关系.问题2那么，请同学们思考，通过什么数学方法，可以实现ZB的转化呢？设计意图：本环节设计目的是通过教师引导学生作出辅助线，同时画出思路分析流程图，流程图直观，易于理解，能够更好的培养学生有序分析问题的能力.结合剪拼图，教师引导学生，在黑板上画出思路分析的流程图.证明1：过点A作直线DE〃BC 分析流程图:・.・DE〃BC・・・NB=N1, ZC=Z2 ・Z1+ZBAC+Z2=180°丁•NBAC+NB +ZC=180°ZBAC+Z1+Z2 =1800 0ZB = N1,N C = N2.n转化Z A+ZB + ZC =追问：回顾刚才的证明过程，请同学们思考：证明的“关键”是什么？为达到“转化”的目的，使用的方法是什么?问题2 （教师动手移动NB,如右图）结合这个拼图，你能想证明方法吗？B学生活动：1.学生思考,在学案上独立完成证明过程.2.班级展讲.证明2：（/8转化为它的同位角N1）延长BA至D,过点A作AE〃BC.・.・AE〃BC・・・NB=N1,ZC=Z2「NBAC+N1+N2=180°・•・ZBAC+ZB+ZC=180°（平角的定义）（等量代换）问题3 刚才我们通过转化两个角，证明了结论.如果我们同时转化三个角,你能证明这个结论吗?请同学们小组讨论.学生活动：小组讨论, 班级展讲.追问：/8除了可以转化为点A出的同位角，还能转化为其他点处的同位角吗？教师活动：几何画板演示，引导学生有序的思考怎样进行三个角的转化. ^3^\二探究二：转化三个角①点P在直线AB上时:②点P在直线AB外时:FFNNBD GD G问题4 刚才我们对两个角、三个角进行了转化，如果只转化一个角能证明这个结论吗？请同学们试试看. （此环节根据时间情况决定是否讲解.）探究三：只转化一个角证明3：过点A作直线AD〃BC・.・AD〃BC・・.NC=N1 （两直线平行，同位角相等）NB+NBAC+N1=180°（两直线平行，同旁内角互补）/. ZB+ZB AC+NC=180。
人教版八年级上册数学第11章 三角形 三角形的内角——三角形内角和
知2－练
2 (中考·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝ 54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交 AC于点E，则∠ADE的大小是( C ) A．45°B．54°C．40°D．50°
知2－练
3 (中考·威海)直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角 尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝__4_0_°____．
辅助线 通过本课时的学习，需要我们掌握：
三角形的 内角和等 于180°
证法 应用
转化为一个平角 或同旁内角互补
求角度
完成教材P16T1、T3P17T7、T9
第十一章三角形
11.2与三角形有关的角
第1课时三角形的内角——三 角形的内角和
1 课堂讲解 2 课时流程
三角形内角和定理 三角形内角和的应用
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 三角形内角和定理
知1－导
问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形三个内 角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的 吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
数.
解：由∠BAC=40°，AD是
C
△ABC的角平分线，
得∠BAD=∠12 BAC=20°.
在△ABD中，
A
D B
∠ADB=180°－∠B－∠BAD
=180°－75°－20°=85°.
知2－讲
三角形的三内角和是180º，所以三内角可能出现的情况：
一个钝角两个锐角 一个直角两个锐角
三个都为锐角
钝角三角形 直角三角形 锐角三角形
线l，直线l与边BC有什么位置关系？
直线l与边BC平行．
《三角形的内角》三角形PPT课件
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
A
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， E
F
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？ B
D
C
新知探究
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A 2
1
A 1
新知探究
二、三角形的内角和定理的运用 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平 分线，求∠ADB的度数.
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得 C
∠BAD= 1∠BAC=20 °.
2
D
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
A
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°. B
E
1 2
CD
新知探究
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
45°
x=50
课堂小测
2.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___2_8_0__°____ .
C
D4 1
40° 2
3
A
E
B
课堂小测
八年级数学上册知识点总结(第十一章)
八年级数学上册知识点总结(第十一章) 八年级数学上册知识点总结(第十一章)八年级数学上册知识点总结八年级数学上册知识点总结第十一章三角形编者：肖潇11.1与三角形有关的线段第1课时三角形的边1.三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
2.三角形按边分类三角形等腰三角形（至少两边相等）等边三角形（三边都相等）不等腰三角形底边和腰不等的等腰三角形3.三角形三边的关系（重点）三角形的任意两边之和大于第三边。
三角形的任意两边之差小于第三边。
（这两个条件满足其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c 或c－b＜a。
已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a －b|＜c＜a＋b要求会的题型：①数三角形的个数方法：分类，不要重复或者多余。
Page2题11八年级数学上册知识点总结②给出三条线段的长度或者三条线段的比值，要求判断这三条线段能否组成三角形方法：最小边＋较小边＞最大边不用比较三遍，只需比较一遍即可Page2题4③给出多条线段的长度，要求从中选择三条线段能够组成三角形方法：从所给线段的最大边入手，依次寻找较小边和最小边；直到找完为止，注意不要找重，也不要漏掉。
Page2题11④已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围方法：第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋bPage2题5，9，10⑤给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。
Page3题14，15 第2课时三角形的高、中线与角平分线1.三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。
三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。
2.三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。
人教版八年级上册数学《三角形的内角》三角形研讨说课教学课件
6.如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，求证：△ABD是直角三角形.
证明：∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
课堂小结
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
直角三角
形的性质
与判定
三角形的内角
2. 直角三角形有什么性质呢？
A
直
角
边
B
直角边
直角三角形
C
知识讲解
★ 直角三角形的性质
探究：如图，在RT△中， ∠C=90° ，那么两锐角的度
数之和为多少?
A
在Rt△ABC中，因为 ∠C=90° ，由三角形内角和
定理，得∠A +∠B+∠C=90° ，
即∠A +∠B=90°.
思考：由此，可以得到直角三角形的什么性质？
XX
知识回顾
回顾 在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的
和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？
请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
方法
方法 度量、剪拼图、折叠
情景引入
思考
(1)运用度量的方法，得出的三个内角的和都是180°
吗？为什么？
测量可能会有误差．
(2)通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角
例题
例题
若一个三角形三个内角度数的比为 2︰3︰4，那么这
个三角形是( B )
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形
D .等边三角形