14变化率与导数导数计算

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变化率与导数

变化率与导数、导数的运算课前双击巩固1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的变化率几何意义函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理意义若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的速度(2)导数:概念点x 0处 limΔx→0ΔyΔx =limΔx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在处的导数,记为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=limΔx→0ΔyΔx= lim Δx→0f(x 0+Δx)−f(x 0)Δx区间 (a ,b )当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何意义函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理意义函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x时的速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的方程2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数 C'=0(C 为常数)幂函数(x n)'= (n ∈Z )1x'=-1x 2三角函数(sin x)'=,(cos x)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0且a≠1)(ln x)'=1x,(ln|x|)'=1x四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑i=1nf i(x))'=∑i=1nf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法f(x)g(x)'=(g(x)≠0)1g(x)'=-g′(x)[g(x)]2复合函数导数复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为c(x)=5284100−x(80<x<100),当净化到纯净度为98 %时费用的瞬时变化率为.3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=.4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别.5.函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 .6.已知函数y=sin 2x ,则y'= .7.已知f (x )=x 2+3xf'(2),则f (2)= .8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= .课堂考点探究探究点一导数的运算1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2+3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( )A.74 B.-74 C.94 D.-94(2)已知f (x )=-sin x2(1−2cos 2x4),则f'(π3)= .[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y=sinx x 的导数为y'= .(2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二导数的几何意义考向1 求切线方程2 函数f (x )=e x·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 .[总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标3设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f'(x),且f'(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为( )A.ln 2B.-ln 2C.ln22 D.-ln22[总结反思] f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标.考向3求参数的值4已知曲线C在动点P(a,a2+2a)与动点Q(b,b2+2b)(a<b<0)处的切线互相垂直,则b-a的最小值为( )A.1B.2C.√2D.-√2[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意:①曲线上横坐标的取值范围;②切点既在切线上又在曲线上.强化演练1.【考向1】已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为( )A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=02.【考向3】直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值等于( )A.2B.-1C.1D.-23.【考向2】已知在平面直角坐标系中,f(x)=aln x+x的图像在x=a处的切线过原点,则a=( )A.1B.eC.1eD.04.【考向2】若曲线y=xln x在点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是.5.【考向1】函数f(x)=xe x的图像在点P(1,e)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为.。

限时集训(十四) 变化率与导数、导数的计算

限时集训(十四) 变化率与导数、导数的计算(限时：45分钟满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·永康模拟)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )2．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝⎛⎭⎫π6，则f ⎝⎛⎭⎫－π3与f ⎝⎛⎭⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π3 C ．f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫π3 D ．不确定3．已知t 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －t )且f ′(－1)＝0，则t 等于( )A ．0B ．－1 C.12 D ．24．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x －1C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －15．(2013·大连模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ．1 B. 2 C.22 D. 36．设曲线y ＝1＋cos x sin x在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2 D ．2二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________.8．(2013·郑州模拟)已知三次函数y ＝x 3－x 2－ax ＋b 在(0,1)处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.9．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为x ＋2y ＋5＝0，求y ＝f (x )的解析式．11．如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a <－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程；(2)求△ABD 的面积S 1.12．如图，从点P 1(0,0)作x 轴的垂线交曲线y ＝e x 于点Q 1(0,1)，曲线在Q 1点处的切线与x 轴交于点P 2.再从P 2作x 轴的垂线交曲线于点Q 2，依次重复上述过程得到一系列点：P 1，Q 1；P 2，Q 2；…；P n ，Q n ，记P k 点的坐标为(x k,0)(k ＝1,2，…，n )．(1)试求x k 与x k －1的关系(k ＝2，…，n )；(2)求|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |.限时集训(十四) 变化率与导数、导数的计算答案1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.A7．－4 8.－1 9.(－∞，0)10．解：由已知得，－1＋2f (－1)＋5＝0，∴f (－1)＝－2，即切点为(－1，－2)．又f ′(x )＝(ax －6)′(x 2＋b )－(ax －6)(x 2＋b )′(x 2＋b )2＝－ax 2＋12x ＋ab (x 2＋b )2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a －61＋b ＝－2，－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3. ∴f (x )＝2x －6x 2＋3. 11．解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点．∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4.所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)，点D 的坐标为(a ，－4a －2)，∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.12．解：(1)设点P k －1的坐标是(x k －1,0)，∵y ＝e x ，∴y ′＝e x ，∴Q k －1(x k －1，e x k －1)，在点Q k －1(x k －1，e x k －1)处的切线方程是y －e x k －1＝e x k －1(x －x k －1)，令y ＝0，则x k ＝x k －1－1(k ＝2，…，n )．(2)∵x 1＝0，x k －x k －1＝－1，∴x k ＝－(k －1)，∴|P k Q k |＝e x k ＝e －(k －1)，于是有|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝1＋e －1＋e －2＋…＋e －(n －1)＝1－e －n 1－e －1＝e －e 1－ne －1，即|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|＋|P 3Q 3|＋…＋|P n Q n |＝e －e 1－ne －1.。

