次函数与根的判别式韦达定理

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根的判别式与韦达定理

九年级数学讲义根的判别式与韦达定理知识要点：1．根的判别式：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0），其根的判别式为Δ＝b 2－4acΔ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔方程没有实数根2．根与系数的关系：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2x 1＋x 2＝－a b x 1·x 2＝ac例1、关于x 的两个方程x 2＋4mx ＋4m 2＋2m ＋3＝0，x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2＝0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。

例2、求证：m 为任何实数时，方程21402x m x m +-+-=()有两个不相等的实数根。

例3、已知x 1、x 2是方程x 2+3x －5=0的两根。

则x x -2122+4x 1－2x 2= 。

例4、已知方程x 2+px +q =0的两根之积比两根的和大5，且两根的平方和为25，求p 和q 的值。

例5、已知α、β是方程x 2+5x +2=0的两根求αββα+的值。

例6、已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c=0，abc=1。

求证：a 、b 、c 中必有一个大于23。

练习：1、不解方程，判断下列方程的根的情况。

（）127302x x +-= （）（）221202()()y y y -++=（）（）3912402x x ++= （）（）423402x x --= （）（）551702()x x +-= （）（）62102x mx --= （）2、一元二次方程ax x 2210-+=有实数根，那么a 的取值范围是。

3、方程380312x x m m -+==的两根之比为，则:。

4、已知：方程x x p p 226250-+-+=一根为2，则p ＝_______，它的另一个根为_________。

5、设0342,2=-+x x 是方程βα的两个根，那么ααββ223-+= 。

一元二次方程判别式和韦达定理

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.k x k x x 有实根，求方程已知关于0132=--a x a x a x 为一元二次方程，求方程已知关于03)2(2=++-数根？）方程有两个不等的实（数根？）方程有两个相等的实（？）方程只有一个实数根（为何值时，当的方程例：已知关于32101)1(2)2(2m m x m x m x =++---的值。

求没有实数根求的值。

有两个相等的实数根，，有两个不相等的实数根的一元二次方程关于为整数、已知n m n x m x n x m x n x m x x n m ,01)4(06)4(03)7(,,2222=++--=++++=++-+2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 根与系数的关系（韦达定理）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+acx x a bx x 2121常见变形：2212x x += 1211x x +=12(5)(5)x x -- =12||x x -==+3231x x例1、若1x 和2x 分别是一元二次方程03522=-+x x 的两根．（1）求12||x x -（2）求221211x x +（3）求3231x x +变式训练1、212,046x x m x x x 有两个实数根的一元二次方程已知关于=++-（1）的取值范围求m（2）的值求满足若m x x x x ,23,2121+=例2、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ，q = ．变式训练1、。

第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理(精讲)(解析版)

2023年初高中衔接素养提升专题讲义第三讲一元二次方程根的判别式与韦达定理（精讲）（解析版）【知识点透析】1、一元二次根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac∆=-(1) 当Δ=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当Δ=240b ac -=时，因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a=-(3) 当Δ=240b ac -<时，因此，方程没有实数根．【知识点精讲】【例1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围：(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【解析】：2(2)43412k k ∆=--⨯⨯=-(1) 141203k k ->⇒<；(2) 141203k k -=⇒=；(3) 141203k k -≥⇒≥；(4) 141203k k -<⇒<．【变式1】（（2022秋·重庆开州·八年级统考期中）使得关于x 的不等式组6x ―a ≥―10―1+12x <―18x +32有且只有4个整数解，且关于x 的一元二次方程(a ―5)x 2+4x +1=0有实数根的所有整数a 的值之和为（）A ．35B ．30C ．26D ．21【答案】B【分析】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a 的取值范围，再通过根的判别式确定a 的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【详解】解：整理不等式组得：6x ―a ≥―10①―8+4x <―x +12②由①得：x ≥a ―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．【变式2】．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k―12）＝0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC 的周长．【解答】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×1×4（k―12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，∵无论k取什么实数值，（2k﹣3）2≥0，∴△≥0，∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；（2）解：∵x=2k+1±(2k―3)2，∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k﹣1，c＝2，当a 、b 为腰，则a ＝b ＝4，即2k ﹣1＝4，解得k =52，此时三角形的周长＝4+4+2＝10；当b 、c 为腰时，b ＝c ＝2，此时b +c ＝a ，故此种情况不存在．综上所述，△ABC 的周长为10．【例2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．【解析】：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：22(2)10x y x y y --+-+=由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：222[(2)]4(1)300y y y y y ∆=----+=-≥⇒=，代入原方程得：22101x x x ++=⇒=-．综上知：1,0x y =-=【变式1】（2022秋·湖北武汉·八年级武汉市第一初级中学校考期末）已知a ，b ，c 满足a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，则a ―b +c 的值为（）A ．―1B ．5C ．6D ．―7【答案】B【分析】首先把a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，两边相加整理成a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0，分解因式，利用非负数的性质得出a 、b 、c 的数值，代入求得答案即可．【详解】解：∵a 2+6b =7，b 2―2c =―1，c 2―2a =―17，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a =―，∴a 2+6b +b 2―2c +c 2―2a +11=0∴(a ―1)2+(b +3)2+(c ―1)2=0，∴a =1，b =―3，c =1，∴a ―b +c =1+3+1=5．故选：B ．【变式2】（（2022秋·江苏扬州·八年级统考期中）新定义，若关于x 的一元二次方程：m (x ―a )2+b =0与n (x ―a )2+b =0，称为“同类方程”．如2(x ―1)2+3=0与6(x ―1)2+3=0是“同类方程”．现有关于x 的一元二次方程：2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”．那么代数式ax 2+bx +2022能取的最大值是_________．【答案】2023【分析】根据“同类方程”的定义，可得出a ，b 的值，从而解得代数式的最大值．【详解】∵2(x ―1)2+1=0与(a +6)x 2―(b +8)x +6=0是“同类方程”，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)(x ―1)2+1，∴(a +6)x 2―(b +8)x +6=(a +6)x 2―2(a +6)x +a +7，∴b +8=2(a +6)6=a +7 ，解得：a =―1b =2，∴a x 2+bx +2022=―x 2+2x +2022=―(x ―1)2+2023∴当x =1时，a x 2+bx +2022取得最大值为2023．故答案为：2023．2、一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12b x x a+==-，12244ac c x x a a⋅====韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：1212,b c x x x x a a+=-=【知识点精讲】【例3】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +；(2) 1211x x +；(3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -．【解析】：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-(1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=(2) 121212112220072007x x x x x x +-+===-(3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-(4) 12||x x -====常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【例4】．已知关于x 的方程220x mx m -+=.（1）若2m =-，方程两根分别为1x ，2x ，求12x x -和3312x x +的值；（2）若方程有一正数，有一负数根，求实数m 的取值范围.【答案】．（14- （2）m <0【解析】（1）由22121212=()4x x x x x x -+-，33212121212()[()3]x x x x x x x x +=++-，借助韦达定理求解.（2）借助韦达定理表示方程有一正数，有一负数根的等价条件，进而求解.【详解】（1）当2m =-时，2222x x +-=即：210x x +-=1212140,1,1x x x x ∆=+>+=-=-因此：2212121212=()45x x x x x x x x -+-=∴-=3322212121212121212()[]()[()3]4x x x x x x x x x x x x x x +=++-=++-=-（2）220x mx m -+=212128,,22m m m m x x x x ∆=-+==21280002m m m m x x ⎧∆=->⎪∴<⎨=<⎪⎩【变式1】已知两不等实数a ，b 满足222a a =-，222b b =-，求22b a a b +的值.【解析】：b a ,是一元二次方程0222=-+x x 的不等实根则有2,2-=-=+ab b a原式=5)(]3))[(()())(()(22222233-=-++=+-+=+ab ab b a b a ab b ab a b a ab b a 【变式2】（2022秋·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）设m 是不小于﹣1的实数，使得关于x 的方程x 2＋2（m ﹣2）x ＋m 2﹣3m ＋3＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)若x 21+x 22=2，求m 的值；(2)令T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，求T 的取值范围．【答案】(1)1 (2)0<T ≤4且T ≠2【分析】首先根据方程有两个实数根及m 是不小于-1的实数，确定m 的取值范围，根据根与系数的关系，用含m 的代数式表示出两根的和、两根的积．（1）变形x 12+x 22为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，代入用含m 表示的两根的和、两根的积得方程，解方程根据m 的取值范围得到m 的值；（2）化简T ，用含m 的式子表示出T ，根据m 的取值范围，得到T 的取值范围．(1)∵关于x 的方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0有两个实数根，∴Δ=4（m -2）2-4（m 2-3m +3）≥0，解得m ≤1，∵m 是不小于-1的实数，∴-1≤m ≤1，∵方程x 2+2（m -2）x +m 2-3m +3=0x 1，x 2，∴x 1+x 2=-2（m -2）=4-2m ，x 1•x 2=m 2-3m +3．∵x 12+x 22=2，∴（x 1+x 2）2-2x 1x 2=2，∴4（m -2）2-2（m 2-3m +3）=2，整理得m 2-5m +4=0，解得m 1=1，m 2=4（舍去），∴m 的值为1；(2)T ＝mx 11―x 1＋mx 21―x 2，=mx 1(1―x 2)+mx 2(1―x 1)(1―x 1)(1―x 2)=m [(x 1+x 2)―2x 1x 2]1―(x 1+x 2)+x 1x 2=m (4―2m ―2m 2+6m ―6)1―4+2m +m 2―3m +3=―2m(m ―1)2m 2―m=―2m(m ―1)2m (m ―1)=2-2m ．∵当x =1时，方程为1＋2（m ﹣2）＋m 2﹣3m ＋3＝0，解得m =1或m =0．∴当m =1或m =0时，T 没有意义．∴―1≤m <1且m ≠0∴0<2-2m ≤4且T ≠2．即0<T ≤4且T ≠2．【变式3】．已知12x x ，是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由；（2）若k 是整数，求使12212x x x x +-的值为整数的所有k 的值．【答案】（1）不存在k ；理由见解析；（2）235k =---，，．【详解】（1）假设存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．∵一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴()()24004441160k k k k k k ≠⎧⎪⇒<⎨∆=--⋅+=-≥⎪⎩，又1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根∴1212114x x k x x k +=⎧⎪+⎨=⎪⎩∴()()()()222121212121212222529x x x x x x x x x x x x --=+-=+-939425k k k +=-=-⇒=，但0k < ．∴不存在实数k ，使()()12123222x x x x --=-成立．（2）∵()22212121221121244224411x x x x x x k x x x x x x k k +++-=-=-=-=-++∴要使其值是整数，只需1k +能整除4，∴11k +=±，2±，4±，注意到0k <，要使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值为－2，－3，－5．所以k 的值为235k =---，，【变式4】（2022秋·四川凉山·八年级校考阶段练习）设一元二次方程x 2―2022x +1=0的两根分别为a ，b ，根据一元二次方程根与系数的关系可知：ab =1，记S 1=11+a +11+b ,S 2=11+a2+11+b2,S3=11+a3+11+b3,⋯,S100=11+a100+11+b100，那么S1+S2+S3+⋯+S100=______．【答案】100【分析】根据ab=1得到b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2―2022x+1=0的两根分别为a，b，∴ab=1，∴b=1a ,b2=1a2,b3=1a3,…b100=1a100，∴S1=11+a+11+1a=11+a+a1+a=1+a1+a=1，S2=11+a2+11+1a2=11+a2+a21+a2=1+a21+a2=1，S100=11+a100+11+1a100=11+a100+a1001+a100=1+a1001+a100=1，∴S1+S2+S3+⋯+S100=1+1+1+…+1100=100，故答案为：100．。

