福建省2013届高考压轴卷 数学理试题
2013年高考理科综合压轴卷(附答案福建省)
2013年高考理科综合压轴卷（附答案福建省）福建省2013届高考压轴卷理科综合试题（2013.05.24）相对原子质量： H 1 C 6 N 7 O 16 Cu 64 Fe 56 S 32第I卷（选择题共108分）本卷共18小题，每小题6份，共108分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选择符合题目要求。
1．下列有关造血干细胞中物质运输的途径，不可能存在的是 A．吸收的氨基酸：细胞膜→细胞质基质→核糖体 B．转录的mRNA：细胞核→细胞质基质→高尔基体 C．合成的细胞膜蛋白：核糖体→内质网→高尔基体→细胞膜 D．合成的DNA聚合酶：核糖体→细胞质基质→细胞核2．下图表示内环境稳态的调节机制。
据图分析，下列说法正确的是A．内环境主要包括血浆、淋巴和组织液，内环境是机体代谢的主要场所 B．图中③、⑤、⑧可以代表的物质依次是神经递质、淋巴因子和激素 C．⑧可表示垂体产生的抗利尿激素，当细胞外液渗透压升高时，⑧分泌量增加。
D．若⑥表示某抗原入侵，则不能识别该抗原的细胞有浆细胞、效应T细胞等。
3．下列实验操作能够达到预期结果的是 A．在“用过氧化氢酶探究pH对酶活性的影响”实验中，过氧化氢分解速率最快的实验组的pH 就是过氧化氢酶的最适pH值。
B．在“探究细胞大小与物质运输的关系”实验中，计算紫红色区域的体积与整个琼脂块的体积之比，能反应NaOH进入琼脂块的速率。
C．在“探究酵母菌细胞呼吸方式”实验中，用澄清的石灰水，可准确判断酵母菌细胞呼吸方式。
D．在“观察根尖分生组织细胞的有丝分裂”实验中，统计每一时期细胞数占计数细胞总数的比例，能比较细胞周期各时期的时间长短。
4．大龄父亲容易产生患阿帕特综合征的小孩。
引起阿帕特综合征的突变基因多存在于精子中，从而影响体内Z受体蛋白的结构。
下列关于该病的说法错误的是 A．该病是一种遗传病 B．患病基因多在有丝分裂时产生 C．患者Z受体蛋白的氨基酸序列或空间结构与正常人不同 D．Z受体蛋白基因突变的概率与年龄有一定的关系5．图甲为叶绿体结构与功能示意图，图乙表示一株小麦叶片细胞内C3相对含量在一天24小时内的变化，下列相关叙述正确的是 A.ATP的合成和水解均可发生在叶绿体内 B.图甲结构固定的能量是输入生物圈的总能量 C.由图乙可知，C3相对含量越高，光合作用速率越快D.图乙中DE段曲线下降与图甲中的A物质密切相关而与B物质无关6．下列说法正确的是 A．已知PM2.5是指大气中直径≤2.5×10－6m 的颗粒物，则PM为2.5的大气一定能产生丁达尔现象 B．为提高农作物的产量和质量，应大量使用化肥和农药 C．是制造氢弹的原料，它们是同一种核素 D．太阳能电池可采用硅材料制作，其应用有利于环保、节能 7．下列说法正确是 A．糖类、油脂、蛋白质完全燃烧只生成CO2和H2O B．丁烷（C4H10）和二氯甲烷都存在同分异构体 C．向溴水中加入苯，振荡静置后观察下层几乎无色 D．汽油、柴油、植物油都是碳氢化合物 8．下列说法正确的是 A．中和等体积、等物质的量浓度盐酸和醋酸溶液，盐酸所需NaOH溶液多于醋酸 B．常温下，20 LpH=12的Na2CO3溶液中含有的OH－离子数为0.2NAC．向0.1 mol/LCH3COOH溶液中加入少量CH3COONa固体，溶液中增大 D．一定温度下，10mL 0.50mol•L-1 NH4Cl溶液与20mL 0.25mol•L-1 NH4C1溶液含NH4+物质的量相同 9．下列实验中，能够达到实验目的的是 10．下图表示物质通过一步反应的转化关系，下列说法正确的是 A．X可能是Si单质 B．X可能是含S元素的化合物 C．酸性氧化物可能为CO2 D．还原性盐可能为FeCl3 11．下列说法正确的是A．含4molHCl的浓盐酸与足量MnO2充分反应，转移2NA个电子B．500℃、30MPa下，将0.2mol N2和0.6molH2置于密闭的容器中充分反应生成NH3(g)，放热7.72kJ，其热化学方程式为： N2(g) + 3H2(g) 2NH3(g) △H=－38.6kJ•mol－1 C．对于可逆反应N2(g)+3H2(g) 2NH3(g)，△H�O；升高温度，可使反应速率增大，反应逆向移动。
2013年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析
2013年福建省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求的.1．（5分）（2013•福建）已知复数z的共轭复数（i为虚数单位），则z在复平面内，3．（5分）（2013•福建）双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）B由对称性可取双曲线的顶点（，渐近线的顶点（，渐近线d=4．（5分）（2013•福建）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）5．（5分）（2013•福建）满足a，b∈{﹣1，0，1，2}，且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解6．（5分）（2013•福建）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10，则该算法的功能是（）7．（5分）（2013•福建）在四边形ABCD中，=（1，2），=（﹣4，2），则该四边形的B中，，的对角线互相垂直，又该四边形的面积：8．（5分）（2013•福建）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以9．（5分）（2013•福建）已知等比数列{a n}的公比为q，记b n=a m（n﹣1）+1+a m（n﹣1）+2+…+a m（n*①=①，当时，，，此时，∴==，10．（5分）（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f （x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.11．（4分）（2013•福建）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为．＞=故答案为：．12．（4分）（2013•福建）已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12π．2r=r=13．（4分）（2013•福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为．BAD=AB=3．故答案为：14．（4分）（2013•福建）椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于．可知斜率为可得进而与斜率有关系，，则，解得故答案为15．（4分）（2013•福建）当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1+x+x2+…+x n+…=两边同时积分得：dx+xdx+x2dx+…+x n dx+…=dx从而得到如下等式：1×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1+…=ln2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：×+×（）2+×（）3+…+×（）n+1=．=故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（13分）（2013•福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x≤3的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？，小红中奖的概率为，且两人抽奖中奖与否互不影响，先，）由题意知，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，∴=的概率为．））×=×=，，17．（13分）（2013•福建）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值．，）由，18．（13分）（2013•福建）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OB i，过A i作x轴的垂线与OB i，交于点．（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．）由题意，求出过且与的方程为．联立方程）证明：由题意，过且与的方程为，解得，即都在同一条抛物线上，抛物线消去，解得的方程为19．（13分）（2013•福建）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）、、的方向为，的一个法向量为=，取．∴==20．（14分）（2013•福建）已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式（2）是否存在x0∈（），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．=（，）时，＜＜在（，）在（，）内单调递增，而（，=2）×+=个单位长度后得到函数）的图象，，）时，，＜，）内是否有解．（，（））在（，）内单调递增，）﹣（＞）在（，）内存在唯一零点，，，或，，（，），本题设有（21）、（22）、（23）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21．（7分）（2013•福建）选修4﹣2：矩阵与变换已知直线l：ax+y=1在矩阵对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1（I）求实数a，b的值（II）若点P（x0，y0）在直线l上，且，求点P的坐标．得，则有=，，又点，解得得22．（7分）（2013•福建）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系．A上，得，＜23．（2013•福建）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．且。
2013年高考理科数学福建卷-答案
【提示】由对称性可取双曲线2241x y -＝的顶点()2,0±，渐近线12y x =±，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离．【考点】双曲线的简单几何性质 4.【答案】B【解析】由频率分布直方图40~60分的频率为0.0050.01510)0.(2+⨯=，故估计不少于60分的学生人数为60010().2480⨯-=．【提示】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率⨯总数可求出所求． 【考点】频率分布直方图 5.【答案】B【解析】0a =时，方程变为20x b +=，则b 为1-，0，1，2都有解；0a ≠时，若方程220ax x b +=+有实数解，则2240ab =-∆≥，即1ab ≤．当1a =-时，b 可取1-，0，1，2．当1a =时，b 可取1-，0，1． 当2a =时，b 可取1-，0，故满足条件的有序对(),a b 的个数为443213+++=．【提示】由于关于x 的方程220ax x b +=+有实数根，所以分两种情况：（Ⅰ）当0a =时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0，由此即可求出a 的取值范围；（Ⅱ）当0a ≠时，方程为20x b +=，此时一定有解．【考点】实系数一元二次方程 6.【答案】A【解析】当10k =时，执行程序框图如下：01S i ==，； 12S i ==，； 123S i =+=，；21224S i =++=，；…28122210S i =++⋯++=，；29122211S i =++⋯++=，【提示】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解法二：（Ⅰ）由已知得，小明中奖的概率为3，小红中奖的概率为5，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分3X ≤”的事件为A ，则事件A 包含有“0X =”，“2X =”，“3X =”三个两两互斥的事件，因为221()113550P X ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，222()13255P X ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭=，222()135135P X ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭=，所以011()()(23)()15P A P X P X P X =====++， 即这2人的累计得分3X ≤的概率为1115． （Ⅱ）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分1X ，都选择方案乙所获得的累计得分为2X ，则1X ，X 的分布列如下：所以102()49993E X ⨯+⨯+⨯==，29124120362525255()E X ⨯⨯⨯==＋＋ 因为12()()E X E X >，【提示】（Ⅰ）把2a =代入原函数解析式中，求出函数在1x =时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；（Ⅱ）求出函数的导函数，由导函数可知，当0a ≤时，()0f x '>，函数在定义域(0,)+∞上单调递增，函数无极值，当0a >时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的【提示】（Ⅰ）由题意，求出过,1()9i A i i *∈≤≤N 且与x 轴垂直的直线方程为x i =，i B 的坐标为(10,)i ，即可得到直线i OB 的方程为10i y x =．联立方程10x ii y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，即可得到i P 满足的方程；（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为10y kx =+，与抛物线的方程联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式4OCM OCN S S =△△，可得124|||x x =．即124x x =-．联立即可得到k ，进而得到直线方程．【考点】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系 19.【答案】（Ⅰ）取CD 的中点E ，连结BE ．∵AB DE ∥，3AB DE k ==，∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE AD ∥且4BE AD k ==．在BCE △中，∵4BE k =35CE k BC k ==，，∴222BE CE BC +=，∴90BEC ∠=︒，即BE CD ⊥， 又∵BE AD ∥，∴CD AD ⊥．∵1AA ABCD 平面⊥，CD ABCD ⊂平面，∴1AA CD ⊥．又1AA AD A =I ，∴11CD ADD A ⊥平面（Ⅱ）以D 为原点，DA u u u r ，DC u u u r ，1DD u u u ur 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，解得1k=，故所求k的值为1．【提示】（Ⅰ）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE CD⊥，即CD AD⊥，又侧棱1AA ABCD⊥底面，可得1AA DC⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明．（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（Ⅲ）由题意可与左右平面1111ADD A BCC B，，上或下面1111ABCD A B C D，拼接得到方案，新四棱柱共有4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出()f k．当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向-∞， 当πx <且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞， 当πx >且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞， 当2πx <且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞．故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =(0,π)内无交点，在(π,2π)内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,π)内有2个交点，在(π,2π)内有2个交点．由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)πn 内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)πn 内恰有2013个交点； 又11a a ==-或时，直线y a =与曲线()y h x =在()(0,ππ),2πU 内有3个交点， 由周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=综上，当11342a n ==，或11342a n =-=，时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)πn 内恰有2013个零点． 解法二：（Ⅰ）、（Ⅱ）同解法一．（Ⅲ）依题意，2()sin cos22sin sin 1F x a x x x a x =+=-++现研究函数()F x 在(0,2π]上的零点的情况．设sin t x =，2()2111()p t t at t =-++-≤≤，则函数()p t 的图象是开口向下的抛物线，又(0)10p =>，(1)1p a -=-，(1)1p a =-当1a >时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-(另一个零点21t >，舍去)，()F x 在(0,2π]上有两个零点12x x ，，且12(π),2πx x ∈，；当1a <-时，函数()p t 有一个零点11(0),t ∈(另一个零点21t <-，舍去)，()F x 在(0,2π]上有两个零点12x x ，，且12)0,π(x x ∈，；当11a -<<时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-，另一个零点21()0,t ∈，()F x 在(0,π)和(0,2π]分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当1a ≠±时，函数()F x 在(0,)πn 内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当1a =时，函数()p t 有一个零点1)0(1,t ∈-，另一个零点21t =； 当1a =-时，函数()p t 有一个零点11t =-，另一个零点t 2∈(0，1)，从而当1a =或1a =-时，函数()F x 在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，20133671=⨯，所以依题意得67121342n =⨯=综上，当11342a n ==，或11342a n =-=，时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)πn 内恰有2013个零点． 【提示】（Ⅰ）依题意，可求得2ω=，π2ϕ=，利用三角函数的图象变换可求得()sin g x x =； （Ⅱ）依题意，ππ,64x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 2x <10cos sin cos2sin cos22x x x x x <<⇒>＞，问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解．通过()0G x '>，可知()G x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，而π06G ⎛⎫< ⎪⎝⎭，π04G ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而可得答案；。
2013年福建省高考理科数学试卷及答案(word解析版)-推荐下载
【答案】D
【解析】根据题意可知，令 f (x) x 1，则 A 选项正确；
令
f
(x)
5 2
x
5 2
8 (x 1)
(1
x
3)
，则
B
B． A {x | 1 x 3}, B {x | x 8或0 x 10}
D． A Z , B Q
…．．第九循环： S 29 1, i 10, i 10 ．第十循环： S 210 1, i 11, i 10 ，输出 S．
根据选项， S 1(1 210 ) ，故为数列 2n1 的前 10 项和．故答案 A． 1 2
7．在四边形 ABCD 中， AC (1, 2) ， BD (4, 2) ，则四边形的面积为（ ）
12 (2)2 5
2
5
．
4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为 6 组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80),
[80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该
模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为（ ）
A． 5
【答案】C
B． 2 5
C．5
D．10
B．计算数列2n1的前 9 项和
D．计算数列2n 1的前 9 项和
【解析】由题意，容易得到 AC BD ．设对角线交于 O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和
即 S= 1 ( AO * DO AO * BO CO * DO CO * BO) 1 ( AC * BD ) ．容易算出 AC 5, BD 2 5 ，
福建省高考压轴卷 数理试题 Word含答案[ 高考]
