第3章 一阶动态电路分析22

R1
S (t=0)
i2( t )
+ iC( t ) uC(t) _ R2 图 6-1(a) 例题 1 电路
1
第六章 一阶动态电路分析
复习 电容元件和电感元件 6.1 换路定律及初始值的确定 6.2 零 6.3 零 6.4 全 输 状 响 入 响 应 态 应 响 应
6.5 求解一阶电路三要素法
2
学 习 目 标
复习动态元件L、C的特性，并能熟练应用于 电路分析。 深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响 应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算 方法 。 弄懂动态电路方程的建立及解法。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的 三要素分析法。

6.1
换路定律及初始值的确定
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6.1.1 换路定律
通常，我们把电路中开关的接通、断开或 电路参数的突然变化等统称为“换路”。
我们研究的是换路后电路中电压或电流的变化规 律，知道了电压、电流的初始值，就能掌握换路后 电压、电流是从多大的初始值开始变化的。
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换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
1 2 wC (t ) Cu (t ) 2
由上式可知：电容在某一时刻 t 的储能仅取决 于此时刻的电压，而与电流无关，且储能≥0。
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电容在充电时吸收的能量全部转换为
电场能量，放电时又将储存的电场能量释
放回电路，它本身不消耗能量，也不会释
放出多于它吸收的能量，所以称电容为储
能元件。
13
3.1.2 电感元件 电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感 元件是它的理想化模型。
设：t=0 时换路
0
--- 换路前瞬间
0
则：


--- 换路后瞬间

uC (0 ) uC (0 )
i L ( 0 ) i L (0 )


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注意:只有uc
、 il受换路定律的约 束而保持不变，电路中其他电压、 电流都可能发生跃变。
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突 变的原因解释如下：
35
36
解(1)分析：
电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流的初始值，应 先求uC(0+)和iL(0+)。 通过换路前稳定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。 在直流稳态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即 电容C相当于开路。同理 iL也不再变化，diL/dt=0，故uL=0， 即电感L相当于短路。

3
4
5
3.1
电容元件和电感元件
3.1.1 电容元件 电容器是一种能储存电荷的器件,电容元件是 电容器的理想化模型。
6
当电容上电压与电荷为关联参考方向时，电 荷q与u关系为：q(t)=Cu(t) C是电容的电容量，亦即特性曲线的斜率。 当u、i为关联方向时,据电流强度定义有： i=C du/dt 非关联时： i= -C du/dt
iC(0+)=2-2-1=-1A uL(0+)=10-3×2-4=0
例2: 电路如图3-4 (a)所示，开关S闭合前电路无储能， 开关S在 t=0时闭合，试求 i1 、i2 、i3、 uc、uL的初始 值。
41
42
图 3-4 例 2 图
解（1）由题意知：
uC (0 ) 0 i3 (0 ) iL (0 ) 0
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+ _U
uC
C
u
K 闭合后，列回路电压方程：
duc 则 dt
duC U iR uC RC uC 不可能！ dt duC 所以电容电压 (i C ) 不能突变 dt
i
一般电路
33
6.1.2
初 始 值 的确 定
换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 uC(0+)和 iL(0+)来表示。
（2）由换路定理得
uC (0 ) uC (0 ) 0 iL (0 ) iL (0 ) 0
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因此，在t=0+ 电路中，电容应该用短路线代替，电感以开 路代之。得到 t=0+ 电路，如图3-4 (b)所示。 （3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析方法求得
9 i1 (0 ) i2 (0 ) 0.3 10 20 i3(0+)=0
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所以t=0-时刻的等效电路如图所示，
由图可知：
2 u c (0 ) 10 4V 3 2 10 i L (0 ) 2A 3 2
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（2）由换路定理得
uc (0 ) uc (0 ) 4V iL (0 ) iL (0 ) 2 A
39
10
对上式从∞到 t 进行积分，即得t 时刻电容上 的储能为：
wC (t ) p( )d

t
u (t )
u ( )
Cu( )du( )
1 2 1 2 Cu (t ) Cu () 2 2
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式中 u(-∞) 表示电容未充电时刻的电压 值，应有u(-∞) =0。于是，电容在时刻 t 的储能可简化为：
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换路：电路结构或参数变化引起的电路 变化统称为“换路”。 两个特殊时刻 t 0 , t 0 换路前的最终时刻记为 t 0 换路后的最初时刻记为 t 0 换路经历的时间 过渡过程的时间

