机械振动PPT第二章

h 2 n
t cos( nt )
x2
h 2 n
t cos( nt )
t
当ω=ωn时，系统共 振，受迫振动的振 幅随时间无限地增 大，其运动图线如 图示。
O
t
实际上，由于系统存在阻尼，共振时振幅不可能达到无限大， 一般来说，共振时的振幅都是相当大，往往使机器产生过大 的变形，甚至造成破坏。 因此如何避免发生共振是工程中一个非常重要的课题。
x s
m kx ke sin t x
物块的受迫振动形式：
s
l0
st
x
O
H ke
x b sin t
激振力的力幅为
h ke e b 2 2 n 2 m( n 2 ) 1 ( ) 2
x s
n
b为物块绝对运动的振幅。 由于测振仪壳体运动的振幅为e，记录纸上画出的振幅为物块相对于 测振仪的振幅 a=|b-e|。当ωn <<ω时，b≈0，有a≈e。 一般测振仪的物块质量较大，弹簧刚度k很小，使ωn很小。 用它来检测频率ω不太低的振动时，物块几乎不动，记录纸上画出的 振幅也就接近于被测物体的振幅。
m
F
x
将右端改写为：
h sin t h sin[t ) ]
h cos sin(t ) h sin cos(t )
可整理为：
2 [b( n 2 ) h cos ]sin(t ) [2nb h sin ] cos(t ) 0
m2 t x
p x mi ix dx d m1 m2 ( x e sin t ) dt dt
d dx d [m1 m2 ( x e sin t )] kx dt dt dt
整理后得：
m1
O
Fk
(m1 m2 ) kx m2e 2 sin t x
研究受迫振动方程特解
O
l 2
l 2
k
A
h 2 sin t 2 n
将ω=1/2ωn代入上式 解得：
m
F

h
3 2 n 2 4 4 F0 3 4k /( sin t ) ml 4 m
4 F0 sin t 3kl
sin t
例. 图示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为m1， 偏心块的质量为m2 ，偏心距为e，弹性梁的刚性系数为k，求当电机以角速 度ω匀速旋转时系统的受迫振动规律。
m
弹性梁上的电动机由于转子偏心在 转动时引起的振动等。
简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力：F H sin(t )
H：激振力力幅；ω：激振力的圆频率；φ：激振力初相位
1.振动微分方程
图示振动系统，物块质量为m。 物块受力有恢复力Fk和激振力F。 取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下.
x
Fk
m
F
m
x
该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式
d 2x 2 n h sin(t ) dt 2
二阶常系数非齐次线性微分方程
解由两部分组成： x x1 x2 齐次方程的通解为: x1 A sin(nt ) 设特解为：
x2 b sin(t )
此微分方程为质点受迫振动，激振力项 m2eω2sinωt 即电机旋转时，偏心块的离心惯性力在x轴方向的投影。 激振力力幅为 m2eω2 等于离心惯性力的大小 激振力的圆频率等于转子的角速度ω。 这种情况引起的激振力的力幅与激振力的频率有关。
H m2e 2 令：
h
m2e 2 h m1 m2
2.受迫振动的振幅
x2 b sin(t )
h b 2 n 2
在简谐激振的条件下，系统的受迫振动为谐振动，其振动 频率等于激振力的频率，振幅的大小与运动起始条件无关， 与振动系统的固有频率ωn激振力的力幅H、激振力频率ω 有关。
下面讨论受迫振动的振幅与激振力频率之间的关系
(1) 若ω→0，此时激振力的周期趋近于无穷大，激振力为一恒力，并不振 动，所谓的b0振幅实为静力H作用下的静变形。 由式
对任意瞬时t，必须满足：
2 b( n 2 ) h cos 0
2nb h sin 0
两方程联立，可解出：
b h ( ) 4n
2 n 2 2 2 2
k
c
Fc
tan
2n 2 n 2
Fk
m
F
得微分方程的通解为：
2 x Ae nt sin( n n 2 t ) b sin(t )
b为待定常数
将x2代入无阻尼受迫振动微分方程，得：
2 b 2 sin(t ) bn sin(t ) h sin(t )
解得：
b
h 2 n 2
得无阻尼受迫振动微分方程的全解： h x A sin( nt ) 2 sin(t ) 2 n
有阻尼受迫振动微分方程的标准形式 二阶线性常系数非齐次微分方程 其解由两部分组成： x x1 x2 x1 ：齐次方程的通解 在小阻尼（n< ωn ）情形下，有
2 2 x1 Ae nt sin( n nn t )
c
Fc
Fk
m
F
x
d 2x dx 2 2n n x h sin t dt 2 dt
二. 单自由度系统的有阻尼受迫振动
图示有阻尼振动系统，设物块的质量为m，作用在物块上的力有线性 恢复力Fk、粘性阻尼力Fc和简谐激振力F。 若选平衡位置O为坐标原点，坐标轴铅直向下。 则各力在坐标轴上的投影为：
Fk kx
dx Fc c c dt
k
c
Fc
F H sin t
l 2
O
l 2
k
A
m
F
l 2 m( ) kl 2 F0l sin t 2
微分方程整理为：
令 2 n
kl 2 4k l m m( ) 2 2
FO l 4 F0 1 ml m( ) 2 2
h sin t
2 n
h
2 n h sin t
m2 e 2 受迫振动振幅： b 2 n k (m1 m2 ) 2
绘出振幅频率曲线。
b
此曲线当ω<ωn时，振幅 从零开始，随着频率增大 而增大； 当ω=ωn时，振幅趋于∞； 当ω>ωn 时，振幅随着增大而减 小，最后趋于m2e/(m1 +m2) 。 O
n
m2 e m1 m2