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KS5U2013福建省高考压轴卷 数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120钟. 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =,其中S 为底面面积，h 为高.第Ⅰ卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.2B.C. D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( )A. (1)(2)(f f f -<<B. ((1)(2)f f f <-<C. (2)((1)f f f <<-D. (1)((2)f f f -<<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B. 14或23C. 23D. 23或347．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为( )A. 192B. 11C. 12D. 168．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r =+≤，若B A ⊂，则实数r 可以取的一个值是( )A. 1B. C. 2D. 12+9．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( ) A. 4B. 5C. 6D. 710．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A. 74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)．12．无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5, 的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推.记该数列为{}n a ，若120n a -=，21n a =，则n = ．13．若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ． 14．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若22212a b c +=.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为 ． 15．若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．16．设2()6cos 2().f x x x x R =∈.(Ⅰ)求()f x 的最大值及最小正周期；(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,锐角A 满足()3f A =-12B π=，求ac的值. 17．已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(,0,x y ≥且6)x y +=，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别). 若甲箱从中任取2个球， 从乙箱中任取1个球.(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时,x y 的值； (Ⅱ)当2x =时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望()E ξ.18．已知数列{}n a 满足1111,14n na a a +==-,其中n ∈N *. (Ⅰ)设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)设41nnacn=+，数列{}2n nc c+的前n项和为nT,是否存在正整数m,使得11nm mTc c+<对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.19．已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为12，右焦点到直线1:3l x+40y=的距离为3 5 .(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km=+≠与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线1l上，求△OAB的面积S的最大值.(其中O为坐标原点).20．已知函数()ln ,f x x =若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下界函数”. （I ） 如果函数()ln (ag x x a x=-为实数)为()f x 的一个“下界函数”，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数1()(), 2.x mF x f x m e ex=-+> 试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.21． (1)[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,求矩阵A 的特征值.(2)[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆C 经过点()4Pπ，,圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.（3）[选修45-:不等式选讲]：已知函数()2f x x a x =++-(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集; (2)若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围.KS5U2013福建省高考压轴卷 数学理试题答案1.B 【解析】由题意，得：22(1)2211(1)(1)i z i i i i i i -=+=+=-++-，复数z的模z == 2.C 【解析】由题意，1122:42304//:240l x y a l l l x y +-=⎧=⇒⇒⎨+-=⎩，即充分。
2013年高考理科数学福建卷word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013福建，理1)已知复数z 的共轭复数z ＝1＋2i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2013福建，理2)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A B ”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2013福建，理3)双曲线24x －y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )．A ．25B ．45 C． D．4．(2013福建，理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )．A ．588B ．480C ．450D ．1205．(2013福建，理5)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )．A ．14B ．13C ．12D ．106．(2013福建，理6)阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )．A ．计算数列{2n －1}的前10项和B ．计算数列{2n －1}的前9项和C ．计算数列{2n －1}的前10项和D ．计算数列{2n －1}的前9项和 7．(2013福建，理7)在四边形ABCD 中，AC ＝(1,2)，BD ＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )．A．．5 D ．108．(2013福建，理8)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )．A ．∀x ∈R ，f(x)≤f(x0)B ．－x0是f(－x)的极小值点C ．－x0是－f(x)的极小值点D ．－x0是－f(－x)的极小值点 9．(2013福建，理9)已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m (n －1)＋1＋a m (n －1)＋2＋…＋a m (n －1)＋m ，c n ＝a m (n －1)＋1·a m (n－1)＋2·…·a m (n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )．A ．数列{bn}为等差数列，公差为qmB ．数列{bn}为等比数列，公比为q2mC ．数列{cn}为等比数列，公比为qm2D ．数列{cn}为等比数列，公比为qmm10．(2013福建，理10)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f (x )满足：(1)T ＝{f (x )|x ∈S }；(2)对任意x 1，x 2∈S ，当x 1＜x 2时，恒有f (x 1)＜f (x 2)，那么称这两个集合“保序同构”．以2下集合对不是“保序同构”的是( )．A ．A ＝N*，B ＝NB ．A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0＜x≤10}C ．A ＝{x|0＜x ＜1}，B ＝RD ．A ＝Z ，B ＝Q第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013福建，理11)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＞0”发生的概率为________．12．(2013福建，理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．13．(2013福建，理13)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC＝，AB＝AD ＝3，则BD 的长为________．14．(2013福建，理14)椭圆Γ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2C ．若直线yx ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．15．(2013福建，理15)当x ∈R ，|x|＜1时，有如下表达式： 1＋x ＋x 2＋…＋x n＋…＝11x-. 两边同时积分得：11111222222011d d d d d 1nx x x x x x x x x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰， 从而得到如下等式：23111111111ln 22223212n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：2310121111111C C C C 2223212n n nn n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯++⨯= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013福建，理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X ，求X ≤3的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17．(2013福建，理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．2013 福建理科数学第3页18．(2013福建，理18)(本小题满分13分)如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9.连结OB i，过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．419．(2013福建，理19)(本小题满分13分)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB ∥DC，AA1＝1，AB＝3k，AD＝4k，BC＝5k，DC＝6k(k＞0)．(1)求证：CD⊥平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为67，求k的值；(3)现将与四棱柱ABCD－A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱．规定：若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k)，写出f(k)的解析式．(直接写出答案，不必说明理由)．20．(2013福建，理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的周期为π，图象的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图象．(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；(2)是否存在x0∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2 013个零点．2013 福建理科数学第5页621．(2013福建，理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．(1)(本小题满分7分)选修4—2：矩阵与变换 已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵 1 20 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. ①求实数a ，b 的值；②若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点P 的坐标． (2)(本小题满分7分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为π4⎫⎪⎭，，直线l 的极坐标方程为ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a ，且点A 在直线l 上． ①求a 的值及直线l 的直角坐标方程； ②圆C 的参数方程为1cos ,sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．(3)(本小题满分7分)选修4—5：不等式选讲 设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ． ①求a 的值；②求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：D解析：由z＝1＋2i，得z＝1－2i，故复数z对应的点(1，－2)在第四象限．2．答案：A解析：若a＝3，则A＝{1,3}⊆B，故a＝3是A⊆B的充分条件；而若A⊆B，则a不一定为3，当a＝2时，也有A⊆B．故a＝3不是A⊆B的必要条件．故选A．3．答案：C解析：双曲线24x－y2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x=±，即x－2y＝0和x＋2y＝0.故其顶点到渐近线的距离d===.4．答案：B解析：由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．答案：B解析：a＝0时，方程变为2x＋b＝0，则b为－1,0,1,2都有解；a≠0时，若方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，则Δ＝22－4ab≥0，即ab≤1.当a＝－1时，b可取－1,0,1,2.当a＝1时，b可取－1,0,1.当a＝2时，b 可取－1，0，故满足条件的有序对(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.6．答案：A解析：当k＝10时，执行程序框图如下：S＝0，i＝1；S＝1，i＝2；S＝1＋2，i＝3；S＝1＋2＋22，i＝4；……S＝1＋2＋22＋…＋28，i＝10；S＝1＋2＋22＋…＋29，i＝11.7．解析：∵AC·BD＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC⊥BD.又|AC|＝，|BD|＝=S四边形ABCD＝12|AC||BD|＝5.8．答案：D解析：选项A，由极大值的定义知错误；对于选项B，函数f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点，故不正确；对于C选项，函数f(x)与－f(x)图象关于x轴对称，x0应是－f(x)的极小值点，故不正确；而对于选项D，函数f(x)与－f(－x)的图象关于原点成中心对称，故正确．9．答案：C解析：∵{a n}是等比数列，∴1mn mm n maa+(-)+＝q mn＋m－m(n－1)－m＝q m，∴1nncc+＝1211121··mn mn mn mm n m n m n ma a aa a a+++(-)+(-)+(-)+⋅⋅⋅⋅＝(q m)m＝qm2.10．答案：D解析：由题意(1)可知，S为函数y＝f(x)的定义域，T为函数y＝f(x)的值域．由(2)可知，函数y＝f(x)在定义域内单调递增，对于A，可构造函数y＝x－1，x∈N*，y∈N，满足条件；2013 福建理科数学第7页对于B，构造函数8,1,51,13,2xyx x-=-⎧⎪=⎨(+)-<≤⎪⎩满足条件；对于C，构造函数ππtan22y x⎛⎫=-⎪⎝⎭，x∈(0,1)，满足条件；对于D，无法构造函数其定义域为Z，值域为Q且递增的函数，故选D．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．11．答案：2 3解析：由3a－1＞0得13a>，由几何概型知112313P-==.12．答案：12π解析：由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径2r==，所以r=S球＝4πr2＝4π×3＝12π. 13．解析：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝π2.∵sin∠BAC＝3，∴πsin23BAD⎛⎫∠+=⎪⎝⎭，∴cos∠BAD＝3.由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝2＋32－2×3＝3.∴BD14．1解析：由直线yx＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|．又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴1)c＝2a，即1e==.15．答案：113112nn+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦解析：由0122C C C C n nn n n nx x x++++…＝(1＋x)n，两边同时积分得：1111012222220000C1d C d C d C dn nn n n nx x x x x x x++++⎰⎰⎰⎰12(1)d nx x=+⎰，2310121111111C C C C2223212nnn n n nn+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭8＝111121111131|11112112n nnxn n n n+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A的对立事件为“X＝5”，因为P(X＝5)＝2243515⨯=，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1115，即这2人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．由已知可得，X1～B22,3⎛⎫⎪⎝⎭，X2～B22,5⎛⎫⎪⎝⎭，所以E(X1)＝24233⨯=，E(X2)＝24255⨯=，从而E(2X1)＝2E(X1)＝83，E(3X2)＝3E(X2)＝125.因为E(2X1)＞E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，因为P(X＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P(X＝2)＝2221355⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭，P(X＝3)＝22213515⎛⎫-⨯=⎪⎝⎭，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝11 15，即这2人的累计得分X≤3的概率为11 15.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：所以E(X1)＝0×19＋2×49＋4×49＝3，E(X2)＝0×25＋3×25＋6×425＝125.因为E(X1)＞E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．17．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.2013 福建理科数学第9页10(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x ＞0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x a x-，x ＞0知： ①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值；②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝A ．又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．18．解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10. 由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N . 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨⋅=-⎩①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2＜0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.解法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10i x . 由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得P i 的坐标为2,10i i ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)同解法一． 19．解：(1)取CD 的中点E ，连结BE .2013 福建理科数学 第11页∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0，6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈1AA ，n〉|＝11||||AA AA ⋅⋅n n 67=， 解得k ＝1，故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案．f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩20．解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，φ∈(0，π)， 故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x . 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x ＜2，0＜cos 2x ＜12， 所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内是否有解．12设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．因为x ∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增． 又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π>042G ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0， 即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意． (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0.当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解，所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin x a x =-，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π)∪(π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况． 令()cos2sin x h x x=-，x ∈(0，π)∪(π，2π)， 则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =. 当x当x ＞0且x 当x ＜π且x 趋近于π时，h (x )趋向于－∞，当x ＞π且x 趋近于π时，h (x )趋向于＋∞，当x ＜2π且x 趋近于2π时，h (x )趋向于＋∞.故当a ＞1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a ＜－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a ＜1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．由函数h (x )的周期性，可知当a ≠±1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内恰有2 013个交点；又当a ＝1或a ＝－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)∪(π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1.现研究函数F (x )在(0,2π]上的零点的情况．设t ＝sin x ，p (t )＝－2t 2＋at ＋1(－1≤t ≤1)，则函数p (t )的图象是开口向下的抛物线，又p (0)＝1＞0，p (－1)＝－a －1，p (1)＝a －1.当a ＞1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)(另一个零点t 2＞1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(π，2π)；当a ＜－1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(0,1)(另一个零点t 2＜－1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点2013 福建理科数学 第13页 x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1＜a ＜1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2∈(0,1)，F (x )在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．由正弦函数的周期性，可知当a ≠±1时，函数F (x )在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当a ＝1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．21．解：①设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)． 由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩ ②由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．(2)选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①由点A π4⎫⎪⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a上，可得a =所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d＝2＜1， 所以直线l 与圆C 相交．(3)选修4—5：不等式选讲本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．解：①因为32∈A ，且12∉A ，所以32<2a -，且122a -≥， 解得12＜a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. ②因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.。