根的判别式韦达定理

一元二次方程根的判别式和韦达定理知识点1.根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。

时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为补充：0≥∆时，方程有2个解，但不知道两个解是否相等。

例题讲解例1.当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。

例2.当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。

小结：对于求一元二次方程中字母的取值或取值范围问题，一定要考虑全面。

特别注意“0≠a ”！例3．已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。

小结：这一类的题要注意3个方面：0≠a ，∆与0的关系，另外1x 和2x 间的数量关系课堂练习1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是。

2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是。

3、下列方程中，无实数根的是（）A 、011=-+-x xB 、 762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x4、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（） A 、43<m B 、m ≤43 C 、43>m 且m ≠2 D 、m ≥43且m ≠25、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定 6、关于x 的一元二次方程x 2＋kx －1=0的根的情况是（）A 、有两个不相等的同号实数根B 、有两个不相等的异号实数C 、有两个相等的实数根D 、没有实数根7、 m 取何值时，方程()0112)2(22=++--x m x m （1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根8、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。

初三培优第2讲一元二次方程根的判别式及韦达定理

17、已知实数 a,b 满足 a ab b 1 ，且 t ab a b ，请求出 t 的取值范围.
2
2
2
2
4
(3) ( x1 5)( x2 5) ；
(4) | x1 x2 | ．
4、若 x1 , x2 是方程 x x 2013 0 的两个根，则 x1 2014 x2 2013 _______. 5、若 x1 , x2 是方程 x 5 x 3 0 的两个实数根，且 2 x1 ( x2 6 x2 3) a 4 ，则 a=___ 6、已知关于 x 的一元二次方程 x 2 x a 1 0 有两根为 x1 , x2 ，且 x1 x1 x2 0 ，则 a 的值为________. 7、已知关于 x 的方程 2 x mx 2m 1 0 的两个实数根的平方和是
一元二次方程根的判别式及韦达定理
考点摘要： 1）根的判别式; 2）根与系数的关系（韦达定理）; 3）与根相关的问题解法; 典例剖析：
一、利用根的判别式判定一元二次方程根的情况： 1、不解方程，判断下列方程的根的情况. (1) 2 x 3
2
(2) x 2kx k 1 0
2
2
2、已知 a,b,c 分别是三角形的三边长,则方程 ( a b) x 2cx ( a b) 0 的根的情况是（ A.没有实数根 C.有两个相等的实数根
） D. 非以上答案
二、利用根的判别式确定一元二次方程中字母系数的值： 1、关于 x 的方程 ( a 5) x 4 x 1 有实数根，则 a 满足的取值范围是_________________. 2、当 a,b 为何值时，方程 x 2(1 a ) x 3a 4ab 4b 2 0 有实数根？

韦达定理与根的判别式

韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点：1、根的判别式b24ac（1）b24ac 0 ，方程有两个不相等的实数根；（2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根；（3）b2 4ac 0，方程没有实数根；2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有xb1 x2ax1x2ca例1：已知一元二次方程x22x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x21,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值练习：1、方程x23 0的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（）A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x322，x1x2 2 D x31 x22，x1x2 23、已知方程x2 2 0，则此方程（）A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根，则3221x11x2的值为（）A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（）A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根，那么x1x2的值是（） A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a与c异号，则方程（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4，则这个方程为（） A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（） A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根，则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2，则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

