§8.1 状态变量与状态方程
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
热力学中的状态变量和状态方程
热力学中的状态变量和状态方程热力学是研究物质能量转化和传递的科学，它描述了物质在不同条件下的行为。
在研究物质的热力学性质时，我们需要引入状态变量和状态方程这两个重要概念。
本文将深入探讨这两个概念的含义和应用。
一、状态变量状态变量是用来描述物质所处状态的量。
在热力学中，常见的状态变量包括温度、压强、体积和物质的组成等。
这些状态变量可以用来描述物质的宏观状态，例如物质的热力学性质和热平衡条件。
温度是物质的一种状态变量，它反映了物质内部分子的平均能量。
温度的单位是开尔文（K），它是国际单位制中的温度标准。
温度是一个非常重要的状态变量，它不仅可以描述物质的热平衡状态，还可以用来计算物质的热力学性质，例如热容和热导率等。
压强是物质的另一种状态变量，它反映了物质所受到的力的大小。
压强的单位一般是帕斯卡（Pa），它是国际单位制中的压强标准。
压强可以用来描述物质的力学平衡状态，在研究物质的热力学性质时起到重要作用。
除了温度和压强，体积也是一个重要的状态变量。
体积用来描述物质所占据的空间大小，它可以用来计算物质的密度和体积变化等。
在研究物质的热力学性质时，体积是一个非常重要的参数，它可以用来描述物质的物理性质和热力学过程。
此外，物质的组成也是一个重要的状态变量。
物质的组成决定了物质的化学性质和相态行为。
在研究物质的热力学性质时，我们需要考虑物质的组成对物质性质的影响。
二、状态方程状态方程是用来描述物质状态的数学表达式。
它是热力学中最基本的方程之一，可以用来计算物质的热力学性质和描述物质的相态行为。
最著名的状态方程之一是理想气体状态方程。
理想气体状态方程是一个简化模型，它假设气体分子之间没有相互作用，只考虑气体的温度、压强和体积之间的关系。
理想气体状态方程可以用以下公式表示：PV = nRT其中，P表示气体的压强，V表示气体的体积，n表示气体的物质量（摩尔数），R表示气体常数，T表示气体的温度。
这个方程描述了理想气体的状态，可以用来计算理想气体的性质和热力学过程。
状态方程和相变
状态方程和相变是物理学中非常重要的概念。
状态方程描述了物质在不同条件下的状态，包括温度、压力、体积等参数，而相变则描述了物质从一个状态转变为另一个状态时所发生的变化。
本文将详细介绍的相关知识，以及它们在生活中的应用。
一、状态方程的定义和意义状态方程是描述物质状态的基本方程。
它通常表示为P（压力）、V（体积）、T（温度）之间的关系式，即P=f(V,T)或V=f(P,T)或T=f(P,V)。
其中，P、V、T称为状态参量。
状态方程是物态方程的简称，常见的物态方程有理想气体状态方程、范德华状态方程等。
状态方程的意义在于，通过一些参数的变化，可以描述物质从一个状态到另一个状态的变化过程。
例如，随着温度升高、压力降低，水会从液态变为气态；反之，随着温度降低、压力升高，水会从气态变为液态。
这些变化过程都可以通过状态方程进行描述。
二、常见的状态方程理想气体状态方程是最基本的状态方程之一。
它可以用于描述处于高温、低密度条件下的气体状态，满足PV=nRT（其中，n为物质的摩尔数，R为气体常数）。
在标准状况下，理想气体状态方程可以进一步简化为PV=RT。
然而，当温度和压力较高时，理想气体状态方程就不再适用，因为气体分子之间会发生相互作用，产生一定的吸引力和排斥力。
在这种情况下，需采用更加复杂的状态方程，如范德华状态方程、毛维－安德鲁状态方程等。
三、相变的定义和分类相变是指物质从一个状态（相）转变为另一个状态的过程，常见的相有固态、液态和气态。
相变分为两种类型：一种是温度和压力的变化对相的稳定性产生影响，如水从冰态到液态的融化过程，或水从液态到气态的沸腾过程；另一种是质量的变化对相的稳定性产生影响，如水在加热时的汽化过程。
相变还可以分为一次相变和二次相变。
一次相变，在过程中物质的内能发生跃变，如水从冰态到液态的融化过程。
二次相变，在过程中物质的内能发生连续的变化，如铁的铁磁相变。
四、状态方程与相变的应用在生活中有很多应用，以下是几个例子。
状态方程
例6 输出: uc , iC , uR
电路理论基础
解 若已知状态量 uC在
t=0
R
ic
uc(t1)=3V和us=10V，也 uR us uc 可以确定t>t1电路的响应 uc , iC , uR。 uc 3e 500 ( t t1 ) 10(1 e 500 ( t t1 ) ) 500 ( t t1 ) ic 3.5e mA uR 7e 500( t t1 ) V 可推广到一阶、二阶和高阶动态电路中，当t =t1 时uC ， iL 和t t1 后的输入 uS(t)为已知，就可以确 定t1及t1以后任何时刻系统的响应。问题是确定状 态变量及初始值。
上例中也可选uC和duC /dt为状态变量
duC uC d(C ) dt R u u (t ) L C S dt d 2 uC L duC LC uC uS ( t ) 2 R dt dt
iL L + uL + + uC uS(t)
电路理论基础
iL iC