2013年福建省高考(理科)数学试卷及答案(Word解析版)
2013年福建省高考数学试卷及解析（理工农医类）一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位）、则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+、则12z i =-、对应点的坐标为(1,2)-、故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=、或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45 CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±、渐近线为2204x y -=、即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生、将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计、得到如图所示的频率分布直方图、已知高一年级共有学生600名、据此估计、该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和、由图知道(0.030.0250.0150.01)*P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-、且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解、分析讨论①当0a =时、很显然为垂直于x 轴的直线方程、有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时、需要440ab ∆=-≥、即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意、分别为（1,2）、（2,1）、（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对、故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图、若输入的10k =、则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和C ．计算数列{}21n -的前10项和D ．计算数列{}21n-的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==、10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>、输出S ．根据选项、101(12)12S -=-、故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中、(1,2)AC =、(4,2)BD =-、则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意、容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点、则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==、则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R 、00(0)x x ≠是()f x 的极大值点、以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤、错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点、并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像、故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像、故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象、再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q 、记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列、公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列、公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列、公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列、公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列、2221212211212............m m m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C10．设S 、T 、是R 的两个非空子集、如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时、恒有12()()f x f x <、那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A NB N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或C ．{|01},A x x B R =<<=D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知、令()1f x x =-、则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩、则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-、则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a 、则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体、如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示、且图中的四边形是边长为2的正方形、则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知、图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体、24122R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中、已知点D 在BC 边上、AD ⊥AC、sin 33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F 、焦距为2c 、若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠、则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c +⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或、且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c FM c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴== 15．当,1x R x ∈<时、有如下表达式:211.......1nx x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法、计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n n n n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题 16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动、举办方设置了甲．乙两种抽奖方案、方案甲的中奖率为23、中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25、中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会、每次抽奖中将与否互不影响、晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖、小红选择方案乙抽奖、记他们的累计得分为,X Y 、求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖、问：他们选择何种方案抽奖、累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识、考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识、考查必然和或然思想、满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23、小红中奖的概率为25、两人中奖与否互不影响、记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A 、则A 事件的对立事件为“5=X ”、224(5)3515==⨯=P X 、11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X 、都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X 、则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X 、选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B 、22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X 、224()255=⨯=E X118(2)2()3∴==E X E X 、2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时、累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时、求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识、考查运算求解能力、考查函数与方程思想．分类与整合思想、数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞、()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时、()2ln =-f x x x 、2()1(0)'=->f x x x、 (1)1,(1)1'∴==-f f 、()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x 、即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时、()0'>f x 、函数()f x 为(0,)+∞上的增函数、函数()f x 无极值； ②当0>a 时、由()0'=f x 、解得=x a ；(0,)∈x a 时、()0'<f x 、(,)∈+∞x a 时、()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值、且极小值为()ln =-f a a a a 、无极大值．综上：当0≤a 时、函数()f x 无极值当0>a 时、函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a 、无极大值．18．（本小题满分13分）如图、在正方形OABC 中、O 为坐标原点、点A 的坐标为(10,0)、点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分、分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B 、连结i OB 、过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤． （1）求证：点*(,19)iP i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上、并求该抛物线E 的方程； （2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N 、若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1、求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识、考查运算求解能力．推理论证能力、考查化归与转化思想、数形结合思想．函数与方程思想．满分13分．解：（Ⅰ）依题意、过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i 、∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y 、由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x 、即210=x y 、 ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上、且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在、设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k 、直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y 、则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x 、∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y、解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x 、即32200-+=x y 或3+2200-=x y 19．（本小题满分13分）如图、在四棱柱1111ABCD A B C D -中、侧棱1AA ABCD ⊥底面、//AB DC 、11AA =、3AB k =、4AD k =、5BC k =、6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67、求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱、规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同、则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中、记其中最小的表面积为()f k 、写出()f k 的表达式（直接写出答案、不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识、考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力、考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想、满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E 、连接BE//AB DE Q 、3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形//BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中、4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥、又//BE AD Q 、所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD 、CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥、又1AA AD A =I 、CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点、1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k 、(0,6,0)C k 、1(4,3,1)B k k 、1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r 、1(0,3,1)AB k =u u u r 、1(0,0,1)AA =u u u r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =、则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =、得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ、则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==、解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π、图像的一个对称中心为(,0)4π、将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）、在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈、使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在、请确定0x 的个数； 若不存在、说明理由．（3）求实数a 与正整数n 、使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识、考查运算求解能力．抽象概括能力、考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想．化归与转化思想、满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π、0ω>、得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π、(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=、得2πϕ=、所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象、再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时、1sin 2x <<、10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-、(,)64x ππ∈则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈、所以()0G x '>、()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<、()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断、故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x 、 即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意、()sin cos 2F x a x x =+、令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =、即()x k k Z π=∈时、cos 21x =、从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解、所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-、()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-、(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=、令()0h x '=、得2x π=或32x π= 当x 变化时、()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时、()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时、()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时、()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时、()h x 趋向于+∞故当1a >时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点、在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点、在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点、在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性、可知当1a ≠±时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点、从而不存在正整数n 、使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时、直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点、由周期性、20133671=⨯、所以67121342n =⨯=综上、当1a =±、1342n =时、函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上、且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识、考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭、得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上、所以1x by ''+=、即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩、解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线l 上、所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中、以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π、直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=、且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩、（α为参数）、试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力、考查化归与转化思想、满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上、可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)、半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<、所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A 、且32A ∈、12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识、考查运算求解能力、考查化归与转化思想、满分7分． 解：（Ⅰ）因为32A ∈、且12A ∉、所以322a -<、且122a -≥解得1322a <≤、又因为*a N ∈、所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤、即12x -≤≤时取得等号、所以()f x 的最小值为3。
