江苏省2013届高考数学(苏教版)二轮复习专题11 不等式与推理证明

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题11 不等式与推理证明回顾2009～2012年的考题，解一元二次不等式作为一个重要的代数解题工具，是考查的热点，多与集合、函数、数列相结合考查.另一个C 级知识点基本不等式是必考内容，主要考查用基本不等式求解最值或在代数综合问题中判断多项式的大小关系等.线性规划考查不多，但会出现与其他知识综合的考查.预测在2013年的高考题中：(1)填空题主要考查基本不等式、不等式与集合问题以及以不等式为载体的恒成立问题. (2)在解答题中，恒成立问题依然是命题的重点.1．若不等式(m ＋1)x 2－(m ＋1)x ＋3(m －1)<0对一切实数x 均成立，则m 的取值范围为________．解析：当m ＋1＝0，即m ＝－1时， 不等式变为－6<0恒成立；当m ＋1≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝(m ＋1)2－12(m ＋1)(m －1)<0，解不等式组得m <－1，从而知m ≤－1. 答案：(－∞，－1]2．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________． 解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ， 由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2. 由a m a n ＝4a 1，得2m＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32，当且仅当n ＝2m 时等号成立．答案：323．某车间分批生产某种产品，每批产品的准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时等号成立．答案：804．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.答案：1∶85．已知集合P ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3≥04x ＋3y －6≤0y ≥0，Q ＝{(x ，y )|(x －a )2＋(y －b )2≤r 2，r >0}，若“点M ∈P ”是“点M ∈Q ”的必要条件，则当r 最大时，ab 的值是________．解析：依题意Q ⊆P ，在坐标平面内画出P 中不等式组表示的平面区域，结合图形分析可知，当(x －a )2＋(y －b )2＝r 2恰好是Rt △ABC (其中点A (－1,0)、B ⎝⎛⎭⎫32，0、C ⎝⎛⎭⎫35，65，AB ＝52，BC ＝32，CA ＝2)的内切圆时，r 取得最大值，此时r ＝CA ＋BC －AB 2＝12，⎩⎨⎧b ＝r ＝12，3a －4b ＋35＝12，由此解得a ＝b ＝12，所以ab ＝14.答案：14[典例1]已知不等式ax 2－3x ＋2>0的解集为{x |x <1，或x >b }．(1)求a ，b ；(2)解不等式x －cax －b>0(c 为常数)．[解] (1)由题知1，b 为方程ax 2－3x ＋2＝0的两个根，即⎩⎨⎧b ＝2a，1＋b ＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.(2)不等式等价于(x －c )(x －2)>0，当c >2时，解集为{x |x >c ，或x <2}；当c <2时，解集为{x |x >2，或x <c }；当c ＝2时，解集为{x |x ≠2，x ∈R }．本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系及分式不等式的解法． (1)由二次方程的根可写出相应不等式的解集；由二次不等式的解集，也可写出方程的根，从而可求得方程中的系数．(2)分式不等式一般化为整式不等式求解． [演练1]已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋1x 2，x >0，1x ，x <0，则f (x )>－1的解集为________．解析：依题意，若－2x ＋1x 2>－1，则x >0，且x ≠1；若1x>－1，则x <－1. 综上所述，x ∈(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞) [典例2](1)在直角坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，y ≥0，0≤x ≤t 所表示的平面区域的面积为52，则t 的值为________；(2)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤ 2y给定，若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM ·OA的最大值为________．[解析] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋2，y ≥0，0≤x ≤t 所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x ＝t 解得交点B (t ，t ＋2)，在y ＝x ＋2中，令x ＝0，得y ＝2，即直线y ＝x ＋2与y 轴的交点为C (0,2)．由平面区域的面积S ＝(2＋t ＋2)×t 2＝52，得t 2＋4t －5＝0，解得t ＝1或t ＝－5(不合题意，舍去)．(2)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图所示，目标函数z＝OM ·OA＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)的坐标代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.[答案] (1)1(2)4由平面区域的面积或目标函数的最值求参数时，一般是根据条件建立关于参数的方程求解．[演练2]设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x －y ≥－1，x ≥0，y ≥0，且目标函数z 1＝2x ＋3y 的最大值为a ，目标函数z 2＝3x －2y 的最小值为b ，则a ＋b ＝________.解析：如图，作出可行域，显然当直线z 1＝2x ＋3y 经过点C (1,2)时取得最大值，最大值为a ＝2×1＋3×2＝8，当直线z 2＝3x －2y 经过点B (0,1)时取得最小值，最小值为b ＝0－2×1＝－2，故a ＋b ＝8－2＝6.