例. 图为一测振仪的简图，其中物块质量为m，弹簧刚度为k。测振仪放 在振动物体表面，将随物体而运动。设被测物体的振动规律为s=esinωt， 求测振仪中物块的运动微分方程及其受迫振动规律。
解： 1）取测振仪为研究对象 测振仪随被测物而振动，则其弹簧悬 挂点的运动规律就是s=esinωt 。 2）位移分析 取t=0时物块的平衡位置为坐标原 点O，取x轴如图。如弹簧原长为l0， δst 为其静伸长。设任一时刻t时，物 块的坐标为x，弹簧的变形量为
b h 2 n 2
b h 2 n 2
b0
h
2 n

H k
(2)若0<ω<ωn
ω值越大，振幅b越大，即振幅b随着频率ω单调上升，当ω接近ωn时，振 幅将趋于无穷大。 (3)若ω>ωn
b h 2 n 2
按式b为负值。习惯上把振幅都取为正值，因而取其绝对值， 而视受迫振动与激振力反向，相位应加（或减）1800。 随着激振力频率ω增大，振幅b减小。当ω趋于∞，振幅b减小 趋于零。
可建立质点运动微分方程
Fk
m
F
d 2x dx m 2 kx c H sin t dt dt
x
d 2x dx m 2 kx c H sin t dt dt
两端除以m，并令：
k , m
2 n
2n
c , m
h
h m
k
整理得： d 2 x dx 2 2n n x h sin t dt 2 dt
s
l0
st
x
O
x s
st x s
3）物块运动的微分方程：
m mg k ( st x s) x
整理为：
s
l0
st
x
O
mg k st , s e sin t
m kx ke sin t x
可见物块的运动微分方程为 无阻尼受迫振动的微分方程。
例. 图示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支另一端A水平悬挂在刚 度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量为m的小球。若在点A加一激振力 F=F0sinωt,其中激振力的频率ω=1/2ωn , ωn为系统的固有频率。忽略阻尼， 求系统的受迫振动规律。 解： 设任一瞬时刚杆摆角为φ， 根据刚体转动微分方程可以 建立系统的运动微分方程。
h sin(t ) 2 2 n 表明：无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的： 第一部分是频率为固有频率的自由振动； 第二部分是频率为激振力频率的振动，称为受迫振动。 实际振动系统存在阻尼，自由振动部分总会逐渐衰减下去， 因而我们着重研究第二部分受迫振动，它是一种稳态的振动。 x A sin( nt )
t
x
O
t
下面研究稳态过程的振动。 由受迫振动的运动方程特解可知：x2 b sin(t )
解：
1) 取电机与偏心块质点系为研究对 象 设电机轴心在瞬时t相对其平衡位置 O的坐标为x， 则偏心块坐标为：x+esinωt 。 2）作用力：在系统上的恢复力: