专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用(命题猜想)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题(原卷版)

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2018年高考数学考纲与考试说明解读2018年高考数学考纲与考试说明解读专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议类年份全国Ⅰ全国Ⅱ全国Ⅲ别2 / 883 / 88全国课标卷考查内容分析（考什么）（一）结论：考查的核心知识为:函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数）;函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性;函数的图象：包含显性与隐性；导数的应用：导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值与零点；结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．4 / 88（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．（三）试题难度定位：全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题”进行考查；解答题均放置于“压轴”位置．小题考点可总结为八类：（1）分段函数；（2）函数的性质；（3）基本函数；（4）函数图像；（5）方程的根（函数的零点）；（6）函数的最值；（7）导数及其应用；（8）定积分。

解答题主要是利用导数处理函数、方程和5 / 88不等式等问题，有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题，常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；（3）方程的根（函数的零点）问题；（4）函数的最值与极值问题；（5）导数的几何意义问题；（6）存在性问题。

考点：题型1 函数的概念例1 有以下判断：①f(x)＝|x |x与g(x)＝⎩⎨⎧1 x≥0－1 x<0表示6 / 887 / 88同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________.题型2 函数的概念、性质、图象和零点（2017年全国新课标Ⅰ卷理科第8题）例 2、已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A. 12-B.13C.12D. 1C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+，设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----=-=-='，当()0g x '=时， 1x =；当1x <时， ()0g x '<，函数()g x 单8 / 88调递减；当1x >时， ()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x xx=-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =.故选C.例3、（2012理科）（10）已知函数1()ln(1)f x x x=+-；则()y f x =的图像大致为（）B9 / 88（1）定义域（2）奇偶性（3）对称性（4）单调性（求导）（5）周期性（6）特征点（7）变化趋势1.考查角度(1)以指、对、幂函数为载体考查函数的单调性、奇偶性等性质;(2)考查分段函数的求值以及指数、对数的运算;(3)函数图象的考查主要是函数图象的识别及应用;(4)高考一般不单独考查函数零点的个数以及函数零点所在区间,有时在导数中考查函数的零点问题;(5)函数与方程的考查既可以是结合函数零点存在性定理或函数图象判断零点的存在性,也1,ln(1)y t x x t==+-1'111x t x x -=-=++(1)0,31()034ln 44f f <-=<-10 / 88可以是利用函数零点的存在性求参数的值、范围或判断零点所在区间. 2.题型及难易度选择题或填空题.难度:中等或偏上.2求函数定义域常见结论：(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋ (k ∈Z)； (6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求.题型3、函数、方程、不等式及导数的综合应用例3（2013理科）若函数=的图像关于直线2x =-对称，则的最(1)(3)8(1)(5)15f f a f f b -=-=⎧⎧⇒⇒⎨⎨=-=⎩⎩法一：导数求最值问题大值是______. 1616)5()(,910)3(16)()3(16)34)(34()2(max 2222222==⇒-+-=+-=⇒+-=++-+-=-g t g t t t t t g x x x x x x x f 法二：知识点：函数的奇偶性、对称性和导数的应用数学思想：考查转化、数形结合体现了多角度、多维度、多层次题型4 函数、方程、不等式及导数的综合应用例4、已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ．（1）若()0f x ≥ ，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，21111++1+)222n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值．解：（1）()f x 的定义域为()0，+∞.①若0a ≤，因为11=-+2＜022f a ln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不满足题意；②若＞0a ，由()1a x a f 'x x x-=-=知，当()0x ,a ∈时，()＜0f 'x ；当()，+x a ∈∞时，()＞0f 'x ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在()，+a ∞单调递增，故x=a 是()f x 在()0，+x ∈∞的唯一最小值点. 由于()10f =，所以当且仅当a=1时，()0f x ≥. 故a=1（2）由（1）知当()1，+x ∈∞时，1＞0x ln x --令1=1+2nx 得111+＜22nnln ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而 2211111111++1+++1+＜+++=1-＜12222222nn nln ln ln ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故21111+1+1+＜222ne⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而231111+1+1+＞2222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以m 的最小值为3.（6）复习重点函数作为几大主干知识之一，其主体知识包括 1个工具：导数研究函数的单调性、极值、最值和证明不等式；1个定理：零点存在性定理； 1个关系：函数的零点是方程的根；2个变换：图象的平移变换和伸缩变换；2大种类：基本初等代数函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、幂函数)和基本初等函数的复合函数(对勾函数、双曲函数、分段函数和其它函数)；2个最值：可行域背景下的二元函数最值和均值不等式背景下的一元函数最值;2个意义：导数的几何意义和定积分的几何意义；3个要素：定义域、值域、解析式；3个二次：二次函数、二次方程、二次不等式；5个性质：单调性、奇偶性、周期性、凸凹性、对称性.关注二阶导数在研究函数中的拓展应用虽然高中数学没有涉及二阶导数的提法和应用，但将函数的导数表示为新的函数，并继续研究函数的性质的试题比比皆是．因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用，但要注意过程性的学习，而不是定理的记忆．① 当a 1≥时，恒有()'≥h x ()00'≥h ，从而()h x 是增函数，()00h =，()0h x ≥在[)0,+∞恒成立② 当a 1时，()h x '在[)0,+∞是增函数，()00=a 10,0,使'-∃h x ()0x 0'=h ，所用当()()0x 0,0时'∈x h x ，从而()h x 是减函数，()00h =，()0≤h x ，所以()0h x ≥在[)0,+∞不恒成立故1a ≥即为所求.全国（2）卷文设函数f(x)=(1-x 2)e x . （1）讨论f(x)的单调性；（2）当x ≥0时，f(x)≤ax +1，求a 的取值范围. （2）∵0x ≥时，()1f x ax ≤+，∴()211x x e ax -≤+ ∴210x x x e e ax -++≥，令()21x x h x x e e ax =-++，即[)0,x ∈+∞时，()0h x ≥，而()00h =再令()()22x x x x h x x e xe e a ϕ'==+-+，()()241x x x x e ϕ'=++ 0x ≥时，()0x ϕ'>恒成立. ∴()h x '在[)0,+∞是增函数（理21）已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题：导数及其应用1 Word版含解析

专题7 导数及其应用1．曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))(e 为自然对数的底数)处的切线方程为( ) A ．y ＝e x －2 B ．y ＝2x ＋e C ．y ＝e x ＋2 D ．y ＝2x －e【答案】D2．已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 【解析】如图：f ′(3)、f (3)－f (2)⎝⎛⎭⎪⎫f 3 －f 2 3－2、f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，故0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故选C.【答案】C3．曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( ) A ．75 B.752C ．27 D.272【解析】本题考查导数的求法、导数的几何意义与直线的方程．依题意得y ′＝3x 2，y ′|x ＝1＝3，因此该切线方程是y －12＝3 (x －1)，即3x －y ＋9＝0，该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(0,9)，(－3,0)，所求三角形的面积等于12×9×3＝272，故选D.【答案】D4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1x 2－1，x ∈[1，2]，则⎠⎛-12f(x)d x 的值为( )A .π2＋43B .π2＋3 C .π4＋43D .π4＋3【答案】A5．由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分面积为( )A .13B .310C .14D .15【解析】由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01 (x －x 2)d x ＝13.选A .【答案】A6．函数f(x)＝12x 2－ln x 的最小值为( )A .12B ．1C ．0D ．不存在【解析】∵f′(x)＝x －1x ＝x 2－1x ，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.∴f(x)在x ＝1处取得最小值，且f(1)＝12－ln 1＝12.【答案】A7．已知m 是实数，函数f(x)＝x 2(x －m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是 ( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，0B .⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－43，(0，＋∞)D .⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43∪(0，＋∞)【答案】C8．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c(b ，c ∈R )，F (x )＝f ′ xex，若F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，则函数f (x )的最小值是( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1【解析】∵f ′(x )＝2x ＋b ，∴F (x )＝2x ＋b e x ，F ′(x )＝2－2x －bex，又F (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－2x ＋c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ′ 0 ＝－2，F 0 ＝c ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，b ＝4，∴f (x )＝(x ＋2)2≥0，f (x )min ＝0.【答案】C9．函数f (x )＝e x－3x －1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )【解析】由题意，知f (0)＝0，且f ′(x )＝e x－3，当x ∈(－∞，ln3)时，f ′(x )<0，当x ∈(ln3，＋∞)时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项D 符合题意，故选D. 【答案】D10．已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t，2处的切线与曲线C 2：y ＝e x ＋1＋1也相切，则t 的值为( )A ．4e 2B ．4e C.e 24 D.e 4【答案】A11．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象的大致形状是( )【解析】由f (x )图象先降再升后趋于平稳知，f ′(x )的函数值先为负，再为正，后为零．故选D. 【答案】D12．曲线y ＝e 2x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2【解析】∵y ′＝12e 2x，∴k ＝12e 142⨯＝12e 2，∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)，令x ＝0，得y ＝－e 2，令y ＝0，得x ＝2，∴所求面积为S ＝12×2×|－e 2|＝e 2.【答案】D13．已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x )，且满足f (1)＝0，当x >0时，xf ′(x )<2f (x )，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)【解析】根据题意，设函数g (x )＝f x x 2(x ≠0)，当x >0时，g ′(x )＝f ′ x ·x －2·f xx 3<0，说明函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又f (x )为偶函数，所以g (x )为偶函数，又f (1)＝0，所以g (1)＝0，故g (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f (x )在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．【答案】D14．若函数f (x )＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( )A ．2b －43B ．32b －23C ．0D ．b 2－16b 3【答案】A15．函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间是________．【解析】函数f (x )＝2x －ln x 的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )＝2－1x ≥0，解得x ≥12，所以函数f (x )＝2x －ln x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞16．已知f (x )＝ax ln x ＋1(a ∈R)，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(1)＝2，则a ＝________. 【解析】∵f ′(x )＝a ln x ＋a ，∴f ′(1)＝a ＝2. 【答案】217．已知函数f (x )＝(λx ＋1)ln x －x ＋1. (1)若λ＝0，求f (x )的最大值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，证明：f xx －1>0. 【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，当λ＝0时，f (x )＝ln x －x ＋1.则f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)上是增函数；当x >1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，＋∞)上是减函数．故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x－1.由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，f xx －1>0. 当x >1时，f (x )＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x －1x ＋1>0，∴f x x －1>0. 综上可知，f xx －1>0. 18．已知函数f (x )＝x －2x＋a (2－ln x )(a >0)，求函数f (x )的单调区间与极值点．③当Δ＝a 2－8>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实数根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：此时f (x )在(0(a ＋a 2－82，＋∞)上是增加的．x 1＝a －a 2－82是函数的极大值点，x 2＝a ＋a 2－82是函数的极小值点．19．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，a ∈R.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程． (2)是否存在实数a ，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2有f x 2 －f x 1x 2－x 1>a 恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．20．已知函数f (x )＝x ln x －(x －1)(ax －a ＋1)(a ∈R)． (1)若a ＝0，判断函数f (x )的单调性；(2)若x >1时，f (x )<0恒成立，求a 的取值范围．【解析】(1)若a ＝0，f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x . ∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．(2)由题意知f (x )＝x ln x －(x －1)(ax －a ＋1)<0在(1，＋∞)上恒成立．①若a ＝0，则f (x )＝x ln x －x ＋1，f ′(x )＝ln x >0在x ∈(1，＋∞)上恒成立，∴f (x )为(1，＋∞)上的增函数，∴f (x )>f (1)＝0，即f (x )<0不成立．∴a ＝0不合题意． ②若a ≠0，∵x >1，∴只需f x x ＝ln x － x －1 ax －a ＋1x <0在(1，＋∞)上恒成立．记h (x )＝ln x － x －1 ax －a ＋1x，x ∈(1，＋∞)，则h ′(x )＝－ax 2－x －a ＋1x 2＝－ x －1 ax ＋a －1 x 2，x ∈(1，＋∞)．由h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝1－aa.若a <0，则x 2＝1－a a<1＝x 1，∴h ′(x )>0在(1，＋∞)上恒成立，故h (x )为增函数， ∴h (x )>h (1)＝0，不合题意．若0<a <12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1－a a 时，h ′(x )>0，h (x )为增函数，∴h (x )>h (1)＝0，不合题意，若a ≥12，x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )为减函数，∴h (x )<h (1)＝0，符合题意．综上所述，若x >1时，f (x )<0恒成立，则a ≥12.21．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品市场日供应量p 万千克与市场日需求量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(x ≥16，t ≥0)，q ＝24＋8ln 20x(16≤x ≤24)．当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －ax ＋1 x ≥ae x －1＋ a －2 x x <a .(a >0)(1)若a ＝1，证明：y ＝f (x )在R 上单调递减； (2)当a >1时，讨论f (x )零点的个数．【解析】(1)证明：当x ≥1时，f ′(x )＝1x－1≤0，f (x )在[1，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (1)＝0；当x <1时，f ′(x )＝ex －1－1<0，f (x )在(－∞，1)上单调递减，且此时f (x )>0.所以y ＝f (x )在R 上单调递减．①当a >2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，又f (0)＝e －1>0，f ⎝⎛⎭⎪⎫12－a <0，所以此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ，0上有一个零点．②当a ＝2时，f (x )＝e x －1，此时f (x )在(－∞，2)上没有零点．③当1<a <2时，令f ′(x 0)＝0，解得x 0＝ln(2－a )＋1<1<a ，所以f (x )在(－∞，x 0)上单调递减，在(x 0，a )上单调递增．f (x 0)＝e01x －＋(a －2)x 0＝e01x －(1－x 0)>0，所以此时f (x )没有零点．综上，当1<a ≤2时，f (x )没有零点；当a >2时，f (x )有一个零点． 23．设函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)判断f (x )的单调性；(2)当f (x )<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a 的取值范围；(3)证明：当x ∈(0，＋∞)时，x ＋1ex(1＋x )1x<e.【解析】(1)f ′(x )＝1x－a ，函数f (x )＝ln x －ax 的定义域为(0，＋∞)，当a ≤0时，f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当a >0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上是减函数．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数．(2)f (x )<0在(0，＋∞)上恒成立，即a >ln xx在(0，＋∞)上恒成立，设g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x2，当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，当x ∈(e，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，故当x ＝e 时，g (x )取得最大值1e，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞.24．已知函数f (x )＝(－x 2＋x －1)e x，其中e 是自然对数的底数． (1)求曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线；(2)若方程f (x )＝13x 3＋12x 2＋m 有3个不同的根，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝(－x 2＋x －1)e x，所以f ′(x )＝(－2x ＋1)e x＋(－x 2＋x －1)e x ＝(－x 2－x )e x. 所以曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝f ′(1)＝－2e.又f (1)＝－e ，所以所求切线方程为y ＋e ＝－2e(x －1)，即2e x ＋y －e ＝0.(2)因为f ′(x )＝(－2x ＋1)e x ＋(－x 2＋x －1)e x ＝(－x 2－x )e x ，当x <－1或x >0时，f ′(x )<0；当－1<x <0时，f ′(x )>0，所以f (x )＝(－x 2＋x －1)e x 在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在x ＝－1处取得极小值f (－1)＝－3e，在x ＝0处取得极大值f (0)＝－1. 令g (x )＝13x 3＋12x 2＋m ，得g ′(x )＝x 2＋x . 当x <－1或x >0时，g ′(x )>0；当－1<x <0时，g ′(x )<0，所以g (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．故g (x )在x ＝－1处取得极大值g (－1)＝16＋m ，在x ＝0处取得极小值g (0)＝m . 因为方程f (x )＝13x 3＋12x 2＋m 有3个不同的根，即函数f (x )与g (x )的图象有3个不同的交点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f －1 <g －1 f 0 >g 0 ，即⎩⎪⎨⎪⎧ －3e <16＋m －1>m .所以－3e －16<m <－1. 25．已知e 是自然对数的底数，实数a 是常数，函数f (x )＝e x－ax －1的定义域为(0，＋∞)．(1)设a ＝e ，求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)判断函数f (x )的单调性．26．已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x >0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围； (2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．【解析】(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意，当x >0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－ x －1 e x x ＋2恒成立，记g (x )＝－ x －1 e x x ＋2，则g ′(x )＝－x e x x ＋2 － x －1 e x x ＋2 2 ＝－ x 2＋x ＋1 e xx ＋2 2<0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝12，所以a ≥12.27．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ln x －x ＋1x，其中a >0. (1)若f (x )在(0，＋∞)上存在极值点，求a 的取值范围；(2)设a ∈(1，e]，当x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)时，记f (x 2)－f (x 1)的最大值为M (a )．那么M (a )是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 1x －1－1x 2＝－ x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a x 2，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝1时，f ′(x )＝－ x －1 2x 2≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，不存在极值点； ②当a >0且a ≠1时，f ′(a )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0.经检验a ，1a均为f (x )的极值点． ∴a ∈(0,1)∪(1，＋∞)．(2)当a ∈(1，e]时，0<1a <1<a .由(1)知，当f ′(x )>0时，1a <x <a ；当f ′(x )<0时，x >a 或x <1a. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a 上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减． ∴对∀x 1∈(0,1)，有f (x 1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ；对∀x 2∈(1，＋∞)，有f (x 2)≤f (a )． ∴[f (x 2)－f (x 1)]max ＝f (a )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a .∴M ′(a )>0，即M (a )在(1，e]上单调递增．∴M (a )max ＝M (e)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －e ＝4e. ∴M (a )存在最大值4e.。

2018年高考数学(理)命题猜想专题16椭圆、双曲线、抛物线

2018年高考数学（理）命题猜想专题16椭圆、双曲线、抛物线【考向解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率 .2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等 .【命题热点突破一】圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (2017²北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5. 【解析】(2)设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n )，由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n，所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )，直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n（x －m ），y ＝n2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |²|y E |＝25|BD |²|n |，S △BDN ＝12|BD |²|n |，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.【变式探究】【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【特别提醒】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 【答案】(1)A (2)D(2)双曲线x 2a－y 2b＝1的渐近线方程为y ＝±b ax ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7，② 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.【命题热点突破二】圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－ b a2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋ b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2、(2017²全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．【解析】(1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. OA →²OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ²2m ＋4＝0，所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上．【变式探究】【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【解析】由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得||()FM k a c =-，||OE k a =.设OE 的中点为N ，则OBN FBM △∽△，则1||||2||||OE OB FM BF =，即2(c)k a a k a a c=-+，整理，得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ．【变式探究】 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2015²西北工业大学附中四模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±22x C ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x【答案】(1)3－1(2)C(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b， cos ∠CF 1F 2＝b c，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22³2a ³2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒b a＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 (2)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】(1)D (2)A即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. (2)由题作出图象如图所示．∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb (x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2 a －c.∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2 a －c .∴b 4a 2 c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.【命题热点突破三】直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3、【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．【解析】(1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2 ，从而|PC |＝2 3k 2＋1 1＋k2|k | 1＋2k 2. 因为|PC |＝2|AB |，所以2 3k 2＋1 1＋k 2|k | 1＋2k 2 ＝42 1＋k 21＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【特别提醒】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．【变式探究】(1)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 【答案】 (1)D (2)D(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程有，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减得， x 1＋x 2 x 1－x 2 a ＋ y 1＋y 2 y 1－y 2 b＝0. ∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2. ∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，∴b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2， ∵右焦点为F (3,0)， ∴a 2－b 2＝c 2＝9，解得a 2＝18，b 2＝9，又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1.【高考真题解读】1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，联立方程()214{ 1y x y k x ==-，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=- 212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号. 2.【2017课标II ，理9】若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2 B【答案】A3.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A．3B．3C ．23D ．59【答案】B【解析】e ==，选B ． 4.【2017天津，理5】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,188x y a b c a b c ==-⇒===-=- ，选B.5.【2017北京，理9】若双曲线221y x m-=m =_________.【答案】2【解析】221,a b m == ，所以1c a ==，解得2m = . 6.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.在Rt PAN 中， cos PA PAN NA∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以cea===7.【2017课标II，理16】已知F是抛物线C:28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。

2018届高考数学(理)一轮复习人教版课件：第12讲函数模型及其应用

[答案] 108
[解析] 设进价为 a 元，由题意知 132×(1－10%)－a＝10%· a，解得 a＝108.
课前双基巩固
[答案] 25 m
2
[解析] 设长方形的长为 x m，则 20－4x 宽为 3 m，所以总面积 S＝ 20－4x 2 3x· 3 ＝－4x ＋20x＝－ 52 5 4x－2 ＋25，所以当 x＝2时， 2 总面积最大为 25 m ，此时，长 10 方形的长为 2.5 m，宽为 m. 3
[解析] 由题意得，解得于是当 x＝33 时，y＝e ＝ 13 11k 3 b (e ) ·e ＝2 ×192＝24.
33k＋b
课前双基巩固
3．[教材改编] 某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对进价)，则该家具的进价是________ 元．
随 x 的增大逐渐随 x 的增大逐渐随 n 值变化而不表现为与表现为与同 y轴 x轴 ________ 平行 ________ 平行
课前双基巩固
对点演练
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)在(0，＋∞)上，函数 y＝2 的函数值一定比 y＝x 的函数值大．( )
当 x＝6 时，ymax＝457 500. 因此，甲厂应以 6 千克/小时的速度生产该产品，此时利润最大，最大为 457 500 元．
课堂考点探究
[总结反思]
(1)构建一次函数模型，一般通过借助两个点的坐标来确定，常用待定系数法． (2)有些问题的两个变量之间是二次函数关系，如面积问题等，应先构建二次函数模型，再利用二次函数的图像与单调性求解． (3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意其定义域．

2018届高考数学(理)热点题型：函数与导数(含答案解析)

函数与导数热点一利用导数研究函数的性质利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围.【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ).(1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a .若a ≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0.因此，实数a 的取值范围是(0，1).【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式，再解出参数的范围.若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时，如求解ln a＋a－1<0，则需要构造函数来解.【对点训练】已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x< 2.所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2).(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立，因为f′(x)＝(－2x＋a)e x＋(－x2＋ax)e x＝[－x2＋(a－2)x＋a]e x，所以[－x2＋(a－2)x＋a]e x≥0对x∈(－1，1)都成立.因为e x>0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1，1)都成立，即a≥x2＋2xx＋1＝（x＋1）2－1x＋1＝(x＋1)－1x＋1对x∈(－1，1)都成立.令y＝(x＋1)－1x＋1，则y′＝1＋1（x＋1）2>0.所以y＝(x＋1)－1x＋1在(－1，1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32.即a ≥32. 因此实数a 的取值范围为a ≥32.热点二利用导数研究函数零点或曲线交点问题函数的零点、方程的根、曲线的交点，这三个问题本质上同属一个问题，它们之间可相互转化，这类问题的考查通常有两类：(1)讨论函数零点或方程根的个数；(2)由函数零点或方程的根求参数的取值范围.【例2】设函数f(x)＝ln x ＋m x ，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值；(2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x 3零点的个数.解 (1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋e x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝x －e x 2，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)，f ′(x )＜0，f (x )在(0，e)上单调递减，当x ∈(e ，＋∞)，f ′(x )＞0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增，∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋e e ＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x ＞0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x ＞0).设φ(x )＝－13x 3＋x (x ＞0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0，1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减.∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点.∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m ＞23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点.综上所述，当m ＞23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0＜m ＜23时，函数g (x )有两个零点.【类题通法】利用导数研究函数的零点常用两种方法：(1)运用导数研究函数的单调性和极值，利用单调性和极值定位函数图象来解决零点问题；(2)将函数零点问题转化为方程根的问题，利用方程的同解变形转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来解决.【对点训练】函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a >0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[t ，t ＋1]上有解. 解 (1)因为e x >0，(ax 2＋x )e x ≤0.∴ax 2＋x ≤0.又因为a >0，所以不等式化为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0. 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x >0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x －2x －1＝0.令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x 2>0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h (1)＝e －3<0，h (2)＝e 2－2>0，h (－3)＝e －3－13<0，h (－2)＝e －2>0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3，1}.热点三利用导数研究不等式问题导数在不等式中的应用是高考的热点，常以解答题的形式考查，以中高档题为主，突出转化思想、函数思想的考查，常见的命题角度：(1)证明简单的不等式；(2)由不等式恒成立求参数范围问题；(3)不等式恒成立、能成立问题.【例3】设函数f (x )＝e 2x －a ln x .(1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)证明：当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －a x (x ＞0).当a ≤0时，f ′(x )＞0，f ′(x )没有零点.当a ＞0时，设u (x )＝e 2x ，v (x )＝－a x，因为u (x )＝e 2x 在(0，＋∞)上单调递增，v (x )＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增.又f ′(a )＞0，当b 满足0＜b ＜a 4且b ＜14时，f ′(b )＜0(讨论a ≥1或a ＜1来检验)，故当a ＞0时，f ′(x )存在唯一零点.(2)证明由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)由于2e2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a . 故当a ＞0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .【类题通法】1.讨论零点个数的答题模板第一步：求函数的定义域；第二步：分类讨论函数的单调性、极值；第三步：根据零点存在性定理，结合函数图象确定各分类情况的零点个数.2.证明不等式的答题模板第一步：根据不等式合理构造函数；第二步：求函数的最值；第三步：根据最值证明不等式.【对点训练】已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R ).(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间；(3)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0，1]使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围.解 (1)由已知得f ′(x )＝2＋1x (x >0)，所以f ′(1)＝2＋1＝3，所以斜率k ＝3.又切点为(1，2)，所以切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为3x －y －1＝0.(2)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)，①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调增区间为(0，＋∞).②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (3)由已知得所求可转化为f (x )max <g (x )max ，g (x )＝(x －1)2＋1，x ∈[0，1]，所以g (x )max ＝2，由(2)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意.当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。

2018年数学真题及解析_2018年全国统一高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅲ)

2018年云南省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5.00分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5.00分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i3．（5.00分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）A． B． C． D．4．（5.00分）若sinα=，则cos2α=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5.00分）（x2+）5的展开式中x4的系数为（）A．10 B．20 C．40 D．806．（5.00分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（）A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3]7．（5.00分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5.00分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），则p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.39．（5.00分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（）A．B．C．D．10．（5.00分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（）A．12B．18C．24D．5411．（5.00分）设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）A．B．2 C．D．12．（5.00分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（）A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题06 函数与方程﹑函数模型及其应用(仿真押题)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题(原卷版)

1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或32．函数y ＝a x ＋2－1(a >0且a ≠1)的图象恒过的点是( ) A ．(0,0) B ．(0，－1)C ．(－2,0)D ．(－2，－1)3．某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只4．函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ． (－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)6．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)7．已知a ＝213-，b ＝(2log 23)12-，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a>c>b B ．b>a>cC ．a>b>cD ．c>b>a8．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a>b ，c>d.若f(x)＝2 017－(x －a)(x －b)的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a>c>b>dB ．a>b>c>dC ．c>d>a>bD ．c>a>b>d9．某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]的平均气温，下列四个函数图象中，最能表示C(t)与t 之间的函数关系的是( )10．已知f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)单调递减，设a ＝－21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )A ．f(c)<f(b)<f(a)B ．f(c)<f(a)<f(b)C ．f(c)>f(b)>f(a)D ．f(c)>f(a)>f(b)11．已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78 D ．－3812．若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点M 、N 关于原点对称，则称点对(M ，N )是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”(点对(M ，N )与(N ，M )看作同一对“和谐点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，x 2－4x ，x >0，则此函数的“和谐点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对13．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x －2，x <0，x －1，x ≥0的所有零点的和等于( )A ．－2B ．－1C ．0D ．114．若函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2－3的零点有且只有一个，则实数a 等于( ) A.32或－32 B ．－32 C.32 D ．以上都不对15．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1，－1≤x ≤1，log 2－|x －2|＋，1<x ≤3.若关于x 的方程f (x )－ax ＝0有5个不同实根，则正实数a 的取值范围是( )A ．(14，13)B ．(16，14) C ．(16－67，16) D ．(16，8－215) 16．已知f (x )是定义在R 上且以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.如果函数g (x )＝f (x )－(x ＋m )有两个零点，则实数m 的值为( )A ．2k (k ∈Z)B ．2k 或2k ＋14(k ∈Z)C ．0D ．2k 或2k －14(k ∈Z) 17．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业________年后需要更新设备．18．我们把形如y ＝b |x |－a(a >0，b >0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |的交点个数为n ，则n ＝________.19．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 20．已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．22．已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________． 23．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________． 24．已知函数f (x )＝5x ＋x －2，g (x )＝log 5x ＋x －2的零点分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．25．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.26．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________.27．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时． 28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是________．29．已知函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数的零点，求实数m 的取值范围．30．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？。

2018年高考数学考纲与考试说明解读(2021年整理精品文档)

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2018年高考数学考纲与考试说明解读专题一：函数、极限与导数的综合问题（一）不等式、函数与导数部分考查特点分析与建议全国课标卷考查内容分析（考什么)（一）结论：考查的核心知识为：函数的概念、函数的性质、函数的图象、导数的应用函数的概念：函数的定义域、值域、解析式（分段函数)；函数的性质：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性;函数的图象：包含显性与隐性；导数的应用:导数的概念及其几何意义;利用导数求单调区间、极值、最值与零点;结合函数的单调性解不等式或证明不等式、求参数范围．（二）试题题型结构：全国卷基本上是2道选择题或填空题、1道解答题，共3道题.分值为22分．（三）试题难度定位:全国卷对函数与导数的考查难度相对稳定，选择、填空题中，有一道为中等难度，另一道作为选择、填空的“压轴题"进行考查；解答题均放置于“压轴"位置．小题考点可总结为八类：（1）分段函数； (2）函数的性质; （3)基本函数；（4）函数图像； (5）方程的根（函数的零点)；（6）函数的最值; (7）导数及其应用; (8)定积分。

解答题主要是利用导数处理函数、方程和不等式等问题,有一定的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个．纵观近几年全国新课标高考题,常见的考点可分为六个方面：（1）变量的取值范围问题；（2）证明不等式的问题；（3）方程的根（函数的零点）问题; （4）函数的最值与极值问题；（5）导数的几何意义问题；（6)存在性问题.考点：题型1 函数的概念例1 有以下判断：①f （x ）＝错误!与g （x ）＝错误!表示同一函数； ②函数y ＝f (x ）的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f （x ）＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数; ④若f (x )＝|x －1|－|x ｜，则f 错误!＝0。

高考数学专题06考前必做难题30题(理)-高考数学走出题海之黄金30题系列(解析版)

2014年高考数学走出题海之黄金30题系列1．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是 ( )． A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B ．[－1,0]C ．(－∞，－2] D.9,4⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭【答案】A2．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。

若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（）A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,315B ．15(,7)3C ．48(,)33D.()7,2【答案】B【考点定位】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力.zxxk 学科网 3．定义在R 上的可导函数()f x ，当(1,)x ∈+∞时，()'()'()f x f x xf x +<恒成立，1(2),(3),(21)(2)2a fb fc f ===+，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】A4．设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是A.当0a <时，12120,0x x y y +<+>B.当0a <时，12120,0x x y y +>+<C.当0a >时，12120,0x x y y +<+<D.当0a >时，12120,0x x y y +>+> 【答案】：B【考点定位】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度很大，不易入手,具有很强的区分度5．已知函数2342013()1...2342013x x x x f x x =+-+-++,2342013()1 (2342013)x x x x g x x =-+-+--,设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，则-b a 的最小值为（） A 、11B 、10C 、9D 、8 【答案】B 【解析】试题分析：'2320122201232011()11()f x x x x x x x x x x =-+-++=+++-+++零点在(1,2)上，函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的零点均在区间),,](,[Z ∈<b a b a b a 内，(3)f x +的零点在(4,3)--上，(4)g x -的零点在(5,6)上，-b a 的最小值为6410-=．【考点定位】1、导数的应用,2、根的存在性定理.6．已知数列a n ：12132143211121231234，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为()A.3724B.76C.1115D.715【答案】A【考点定位】数列及归纳推理. 7．现有两个命题：（1）若lg lg lg()x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ；（2）若函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q ；则以下集合关系正确的是（） A ．PQ B.Q P C.P Q = D.P Q =∅【答案】C 【解析】对（2）：作出函数()1xf x x =-，()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像如图所示：对()1xf x x =-求导得：21()(1)f x x '=--.由21()2(1)f x x '=-=--得212x =+.由此得切点为2(1,12)2++.代入()2g x x t =-+得223t =+.由图可知223t <+时，函数()1xf x x =-，8．函数2sin 8(,)1sin x x x f x x θθθ--+=--（x ＞2）的最小值（）A.4222142+142-+【答案】A 【解析】试题分析：令1sin (0)x t t θ--=>，则81sin y t tθ=+++42+1+sin θ≥，又sin 1θ≥-，所以42y ≥当且仅当22x =22k πθπ=-时取“=”.zxxk 学科网【考点定位】1、基本不等式；2、正弦函数的有界性.9．设实数,x y满足2025020x yx yy--≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则22x yuxy+=的取值范围是（）A．5[2,2]B．510[,]23C．10[2,]3D．1[,4]4【答案】C10．如图，正方体1111DCBAABCD-的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于()A．65πB．32πC．πD．67π【答案】A【解析】11．已知A、B 是椭圆22 22x yab+＝1(a＞b＞0)和双曲线2222x ya b-＝1(a＞0，b＞0)的公共顶点．P是双曲线上的动点，M是椭圆上的动点(P、M都异于A、B)，且满足AP＋BP＝λ(AM＋BM)，其中λ∈R，设直线AP、BP、AM、BM的斜率分别记为k1、k2、k3、k4，k1＋k2＝5，则k3＋k4＝________.【答案】－5【考点定位】直线与圆锥曲线.12．已知等差数列{}n a的首项11a=，公差0d>，且2a、5a、14a分别是等比数列{}n b的2b、3b、4b. （1）求数列{}n a和{}n b的通项公式；（2）设数列{}n c对任意正整数n均有12112nnncc cab b b++++=成立，求122014c c c+++的值.【答案】（1）21na n=-，13nnb-=；（2）20143.【解析】试题分析：（1）将2a、5a、14a利用1a与d表示，结合条件2a、5a、14a成等比数列列式求出d的值，再根据等差数列的通项公式求出数列{}n a的通项公式，根据条件22b a=、35b a=求出等比数列{}n b的通项公式；（2）先令1n =求出1c 的值，然后再令2n ≥，由12112n n n c c c a b b b ++++=得到112121n n c c c b b b --++()12232n n n c b n -∴==⋅≥，13,123,2n n n c n -=⎧∴=⎨⋅≥⎩，则12201411220143232323c c c -+++=+⋅+⋅++⋅()()201312201320143133233332313-=+⋅+++=+⨯=-.【考点定位】1.等差数列与等比数列的通项公式；2.定义法求通项；3.错位相减法求和13．设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q，求n T ；（Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n ，证明：120122()13q <<.（Ⅲ）证明：nn S T （1,2,3,n ）的充分必要条件为1,a q N N .【答案】（Ⅰ）,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（Ⅱ）答案详见解析；（Ⅲ）答案详见解析.【解析】zxxk 学科网所以14b ，22b ，31b ，且当3n 时，[]0n n b a .即,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥（Ⅱ）证明：因为201421()n T n n =+≤，所以113b T ，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤.因为[]nn b a ，所以1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. 由21a q a =，得1q <.zxxk 学科网因为201220142[2,3)a a q =∈，所以20122223qa >≥，所以2012213q <<，即120122()13q <<. （Ⅲ）证明：（充分性）因为1a N ，q N ，zxxk 学科网所以11nna a q N ，所以[]n n n b a a 对一切正整数n 都成立.因为12nn S a a a ，12n n T b b b ，所以必然存在一个整数()k k N ，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r +整除.又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1.所以2ka Z ，这与n a N （n N ）矛盾.zxxk 学科网所以q *∈N . 因此1a N ，q *∈N .【考点定位】1、等比数列的通项公式；2、数列前n 项和；3、充要条件.14．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，F 是BC 的中点.（1）求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）参考解析；（2）155【解析】(2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面PAF 一个法向量为(1,2,0)m =，又平面PCD 法向量为(1,1,1)n =，所以||15cos ,5||||m n m n m n ⋅<>==∴所求二面角的余弦值为15.zxxk 学科网【考点定位】1.线面垂直的证明2.二面角.3.空间向量的运算.4.运算的能力.15．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱CC 1上，已知AB ＝AC ，AA 1＝3，BC ＝CF ＝2.(1)求证：C 1E ∥平面ADF ；(2)设点M 在棱BB 1上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF? 【答案】（1）见解析（2）当BM ＝1时【解析】(1)证明：连结CE 交AD 于O ，连结OF.因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，123CF COCC CE＝＝.【考点定位】空间线、面间的位置关系.16．在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图①)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C(如图②)．(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′-ADC的体积；(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；(3)求证：AD⊥B′E.【答案】（1）18（2）见解析（3）见解析【解析】(1)解：在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O 平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC.在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的所以EO ＝2232306AE AO AE AOcos ⋅︒＋－＝. 所以AO 2＋EO 2＝AE 2.所以AD ⊥EO.又B ′O ⊂平面B ′EO ，EO ⊂平面B ′EO ，B ′O ∩EO ＝O ，所以AD ⊥平面B ′EO.zxxk 学科网又B ′E ⊂平面B ′EO ，所以AD ⊥B ′E.【考点定位】1、几何体的体积；2、空间线、面间的位置关系.17．如图，正三棱柱111ABC A B C -所有棱长都是2，D 棱AC 的中点，E 是1CC 棱的中点，AE 交1A D 于点H.（1）求证：AE ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1D BA A --的余弦值；（3）求点1B 到平面1A BD 的距离.【答案】(1)参考解析；(2)515；(3)255【解析】(3)点到平面的距离，转化为直线与法向量的关系，再通过解三角形的知识即可得点到平面的距离.本小题关键是应用解三角形的知识.试题解析：（1）证明：建立如图所示，)0,2,1( )0,1,2(1-=--=D A AE)3,0,0(-=BD ∵10AE A D ⋅=0AE BD ⋅=∴BD AE D A AE ⊥⊥,1即AE ⊥A 1D ，AE ⊥BD ∴AE ⊥面A 1BD（2）由⎩⎨⎧=++-=-⇒=⋅=⋅020)3(0 0111111y x z BD n D A n ∴取1(2,1,0)n =【考点定位】1.空间坐标系的建立.2.线面垂直的证明.4.二面角的求法.5.点到平面的距离公式.18．已知点12(1,0),(1,0)F F -分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点,点2(1,2P 在椭圆上C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程;（Ⅱ）设直线12:,:,l y kx m l y kx m =+=-若1l 、2l 均与椭圆C 相切,试探究在x 轴上是否存在定点M ,点M 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点M 坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）1222=+y x ；（2）满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0) 【解析】试题解析：(1)法一：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分222211211a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩2分 2,1a b ==∴椭圆C 的方程为1222=+y x 4分法二：由12(1,0),(1,0)F F -,得1c =,1分把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=10分前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±; 综上所述,满足题意的定点B 存在,其坐标为(1,0)-或(1,0)12分【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.椭圆的定义；3.两点间的距离公式；4.点到直线的距离公式. 19．如图,已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于M 、N 两点，其准线l 与x 轴交于K 点.（1）求证：KF 平分∠MKN ；（2）O 为坐标原点，直线MO 、NO 分别交准线于点P 、Q ，求PQ MN +的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）8. 【解析】由0444122=--⇒⎩⎨⎧=+=my y xy my x ,∴12124,4y y m y y +==-.4分设KM 和KN 的斜率分别为21,k k ，显然只需证021=+k k 即可.∵)0,1(-K ， ∴0)4)(4()4)((414142121212122221121=++++=+++=+y y y y y y y y y y k k ，6分（2）设M 、N 的坐标分别为221212(,),(,)44y y y y ，由M ，O ，P 三点共线可求出P 点的坐标为)4,1(1y --，由N ，O ，Q 三点共线可求出Q 点坐标为)4,1(2y --，7分设直线MN 的方程为1+=my x 。

09 函数模型及其应用-2018年高考数学(理)热点题型和提分秘籍含解析

专题09 函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.热点题型一一次函数或二次函数模型例1、提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。

在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位:千米/小时)是车流密度x （单位:辆/千米)的函数。

当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。

研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数。

(1)当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式.(2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）＝x·v(x）可以达到最大，并求出最大值。