导数与函数的变化率

导数与函数的变化率在微积分中，导数是一个十分重要且常见的概念。

导数可用于描述函数在某一点处的变化率，如何计算导数、导数的应用以及导数与函数的关系是微积分学习中的基本内容。

在本文中，我们将探讨导数与函数的变化率。

一、导数的定义及计算方法导数的定义可描述为函数$f(x)$在某一点$x_0$处的变化率，它表示函数在该点处的瞬时变化率。

一般来说，导数的计算包括以下几种方法：1.使用导数定义公式$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$其中，$\Delta x$取极限时表示函数$f(x)$在$x_0$处的微小增量，即无穷小。

它也可以表达为$\frac{dy}{dx}$ 或$\frac{df}{dx}$。

2.使用常用导数公式，这是一些几乎所有微积分学生都需要熟记的公式。

例如：$$\frac{d}{dx}(c)=0$$$$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$$$$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$$$$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$$其中 $c$ 为常数，$n$ 为整数，$\sin$ 和 $\ln$ 分别表示正弦函数和自然对数。

3.使用基本的微积分运算法则，包括链式法则、求导法则和反求导法则等。

二、导数的应用导数在其他学科中也有许多应用，例如：1.物理学中，利用导数可以求解物体的速度和加速度。

2.经济学中，利用导数可以求解生产函数和边际收益。

3.生命科学中，利用导数可以解决动力学问题，例如药物的生物利用度和峰浓度时刻。

三、导数与函数的关系导数和函数之间的关系也十分重要，它们之间存在很多有趣的特性，例如：1.导数可以揭示函数的增长趋势和极值，帮助人们了解函数的行为。

2.函数的导数是连续的，导数为0的点对应着函数的极值（局部极大值或局部极小值）。

第一节变化率与导数、导数的计算-高考状元之路

第三章导数及其应用复习备考资讯考纲点击1．变化率与导数、导数的计算(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．(3)能根据导数定义求函数xy x y x y c y 1,,,2====的导数． (4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．2．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．(3)会利用导数解决某些实际问题．考情分析1．导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般一单独命题，而在考查导数应用的同时考查．2．导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步．3．利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，巳成为近几年高考炙手可热的考点。

4．选择题、填空题，侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题，侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题，第一节变化率与导数、导数的计算预习设计基础备考知识梳理1．函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率为若),()(,1212x f x f y x x x -=∆-=∆则平均变化率可表示为2．函数)(x f y =在0x x =处的导数(1)定义；称函数0)(x x x f y ==在处的瞬时变化率 = 为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作,|)(0/0/x x y x f =或即=∆=---ΛAxy x r lim )(0 (2)几何意义：函数)(x f 在点0x 处的导数)(0/x f 的几何意义是在曲线)(x f y =上点处的．相应地，切线方程为3．函数)(x f 的导函数称函数=)(/x f 为)(x f 的导函数，导函数有时也记作/y4．基本初等函数的导数公式5．导数运算法则=±/)]()]()[1(x g x f=/)]()()[2(x g x f=/])()()[3(x g x f ).0)((=/x g典题热身1．设,ln )(x x x f =若,2)(0/=x f 则=0x ( )2.e A e B . 22ln .c 2ln .D2．（2011．山东高考）曲线113+=x y 在点P(l ，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )9.-A 3.-B 9.C 15.D3．（2010．全国课标卷）曲线123+-=x x y 在点(1，O)处的切线方程为( )1-=⋅x y A 1+-=⋅x y B 22-=⋅x y C 22+-=⋅x y D4．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a1.A 21.B 21.-c 1.-D5．（2011．湖南高考）曲线21cos sin sin -+=x x x y 在点)0,4(πM 处的切线的斜率为 ( ) 21.-A 21.B 22.-c 22.D 课堂设计方法备考【例1】已知P ，Q 为抛物线y x 22=上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为__ __．【例2】已知曲线 ⋅+=34313x y (1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．例3已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中).0,1().5,21()0,0(C B A 函数x x xf y ≤=0)(()1≤的图象与x 轴围成的图形的面积为解题思路解析由已知可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+-∈=],1,21(,1010],21,0[,10)(x x x x x f 则⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈==],1,21(,1010],21,0[,10)(22x x x x x x xf y 画出函数图象，如图所示，所求面积+=⎰+dx x s )10(20+=+-⎰++0321|310)1010(x dx x x +=+-+125|)5310(123x x )41581310()5310(⨯+⨯--+-⋅=45题型三导数的几何意义及其应用【例3】设函数),,(1a )(z b a bx x x f ∈++=曲线)(x f y =在点(2，，f(2))处的切线方程为.3=y (1)求)(x f 的解析式；(2)证明函数)(x f y =的图像是一个中心对称图形，并求其对技法巧点1．函数求导的方法和步骤求导数时，先化简再求导是运算的基本方法．一般地，分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数的求导，先化为和、差形式，再求导；三角函数求导，先应用三角公式转化为和或差的形式．2．与导数的几何意义有关的两类问题有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线韵切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是在某点处的切线还是过某点的切线，在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有两条或更多；另一类是已知曲线的切线求字母的题目，已知曲线的切线一般转化为两个条件，即原函数一个条件，导函数一个条件，导函数的条件一般不会忽视，但原函数的条件很容易被忽视。