答案：6 [典例3]已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，则m 的取值范围是________．[解析] 由题易知当x <1时，g (x )<0，故要使对∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0，只需在x ≥1时，f (x )<0恒成立即可．①当m ＝0时，f (x )<0等价于0<0显然不成立，舍去；②当m >0时，f (x )<0等价于(x －2m )(x ＋m ＋3)<0，得－m －3<x <2m ， 对x ≥1不可能恒成立，故舍去；③当m <0时，f (x )<0等价于(x －2m )(x ＋m ＋3)>0，因为x ≥1，－2m >0，所以x －2m >0，于是不等式转化为m >－x －3，又x ≥1时，－x －3≤－4，所以要使m >－x －3在x ≥1时恒成立，只需m >－4，故－4<m <0.综上，－4<m <0. [答案] (－4,0)本题考查含参数的不等式的恒成立问题，以及分类讨论的思想方法．解题的关键是抓住问题的实质对条件等价转化．[演练3]已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为x >0，y >0，所以2y x ＋8xy ≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m <8， 解得－4<m <2. 答案：(－4,2) [典例4](1)已知数列{a n }为等差数列，若a m ＝a ，a n ＝b (n －m ≥1，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝nb －man －m .类比等差数列{a n }的上述结论，对于等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，若b m ＝c ，b n ＝d (n －m ≥2，m ，n ∈N *)，则可以得到b m ＋n ＝________.(2)设f (x )＝1＋x1－x ，又记f 1(x )＝f (x )，f (k ＋1)(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，则f 2 013(x )＝________.[解析] (1)观察等差数列{a n }的性质：a m ＋n ＝nb －man －m ，则联想nb －ma 对应等比数列{b n }中的d ncm ，而{a n }中除以(n －m )对应等比数列中开(n －m )次方，故b m ＋n ＝n －m d nc m.(2)计算f 2(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ＝1＋1＋x 1－x 1－1＋x 1－x＝－1x ，f 3(x )＝f ⎝⎛⎭⎫－1x ＝1－1x 1＋1x＝x －1x ＋1， f 4(x )＝1＋x －1x ＋11－x －1x ＋1＝x ，f 5(x )＝f 1(x )＝1＋x1－x ，归纳得f 4k ＋1(x )＝1＋x1－x ，k ∈N *，从而f 2 013(x )＝1＋x1－x.[答案] (1)n －m d n c m (2)1＋x1－x本题考查归纳推理和类比推理的思想方法，考查考生的观察问题、分析问题的能力． [演练4]某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)写出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)－1＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值． 解：(1)归纳得f (5)＝1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41. (2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1， f (3)－f (2)＝8＝4×2， f (4)－f (3)＝12＝4×3， f (5)－f (4)＝16＝4×4， …由上式规律，可得f (n ＋1)－f (n )＝4n . 因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1) ＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3) ＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4 ＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n. [专题技法归纳]1．解不等式是解决不等关系问题的基本工具，其中对于含有参数的不等式要重点关注分类讨论的依据．2．线性规划作为A 级知识点，不会考查太难，但其思想在非二元一次不等式组的几何意义上也会体现，这一点需要重视．3．理解应用基本不等式求最值时的三个条件“正数”“定值”“等号”，是基本不等式复习的关键．4．归纳推理、类比推理是发现结论的重要方法，综合法、分析法、反证法是推理证明的重要方法．1．设0<a <b ，a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a 2＋b 2中最大的是________．解析：0<a <b ，a ＋b ＝1，得0<a <12，12<b <1，又2ab ≤a 2＋b 2，b －(a 2＋b 2)＝b －b 2－(1－b )2＝(2b －1)(1－b )>0，所以b 最大．答案：b2．已知函数f (x )＝|lg x |.若a ≠b 且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是________． 解析：因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，所以a ＝b (舍去)或b ＝1a ，所以a ＋b ＝a ＋1a ，又0<a <b ，所以0<a <1<b ，又g (a )＝a ＋1a在(0,1)上为减函数，所以g (a )>g (1)＝1＋1＝2，即a＋b 的取值范围是(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)3．已知点O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA OM的取值范围是________．解析：区域为三角形区域，三个顶点坐标分别为(0,2)，(1,1)，(1,2)，OA ·OM＝－x ＋y ∈[0,2]．答案：[0,2]4．