(精确到1辆/小时）。

(2)依题意并由（1)可得f（x）＝错误!当0≤x≤20时，f（x）为增函数，故当x＝20时,其最大值为60×20＝1 200；当20＜x≤200时，f(x)＝错误!x(200－x)≤错误!错误!2＝错误!，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立。

所以当x＝100时,f(x）在区间(20,200］上取得最大值错误!≈3 333。

综上，当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大约为3 333辆/小时.【提分秘籍】一次函数、二次函数模型问题的常见类型及解题策略（1)直接考查一次函数、二次函数模型。

解决此类问题应注意三点：①二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；②确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；③解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题。

(2)以分段函数的形式考查。

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高考热点问题探究(命题猜想)-2018年高考数学(理) (word版含答案)

教育部考试中心函件《关于2018年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读．预测1：古代数学书籍《九章算术》《数书九章》等书为背景的数学文化类题目．预测2：与高等数学相衔接的题目，如几类特殊的函数：取整函数、狄利克雷函数、符号函数．预测3：以课本阅读和课后习题为背景的数学文化类题目：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、二进制、割圆术、阿氏圆等．预测4：以中外一些经典的数学问题为背景的题目．如：回文数、匹克定理、哥尼斯堡七桥问题、四色猜想等经典数学小问题．【高考命题热点一】立体几何与数学文化例1、《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺331寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( )A ．1丈3尺B ．5丈4尺C ．9丈2尺D ．48丈6尺【答案】B【特别提醒】本题属于生活中谷物储存问题，源于《九章算术》第五章“商功”，结合立体几何中的基础知识进行设问，强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养．我国古代数学强调“经世济用”，涉及的研究大多与实际生活、生产联系紧密，体现出明显的问题式、综合性的特征．立体几何中几何体体积公式是常考内容。

例2、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d【答案】A【特别提醒】“牟合方盖”是我国古代利用立体几何模型和数学思想方法解决数学问题的代表之一．本题取材于“牟合方盖”，通过加工改造，添加解释和提供直观图的方式降低了理解题意的难度．解题从识“图”到想“图”再到构“图”，考生要经历分析、判断的逻辑过程．另外，我国古代数学中的其他著名几何体，如“阳马”“鳖臑”和“堑堵”等的三视图问题都有可能在高考中考查．例3、我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )A ．4－2πB ．8－34πC ．8－πD ．8－2π【答案】C【特别提醒】祖暅原理是我国古代数学家祖暅提出的一个有关几何求积的著名定理，祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年．人民教育出版社《数学必修2》(A 版)第30页“探究与发现”中专门介绍了祖暅原理．本题取材于祖暅原理，考查几何体的三视图和体积计算，既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化．【高考命题热点二】数列与数学文化例4、《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.45钱B.35钱C.23钱D.34钱【答案】D【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有，5解得，1故选D.【特别提醒】我国古代数学强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为等差数列问题．例5、中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里【答案】B【解析】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝21，依题意有21＝ 378，解得a 1＝192，则a 2＝192×21＝ 96，即第二天走了96里，故选B.【特别提醒】与等差数列一样，我国古代数学涉及等比数列问题也有很多，因此，涉及等比数列的数学文化题也频繁出现在各级各类考试试卷中．解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．例6、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则2 015是斐波那契数列中的第________项．【答案】2 016【特别提醒】该题的命制以人民教育出版社《数学必修5》(A 版)第32页“阅读与思考”中的“斐波那契数列”为背景，考查考生灵活处理递推数列问题的能力和转化与化归能力．斐波那契数列有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛应用．在高考中，也曾经很多次考查斐波那契数列问题．【高考命题热点三】算法与数学文化例7、如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为8,12，则输出的a＝()A．4 B．2C．0 D．14【答案】A【特别提醒】《九章算术》系统总结了我国古代人民的优秀数学思想，开创了构造算法以解决各类问题的东方数学发展的光辉道路，这与当今计算机科学的飞速发展对数学提出的要求不谋而合．本题程序框图的算法思路源于《九章算术》中计算两个正整数的最大公约数的“更相减损术”算法。

专题07 导数及其应用(命题猜想)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题(解析版)

