交错级数的对数判别法

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02-交错级数及其审敛法PPT

一、交错级数及其审敛法
定义：正、负项相间的级数称为交错级数，即
8
8
£ (~1)n an，或 £(-1)-1 an，
n=1
n=1
其中对任意n,有an > 0 .
交错级数审敛法(莱布尼茨判别法):
8
若交错级数£ (-1)"T an (匕> 0)的一般项满足：
n=1
① an+i < an (n = L2,…)；
(ii) lim an = 0 .
nT8 8
£ 则⑴ (-1)n-1 an收敛,且其和s满足：0 < s < a1;
n=1
(2)级数的余项rn = s-sn满足|rn| < an+1.
板书少证明：⑴..・an_1 - an > 0,
•・• s2 n = （a1 一 a2）+ （a3 一 a4）+ …+ （a2 n-1 一 a 2 n）
数列｛ s2〃｝是单调增加的,
又 s2n = a1 一（a2 一 a3）-----（a2n-2 一 a2n-1）
一 a2n
< "数列｛S2n ｝是有界的，
lim s2n = s < a1. •/ lim a2n+1 = 0,
n—8
n—B
板书，・・・ lim 5+i = lim(sn + a2w+1) = s,
竺"ns ns
・级数收敛于和S, 且s < a1.
(2)余项 rn =~(an+1 - an+2 + …)， + rn\ = an+1 - an+2 …，
满足收敛的两个条件，...|" < an+!•

交错级数的对数判别法

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1 + 2 + …+ n
1 1
数为
n=1
∑( - 1)
n- 1
1 e
, 由莱布尼茨判别法易知其收敛 .
n
又因为 1 +
1 1 + …+ < 2 n
∫x d x , 所以
1
1
1 e
∞
1 + 2 + …+ n
1
1
= e
1 + 1 + …+ 1 2 n
1
>
1 e = , n e - 1 + ln n 1 e
n →∞
注对于级数 (i ) , 用莱布尼茨判别法判敛 , 显然较困难 . 这是因为证明 lim un = 0 有一定的困难 . 对于级数 (ii ) , 虽然可用莱布尼茨判别法判敛 , 但不能说明其在收敛时是条件收敛还是绝对收敛 . 若用文 [ 1 ] , [ 2 ]所给的审敛法判敛 , 也比较困难 ( 计算、讨论繁杂) . 而用本文所给的审敛法 , 则显得较为简便 . 可见 , 交错级数的对数判别法作为交错级数审敛法的一种补充是有一定价值的 .
lim un = 0 . 对于 ε 0 =
n →∞
l
2
, ϖN ,当 n > N 时,
nln
un un+ 1
- l
<ε 0 =
l
2
,即
un un+1
> e2n > 1 +

交错级数的对数判别法

奎｛发，以Ｕｍ０［。莱尼判法，（收．根引１散所Ｎ＝，—“ ．布茨别知级１敛再据理＋Ｅｉ由Ｉ一ｌｍ数）
＝
ｌ
可知，＞１时，数（）对收敛；＜ｚ１时，数（）件收敛．ｚ级１绝０＜级１条
－ｔ＝ｎａｎ
ｌｉｍ
…
－ ” ｎ＋）！『（］ａｒｉ＿．
１１
［ｘ｛］ｌ１ｌ＋）ｉ－ｎｍ（＋
所以ｌｌｉｎｍｎ
“ ｔ，１
－ｌ一， … ＋ｌｔ１ｉｍ
［摘
要］从正项级数的Ｒａｅ数判别法人手，出了交错级数的一个新的审敛方法．文［］［］ａｂ对给与１，２所
给的审敛法相比，当交错级数的一般项含有幂指项时，用该审敛法判断其敛散性显得尤为简便．利［关键词］交错级数；对收敛；件收敛绝条［图分类号］Ｏ１３１中７．［献标识码］Ｃ文［文章编号］１７—４４２１）２６２１５（０００一
（ｉｉ）当ｌｉ：ｏ时，级数（）能条件收敛也可能发散．１可证（）当１０时，ｉ＞２由极限的保号性可知，Ｎ，ｎＮ时， “＋，当２＞ “ ＞即数列｛单调递减．证 “）下
ｌｉｍ‰ ＝０＝．对于￡：。一百１
若ｌｌｉｎｍｎ

交错级数判别法

交错级数判别法
交错级数判别法（Alternating Series Test）是一种用于判断交错级数收敛性的方法。

交错级数是指一个级数的项交替正负，即每一项的符号与前一项相反。

例如，一个交错级数可以写成以下形式：a1 - a2 + a3 - a4 + a5 - ...
交错级数判别法的具体步骤如下：
1. 检查交错级数的项数是否趋近于无限大，即该级数是否为无限级数。