韦达定理与根的判别式(解析版)

x 2 - 2 |x |-15 = ( )A. 0B. - 2C. 2D. 8 【解答】解：①当 x > 0 时，方程化为： x 2 - 2x - 15 = 0，即 (x + 3) (x - 5) = 0， ∴ x + 3 = 0，x - 5 = 0，解得 x 1 = -3( 舍去 )，x 2 = 5，②当 x < 0 时，方程化为： x 2 + 2x - 15 = 0，即 (x - 3) (x + 5) = 0， ∴ x - 3 = 0，x + 5 = 0，解得 x 3 = 3( 舍去 )，x 4 = -5，③当 x = 0 时，方程不成立．∴ 此方程的所有实数根的和为： 5 + (-5) = 0．或原方程可化为： (|x |-5) (|x |+3) = 0，即 |x |-5 = 0，|x |+3 = 0， ∴ |x | = 5，|x | = -3( 舍去 )，解得 x = 5 或 -5，∴ 此方程的所有实数根的和为： 5 + (-5) = 0．故选：A ．x x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 =(1(2【解答】解： (1) ∵ 关于 x 的一元二次方程 x 2 + (2m + 1)x + m 2 - 1 = 0 有两个不相等的实数根， ∴ b 2 - 4ac = (2m + 1)2 - 4(m 2 - 1) = 4m + 5 > 0，解得：m > - ，即 m 的取值范围是 m > - ；(2) 由 (1) 知：当 m > - 时，方程有两个不相等的实数根，∵ m 为不大于 1 的整数， ∴ m = 0，-1，1，又m = 0 时，方程北2+ 北 - 1 = 0 的根不是整数，当m = -1 时，则方程为北2- 北 = 0，解得：北1=1，北2=0，即当m = -1 时，方程的解是北1= 1，北2= 0．当m = 1 时，则方程为北2+ 3北 = 0，解得：北1= -3，北2= 0，即当m = 1 时，方程的解是北1= -3，北2= 0．(北 - 3)2 + (y - 3)2 =(北yy北【解答】解：设y= k北，则直线y= k北与圆 (北 - 3)2 + (y - 3)2 = 6 相切时k有最大值和最小值，把y = k北代入 (北 - 3)2 + (y - 3)2 = 6，得 (1 + k2)北2 - 6(k + 1)北 + 12 = 0，∴ Δ= 36(k + 1)2 - 4 × 12 × (1 + k2) = 0，即k2 - 6k + 1 = 0，解此方程得，k = 3 + 2 2 或3 - 2 2．所以y北= k 的最大值是3+ 2 2．北2北(北≥ 0)解：北2北28 = 2北 4 = 2(北 2 +北 2 ，因为北≥ 0，所以北 + 2 的最小值是2，所以北 2 的最大值是2，所以2 + 北 2 的最大值是4，即北2北 (北≥ 0) 的最大值是4．2北北【解答】解：2北北22210= 2北北2 6 = 2(北北2= 2 + 北2 2，∵ 北2≥ 0，∴北2 + 2 的最小值为2，∴北2 2的最大值为3，∴2 + 北2 2的最大值为5，∴分式2北北的最大值是5，故答案为：5．x(m - 4)x 2 + (2m - 1)x +1 = 0 s s【解答】解：根据题意得 m - 4 ≠ 0 且 Δ = (2m - 1)2 - 4(m - 4) ≥ 0，解得 m ≠ 4， x 1 + x 2 = - ，x 1x 2 =，s =+== -2m + 1，由于 m ≠ 4，所以 s ≠ -7．故答案为 s ≠ -7．x2x 2 - 4mx + 2m 2 + 3m - 2 = 0(1)m(2) x 1x 2mx 12+ x 22【解答】解： (1) ∵ 一元二次方程 2x 2 - 4mx + 2m 2 + 3m - 2 = 0 有两个实数根， ∴ b 2 - 4ac = (-4m )2 - 4 × 2(2m 2 + 3m - 2) ≥ 0， ∴ -24m + 16 ≥ 0， ∴ m ≤ ，∴ 实数 m 的取值范围为≤ ；(2) ∵ x 1 + x 2 = 2m ，x 1 •x 2 = (2m 2 + 3m - 2)，∴ x 12+ x 22= (x 1 + x 2)2 - 2x 1x 2 = (2m )2 - 2 × (2m 2 + 3m - 2) = 2m 2 - 3m + 2 = 2(m - 2+， ∵ m ≤ ， < ，∴ 当 m = 时，x + x 12 22= 2(- 2+ = ，∴ 当 m = 时，x 12+ x 22有最小值，最小值是．1.(x - 1) (x 2 - 2x + m ) =0m()A. 0 ≤ m ≤ 1B. ≤ mC. ≤ m ≤ 1D. < m ≤ 1【解答】解：∵ 方程(x- 1) (x2 - 2x+m) =0 有三根，∴ x1 = 1，x2 - 2x+m= 0 有根，方程x2 - 2x+m= 0 的Δ = 4 - 4m≥0，得m≤ 1．又∵ 原方程有三根，且为三角形的三边和长．∴ 有x2 + x3 > x1 = 1，|x2 - x3 | < x1 = 1，而x2 + x3 = 2 > 1 已成立；当|x2 - x3 | < 1 时，两边平方得：(x2 + x3)2 - 4x2x3 < 1．即：4 - 4m<1．解得m>．∴ <m≤ 1．故选：D．x(k- 1)2x2 + (2k+ 1)x+1 =k( )A. k> k ≠ 1B. k≥ k≠ 1C. k >D. k ≥【解答】解：当k - 1 ≠ 0，即k≠ 1 时，此方程为一元二次方程．∵ 关于x的方程(k- 1)2x2 + (2k+ 1)x+1 = 0 有实数根，∴Δ = (2k+ 1)2- 4 × (k- 1)2× 1 = 12k- 3 ≥ 0，解得k≥；当k- 1 = 0，即k= 1 时，方程为3x+1 = 0，显然有解；综上，k的取值范围是k≥，故选：D．3. m n x2 - 5x+ 1 = 0 S1= + S2= + ⋯St = + (t)S1 + S2 +⋯ S t= t2 - 56t( )A. 7B. 8C. 9D. 10【解答】解：∵ m，n是方程x2 - 5x+ 1 = 0 的两个根，∴m+n= 5，mn= 1，∴S1 = +1 + m+ 1 + n=(1 +m) (1 +n)2 + (m+ n)1+m+n+mn2 + 51 + 1 + 5= 1==，解得 - 3 < a < 1 2 2 ．1 + m2 1 + n 2 S 2 = +1 + m2 + 1 + n 2 =(1 + m 2) (1 + n 2) 2 + (m + n )2 - 2mn =1 + (m + n )2 - 2mn + (mn )22 + 5 - 21 + 5 -2 + 1= 1 …， ∴ S t =+= 1，∴ S 1 + S 2 +… S t = t 2 - 56， 1 + 1 +… +1 = t 2 - 56， t = t 2 - 56， t 2 - t - 56 = 0， (t - 8) (t + 7) = 0，解得： t = 8 或 t = -7( 舍去 )．故选：B ．4.xx 2 - 2mx - 4m +1 = 0 (m - 2)2 - 2m (m - 1)【解答】解：由题意可知： Δ = 4m 2 - 2(1 - 4m ) = 4m 2 + 8m - 2 = 0， ∴ m 2 + 2m = ，∴ (m - 2)2 - 2m (m - 1) = -m 2 - 2m + 4 = - + 4= 7 2 ，故答案为： x 2 + 4ax - 4a + 3 = 0x 2 + (a - 1)x + 1 + a 2 = 0x 2 + 2ax - 2a + 3 = 0a(16a 2 + 16a - 12 < 0【解答】解：不妨假设三个方程都没有实数根，则有〈(a - 1)2 - 4(a 2 + 1) < 0 ，(4a 2 - 4(3 - 2a ) < 01 1=，故答案为：a≤ - 或a≥．6. x (1 - 2k )x2 - 2x - 1 = 0 k【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程 (1 - 2k)x2 - 2x- 1 = 0 有两个不相等的实数根，(1 - 2k≠ 0∴〈k+ 3 ≥ 0 ，( △ = (-2)2 - 4(1 - 2k) × (-1) > 0解得： -3 ≤ k<4 且k≠ 1x x2 + ax- 1 = (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 =【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程x2 + ax- 1 = 0 的两个根分别为m、n，∴ m2 + am- 1 = 0，n2 + an- 1 = 0，设x+ 1 =m或n，则 (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 = 0，∴ (x+ 1)2 + a(x+ 1) - 1 = 0 的根为x= m- 1 或n- 1，故答案为：x= m- 1 或n- 1．8. x y(2x+ 1)2 + y2 + (y- 2x)2 = x+ y【解答】解：由 (2x+ 1)2 + y2 + (y- 2x)2 = ，得(3x+ 1)2 + 3(x- y)2 = 0，则〈( x= -解得〈，故x+ y= - - = - ．x(a+ b)x2 + 2cx+ (b- a) =a b c△ABC(1x= -△ABC(2△ABC(3△ABC【解答】解： (1)△ABC是等腰三角形，理由：当x= -1 时，(a+ b) - 2c+ (b- a) = 0，2．故答案为： -3 ≤ k<4 且k≠．( y= - 312 ∴ b = c ，∴ △ABC 是等腰三角形，(2)△ABC 是直角三角形，理由： ∵ 方程有两个相等的实数根， ∴ Δ = (2c )2 - 4(a + b ) (b - a ) = 0， ∴ a 2 + c 2 = b 2，∴ △ABC 是直角三角形；(3) ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ a = b = c ，∴ 原方程可化为： 2ax 2 + 2ax = 0，即：x 2 + x = 0， ∴ x (x + 1) = 0， ∴ x 1 = 0，x 2 = -1，即：这个一元二次方程的根为 x 1 = 0，x 2 = -1．10.xax 2 + bx + c = 02t2tax 2 + bx + c = a (x - t ) (x - 2t ) = ax 2 - 3atx + 2t 2a b 2 - ac = 0K =b 2 - acK = 0 ax 2 + bx + c = 0 (1x 2 - x - 2 = x 2 - 6x +8 = )(2(x - 2) (mx + n ) =4m 2 + 5mn + n(3) xx 2 -x + n = 0(m ≥ 0)A (m n )y =3x - 8【解答】解： (1) 在方程①x 2 - x - 2 = 0 中，K = (-1)2 - × 1 × (-2) = 10 ≠ 0；在方程② x 2 - 6x + 8 = 0 中，K = (-6)2 - × 1 × 8 = 0． ∴ 是倍根方程的是②x 2 - 6x + 8 = 0．故答案为：②．(2) 整理 (x - 2) (mx + n ) =0 得：mx 2 + (n - 2m )x - 2n = 0， ∵ (x - 2) (mx + n ) =0 是倍根方程， ∴ K = (n - 2m )2 - 9 m • (-2n ) = 0，∴ 4m2 + 5mn+n2 = 0．(3) ∵ x2 - x+ n= 0 是倍根方程，∴ K= (-)2 - × n= 0，整理得：m= 3n．∵ A(m，n) 在一次函数y= 3x- 8 的图象上，∴n= 3m- 8，∴n= 1，m= 3，∴ 此方程的表达式为x2 - 3x+ = 0．11. m-1 x x2 + 2(m - 2)x+ m2 - 3m+3 = 0x1x2(1) x2+ x22= 6m1(2) +【解答】解：∵ 方程有两个不相等的实数根，∴ Δ = b2 - 4ac= 4(m- 2)2 - 4(m2 - 3m+ 3) = -4m+ 4 > 0，∴m< 1，结合题意知： -1 ≤ m< 1．(1) ∵ x2+ x22= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m- 2)2 - 2(m2 - 3m+ 3) = 2m2 - 10m+ 10 = 61∴ m= ，∵ -1 ≤ m< 1，∴ m= ；(2) + = == = 2(m2 - 3m+ 1) = 2(m- 2 - (-1 ≤ m< 1)．∵对称轴m= ，2 > 0，∴当m= -1 时，式子取最大值为10．12. x2 + px+ q= 0 x1x2x1 + x2 = -p x1 •x2 = q(1) p= -4q= 3x2 + px+ q= 0则 x 1 + x 2 = x 1x 2 = - n ，x 1 • x 2 = x 1x 2 = n ，(2) a b a 2 - 15a - 5 = 0b 2 - 15b - 5 = 0 +(3x x 2 + mx + n = 0(n ≠ 0【解答】解： (1) 当 p = -4，q = 3，则方程为 x 2 - 4x + 3 = 0，解得： x 1 = 3，x 2 = 1．(2) ∵ a 、b 满足 a 2 - 15a - 5 = 0，b 2 - 15b - 5 = 0， ∴ a 、b 是x 2 - 15x - 5 = 0 的解，当 a ≠ b 时，a + b = 15，ab = -5， + ==== -47；当 a = b 时，原式 = 2．(3) 设方程 x 2 + mx + n = 0，(n ≠ 0)，的两个根分别是 x 1，x 2， 1 1 x 1 + x 2 m 1 1 1 1 则方程 x 2 + x + = 0 的两个根分别是已知方程两根的倒数．以上就是韦达定理与根的判别式的全部内容~。