变化率与导数

变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。

变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。

其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。

变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。

变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。

当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。

导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。

它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。

因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。

总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。

变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。

高考数学变化率与导数、导数的运算

5.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= . 6.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)= ,[f(2x+3)]'= .
课前基础巩固
-8
[解析] f'(x)=2x+3f'(2),令x=2,解得f'(2)=-2,所以f(x)=x2-6x,则f(2)=-8.
3(2x+3)2
[总结反思](1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 [2021·新高考全国Ⅰ卷] 若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea
y'u·u'x
题组一常识题
1. [教材改编] 函数y=f(x)=3x2在[2,6]上的平均变化率为 .2. [教材改编] 如果某物体的运动方程为s=2(1-t2)(s的单位为 m,t的单位为 s),那么其在1.2 s末的瞬时速度为 .
课前基础巩固
◈ 对点演练 ◈
24
[解析] ∵s'=-4t,∴在1.2 s末的瞬时速度为(-4)×1.2=-4.8(m/s).
课堂考点探究
D
[思路点拨]函数f(x)的图像存在与直线x-y=0平行的切线,等价于f'(x)=1在(0,+∞)上有解,分离参数a,转化为求函数最值问题即可求得答案.[解析]函数f(x)=ln x+2x2+ax的图像上存在与直线x-y=0平行的切线,则f'(x)=1在(0,+∞)上有解,又f'(x)=+4x+a,∴+4x+a=1在(0,+∞)上有解,即a=1-4x-在(0,+∞)上有解.∵-4x-=-≤-2=-4,当且仅当x=时等号成立,∴a≤1-4=-3, ∴a的取值范围是(-∞,-3].故选D.

变化率与导数的概念、导数的运算

03 高阶导数及其应用
高阶导数的定义与计算
高阶导数的定义
函数一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数。
高阶导数的计算
高阶导数的计算可以通过连续求导得到，每求一次导，阶数增加一阶。对于常见的基本初等函数，其高阶导数有特定的公式或规律可循。
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率。当函数在某一点处的导数大于0时，表示函数在该点处单调增加；当导数小于0时，表示函数在该点处单调减少；当导数等于0时，表示函数在该点处可能达到极值点或拐点。
可导与连续的关系
可导必连续
如果一个函数在某一点处可导，则该函数在该点处必定连续。这是因为可导的定义中已经包含了函数在该点处的极限存在且等于函数值这一条件。
成本最小化
企业在给定产量下追求成本最小化时，需要找到使得边际成本等于平均成本的产量，即求解成本函数的一阶导数等于零的点。
效用最大化
消费者追求效用最，即求解效用函数的一阶导数等于零的点。
05 导数在工程学中的应用
曲线拟合与最小二乘法中的导数应用
工程优化问题中的导数应用
优化算法
在工程设计和制造过程中，经常需要解决各种优化问题，如最小化成本、最大化效率等。导数在这些优化算法中发挥着重要作用，它们被用来计算目标函数的梯度或方向导数，以确定搜索方向或步长。
敏感性分析
在工程经济学中，敏感性分析是一种评估项目风险的方法。它通过计算项目效益指标（如净现值、内部收益率等）对于各个不确定因素的导数或偏导数，来量化各因素对项目效益的影响程度。
变化率与导数的概念、导数的运算
目录
• 变化率与导数的基本概念 • 导数的运算规则 • 高阶导数及其应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程学中的应用 • 数值计算中的导数逼近方法

变化率与导数导数的计算

变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。

而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。

在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。

那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。

这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。

变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。

平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。

而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。

二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。

导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。

导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。

1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。

（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。

（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。

（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。

（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。

2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

导数与函数的变化率

导数与函数的变化率引言：数学作为一门精确的科学，涵盖了众多的分支和概念。

其中，导数与函数的变化率是数学中一个重要的概念。

导数是函数的一种特殊性质，它描述了函数在某一点的变化率。

本文将深入探讨导数与函数的变化率的概念、性质以及应用。

一、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

在数学中，函数的导数可以通过极限的概念来定义。

具体而言，对于函数y=f(x)，如果在某一点x处的导数存在，那么该导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。

导数的定义可以表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中，Δx表示自变量x的增量。

二、导数的性质导数具有一系列的性质，这些性质对于求解导数和理解函数的变化率非常重要。

1. 常数函数的导数为0对于常数函数y=c，其中c为常数，其导数f'(x)=0。

这是因为常数函数在任意一点的斜率都为0，即没有变化。

2. 幂函数的导数幂函数y=x^n的导数可以通过幂函数的性质来求解。

具体而言，对于幂函数y=x^n，其中n为正整数，其导数f'(x)=nx^(n-1)。

3. 和差法则对于两个函数的和或差，其导数等于各个函数的导数的和或差。

即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

4. 乘法法则对于两个函数的乘积，其导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数本身，再加上第一个函数本身乘以第二个函数的导数。

即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。

5. 商法则对于两个函数的商，其导数等于分子的导数乘以分母本身，再减去分子本身乘以分母的导数，最后除以分母的平方。

即(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g^2(x)，其中g(x)≠0。

导数的原理与应用

导数的原理与应用一、导数的定义•导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。

•函数在某点处的导数，表示该点处函数曲线的切线斜率。

二、导数的计算方法1.利用极限–导数f′(x)可以通过极限 $f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$ 来计算。