0 ~0 0 ~t
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27
要研究过渡过程现象要从两个方面入手 换路现象从多少初值开始？ 换路期间相关物理量变化的规律如何？
Байду номын сангаас
在t=0+ 瞬间，电容元件相当于一个4V的电压源，电感 元件相当于一个2A的电流源。 据此画出t=0+ 时刻的等效电路，如图 (C) 所示。
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（3）在t=0+ 电路中，应用直流电阻电路的分析 方法，可求出电路中其他电流、电压的初始 值，即
4 i1 (0 ) 2 A 2 4 i 2 (0 ) 1A 4
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见演示：1，2
一阶动态电阻电容电路 一阶动态电阻电感电路

21
预备概念
动态元件:电容元件和电感元件这两种元 件的电压和电流的约束关系是通过导数 或积分表达的所以称为动态元件. 一阶电阻电容(电容)电路:含一个电感或 一个电容加上一些电阻元件和独立电源 组成的线性一阶电路.

22

一阶动态电路：一个动态元件的线性一 阶电路。含一个电感或一个电容加上一 些电阻元件和独立电源组成的线性一阶 电路，可以将连接到电容或电感的线性 电阻单口网络用戴维宁－诺顿等效电路 来代替，从而可以变换成RC电路或者 RL电路。
利用换路前瞬间 t=0-电路确定uC(0-)和iL(0- )。 再由换路定律得到 uC(0+)和 iL(0+)的值。
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电路中其他变量如 iR、uR、uL、iC 的初始值不遵循换路定 律的规律，它们的初始值需由t=0+电路来求得。
t=0+电路做法：
开关位置为换路后的位置，（用开路或短路线代替） 画出t=0+电路，在该电路中若uC (0+)= uC (0-)=US，
uL(0+)=20×i2(0+)=20×0.3=6V
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通过以上例题，可以归纳出求初始值的一 般步骤如下：
(1) 根据t=0- 时的等效电路，求出uC(0-) 及iL(0-)。 (2) 作出t=0+ 时的等效电路，并在图上标出各待 求量。 (3) 由t=0+ 等效电路，求出各待求量的初始值。
例题1 已知： S 12V，R1 U
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过渡过程：在输入的作用下，系统输出 变量由初始状态到最终稳态的中间变化 过程。过渡过程又称暂态，过渡过程结 束后的输出响应称为稳态。 系统输出响应由暂态响应和稳态响应组 成。

24

过渡过程（电路课程概念）：当电路的结构 或元件的参数发生变化时，可能使电路改变 原来的工作状态转变到另一个工作状态，这 种转变往往需要经历一个过程，这个过程称 为过渡过程。

i +q + C u -q -
q
0
u
图3-1 电容的符号、线性非时 变电容的特性曲线
电容的伏安特性还可写成：
7
1 0 1 t u( t ) i ( )d i ( )d C C 0
1 t u (0) i ( )d C 0
式中，u(0)是在 t=0 时刻电容已积累的电 压，称为初始电压；而后一项是在 t=0 以后电 容上形成的电压，它体现了在0~t的时间内电流 对电压的贡献。
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由此可知：在某一时刻 t，电容电压u不仅 与该时刻的电流 i有关，而且与t以前电流
的全部历史状况有关。因此，我们说电容
是一种记忆元件，有“记忆”电流的作用。
9
当电容电压和电流为关联方向时，电 容吸收的瞬时功率为：
du(t ) p(t ) u (t )i (t ) Cu(t ) dt
瞬时功率可正可负，当 p(t)>0时，说明电 容是在吸收能量，处于充电状态；当 p(t) <0 时，说明电容是在供出能量，处于放电状态。
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4k ， 2 2k R
i2( t )
求：uc(0+)、ic(0+)、 i1(0+)、 i2(0+)
i1( t ) + US _ R1 S (t=0) + uc _ 图 6-1(a) 例题 1 电路 iC( t ) C uC(t) R2
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步骤一：换路前t 0 ，求独立状态变量