分式 NO.05
分式的概念与运算
分式的概念与运算分式，也可称为有理数的形式，是表示两个整数之间关系的一种数学表达式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示除法的被除数，分母表示除法的除数。
在数学中，分式广泛应用于各种实际问题的求解与计算中。
本文将介绍分式的概念、基本性质，以及分式的加减乘除运算。
一、分式的概念分式的本质是一个数的表达方式，它可以表示两个整数之间的比例关系。
例如，$\frac{1}{2}$表示整数1与整数2之间的比值，读作“1除以2”。
在分式中，分子和分母可以是任意整数，并且分母不能为零。
当分子为0时，分式的值为0。
二、分式的基本性质1. 分式的值可以是一个整数、一个真分数或带分数。
当分子大于分母时，分式的值大于1；当分子小于分母时，分式的值小于1。
2. 分式可以进行化简。
也就是说，可以约分分式中的分子和分母，将它们的公约数约掉，使得分子和分母互质。
例如，$\frac{2}{4}$可以化简为$\frac{1}{2}$。
3. 分式可以进行扩展。
也就是说，可以将分子和分母同时乘以一个非零整数，得到等价的分式。
例如，$\frac{3}{5}$可以扩展为$\frac{6}{10}$。
三、分式的加减乘除运算1. 分式的加法和减法分式的加法和减法遵循公式：$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
具体来说，对于分式$\frac{a}{b}$和$\frac{c}{d}$，只需将两个分式的分母取公倍数得到新的分母，然后将分子相应操作后得到新的分子，即可得到结果。
示例：$$\frac{3}{5} + \frac{2}{3} = \frac{9}{15} + \frac{10}{15} =\frac{19}{15}$$$$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$2. 分式的乘法和除法分式的乘法和除法遵循公式：$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$$$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} =\frac{ad}{bc}$$其中$a$、$b$、$c$和$d$为任意整数。
分式的基本性质ppt
应用场景
分式不等式在解决实际问题中非常有用，例如最大值和最小值问题，优化问题 等。
分式与几何知识的结合应用
分式与面积的关系
在几何学中，分式经常用于表示面积的比例关系。例如，在相似三 角形中，边长的比例与对应高线的比例成反比。
分式与体积的关系
在三维几何中，分式可以用来表示体积的比例关系。例如，在圆柱 体中，高与底面积的比例等于体积的比例。
路程问题等，需要使用到约分和通分的技巧。
04
分式的化简与求值
分式的化简方法
01
约分法
通过找出分子和分母的公因式，将 其约去，简化分式。
分子分母同除法
将分子和分母同时除以同一个非零 数，简化分式。
03
02
分子分母分解法
将分子和分母分解为因式，然后约 去公因式，简化分式。
分子分母同乘法
将分子和分母同时乘以同一个非零 数，简化分式。
02
分式的基本性质
分子与分母的运算性质
分子分母同乘除
分式的分子和分母可以同时乘以或除以同一个非零实 数，分式的值不变。
分子分母同加减
分式的分子和分母可以同时加上或减去同一个数，分 式的值不变。
分子分母同倍数
分式的分子和分母可以同时乘以同一个正整数，分式 的值不变。
分式的加减法性质
同分母分式相加减
应用场景
分式在几何学中的应用非常广泛，例如相似性、比例、面积和体积的 计算等。
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分数的表示方法
1 2
分数
分数是一种特殊的分式，其分母为1。分数可以 用普通的小数表示，例如1/2可以表示为0.5。
混合数
混合数是一种分数，其分子和分母都是整数。例 如，3/4可以表示为3/4，也可以表示为0.75。
分式的概念及基本性质分式的运算
分式的概念及基本性质分式的运算1. 知识精讲及例题分析（一）知识梳理1.分式的概念形如一（A、B是整式，且B中含有字母，B 0 ）的式子叫做分式。
其中A叫分式的分子，B叫分式的B分母。
注：（1）分式的分母中必须含有字母（2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义2. 有理式的分类单项式有理式整式多项式分式3. 分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
A A M A A M，（M为整式，且M 0）B B M B B M4. 分式的约分与通分（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
步骤：①分式的分子、分母都是单项式时②分子、分母是多项式时（2）通分：把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，为进行分式加减奠定基础。
通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幕的积。
求最简公分母的步骤：①各分母是单项式时②各分母是多项式时5. 分式的运算（1）乘除运算（2）分式的乘方（3）分式的加减运算（4）分式的混合运算【典型例题】例1.下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式。
例2.下列分式何时有意义(1)1|x| 1 (3)4xx2 1x~2 ~x 2xab21 a a ，x，3x x 1 1 ,厂y，，;(x1y)，(ayb)，例3.下列分式何时值为零F列各式中x为何值时，分式的值为零?(1) 4x 33x(2)x22 |x|1)(x 2)1. 填空。