–这种方法适用于所有类型的函数，但计算较为繁琐。

2.常用的导数公式–f(x)=C，其中C为常数，导数f′(x)=0。

–f(x)=x n，其中n为常数，导数f′(x)=nx n−1。

–$f(x)=\\sin(x)$ ，导数 $f'(x)=\\cos(x)$。

–$f(x)=\\cos(x)$ ，导数 $f'(x)=-\\sin(x)$。

三、导数的性质1.导数的可加性–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则(f+g)′(x)=f′(x)+ g′(x)。

2.导数的乘法法则–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\cdot g)'(x)=f'(x) \\cdot g(x)+f(x) \\cdot g'(x)$。

3.导数的链式法则–若函数 y=f(u) 和 u=g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\circg)'(x)=f'(g(x)) \\cdot g'(x)$。

四、导数的应用1.切线和切线方程–导数可以描述函数曲线在某点处的切线斜率。

–切线方程为y=f′(x)(x−x0)+f(x0)，其中x0为切线与函数曲线的交点横坐标。

2.极值和拐点–导数可以用来判断函数的极大值、极小值和拐点。

–在导数图像中，极大值对应导数从正数到负数的转折点，极小值对应导数从负数到正数的转折点，拐点对应导数的极值点。

3.函数图像的性态–导数可以用来研究函数的递增、递减和凹凸性。

(完整版)变化率与导数及导数的计算

第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2，所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)．得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为（）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为（） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。

第1节变化率与导数导数的计算

第1节变化率与导数导数的计算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。

导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，是微积分研究的基石之一、在实际问题中，导数的概念有着广泛的应用，如物理学中的速度、加速度、斜率等都是变化率的概念。

导数的定义是函数在其中一点的变化率，用极限表示，即：如果函数f(x)在点x=a处存在导数，则称函数在点x=a处可导，导数的值记为f'(a)，即：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)对于一个实函数来说，导数被定义为函数变化的斜率，表示的是函数在其中一点的瞬时变化速率。

在应用中，导数有许多计算方法，这里列举一些常用的计算方法：1.基本导数公式基本导数公式是指常用的函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

熟练掌握这些公式，可以快速计算函数的导数。

2.导数的基本性质导数有一些基本的性质，如积差、和差、复合函数的导数规则。

这些性质可以简化复杂函数的导数计算。

3.高阶导数高阶导数是指导数的导数。

如果一个函数的导数可导，则可以继续对导数求导，得到高阶导数。

高阶导数可以描述函数的凹凸性、拐点等特性。

4.隐函数求导有时函数的表达式不显含自变量，而是通过一个方程来描述函数与自变量之间的关系。

这种情况下，要通过隐函数求导的方法来计算导数。

5.参数方程求导对于参数方程描述的曲线，可以通过参数对函数进行求导，得到曲线的切线方程、法线方程等。

通过以上方法，可以计算得到函数在其中一点的导数值，进而研究函数的性质、变化规律等。

在实际问题中，导数的应用非常广泛。

例如，在物理学中，加速度是速度的导数，速度是位移的导数；在经济学中，边际成本、边际收益等概念都是导数的应用；在工程学中，导数是电路中信号变化的关键指标。

总之，导数是微积分中的重要概念，可以描述函数的变化率，通过导数的计算可以研究函数的性质和变化规律，并在实际问题中得到广泛应用。

导数变化率

导数变化率在数学中，导数变化率是一个重要的概念，它表示一个函数在某一点处的变化速率。

它可以用于描述函数的变化，并且可以用来确定函数的最大值或最小值。

导数变化率定义为一个三角形的斜率，分母为上课的时间，分子为函数值之间的变化。

也就是说：如果f(x)在点x处发生变化，则f(x)定义为变化量Δf/Δx，这里Δf = f(x+Δx) - f(x)，Δx = x+Δx - x，Δx是一个非常小的数。

因此，对于给定函数f(x)，可以定义出它在点x处变化量的变化率f(x)，也就是f(x) = limΔf/Δx，其中Δx趋于0。

例如，设f(x) = x2，我们可以找到它在点x的变化率：f(x) = limΔf/Δx = lim(x+Δx)2 - x2/Δx = lim(2xx +x^2)/Δx = 2x，当Δx趋于0时。