韦达定理,根的判别式携手求最值

韦达定理,根的判别式携手求最值
韦达定理：两根之和等于-b/a，两根之差等于c/a：x1*x2=c/a；x1+x2=-b/a。

韦达定理公式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1/x12+1/x22=(x12+x22)/x1x2，
x13+x23=(x1+x2)(x12-x1x2+x22)等。

韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。

法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。

由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。

韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号、解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

一元二次方程的根的判别式为：（a，b，c分别为一元二次方程的二次项系数，一次项系数和常数项）。

韦达定理与根的判别式的关系更是密不可分。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。

无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理。

判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。

三个“二次”的关系(一、二)

【初高中衔接】4-5．三个“二次”的关系【知识要点归纳】一．一元二次方程1. 根的判别式：2. 根与系数的关系（韦达定理）：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么．这一关系也被称为韦达定理．二. 一元二次不等式三．一元二次函数根的分布【经典例题】例1：已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2：已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值；（3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．例3：解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0；（2）x －x 2＋6＜0；（3）4x 2＋4x ＋1≥0；（4）x 2－6x ＋9≤0；（5）－4＋x －x 2＜0．例4：已知不等式20(0)ax bx c a ++<≠的解是2,3x x <>或求不等式20bx ax c ++>的解．例5：解关于x 的一元二次不等式210(x ax a ++>为实数).例6：已知方程2x -2(m+2)x +2m -1=0，根据下列条件求实数m 的取值范围（只列式，无需求出结果）（1）有两个不相等的正根（2）有两个不等实根都大于2（3）有两个不等实根，一个根大于0小于1，一个根大于1小于2【课后练习】1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0；（2）x 2－x －12≤0；答案：（1）x ＜－1，或x ＞43；（2）－3≤x ≤4；2．使实系数一元二次方程2(1)0kx k x k --+=有两个实根的k 的取值范围是（） A ．113k -<<且 0k ≠ B ．113k -≤≤C ．1k ≤-或13k ≥D ．113k -≤≤且0k ≠【解析】A. 若方程有两个根，则其必为二次函数，那么0k≠，同时方程的判别式0∆>，即()()()22141310k k k k --=-->，解得113k <<，综合0k ≠，可得A 为正确选项。