2013年高考数学真题(理)-福建
2013年高考数学真题（理）-福建（2013 福建 理 1）已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D 。
（2013 福建 理 2）已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3，因此是充分不必要条件。
（2013 福建 理 3）双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A.25 B.45C.D.【答案】C【解析】2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=。
带入点到直线距离公式d ==。
（2013 福建 理 4）某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图。
已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A.588B.480C.450D.120 【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=，故分数在60以上的人数为600×0.8=480人。
（2013 福建 理 5）满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A.14B.13C.12D.10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论：①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对。
13年高考真题——理科数学(福建卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建）卷数学（理科）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2．已知集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊆”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）（A ）25 （B ）45 （C ） （D ） 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）（A ）588 （B ）480 （C ）450 （D ）1205．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(),a b 的个数为（ ）（A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）106．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ） （A ）计算数列{}12n -的前10项和（B ）计算数列{}12n -的前9项和 （C ）计算数列{}21n -的前10项和 （D ）计算数列{}21n-的前9项和7．在四边形ABCD 中，()1,2AC = ，()4,2BD =-，则四边形的面积为（ ）（A （B ） （C ）5 （D ）108．设函数()f x 的定义域为R ，()000x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ） （A ）()()0,x R f x f x ∀∈≤ （B ）0x -是()f x -的极小值点（C ）0x -是()f x -的极小值点 （D ）0x -是()f x --的极小值点 9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记()()()11121n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++ ，()()()()11121,n m n m n m n m c a a a m n N +-+-+-+=⋅⋅⋅∈ 。
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（A） 2 5
（B） 4 5
4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生， 将他们的模块测试成绩分为 6 组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图 所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生 600 名，据此估计，该模块测试成绩不少于 60 分的学生 人数为（ ） （A）588 （B）480 （C）450 （D）120
二．填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，把答案写在答题卡相应位置上） 11．利用计算机产生 0~1 之间的均匀随机数 a ，则时间“
3a 1 0 ”发生的概率为_____。
12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正 视图、侧试图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为 2 的正 方形，则该球的表面积是___________。
1 2
16．（本小题满分 13 分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，
2
方案甲的中奖率为 ，中将可以获得 2 分；方案乙的中奖率为 ，中将可以得 3 分；未中奖
3
则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑
换奖品。⑴若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X ，求
ABCD A1B1C1D1 中，侧棱 AA1 底面ABCD ，
AB / / DC ， AA1 1 ， AB 3k ， AD 4k ，
BC 5k ， DC 6k k 0。⑴求证: CD 平面
ADD1A1 ；⑵若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值 为 6 7 ，求 k 的值；⑶现将与四棱柱 ABCD A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼
福建省2013届高考压轴卷 数学理试题
2013福建省高考压轴卷 数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120钟. 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =,其中S 为底面面积，h 为高.第Ⅰ卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.2B.C. D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( )A. (1)(2)(f f f -<<B. ((1)(2)f f f <-<C. (2)((1)f f f <<-D. (1)((2)f f f -<<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 76．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B. 14或23C. 23D. 23或347．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 168．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r =+≤，若B A ⊂，则实数r 可以取的一个值是( )A.1B. C. 2D. 12+9．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 710．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A. 74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C.74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)． 12．无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5, 的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推.记该数列为{}n a ，若120n a -=，21n a =，则n = ． 13．若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ． 14．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若22212a b c +=.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为 ．15．若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 16．设2()6cos 2().f x x x x R =∈.(Ⅰ)求()f x 的最大值及最小正周期；(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,锐角A满足()3f A =-12B π=，求a c的值.17．已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(,0,x y ≥且6)x y +=，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别). 若甲箱从中任取2个球， 从乙箱中任取1个球. (Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时,x y 的值； (Ⅱ)当2x =时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望()E ξ.18．已知数列{}n a 满足1111,14n na a a +==-,其中n ∈N *. (Ⅰ)设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)设41n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ,是否存在正整数m ,使得11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点到直线1:3l x + 40y =的距离为35.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 中点恰好在直线1l 上，求△OAB 的面积S 的最大值.(其中O 为坐标原点).20．已知函数()ln ,f x x =若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下界函数”.（I ） 如果函数()ln (ag x x a x=-为实数)为()f x 的一个“下界函数”，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数1()(), 2.x mF x f x m e ex=-+> 试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.21． (错误！未指定书签。
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2013年福建高考理科数学压轴题
2013年福建高考理科数学压轴题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x iiy x 得：2110=y x ，即210=x y ， ∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N 设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k 直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y 19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-u u u r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由10AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x = （Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos2sin cos2x x x x >>问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解 设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换 已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy y '=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y =又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分． 解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
2013届全国各地高考押题数学(理科)精选试题分类汇编11：概率
2013届全国各地高考押题数学（理科）精选试题分类汇编11：概率一、选择题1 ．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）如图,设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域,E 是D 内位于函数1(0)y x x =>图象下方的区域 (阴影部分),从D 内随机取一个点M ,则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．ln 22 B ．1ln 22- C ．1ln 22+ D ．2ln 22- 【答案】C 【解析】:将1y x =与2y =图象交点记为A ,则1(,2)2A ,∴阴影部分E 的面积1121121ln 22S dx x=+⨯=+⎰,而D 的面积为122⨯=,∴所求概率1ln 22P +=.故选 C ．2 ．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）投掷一枚正方体骰子(六个面上分别标有1,2,3,4,5,6),向上的面上的数字记为a ,又()n A 表示集合的元素个数,{}2||3|1,A x x ax x R =++=∈,则()4n A =的概率为 （ ）A ．31B ．21 c.32 D ．61 【答案】A 【解析】由()4n A =知,函数2|3|yx ax =++和1y =的图像有四个交点,所以23y x ax =++的最小值21214a -<-,解得4(4)a a ><-舍去,所以a 的取值是5,6.又因为a 的取值可能是6种,故概率是2163=,故选 （ ）A ．3 ．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆. 在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 （ ）A ．21π-B ．112π-C ．2πD ．1π【答案】答案:A考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.解析:令1=OA ,扇形OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为1S ,围成OC 为2S ,作对称轴OD ,则过C 点.2S 即为以OA 为直径的半圆面积减去三角形OAC 的面积,82212121212122-=⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππS .在扇形OAD 中21S 为扇形面积减去三角形OAC 面积和22S ,()1622811812221-=--=ππS S ,4221-=+πS S ,扇形OAB 面积π41=S ,4 ．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ,若(2)0.023P ξ>=,则(22)P ξ-=≤≤ （ ）A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】C 【解析】由随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ可知正态密度曲线关于y 轴对称,而(2)0.023P ξ>=,则(2)0.023P ξ<-=,故(22)1(2)(2)0.954P P p ξξξ-=->-<-=≤≤,故选C5 ．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）已知(){}1,1,≤≤=Ωy x y x ,A 是曲线2x y =与21xy =围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P,则点P 落入区域A 的概率为 （ ）A ．31 B ．41 C ．81 D ．121 【答案】D 区域A面积为)31231200211|333x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ 11/4312P ==第8题图二、填空题6 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ,且(4)0.8P ξ<=,则(02)P ξ<<等于_____________.【答案】0.3【解析】(4)0.8P ξ<=,则2.0)4(=>ξP ,又分布图像关于直线2=x 对称,2.0)4()0(=>=<ξξP P ,则6.0)40(=<<ξP ,3.0)20(=<<ξP7 ．（2013届江苏省高考压轴卷数学试题）从集合{-1,1,2,3}中随机选取一个数记为m,从集合{-1,1,2}中随机选取一个数记为n,则方程22x y m n+=1表示双曲线的概率为________.【答案】5128 ．（2013届上海市高考压轴卷数学（理）试题）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数,则两组中各数之和相等的概率是_______________.【答案】463【解析】将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组,使得每组至少有一个数则有123456777777722126C C C C C C +++++=-=种,因为123456728++++++=,所以要使两组中各数之和相,则有各组数字之和为14.则有7615432++=+++;7526431++=+++;7436521++=+++;7421653+++=++;5432761+++=++;6431752+++=++;6521743+++=++;6537421++=+++共8种,所以两组中各数之和相等的概率是8412663=9 ．（2013届北京市高考压轴卷理科数学）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤， 表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点,则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是________【答案】925【解析】不等式对应的区域为三角形DEF,当点D 在线段BC 上时,点D 到直线+2=0y 的距离等于2,所以要使点D 到直线的距离大于2,则点D 应在三角形BCF 中.各点的坐标为(20)(40)(62)(42)(43)B C D E F ----，，，，，，，，，,所以105DE EF ==，，6BC =，3CF =,根据几何概型可知所求概率为163921251052BCFDEFS P S ∆∆⨯⨯===⨯⨯.三、解答题10．（2013届山东省高考压轴卷理科数学）(2013日照二模)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路 ”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路 人进行了问卷调查,得到了如下列联表:男性 女性 合计反感 10不反感 8 合计 30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是158. (Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关?(Ⅱ)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望. 【答案】由已知数据得:2230(10866) 1.158 3.84116141614χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关 (Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2.282144(0),13C C P X === 116821448(1),91C C C P X ===2621415(2),91C C P X ===所以X X 的数学期望为:012.1391917EX =⨯+⨯+⨯=11．（2013届天津市高考压轴卷理科数学）袋中有8个大小相同的小球,其中1个黑球,3个白球,4个红球.(I)若从袋中一次摸出2个小球,求恰为异色球的概率;(II)若从袋中一次摸出3个小球,且3个球中,黑球与白球的个数都没有超过红球的个数,记此时红球的个数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ.【答案】解: (Ⅰ)摸出的2个小球为异色球的种数为11C 11173419C C C +=从8个球中摸出2个小球的种数为2828C = 故所求概率为1928P =5 分 (Ⅱ)符合条件的摸法包括以下三种: 一种是有1个红球,1个黑球,1个白球,共有11C 114312C C =种一种是有2个红球,1个其它颜色球,共有214424C C =种,一种是所摸得的3小球均为红球,共有344C =种不同摸法,故符合条件的不同摸法共有40种由题意知,随机变量ξ的取值为1,2,3.其分布列为:3319123105105E ξ=⨯+⨯+⨯= 北京市高考压轴卷理科数学）本小题共14分 12．（2013届加2012年全省高中篮球比赛,某中学决定从四为了参个篮球较强的班级中选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛,队员来源人数如下表:(II)该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军.若要求选出两位队员代表冠军队发言,设其中来自高三(7)班的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望ξE .【答案】解:(I)“从这18名队员中随机选出两名,两人来自于同一班级”记作事件A ,则2222423321213()66C C C C P A C +++== 6' (II)ξ的所有可能取值为0,1,2 7'则02112048484822212121214163(0),(1),(2)333333C C C CC C P P P C C C ξξξ========= ∴ξ的分布列为:10'∴1416320123333333E ξ=⨯+⨯+⨯= 14' 13．（2013届江西省高考压轴卷数学理试题）现有4个人去参加春节联欢活动,该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢,掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢,掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢. (I)求这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率;(II)求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率;(III)用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数,记X Yξ=-,求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ.【答案】解:依题意,这4个人中,每个人去参加甲项目联欢的概率为13,去参加乙项目联欢的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲项目联欢”为事件i A ,(0,1,2,3,4)i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(Ⅰ)这4个人中恰好有2人去参加甲项目联欢的概率22224128()()()3327P A C ==(Ⅱ)设“这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B ,34B A A =⋃, 故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=. ∴这4人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19(III)ξ的所有可能取值为0,2,4.28(0)()27P P A ξ===,1340(2)()(),81P P A P A ξ==+=0417(4)()(),81P P A P A ξ==+= 所以ξ的分布列是14881E ξ=14．（2013届海南省高考压轴卷理科数学）中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q (简称血酒含量,单位是毫克/100毫升),当20≤Q ≤80时,为酒后驾车;当Q >80时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门于2012年1月的某天晚上8点至11点在市区昌隆饭店设点进行一次拦查行动,共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者,如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中Q ≥140的人数计入120≤Q <140人数之内).(1)求此次拦查中醉酒驾车的人数;(2)从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究,再从抽取的8人中任取3人,求3人中含有醉酒驾车人数X 的分布列和数学期望. 【答案】解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15, 所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人.(Ⅱ) 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人;所以x 的所有可能取值为0,1,2;P(x =0)=3836C C =145,P(X=1)=381226C C C =2815,P(x =2)=382216C C C =283X 的分布列为432832281511450)(=⨯+⨯+⨯=X E . 15．（2013届湖北省高考压轴卷 数学（理）试题）我省某示范性高中为推进新课程改革,满足不同层次学生的要求,决定从高一年级开始,在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科目的辅导讲座(规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座).统计数据表明,各学科讲座各天的满座概率如下表:(1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; 各辅导讲座满座的科目数为ξ,(2)设周三量ξ的分布列和数学期望.求随机变【答案】(1)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ,则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=.(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.4121(0)(1)(1)2348P ξ==-⋅-=; 1344112121(1)(1)(1)(1)223238P C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅=;22213441121127(2)()(1)(1)()(1)22322324P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=; 33222441121121(3)()(1)(1)()(1)2232233P C C ξ==⋅⋅-⋅-+⋅⋅-⋅=;.4334121123(4)()(1)()(1)2322316P C ξ==⋅-+⋅⋅-⋅=;4121(5)()2324P ξ==⋅=. 所以,随机变量ξ的分布列如下:故117131801234548824316243E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 16．（2013届广东省高考压轴卷数学理试题）生产A,B 两种元件,其质量按测试指标划分为:指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:(Ⅰ)试分别估计元件A,元件B 为正品的概率;(Ⅱ)生产一件元件A,若是正品可盈利40元,若是次品则亏损5元;生产一件元件B,若是正品可盈利50元,若是次品则亏损10元 .在(Ⅰ)的前提下,(ⅰ)记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润,求随机变量X 的分布列和数学期望;(ⅱ)求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率.【答案】【答案】(Ⅰ)解:元件A 为正品的概率约为4032841005++=元件B 为正品的概率约为4029631004++=(Ⅱ)解:(ⅰ)随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-433(90)545P X ==⨯=; 133(45)5420P X ==⨯=; 411(30)545P X ==⨯=; 111(15)5420P X =-=⨯=所以,随机变量X 的分布列为:3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=(ⅱ)设生产的5件元件B 中正品有n 件,则次品有5n -件.依题意,得 5010(5)140n n --≥, 解得 196n ≥.所以 4n =,或5n =设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ,则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=17．（2013新课标高考压轴卷（一）理科数学）某校从6名学生会干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者.(Ⅰ)所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. (Ⅱ)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率【答案】解:(I)ξ得可能取值为 0,1,2;由题意P(ξ=0)=343615C C =, P(ξ=1)=21423635C C C =, P(ξ=2)=12423615C C C = ∴ξ的分布列、期望分别为:E ξ=0×15+1×35+2 ×15=1 (II)设在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的事件为C男生甲被选中的种数为2510C =,男生甲被选中,女生乙也被选中的 种数为144C =∴P(C)=142542105C C ==在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为2518．（2013届辽宁省高考压轴卷数学理试题）袋中有大小相同的10个编号为1、2、3的球,1号球有1个,2号球有m 个,3号球有n 个.从袋中依次摸出2个球,已知在第一次摸出3号球的前提下,再摸出一个2号球的概率是13. (Ⅰ)求m 、n 的值;(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,记得到小球的编号数之和为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.【答案】解:(1)记“第一次摸出3号球”为事件A ,“第二次摸出2号球”为事件B ,则31110)/(=-=m A B P , 解得6,3==n m ;(2)随机变量ξ的取值为6,5,4,3,ξ的分布列为所以,数学期望5=ξE 19．（2013届新课标高考压轴卷（二）理科数学）某校中学生篮球队假期集训,集训前共有6个篮球,其中3个是新球(即没有用过的球),3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练,都从中任意取出2个球,用完后放回. (Ⅰ)设第一次训练时取到的新球个数为ξ,求ξ的分布列和数学期望; (Ⅱ)求第二次训练时恰好取到一个新球的概率.【答案】解:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2.设“第一次训练时取到i 个新球(即i =ξ)”为事件i A (=i 0,1,2).因为集训前共有6个篮球,其中3个是新球,3个是旧球,所以51)0()(26230====C C P A P ξ, 53)1()(2613131====C C C P A P ξ,51)2()(26232====C C P A P ξ.所以ξ的分布列为(注:不列表,不扣分)ξ3 4 5 6P151 51 52 31ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE .(2)设“从6个球中任意取出2个球,恰好取到一个新球”为事件B . 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++. 而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥,所以,)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++. 由条件概率公式,得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）, 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）, 151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）.所以,第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P . 20．（2013届重庆省高考压轴卷数学理试题）(本小题满分13分,其中(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问9分)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获9000元的赔偿(假设每辆车最多只赔偿一次),设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为19,110,111,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中: (Ⅰ)获赔的概率;(Ⅱ)获赔金额ξ的分布列与期望.【答案】解:设k A 表示第k 辆车在一年内发生此种事故,123k=，，.由题意知1A ,2A ,3A 独立, 且11()9P A =,21()10P A =,31()11P A =. (Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为123123891031()1()()()19101111P A A A P A P A P A -=-=-⨯⨯=.(Ⅱ)ξ的所有可能值为0,9000,18000,27000.12312389108(0)()()()()9101111P P A A A P A P A P A ξ====⨯⨯=,123123123(9000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++19108110891910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 2421199045==, 123123123(18000)()()()P P A A A P A A A P A A A ξ==++ 123123123()()()()()()()()()P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++1110191811910119101191011=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 273990110==, 123123(27000)()()()()P P A A A P A P A P A ξ===111191011990=⨯⨯=. 综上知,ξ的分布列为求ξ的期望有两种解法: 解法一:由ξ的分布列得811310900018000270001145110990E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯299002718.1811=≈(元). 解法二:设k ξ表示第k 辆车一年内的获赔金额,123k =，，, 则1ξ有分布列故11900010009E ξ=⨯=. 同理得21900090010E ξ=⨯=,319000818.1811E ξ=⨯≈.综上有1231000900818.182718.18E E E E ξξξξ=++≈++=(元).21．（2013届全国大纲版高考压轴卷数学理试题）(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:若掷出1点或2点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球.现在前后一共掷了4次骰子,设x 、y 分别表示甲、乙盒子中球的个数. (Ⅰ)求13y x ≤-≤的概率;【答案】解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为12,.33(Ⅰ)若13,y x ≤-≤则只能有1,3,x y ==即在4次掷骰子中,有1次在甲盒中放球,有3次在乙盒中放球,因此所求概率3141232.3381P C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭(Ⅱ)由于,x y ξ=-所以ξ的可能取值有0,2,4()222412240,3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33134********,333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()44444111743381P C C ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以随机变量ξ的分布列为:故随机变量ξ的数学期望为244017148024.81818181E ξ=⨯+⨯+⨯= 22．（2013届浙江省高考压轴卷数学理试题）如图,已知面积为1的正三角形ABC 三边的中点分别为D 、E 、F,从A,B,C,D,E,F 六个点中任取三个不同的点,所构成的三角形的面积为X(三点共线时,规定X=0)(1)求1()2P X ≥;(2)求E(X)CB【答案】【解析】解:⑴从六点中任取三个不同的点共有36C 20=个基本事件,事件“12X ≥”所含基本事件有2317⨯+=,从而17()220P X =≥. ⑵X 的分布列为:X 014 12 P3201020620120则311016113()01204202202040E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 答:17()220P X =≥,13()40E X =. 23．（2013届湖南省高考压轴卷数学（理）试题）( 本小题满分12分)某次体能测试中,规定每名运动员一开始就要参加且最多参加四次测试.一旦测试通过,就不再参加余下的测试,否则一直参加完四次测试为止.已知运动员甲的每次通过率为7.0(假定每次通过率相同). (1) 求运动员甲最多参加两次测试的概率;(2) 求运动员甲参加测试的次数 的分布列及数学期望(精确到0.1).【答案】⑴因为运动员甲参加一次测试的概率是0.7运动员甲参加两次测试的概率是0.7×0.3=0.21所以运动员甲最多参加两次测试的概率是0.21+0.7=0.91 ⑵ξ的可能取值是1,2,3,4 P(ξ=1)=0.7;P(ξ=2)=0.21; P(ξ=3)=0.063; P(ξ=4)=0.027;24．（2013届陕西省高考压轴卷数学（理）试题）选聘高校毕业生到村任职,是党中央作出的一项重大决策,这对培养社会主义新农村建设带头人,引导高校毕业生面向基层就业创业具有重大意义.为响应国家号召,某大学决定从符合条件的6名(其中男生4名,女生2名)报名大学生中选择3人到某村参加村主任应聘考核.(1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望; (2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.【答案】【解析】(Ⅰ):ξ的所有可能取值为0,1,2.依题意得:3436C 1(0)C 5P ξ===,214236C C 3(1)C 5P ξ===,124236C C 1(2)C 5P ξ===. ∴ξ的分布列为∴ 10121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. (Ⅱ):设“男生甲被选中”为事件A ,“女生乙被选中”为事件B ,则()2536C 1C 2P A ==, ()1436C 1C 5P AB ==,∴()()()25P AB P B A P A ==.故在男生甲被选中的情况下,女生乙也被选中的概率为25. 25．（2013届福建省高考压轴卷数学理试题）已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(,0,x y ≥且6)x y +=,乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取2个球, 从乙箱中任取1个球.(Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ,求当P 取得最大值时,x y 的值; (Ⅱ)当2x =时,求取出的3个球中红球个数ξ的期望()E ξ.【答案】【解析】(I)由题意知203)2(60160.211=+≤=⋅=γx xy Cx C C P L r , 当且仅当y x =时等号成立,所以,当P 取得最大值时3==y x .(II)当2=x 时,即甲箱中有2个红球与4个白球,所以ξ的所有可能取值为3,2,1,0则51)0(14261124===C C C C P ξ,157)1(14261224121412=+==C C C C C C C P ξ,103)2(14261214121222=+==C C C C C C C p ξ, 301)3(142612===C C C P ξ,所以红球个数ξ的分布列为于是67=ξE . 26．（2013届安徽省高考压轴卷数学理试题）,获得如下数据:试销结束后(假设商品的日销售量的分布规律不变),在试销期间,每天开始营业时商品有5件,当天营业结束后,进行盘点存货,若发现存量小于3件,则当天进货补充到5件,否则不进货. (1)求超市进货的概率(2)记ξ为第二天开始营业时该商品的件数,求ξ的分布列和数学期望.【答案】【解析】(1)10642()(3)(4)(5)3030303P P P P =++=++=进货销售件销售件销售件 (2)ξ的取值是345.，， 61317(3)(4)(5)305301010P P P ξξξ========，，，即分布列是: 所以数学期望是345 4.551010E ξ=⨯+⨯+⨯=。
