数学建模：第二章 古典模型

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（4）设有n个人参加一宴会，已知没有 人认识所有的人，问是否有两个人，他们 认识的人一样多？
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二、椅子问题
问题：将4条腿长相同的方椅子 放在不平的地上，怎样才能放平？
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假定椅子中心不动，每条腿的着地点视 为几何上的点，用A、B、C、D表示，把AC 和BD连线看作坐标系中的x轴和y轴，把转 动椅子看作坐标的旋转如图2-6所示：
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思考题： 在一个边长为1的正三角形内， 1 若要彼此间距离大于 ，最多不超过 n 多少个点？
8
问题２：
能否在8×8的方格表ABCD各个空格中分别 填写1、2、3这三个数中的任一个，使得每行、 每列及对角线AC、BD上的各个数的和都不相同？ 为什么？
A D
B 图 2-2
C
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如图2-2，因为每行、每列及对角线上的 数都是8个,所以8个数的和最小值是1×8＝8， 最大值是3×8=24，共有17个不同的和。而由 题意知，每行、每列及对角线AC、BD上各个 数的和应有8+8+2=18个，所以要想使每行、 每列及两对角线上18个和都不相同是办不到 的。
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三、学会估算 问题：能否将一张纸对折100次？
对折100次共2 层
100
2 1024 1000 10
10
3
所以 2 10 30 10 层就有 若每层纸厚度为0.05毫米，
100 30
5 1022 千米
即五万亿亿千米，而从地球到太阳也不过1.5亿 千米。 对折100次就无法办到了。
Fn 2 1
2n
进行试算：
F0 3
F1 5 F2 17
F3 257 都是素数
F 费尔马断言：“对任意自然数n，n 都是 素数。”，这是著名的费尔马猜想。
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相隔近100年后，欧拉算出： F5 ＝4294967297 ＝6700417×641 不是素数，
后来又有很多人算出 n=6.7.8.9.11.12.15.18.23等都不是素数。 3）不要被前人的条框所约束。
用D表示可取运载的集合，称为允许决策集合。 3)记第k次渡河前北岸男子数为 xk ，女子数为 y k
sk ( xk , yk ) 称为状态；
记第k次渡河船上的男子数为u k，女子数为vk d k (uk , vk ) 称为决策。 所以状态随可取运载变化规律是
sk 1 sk (1) d k
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思考题： Fibonacci数 假设有一对兔子，两个月后每月可生 一对兔子，一对小兔子两个月后每月又可生 一对小小兔子，依次类推，问一年后共有多 少对兔子？能否用计算机算出任意月份兔子 的对数？
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二、鸽笼原理 问题１： 在一个边长为1 的正三角形内最多 能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大 1 于2 ? 方法：
(3)有12个外表相同的硬币,已知其中一个是 假的(可能轻也可能重些).现要用无砝码的天平 以最少的次数找出假币,问应怎样称法.
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§2 几何模拟问题
把一个复杂的问题，抽象成各种意义下的几 何问题加以解决，这种方法叫做几何模拟法。几何 模拟法常常在发现问题解答的同时，也就论证了解 答的正确性，这种方法当然是数学中的一种重要思 维方法。
由SLRM SMPN SNQL S PQR
,所以
1 1 1 1 2 Ba sin Cb sin Ac sin k sin 3 2 3 2 3 2 3 2
即
Ac Ba Cb k
2
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问题２：
在圆周上均匀地放上4枚围棋子，规定操作规则如 下：原来相邻棋子若是同色的，就在其间放一枚黑子， 若异色就在其间放一枚白子，然后把原来4枚棋子取走， 完成这一程序就算是一次操作。证明：无论开始时园 周上的黑白棋子的排列顺序如何，最多只需操作4次， 圆周上就全是黑子。
第二章 古典模型
§1 几 种 简 单 的 数 学 方 法
一、观测实验和抽象分析法 欧拉多面体问题 问题：一般凸的多面体其面 数F、顶点数V和边数E之间有何关 系？ 对此欧拉具体地观察了四面体、五 面体… 结果如下：
1
多面体 四面体
F 4
V 4
E 6
五面体
六面体 七面体 ……
5 (5 6 (6 7 (7 …
一、相识问题
问题：在6人的集会上，总会有3人互相 认识或者互相不认识。
怎样论证此问题？
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〔方法〕：把6个人看作平面上的6个点， 并分别记作为 Ai (i=1.2„6)。若两人相识， 则用实线联接此两点，反之用虚线。 于是原问题转化为：在这个6点图中， 必然出现实三角形或虚三角形。
不妨假设A1至少和3个人相识，
如状态(2,3)是不可取的，
而状态(3,1)是可取的。
1)可取状态： 总共有10种可取状态具体如下： (3,3) (3,2) (3,1) (3,0) (0,3) (0,2) (0,1) (0,0) (1,1) (2,2) 其中(i,i)表示i对夫妻。 用S表示可取状态的集合，称为允许状态集合。 2)可取运载： (0,1) (0,2) (1,0) (2,0) (1,1) ， 35 其中(1,1)表示1对夫妻，

