【数学】2.5.2《向量在物理中的应用举例》课件(苏教版必修4)
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
变式训练
1.已知△ABC三边长分别为a，b，c，试用向 量的方法证明：a＝bcosC＋ccosB.
证明：如图所示，设C→B＝a，
C→A＝b，A→B＝c，则 a＝b＋c， ∴a2＝(b＋c)·a ＝a·b＋a·c ①
又a与b的夹角为∠C，a与c的夹角等于∠B, 故①式可化为：|a|2＝|a||b|cosC＋|a||c|cosB， 即|a|＝|b|cosC＋|c|cosB， 也即a＝bcosC＋ccosB.
则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)，
∵A→M＝－32M→Q， ∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)， ∴a＝x3(x>0)，b＝－2y，
则 A0，－y2，Qx3，0，
P→A＝3，－2y，A→M＝x，32y，
∵P→A·A→M＝0，∴3x－34y2＝0， ∴所求轨迹方程为 y2＝4x(x>0)．
解：(1)s＝A→B＝(7，0)－(20，15)
＝(－13，－15)， 从而 W1＝F1·s＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－ 13)＋4×(－15)＝－99(J)， W2＝F2·s＝(6，－5)·(－13，－15) ＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． (2)W＝(F1＋F2)·s＝F1·s＋F2·s＝W1＋W2＝ －102(J)．
答案：5
知识回顾 Knowledge Review
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
和船它的们实的际合速速度度为为向量V水 、 V船 和 V合，由题意，
V合 =V船+ V水
其方向为临界方向 PQ，船只要朝着这个方向行
驶，它就不会掉下瀑布，如（右）图所示：
P
提问:表示划船速度的向量怎样画?
备课教案资料(2.5.2 向量在物理中的应用举例)
备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1,M 2,它们的质量分别是m 1,m 2,由物理学知识,这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即1221m m MM M M =,或m 1M M 1=m 22MM . 现设点M 1、M 2、M,对应的向量分别是r 1、r 2、r ,则上式可以写成m 1(r -r 1)=m 2(r 2-r ).所以212211m m r m r m r ++=,点M 处的质量为m 1+m 2. 现求三个质点的重心问题.三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3,所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3, 我们可设M 1,M 2的重心在点D 处,该处对应的向量为r D =212211m m r m r m ++,该点的质量为m 1+m 2,然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r ,易得r =.321332211m m m r m r m r m ++++ 二、备用习题1.作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|=5,|F 2|=3,夹角为60°，则F 1+F 2的大小为_____________.2.一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速.3.在半径为15 cm 的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm,圆洞的半径是5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.如图9所示,重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小.图9参考答案:1.72.如图10所示,设AB 表示船垂直于对岸的速度,则AB +BC =AC ,图10知AC 就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h),所以在Rt △ABC 中,|AB|=2 km/h,|AC |=8÷2=4 km/h,则|BC|=23 km/h.答:河水的流速为23 km/h. 3.如图11所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O 1(0,0),O 2(8,0),圆O 2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m 1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m 2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O 3.图11根据物理学知识,知O 3在直线O 1O 2上,即可设O 3(x 3,0),且满足2113O O O O λ=,其中λ=812002521==m m .由定比分点坐标公式知0=8118813+⨯+x ,解得x 3=-1, 即O 3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.对小球的受力分析如图9所示,重力为G ,斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上),木板弹力N 1(垂直于木板),其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G ′|,方向向上,N 2的方向始终不变,随着木板的转动,N 1的方向始终垂直于木板,N 1的大小在变化,且满足θsin |'|sin ||1G a N =,又|G ′|=|G |,∴|N 1|=.sin sin ||θa G ∴当sinθ取最大值1时,|N 1|min =|G |sinα,此时θ=2π. 2.5.2 向量在物理中的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用示例例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 2cos 2||||||212cos 1θθG F G ⇒= 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20 km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1.令=-v 1,=-2v 1,实际风速为v .∵+=,∴DB =v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度.∵+=,∴=v -2v 1,这就是当车的速度为40 km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB ⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202 km/h. 答:实际的风速v 的大小是202 km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh. ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.84 kmD.8 km图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.2.41 (5,4)图53.如图5所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |= 30cos ||=2335=10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W=F ·s.作业1.课本习题2.5 A 组3、4,B 组1、2.2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.设计感想1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.。