C R 2 + uR
状态方程为
x (t ) A x (t ) Bv(t )
式中，A、B为系数阵，由电路结构和参数确定。 状态方程特点： (1)联立的一阶微分方程组 (2)左端为一个状态变量的一阶导数 (3)右端为状态变量和输入量的线性表示 (4)方程数等于状态变量数，等于独立储能元件数
电路理论基础
整理为矩阵形式
duC 1 dt RC di 1 L dt L
状态变量
1 0 u C C i 1 uS ( t ) 0 L L
输入量
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
第八章 状态方程
化简，得
d eAtλ t eAt Bet
dt
两边取积分，并考虑起始条件，有
eAtλ tλ 0
t eA Be( ) d
0
对上式两边左乘 e A，t 并考虑到 eAteAt I ，可得
λ为t方 程eA的tλ 一0般解0t eAt Be d eAtλ 0 eAt B et
求输出方程r(t)
et b1
dk 1 dt k1
et
bk1
d dt
et bket
此系统为k 阶系统，输入信号的最高次导数也为
k 次系统函数为
H
s
b0sk b1sk1 bk1s bk sk a1sk1 ak1s ak
为便于选择状态变量，系统函数表示成
H
s
b0
b1s1
bk
s1k
1
bk sk
d λ t， 输出为 λ t。
dt
若 A,B,C矩, D阵是 的函t数，表明系统是线性时变
的，对于线性时不变系统，A,B,C的, D各元素都为常
数，不随 t改变。
状态变量的特性
每一状态变量的导数是所有状态变量和输 入激励信号的函数；
每一微分方程中只包含有一个状态变量对 时间的导数；
输出信号是状态变量和输入信号的函数；
1 a1s1
ak
s1k
1
ak sk
当用积分器来实现该系统时，其流图如下
et 1
b0
1 s k a1
b1 b2
1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk
r t
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
【精品】§8.1状态变量与状态方程
▲
■
第 6页
二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。 而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
▲
■
第 12 页
例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电 流iR2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。 解：选状态变量 x1(t) = iL(t), x2(t) = uC(t) Lx 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1(t) Cx ( t) = 0 x1 ( t) 2(t) + iR R 2
▲ ■ 第 7页
动态方程的一般形式
n阶多输入–多输出LTI {xi(t0)} 连续系统，如图 。 fp(t) 其状态方程和输出方程为 1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a21x1 a22 x2 a2 n xn b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n an1 x1 an 2 x2 ann xn bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x y1 c11x1 c12 x2 c1n xn d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y2 c21x1 c22 x2 c2 n xn d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p yq cq1 x1 cq 2 x2 cqn xn d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
已知线性时不变连续系统状态方程
8.1 已知线性时不变连续系统状态方程)(][)](][[)(t x B t A dt t d +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡λλ )(][)](][[)(t x D t C t y +=λ其中：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=b a A 00，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10B ，[][]11=C ，[]0=D 系统转移函数H （s ）表达式为——————————————（ ）（1）a s +1 （2）b s +1（3）))((1b s a s ++ （4）))((1b s a s --8.2 已知线性时不变离散系统状态方程和输出方程 )](][[)](][[)]1([n x B n A n +=+λλ )](][[)](][[)]([n x D n C n y +=λ其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1001][,10][,01][C B b a A ，0][=D ， 求系统函数()[]H z8.3 描述系统的微分方程为：)()(5)(3)(2)(3)(2222t x dt t dx dt t x d t y dt t dy dt t y d ++=++ 1．画出直接形式的信号流图；2．根据所画流图建立系统的状态方程与输出方程（写成矩阵形式）。