2. 检查交错级数的项是否单调递减，即对于所有的n，都有
a(n+1) <= a(n)。

3. 检查交错级数的项是否趋近于零，即lim(n->∞) a(n) = 0。

如果上述三个条件同时满足，那么交错级数就是收敛的。

交错级数判别法的基本思想是，当级数的项逐渐趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。

因为交错级数的部分和序列是单调递增的，且其上限和下限分别为相邻两个部分和序列，所以当级数的绝对值趋近于零且单调递减时，交错级数的收敛性可以通过比较级数的绝对值来判断。

需要注意的是，交错级数判别法只适用于交错级数，对于非交错级数，不能使用此方法来判断其收敛性。

交错级数及其判别法

进一步开拓交错级数在其他领域的应用，如生物学、经济学、社会学等。
加强交叉学科的合作研究
鼓励数学与其他学科的交叉合作研究，共同探索交错级数在解决实际问题中的应用。
感谢您的观看
THANKS
交错级数的项必须满足单调递减的条件，即每一项都小于或等于前一项。
交错级数收敛的充分条件
当交错级数的公比q满足$|q| < 1$时，级数收敛。
交错级数收敛的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明交错级数的每一项都小于或等于前一项，从而证明级数收敛。
VS
比较判别法
将交错级数与已知收敛的等比级数进行比较，利用等比级数的性质判断交错级数的收敛性。
在工程中的应用
01
02
03
信号处理
在信号处理中，交错级数被用来分析和处理各种信号，如音频、图像等。
控制系统
在控制系统中，交错级数被用来描述和设计各种控制算法和系统。
工程优化
在工程优化中，交错级数被用来求解各种优化问题，如结构优化、路径规划等。
05
交错级数的扩展与展望
交错级数的扩展研究
交错级数收敛的实例
莱布尼茨级数
$1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$是一个典型的交错级数，它满足单调递减的条件且公比$q = -frac{2}{3}$满足$|q| < 1$，因此该级数收敛。
调和级数
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots$是一个非交错的调和级数，不满足单调递减的条件，因此该级数发散。

级数敛散性总结

摘要级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。

级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。

级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。

基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。

本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。

本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。

最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。

关键词：级数敛散性方法AbstractProgression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.Key words: Series Convergence Mathod第一章引言级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。

交错级数及判别法

交错级数及其审敛法
交错级数定义莱布尼兹判别法应用
1.交错级数定义
正、负项相间的级数称为交错级数.
u1 − u2 + u3 + + (−1)n−1 un +
(1)
或
− u1 + u2 − u3 + + (−1)n un +
(2)
(其中un 0)
下面观察级数(1)部分和数列 sn ,
sn
s1 s3 s
un
=
1 n
− un+1 =
1 n
−
1 n+1
=
1 n(n + 1)

0
11 un = n n + 1 = un+1,
lim 1 = 0 n→ n
所以 un 单调递减且极限为零,
由莱布尼兹定理知原级数收敛.
例2
判断级数

n=2
(−1)n n − ln n
的敛散性.
分析：
un
=
1 n − ln n
怎样判断单调性？
解设 f ( x) = x − ln x, x 2, 则有 f ( x) = 1− 1 ，当x 2时，f ( x) 0, x
所以 f ( x) 单调增加，故 1 单调减少，
f (x)
从而
un
=
1 n − ln n
单调递减.
1
1
lim ln x = lim x = 0
s2n = u1 − u2 + u3 − u4 + + u2n−1 − u2n
= (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + + (u2n−1 − u2n )

一、交错级数及其审敛法最全版

由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
2
例2
n 1 判定级数 (1) n 1

n 2n
的敛散性.
解这也是一个交错级数,且如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
3
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
u n 收敛，则称级数定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称绝对收敛；如果 n 1
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
yrty 1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1