2013年福建高考理科数学试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学（理工农医类）一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于 （ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【测量目标】复平面【考查方式】给出复数z 的共轭复数，判断z 在复平面内所在的象限. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由12i z =+，得z ＝1－2i ，故复数z 对应的点(1，－2)在第四象限．2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出元素与集合间的关系两个命题，判断两个命题之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】若a ＝3，则A ＝{1,3}⊆B ，故a ＝3是A ⊆B 的充分条件；(步骤1)而若A ⊆B ，则a 不一定为3，当a ＝2时，也有A ⊆B ．故a ＝3不是A ⊆B 的必要条件．故选A ．（步骤2）3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．25 B ．45C D 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】给出双曲线的方程，判断顶点到其渐近线的距离. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】双曲线24x －y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线方程为12y x =±，（步骤1）即x －2y ＝0和x ＋2y ＝0.故其顶点到渐近线的距离d ===（步骤2）4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70),[70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为 （ ） A ．588 B ．480 C ．450 D ．120第4题图【测量目标】频率分布直方图.【考查方式】给出频率分布直方图，判断一定范围内的样本容量. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由频率分布直方图知40～60分的频率为(0.005＋0.015)×10＝0.2，故估计不少于60分的学生人数为600×(1－0.2)＝480.5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．10 【测量目标】实系数一元二次方程.【考查方式】给出含参量系数的一元二次方程，判断方程有序数对的个数. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】a ＝0时，方程变为2x ＋b ＝0，则b 为－1,0,1,2都有解；（步骤1）a ≠0时，若方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解，则Δ＝22－4ab …0，即ab … 1.（步骤2）当a ＝－1时，b 可取－1,0,1,2.当a ＝1时，b 可取－1,0,1.当a ＝2时，b 可取－1，0，故满足条件的有序对(a ，b )的个数为4＋4＋3＋2＝13.（步骤3）6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是 （ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和第6题图【测量目标】循环结构程序框图，等比数列的通项.【考查方式】给出程序框图的输入值，判断给出的程序框图的功能. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】当k ＝10时，执行程序框图如下： S ＝0，i ＝1； S ＝1，i ＝2； S ＝1＋2，i ＝3； S ＝1＋2＋22，i ＝4； …S ＝1＋2＋22＋…＋28，i ＝10； S ＝1＋2＋22＋…＋29，i ＝11.7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则四边形的面积为 （ ）A B ． C ．5 D ．10 【测量目标】向量的数量积运算.【考查方式】给出四边形两条边的向量坐标，判断四边形的面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】∵AC BD ＝1×(－4)＋2×2＝0，∴AC ⊥BD.（步骤1）又|AC ||BD |==S 四边形ABCD ＝12|AC||BD |＝5.（步骤2）8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是 （ ）A ．0,()()x f x f x ∀∈R …B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】给出函数()f x 的极值点0x 0(0)x ≠，判断()f x -及()f x --的极值点.【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】选项A ，由极大值的定义知错误；（步骤1）对于选项B ，函数f (x )与f (－x )的图象关于y 轴对称，－x 0应是f (－x )的极大值点，故不正确；（步骤2） 对于C 选项，函数f (x )与－f (x )图象关于x 轴对称，x 0应是－f (x )的极小值点，故不正确；（步骤3） 而对于选项D ，函数f (x )与－f (－x )的图象关于原点成中心对称，故正确．（步骤4）9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n -+-+-+=∈*N 则以下结论一定正确的是 （ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m qD ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【测量目标】等差、等比数列的性质，通项与求和.【考查方式】给出由等比数列{}n a 的m 项组成的数列 {}n b ，{}n c ，判断它们的性质 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】∵{a n }是等比数列，∴1mn m m n ma a +(-)+=(1)mn m m n m m q q +---=，（步骤1）∴1n n c c +＝1211121mn mn mn m m n m n m n ma a a a a a +++(-)+(-)+(-)+ ……＝(q m )m＝2m q .（步骤2）10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(i){()|};(ii)T f x x S =∈ 对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．,AB ==*N N B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-==-<或剟?C ．{|01},A x x B =<<=RD ．,A B ==Z Q【测量目标】函数的图象与性质.【考查方式】定义集合间的一种新关系，判断给出的集合是否符合. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】由题意(1)可知，S 为函数y ＝f (x )的定义域，T 为函数y ＝f (x )的值域．由(2)可知，函数y ＝f (x )在定义域内单调递增，对于A ，可构造函数y ＝x －1，x ∈N *，y ∈N ，满足条件；（步骤1）对于B ，构造函数8,1,51,13,2x y x x -=-⎧⎪=⎨(+)-<⎪⎩…满足条件；（步骤2）对于C ，构造函数ππtan 22y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈(0,1)，满足条件；（步骤3）对于D ，无法构造函数其定义域为Z ，值域为Q 且递增的函数，故选D ．（步骤4）二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【测量目标】几何概型.【考查方式】利用几何概型求解事件概率. 【难易程度】容易 【参考答案】23【试题解析】由3a －1＞0得13a >，由几何概型知112313P -==.12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．侧视图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________第12题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积【考查方式】给出一个几何体的三视图，判断此几何体图形并求球的表面积. 【难易程度】容易 【参考答案】12π【试题解析】由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体，球的直径2r ==，所以r =S 球＝4πr 2＝4π×3＝12π.13．如图ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________第13题图【测量目标】诱导公式，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形的边角函数值，利用解三角形求线段长. 【难易程度】中等【试题解析】∵AD ⊥AC ，∴∠DAC ＝π2.（步骤1）∵sin ∠BAC ＝3，∴πsin 23BAD ⎛⎫∠+= ⎪⎝⎭，∴cos ∠BAD ＝3.（步骤2）由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB AD cos ∠BAD ＝2＋32－2×3×3＝3.∴BD （步骤3）14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________【测量目标】直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的交点与椭圆两焦点形成的角的关系，及椭圆的焦距，判断椭圆离心率.【难易程度】中等1【试题解析】由直线yx＋c)知其倾斜角为60°，由题意知∠MF1F2＝60°，则∠MF2F1＝30°，∠F1MF2＝90°.故|MF1|＝c，|MF2|．（步骤1）又|MF1|＋|MF2|＝2a，∴1)c＝2a，即1e==.（步骤2）15．当,1x x∈<R时，有如下表达式:211.......1nx x xx+++++=-两边同时积分得：111112222220000011.......1ndx xdx x dx x dx dxx+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln2.2223212nn+⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：0122311111111C C()C()+C()2223212n nn n n nn+⨯+⨯+⨯+⨯+…【测量目标】微积分基本定理求定积分，二项式定理.【考查方式】根据给出的运用定积分计算的技巧，求解等式的值.【难易程度】较难【参考答案】113[()1]12nn+-+【试题解析】由0122C C C C n nn n n nx x x++++…＝(1＋x)n，两边同时积分得：1111012222220000C1C C C n nn n n ndx xdx x dx x dx++++⎰⎰⎰⎰…12(1)nx dx=+⎰，2310121111111C C C C2223212nnn n n nn+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭…＝11121111113111112112n nnxn n n n+++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫(+)=+-=-⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥++++⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y，求3X…的概率；（2）若小明,小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列和期望.【考查方式】给出实际的数学模型，利用求解对立事件的概率及离散型随机变量的分布，求解概率及期望. 【难易程度】容易【试题解析】解法一：(1)由已知得小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响． 记“这2人的累计得分X …3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，（步骤1）因为P (X ＝5)＝2243515⨯=，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115， 即这2人的累计得分X …3的概率为1115.（步骤2）(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．（步骤3）由已知可得，X 1～B 22,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 2～B 22,5⎛⎫⎪⎝⎭， 所以E (X 1)＝24233⨯=，E (X 2)＝24255⨯=，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.（步骤4）因为E (2X 1)＞E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤5） 解法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．（步骤1） 记“这2人的累计得分X …3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”，“X ＝2”，“X ＝3”三个两两互斥的事件，（步骤2）因为P (X ＝0)＝22111355⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (X ＝2)＝2221355⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，P (X ＝3)＝22213515⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，(步骤3)所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这2人的累计得分X …3的概率为1115.（步骤4）(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：（步骤5） 所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125. 因为E (X 1)＞E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．（步骤6）17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.【考查方式】利用导数的几何意义求解曲线的切线方程及函数的极值. 【难易程度】容易【试题解析】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，()f x '＝1－ax.（步骤1） (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，()f x '＝1－2x(x ＞0)， 因而f (1)＝1，(1)f '＝－1，（步骤2）所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即x ＋y －2＝0.（步骤3）(2)由()f x '＝1－a x ＝x a x-，x ＞0知： ①当a …0时，()f x '＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由()f x '＝0，解得x ＝a ．(步骤4)又当x ∈(0，a )时，()f x '＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，()f x '＞0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．（步骤5） 综上，当a …0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．（步骤6）18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,A A A …和129,,B B B …，连结i OB ，过iA 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i i ∈N 剟．（1）求证：点*(,19)i P i i∈N 剟都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM △与OCN △的面积比为4:1，求直线的方程．第18题图【测量目标】抛物线的标准方程，简单的几何性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】根据平面几何图形及坐标和三角形的面积关系，求解抛物线和直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1…i …9)且与x 轴垂直的直线方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝10ix .（步骤1） 设P i 的坐标为(x ，y )，由,,10x i i y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得y ＝110x 2，即x 2＝10y . 所以点P i (i ∈N *,1…i …9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .（步骤2）(2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.（步骤3） 由210.10.y kx x y =+⎧⎨=⎩得x 2－10kx －100＝0， 此时Δ＝100k 2＋400＞0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .（步骤4） 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则121210,100,x x k x x +=⎧⎨=-⎩ ①②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|.（步骤5） 又x 1 x 2＜0，所以x 1＝－4x 2， 分别代入①和②，得222310,4100,x k x -=⎧⎨-=-⎩解得32k =±. 所以直线l 的方程为y ＝32±x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.（步骤6）19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）第19题图【测量目标】空间立体几何线面垂直，线面角.【考查方式】给出四棱柱中的线段及线面关系，求解线面关系及线面所成角问题. 【难易程度】中等【试题解析】(1)取CD 的中点E ，连结BE .（步骤1） ∵AB ∥DE ，AB ＝DE ＝3k ，∴四边形ABED 为平行四边形，∴BE ∥AD 且BE ＝AD ＝4k .（步骤2） 在△BCE 中，∵BE ＝4k ，CE ＝3k ，BC ＝5k ，∴BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥CD ，（步骤3） 又∵BE ∥AD ，∴CD ⊥AD ．∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴AA 1⊥CD ．又AA 1∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面ADD 1A 1.（步骤4）第19图(2)以D 为原点，DA ，DC ，1DD的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0，6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，（步骤5）所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由10,0,AC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n得460,30.kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )．（步骤6） 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝11||||AA AAnn67=， 解得k ＝1，故所求k 的值为1.（步骤7）第19图(3)共有4种不同的方案．f (k )＝2257226,0,1853636,.18k k k k k k ⎧+<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩…（步骤8）20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的周期为π，图象的一个对称中心为π(,0)4，将函数()f x 图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）是否存在0ππ(,)64x ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,π)n 内恰有2013个零点．【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，等差数列的性质，函数零点的求解与判断.【考查方式】给出三角函数的周期及对称中心，求解函数关系式及变换后的函数关系式；判断在某一区内是否存在0x ,使得三角函数值呈等差数列；判断复合函数零点个数与区间的关系.【难易程度】较难【试题解析】解法一：(1)由函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的周期为π，ω＞0，得ω＝2πT＝2. 又曲线y ＝f (x )的一个对称中心为π,04⎛⎫⎪⎝⎭，φ∈(0，π)， 故ππsin 2044f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ϕ=，所以f (x )＝cos 2x .（步骤1） 将函数f (x )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y ＝cos x 的图象，再将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位长度后得到函数π()=cos 2g x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以g (x )＝sin x .（步骤2）(2)当x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭时，12＜sin x 0＜cos 2x ＜12， 所以sin x ＞cos 2x ＞sin x cos 2x .（步骤3）问题转化为方程2cos 2x ＝sin x ＋sin x cos 2x 在ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭内是否有解． 设G (x )＝sin x ＋sin x cos 2x －2cos 2x ，x ∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则G ′(x )＝cos x ＋cos x cos 2x ＋2sin 2x (2－sin x )．（步骤4）因为x ∈ππ,64⎛⎫⎪⎝⎭，所以G ′(x )＞0，G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增．又π1<064G ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π4G ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 且函数G (x )的图象连续不断，故可知函数G (x )在ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一零点x 0， 即存在唯一的x 0∈ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭满足题意．（步骤5） (3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ，令F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝0. 当sin x ＝0，即x ＝k π(k ∈Z )时，cos 2x ＝1，从而x ＝k π(k ∈Z )不是方程F (x )＝0的解，（步骤6）所以方程F (x )＝0等价于关于x 的方程cos2sin x a x=-，x ≠k π(k ∈Z )．现研究x ∈(0，π) (π，2π)时方程cos2sin x a x=-的解的情况．（步骤7） 令()cos2sin x h x x =-，x ∈(0，π) (π，2π)， 则问题转化为研究直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )，x ∈(0，π) (π，2π)的交点情况．22cos (2sin 1)()sin x x h x x+'=，令h ′(x )＝0，得π2x =或3π2x =.（步骤8） 当x当x ＞0且x 当x ＜π且x 趋近于π时，h (x )趋向于－∞，当x ＞π且x 趋近于π时，h (x )趋向于＋∞，当x ＜2π且x 趋近于2π时，h (x )趋向于＋∞.（步骤9）故当a ＞1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；当a ＜－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；当－1＜a ＜1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内有2个交点．