-二次函数与根的判别式、韦达定理

二次函数与根的判别式、韦达定理讲点1：公共点问题【例1】如图，抛物线y ＝－x 2＋4x －3的顶点为M ，直线y ＝－2x －9与y 轴交于点C ，与直线MO 交于点D ，现将抛物线的顶点在直线OD 上平移，平移后的抛物线与射线CD （含顶点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．CO DM yx【练】如图，已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于点A,B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，直线CD 交x 轴于点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？FD CE A B O y x讲点2：距离问题【例2】如图，抛物线y ＝a(x －1)2＋4与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点，已知CD ＝2，在抛物线上共有三个点到直线BC 的距离为m ，求m 的值．CD BAOyx【练】如图，抛物线y ＝ax 2－6ax ＋5a 与x 轴交于A,B 两点（A 左，B 右），若抛物线与直线y ＝2x 的最近点之间的距离为255，求a 的值． yxO B A讲点3：隐藏判别式【例3】如图，点P 是直线l ：y ＝－2x －2上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线y ＝x 2与A,B 两点，试证明：对于直线l 上任意给定的一点P ，在抛物线上都能找到点A ，使得PA ＝AB 成立．PBAO yx【练】如图，已知二次函数y ＝a(x 2－6x ＋8)（a ＞0）的图象与x 轴分别交于点A,B ，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA,PB,PC,PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．CPDB AO y x讲点4：交点间的距离【例4】已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m 的图象与函数y ＝kx ＋1的图象交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1＜x 2）两点．（1）如图1，当k ＝1，m 取不同值时，猜想AB 的长是否不变？并证明你的猜想；A BxOy（2）如图2，当m ＝0，k 取不同值时，猜想△AOB 的形状，并证明你的猜想．BAyOx【例5】如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋5与y 轴交于点C ，过点N （1，2）作直线l ，交抛物线于点P ，交y 轴于点E ，连接PC ，若PE ＝PC ，求直线l 的解析式．lE P CN Oy x【练】如图，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3交x 轴于A,B 两点，交y 轴于点C ，将抛物线C 1沿y 轴翻折得新抛物线C 2，过点C 作直线l 交抛物线C 1于点M ，交抛物线C 2于点N ，若MN ＝82，求直线l 的解析式．A B xyO C三、对称问题【例6】如图，已知抛物线y ＝x 2－2x －3，直线y ＝kx －1与抛物线交于P,Q 两点，且y 轴平分线段PQ ，求k 的值．QPO y x【练】如图，已知抛物线y ＝x 2－4x ＋3，过点D （0，－52）的直线与抛物线交于点M,N ，与x 轴交于点E ，且点M,N 关于点E 对称，求直线MN 的解析式．yxNEMD O四、与面积结合【例7】如图，抛物线y ＝x 2－4x ＋5顶点为M ，平移直线y ＝x 交抛物线于点H,K ，若S △MHK ＝3，求平移后直线的解析式．【课后反馈】1．如图，已知抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，将抛物线沿对称轴向上平移k 个单位长度后与线段BC 交于D,E 两个不同的点，求k 的取值范围．E C DB A O yx2．如图，抛物线y ＝ax 2－6ax ＋5a 与x 轴交于A,B 两点（A 左，B 右），若抛物线不通过直线y ＝2x 上方的点，求抛物线顶点纵坐标的取值范围．yxO B A3．如图，抛物线y ＝14x 2＋32x ＋2与x 轴交于A,B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，将抛物线沿直线BC 平移，与射线AC （含点A ）仅有一个公共点，求抛物线顶点横坐标的值或取值范围．CBAOyx4．如图，已知抛物线C ：y ＝x 2－2x ＋4和直线l ：y ＝－2x ＋8，直线y ＝kx （k ＞0）与抛物线C 交于A,B 两点，与直线l 交于点P ，分别过A,B,P 作x 轴的垂线，垂足依次为A 1、B 1、P 1，若11OA ＋11OB ＝1u OP ，求u 的值．A 1B 1P 1B AP O yx5．如图1，抛物线C 1：y ＝x 2＋4x ＋3顶点为M ，抛物线C 2与抛物线C 1开口方向相反，形状相同，顶点为N ，且M,N 关于点P （0，2）对称．（1）求抛物线C 2的解析式；N MPOyx（2）直线y ＝m 交抛物线C 1于点A,B ，交抛物线C 2于点C,D ，若AB ＝2CD ，求m 的值；DCB ANMOyx。

第14讲根的判别式与韦达定理(word版)