高中数学 必修四 教案：2.5.2 向量在物理中的应用举例
2.5.2 向量在物理中的应用举例（一）导入新课思路1.(章头图引入)章头图中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.章引言说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像章头图中的高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题引入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.（二）应用示例例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力),就得到了问题的数学解释.图1在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F|、|G|、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道2cos 2||||||212cos 1θθG F G ⇒= 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20 km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v ,那么此人所感到的风速为v +(-v 1)=v -v 1. 令=-v 1,=-2v 1,实际风速为v . ∵+=, ∴DB =v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵+=, ∴=v -2v 1,这就是当车的速度为40 km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB ⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°.∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202 km/h.答:实际的风速v 的大小是202 km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh. ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2.（三）知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( ) A.215 km B.6 km C.84 km D.8 km图42.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =___________.3.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)图53.如图5所示,设表示水流速度,表示船垂直于对岸的速度,表示船的实际速度,∠AOC=30°,||=5 km/h.因为OACB 为矩形,所以|OA |=|AC |·cot30°=|OB |·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |= 30cos ||=2335=10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.（四）课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③)动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F与位移s的数量积,即W=F·s. （五）作业。
高中数学第二章平面向量2.5向量的应用课件苏教版必修4
图 2-5-2
法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 2， 则 A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，A→F＝(2,1)，D→E＝(1，－2)．
阶
阶
段
段一Leabharlann 三2.5 向量的应用
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题． 2．会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重点、难点)
[基础·初探] 教材整理 向量的应用 阅读教材 P91～P92 的全部内容，完成下列问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
标法更好用．
[探究共研型]
平面向量在解析几何中的应用 探究 1 如何利用向量求经过点 P0(x0，y0)，且与 a＝(1，k)平行的直线 l 的 方程？ 【提示】 设直线 l 上任意一点 P(x，y)，则P→0P＝(x－x0，y－y0)． 由题意可知P→0P∥a，∴y－y0＝k(x－x0)．
利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、 夹角、距离等问题，均可用向量表示或用向量解决，要先将线段 看成向量，再利用向量法则进行坐标运算，使问题得以解决.
1．已知三个力 f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体 上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力 f4，则 f4＝________.
【解析】 由题意知 f4＝－(f1＋f2＋f3) ＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)] ＝－(－1，－2)＝(1,2)． 【答案】 (1,2)
因为A→F·D→E＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
【数学】2.5.2《向量在物理中的应用举例》课件(苏教版必修4)
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
v v2，求t.
解：由已知条件得 v v2 0
| v | | v1 |2 | v2 |2 96(km / h), 所以 t d 0.5 60 3.1(min).
| v | 96
C A
B
例2。重为G的物体系在OA，OB两根等长 的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形的 支架上，若固定A端的位置，将绳的B端沿 半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，OA绳和OB绳的拉力如何变化？
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
高中数学 2.5向量的应用课件 苏教版必修4
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何
元素，将平面_几__何__问__题___转__化__为__向___量__问__题___．
(2)通过向__量__运___算_，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角、
栏
平行等．
目
(3)把运算结果_“___翻__译__”成几何关系．
链 接
6．常见到的问题包括以下命题：
题型2 速度向量的合成与分解
例2 在风速为 75( 6－ 2) km/h 的西风中，飞机以 150 km/h
的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
栏
分析：设
w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞
目 链
接
机的航行速度，则 vb＝va－w.