【考向解读】高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．【命题热点突破一】导数的几何意义例1、(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________；【答案】1【变式探究】【2016高考新课标2理数】若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．【答案】1ln 2-【解析】对函数ln 2y x =+求导得1y x '=，对ln(1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与曲线ln(1)y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122ln 2,ln(1)y x y x =+=+，由点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由点222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以12221211121ln(1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+⎪+=+⎪+⎩，解得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-.【感悟提升】与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略(1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)已知斜率求切点：已知斜率R ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决.【变式探究】函数f(x)＝e x sin x 的图像在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为( ) A.3π4 B.π3 C.π4 D.π6 【答案】C【命题热点突破二】函数的单调性与最值例2、(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a－2.【解析】 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝x ＋ax ＋x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞单调递减． (2)由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a . 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2.【变式探究】(2017·课标全国Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3 D ．1【答案】A【变式探究】【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()221()ln ,R x f x a x x a x-=-+∈. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞；223322(2)(1)()a ax x f 'x a x x x x--=--+=. 当0≤a ， )1,0(∈x 时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；(1,),()0x f 'x ∈+∞<时，)(x f 单调递减.当0>a 时，3(1)()(a x f 'x x x x -=-. （1）20<<a ，12>a，当)1,0(∈x 或x ∈),2(+∞a时，()0f 'x >，)(x f 单调递增；当x ∈)2,1(a时，()0f 'x <，)(x f 单调递减；（2）2=a 时，12=a，在x ∈),0(+∞内，()0f 'x ≥，)(x f 单调递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1=a 时，22321122()()ln (1)x f x f 'x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，]2,1[∈x ，令1213)(,ln )(32--+=-=x x x x h x x x g ，]2,1[∈x .则()()()()f x f 'x g x h x -=+，由1()0x g 'x x-=≥可得1)1()(=≥g x g ，当且仅当1=x 时取得等号. 又24326()x x h'x x --+=，【感悟提升】确定函数的单调区间要特别注意函数的定义域，不要从导数的定义域确定函数的单调区间，在某些情况下函数导数的定义域与原函数的定义域不同．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ln(x ＋a)＋ax ，求函数f(x)的单调区间和极值．(2)已知函数f(x)＝(ax －2)e x 在x ＝1处取得极值，求函数f(x)在[m ，m ＋1]上的最小值．【解析】解：（1）∵f （x ）＝ln （x ＋a ）＋ax ，∴函数f （x ）的定义域为（－a ，＋∞），∴f′（x ）＝1x ＋a ＋a ＝ax ＋a 2＋1x ＋a.当a≥0时，f′（x ）＝1x ＋a ＋a ＞0，函数f （x ）在（－a ，＋∞）上为增函数，无极值.当a ＜0时，令f′（x ）＝0，解得x ＝－a －1a＞－a ，当f′（x ）＞0时，解得－a ＜x ＜－a －1a ，函数f （x ）为增函数，当f′（x ）＜0时，解得x ＞－a －1a，函数f （x ）为减函数，故当x ＝－a －1a时，函数f （x ）有极大值，极大值为f ⎝⎛⎭⎫－a －1a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－1a －a 2－1. 综上所述，当a≥0时，函数f （x ）在（－a ，＋∞）上为增函数，无极值；当a ＜0时，函数f （x ）在⎝⎛⎭⎫－a ，－a －1a上为增函数，在⎝⎛⎭⎫－a －1a ，＋∞上为减函数，函数f （x ）有极大值，极大值为ln ⎝⎛⎭⎫－1a －a 2－1.所以函数f （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.当m≥1时，f （x ）在 [m ，m ＋1]上单调递增，f （x ）min ＝f （m ）＝（m －2）e m .当0＜m ＜1时，m ＜1＜m ＋1，f （x ）在[m ，1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增，f （x ）min ＝f （1）＝－e. 当m≤0时，m ＋1≤1，f （x ）在[m ，m ＋1]上单调递减，f （x ）min ＝f （m ＋1）＝（m －1）e m ＋1.综上，f （x ）在[m ，m ＋1]上的最小值f （x ）min ＝⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）e m，m≥1，－e ，0<m<1，（m －1）e m ＋1，m≤0.【感悟提升】利用导数求函数极值的一般步骤：对可导函数求出导数等于零的点，然后判断在导数等于零的点两侧导数的符号，先确定其是否为极值点，若是极值点，则再确定是极大值点还是极小值点．【命题热点突破三】函数的单调性与不等式例3、(2017·山东卷)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)，其中e≈2.718 28…是自然对数的底数．(1)求曲线y ＝f (x )在点(π，f (π))处的切线方程；(2)令h (x )＝g (x )－af (x )(a ∈R )，讨论h (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解析】(1)由题意知f (π)＝π2－2. 又f ′(x )＝2x －2sin x ，所以f ′(π)＝2π，因此曲线y ＝f (x )在点(π，f (π))处的切线方程为 y －(π2－2)＝2π(x －π)，即y ＝2πx －π2－2. (2)由题意得h (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)－a (x 2＋2cos x )．因为h′(x)＝e x(cos x－sin x＋2x－2)＋e x(－sin x－cos x＋2)－a(2x－2sin x)＝2e x(x－sin x)－2a(x－sin x)＝2(e x －a)(x－sin x)，令m(x)＝x－sin x，则m′(x)＝1－cos x≥0，所以m(x)在R上单调递增．因为m(0)＝0，所以当x＞0时，m(x)＞0；当x＜0时，m(x)＜0.①当a≤0时，e x－a＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝0时h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1.b．当a＝1时，ln a＝0，c．当a＞1时，ln a＞0，所以当x∈(－∞，0)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(0，ln a)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝0时h(x)取到极大值，极大值是h(0)＝－2a－1；当x＝ln a时h(x)取到极小值，极小值是h(ln a)＝－a[ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．综上所述：当a≤0时，h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)＝－2a－1；当0＜a ＜1时，函数h (x )在(－∞，ln a )和(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h (x )有极大值，也有极小值，极大值是h (ln a )＝－a [ln 2a －2ln a ＋sin(ln a )＋cos(ln a )＋2]，极小值是h (0)＝－2a －1；当a ＝1时，函数h (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a ＞1时，函数h (x )在(－∞，0)和(ln a ，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减，函数h (x )有极大值，也有极小值，极大值是h (0)＝－2a －1，极小值是h (ln a )＝－a [ln 2a －2ln a ＋sin(ln a )＋cos(ln a )＋2]．【变式探究】已知f(x)＝xe x ＋ax 2－x ，a ∈R . (1)当a ＝－12时，求函数f(x)的单调区间；(2)若当x≥0时，恒有f′(x)－f(x)≥(4a ＋1)x 成立，求实数a 的取值范围．（2）设g （x ）＝f′（x ）－f （x ）－（4a ＋1）x ＝e x －ax 2－2ax －1，则由题可知，当x≥0时，g （x ）≥0恒成立.g′（x ）＝e x －2ax －2a ＝u （x ），u′（x ）＝e x －2a ，当x≥0时，e x ≥1.①当2a≤1，即a≤12时，u′（x ）≥0，g′（x ）＝e x －2ax －2a 在[0，＋∞）上单调递增，所以g′（x ）≥g′（0）＝1－2a≥0，所以g （x ）在[0，＋∞）上单调递增，所以g （x ）≥g （0）＝0恒成立. ②当2a>1，即a>12时，令u′（x ）＝0，得x ＝ln 2a.当x ∈[0，ln 2a ）时，u′（x ）<0，g′（x ）＝e x －2ax －2a 在[0，ln 2a ）上单调递减，所以当x ∈[0，ln 2a ）时，g′（x ）＝e x －2ax －2a≤g′（0）＝1－2a<0，则g （x ）在[0，ln 2a ）上单调递减，于是g （x ）≤g （0）＝0，这与g （x ）≥0恒成立矛盾. 综上可得，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12. 【感悟提升】对于求不等式恒成立时的参数范围问题，一般是将参数分离出来，使不等号一边是参数，另一边是一个区间上具体的函数，这样便于解决问题．但要注意的是分离参数不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，则不要分离参数．【变式探究】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe －x 2＋mx ，x ∈（0，1），ln x －x ＋2，x ∈[1，＋∞），其中e ＝2.718 28…是自然对数的底数，m ∈R .(1)若函数f(x)为(0，1)上的单调增函数，求m 的取值范围； (2)对任意的1<a<b ，求证：f （b ）－f （a ）b －a <1a （1＋a ）.（2）证明：依题意知，当x ∈[1，＋∞）时，f （x ）＝ln x －x ＋2，所以f （b ）－f （a ）b －a ＝ln b －ln a ＋a －bb －a ＝ln b －ln a b －a－1＝lnba b a－1·1a －1.记g （x ）＝x －ln x －1（x ∈[1，＋∞）），因为g′（x ）＝1－1x ＝x －1x ≥0，所以g （x ）在[1，＋∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，从而ln x≤x －1（x ∈[1，＋∞））. （*）又因为1<a<b ，所以b a >1，由（*）式，知ln b a <ba －1，即ln baba －1<1，于是，lnb a b a－1·1a －1<1a －1＝1－a a ＝1－a 2a （1＋a ）<1a （1＋a ）.故当1<a<b 时，不等式f （b ）－f （a ）b －a <1a （1＋a ）成立.【感悟提升】用导数证明不等式问题，实质上是研究函数在一个区间上的恒成立问题，因此，证明的基本思路就是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，再根据函数的性质推断不等式成立．解题时注意技巧的总结：①树立服务意识，所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质，如函数的单调性、最值等，服务于要证明的不等式；②强化变形技巧，所谓“变形技巧”是指对于给定的不等式无法直接证明，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明，例如采用两边取对数(指数)、移项、通分等方法．【命题热点突破四】定积分例4、(1) 曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．(2) 如图7-1所示，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．【答案】（1）16（2）1.2【解析】（1）求得曲线与直线的交点坐标是（0，0）和（1，1），所以封闭图形的面积为⎠⎛01（x －x 2）dx＝（12x 2－13x 3）|10＝12－13＝16.【感悟提升】定积分的应用主要是求曲边形的面积，其方法是根据定积分的几何意义把曲边形的面积表示为函数的定积分．【变式探究】一列火车在平直的铁轨上行驶，遇到紧急情况时，火车紧急刹车，此时火车以速度v （t ）＝5－t ＋551＋t （t 的单位：s ，v 的单位：m/s ）减速至停止，在此期间火车继续行驶的距离是（）A.55ln 10 mB.55ln 11 mC.（12＋55ln 7）mD.（12＋55ln 6）m 【答案】B【解析】令5－t ＋551＋t ＝0，得t ＝10（舍去负值），即经过10 s 火车停止，行驶的距离s ＝⎠⎛010⎝⎛⎭⎫5－t ＋55t ＋1dt ＝⎣⎡⎦⎤5t －12t 2＋55ln （t ＋1）|100＝55ln 11（m ），即紧急刹车后火车继续行驶的距离是55ln 11 m. 【高考真题解读】1、(2017·天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________；【答案】12、(2017·山东卷)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，g (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)，其中e≈2.718 28…是自然对数的底数．(1)求曲线y ＝f (x )在点(π，f (π))处的切线方程；(2)令h (x )＝g (x )－af (x )(a ∈R )，讨论h (x )的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解析】(1)由题意知f (π)＝π2－2. 又f ′(x )＝2x －2sin x ，所以f ′(π)＝2π，因此曲线y ＝f (x )在点(π，f (π))处的切线方程为 y －(π2－2)＝2π(x －π)，即y ＝2πx －π2－2. (2)由题意得h (x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)－a (x 2＋2cos x )．因为h ′(x )＝e x (cos x －sin x ＋2x －2)＋e x (－sin x －cos x ＋2)－a (2x －2sin x )＝2e x (x －sin x )－2a (x －sin x )＝2(e x －a )(x －sin x )，令m (x )＝x －sin x ，则m ′(x )＝1－cos x ≥0，所以m (x )在R 上单调递增．因为m (0)＝0，所以当x ＞0时，m (x )＞0；当x ＜0时，m (x )＜0. ①当a ≤0时，e x －a ＞0，当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝0时h(x)取到极小值，极小值是h(0)＝－2a－1.b．当a＝1时，ln a＝0，c．当a＞1时，ln a＞0，所以当x∈(－∞，0)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(0，ln a)时，e x－e ln a＜0，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(ln a，＋∞)时，e x－e ln a＞0，h′(x)＞0，h(x)单调递增．所以当x＝0时h(x)取到极大值，极大值是h(0)＝－2a－1；当x＝ln a时h(x)取到极小值，极小值是h(ln a)＝－a [ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]．综上所述：当a≤0时，h(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，函数h(x)有极小值，极小值是h(0)＝－2a －1；当0＜a＜1时，函数h(x)在(－∞，ln a)和(0，＋∞)上单调递增，在(ln a,0)上单调递减，函数h(x)有极大值，也有极小值，极大值是h(ln a)＝－a[ln2a－2ln a＋sin(ln a)＋cos(ln a)＋2]，极小值是h(0)＝－2a－1；当a＝1时，函数h(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；当a＞1时，函数h(x)在(－∞，0)和(ln a，＋∞)上单调递增，在(0，ln a )上单调递减，函数h (x )有极大值，也有极小值，极大值是h (0)＝－2a －1，极小值是h (ln a )＝－a [ln 2a －2ln a ＋sin(ln a )＋cos(ln a )＋2]． 3、(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a－2.(2)由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a . 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a －2，即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. 4、(2017·课标全国Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3 D ．1【答案】A【解析】 (1)函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)·e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1>0恒成立，得x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且x <－2时，f ′(x )>0；－2<x <1时，f ′(x )<0； x >1时，f ′(x )>0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1. 故选A.5.【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