（步骤10） 由函数h (x )的周期性，可知当a ≠±1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，n π)内恰有2 013个交点；（步骤11）又当a ＝1或a ＝－1时，直线y ＝a 与曲线y ＝h (x )在(0，π) (π，2π)内有3个交点，由周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.（步骤12）综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．（步骤13）解法二：(1)、(2)同解法一．(3)依题意，F (x )＝a sin x ＋cos 2x ＝－2sin 2x ＋a sin x ＋1.现研究函数F (x )在(0,2π]上的零点的情况．设t ＝sin x ，p (t )＝－2t 2＋at ＋1(－1…t …1)，则函数p (t )的图象是开口向下的抛物线，（步骤1） 又p (0)＝1＞0，p (－1)＝－a －1，p (1)＝a －1.当a ＞1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)(另一个零点t 2＞1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(π，2π)；当a ＜－1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(0,1)(另一个零点t 2＜－1，舍去)，F (x )在(0,2π]上有两个零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0，π)；当－1＜a ＜1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2∈(0,1)，F (x )在(0，π)和(π，2π)分别有两个零点．（步骤2）由正弦函数的周期性，可知当a ≠±1时，函数F (x )在(0，n π)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n 满足题意．当a ＝1时，函数p (t )有一个零点t 1∈(－1,0)，另一个零点t 2＝1；当a ＝－1时，函数p (t )有一个零点t 1＝－1，另一个零点t 2∈(0,1)，（步骤3）从而当a ＝1或a ＝－1时，函数F (x )在(0,2π]有3个零点．由正弦函数的周期性，2 013＝3×671，所以依题意得n ＝671×2＝1 342.综上，当a ＝1，n ＝1 342或a ＝－1，n ＝1 342时，函数F (x )＝f (x )＋ag (x )在(0，n π)内恰有2 013个零点．（步骤4）21．（本题满分14分）（1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若点00(,)p x y 在直线上，且0000x x y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，求点p 的坐标． 【测量目标】矩阵与行列式初步.【考查方式】根据直线方程在矩阵的变换求未知字母，利用点在直线上和矩阵乘积，求点坐标.【难易程度】容易【试题解析】（I ）设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)． 由 1 220 1x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2,.x x y y y '=+⎧⎨'=⎩（步骤1） 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得=1,2=1,a b ⎧⎨+⎩解得=1,1.a b ⎧⎨=-⎩（步骤2）（II ）由0000x x y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，得000002,,x x y y y =+⎧⎨=⎩解得y 0＝0.（步骤3） 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1.故点P 的坐标为(1,0)．（步骤4）（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A的极坐标为π)4，直线的极坐标方程为πcos()4a ρθ-=，且点A 在直线上．（I ）求a 的值及直线的直角坐标方程；（II ）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线与圆的位置关系．【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标及极坐标方程求直角坐标方程，根据圆的参数方程判断直线与圆的位置关系.【难易程度】中等【试题解析】（I ）由点A π4⎫⎪⎭在直线ρπcos 4θ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a上，可得a =所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.（步骤1）（II ）由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，（步骤2）因为圆心C 到直线l 的距离d＝2＜1， 所以直线l 与圆C 相交．（步骤3）（3）（本小题满分7分）不等式选讲：设不等式*2()x a a -∈N ＜的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （I ）求a 的值；（II ）求函数()2f x x a x =++-的最小值． 【测量目标】绝对值不等式，基本不等式求最值.【考查方式】根据绝对值不等式的解集判断未知参量的值，利用基本不等式求绝对值函数的最值.【难易程度】中等【试题解析】（I ）因为32∈A ，且12∉A ，所以32<2a -，且122a -...， 解得12＜a (32).又因为a ∈N *，所以a ＝1.（步骤1） （II ）因为|x ＋1|＋|x －2|…|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2) …0，即－1…x …2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.（步骤2）。
2013年高考真题——理科数学(福建卷)解析版1 Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．25 B ．45CD【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d =． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==<…．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC =，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点．B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ． 二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴>a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴==12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，2412R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin 3BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1-【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =+∴==- 15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212n n n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：11111222222000001......(1).n n n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯=P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X ∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)>E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,)i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆=OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅<x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥ 1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuu r uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像．（1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 2x <<10cos 22x << 所以sin cos 2sin cos 2x x x x >>问题转化为方程2cos 2sin sin cos 2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()04G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos 21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π= 当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标．本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy y'=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y =又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4a πρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离1d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(福建卷)理
数学试题(理工农医类)(福建卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013福建,理1)已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位),则z在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:由z=1+2i,得z=1-2i,故复数z对应的点(1,-2)在第四象限.2.(2013福建,理2)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:若a=3,则A={1,3}⊆B,故a=3是A⊆B的充分条件;而若A⊆B,则a不一定为3,当a=2时,也有A⊆B.故a=3不是A⊆B的必要条件.故选A.3.(2013福建,理3)双曲线x 24-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于().A.25B.45C.2√55D.4√55答案:C解析:双曲线x 24-y2=1的顶点为(±2,0),渐近线方程为y=±12x,即x-2y=0和x+2y=0.故其顶点到渐近线的距离d=√1+4=√5=2√55.4.(2013福建,理4)某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为().A.588B.480C.450D.120答案:B解析:由频率分布直方图知40~60分的频率为(0.005+0.015)×10=0.2,故估计不少于60分的学生人数为600×(1-0.2)=480.5.(2013福建,理5)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为().A.14B.13C.12D.10答案:B解析:a=0时,方程变为2x+b=0,则b为-1,0,1,2都有解;a≠0时,若方程ax2+2x+b=0有实数解,则Δ=22-4ab≥0,即ab≤1.当a=-1时,b可取-1,0,1,2.当a=1时,b可取-1,0,1.当a=2时,b可取-1,0,故满足条件的有序对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.6.(2013福建,理6)阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是().A.计算数列{2n-1}的前10项和B.计算数列{2n-1}的前9项和C.计算数列{2n -1}的前10项和D.计算数列{2n -1}的前9项和 答案:A解析:当k=10时,执行程序框图如下:S=0,i=1; S=1,i=2; S=1+2,i=3; S=1+2+22,i=4; … …S=1+2+22+…+28,i=10; S=1+2+22+…+29,i=11.7.(2013福建,理7)在四边形ABCD 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2),则该四边形的面积为( ). A.√5 B.2√5 C.5 D.10答案:C解析:∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-4)+2×2=0,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+22=√5,|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-4)2+22=√16+4=2√5,S 四边形ABCD =12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5. 8.(2013福建,理8)设函数f (x )的定义域为R ,x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点,以下结论一定正确的是( ). A.∀x ∈R ,f(x)≤f(x 0) B.-x 0是f(-x)的极小值点 C.-x 0是-f(x)的极小值点 D.-x 0是-f(-x)的极小值点 答案:D解析:选项A,由极大值的定义知错误;对于选项B,函数f(x)与f(-x)的图象关于y轴对称,-x0应是f(-x)的极大值点,故不正确;对于C选项,函数f(x)与-f(x)图象关于x轴对称,x0应是-f(x)的极小值点,故不正确;而对于选项D,函数f(x)与-f(-x)的图象关于原点成中心对称,故正确.9.(2013福建,理9)已知等比数列{a n}的公比为q,记b n=a m(n-1)+1+a m(n-1)+2+…+a m(n-1)+m,c n=a m(n-1)+1·a m(n-1)+2·…·a m(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是().A.数列{b n}为等差数列,公差为q mB.数列{b n}为等比数列,公比为q2mC.数列{c n}为等比数列,公比为q m2D.数列{c n}为等比数列,公比为q m m答案:C解析:∵{a n}是等比数列,∴a mn+ma m(n-1)+m=q mn+m-m(n-1)-m=q m,∴c n+1c n =a mn+1·a mn+2·…·a mn+ma m(n-1)+1·a m(n-1)+2·…·a m(n-1)+m=(q m)m=q m2.10.(2013福建,理10)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足:(1)T={f(x)|x∈S};(2)对任意x1,x2∈S,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是().A.A=N*,B=NB.A={x|-1≤x≤3},B={x|x=-8或0<x≤10}C.A={x|0<x<1},B=RD.A=Z,B=Q答案:D解析:由题意(1)可知,S为函数y=f(x)的定义域,T为函数y=f(x)的值域.由(2)可知,函数y=f(x)在定义域内单调递增,对于A,可构造函数y=x-1,x∈N*,y∈N,满足条件;对于B,构造函数y={-8,x=-1,52(x+1),-1<x≤3,满足条件;对于C ,构造函数y=tan (π2x -π2),x ∈(0,1),满足条件;对于D ,无法构造函数其定义域为Z ,值域为Q 且递增的函数,故选D .第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11.(2013福建,理11)利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a,则事件“3a -1>0”发生的概率为 .答案:23解析:由3a-1>0得a>13,由几何概型知P=1-131=23.12.(2013福建,理12)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是 . 答案:12π解析:由题意知该几何体是一个正方体内接于球构成的组合体,球的直径2r=√22+22+22=√12,所以r=√3,故该球的表面积为S 球=4πr 2=4π×3=12π.13.(2013福建,理13)如图,在△ABC 中,已知点D 在BC 边上,AD ⊥AC,sin ∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD 的长为 . 答案:√3解析:∵AD ⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠BAD +π2)=2√23, ∴cos ∠BAD=2√23. 由余弦定理得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos ∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3. ∴BD=√3.14.(2013福建,理14)椭圆Γ:x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=√3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 . 答案:√3-1解析:由直线y=√3(x+c)知其倾斜角为60°,由题意知∠MF 1F 2=60°,则∠MF 2F 1=30°,∠F 1MF 2=90°. 故|MF 1|=c,|MF 2|=√3c.又|MF 1|+|MF 2|=2a,∴(√3+1)c=2a, 即e=√3+1=√3-1.15.(2013福建,理15)当x ∈R ,|x|<1时,有如下表达式: 1+x+x 2+…+x n +…=11-x. 两边同时积分得:∫ 1201d x+∫ 120x d x+∫ 120x 2d x+…+∫ 120x n d x+…=∫12011-xd x,从而得到如下等式:1×12+12×(12)2+13×(12)3+…+1n+1×(12)n+1+…=ln 2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算:C n 0×12+12C n 1×(12)2+13C n 2×(12)3+…+1n+1C n n ×(12)n+1= .答案:1n+1[(32)n+1-1] 解析:由C n 0+C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n =(1+x)n ,两边同时积分得:C n 0∫ 1201d x+C n 1∫ 120x d x+C n 2∫ 120x2d x+…+C n n ∫ 120x nd x=∫ 12(1+x)n d x, 12C n0+12C n 1(12)2+13C n 2(12)3+…+1n+1C n n(12)n+1=[1n+1(1+x )n+1]|012=1n+1(1+12)n+1−1n+1=1n+1[(32)n+1-1]. 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(2013福建,理16)(本小题满分13分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为23,中奖可以获得2分;方案乙的中奖率为25,中奖可以获得3分;未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为X,求X ≤3的概率;(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学期望较大?解法一:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A, 则事件A 的对立事件为“X=5”, 因为P(X=5)=23×25=415,所以P(A)=1-P(X=5)=1115,即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1,都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2,则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X 1),选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X 2).由已知可得,X 1~B (2,23),X 2~B (2,25),所以E(X 1)=2×23=43,E(X 2)=2×25=45,从而E(2X 1)=2E(X 1)=83,E(3X 2)=3E(X 2)=125. 因为E(2X 1)>E(3X 2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.解法二:(1)由已知得,小明中奖的概率为23,小红中奖的概率为25,且两人中奖与否互不影响.记“这2人的累计得分X ≤3”的事件为A,则事件A 包含有“X=0”,“X=2”,“X=3”三个两两互斥的事件,因为P(X=0)=(1-23)×(1-25)=15,P(X=2)=23×(1-25)=25,P(X=3)=(1-23)×25=215,所以P(A)=P(X=0)+P(X=2)+P(X=3)=1115,即这2人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1,都选择方案乙所获得的累计得分为X 2,则X 1,X 2的分布列如下:所以E(X 1)=0×19+2×49+4×49=83,E(X 2)=0×925+3×1225+6×425=125.因为E(X1)>E(X2),所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大.17.(2013福建,理17)(本小题满分13分)已知函数f(x)=x-a ln x(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ax.(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f'(x)=1-2x(x>0),因而f(1)=1,f'(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)由f'(x)=1-ax =x-ax,x>0知:①当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f'(x)=0,解得x=a.又当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.18.(2013福建,理18)(本小题满分13分)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.连结OB i,过A i作x轴的垂线与OB i交于点P i(i∈N*,1≤i≤9).(1)求证:点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M,N,若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1,求直线l 的方程.解法一:(1)依题意,过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x=i ,B i 的坐标为(10,i),所以直线OB i 的方程为y=i10x.设P i 的坐标为(x,y),由{x =i ,y =i 10x ,得y=110x 2,即x 2=10y.