(1)x xy /(y0) x1( )(3) x y(2 2) (x y 0) x y x y2.3xy-2 ~x 2xa2ab(4)h( )x 2a b( ) 不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数。
(1)0.3x y0.02x 0.5y11x—y（2）3412—x—y23例5.约分(1) 21a3b5c56a2b10d(2)3ab(a b)612a(b a)(3) x2 4x 4 2 2(3a 2a )(3 2a a )2 2(a a)(2a 5a 3)(1)3512 ，2 4a b6b2c2ac(2)x 2x32x x2x 2 2 8 4x例6.通分:1 1例7.分式运算 1. 计算:⑴羊（診a 2 43a 242. 3. 5. 6. (3)计算: x 2 2xy y 2(1)(计算:计算:计算:xy2xy y x 22xy(4) (abb 2)b 2a 8)(弓ab)7 aU )6 ；(2)x )2 (y 22~~2-x4.a 22a 3计算:1x 2 4x 4(x1)2 2x 3x 2 x 17.计算： 22x y2例8.能力提高题2 211.已知X 2 3x 1 0，求X 2牙的值。
分式概念及意义
分式的意义和性质一、分式的概念1、用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母，如果除式B中含有字母，式子就叫做分式。
这就是分式的概念。
研究分式就从这里展开。
2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，那么，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。
分式的分子A可取任意数值，但分母B不能为零，因为用零做除数没有意义。
一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。
3.〔1〕分式：，当B=0时，分式无意义。
〔2〕分式：，当B≠0时，分式有意义。
〔3〕分式：，当时，分式的值为零。
〔4〕分式：，当时，分式的值为1。
〔5〕分式：，当时，即或时，为正数。
〔6〕分式：，当时，即或时，为负数。
〔7〕分式：，当时或时，为非负数。
三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。
不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。
2、这个性质可用式子表示为：〔M为不等于零的整式〕3、学习基本性质应注意几点：〔1〕分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；〔2〕易犯错误是只乘〔或只除〕分母或只乘〔或只除〕分子；〔3〕如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。
4、分式变号法则的依据是分式的基本性质。
5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如以下式子：，。
四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。
就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。
2、约分的理论依据是分式的基本性质。
3、约分的方法：〔1〕如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。
例1，请说出以下各式中哪些是整式，那些是分式？〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕a2-a〔6〕。
分式知识点总结(word文档良心出品)
分式知识点总结1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件：分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.）（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。
首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。
）4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为（），其中A、B、C是整式注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一整式C；（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。
浙教版七年级数学下册：第五章 分式 教学课件
分析：设江水的流速为v千米/时， 根据“两次航行所用时间相同” 这一等量关系，得到方程 .
90 30
v
60 30
v
1.了解分式方程的概念,会解分式方程 2.了解方程无解的原因.会检验分式方程的根.
合作探究 达成目标
探究点（一）分式方程的概念
方程
90 30
v
60 30
v
有何特征，你能说说和整式方程的区
l
r
b
h
解: 由题意得，易拉罐的总数为
l 2r
b 2r
lb 4r 2
个
由于纸箱的高度与易拉罐的高度相等，因此易
拉罐所占空间的总体积与纸箱的容积之比为
lb 4r 2
r2
h
lb h
lb r2 h
4r2 lb h 4 79%
答：纸箱空间的利用率约为79%.
填空
a b
2
a b
a b
b 2x
b y 2x y
by 2 xy
;
(2)因为x
0, 所以 ax bx
ax bx x
a b
.