的敛散性.
解这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n§9.3
任意项级数

一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理

如果交错级数满足条件:
n 1 n 1

交错级数.ppt

u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) (u2m u2m1 )
S2m1 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因
un1 un 0,
首页 ×
S2m1 (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m3 u2m2 ) u2m1
(u1 u2 )
即数列
i1
证以 v1 1,vk k k1 (k 2, 3,L , n) 分别乘以 k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
首页 ×
推论（阿贝耳引理）若
（1）1 , 2 ,L , n 是单调数组；
（2）对任一正整数k(1 k n)有 | k | A, 则记
max{| k
首页 ×
三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法
引理（分部求和公式）设i ,vi (i 1, 2,L , n)为两组
实数，若令 k v1 v2 vk (k 1,2, , n)
则有如下分部求和公式成立 n
ivi (1 2 )1 ( 2 3 ) 2 ( n1 n ) n1 n n
所以交错级数 (1)n1un 收敛．
n1
首页 ×
因为有
S2m u1 ,
所以
S
lim
n
Sn
lim
m
S2m
u1
.
即交错级数的和不大于第一项的绝对值 u1 ．
由于 (1)n1un 的余项 n1
| Rn | un1 un2 un3 un4
仍是交错级数，所以有 | Rn | un1 .
首页 ×
n1
首页 ×
例
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n ห้องสมุดไป่ตู้2

§6.1.4(2)交错级数判敛法

二、变号级数及其判敛法（一）交错级数及其判敛法形如,)1()1(1432111 +-++-+-=--∞=-∑n n n n n u u u u u u其中),2,1,0( =>n u n 的级数称为交错级数。

定理6（莱布尼兹判别法）若交错级数)0()1(11>-∑∞=-n n n n u u 满足条件：（1） 1+≥n n u u ),2,1( =n ；（2）n n u ∞→lim ＝0 ；则交错级数收敛，且其和1u S ≤，余项n r 满足1+≤n n u r 。

证：①偶数时当为 n ，m m m n u u u u u u S S 21243212-++-+-==- )()()(2124321m m u u u u u u -++-+-=-)()()(221221221++--+-++-≤m m m m u u u u u u )1(2+=m S ，所以{}m S 2为单调递增数列，又m S 2可改写为 1212223212)()(u u u u u u u S m m m m <------=-- ，故{}m S 2有界。

由单调有界原理知，m n S 2lim ∞→存在。

设S S m n =∞→2lim ，则1u S ≤。

②奇数时当为 n ，12212+++==m m m n u S S S ，S u S u S S m n m n m m n m n =+=+=+∞→∞→+∞→+∞→12212212lim lim )(lim lim 。

因此无论n 为奇数还是偶数，都有S S n n =∞→lim ，故交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，且其和1u S ≤。

若交错级数∑∞=--11)1(n n n u 收敛，则余项 )(21 +-±=-=++n n n n u u S S r ，+-=++21n n n u u r 也是一个收敛的交错级数，且1+≤n n u r 。

考研数学之浅析交错级数的莱布尼兹判别法

浅析交错级数的莱布尼兹判别法
1.交错级数
（1）定义：如果级数各项的正负号是交错的，则称该级数为交错级数。

（2）形式：1234u u u u -+-+ 或1234u u u u -+-+- ，其中，1234,,,,u u u u 均为非负数。

2.敛散性的判断方法
关于交错级数1
(1)n
n n u ∞=-∑的收敛，有如下莱布尼兹判别法：定理：如果交错级数1(1)n n n u ∞
=-∑满足如下条件：
1）1(1,2,3)n n u u n +≥= ；
2）lim 0n n u →∞
=；则级数1(1)n n n u ∞=-∑收敛。

3.级数1(1)n
n n u ∞=-∑敛散性的判断步骤1）绝对收敛
1n n u
∞=∑是正项级数，若收敛，则原级数绝对收敛，若发散，则判断条件收敛；
2）条件收敛
1(1)n
n n u ∞=-∑收敛，则原级数条件收敛；1(1)n
n n u ∞=-∑发散，则原级数发散。

