5-3b：静定刚架

4) 作FN图 各杆轴力可以用投影方程求解。也根据剪力图， 取各结点为隔离体，用投影方程求轴力。 0 C 1 0 -30 1 1 16 E -1 2 -2 -1 1 14 2 H
1 C D E 1 30 A G FN图（kN）
H
2 K
例3-3 作图示三铰刚架内力图。 D C q
E
A l/2 解： 1) 支座反力 整体平衡： l/2
FSDC 1 = (1× 6 × 3 + 6.23) 40 24.23 = = 3.83kN 40
D
6.23 D
C
40
FSDC 6m
FSCD
∑M
=0
FSCD =
1 ( −1× 6 × 3 + 6.23) 40 −11.77 = = −1.86kN 40
对于EC杆：
∑M
FSCE FSEC
E
=0
C 6.23 FSCE
2) 取AC部分为隔离体，将FSA分解为 F yA及 F xA ′′ 且有：
′′ F xA = 3 F yA
′′ ′′ ′ 3FyA × a + FyA × 2a + q × 2a × a − FyA × 2a = 0
∑M
C
=0
′′ 5aFyA = 1.5qa × 2a − 2qa 2 ′′ FyA = 0.2qa (↓) ′′ FxA = 3FyA = 0.6qa (→) ′ ′′ FyA = FyA − FyA = 1.5qa − 0.2qa = 1.3qa (↑)
M EF = 2 × 2 = 4kN .m(左拉) FSEF = −2kN (←)
FSEF = −30kN (↓)
取右图示EHK部分为隔离体： E
4kN/m MEH 14kN H
∑M
E
=0
1kN 4m
M EH = 1× 4 + 4 × 4 × 2 − 2 × 4 = 36 − 8 = 28kN .m(上拉)
2m
解： ACD为附属部分，其余为基本部分。 1）支座反力 考虑附属部分ACD：
4 kN/m C 8kN 2kN B A D 1kN
∑M
D
= 0 F = 1 (2 × 2 + 4 × 2 × 1) xA
∑F ∑F
x
= 0 FxD = 1kN (→) = 0 FyD = 8kN (↑)
FxA=3kN
第5讲 静定平面刚架
§3-3 静定平面刚架
1、刚架的定义 刚架是由梁柱组成的含有刚结点的杆系 结构。可以分为平面刚架和空间刚架。 结构。可以分为平面刚架和空间刚架。
2、工程中常见的刚架
悬臂式 如雨棚
三铰式 如屋架
框架式 如楼房骨架
3、刚结点特征
刚结点有如下特征： 几何特征——一个简单刚结点相当于三个约 束，能减少体系三个自由度。 变形特征——在刚结点处，各杆端截面有相同的 线位移及角位移，即变性前后夹角保持不变。 静力特征——刚结点能传递弯矩、剪力和轴力。
∑
M
H
= 0
FSEH = (28 + 4 × 4 × 2 − 4) / 4
= 56 / 4 = 14
28kN·m E
4kN/m 4kN·m H
∑
M
E
= 0
FSEH 4m
FSHE
FSHE = (28 − 4 × 4 × 2 − 4) / 4
= −8 / 4 = 2
14 C 1 B 3 A G FS图（kN） 16 F 2 1 K D E 2 H
K 1kN 各柱上端弯矩为：
M CA = 8kN .m(右拉) M EF = 4kN .m(左拉) M HK = 4kN .m(右拉)
4m E 4 28
2kN
24
24 C 8 B 8 D 4
28 4 E F G K 8 H
6 A
M 图（kN·m）
3) 作FS 图 杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本 题剪力很容易用投影方程求得。下面以EH杆为例 说明用力矩方程求剪力的方法。 取右图示EH杆为隔离体：
6、静定平面刚架分类
悬臂刚架——梁为悬臂杆，如火车站之月台结 构； 简支刚架——用三根链杆或一个铰和一根链杆 与基础相连组成的刚架； 三铰刚架——三个刚片(包括基础)用三个铰两 两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚 架的支座存在水平推力。
悬臂刚架
简支刚架
三铰刚架
7、平面刚架的计算方法 求必要的反力； 1）求必要的反力； 计算控制断面的M 2）计算控制断面的M值； 叠加法作M 3）叠加法作M图； 图的校核； 4）M图的校核； 由平衡条件作F 5）由平衡条件作FS、FN图。
A
M图 图
3m
MCB=0 (铰)
4）弯矩图的校核 10 取结点B为隔离体, ΣM=0 ，满足平衡条件