第14讲根的判别式与韦达定理模块一一元二次方程根的判别式知识导航式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，即△＝b2－4ac．当△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．计算判别式的值，可以判断一元二次方程根的情况；反之，若一元二次方程有两个不等实数根，则△＞0；若一元二次方程有两个相等实数根，则△＝0；若一元二次方程无实数根，则△＜0.注意：①当△＝0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根②当△≥0时，方程有两个实根（一元二次方程有实根）．例1(1)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有解，求m的范围．-1x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．(2)己知关于x的一元二次方程x2－m(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围(5) （2016武汉元月调考第9题）关于x的方程（m－2）x2＋2x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．拓展己知关于x的方程(n－1)x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，试说明关于y的方程m2y2—2my－m2—2n2＋3＝0的根的情况【总结】1、在处理【例1】和【练1】这类问题时，一定要注意先判断方程类型，若方程类型不确定，则需要分类讨论2、关于方程类型，题目在设问方面会有下列说法：(1)“关于x的一元二次方程有解”则方程一定为一元二次方程．(2)“关于x的方程有两实根”则方程一定为一元二次方程．(3)“关于x的方程有解”则方程类型不确定，需要分类讨论例2(1) 己知a、b、c是三角形三边，求证：关于x的方程(a＋b)x2＋2cx＋（a＋b）＝0无实根．(2) 己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．练习己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2 ＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．模块二一元二次方程根与系数关系知识导航：由因式分解法可知，方程（x －x 1）(x －x 2)＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1和x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，即x 2一(x 1＋x 2)x ＋ x 1x 2＝0，则二次项系数为1，一次项系数为p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝ x 1x 2．于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：x 1＋x 2＝－p ， x 1x 2＝q对于一般地一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，二次项系数a 未必是1．根据求根公式，x 1＝a ac b b 24-2-+， x 2＝aac b b 24-2-- 由此可知，x 1＋x 2＝－a b ， x 1x 2＝ac 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比．例3(1)若x 1，x 2是一元二次方程x 2—5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是____(2)一元二次方程x 2—4x －c ＝0的一个根是3，则另一个根是____，c ＝___________(3)若方程x 2－3x 一1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为____ (4)关于x 的一元二次方程x 2一mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12＋x 22＝7，则(x 1－x 2)2的值是_____________练习(1)方程x 2—2x －1＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，(x 1－l )( x 2－1)＝______________cz ，设x 1、x 2是方程2x 2—6x +l ＝o 的两个实数根，则(x 1－21x )( x 2－11x )的值为__________ 【总结】1、用韦达定理，常见的恒等变形有：11x ＋21x ＝2121x x x x +,x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2,(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 21x x -＝212214)(x x x x -+x 13 ＋x 23＝(x 1 ＋x 2)(x 12＋x 22－x 1x 2)＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)2、韦达定理只有在两根存在的情况下才成立，故使用韦达定理的前提条件是b 2—4ac ≥0例4已知x 1，x 2是方程x 2—3x ＋l ＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________练习已知x 1，x 2是方程2x 2—3x －5 ＝0的两个根，求下列代数式的值：x 12＋x 22＝__________,12x x ＋21x x ＝_________; 21x x -＝___________ x 12－x 22＝________;12x x －21x x ＝___________,x 12＋3x 22－3x 2＝_________________例5已知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围．(2) 若x l ＋x 2 ＝1－x 1x 2，求k 的值．练习关于x 的方程x 2＋2(a －l )x ＋a 2 －7a －4＝0的两根为x 1. x 2，且x 1x 2 －3x l －3x 2 ＋2＝0，求a 的值例6关于一元二次方程x 2 ＋2x ＋k ＋l ＝0的实数解是x l 和x 2．(1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．练习己知关于x 的方程x 2 ＋2(m ＋2)x ＋m 2 －5＝0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．例7己知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2 －(2k ＋3)x ＋k 2 ＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长是5．(1)k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；(2)k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长．练习在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2＋mx ＋2－21m ＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．课后作业A 基础巩固1．已知x ＝l 是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是( )A .1B ．2C ．－2D ．－12．已知一元二次方程x 2—4x ＋3＝0两根为x 1,x 2，则x 1·x 2＝( )A .4B ．3C ．－4D .－3 3．己知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2—21+k x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．4．关于x 的方程kx 2 ＋(l －k )x －l ＝0有两个不等实根，则k 的取值范围是____________．5．关于x 的方程kx 2＋(l －k )x －l ＝0有实根，则k 的取值范围是_______________6．求证：不论m 为何值时，关于x 的方程x 2一2mx －2m －4＝0总有两个不相等的实根．7．如果一直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，b 为斜边，求证：关于x 的方程a (x 2 －1)一2cx ＋b (x 2 ＋1)＝0有两个相等的实数根8．己知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________B 综合训练 9．（2015年汉阳区九上期中）己知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围；(2) 若x 1＋x 2＝1－ x 1x 2，求k 的值．10.已知关于x 的一元二次方程mx 2—2x ＋l ＝0．(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 2一x 1一x 2＝21，求m 的值 111.己知，关于x 的方程x 2一kx ＋k －1＝0(1)求证：无论k 取何值，方程总有两实数根(2)若等腰△ABC 的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC 的周长数学故事“石头剪刀布”或能揭示演化策略“石头剪刀布”是游戏中解决争端的常用方式，每人各出剪刀、石头、布中的一种，通过石头砸剪刀、剪刀剪布、布包住石头的规则，可以在两人甚至多人中决出胜负．不过，科学家发现，大自然也用自己的方式玩着类似“石头剪刀布”这样的游戏，数学家和生物学家利用这种方式研究了从人类社会到培养皿中的细菌的各种现象．如今，研究者又发现，当玩家不断改变策略时，三种武器的使用频率会轮流上升与下降，呈现出一种固定的模式．这一发现或许可以帮助我们理解生物在生存之争中是如何维持竞争策略的．一旦应用到生物中来，石头剪刀布就不仅仅是两个小孩子的游戏，而变成多玩家之间的复杂关系了．比方说，某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略就有三种：侵略、合作与欺骗，这三种策略就和石头剪刀布一样，有着环状的胜负关系（侵略战胜合作，欺骗战胜侵略，合作战胜欺骗），而对于蜥蜴来说，成功繁衍后代就意味着赢得游戏，在生物的“石头剪刀布”游戏中，通常是大的种群中随机产生一对玩家开始比拼，每个玩家通常都保持一种固定的策略一一即对每一个对手都出同样的姿势（石头、剪刀或者布）．每次对决之后，赢家就增加一个（对应着繁衍后代），使用同样的策略，而输家则消失．对这种模型进行仔细的数学研究以后发现，出石头、剪刀和布的玩家会随着时间波动．随着初始情况中每种策略所占比例不同，整个群体的情况会分别演变成不同的长期行为，比如用石头、剪刀、布的个体各占三分之一，或者一种策略大幅减少另两种上升，过一段时间又反过来，呈现剧烈的周期波动．受到计算机模拟的启发，康奈尔大学的两位数学家Steven Strogatz 和Danielle Toupo 决定研究一下如果玩家中途改变策略会发生什么．“我觉得这个想法很吸引人，就想找到一种最简洁的数学模型来描述它，”Strogatz 说．他们试图回到最基础的原理，寻找纯粹的公式，而非复杂的计算机模拟．Strogatz 和Toupo 修正了“石头剪刀布”方程，允许一些“突变子女”存在，它们所采用的策略和亲代不同．此前的研究者也研究了突变，但一直假设突变是对称的，即每种策略变成其他策略的几率相同，但Strogatz 和To upo 考虑到了其他的模式，比如出石头的玩家可能会生下出布的子女，但反过来则不尽然．每种突变最终都会导致一种循环，即出石头、剪刀和布的玩家数都各自不停地上下波动，循环不息．而更令人惊讶的是，他们还证明哪怕突变率极低甚至接近于0，整个游戏还是会进入这种循环模式，论文发表于本月的《物理评论E 》（Physical ReviewE ）中，只是增加了一点点突变的因素，游戏结果就不再是三种各占三分之一的稳定态或是剧烈波动态了， “我认为该研究最吸引入的一点是，这种‘游戏’在自然界中真的存在，”加州大学圣克鲁兹分校的生态学家BarrySinervo 说，他没有参与这项工作，“哪怕你不是数学家，也会欣赏这一研究．”Sinervo-直在研究加州一种侧斑鬣蜥，该蜥蜴的种群行为也会进入像“石头剪刀布”一样的振荡状态．Sinervo和同事通过野外的长期观察发现，采取侵略、合作和欺骗三种策略的蜥蜴数目有一个6年的变化周期，每一代新的蜥蜴诞生时，主导策略都会变化．Strogatz和Toupo的新研究为Sinervo的工作提供了数学模型，来解释了这种变化周期，“对我来说，这篇论文的有趣之处就在这里．”Sinervo说，由于数学方面的限制，康奈尔大学的研究者还不能证明他们的发现适用于所有的突变模式，但Strogatz说他们预测会如此．研究更广泛的突变模式也可以更进一步地提供数学基础，帮助我们解释自然界这个大剧场里物种策略的兴衰变迁．。

第六课根的判别式与韦达定理

第六课根的判别式与韦达定理一、知识点1.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕根的判别式：2.韦达定理：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0〔a ≠0〕的两个根是12,x x ，那么有： 12x x +=_________ 12x x =_________ 二、例题例1 解关于x 的方程：〔1〕x 2－3x ＋3＝0 〔2〕x 2－2x ＋a ＝0 〔3〕2210mx x ++=例2 方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 12,x x 是方程2520x x --=两个实数根，求以下式子的值：①1211x x +；②2212x x +；③3312x x +；④()()1211x x --；⑤12x x -例5 两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例6 求作一个方程，使它的根是方程2780x x -+=的两根的平方的负倒数.例7 假设关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．三、练习： 1．填空题：〔1〕假设关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，那么实数m 的取值范围是．〔2〕方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，那么k ＝．〔3〕关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，那么它的另一个根是．〔4〕如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是．〔5〕一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，那么这个直角三角形的斜边长等于．2．关于x 的方程x 2－kx －2＝0．〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；〔2〕设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．3．一元二次方程22450x x --=的两个根分别是12,x x ，求以下式子的值：〔1〕12(2)(2)x x ++ 〔2〕3312x x + 〔3〕12x x -4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．5．假设关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围．。

求根公式根的判别式韦达定理

求根公式根的判别式韦达定理求根公式、根的判别式和韦达定理都是数学中与多项式方程有关的重要概念。

在代数学和高等数学中，这些定理被广泛应用于求解多项式方程的根以及分析多项式函数的性质。

下面将详细介绍这些定理的原理和应用。

一、求根公式求根公式是一个重要的定理，它告诉我们如何求解一元二次方程和一元三次方程的根。

具体地说，一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。

根据求根公式，一元二次方程的根可以通过下面的公式来求解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)同样地，对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知的实数，且a ≠ 0。