4.例题（1）判断级数1
1(1)n
n n ∞=-∑的敛散性。

解析：1）绝对收敛：1
1n n ∞=∑发散，则判断条件收敛；2）条件收敛：111n n >+，1lim 0n n →∞=满足莱布尼兹判别法，则该级数条件收敛。

浅谈交错级数敛散性的判定

浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。

在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。

即正负交替，或者负正交替。

例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。

1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。

这个判别法不适用于非交错级数。

2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。

如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。

3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。

如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。

交错级数及其审敛法

n1
（1）un un1 (n 1, 2, 3, )；递减
（2）lim n
un
0，
则级数收敛,且其和 s u1,
其余项 rn 的绝对值 rn un1.
证明 un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
0
0
0
数列 s2n是单调增加的 ,
第二节常数项级数的审敛法（2）
二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛
二、交错级数及其审敛法
定义正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun
n1
n1
(其中un 0)
如
1
n1
1 ,
n1
n
n1
1
n
1 2n
定理6 （莱布尼茨定理）
如果交错级数 (1)n1un满足条件:
4.绝对收敛
法 5.比较法
5.交错级数
6.比值法 7.根值法
(莱布尼茨定理)
二、绝对收敛与条件收敛
an 收敛 an 收敛(绝对收敛)
n1
n1
an 发散, an收敛 an条件收敛.
n1
n1
n1
an 发散,则用其它方法判断 an的敛散性.
n1
n1
若交错级数可用莱布尼兹定理判断收敛;
若用比值(根值)法判定 an 发散,则 an发散.
rn un1 un2 , 交错级数
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例7 判断 1 n1 1 的收敛性.
n1
n
解 1 n1 1 为交错级数,
n1
n
且满足莱布尼兹定理的条件:

莱布尼茨判别法两个条件的交错级数余项估计

莱布尼茨判别法两个条件的交错级数余项估计莱布尼尼茨判别法是专门用来判断交错级数的收敛性的。

如果交错级数满足下面这两个条件，那么就证明该交错级数收敛，而且收敛于一个比首项小的数。

（1）数列{un}单调递减；（2）数列un收敛于0，即当n趋于正无穷大时，limun=0.这里默认数列{un}的每项都是正数。

而交错级数则是级数各项符号正负间的，即u1-u2+u3-u4+…+（-1）^（n+1）un+…。

证明这个定理可以分别列出交错级数的部分和数列{Sn}的奇数项和偶数项，它们分别记为：S_（2m-1）=u1-（u2-u3）-…-（u_（2m-2）-u_（2m-1）），S_（2m）=（u1-u2）+u3-u4+…+（u_（2m-1）-u_（2m））。

因为数列{un}是单调递减的，所以（un-u_（n-1））>=0，即上面两个式子的括号内的数都非负。

从而可以知道，数列{S_（2m-1）}递减，而数列{S_（2m）}递增。

又当n趋于正无穷大时，limun=0，因此奇数项数列和偶数项数列的对应项的差S_（2m-1）-S_（2m）=u_（2m）>0，在m趋于正无穷大时，这个差趋于0.这样在{[S_（2m），S_（2m-1）]}之间就形成了一个区间套。

由区间套定理就可以知道，一定存在唯一的一个数S，使得当m趋于正无穷大时，limS_（2m-1）=limS_（2m）=S。

即数列{Sn}收敛于S，也就是说该交错级数是收敛的。

注意，莱布尼茨判别法只是交错级数收敛的充分条件，并不是必要条件，这个很好说明，只要把一个符号莱布尼茨判别法的交错数列的第三项增大到比第一项还大，只要是一个具体的值，则得到的新的交错级数仍是一个收敛级数，但它却不满足莱布尼茨判别法的条件了。

另外满足莱布尼茨判别法的交错级数的和S<u1.因为S_（2m-1）=u1-（u2-u3）-…-（u_（2m-2）-u_（2m-1））<u1，S_（2m）=u1-（u2-u3）-…-（u_（2m-2）-u_（2m-1））-u_（2m）=u1-（u2-u3）-…-（u_（2m-2）-u_（2m-1））-（u_（2m）-u_（2m+1））-u_（2m+1）<u1.同理就可以得到莱布尼茨判别法的一个推论：满足莱布尼茨判别法的交错级数，它的余项估计式|Rn|<=u_（n+1）。

交错无穷级数条件收敛

交错无穷级数条件收敛摘要：一、交错级数的概念1.交错级数的定义2.交错级数与普通级数的区别二、交错级数的收敛性1.交错级数条件收敛的定义2.交错级数条件收敛的充要条件三、交错无穷级数条件收敛的判断方法1.莱布尼茨定理2.交错级数的部分和与条件收敛的关系四、实际应用与例子1.交错级数在数学中的应用2.实际生活中的例子正文：一、交错级数的概念交错级数是指一个数列，其中每个相邻的项的符号不同，即正项与负项交替出现。