8.4 已知连续时间系统的系统函数为： )127)(1(104)(2++++=s s s s s H 1．画出由三个一阶系统并联形式的流图；2．在所画流图上建立系统的状态方程与输出方程（用矩阵形式表示）。
8.5 已知系统的微分方程为)(2)()(3)(4)(22t x dtt dx t y dt t dy dt t y d +=++1．求系统函数H （s ），并画出并联结构的信号流图；2．根据所画信号流图，建立系统的状态方程与输出方程（写成矩阵形式）。
8.6 一离散系统流图如题图所示，1．列写系统的状态方程与输出方程（写成矩阵形式）； 2．求系统函数H （z ）；3．列写系统的差分方程式。
系统的状态空间分析
则状态方程为：
x1 a11x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1p f p x2 a21x1 a22 x2 a2n xn b21 f1 b22 f2 b2 p f p xn an1x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
二、状态空间分析法的应用及优点：
1、可以提供系统的内部信息，使人们能够比较容易地解 决那些与系统内部情况有关的分析设计问题。
2、不仅适用于线性、时不变、单输入单输出系统分析， 也适用于非线性、时变、多输入多输出系统分析。
3、描述方法规律性强，便于用计算机解决复杂系统的分 析设计问题。
第第88--33页页
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
输出方程： 描述系统输出、输入、状态之间关系的代数方程组。
输出方程一般形式：
设n阶系统有n个状态、p个输入、q个输出，则输出方程为：
y1 c11x1 c12x2 c1n xn d11 f1 d12 f2 d1p f p
设t0时刻的初始状态为：x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ). 则系统的状态变量— — 任一时刻t的状态为：
x1(t), x2 (t)......, xn (t)
第第88--66页页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电电子子教教案案
8.1 系统的状态空间描述
xn (k 1) an1
an2
ann
xn
( k )
bn1
bn 2
bnp
f p
状态方程的参数
状态方程的参数简介状态方程是描述动态系统行为的数学模型，它通过表示系统的状态和状态变化的方程来描述系统的演化规律。
状态方程的参数是指在状态方程中出现的变量和常数。
这些参数决定了系统的特性和行为，对于系统的分析和控制至关重要。
在本文中，我们将介绍状态方程的基本概念和常见形式，然后详细讨论状态方程的参数，包括变量和常数的定义、物理意义、取值范围以及对系统行为的影响。
状态方程的基本概念状态方程描述了系统的状态随时间的演化规律。
一般来说，状态方程可以写成如下形式：dx/dt = f(x, u, t)其中，x是系统的状态向量，u是系统的输入向量，t是时间，f是状态方程的右侧函数。
状态方程可以是线性或非线性的，具体形式取决于系统的性质和特点。
状态方程的参数包括状态向量x中的变量和常数，以及右侧函数f中的变量和常数。
下面我们将分别讨论这些参数的定义和物理意义。
状态向量的参数状态向量x是描述系统状态的一组变量。
它的具体定义和物理意义取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的状态向量及其参数的例子：•位置向量：描述物体在空间中的位置，参数包括物体在三个坐标轴上的位置变量（例如x、y、z）。
•速度向量：描述物体在空间中的速度，参数包括物体在三个坐标轴上的速度变量（例如v_x、v_y、v_z）。
•电路变量：描述电路中的电流和电压，参数包括电流和电压变量（例如i、v）。
状态向量的参数在状态方程中起到了关键的作用。
它们决定了系统的状态空间的维度和范围，以及状态变化的规律。
不同的参数可以对系统的行为产生不同的影响。
右侧函数的参数右侧函数f描述了状态向量x随时间的变化规律。
它的具体定义和物理意义也取决于系统的性质和特点。
下面是一些常见的右侧函数及其参数的例子：•线性函数：描述线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和常数矩阵。
