19[1].2.1_矩形判定

猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
命题：对角线相等的平行四边形是矩形。
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。 求证：四边形ABCD是矩形。 A 证明: ∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B ∴ ∠ABC=∠DCB ∵ AB//CD ∴ ∠ABC+∠DCB=180° ∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形
∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=BO=CO=DO 又∵E、F、G、H是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴OE=OF=OG=OG ∴OE+OG=OF+OH ∴EG=FH ∴四边形EFGH是矩形
∵E、F、G、H是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴EH、FG分别是△OEH和 △OFG的中位线 ∴EH=AD,FG=BC ∴四边形ABCD是矩形 ∴EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形
B D C Q N M
4、已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、 BC和AD、CD分别相交于点B、D． （1）猜想AC和BD间的关系是______； （2）试用理由说明你的猜想．
5、在平行四边形ABCD中,对角线AC BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC, 求证:四 边形AFCE是矩形
A O E D
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴AO=BO=CO=DO
又∵E、F、G、H是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴OE=OF=OG=OG
∵OE=OG,OF=OH ∴四边形EFGH是平行四边形 ∵OE+OG=OF+OH
∴EG=FH ∴四边形EFGH是矩形
∵E、F、G、H是AO、BO、 CO、DO的中点 ∴EH、FG分别是△OEH和 △OFG的中位线 ∴EH=AD,FG=BC
B
D
┓
C
1 若BD=3㎝则AC＝
6
㎝
2 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ BD＝ 5 ㎝，∠BDC＝
10
㎝，
120°
矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ABCD ∠A=900 四边形ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
情境一：工人师傅为了检
验两组对边相等的四边形窗 框是否成矩形，一种方法是 量一量这个四边形的两条对 角线长度，如果对角线长相 等，则窗框一定是矩形，你 知道为什么吗？
19.2.1 矩形（2）Fra bibliotek习回顾∟
四边形 两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角 是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
四边形集合 平行四边形集合 矩形集合
A
D
O
边
矩形对边平行且相等；
B
C
角
矩形的四个角都是直角；
矩形的对角线相等且互相平分；
对角线
直角三角形的性质定理：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
∵AD//EH ∴∠1=∠2 同理可得：∠3=∠4 又∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90° ∴∠1+∠3=90° ∴∠2+∠4=90° ∴∠FEH=90°
∴四边形EFGH是矩形
例4： 如果平行四边形四个内角的平分线能够围成一个四边形，那 么这个四边形是矩形．
已知：如图， ABCD的四个内角的平 分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形 EFGH为矩形． 证明：∵AB∥CD ∴∠ABC＋∠BCD=180° ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD
∴∠GBC+∠GCB=90°
∴∠BGC=90° 同理可证∠AFB=∠AED=90°
∴ ∠BGC= ∠ GFE= ∠ GHE=90°
∴四边形EFGH是矩形．
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
试一试
D
O
C
A
B
2 若已知∠CAB=40°，则∠OCB= 50° ∠OBA= 40° ∠AOB= 100° ∠AOD= 80°
㎝
3 若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ 28 矩形的面积＝
48
㎝2
4
若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= 12
㎝
试一试
A
已知△ABC是Rt△，∠ABC=Rt∠， BD是斜边AC上的中线
D
C
∴四边形ABCD是矩形
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 AC=BD
A O D
∴四边形ABCD是矩形
B
C
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
矩形的判定方法： 有三个角是直角的四边形是矩形 。
A D
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B
C
你能归纳矩形的几种判定方法吗？
方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例1：如图，M为平行四边形ABCD 边AD的中点，且MB=MC，
求证：四边形ABCD是矩形。
A
M
D
B
C
例3：已知，如图．矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分 别是AO、BO、CO、DO的中点， 求证：四边形EFGH是矩形．
方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 方法3：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C） A 对角线相等 B 对角线垂直 C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等 2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线 长是 5 cm 3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、 CB、CD、AD分别是∠ EAC、 ∠ MCA、 ∠ ACN、 ∠ CAF的角平分线，则四边形ABCD是（ C ） P A 菱形 B 平行四边形 A E F C 矩形 D 不能确定
B
F
C
例2：已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、 BC、CD、AD的中点。 求证：四边形EFGH是矩形