因此，在点x处，函数f(x)的导数变化率为2x。

通过这个定义，我们可以轻松地计算出任意函数在某一点处的导数变化率。

另外，也可以研究函数在整个范围内的变化率。

例如，设f(x) = x2的导数变化率f(x) = 2x。

这表示当x发生变化时，函数f(x)的变化率也会发生变化。

换句话说，在x的值越大，函数f(x)的变化率也会越大。

通过这样的分析，我们可以推断函数f(x)的最大值或最小值。

例如，当f(x) = 0时，函数f(x)不会发生变化，因此x处的值是函数f(x)的最大值或最小值。

可以通过求解f(x) = 0来找到最大值或最小值，即x = 0。

实际上，当x = 0时，函数f(x)也可以确定为最大值或最小值，因为当x = 0时，函数f(x)达到最小值0。

另外，导数变化率还可以用来确定函数在某一点处是否极值点。

例如，如果f(x) > 0，则x处的值是极大值；如果f(x) < 0，则x 处的值是极小值。

因此，对于某一函数，可以通过计算其导数变化率来了解它在某一点处的变化速率，从而确定函数的最大值、最小值和极值点。

变化率与导数、导数的计算

；；
f′xgx－fxg′x f x 2 [ g x ] (3)[ ]′＝ gx
(g(x)≠0)．
五、复合函数的导数(理) 复合函数 y ＝ f(g(x)) 的导数和函数 y ＝ f(u) ， u ＝ g(x) 的导数间的关系为y′x＝对x的导数的积． yu′u′x ，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u
答案：D
4．若曲线 f(x) ＝x4 －x 在点P 处的切线平行于直线 y ＝3x ，则
点P的坐标为________．解析：设切点P为(x0，f(x0))，f′(x)＝4x3－1，由题意知f′(x0)＝4x－1＝3，∴x0＝1，∴f(x0)＝0. ∴切点P为(1,0)．
答案：(1,0)
5． (2013· 淄博模拟)已知函数
二、导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0) 处的切线的斜率，过点P的切线方程为： y－y0＝f′(x0)(x－x0) ．
2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点P0(x0，y0)的切
线，两种说法有区别吗？提示：两种说法有区别．在点 P0(x0 ， y0) 处的切线说明点 P0 在曲线y＝f(x)上，且P0为切点；过点P0(x0，y0)的切线则点P0不一定在曲线上，或点P0在曲线上也不一定为切点．
f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax(a＞0且 a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0且 a≠1) f(x)＝ln x
四、可导函数的四则运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝ (2)[f(x)· g(x)]′＝
f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)

导数知识归纳

导数及其应用第1课时变化率与导数、导数的计算1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆ 的，即)(x f '＝＝．2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式)('C ＝； )('n x ＝；(n∈Q) )(sin 'x ＝， )(cos 'x ＝)('x e ＝， )('x a ＝ )(ln 'x ＝， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算[]')()(x v x u ±＝ ])(['x Cf ＝][')()(x v x u ＝， )()('x u ＝ )0)((≠x v (3) 复合函数的导数设)(x u θ=在点x 处可导，)(u f y =在点)(x u θ=处可导，则复合函数)]([x f θ在点x 处可导，且)(x f '＝，即x u x u y y '⋅'='.12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 解 ∵Δy=11)(11)(11)(20202020220+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x .11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x变式训练1. 求y=x 在x=x 0处的导数解 )())((lim lim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim 0000x x x x x =+∆+=→∆例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xxy ++-=解 (1)∵,sin sin 23232521xx x xxx x x y ++=++=-∴y′.cos sin 2323)sin()()(232252323x x x x x x x x x x-----+-+-='+'+'=（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y′=3x 2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x xx x x y -=+--++=++-=12)1)(1(111111， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 变式训练2：求y=tanx的导数. 解 y′.cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵y′=x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x .∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y ∵点P （2，4）在切线上，∴4=,343223020+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2, 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.变式训练3：若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= . 答案 2或41-例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,3212b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a 因为a,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f （2）证明在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,00x xx ．由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--．令x=1，得1100-+=x xy ，切线与直线x=1交点为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,100x x ．令y=x ，得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.变式训练4：偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx+e 的图象过点P （0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f （x ）的解析式解 ∵f（x ）的图象过点P （0，1），又∵f（x ）为偶函数，∴f（-x ）=f （x ）故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f（x ）=ax 4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）∴a+c+1=-1. ③∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c ，∴4a+2c=1.由③④得a=25，c=29-函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f第2课时导数的概念及性质1．函数的单调性⑴ 函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为；若)(x f '＜0，则)(x f 为 . （逆命题不成立）(2) 如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f .注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的.(3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数)(x f 的；② 求)(x f '，令，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；③ 把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间；④ 确定)(x f '在各小开区间内的，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性.2．可导函数的极值⑴ 极值的概念：设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有（或），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；② 求方程)(x f '＝0的；③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .说明：“极值点”不是“点”，而是方程0)(/=x f 的根。

变化率与导数导数的计算

导数与积分的关系
导数与积分是互逆运算，一个函数的导数与其积分之间的关系可以通过微积分基本定理来表示。
04 导数的应用
导数在几何中的应用
求切线斜率
导数可以用来求曲线在某一点的切线斜率，从而了解曲线在该点的变化趋势。
研究函数极值
通过求导数并令其为零，可以找到函数的极值点，进而研究函数的最大值和最小值。
莱布尼茨法则
对于复合函数的 $n$ 阶导数，可以利用莱布尼茨法则进行计算。
幂级数展开法
对于复杂的函数，可以利用幂级数展开法求得高阶导数。
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曲线的凹凸性判断
通过求二阶导数，可以判断曲线的凹凸性，进而了解曲线的弯曲程度。
导数在物理中的应用
速度和加速度的研究
在物理学中，导数可以用来研究物体的速度和加速度，例如瞬时速度和瞬时加速度。
斜抛运动的研究
通过导数可以研究斜抛物体的运动轨迹，例如研究射程、射高等。
振动和波动的研究
导数可以用来研究振动和波动的规律，例如振幅、频率等。
03
导数可以用来研究函数的单调性、极值、拐点等性质。
导数的几何意义
导数的几何意义是函数在某一点处的切线斜率，即切线与x
轴正方向的夹角正切值。
当导数大于0时，函数在该点处单调递增；当导数小于0时，
函数在该点处单调递减。
导数的符号变化点为函数的拐点，即函数图像的凹凸分界点。
导数的计算方法
定义法
隐函数的导数计算
对数求导法
对于形如 $y = f(x)$ 的隐函数，可以通过两边取对数，转化为显函数进行求导。
VS
参数方程法
对于参数方程 $x = x(t), y = y(t)$，可以通过对参数 $t$ 求导来求得隐函数的导数。