为什么x≠0？
观察分式： a b
，a b
，-
a b
你认为这三个分式的值相等吗？发现分式的符号有
几个地方可以放置？
2 －２÷３＝ 2
3
3
2 ２÷（－３）＝ 2
3
3
即 2 2 2
3 3 3
类似地，我们可以得到：
a2 b2
;
a b
3
a
b
a
b
a b
a3 b3 ;
a b
4
a b
a b
分式知识讲解
分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，与有区别，是整式，即只看形式，不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1.分式有意义的条件：分母不等于零.2.分式无意义的条件：分母等于零.3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.分式的乘除（基础）【学习目标】1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.2.会分式的乘法、除法运算.3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算.【要点梳理】要点一、分式的乘除法1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：，其中是整式，.2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：，其中是整式，.要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘.（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.要点二、分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）.要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如.分式的加减（基础）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：.要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母.（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.要点三、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：.要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.要点四、分式的混合运算与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵活运用运算律，将大大提高运算速度.分式方程的解法及应用（基础）【学习目标】1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案.分式全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义.2.分式的基本性质（M 为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 ，其中是整式，.两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 ，其中是整式，.两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.。
分式的基本性质
分式的基本性质分式是数学中常见的一种表示形式，它可以表示两个数之间的比例或者部分与整体之间的关系。
在分式中，有一些基本的性质需要我们了解和掌握。
本文将介绍分式的基本性质，并通过具体的例子来加深理解。
1. 分式的定义分式是由分子和分母构成的数字表达形式。
分子表示被分割的部分，分母表示整体的数量或者大小。
分式通常用斜线表示分子和分母的关系，例如a/b。
2. 分式的约束条件分式在表示数值时需要满足一定的约束条件：•分子和分母必须是实数。
•分母不能为零，否则分式无意义。
3. 分式的简化对于一个分式而言，如果它的分子和分母存在一个公因数，那么我们可以将其约分为一个最简分式。
简化一个分式的好处在于更好地理解和计算分式的值。
例如，对于分式12/18，我们可以将其约分为最简分式2/3。
这是因为12和18都可以被6整除。
4. 分式的乘法和除法运算分式的乘法运算是指将两个分式相乘得到一个新的分式。
乘法运算中需要注意以下几点：•分子与分子相乘，分母与分母相乘。
•若两个分式的分子和分母都可以约分，则先约分再相乘。
例如，计算分式3/5 * 4/7：3/5 * 4/7 = (3*4)/(5*7) = 12/35分式的除法运算是指将一个分式除以另一个分式得到一个新的分式。
除法运算中需要注意以下几点：•分子与除数的分子相乘，分母与除数的分母相乘。
•若除数的分子和分母都可以约分，则先约分再相乘。
例如，计算分式5/8 ÷ 2/3：5/8 ÷ 2/3 = (5/8) * (3/2) = (5/8 * 3/2) = (5*3) / (8*2) = 15/165. 分式的加法和减法运算分式的加法运算是指将两个分式相加得到一个新的分式。
加法运算中需要注意以下几点：•将两个分式的分母取公倍数，然后将各自的分子相加。
•若得到的分子与分母都可以约分，则约分为最简分式。
例如，计算分式1/4 + 1/3：1/4 + 1/3 = (1*3 + 1*4) / (4*3) = 7/12分式的减法运算是指将一个分式减去另一个分式得到一个新的分式。
分式的基本性质(备用)
分式的化简需要找到分子与分母的最大公约数，然后将分子与分母同 时除以最大公约数得到最简分数。
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其中v表示反应速率，Δc表示反应物浓度的变化量，Δt表示时间的变化
量。
02
化学平衡常数
化学平衡常数是生成物浓度幂之积与反应物浓度幂之积的比值，用分式
表示为K=c(生成物)^p / c(反应物)^q，其中K表示平衡常数，c表示浓
度。
03
酸碱度计算
酸碱度是溶液中氢离子或氢氧根离子的浓度的负对数之和，用分式表示
通分时，选择两个分 母的最小公倍数作为 通分后的分母。
不同分母的分式需要 先通分，再进行加减 运算。
分式的乘法
01
两个分式相乘，只需将它们的分 子相乘，分母相乘，得到新的分 式。
02
乘法运算可以简化分式的形式， 有助于进一步化简或约分。
分式的除法
除以一个分式等于乘以这个分 式的倒数。
进行除法运算时，可以先将除 法转化为乘法，再进行约分， 最后得到最简结果。
分式的基本性质
目 录
• 分式的定义与表示 • 分式的基本性质 • 分式的运算性质 • 分式与分数的关系 • 分式在实际生活中的应用
01 分式的定义与表示
分式的定义
分式是两个整式相除的商，通常 表示为分数形式，分子是分式的
分子，分母是分式的分母。
分式中，分母不能为零，因为除 数不能为零。
分式的值会随着分子和分母的变 化而变化，但分母不能为零。
为pH=-lg[H+]，其中pH表示酸碱度，[H+]表示氢离子的浓度。
数学问题中的分式
分数的加减法
分数的加减法需要先将分数化为同分母，然后进行分子之间的加减 运算，最后化简得到结果。
《分式》复习课件(浙教版数学七年级下)
10. 以下式子,正确的是( C )
A.