所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E 的方程为x 2=10y. (2)依题意,直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y=kx+10. 由{y =kx +10,x 2=10y ,得x 2-10kx-100=0,此时Δ=100k 2+400>0,直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M,N. 设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则{x 1+x 2=10k ,①x 1·x 2=-100,②因为S △OCM =4S △OCN ,所以|x 1|=4|x 2|. 又x 1·x 2<0,所以x 1=-4x 2,分别代入①和②,得{-3x 2=10k ,-4x 22=-100,解得k=±32. 所以直线l 的方程为y=±32x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0. 解法二:(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E :x 2=10y 上.证明如下:过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线方程为x=i , B i 的坐标为(10,i),所以直线OB i 的方程为y=i10x.由{x =i ,y =i 10x ,解得P i 的坐标为(i ,i 210),因为点P i的坐标都满足方程x2=10y,所以点P i(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.(2)同解法一.19.(2013福建,理19)(本小题满分13分)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k>0).(1)求证:CD⊥平面ADD1A1;(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为6,求k的值;7(3)现将与四棱柱ABCD A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的四棱柱.规定:若拼接成的新四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的拼接方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为f(k),写出f(k)的解析式.(直接写出答案,不必说明理由).解:(1)取CD的中点E,连结BE.∵AB∥DE,AB=DE=3k,∴四边形ABED为平行四边形,∴BE∥AD且BE=AD=4k.在△BCE中,∵BE=4k,CE=3k,BC=5k,∴BE2+CE2=BC2,∴∠BEC=90°,即BE⊥CD,又∵BE∥AD,∴CD⊥AD.∵AA 1⊥平面ABCD,CD ⊂平面ABCD,∴AA 1⊥CD.又AA 1∩AD=A,∴CD ⊥平面ADD 1A 1.(2)以D 为原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x,y,z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4k,0,0),C(0,6k,0),B 1(4k,3k,1),A 1(4k,0,1),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4k,6k,0),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3k,1),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面AB 1C 的法向量n =(x ,y ,z ),则由{AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0, 得{-4kx +6ky =0,3ky +z =0.取y=2,得n =(3,2,-6k ).设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ,则sin θ=|cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n || =√36k +13=67, 解得k=1,故所求k 的值为1.(3)共有4种不同的方案.f(k)={72k 2+26k ,0<k ≤518,36k 2+36k ,k >518.20.(2013福建,理20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的周期为π,图象的一个对称中心为(π4,0).将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图象.(1)求函数f(x)与g(x)的解析式;(2)是否存在x0∈(π6,π4),使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数;若不存在,说明理由;(3)求实数a与正整数n,使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.解法一:(1)由函数f(x)=sin(ωx+φ)的周期为π,ω>0,得ω=2πT=2.又曲线y=f(x)的一个对称中心为(π4,0),φ∈(0,π),故f(π4)=sin(2×π4+φ)=0,得φ=π2,所以f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将y=cos x的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)=cos(x-π2)的图象,所以g(x)=sin x.(2)当x∈(π6,π4)时,12<sin x<√22,0<cos 2x<12,所以sin x>cos 2x>sin x cos 2x.问题转化为方程2cos 2x=sin x+sin x cos 2x在(π6,π4)内是否有解.设G(x)=sin x+sin x cos 2x-2cos 2x,x∈(π6,π4 ),则G'(x)=cos x+cos x cos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为x∈(π6,π4),所以G'(x)>0,G(x)在(π6,π4)内单调递增.又G(π6)=-14<0,G(π4)=√22>0,且函数G(x)的图象连续不断,故可知函数G(x)在(π6,π4)内存在唯一零点x 0, 即存在唯一的x 0∈(π6,π4)满足题意. (3)依题意,F(x)=a sin x+cos 2x,令F(x)=a sin x+cos 2x=0.当sin x=0,即x=k π(k ∈Z )时,cos 2x=1,从而x=k π(k ∈Z )不是方程F(x)=0的解,所以方程F(x)=0等价于关于x 的方程a=-cos2x sinx ,x ≠k π(k ∈Z ).现研究x ∈(0,π)∪(π,2π)时方程a=-cos2x sinx 的解的情况. 令h(x)=-cos2x sinx ,x ∈(0,π)∪(π,2π),则问题转化为研究直线y=a 与曲线y=h(x),x ∈(0,π)∪(π,2π)的交点情况.h'(x)=cosx (2sin 2x+1)sin 2x ,令h'(x )=0,得x=π2或x=3π2.当x 变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表:当x>0且x 趋近于0时,h(x)趋向于-∞,当x<π且x 趋近于π时,h(x)趋向于-∞,当x>π且x 趋近于π时,h(x)趋向于+∞,当x<2π且x 趋近于2π时,h(x)趋向于+∞.故当a>1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内无交点,在(π,2π)内有2个交点;当a<-1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内无交点;当-1<a<1时,直线y=a 与曲线y=h(x)在(0,π)内有2个交点,在(π,2π)内有2个交点.由函数h(x)的周期性,可知当a≠±1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内总有偶数个交点,从而不存在正整数n,使得直线y=a与曲线y=h(x)在(0,nπ)内恰有2 013个交点;又当a=1或a=-1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,π)∪(π,2π)内有3个交点,由周期性,2 013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.解法二:(1)、(2)同解法一.(3)依题意,F(x)=a sin x+cos 2x=-2sin2x+a sin x+1.现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况.设t=sin x,p(t)=-2t2+at+1(-1≤t≤1),则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线,又p(0)=1>0,p(-1)=-a-1,p(1)=a-1.当a>1时,函数p(t)有一个零点t1∈(-1,0)(另一个零点t2>1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点x1,x2,且x1,x2∈(π,2π);当a<-1时,函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2<-1,舍去),F(x)在(0,2π]上有两个零点x1,x2,且x1,x2∈(0,π);当-1<a<1时,函数p(t)有一个零点t1∈(-1,0),另一个零点t2∈(0,1),F(x)在(0,π)和(π,2π)分别有两个零点.由正弦函数的周期性,可知当a≠±1时,函数F(x)在(0,nπ)内总有偶数个零点,从而不存在正整数n 满足题意.当a=1时,函数p(t)有一个零点t1∈(-1,0),另一个零点t2=1;当a=-1时,函数p(t)有一个零点t1=-1,另一个零点t2∈(0,1),从而当a=1或a=-1时,函数F(x)在(0,2π]有3个零点.由正弦函数的周期性,2 013=3×671,所以依题意得n=671×2=1 342.综上,当a=1,n=1 342或a=-1,n=1 342时,函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2 013个零点.21.(2013福建,理21)本题设有(1)、(2)、(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.(1)(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换已知直线l:ax+y=1在矩阵A=(1 20 1)对应的变换作用下变为直线l':x+by=1. ①求实数a,b 的值;②若点P(x 0,y 0)在直线l 上,且A (x 0y 0)=(x 0y 0),求点P 的坐标. (2)(本小题满分7分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 的极坐标为(√2,π4),直线l 的极坐标方程为ρcos (θ-π4)=a ,且点A 在直线l 上.①求a 的值及直线l 的直角坐标方程;②圆C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数),试判断直线l 与圆C 的位置关系. (3)(本小题满分7分)选修4—5:不等式选讲设不等式|x-2|<a (a ∈N *)的解集为A ,且32∈A ,12∉A.①求a 的值;②求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.(1)选修4—2:矩阵与变换解:①设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是M'(x',y').由(x 'y ')=(1 20 1)(x y )=(x +2y y ), 得{x '=x +2y ,y '=y .又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,依题意得{a =1,b +2=1,解得{a =1,b =-1.②由A (x 0y 0)=(x 0y 0),得{x 0=x 0+2y 0,y 0=y 0,解得y 0=0.又点P(x 0,y 0)在直线l 上,所以x 0=1.故点P 的坐标为(1,0).(2)选修4—4:坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分.解:①由点A (√2,π4)在直线ρcos (θ-π4)=a 上,可得a=√2. 所以直线l 的方程可化为ρcos θ+ρsin θ=2,从而直线l 的直角坐标方程为x+y-2=0.②由已知得圆C 的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1,所以圆C 的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C 到直线l 的距离d=√2=√22<1,所以直线l 与圆C 相交.(3)选修4—5:不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分7分. 解:①因为32∈A,且12∉A,所以|32-2|<a,且|12-2|≥a,解得12<a ≤32.又因为a ∈N *,所以a=1.②因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x ≤2时取到等号.所以f(x)的最小值为3.。
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2013福建省高考压轴卷 数学理试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120钟. 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =,其中S 为底面面积，h 为高.第Ⅰ卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数221z i i=++，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为( )A.B.C. D. 2 2．设a ∈R ，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与直线2:20l x y a +-=平行”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要3．设函数()2xf x =，则下列结论中正确的是( )A. (1)(2)(f f f -<<B. ((1)(2)f f f <-<C. (2)((1)f f f <<-D. (1)((2)f f f -<<4．设等差数列{n a 的前n 项和是n S ，若11m m a a a +-<<-(m ∈N *,且2m ≥)，则必定有( )A. 0m S >，且10m S +<B. 0m S <，且10m S +>C. 0m S >，且10m S +>D. 0m S <，且10m S +<5．若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 76．设函数()log (01)a f x x a =<<的定义域为[,](m n m <)n ,值域为[0,1],若n m -的最小值为13,则实数a 的值为( )A. 14B. 14或23C. 23D. 23或347．设双曲线22143x y-=的左,右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,则22BF AF +的最小值为( )A.192B. 11C. 12D. 168．已知集合{}(,)(1)(1)A x y x x y y r =-+-≤，集合{}222(,)B x y x y r =+≤，若B A ⊂，则实数r 可以取的一个值是( )A.1B. C. 2D. 1+9．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 710．设等差数列{}n a 满足：22222233363645sin cos cos cos sin sin 1sin()a a a a a a a a -+-=+，公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( )A. 74,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.11．从3,2,1,0中任取三个数字，组成无重复数字的三位数中，偶数的个数是 (用数字回答)． 12．无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,L 的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，以此类推.记该数列为{}n a ，若120n a -=，21n a =，则n = ． 13．若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ． 14．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别a ,b ,c ,若22212a b c +=.则直线0ax by c -+=被圆2x + 29y =所截得的弦长为 ．15．若整数．．,x y 满足不等式组0700y x x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2x y +的最大值为三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 16．设2()6cos 2().f x x x x R =∈.(Ⅰ)求()f x 的最大值及最小正周期；(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,锐角A满足()3f A =-12B π=，求a c的值.17．已知甲箱中只放有x 个红球与y 个白球(,0,x y ≥且6)x y +=，乙箱中只放有2个红球、1个白球与1个黑球(球除颜色外，无其它区别). 若甲箱从中任取2个球， 从乙箱中任取1个球. (Ⅰ)记取出的3个球的颜色全不相同的概率为P ，求当P 取得最大值时,x y 的值； (Ⅱ)当2x =时，求取出的3个球中红球个数ξ的期望()E ξ.18．已知数列{}n a 满足1111,14n na a a +==-,其中n ∈N *. (Ⅰ)设221n n b a =-，求证：数列{}n b 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；(Ⅱ)设41n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和为n T ,是否存在正整数m ,使得11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，请说明理由.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，右焦点到直线1:3l x + 40y =的距离为35.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线2:(0)l y kx m km =+≠ 与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 中点恰好在直线1l 上，求△OAB 的面积S 的最大值.(其中O 为坐标原点).20．已知函数()ln ,f x x =若存在函数()g x 使得()()g x f x ≤恒成立，则称()g x 是()f x 的一个“下界函数”.（I ） 如果函数()ln (ag x x a x=-为实数)为()f x 的一个“下界函数”，求a 的取值范围； （Ⅱ）设函数1()(), 2.x mF x f x m e ex=-+> 试问函数()F x 是否存在零点，若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由.21． (1)[选修4 - 2:矩阵与变换]已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ,求矩阵A 的特征值.(2)[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标中,已知圆C 经过点()4Pπ，,圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点,求圆C 的极坐标方程.（3）[选修45-:不等式选讲]：已知函数()2f x x a x =++-(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集; (2)若()4f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围.2013福建省高考压轴卷 数学理试题答案1.B 【解析】由题意，得：22(1)2211(1)(1)i z i i i i i i -=+=+=-++-，复数z的模z == 2.C 【解析】由题意，1122:42304//:240l x y a l l l x y +-=⎧=⇒⇒⎨+-=⎩，即充分。
又121221//04l l A B A B a ⇒-=⇒=，注意到此时12,l l 不重合，即必要。
3.D 【解析】由题意，()22()xxf x f x -===-，即()f x 为偶函数。
故(1)(1)(2)(2)(f f f f f f ⎧-=⎪-=⎨⎪=⎩. 显然0()2x x f x ≥=时，单调递增。
所以(1)(1)((2)(2)f f f f f f -=<=<-=4.C 【解析】由题意，得：11111+00m m m m a a a a a a a ++>⎧-<<-⇔⎨+<⎩。
显然，易得102m m a a S m +=⋅>，111(1)02m m a aS m +++=⋅+<5.B 【解析】由题意，得：n=5,k=0⇒n=16,k=1, ⇒n=8,k=2, ⇒n=4,k=3, ⇒n=2,k=4,⇒n=1,k=5⇒终止，当2n =时，执行最后一次循环； 当1n =时，循环终止，这是关键。
输出5k =。
6.D 【解析】由题意，分1n =或1m =两种情况：（1）1n =时，23m =，此时()f x 在[,]m n 上单调递减， 故2()log 13a f m m a ==⇒=（2）1m =时，43n =，此时()f x 在[,]m n 上单调递增，故3()log 14a f n n a ==⇒=7.B 【解析】由题意，得： 21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩显然，AB 最短即通径，2min 23b AB a=⋅=，故()22min 11BF AF +=8.A 【解析】22111(,)()()222A x y x y r ⎧⎫=-+-≤+⎨⎬⎩⎭、{}222(,)B x y x y r =+≤不难分析，A 、B 分别表示两个圆，要满足B A ⊂，即两圆内切或内含。
故圆心距12122O O r r =≤-，即：221122221010112102r r r r r r r r r r r ≤⇔-⋅+≥⎛⎫⇔-≥⇔-≥⇔+≥ ⎪ ⎪⎝⎭+⇔--≥⇔≥显然，2r ≥>，故只有(A)项满足。
9.C 【解析】由题意，()()1F x xf x =-的零点，即1()f x x与的交点。
易绘(,2)x ∈-∞的函数图象，且131(0)(2)0,(1)1,()()222f f f f f ===== 当[2,)x ∈+∞时，11(4)(2)0,(6)(4)0,22f f f f ====L 依次类推，易得(4)(6)(8)(2)0f f f f n =====L又11(3)(1)22f f ==, 同理11(5)(3)24f f ==，11(7)(5)28f f ==5个。
10.B22222233633645223636453636453636(sin sin sin )(cos cos cos )=1sin()(sin cos )(cos sin )=1sin()sin()sin()=1sin()sin()136a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a d a a d π---=+-=++-=+⇒-=⎫⇒=-⎬-=-⎭又当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，即：91910110180430,09032a a d a a a a a d ππ=+>⎧><⇔⇒<<⎨=+<⎩ 11.10【解析】考虑三位数“没0”和“有0”两种情况。