若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a＋b,2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，则c 的最大值是________．解析：∵2a ＋b ＝2a ＋2b ≥22a ＋b ，∴2a ＋b ≥4，又∵2a ＋2b ＋2c ＝2a＋b ＋c，∴2a ＋b ＋2c ＝2a ＋b ·2c ，∴2c 2c －1＝2a ＋b≥4，即2c 2c －1≥4，即4－3×2c 2c －1≥0， ∴2c ≤43，∴c ≤log 243＝2－log 23，∴c 的最大值为2－log 23.答案：2－log 235．已知a ，b 为正数，且直线2x －(b －3)y ＋6＝0与直线bx ＋ay －5＝0互相垂直，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：依题意得2b －a (b －3)＝0，即2a ＋3b ＝1，2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ×a b ＝25，当且仅当b a ＝a b， 即a ＝b ＝5时取等号，因此2a ＋3b 的最小值是25. 答案：256．用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”假设内容应是________． 解析：假设结论不成立，即3a ≤ 3b . 答案：3a ≤ 3b7．我们知道，在边长为a 的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值32a ，类比上述结论，在棱长为a 的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为________．解析：类比边长为a 的正三角形内一点到三边的距离之和为正三角形的高，可得棱长为a 的正四面体内一点到四个面的距离之和为四面体的高63a . 答案：63a 8．设集合A ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎭⎬⎫m 2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅， ∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.当m ≠0时，要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2.又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2.当m ＝0时，A ＝{(2,0)}，B ＝{(x ，y )|0≤x ＋y ≤1}， A ∩B ＝∅，故m ∈⎣⎡⎦⎤12，2＋2. 答案：⎣⎡⎦⎤12，2＋29．(2012·苏锡常镇二模)设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则nm的最大值为________．解析：设y ＝2xm ＋(2－x )n －8，整理可得 y ＝(2m －n )x ＋(2n －8)． 当2m －n ≥0时，∵x ∈[－4,2]，∴y min ＝(2m －n )·(－4)＋(2n －8)＝－8m ＋6n －8 当2m －n <0时，∵x ∈[－4,2]， ∴y min ＝(2m －n )·2＋(2n －8)＝4m －8.∵不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立， ∴m ，n 满足⎩⎪⎨⎪⎧－8m ＋6n －8≥0，2m －n ≥0，n ≤6或⎩⎪⎨⎪⎧2m －n <0，4m －8≥0，n ≤6.可行域如图∴当且仅当m ＝2，n ＝6时，⎝⎛⎭⎫n m max ＝3. 答案：310．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有2个，则实数a 的取值范围是________．解析：显然a ≤0时，不等式解集为∅，故a >0.因此不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，易知a ＝4不合题意，所以二次方程(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a ，14<12＋a <12则一定有{1,2}为所求的整数解集，所以2<12－a≤3时，解得实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤94，259. 答案：⎝⎛⎦⎤94，25911．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解：(1)设{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＝pr ，q ＝p ＋r 2.11 ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，∴(p －r )2＝0，即p ＝r ， 这与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．12.如图，已知矩形油画的长为a ，宽为b .在该矩形油画的四边镶金箔，四个角(图中斜线区域)装饰矩形木雕，制成一幅矩形壁画．设壁画的左右两边金箔的宽为x ，上下两边金箔的宽为y ，壁画的总面积为S .(1)用x ，y ，a ，b 表示S ；(2)若S 为定值，为节约金箔用量，应使四个矩形木雕的总面积最大．求四个矩形木雕总面积的最大值及对应的x ，y 的值．解：(1)由题意可得S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ，其中x >0，y >0.(2)依题意，要求四个矩形木雕总面积的最大值即求4xy 的最大值．因为a ，b ，x ，y 均大于0，所以2bx ＋2ay ≥22bx ·2ay ，从而S ≥4abxy ＋4xy ＋ab ，当且仅当bx ＝ay 时等号成立．令t ＝xy ，则t >0，上述不等式可化为4t 2＋4ab ·t ＋ab －S ≤0， 解得－S －ab 2≤t ≤S －ab 2. 因为t >0，所以0＜t ≤S －ab 2， 从而xy ≤ab ＋S －2abS 4. 由⎩⎪⎨⎪⎧bx ＝ay ，S ＝2bx ＋2ay ＋4xy ＋ab ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝abS －ab 2b ，y ＝abS －ab 2a . 所以当x ＝abS －ab 2b ，y ＝abS －ab 2a时，四个矩形木雕的总面积最大，最大值为ab ＋S －2abS .。