求根公式告诉我们一元三次方程的根可以通过下面的公式来求解：x=r+s+t其中r、s、t为复数，满足下面的条件：r=-b/(3a)+(Δ)^(1/3)/(3a)s=-b/(3a)+(ζΔ)^(1/3)/(3a)t=-b/(3a)-(ζΔ)^(1/3)/(3a)Δ = c^2 - 3bd + 12ad^2 - 4ac^3 - 4b^3dζ=(-1+√3i)/2，即ζ是虚数单位求根公式的应用非常广泛，可以帮助我们求解各种类型的方程，特别是二次方程和三次方程。

通过求根公式，我们可以找到方程的解的表达式。

二、根的判别式根的判别式是用来判断方程的根的条件的一种方法。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。

根据根的判别式，方程的根可以通过下面的判别式来判断：Δ = b^2 - 4ac如果Δ>0，则方程有两个不相等的实根。

如果Δ=0，则方程有两个相等的实根。

如果Δ<0，则方程没有实根，但可以有两个复数根。

根的判别式可以帮助我们快速判断方程的根的数量和性质，从而可以在求解过程中采取不同的计算方法。

三、韦达定理韦达定理是数学中多项式的一个重要定理，它描述了一个多项式的根与系数之间的关系。

初中数学一元二次方程根的判别式与韦达定理

根的判别式与韦达定理中考要求例题精讲板块一根的判别式☞定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a+= 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．☞判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．☞根的判别式的应用：☞⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【解析】略【答案】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零 ∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【答案】A【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：⑴22340x x +-=；⑵232x +=212x +=；⑷22(21)220m x mx +-+=；⑸2210x ax a ++-=220-+=；⑺4(1)30x x +-=；⑻2(1)(2)x x m --=【解析】略【答案】⑴两个不等的实数根；⑵两个相等的实数根；⑶无实数根；⑷无实数根；⑸两个不等的实数根；⑹无实数根；⑺两个不相等的实数根；⑻两个不相等的实数根【例2】已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（）． A ．有2个负根 B ．有2个正根 C ．有2个异号的实根 D ．无实根【解析】方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【答案】D☞⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；【例3】 m 取什么值时，关于x 的方程222(3)6x mx +-=有两个相等的实数根【解析】略【答案】1m =±【巩固】如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A ． 1k <B ． 0k ≠C ．10k k <≠且D ． 1k >【解析】由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩所以 10k k <≠且【答案】C【巩固】方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0 【答案】9k <且0k ≠【巩固】若关于x 的二次方程2(1)220m x mx m -++-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是【解析】注意二次项系数不为0【答案】23m >且1m ≠【巩固】若关于x 的一元二次方程2(1)210k x x ++-=有实数根，则k 的最小整数值为【解析】注意题目要求以及二次项系数不为0的条件【答案】2k =-【巩固】已知方程22(21)10m x m x +++=有实数根，求m 的范围．【解析】注意分两种情况讨论：若0m =，则原方程可化为101x x +=⇒=-满足题意；若0m ≠，则由题意可知221(21)404104m m m m ∆=+-≥⇒+≥⇒≥-．综上可知，14m ≥-【答案】14m ≥-【例4】关于x的一元二次方程2(12)10k x ---=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．【解析】由题意，得4(1)4(12)010120k k k k ++->⎧⎪+≥⎨⎪-≠⎩解得12k -≤<且12k ≠【答案】12k -≤<且12k ≠【巩固】关于x的方程210x ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为________．【解析】240k ⎧∆=->⎪⎨>⎪⎩，解得1k >【答案】1k >【巩固】已知关于x 的方程222(1)50x m x m ++++=有两个不相等的实数根，化简：|1|m -【解析】∵0>△，∴2m >∴|1||1||2|23m m m m --+-=-【答案】23m -【巩固】已知关于x的一元二次方程20x m -=有两个不相等的实数根，求m 的取值范围．【解析】由题意可知，原方程的判别式21(41303m m m ∆=+=+>⇒>-．又101m m -≥⇒≤，故113m -<≤．【答案】113m -<≤【巩固】k 为何值时，方程2(1)(23)(3)0k x k x k --+++=有实数根．【解析】需要分两种情况来讨论：⑴ 当10k -=时，原方程是一元一次方程，有一个实数根45x =； ⑵ 当10k -≠时，方程是一元二次方程，故0∆≥，解得214k ≥-且1k ≠，所以当214k ≥-且1k ≠时方程有两个实数根．综上所述，当214k ≥-时，方程有实数根．【答案】214k ≥-【例5】关于x 的方程()26860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是．【解析】由一元二次方程根的情况可知240b ac -≥，即()()284660a --⨯⨯-≥，解得263a ≤，故max 8a =．【答案】8【巩固】若方程222(1)450x a x a a ++++-=有实数根，求：正整数a ．【解析】0∆≥，即()()22414450a a a +-+-≥，解不等式得3a ≤，即123a =，，．【答案】1，2，3【例6】已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【解析】∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根．∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+=∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -=∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．【答案】1-【巩固】当a b 、为何值时，方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根？【解析】要使关于x 的一元二次方程()2222134420x a x a ab b ++++++=有实根，则必有0∆≥，即()()22241434420a a ab b +-+++≥，得()()22210a b a ++-≤．又因为()()22210a b a ++-≥，所以()()22210a b a ++-=，得1a =，12b =-．【答案】1a =，12b =-【例7】已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【答案】C【巩固】若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=（）．A ．没有实数根B ．有2个不同的实数根C ．有2个相等的实数根D ．实数根的个数不能确定【解析】∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根（相等或不相等），要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【答案】C☞⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；【例8】对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根．【解析】略【答案】∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证：关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根．【解析】略【答案】∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+= ∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【巩固】已知实数a 、b 、c 、r 、p 满足2pr >，20pc b ra -+=，求证：一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【解析】略【答案】2(2)4b ac ∆=-，因2b pc ra =+，则222()4()()2(2)pc m ac pc ra ac pr ∆=+-=++-．又2pr >，所以当0ac ≥时，0∆≥；当0ac <时，40ac ->，2()40pc ra ac ∆=+->．因此，一元二次方程220ax bx c ++=必有实根．【巩固】证明：无论实数m 、n 取何值时，方程2()0mx m n x n +++=都有实数根【解析】注意分类讨论.【答案】⑴若0m =，则方程为nx n =-，当0n ≠时，有实数根1x =-；当0n =时，方程的根为任意实数⑵当0m ≠时，原方程为一元二次方程 22()4()0m n mn m n ∆=+-=-≥ ∴方程必有实数根综合⑴⑵可知，原结论成立【巩固】已知：方程()22250mx m x m -+++=没有实数根，且5m ≠，求证：()()25220m x m x m --++=有两个实数根．【解析】略【答案】当0m =时，()22250mx m x m -+++=可化为450x -+=，此时方程有根，故0m ≠ 故214(2)4(5)0404m m m m m ∆=+-+<⇒-<⇒>．方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠的判别式为： 224(2)4(5)4(94)0m m m m ∆=+--=+>故方程()()25220(5)m x m x m m --++=≠有两个实数根．板块二韦达定理☞ 如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．（隐含的条件：0∆≥）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x ，2x 是方程20x px q ++=的两个根，则12x x p +=-，12x x q ⋅=．☞利用韦达定理求代数式的值【例9】不解方程224)0x x +-=，求两根之和与两根之积【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥ 【答案】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得12x x +==，12x x ⋅==【巩固】设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值⑴12(3)(3)x x --；⑵211211x xx x +++；⑶12x x -【解析】不解方程，即利用韦达定理将12x x +、12x x 的整体构造出来【答案】由韦达定理得1274x x +=，1234x x ⋅=-⑴12121237(3)(3)3()939344x x x x x x --=-++=--⨯+=；⑵221221112121212121212(1)(1)()2()10111(1)(1)132x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-+++===+++++++ ⑶2221212127397()()4()4()4416x x x x x x -=+-=-⨯-=，∴12x x -=【巩固】已知方程22430x x +-=的两个根为1x 、2x⑴12x x += ；⑵12_______x x ⋅=；⑶1211_______x x +=；⑷2212_______x x +=【解析】略【答案】⑴2-；⑵32-；⑶43；⑷7【巩固】已知α、β是方程2520x x ++=的值．【解析】注意α，β均为负数，很多学生求出的结果均为负值【答案】由韦达定理可得，5αβ+=-，2αβ=∴22222()2522a a ββαβαβαβαβαβ+++=++===☞利用韦达定理求参数的值【例10】若3-、2是方程20x px q -+=的两个根，则________p q += 【解析】略【答案】7-【巩固】若方程210x px ++=的一个根为1，则它的另一根等于，p 等于【解析】部分学生喜欢将1x =p 的数值，然后再求方程另外一个根，此方法较慢。