则有
所以
h( ) g ( ) f ( ) 0, 2 2 2
2 g ( ) 0, f ( ) 0. 2 2
角度，即将 AC 与BD 位置互换，
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而h(θ)是连续函数，根据连续函数的使 h( 0 ) 0, （ 2
最后都是 ( x1 x2 x3 x4 ) 2 第四次操作后得到的4枚棋子都是( x1 x2 x3 x4 ) 故这4枚棋子的赋值都是1，这表明只需操作4 次，圆周上的棋子全是黑子。
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思考题：
(1) 如果问题2中是放8枚棋子，结果如何？ 进一步研究每一圈棋子个数为任意自然数n时棋 子颜色的变化规律。 (2)在一个有限的实数列中，任意7个连续 项之和都是负数，而任意连续11项之和都是正 数，试问这样的数列最多有多少项？
5 6 8 6 7 10 ….
8 9 ) 12 10 ) 12 15 ) …
2
欧拉猜想
F+V-E=2 然后，欧拉证明了这一猜想，这便是著名的欧 拉定理。 说明： 1)用观察、归纳发现数学定理（建立模 型）是一种重要方法。 2）观察应该是大量的，仅凭少量的观察 就去猜想有时会铸成错误。
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例如：17世纪大数学家费尔马 （Fermat.1601-1655年）对公式
及
xi 2 1
第一次操作后得到的4枚棋子可表示为：
( x1 x 2 ) ( x 2 x3 )
( x1 x 2 )( x 2 x3 )
( x3 x 4 )( x 4 x1 )
( x3 x 4 ) ( x 4 x1 )
( x 2 x3 )( x3 x 4 ) ( x 4 x1 )( x1 x 2 )
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〔方法〕：在40个方格上黑白相间 地染色（思考：发现了什么？），
仔细观察，发现共有19个白格和21个黑格。一块长 方形瓷砖可盖住一白一黑两格，所以铺上19块长方形 瓷砖后（无论用什么方式），总要剩下2个黑格没有铺， 而一块长方形瓷砖是无法盖住2个黑格，唯一的办法是 把最后一块长方形瓷砖一分为二。 14
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思考题：
一块1立方米的正方体的木块， 分成1立方毫米的小木块，再把小木块 排起来，问能排多长？
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四、“奇偶校验”方 法 问题：铺瓷砖问题
要用40块方形瓷砖铺设如图所示的地面 上，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小 等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖， 试着铺地面，结果弄来弄去始终无法完整铺 好，你能给解决吗？
k
(*)
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（＊）称为状态转移律
于是问题归结为： 求一系列的决策 d k D (k=1,2…n)，
使状态
sk ∈S按规律(*)由初始状态 s1 ＝(3,3)经过有限步n达到状态 s n 1＝(0,0).
模型求解：
编程序上机计算求出结果。
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用穷举法不难验证一种结果如下： （括号内为北岸的状态） (3,1) 回一女 (3,2) (3,3)
下面构造一个反映题设要求的赋值模型，可使 问题简化。
设开始的 枚棋子为 i (i 1,2,3,4)并给棋子赋值： 4 x
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令
1 xi 1
若xi为黑子 若xi为白子
i 1.2.3.4
并规定
1 xi xi 1 1
若xi与xi 1为同色 若xi与xi 1为异色

g(0 ) f (0 );
又由条件对任意θ，恒有g(θ)· f(θ)＝0,
所以
即存在0方向， 四条腿能同时着地。
所以椅子问题的答案是： 如果地面为光滑曲面，椅子中心不动最多 转动 角度，则四条腿一定可以同时着地。
2
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g( 0 ) f ( 0 ) 0;
思考题：
怎样把长方形的课桌放平？
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第二次操作后得到的4枚棋子可表示为：
分别化简为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) ( x1 x3 )( x2 x4 )
( x3 x1 ) ( x4 x2 )
第三次操作后得到的4枚棋子可表示为：
( x2 x4 )( x3 x1 )
( x3 x1 )( x4 x2 )
( x4 x2 )( x1 x3 )
则三角形A2 A4 A5为虚的三角形，
即在这种情况下结论是正确的。 其它10种情况类似可证，至此问题得证 。
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思考题：
（1）9人的集会中一定有3个人互相认识或 者有4个人互相不认识。 （2）14个人的集会中一定有3个人互相认识 或者有5个人互相不认识。 (3)17个科学家中每一个科学家都和其它 科学家通信，在他们通信时，只讨论3个题目， 而且任意2个科学家互相通信时只讨论1个题 目，证明其中至少有3名科学家，他们互相通 信中讨论的是同一个题目。