(全国通用)2018年高考数学考点一遍过专题10 函数模型及其应用(含解析)理

考点10 函数模型及其应用（1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.一、常见的函数模型二、几类函数模型的增长差异三、函数模型的应用解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.用框图表示如下：问题解决解模运算考向一二次函数模型的应用在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.典例1 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入（单位：万元）满足180,1204P Q a =+=+，设甲大棚的投入为（单位：万元），每年两个大棚的总收益为()f x （单位：万元）.（1）求(50)f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？max ()282f x =.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元.【名师点睛】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围.1．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？考向二指数函数、对数函数模型的应用（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为()1xy N p =+(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.典例2 一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为2a .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林面积为2a . （1）求p %的值;（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年?（3）今后最多还能砍伐多少年?故今后最多还能砍伐15年.典例3 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(2W /m )表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平表示，它们满足以下公式：(单位为分贝，，其中2W /m ，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答以下问题：（1）树叶沙沙声的强度是2W /m ，耳语的强度是2W /m ，恬静的无线电广播的强度是2W /m ，试分别求出它们的强度水平；（2）某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度的范围为多少？所以，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝.（2）由题意知：，即，所以，即.所以新建的安静小区的声音强度I 大于或等于，同时应小于.2．在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v (单位:米/秒)和燃料的质量M (单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m (单位:千克)的函数关系式是v=2000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.考向三分段函数模型的应用（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．（3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．典例4 据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （km/h ）与时间t （h ）的函数图象如图所示．过线段OC 上一点(,0)T t 作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t （h ）内沙尘暴所经过的路程s （km ）．（1）当4t =时，求s 的值；（2）将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．【解析】（1km ）．（2）当010t ≤≤当1020t <≤当2035t <≤时，3．某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内,西红柿市场售价P(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系,西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(t)，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；（2）若市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的纯收益最大?考向四函数模型的比较根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y（单位：万件）与月份x的关系. 模拟函数1:by ax cx=++；模拟函数2:xy m n s=⋅+.（1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.则有23101213mn s mn s mn s =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得18,,142m n s =-==，即3142x y -=-，当4x =时，13.5y =．所以选用模拟函数1较好．（2）因为模拟函数1：32522x y x =-+是单调增函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量；模拟函数2：3142x y -=-也是单调增函数，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：3142x y -=-好．当6x =时，3614213.875y -=-=，所以预测6月份的产量为13.875万件.4．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施.方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费.问：（1）工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明.（2）若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间的关系，可选用A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数2．已知三个函数模型：()0.25f x x =，7()log 1g x x =+，() 1.002x h x =，当(0,)x ∈+∞时，随的增大，三个函数中的增长速度越来越快的是A ．()f xB ．()g xC ．()h xD ．()()f x g x +3．2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是A ．c bx ax x f ++=2)(B ．()e xf x a b =+ C ．()e ax b f x += D ．b x a x f +=ln )(4．某林场今年造林10000亩，计划以后每一年比前一年多造林10%，那么从明年算起第3年内将造林( )亩A ．13000B ．13310C．12100 D．330005．研究表明,当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.若某一死亡生物组织内的碳14经过个“半衰期”后，用一般的放射性探测器测不到碳14了,则的最小值是A．9 B．10C．11 D．126．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%．已知在过滤过程中废气中的污染物数量P（单位：毫克／升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为：0e ktP P－（k，P0均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么，至少还需（）小时过滤才可以排放．A．12B．59C．5 D．107．某商场销售A型商品.已知该商品的进价是每件元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位:元/件) 应为A． B．5.5C．8.5 D．108．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数;t 表示时间,单位:小时;y表示病毒个数),则k= ,经过5小时,1个病毒能繁殖为个.9．某种产品的产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是（把你认为合理结论的序号都填上）.10．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为：21200800002y x x =-+，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？11．某上市股票在30天内每股的交易价格(元)与时间(天)组成有序数对,点落在图中的两条线段上.该股票在30天内的日交易量(万股)与时间(天)的部分数据如下表所示：（1）根据提供的图象,写出该股票每股交易价格(元)与时间(天)所满足的函数关系式; （2）根据表中数据,写出日交易量(万股)与时间(天)的一次函数关系式;（3）用(万元)表示该股票日交易额，写出关于的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大,最大值为多少?12．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元，若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份之间的函数关系式分别符合下列函数模型：()2146f x a x x =-+()1a ∈R ,()()223,x g x a b a b =⋅+∈R .（1）求函数与的解析式；（2）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；（3）在同一平面直角坐标系下画出函数与的草图，并根据草图比较今年1至10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况.1．（2014湖南理科）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- CD12．（2015四川理科）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系ekx by +=（e 2.718=为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C 的保鲜时间是_________小时.24050)307050-+.当4050x =时，()f x 最大，且最大值为()4050307050f =元，所以当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元． 2．【答案】e 6-1【解析】当v=12000米/秒时,2000·ln(1+)=12000,∴ln(1+)=6,∴=e 6-1.3．【解析】（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系式为300,0200()2300,200300t t f t t t -<≤⎧=⎨-<≤⎩.由图2可得种植成本与时间的函数关系式为()()21150100,0300200g t t t =-+<≤. （2）设上市时间为t 时的纯收益为h (t ), 则由题意,得()()()h t f t g t =-,即()2211175,020020022171025,20030020022t t t h t t t t ⎧-++<≤⎪⎪⎨⎪-+-=<≤⎪⎩.当0200t <≤时,整理,得()()2150100200h t t =--+, 当t =50时,h (t )取得最大值100；当200300t <≤时,整理,得()()21350100200h t t =--+, 当t =300时,h (t )取得最大值87.5.综上,当t =50时,即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大.4．【解析】设工厂每月生产x 件产品时，依方案一的利润为，依方案二的利润为，由题意知，.（1）当时，，，因为，所以应选择方案二处理污水.（2）当时，，，因为，所以应选择方案一处理污水.1．【答案】D2．【答案】C【解析】三个函数模型：()0.25f x x =，7()log 1g x x =+，() 1.002xh x =，当(0,)x ∈+∞时，指数函数是爆炸型增长，因此选C. 3．【答案】D【解析】观察题图，结合各选项中函数的函数值随着自变量的变化规律可知，D 项中函数b x a x f +=ln )(最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化的规律.4．【答案】B【解析】依题意可得，从明年算起第3年内将造林331110000(110%)10000()1331010⨯+=⨯=亩，故选B.5．【答案】B【解析】由题意知,11,21000nn ⎛⎫<∈ ⎪⎝⎭N ,即,所以的最小值是10.选B.6．【答案】C【解析】设原污染物的数量为，则0P a =．由题意有510%e k a a -=，所以5ln10k =．设小时后污染物的含量不得超过1%，则有1%e tk a a -≥，所以2ln10tk ≥，10t ≥．因此至少还需1055-=小时过滤才可以排放．7．【答案】C8．【答案】2ln2，1024【解析】当t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2t ln 2,当t=5时,y=e10ln 2=210=1024.9．【答案】（2），（3）【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线斜率大，上升快，斜率小，上升慢，所以随着的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重.11．【解析】（1）当时,设,由图象可知,此函数的图象过点和,故2620b a b =⎧⎨=+⎩,解得215b a =⎧⎪⎨=⎪⎩,125P t ∴=+.同理，可求得当时,1810P t =-+. 12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N .（2）设,把所给表中任意两组数据代入可求得,, ,.（3）因为日交易额(万元)=日交易量(万股)每股交易价格(元),()221(15)125020,5160402030,10t t t y t t t ⎧--+≤≤∈⎪⎪∴=⎨⎪--<≤∈⎪⎩N N ，，.当，t ∈N 时,当时,万元；当，t ∈N 时,随的增大而减小,故在30天中的第15天日交易额最大，为125万元.（2）由（1）知甲厂在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g (5)＝86万元，故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等.（3）作函数图象如图所示：从图中可以看出今年1至10月份甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时，有f (x )＝g (x )；当1＜x ＜5时，有f (x )＞g (x )；当5＜x ≤10时，有f (x )＜g (x ).1．【答案】D【解析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为(0)x x >,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.2．【答案】24。

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高中数学选修 1-1 目录第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系 1.2 充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词 1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.2 双曲线 2.3 抛物线第三章导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.2 导数的计算 3.3 导数在研究函数中的应用 3.4 生活中的优化问题举例
高中数学必修三目录第一章算法初步算法与程序框图基本算法语句算法案例第二章统计随机抽样用样本估计总体变量间的相关关系第三章概率随机事件的概率古典概型函数任意角和弧度制任意角的三角函数三角函数的诱导公式三角函数的图像与性质函数 y=Asin(ωx+φ)的图像三角函数模型的简单应用第二章平面向量平面向量的实际背景及基本概念平面向量的线性运算平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的数量积平面向量应用举例第三章三角恒等变换
高中数学必修五目录第一章解三角形正弦定理和余弦定理应用举例实习作业第二章数列数列的概念与简单表示法等差数列等差数列的前 n 项和等比数列等比数列的前 n 项和第三章不等式不等关系与不等式一元二次不等式及其解法二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基本不等式
圆的方程直线、圆的位置关系空间直角坐标系
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
简单的三角恒等变换
高中数学选修 1-2 目录第一章统计案例 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用 1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.2 复数代数形式的四则运算第四章框图 4.1 流程图 4.2 结构图

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函数模型及其应用【考点梳理】1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：【考点突破】考点一、用函数图象刻画变化过程【例1】某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是()A B C D(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()A B C D[答案] (1)A(2)D[解析] (1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.【类题通法】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【对点训练】1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()[答案] D[解析]y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为()[答案] B[解析] 由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B.考点二、应用所给函数模型解决实际问题【例2】某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②.(注：利润和投资单位：万元)①②(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2x(x≥0).(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6，所以总利润y＝8.25万元.②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元．则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18. 令x ＝t ，t ∈[0，32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.【类题通法】求解所给函数模型解决实际问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【对点训练】某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎨⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B (x －A )，x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元[答案] A[解析] 根据题意可知f(4)＝C＝4，f(25)＝C＋B(25－A)＝14，f(35)＝C＋B(35－A)＝19，解得A＝5，B＝12，C＝4，所以f(x)＝⎩⎨⎧4，0＜x≤5，4＋12(x－5)，x＞5，所以f(20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.考点三、构建函数模型解决实际问题【例3】(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.[答案] (1)B (2)9[解析] (1)设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n>2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．(2)设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0＜x ≤3，8＋2.15×(x －3)＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.【类题通法】构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解．(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋a x (a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．【对点训练】1．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)[答案] 8[解析] 设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.2．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10[答案] A[解析] ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.。