例如：1, -2, 3, -4, 5, -6, ...。

与普通级数不同，交错级数的项之间存在符号的变化。

二、交错级数的收敛性对于交错级数，如果满足以下条件，则称其为条件收敛：1.各项绝对值单调递减；2.极限为0。

换句话说，当且仅当交错级数的部分和序列单调递减，且趋于0 时，该交错级数条件收敛。

三、交错无穷级数条件收敛的判断方法判断交错无穷级数是否条件收敛，可以运用莱布尼茨定理。

莱布尼茨定理指出，如果交错级数满足以下两个条件：1.各项绝对值的和是有限的；2.各项的比值趋于1 或-1。

那么，这个交错级数就是条件收敛的。

四、实际应用与例子1.交错级数在数学中的应用交错级数在数学中有着广泛的应用，例如求极限、求和等。

在一些复杂的数学问题中，利用交错级数的收敛性，可以简化问题的求解过程。

2.实际生活中的例子在实际生活中，交错级数也有许多应用，例如：例1：贷款还款。

假设向银行贷款10 万元，年利率为5%，按月还款。

第一个月还款额为：100000×(5%/12)=4166.67 元。

第二个月还款额为：(100000+4166.67)×(5%/12)=4233.33 元。

以此类推，每月还款额构成一个交错级数。

利用交错级数的收敛性，可以计算出贷款全部还清所需的总月数。

例2：投资收益。

假设投资1000 元，年收益率为3%，按月计算收益。

第一个月收益为：1000×(3%/12)=2.5 元。

交错级数莱布尼茨定理证明

交错级数莱布尼茨定理证明交错级数莱布尼茨定理是数学中比较重要的一个定理，用来判断交错级数的收敛性。

这个定理的证明比较复杂，需要运用数学分析中的一些基础知识，下文将对交错级数莱布尼茨定理的证明进行讲解。

首先，我们先来回顾一下交错级数的定义。

交错级数是指一个以交替的正数和负数相加的方式组成的级数，例如：1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+...。

对于这种交错的级数，我们想要判断它是否收敛，就需要使用到交错级数莱布尼茨定理。

交错级数莱布尼茨定理的表述如下：如果一个交错级数收敛，那么它的余项（也就是级数的和减去前n项的和）的绝对值一定小于等于第n+1项的绝对值。

这个定理的证明可以分为以下几个步骤：第一步，确定交错级数的收敛性。

首先需要证明交错级数的交错性，也就是说，这个级数的正项和负项交替出现。

这可以通过归纳法来证明，即我们假设前n项都是正数，那么第n+1项一定是负数，因为交错级数的绝对值是一个递减的函数，所以后面的所有项都是负数。

这样就证明了交错性。

接着，我们需要使用交错级数的定理来证明这个级数收敛。

这个定理表述的是，如果一个交错级数的正项是单调递减的，并且趋向于0，那么这个级数一定收敛。

这个定理的证明可以使用魏尔斯特拉斯判别法，也就是证明这个级数的通项绝对值小于等于一个已知的收敛级数的通项，从而通过比较级数来证明这个级数收敛。

第二步，求解余项的绝对值。

根据交错级数的莱布尼茨定理，我们知道余项的绝对值一定小于等于第n+1项的绝对值，因此我们可以使用这个项来估计余项的大小。

具体来说，我们定义余项为Sn-Sn'，其中Sn是交错级数的和，Sn'是交错级数的前n项的和，而我们知道Sn-Sn'小于等于第n+1项的绝对值，因此余项的绝对值为|Sn-Sn'|<=|an+1|。

第三步，证明余项可以趋向于0。

由于这个交错级数已经被证明是收敛的，因此我们知道它的每一项都可以趋向于0。

高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法

2 an 1
2 an ，亦即 a n an 1 ，数列 { an } 单调递增。 a1
2 2 ，归纳假设
a n 2 ，则 an 1
2 an
2 2 2 ，数列 { a n} 有上界。由单调有界定理知数列 { an }
收敛，设
lim
n
an
A ，对等式 an 1
2 an 两边取极限有
A lim a n 1 lim 2 a n
若 | u n | 收敛，
n1
则 u n 绝对收敛；若 | u n | 发散，转入第三步。
n1
n1
（3）最后讨论 u n 的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。若 u n 收敛，则 u n
n1
n1
n1
条件收敛；若
u n 发散，当然
u n 发散。
n1
n1
例题
1. 设
为常数，判定级数
n
1
[
sin n
n1
n1 np
n 发散。
注： n 1 n
1 ，n1 n
n1 n
1 n1 n
6. 设 a0 0 ， an 1
2 an ， n 0,1,2, ，讨论级数 ( 1) n 1 2 an 是绝对收敛、
n1
条件收敛还是发散
解： a 0 0 ， a1
20
2 a0 ，归纳假设 0 a n 1 an ，则 2 an 1 2 a n ，
n
an
（1）若 | r | 1 ，则由比值判别法知
| a n | 收敛，故 a n 绝对收敛，与题设条件矛盾。故
n1
n1
| r | 1。
（2）若 | r |
1， lim | an 1 | | r |

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