2019-2020年中考数学专题突破导学练第24讲梯形试题

2019-2020年中考数学专题突破导学练第24讲梯形试题

【知识梳理】

1.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

2.特殊梯形的分类：直角梯形和等腰梯形.

(1)直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形

(2)等腰梯形的定义：两腰相等的梯形.

3. 特殊梯形的性质与判定：

(1)等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。

(2)等腰梯形判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。

4.梯形中常规辅助线的添加方式:

本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究，要求学生在学习过程中多动手多动脑，把自己的发现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的特点，这样有利于学生对知识的把握。

【考点解析】

考点一：梯形的有关计算

【例1】如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（）

A．2 B．2 C．D．

思路分析：先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．

解：∵CA是∠BCD的平分线，

∴∠DCA=∠ACB，

又∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠CAD，

∴∠DAC=∠DCA，

∴DA=DC，

如图，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，

∵AB⊥AC，

∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），

∴点F是AC中点，

∴AF=CF，

∴EF是△CAB的中位线，

∴EF=AB=2，

∵=1，

∴EF=DF=2，

在Rt△ADF中，AF=，

则AC=2AF=8，

tanB=．

故选B．

点评：本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．

考点二、等腰梯形的性质

【例2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，∠DEC=∠C，求证：梯形ABCD是等腰梯形．

思路分析：由AB∥DE，∠DEC=∠C，易证得∠B=∠C，又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论．

证明：∵AB∥DE，

∴∠DEC=∠B，

∵∠DEC=∠C，

∴∠B=∠C，

∴梯形ABCD是等腰梯形．

点评：此题考查了等腰梯形的判定．此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用．

考点三、梯形的判定

【例4】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足AB=DC （或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等条件时，有MB=MC（只填一个即可）．

考点：梯形；全等三角形的判定．.

专题：开放型．

分析：根据题意得出△ABM≌△△DCM，进而得出MB=MC．

解答：解：当AB=DC时，∵梯形ABCD中，AD∥BC，

则∠A=∠D，

∵点M是AD的中点，

∴AM=MD，

在△ABM和△△DCM中，

，

∴△ABM≌△△DCM（SAS），

∴MB=MC，

同理可得出：∠ABC=∠DCB、∠A=∠D时都可以得出MB=MC，

故答案为：AB=DC（或∠ABC=∠DCB、∠A=∠D）等．

点评：此题主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△ABM≌△△DCM 是解题关键．

【中考热点】

如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；

（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

思路分析：（1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；

（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；

（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．

解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，

∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴y=-x2+x．

（2）∵y=-x2+x=-（x-）2+，

∴当x=时，y取得最大值，最大值为．

∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，

∴≤1，解得m≤2．

∴m的取值范围为：0＜m≤2．

（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，

又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，

∴∠APG=∠APB．

∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，

∴∠GAP=∠APB，

∴∠GAP=∠APG，

∴AG=PG=PC．

解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H，

则易知ABCH为矩形，HE=CH-CE=2-y，GH=AH-AG=4-（4-x）=x，在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2，

即：x2+（2-y）2=y2，化简得：x2-4y+4=0 ①

由（1）可知，y=-x2+x，这里m=4，∴y=-x2+2x，

代入①式整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，

∴BP的长为或2．

解法二：如解答图所示，连接GC．

∵AG∥PC，AG=PC，

∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG．

易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．

过点G作GN⊥PC于点N，则GH=2，PN=PC-CN=4-2x．

在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2，

即：（4-2x）2+22=（4-x）2，

整理得：x2-8x+4=0，解得：x=或x=2，

∴BP的长为或2．

解法三：过点A作AK⊥PG于点K，

∵∠APB=∠APG，