高考数学一轮复习变化率与导数、导数的计算

第1讲变化率与导数、导数的计算最新考纲考向预测1.了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.命题趋势本讲主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.核心素养数学运算、数学抽象1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ．(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．常见误区1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .3．求曲线的切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．(多选)下列求导运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x解析：选AD.因为(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，所以A ，D 正确．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1解析：选B.因为f (x )＝x 4－2x 3，所以f ′(x )＝4x 3－6x 2，f ′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C ，D.又f (1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.4．函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x ＝2处的导数为________．解析：函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在x ＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 45．(易错题)函数y ＝ln xe x 的导函数为________．解析：y ′＝1x e x －e xln x （e x ）2＝1－x ln xx e x .答案：y ′＝1－x ln xx e x导数的运算角度一求已知函数的导数求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.【解】 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)因为f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－9 4对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝() A．2B．4C．6D．8解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝e x ln x＋1x－1，则f′(1)＝()A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e解析：选C.由题意，得f ′(x )＝(e xln x )′－1x 2＝e xln x ＋e x x －1x 2，所以f ′(1)＝0＋e－1＝e －1，故选C.3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x ；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1.(2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .导数的几何意义角度一求切线方程(1)(2021·广州调研检测)已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为___________________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________________________．【解析】 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0.解得a ＝1，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0.(2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .所以由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 【答案】 (1)2x －y ＝0 (2)x －y －1＝0求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)．【答案】 (e ，e)【引申探究】 (变条件、变问法)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1，所以ln x 0＝0，x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1，0)，所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三已知切线方程(或斜率)求参数(1)(2021·西安五校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)方法一：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a ，又f (0)＝a ＋b ，所以函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －(a ＋b )＝a (x －0)，即y ＝ax ＋a ＋b .又该切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.方法二：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a .因为函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，f （0）＝a ＋b ＝2×0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.(2)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x <2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)．【答案】 (1)3 (2)(－∞，2)利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1|x ＝x 0＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是________；f (2)＋f ′(2)的值为________．解析：由题图可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12，则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52. 答案：x ＋2y －8＝0 52[A 级基础练]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选A.因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )A ．9.1米/秒B ．6.75米/秒C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒解析：选C.因为函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t ，所以h ′(t )＝－9.8t ＋8，所以在t ＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导，所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx ＝f ′(2)．4．(2021·广东广州综合测试一)已知点P (x 0，y 0)是曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线与直线y ＝8x －11平行，则( )A ．x 0＝2B ．x 0＝－43 C ．x 0＝2或x 0＝－43D ．x 0＝－2或x 0＝43解析：选B.由y ＝x 3－x 2＋1可得y ′＝3x 2－2x ，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0，又切线平行于直线y ＝8x －11，所以3x 20－2x 0＝8，所以x 0＝2或x 0＝－43.①当x 0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y －5＝8(x －2)，即8x －y －11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；②当x 0＝－43时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－8527，切线方程为y ＋8527＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43，即y ＝8x ＋20327，与直线y ＝8x －11平行，故选B.5．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC.对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝________，切线方程为________．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y ＝1x ＋ln xa 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a .由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案：259．求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos xe x .解：(1)因为y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x－12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求点P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[B 级综合练]11．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （2）－f （1）2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B.由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为f （2）－f （1）2－1＝a ，所以易知f ′(1)<a <f ′(2)．12．(多选)(2021·山东青岛三模)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值可能为( )A.196 B ．3 C.103D.92解析：选AC.f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，因为曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的不同切线，所以f ′(x )＝3有两个不相等的实数根，即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4×2×(a －3)>0，① 设两切点的横坐标分别为x 1，x 2. 因为切点的横坐标都大于零，所以x 1>0，x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－－22＝1>0，x 1·x 2＝a －32>0，②联立①②解得3<a <72，故选AC.13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，所以f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝－1，又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去，故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意．[C 级创新练]15．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC.对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，这个方程显然有解，得x ＝0或x ＝2，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x ，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D 不符合要求．16．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α>β>γB ．β>γ>αC ．γ>α>βD ．γ>β>α解析：选D.由题意，得g ′(α)＝1＝g (α)，所以α＝1.由h (x )＝ln x ，得h ′(x )＝1x .令r (x )＝ln x －1x ，可得r (1)<0，r (2)>0，故1<β<2.由φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以γ＝3π4.综上可知，γ>β>α.故选D.第1讲变化率与导数、导数的计算最新考纲考向预测1.了解导数概念的实际背景，通过函数图象直观理解导数的几何意义． 2．能根据导数的定义求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.命题趋势本讲主要考查导数的运算、求导法则以及导数的几何意义．常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问，难度中等.核心素养数学运算、数学抽象1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝limΔx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ．(2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝a x (a >0且a ≠1) f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x (x >0，a >0且a ≠1)f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x (x >0)f ′(x )＝1x3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．3．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．常见误区1．f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n －1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现以下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .3．求曲线的切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 2．(多选)下列求导运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x解析：选AD.因为(sin x )′＝cos x ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(log 3x )′＝1x ln 3，(ln x )′＝1x ，所以A ，D 正确．3．(2020·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．y ＝－2x －1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝2x －3D ．y ＝2x ＋1解析：选B.因为f (x )＝x 4－2x 3，所以f ′(x )＝4x 3－6x 2，f ′(1)＝－2，所以切线的斜率为－2，排除C ，D.又f (1)＝1－2＝－1，所以切线过点(1，－1)，排除A.故选B.4．函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为________，在x ＝2处的导数为________．解析：函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在x ＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 45．