根的判别式,韦达定理

第3讲根的判别式以及韦达定理新知探究：1、一元二次方程的根：有两个根，最多有两个实数根或没有实数根。

2、根的情况的判别：在)0(02≠=++a c bx ax 中，令ac b 42-=∆，其中，∆称为一元二次方程根的判别式。

（1）当0≥∆时，_____________________________________；（2）当0>∆时，_____________________________________；（3）当0=∆时，_____________________________________；（4）当0<∆时，_____________________________________。

3、由求根公式可知：aacb b x a ac b b x 24,242221-+-=---=，则=+21x x _____， =∙21x x ______________。

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系（韦达定理）：结论1．如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，=+21x x 即：两根之和等于_____________；=∙21x x 即：两根之积等于_____________。

4、如果把方程)0(02≠=++a c bx ax 的二次项系数化为1，则方程变形为)0(02≠=++----a acx x ，我们就可把它写成02=++q px x ．的形式其中=p ab ，=q ac ，结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =∙-=+2121,。

则以21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x说明：（1）韦达定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别【典型例题】【例1】不解方程，判断下列方程根的情况：.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--变式练习：（2013•珠海）已知一元二次方程：①0322=++x x ；②0322=--x x ．下列说法正确的是（）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解【例2】证明方程的根的情况：1、求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。

判别式-韦达定理经典题型讲解

训练题
1、（海淀中考）已知：关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的两个实数根之差的平方为m．
（1）试分别判断当a=1，c=-3与a=2，c= 时，m≥4是否成立，并说明理由；
（2）若对于任意一个非零的实数a，m≥4总成立，求实数c及m的值．
2、已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2-1=0，②x2+x-2=0，③x2+2x-3=0，…（n）x2+（n-1）x-n=0．
家长签字：
【典例3】.已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。
【典例4】已知方程
（1）若方程两根之差为5，求k。
（2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。
【典例5】已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。
【典例6】（06黑龙江）已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（6）方程x+8x-1=0的两个根为α，β，则3α+2αβ+8α-9=_______
5、已知a-3a=1,b-3b=1,求 + 的值。
6、三角形ABC 的三边长分别为 a,b,c，满足b=8-c, a-12a-bc+52=0,试判断三角形ABC的形状。
7、s,t满足19s+99s+1=0,t+99t+19=0 ，并且st≠1,求的值。
学生姓名
赵琦
年级
九年级
上课时间
07月15日16:30~18:30
教学目标
教学重难点
1、求根公式：
2、根的判别式：
3、韦达定理：
根的判别式
【典例1】.关于的方程的一个根是－2，则方程的另一根是_____；＝______。

韦达与根的判别式

韦达与根的判别式根（root ）是一元整式方程的解的别称。

阿拉伯人阿尔．花拉子米（783-850）在公元820年左右出版了《代数学》一书。

书中给出了一元二次方程的求根公式，并把方程的未知数叫做“根”，其后译成拉丁文radix 。

花拉子米在数学史上地位很高，他的名字被误传为拉丁化的 “algorism ”，后来该词具有“计算艺术”的意思，即我们今天所称的“算术”（arithmetic ）。

我国清代数学家梅谷城（1681-1763）把西方传入的代数学译为“借根方”，把代数看成求解方程的科学。

法国十六世纪最有影响的数学家之一韦达（Viete ，Francois ，seigneurdeLa Bigotiere ），第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。

他生于法国的普瓦图。

年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员。

韦达是第一个使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。

韦达还讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系，所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”。

在一元二次方程的特例，两个根的和等于方程的一次项系数除以二次项系数的相反数；两个根的乘积等于方程的常数项除以二次项系数。

阿尔．花拉子米（783-850）韦达法国人（1540年- 1603年12月13日）设，是一元二次方程的两根，那么，韦达定理的逆定理同样成立。

仍然以一元二次方程为例：给定一个一元二次方程。

如果有两个数，它们的和等于该方程的一次项系数除以二次项系数的相反数，它们的积又等于该方程的常数项除以二次项系数，那么它们就是该方程的两根。

设关于的一元二次方程为，且，，、必定是一元二次方程的两个根。

韦达定理还有拓广，如当一元二次方程不存在实数根时，韦达定理在虚数范围内依然存在。

对于一元n次方程，也有类似的结论。

韦达从事数学研究只是出于律师工作外的爱好，但就是这个爱好让他名垂千史。

从根的判别式到韦达定理

从根的判别式到韦达定理 ①根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1,2＝242b b ac a-±-；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1,2＝242b b ac a-±-；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根2142a a x ++=， 2242a a x -+=．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )，所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根 111x a =+-， 211x a =--；②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．②根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根 2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=，则有2212442222b b ac b b ac b b x x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac c x x a a a a a-+------=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．。

初中韦达定理公式

韦达定理公式那么韦达定理公式是什么呢？怎么计算？具体如下：一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=(X1+X2)/X1·X2用韦达定理判断方程的根一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若b2-4ac若b2-4ac=0则方程有两个相等的实数根若b2-4ac>0则方程有两个不相等的实数根定理拓展(1)若两根互为相反数，则b=0(2)若两根互为倒数，则a=c(3)若一根为0，则c=0(4)若一根为-1，则a-b+c=0(5)若一根为1，则a+b+c=0(6)若a、c异号，方程一定有两个实数根。

以上为韦达定理公式：一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac>0)中，设两个根为x1，x2则X1+X2=-b/a、X1·X2=c/a、1/X1+1/X2=(X1+X2)/X1·X2x1乘x2公式韦达定理是什么公式？x1乘x2公式韦达定理是一元二次方程。

即ax加bx加c等于0，a不等于0且△等于b^度2减4ac大于等于0中若两个根为X1和X2，则X1加X2等于负b除a，X1乘X2等于c除a，只含有一个未知数一元，并且未知数项的最高次数是2二次的整式方程叫做一元二次方程。

x1乘x2公式韦达定理特点一元二次方程方程的两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数，韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系，韦达定理在求根的对称函数，讨论二次方程根的符号解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题都凸显出独特的作用。

根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系，无论方程有无实数根，实系数一元二次方程的根与系数之间适合韦达定理，判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定一元二次方程根的状况和特征。