导数1——导数的概念(学案)

使用时间：2012-2-20

课题：变化率问题、导数的概念

适用范围： 高二文科数学

学习目标：

1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义；

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景 3.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义；

4.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度． 重点：导数定义

难点：导数定义的理解

学案编制人 刘芳

学案审核人 高二文科备课

教学设计

一课前准备

（预习教材P 72~ P 75，找出疑惑之处）

复习1：曲线221259x y +=与曲线22

1(9)259x y k k k

+=<--的（ ）

A ．长、短轴长相等

B ．焦距相等

C ．离心率相等

D ．准线相同 复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一：

问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率

吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象?

问题2：高台跳水，求平均速度

新知：1.平均变化率：2121()()f x f x f

x x x

-∆=-∆

试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即

x ∆= 或者2x = ，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化 量或增量记为y ∆，即y ∆= ；如果它们的比值

y

x

∆∆，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率.

反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.

探究任务二：瞬时速度

问题3：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是

新知：

2.瞬时速度定义：

探究任务三：导数

问题4： 瞬时速度是平均速度t

s

∆∆当t ∆趋近于0时的 新知：

3.导数的定义：

注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在

(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0

(3)

x

y

∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）及点)(,(00x x f x x ∆+∆+）的割线斜率

(4)导数x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(000

0/

是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数

)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.

小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.

※ 典型例题

例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.

变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y

x

∆∆=

例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度（单位：0

c ）为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.

例3 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，

(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求t

s

∆∆.

(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度

利用导数的定义求导，步骤为：

第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-； 第二步：求平均变化率

0()

f x x y x x

+∆∆=

∆∆； 第三步：取极限得导数00()lim

x y

f x x

∆→∆'=∆.

※ 动手试试

练1. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.

（发现：y kx b =+在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？

练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度

三、总结提升 ※ 学习小结

1.函数()f x 的平均变化率是

2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：

（1）求函数值的增量 （2）计算平均变化率 3.导数的定义

※ 知识拓展

平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0

2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为（ ） A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆

C ．0()f x x ∆

D ．00()()f x x f x +∆-

3. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t

∆→∆∆为（ ）

Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度；

Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 4. 2y x =在 x =1处的导数为（ ） A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．1