(易错题)函数y ＝ln xe x 的导函数为________．解析：y ′＝1x e x －e xln x （e x ）2＝1－x ln xx e x .答案：y ′＝1－x ln xx e x导数的运算角度一求已知函数的导数求下列函数的导数： (1)y ＝ln x ＋1x ；(2)f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4； (3)y ＝3x e x －2x ＋e.【解】 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(2)因为f (x )＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝－12sin x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.[注意]求导之前，应利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二求抽象函数的导数值已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝________．【解析】因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋1x，所以f′(2)＝4＋3f′(2)＋12＝3f′(2)＋92，所以f′(2)＝－94.【答案】－9 4对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2x·f′(2)，则f′(5)＝() A．2B．4C．6D．8解析：选C.由已知得，f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－12.再令x＝5，得f′(5)＝6×5＋2f′(2)＝30－24＝6.2．(2020·成都摸底考试)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝e x ln x＋1x－1，则f′(1)＝()A．e－3 B．e－2 C．e－1 D．e解析：选C.由题意，得f ′(x )＝(e xln x )′－1x 2＝e xln x ＋e x x －1x 2，所以f ′(1)＝0＋e－1＝e －1，故选C.3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x ；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1.(2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .导数的几何意义角度一求切线方程(1)(2021·广州调研检测)已知f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋a e x 为奇函数(其中e 是自然对数的底数)，则曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为___________________________．(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为____________________________．【解析】 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，即e ＋a e －1e －a e ＝0.解得a ＝1，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为2，又f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的方程为2x －y ＝0.(2)因为点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，所以设切点为(x 0，y 0)．又因为f ′(x )＝1＋ln x ，所以直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .所以由⎩⎨⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.所以直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 【答案】 (1)2x －y ＝0 (2)x －y －1＝0求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率．(2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二求切点坐标若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．【解析】设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)．【答案】 (e ，e)【引申探究】 (变条件、变问法)若本例变为：若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为____________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1，所以ln x 0＝0，x 0＝1，所以y 0＝0，即点P (1，0)，所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三已知切线方程(或斜率)求参数(1)(2021·西安五校联考)已知函数f (x )＝a e x ＋b (a ，b ∈R )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a －b ＝________．(2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)方法一：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a ，又f (0)＝a ＋b ，所以函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y －(a ＋b )＝a (x －0)，即y ＝ax ＋a ＋b .又该切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.方法二：由题意，得f ′(x )＝a e x ，则f ′(0)＝a .因为函数f (x )的图象在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧a ＝2，f （0）＝a ＋b ＝2×0＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－1，所以a －b ＝3.(2)由题意知f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x <2，所以实数a 的取值范围是(－∞，2)．【答案】 (1)3 (2)(－∞，2)利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．1．(2020·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1|x ＝x 0＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：y ＝2x2．如图，已知直线l 是曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线，则直线l 的方程是________；f (2)＋f ′(2)的值为________．解析：由题图可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12，则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52. 答案：x ＋2y －8＝0 52[A 级基础练]1．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选A.因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，所以sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0.2．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (高度单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( )A ．9.1米/秒B ．6.75米/秒C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒解析：选C.因为函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t ，所以h ′(t )＝－9.8t ＋8，所以在t ＝0.5秒的瞬时速度为－9.8×0.5＋8＝3.1(米/秒)．3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导，所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx ＝f ′(2)．4．(2021·广东广州综合测试一)已知点P (x 0，y 0)是曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线与直线y ＝8x －11平行，则( )A ．x 0＝2B ．x 0＝－43 C ．x 0＝2或x 0＝－43D ．x 0＝－2或x 0＝43解析：选B.由y ＝x 3－x 2＋1可得y ′＝3x 2－2x ，则切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－2x 0，又切线平行于直线y ＝8x －11，所以3x 20－2x 0＝8，所以x 0＝2或x 0＝－43.①当x 0＝2时，切点为(2，5)，切线方程为y －5＝8(x －2)，即8x －y －11＝0，与已知直线重合，不合题意，舍去；②当x 0＝－43时，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－8527，切线方程为y ＋8527＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋43，即y ＝8x ＋20327，与直线y ＝8x －11平行，故选B.5．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝e x ＋x解析：选BC.对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意．6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2021·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝________，切线方程为________．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．(2021·江西重点中学4月联考)已知曲线y ＝1x ＋ln xa 在x ＝1处的切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：y ′＝－1x 2＋1ax ，当x ＝1时，y ′＝－1＋1a .由于切线l 与直线2x ＋3y ＝0垂直，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋1a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－1，解得a ＝25. 答案：259．求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ； (2)y ＝x ·tan x ； (3)y ＝cos xe x .解：(1)因为y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x －12－x 12，所以y ′＝(x－12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos x e x.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求点P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4. 又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[B 级综合练]11．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （2）－f （1）2－1＝a ，则下列不等式正确的是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<aB ．f ′(1)<a <f ′(2)C ．f ′(2)<f ′(1)<aD ．a <f ′(1)<f ′(2)解析：选B.由题图可知，在(0，＋∞)上，函数f (x )为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，因为f （2）－f （1）2－1＝a ，所以易知f ′(1)<a <f ′(2)．12．(多选)(2021·山东青岛三模)已知曲线f (x )＝23x 3－x 2＋ax －1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 的取值可能为( )A.196 B ．3 C.103D.92解析：选AC.f ′(x )＝2x 2－2x ＋a ，因为曲线y ＝f (x )上存在两条斜率为3的不同切线，所以f ′(x )＝3有两个不相等的实数根，即2x 2－2x ＋a －3＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(－2)2－4×2×(a －3)>0，① 设两切点的横坐标分别为x 1，x 2. 因为切点的横坐标都大于零，所以x 1>0，x 2>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－－22＝1>0，x 1·x 2＝a －32>0，②联立①②解得3<a <72，故选AC.13．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎨⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 14．已知函数f (x )＝x 2－ln x .(1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，所以f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)存在．假设存在两点满足题意，设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－1x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 2＝－1，又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去，故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意．[C 级创新练]15．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x解析：选AC.对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，这个方程显然有解，得x ＝0或x ＝2，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，B 不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x ，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，D 不符合要求．16．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，如果函数g (x )＝x ，h (x )＝ln x ，φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是( )A ．α>β>γB ．β>γ>αC ．γ>α>βD ．γ>β>α解析：选D.由题意，得g ′(α)＝1＝g (α)，所以α＝1.由h (x )＝ln x ，得h ′(x )＝1x .令r (x )＝ln x －1x ，可得r (1)<0，r (2)>0，故1<β<2.由φ(x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤x ≤π，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以γ＝3π4.综上可知，γ>β>α.故选D.。