•非线性函数：描述非线性系统的状态变化规律，参数包括状态向量x、输入向量u和非线性函数。
状态方程介绍
状态方程介绍
状态方程是描述物质内部状态的方程。
它是通过对物质的性质和变化进行观察和实验，总结出的一种定量关系式，可以用来描述物质在不同条件下的状态和性质。
状态方程是研究物质的基础，它可以帮助我们理解物质的性质和规律。
在化学领域，状态方程被广泛应用于物质的研究和实验中。
通过对物质的状态方程的研究，我们可以了解物质在不同条件下的状态和性质，从而为实际应用提供基础。
一个常见的状态方程是气体状态方程。
气体状态方程描述了气体在不同条件下的状态和性质。
根据理想气体状态方程，气体的压力、体积和温度之间存在着一定的关系。
当气体的温度不变时，压力和体积成反比。
当气体的压力不变时，体积和温度成正比。
当气体的体积不变时，压力和温度成正比。
除了气体状态方程，还有液体和固体的状态方程。
液体和固体的状态方程描述了它们在不同条件下的状态和性质。
液体和固体的状态方程通常包括密度、压力、温度等参数，根据这些参数可以确定液体和固体的状态和性质。
状态方程的研究对于理解物质的性质和规律非常重要。
通过对物质状态方程的研究，我们可以深入了解物质的内部结构和性质，从而帮助我们更好地应用物质，解决实际问题。
状态方程是描述物质内部状态的方程，它可以帮助我们了解物质的性质和规律。
通过对状态方程的研究，我们可以深入了解物质的内部结构和性质，为实际应用提供基础。
状态方程的研究对于理解物质的性质和规律非常重要，它是化学研究的基础之一。
第8章 系统的状态变量分析
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
系统的状态变量分析
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）
状态方程
e(t)
C
特点： 代数方程 特点：(1)代数方程 (2)用状态变量和输入量 用状态变量和输入量 表示输出量 一般形式： [Y]=[C][X]+[D][V] 一般形式： m*n
m为输出变量数 为输出变量数
m*r
二. 状态方程的列写
1.直观法 直观法 基本思想： 基本思想： (1) 线性电路以iL ,uc为状态变量。 线性电路以 为状态变量。 (2)对含有电容的支路，选择一个节点列出KCL方程， 对含有电容的支路，选择一个节点列出 方程， 对含有电容的支路 方程
uL − 1 1 i c − = R u 1 R 1 iR R 0 1 0 1 uc + [e( t )] 0 0 i L 0 0
求出
{
u (t ) u (t ) i (t ) i (t )
R L 1 1 R 1 c 1
uC、iL 称为状态变量。它们的初值和激励e(t)一起可 称为状态变量。它们的初值和激励e(t)一起可 以确定该电路在任何时刻的性状。 以确定该电路在任何时刻的性状。 由此例可知： 由此例可知： (1)状态变量和储能元件有关； 状态变量和储能元件有关； 状态变量和储能元件有关 (2)有几个独立的储能元件，就有几个状态变量 。 有几个独立的储能元件， 有几个独立的储能元件
§15-8
+ uL L
iL iC + uc R uo
状态方程
动态网络的分析方法， 动态网络的分析方法，按照描述网络的微分方程 可分为输入输出法和状态变量 法。
uL + uC = e(t )
di L uL = L dt
e(t)
信号与系统第八章(1) 状态方程
{x(k0)}
y1(k) y2(k)
yq(k)
它的p个输入为 它的q个输出为
f1(k), f2(k), , f p (k)
y1(k), y2 (k), , yq (k)
将系统的n个状态变量记为 x1(k), x2 (k), , xn (k)
则其状态方程和输出方程可写为
x(k 1) Ax(k) Bf (k) y(k) Cx(k) Df (k)
上式简记为 y(t) Cx(t) Df (t)
d1p f1(t)
d2
p
f
2
(t
)
dqp
f
p
(
t
)
式中
c11
C
c21
cq1
y(t) [ y1(t) y2(t) yp (t)]T 输出矢量
c12 c22 cq2
y2 (t
)
c21
yq
(
t
)
cq1
c12 c22 cq2
c1n x1(t ) d11
c22
x2(
t
)
d 21
cqn
xn
(t
)
dq1
d12 d22 dq2
R5
L5
x3
C1
l2 a
C2 b L6 i6
Q
＋ ＋x1－
＋ ＋x2－
us －
l1
C3
u3 －
R4
is
图 8.2-2
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说明： 状态变量应线性独立 说明：
+ vC1 − + vC2 − + vC1 − + vC2 −
+ vC3 −
VS
iL1
iL1
iL2
IS
iL2
iL3
二、状态方程和输出方程
f1e1(t ) (t) f2e2 (t ) (t) fmm(t ) e(t)
r2 ((t) y t)
2
y1t ) r ((t) 1
. . .