3）叠加法作弯矩图
MBC=40 B MAB=40
注：无集中弯矩作用的两杆结点，两杆端弯矩 大小相等，受拉侧相同
5）作FS、FN图
分别取结点或杆件为隔离体， 由ΣX=0、 ΣY=0可得各杆轴力和剪力
40 FNBC
ql2/16
ql/8
3) 作FS、FN图 很容易作出剪力图和轴力图如下图示。 ql/8 ql/8 ql/8 ql/8 ql/8 FN图 ql/8
3ql/8
FS图
例3-4
作图示三铰刚架内力图。 1kN/m C D E 2m 4.5m A 6m 6m B
D
E
∑M
B
=0
FyA = (1× 6 × 9) /12 = 4.5kN (↑)
40
−6.23 = = −0.985kN 40 = −0.985kN
E FSEC
6m
竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。 剪力图见下页图。
1.86 0.99 D 1.39 3.83 A FS 图 (kN) C E 1.39 B
4) 作FN图 竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。 结点D： FNDC
3） 整体平衡求FxB及FyB
∑F
∑F
x
=0
=0
FxB = FxA = 0.6 qa (← )
FyB = 3qa − FyA = 3qa − 1.3qa = 1.7 qa (↑)
y
§3-4、不求或少求反力画M图 不求或少求反力画M 利用微分关系、叠加原理； 1）利用微分关系、叠加原理； 悬臂段为静力静定部分，可先做其M 2）悬臂段为静力静定部分，可先做其M图； 铰处M=0 M=0； 3）铰处M=0； 结点处弯矩平衡； 4）结点处弯矩平衡； 5）先附属部分，再基本部分； 先附属部分，再基本部分； 通过杆轴线的力不引起弯矩图。 6）通过杆轴线的力不引起弯矩图。
s
α
1.385
D
α
α
4.5
10
3
α 1
∑F
S
=0
FNDC = − (4.5sin α + 1.385 cos α ) = − (4.5 × = −8.655 1 3 + 1.385 × ) 10 10 10 = −2.737 kN (压)
s
结点E：
FNEC
α E
10 α 1 3
1.5 α
α
1.385
例3-1：作图示刚架的内力图
10KN/m 10KN B C FCY=28.3 4m FAX=10 A 3m FAY=1.7
解： 1） 求支反力 ΣX=0 ΣMA=0 ΣY=0 FAX=10 FCY=28.3 FAY=1.7
40 40 B 11.25
C
2）求各控制断面的弯矩
4m
MAB=0 (铰) MBA=40 (内拉) MBC=40 (内拉)
A 0 0 A 1.7
FSBC=1.7， FSCB=-28.3
由结点B平衡可得： NBA=-1.7 由结点 平衡可得： 平衡可得 F
（2）求FN， 取结点为隔离体 ）
FNBC=0
由微分关系可画出F 由微分关系可画出 S、FN图。
10
FS 图
1.7 + 28.3 - 10 4m
FN图
- 1.7
4m
3m
FxA A 6m FyA
B 6m
FyB
由BEC部分平衡：
E
∑M
C
=0
FxB = (1.5 × 6) / 6.5 = 1.385kN (←) FxA = 1.385kN (→)
B
FyB
4.5m 2m FxB
∑F
y
= 0 FyB = 6 − 4.5 = 1.5kN (↑)
C
4.5m 2m FxB
解： 1) 支座反力 考虑整体平衡:
Fx = 0
F xA
3 = q l(← ) 8
FxB
D q 3ql/8 ql/8
C
FyB = ql 8
l/2
A l/2 l/2
B
ql/8 ql/8
2) 作M图 AD杆：
MDA＝ql2/16 (右拉) M中＝ql2/16 (右拉)
ql2/16 D C q 3ql/8 ql2/16 A ql/8 M图 B ql/8 E
12kN·m A A′ α 17kN·m 8kN·m B 8kN·m 8 8 B 5kN·m α A 17 5 A
内力表示： AB杆为例 4、内力表示：以AB杆为例 以MAB、FSAB、FNAB分别表示AB杆A端的 分别表示AB杆 AB 内力； 内力； 分别表示AB AB杆 以MBA、FSBA、FNBA分别表示AB杆B端的 内力。 内力。 5、内力符号及绘图规定 的符号规定同梁， FS、FN 的符号规定同梁，内力图可画在任 一侧，但要标注+ 一侧，但要标注+、- 号； 可不规定+ M 可不规定+、- 号，弯矩图画在受拉侧。