解析：如上图所示，
∵vb＝va－w，∴vb、va、w 构成三角形，
栏 目
就是_向__量__的___加__减__法__．
链 接
3．功的定义即是力 F 与其所产生位移 s 的_数__量___积__．
4．平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹
角都可由__向__量__的__线___性__运__算__及__数___量__积__表示出来．
5．向量方法解决平面几何问题的“三部曲”．
问题，接下来结合向量知识、利用余弦函数的单调性解决问题．
变式 训练
1．如下图所示，用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，
已知灯具的重量为 10 N，则每根绳子的拉力大小是________．
栏 目 链 接
解析：设绳子拉力为 F，则 2|F|cos 60°＝10，故有 F＝10.
答案：10 N
|A→B|＝|va|，|C→B|＝|w|，
高一数学人教A版必修4课件：2.5.2 向量在物理中的应用举例
例2 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之 由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求F1，F2分别对质点所做的功；
→ 解 AB＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
→ W1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).
明目标、知重点
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3.一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，
船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为__3_
分钟. 解析 ∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2， |v1|＝20，|v2|＝12， ∴|v|＝ |v1|2－|v2|2 ＝ 202－122＝16(km/h). ∴所需时间 t＝01.68＝0.05(小时)＝3(分钟).
思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？ 答 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法 运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 小结 向量有丰富的物理背景.向量源于物理中的力、速度、加速 度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解 时，实质就是向量的线性运算.
明目标、知重点
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围. 答 由|F1|＝co|Gs|θ，|F1|≤2|G|，得 cos θ≥12. 又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.
明目标、知重点
例1 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上 运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h， 此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆 船的速度与方向. 解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为
高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例课件新人教A版必修4
探究一：利用向量解决力（速度、位移） 的合成(héchéng)与分解
例1.两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体 向上运动(yùndòng)，根据生活经验，两只手臂的 夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？
提示(tíshì)：夹角越大越费力.
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思考1:若两只手臂的拉力为 F1，F2，物体的重力 G, (zhònglì)为 F1，F2，G
一航船用 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船 实际航行方向与水流方向成 30°角，求水流速度与船的实 际速度．
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解析：如图，O→A表示水流速度，O→B表示船向垂直于对岸 行驶的速度，O→C表示船实际速度，∠AOC＝30°，|O→B|＝ 5km/h.
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∵四边形 OACB 为矩形， |O→A|＝ta|An→C30| °＝ta|On→3B0|°＝5 3(km/h)， |O→C|＝c|oO→s3A0|°＝10(km/h)， ∴水流速度为 5 3km/h，船实际速度为 10km/h.
1.利用向量解决物理问题的基本步骤(bùzhòu)： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
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2.用向量知识(zhī shi)解决物理问题时，要注意 数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建 立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求 有关量的值.
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3.平面(píngmiàn)向量知
识结构图
定义
几何表示
表示方法
符号表向量
向量共线定理
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1. 逐渐增大时，的大小怎样变化，为什 当 F1 么？ 2.为何值时，最小，最小值是多少？ F1 3.为何值时， G ？ F1
解：由已知条件得 v v2 0
| v | | v1 |2 | v2 |2 96( km / h),
所以
d 0.5 t 60 3.1(min). |v| 96
C
A B
例2。重为G的物体系在OA，OB两根等长 的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形的 支架上，若固定A端的位置，将绳的B端沿 半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C 的过程中，OA绳和OB绳的拉力如何变化？
小结:
用向量中的有关知识研究物理中的相关问题,步骤如下
1.问题的转化,即把物理问题转化为数学问题. 2.模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型. 3.参数的获得,即求出数学模型的有关解------理论参数值. 4.问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
作业: P125，第4题
2.5.2 向量在物理中的应用举例
江苏如东马塘中学 轻水长天
例1。一条河的两岸平行，河宽d 500m，一艘 船从A出发航行到河的正对岸B处。航行的速度 v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h， 问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
V
分析：如图，已知v v1 v2， v1 10km / h, v2 2km / h， v v2，求t.