{λ (t0 ) {xii(t)}}
y (t ) rrr(t)
m个输入信号 个输入信号
r个输出信号 个输出信号
为系统的k个状态变量 个状态变量。 x1(t ), x2 (t ),L, xk (t ) 为系统的 个状态变量。
d dt x1(t ) = a11x1(t ) + a12x2 (t ) +L+ a1k xk (t ) + b11 f1(t ) + b12 f2 (t ) +Lb1m fm (t ) d x2 (t ) = a21x1(t ) + a22x2 (t ) +L+ a2k xk (t ) dt + b21 f1(t ) + b22 f2 (t ) +Lb2m fm (t ) 状态方程 M M d dt xk (t ) = ak1x1(t ) + ak 2 x2 (t ) +L+ akk xk (t ) + bk1 f1(t ) + bk 2 f2 (t ) +Lbkm fm (t )
状态变量: 是表示该系统所必需的最少的一组变量。 最少的一组变量 状态变量 是表示该系统所必需的最少的一组变量。 初始状态: 初始时刻状态变量的值。 初始状态: 初始时刻状态变量的值。 已知状态变量和系统的激励， 已知状态变量和系统的激励，就能完全确定系统 的工作情况。 的工作情况。 状态变量， n阶系统需有 个独立的状态变量，通常用 1(t)、 阶系统需有n个独立的状态变量 通常用x 、 阶系统需有 x2(t)、…、xn(t)表示。 表示。 、 、 表示
§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
u(t)和iC(t)为输出 和 为输出 若还想了解内部三个 变量u 变量 C(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况 可列方程
R1 iL1 L1
a a
uC
iL2 L2 iC
R2
us1
u
us2
duC 1 1 duC = iL1 − iL2 C + iL2 − iL1 = 0 dt C C dt R diL1 1 1 d iL1 1 = − uC − iL1 + uS1 + uC − uS1 = 0 R iL1 + L 1 1 L1 L1 L1 dt dt diL2 1 R2 1 d iL2 = uC − iL2 − uS 2 + R2iL2 + uS 2 − uC = 0 L2 L2 L2 L2 dt dt
根据初始值u 及激励u 根据初始值 C(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)及激励 S1(t)和uS2(t) 、 和 及激励 和 就可惟一地确定t≥t 就可惟一地确定 0时uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 、 和 。 系统的输出容易地由三 个内部变量和激励求出： 个内部变量和激励求出：
u(t) = R2iL2 (t) + uS 2 (t) iC (t) = iL1 (t) − iL2 (t)
y(t) = Cx(t) + Df (t)
对离散系统， 对离散系统，类似有 状态方程 输出方程
x(k +1) = Ax来自k) + Bf (k) y(k) = Cx(k) + Df (k)
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状 态方程的建立。 态方程的建立。
& x(t) = Ax(t) + Bf (t)
y1(t ) = c11x1(t ) + c12x2 (t ) +L+ c1k xk (t ) + d11 f1(t ) + d12 f2 (t ) +Ld1m fm (t ) y2 (t ) = c21x1(t ) + c22x2 (t ) +L+ c2k xk (t ) + d21 f1(t ) 输出方程 + d22 f2 (t ) +Ld2m fm (t ) M M yr (t ) = cr1x1(t ) + cr 2 x2 (t ) +L+ crk xk (t ) + dr1 f1(t ) + dr 2 f2 (t ) +Ldrm fm (t )
本章将介绍内部法 状态变量法. 本章将介绍内部法——状态变量法 内部法 状态变量法 优点 （1）提供系统的内部特性以便研究。 ）提供系统的内部特性以便研究。 多输入多输出系统 （2）便于分析多输入多输出系统； ）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。 ）一阶方程组便于计算机数值求解。
第八章
系统的状态变量分析
前面几章的分析方法称为外部法， 前面几章的分析方法称为外部法，强调用系 外部法 统的输入、输出之间的关系描述系统的特性。 统的输入、输出之间的关系描述系统的特性。 单输入单输出系统； （1）只适用于单输入单输出系统； ）只适用于单输入单输出系统 外部特性， （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对 ）只研究系统输出与输入的外部特性 系统的内部情况一无所知，也无法控制。 系统的内部情况一无所知，也无法控制。
R1 iL1
L1
a iL2 L2 iC
R2
us1
uC
u
us2
duC 1 1 = iL1 − iL2 C C dt R1 diL1 1 1 = − uC − iL1 + uS1 L1 L1 L dt 1 diL2 1 R 1 = uC − 2 iL2 − uS 2 dt L2 L2 L2