导数公式表推导过程

导数公式表推导过程引言导数是微积分中的重要概念，它描述了一个函数在某一点上的变化率。

导数的计算可以帮助我们求解函数的极值、确定函数的凸凹性以及研究曲线的特性。

本文将从基本的导数定义出发，逐步推导常见函数的导数公式，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

通过本文的内容，读者将能够全面了解导数的计算过程及常见函数的导数公式推导。

基本导数定义设函数f(f)在f0处可导，则在该点的导数定义为：$$ f'(x_0) = \\lim_{h\\to 0} \\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} $$这个定义描述了函数在某一点的瞬时变化率，也就是导数。

接下来我们将推导常见函数的导数公式。

常数函数的导数推导首先考虑常数函数f(f)=f的导数计算。

根据导数定义，我们有：$$ f'(x) = \\lim_{h\\to 0} \\frac{c - c}{h} = 0 $$因此，常数函数的导数为 0。

幂函数的导数推导考虑幂函数f(f)=f f的导数计算。

根据导数定义，我们有：$$ \\begin{align*} f'(x) & = \\lim_{h\\to 0}\\frac{(x+h)^n - x^n}{h} \\\\ & = \\lim_{h\\to 0}\\frac{x^n + nx^{n-1}h +\\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^2 + \\cdots + h^n - x^n}{h} \\\\ &= \\lim_{h\\to 0}\\left(nx^{n-1} + \\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h + \\cdots + h^{n-1}\\right) \\\\ & = nx^{n-1} \\end{align*} $$因此，幂函数f(f)=f f的导数为f′(f)=ff f−1。

指数函数的导数推导考虑指数函数f(f)=f f的导数计算。

14变化率与导数导数计算

变化率与导数

限时集训(十四) 变化率与导数、导数的计算

导数与函数的变化率

第一节 变化率与导数、导数的计算-高考状元之路

变化率与导数

高考数学变化率与导数、导数的运算

变化率与导数的概念、导数的运算

变化率与导数导数的计算

导数与函数的变化率

导数的原理与应用

(完整版)变化率与导数及导数的计算

第1节变化率与导数导数的计算

导数变化率

变化率与导数、导数的计算

导数知识归纳

变化率与导数导数的计算

高考数学一轮复习变化率与导数、导数的计算

导数公式表推导过程

第一节变化率与导数、导数的计算-高考状元之路