2018年高考数学(理)命题猜想专题22函数与方程思想、数形结合思想

2018年高考数学（理）命题猜想专题22函数与方程思想、数形结合思想【考点定位】函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查.【命题热点突破一】函数与方程思想1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处文数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.方法一点坐标代入函数(方程)法点坐标代入函数(方程)法是指把点“放到”函数图象中去“入套”，通过构造方程求解参数的方法．此方法适用于已知函数或函数图象，给出满足条件的点坐标，求其中的参数问题．破解此类题的关键点：①点代入函数，把所给点坐标代入已知函数的解析式中，得到关于参数的方程或不等式．②解含参方程，求解关于参数的方程或不等式．③检验得结论，得出参数的值或取值范围，最后代入方程或不等式进行检验．例1、函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(，a )，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．2或21 D.21【答案】D【特别提醒】应用此方法的易错点是忘记检验，在解出方程后，一定要回头望，把所求的解代入原函数中检验是否有意义．【变式探究】函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(a ，a 3)，则a 的值为________．【答案】31【解析】因为函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的反函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象过点(a ，a 3)，所以a 3＝a a ，即a 31＝a a ，所以a ＝31.经检验知a ＝31符合要求．方法二平面向量问题的函数(方程)法平面向量问题的函数(方程)法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数(方程)问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题．破解此类题的关键点：①向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数(方程)．②代数函数(方程)化，利用函数(方程)思想，结合相应的函数(方程)的性质求解问题． ③得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论．例2、已知a ，b ，c 为平面上的三个向量，又a ，b 是两个相互垂直的单位向量，向量c 满足|c |＝3，c·a ＝2，c·b ＝1，则对于任意实数x ，y ，|c －x a －y b |的最小值为______．【答案】2【特别提醒】平面向量中含函数(方程)的相关知识，对平面向量的模进行平方处理，把模问题转化为数量积问题，再利用函数与方程思想来分析与处理，这是解决此类问题一种比较常见的思维方式．【变式探究】已知e 1，e 2是平面上两相互垂直的单位向量，若平面向量b 满足|b |＝2，b·e 1＝1，b·e 2＝1，则对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|的最小值为________．【答案】方法三不等式恰成立问题函数(方程)法含参不等式恰成立问题函数(方程)法是指通过构造函数，把恰成立问题转化为函数的值域问题，从而得到关于参数的方程的方法．破解此类题的关键点：①灵活转化，即“关于x 的不等式f (x )<g (a )在区间D 上恰成立”转化为“函数y ＝f (x )在D 上的值域是(－∞，g (a ))”；“不等式f (x )>g (a )在区间D 上恰成立”转化为“函数y ＝f (x )在D 上的值域是(g (a )，＋∞)”．②求函数值域，利用函数的单调性、导数、图象等求函数的值域．③得出结论，列出参数a 所满足的方程，通过解方程，求出a 的值．例3、关于x 的不等式e x －2x2－1－49x ≥0在，＋∞1上恰成立，则a 的取值集合为________．【答案】{2}【解析】关于x 的不等式e x －2x2－1－49x ≥0在，＋∞1上恰成立⇔函数g (x )＝x x2－1在，＋∞1上的值域为，＋∞9.因为g ′(x )＝()x2x2＋1，令φ(x )＝e x(x －1)－21x 2＋1，x ∈，＋∞1，则φ′(x )＝x (e x －1)．因为x ≥21，所以φ′(x )>0，故φ(x )在，＋∞1上单调递增，所以φ(x )≥φ21＝87－2e >0.因此g ′(x )>0，故g (x )在，＋∞1上单调递增，则g (x )≥g 21＝＝2－49，所以a －49＝2－49，解得a ＝2，所以a 的取值集合为{2}．【特别提醒】求解此类含参不等式恰成立问题时注意与含参不等式恒成立问题区分开，含参不等式恰成立问题一般转化为求函数的值域，得参数的方程；而含参不等式恒成立问题一般转化为最值问题．【变式探究】关于x 的不等式x ＋x 4－1－a 2＋2a >0在(2，＋∞)上恰成立，则a 的取值集合为__________．【答案】{－1,3}方法四解析几何问题的函数(方程)法解析几何问题的函数(方程)法是解决解析几何问题中比较常见的一种方法，通过函数(方程)法把解析几何问题代数化，利用函数或方程进行求解，其关键是根据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程解决问题．破解此类题的关键点：①代数化，把直线、圆、圆锥曲线以及直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系等转化为代数问题，构造函数解析式或方程．②函数(方程)应用，利用函数的相关性质或方程思想来求解含有参数的解析几何问题． ③得出结论，结合解析几何中的限制条件和函数(方程)的结论得出最终结论．例4、已知直线l 过定点S (4,0)，与4x2＋3y2＝1(x ≠±2)交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为P ′，连接P ′Q 交x 轴于点T ，当△PQT 的面积最大时，直线l 的方程为____________________．【答案】x ＝321y ＋4或x ＝－321y ＋4直线P ′Q 的方程为y ＝x2－x1y2＋y1(x －x 1)－y 1，令y ＝0，得x ＝y1＋y2x1y2＋x2y1＝()()y1＋y2ky1＋4y2＋y1ky2＋4＝()y1＋y22ky1y2＋4y1＋y2，将①②代入上式得x ＝1，即T (1,0)，所以|ST |＝3，所以S △PQT ＝|S △STQ －S △STP |＝21|ST ||y 1－y 2|＝23()＝23·3k2＋44×36＝3k2＋4k2－4＝()3k2－4＋16k2－4＝k2－416≤43，当且仅当k 2＝328，即k ＝±321时取等号．故所求直线l 的方程为x ＝321y ＋4或x ＝－321y ＋4.【特别提醒】直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．【变式探究】椭圆C 1：9x2＋4y2＝1和圆C 2：x 2＋(y ＋1)2＝r 2 (r >0)，若两条曲线没有公共点，则r 的取值范围是______________．【答案】(0,1)∪，＋∞30由f (－2)＝1，f (2)＝9，f 54＝554，可得f (y )的值域是r 2∈554，即r ∈530，它的补集就是圆C 2与椭圆C 1没有公共点的r 的集合，因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪，＋∞30.方法二联立C 1和C 2的方程消去x ，得到关于y 的方程－45y 2＋2y ＋10－r 2＝0. ①两条曲线没有公共点，等价于方程－45y 2＋2y ＋10－r 2＝0要么没有实数根，要么有两个根y 1，y 2∉[－2,2]．若没有实数根，则Δ＝4－4×45×(10－r 2)<0，解得r >530或r <－530舍去30.若两个根y 1，y 2∉[－2,2]，设φ(y )＝－45y 2＋2y ＋10－r 2，其图象的对称轴方程为y ＝54∈[－2,2]．则()()φ－2＝1－r2>0，φ2＝9－r2>0，又r >0，解得0<r <1.因此，两条曲线没有公共点的r 的取值范围是(0,1)∪，＋∞30.【命题热点突破二】数形结合思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

函数与方程及其应用(热点难点突破)-2018年高考数学(理)考纲解读与热点难点突破+Word版含解析

专题02 函数与方程及其应用（热点难点突破） 2018年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破1．已知函数f (x )＝x －a x，若116<a <12，则f (x )零点所在区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析根据零点存在性定理，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，故选C. 答案 C2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，e)D ．(3，4)解析利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B. 答案 B3．函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 解析利用零点存在性定理得到f (3)·f (2)<0，故选C. 答案 C4．设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A ．4 B ．2C ．－4D ．与m 有关5．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1，2)B ．[－1，2]C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，即方程x 2＋4x ＋2＝x (x ≤m )与x＝2(x >m )共有三个根．∵x 2＋4x ＋2＝x 的解为x 1＝－2，x 2＝－1，∴－1≤m <2时满足条件，故选A. 答案 A6．在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12 000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是( ) A ．32人 B ．35人 C ．40人 D ．45 人7．一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但其间最近距离为7米解析以汽车停止位置为参照，人所走过的位移为－25＋6t ，汽车在时间t 内的位移为s ＝12t 2，故设相对位移为y m ，则y ＝－25＋6t －12t 2＝－12(t －6)2－7，故不能追上汽车，且当t ＝6时，其间最近距离为7米．故选D. 答案 D8．某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3St 1＋t 2＋t 3＝3SSv 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案 D9．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( ) A ．5 km 处 B ．4 km 处 C ．3 km 处D ．2 km 处解析设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案 A10．设函数f (x )＝x |x －a |，若对∀x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3]B ．[－3，0)C ．(－∞，3]D ．(0，3]解析：由题意分析可知条件等价于f (x )在[3，＋∞)上单调递增，∵f (x )＝x |x －a |，∴当a ≤0时，结论显然成立；当a ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，∴0＜a ≤3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，3]．答案：C11．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )(导学号 55460092) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0解析：y ＝x cos x 为奇函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数．答案：B12．函数f (x )＝1－3xx －1的定义域为( )A ．(－∞，0]B ．[0，1]∪[1，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，x ≠1，解得x ≤0且x ≠1，即x ≤0.答案：A13．函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x－1的图象大致为( )14．两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，则“同根函数”是( ) A ．f 2(x )与f 4(x ) B ．f 1(x )与f 3(x ) C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )解析：f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，f 2(x )＝log 2 (x ＋2)，将f 2(x )的图象沿着x 轴先向右平移2个单位得到y ＝log 2x 的图象，然后再沿着y 轴向上平移1个单位可得到f 4(x )的图象，根据“同根函数”的定义可知f 2(x )与f 4(x )为“同根函数”．答案：A15．已知函数f (x )＝x 2＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x 2＋1－ax ，∴f ′(x )＝xx 2＋1－a . 又函数f (x )＝x 2＋1－ax (其中a ＞0)在区间[0，＋∞)上是单调函数，且当a ≥1时，f ′(x )＜0，而0＜a ＜1时，f ′(x )的符号不确定，故当a ∈[1，＋∞)时，f (x )在[0，＋∞)上单调递减．答案：[1，＋∞)16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．解析：当x ≤0时，由x 2－2＝0，得x ＝－ 2.当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数．且f (2)＝ln2－2＜0.f (3)＝ln3＞0. ∴f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上可知，函数y ＝f (x )的零点个数为2. 答案：217．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，a ≠1)．图① 图②(1)若f (x )的图象如图①所示，求a 、b 的值； (2)若f (x )的图象如图②所示，求a 、b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3. (2)∵f (x )单调递减， ∴0＜a ＜1，又f (0)＜0，即a 0＋b ＜0，[ ∴b ＜－1.即a 的取值范围是(0，1)，b 的取值范围是(－∞，－1)． (3)画出y ＝|f (x )|的草图(图略)，知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解．∴实数m 的取值范围是{0}∪[3，＋∞)． 18．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝0， ∴a －b ＋1＝0， ∴b ＝a ＋1，∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. ∵f (x )≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，（a －1）2≤0. ∴a ＝1，从而b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2，2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.∴k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． 19．已知函数f (x )＝a －22x ＋1.(1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论；(3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )＜f (2)的x 的范围．解：(1)f (0)＝a －220＋1＝a －1.(3)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1(或用f (0)＝0去解)． ∴f (ax )＜f (2)即为f (x )＜f (2)，又∵f (x )在R 上单调递增， ∴x ＜2.∴不等式的解集为(－∞，2)．20．设函数f (x )＝x ＋1x的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求g (x )的解析式；(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标．解 (1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2，1)对称的点为P ′(4－x ，2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋14－x ，即y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.当m ＝0时，经检验合理，交点为(3，0)；当m ＝4时，经检验合理，交点为(5，4)．21．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞）－（x －2）2＋1，x ∈（1，3）作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0. 由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根． 22．某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？解依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）(2)当3<x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5. 而当x >7时，f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大．23．已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)当函数f (x )的图象在点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23处的切线的斜率为1时，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上的最小值；(2)若函数f (x )在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x(x ＞0)，由题意可知，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1，解得a ＝1. 故f (x )＝x －2x－3ln x ，∴f ′(x )＝x －x －x2，根据题意由f ′(x )＝0，得x ＝2. 于是可得下表：min(2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x2(x ＞0)，由题意可得方程ax 2－3x ＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x 1，x 2，并令h (x )＝ax 2－3x ＋2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，x 1＋x 2＝3a ＞0，x 1x 2＝2a ＞0，也可以为⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－8a ＞0，－－32a ＞0，h ＞0解得0＜a ＜98.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，98.。