(
1 x+y
)2=
1 x2+y2
B.
(a3)2 a2
=a3
b-a 1 C. a2-b2 =- a+b
11 D. a - b =b-a
11. 化简 a2-b2 的结果是( B )
a2+ab
a-b
a-b
a+b
a-b
A.
B.
2a
a
C. a D. a+b
12. 化简 m2-3m 的结果是( B )
a c a d ad b d b c bc
分式的加减
分式的乘方
( b )n a
bn an
1.同分母分式相加减
a b ab cc c
2.异分母分式加减时需化为同分母分式加减. 这个相同的分母叫公分母.
(确定公分母的方法:一般取各分母系数的最小公倍数与各分母各个 因式的最高次幂的积为公分母)
9-m2
A.
m
m
m+3 B. - m+3 C.
m m-3
D.
m 3-m
13. 下列各式中,正确的是( D )
A.
a+m a b+m = b
a+b
B. a-b =0
C. ab-1 b-1
ac-1 = c-1
D.
x-y 1 x2-y2 = x+y
例1.计算 : 1 3 1 3 2 x x x x x
C 2x x2 x x
D 5 25 2a 4a
2、下列分式是最简分式的是 ( C )
(A) x 2 (B)x2 1 (C) x (D) 2x 2
分式综合知识点总结
分式综合知识点总结一、分式的定义分式是指两个整数的比值，通常用分数形式表示，分数由分子和分母两部分组成，分子在分数线上方，分母在分数线下方。
分子表示被分成若干等分中的几份，分母表示整块被分成的份数。
例如，1/2、2/3、3/4等都是分式的例子。
在分式中，分子与分母都可以是整数或多项式，分式也可以是一个数字或者一个代数表达式。
二、分式的基本性质1. 分式的值是有意义的，当分子不为0时分式有值，当分子为0且分母不为0时，分式的值为0。
2. 分式可以化简，即可以约分，化简后保持原分式的值不变。
3. 分式可以进行运算，包括加减乘除等运算。
4. 分式可以化简为整数、真分数或带分数。
三、分式的简化分式的简化是指将分式化为最简形式的过程。
简化分式的方法有：1. 将分子和分母化为最简式；2. 将分子和分母互换位置，即倒数；3. 化为整数或带分数。
四、分式的运算1. 分式的加减运算：分式的加减运算要求先找到它们的公共分母，然后按照公共分母的要求进行加减。
2. 分式的乘除运算：分式的乘除运算可以转化为分数的乘除运算，即分子与分子相乘，分母与分母相乘。
3. 分式的混合运算：分式可以与整数混合进行运算，运算规则与普通的加减乘除运算类似。
五、分式方程和不等式1. 分式方程：分式方程是指含有分式的方程，解分式方程的关键是找到使得方程成立的变量的值。
2. 分式不等式：分式不等式是指含有分式的不等式，解分式不等式的关键是找到不等式的解集合。
六、分式函数与分式图形1. 分式函数：分式函数是指自变量和因变量都是分式的函数，例如f(x) = 1/x。
2. 分式图形：分式函数对应的图形通常为双曲线、双曲线的反比例函数等。
七、分式在实际问题中的应用分式在实际问题中有着广泛的应用，例如在比例、百分比、利润、利率、速度等实际问题中都会涉及到分式的运算。
因此，掌握好分式的概念和运算规则对于解决实际问题具有重要意义。
以上是对分式的综合知识点总结，分式作为数学中的一个重要概念，其应用范围非常广泛。
数学分式知识点总结
数学分式知识点总结什么是分式？分式是用分数形式表示的算式，它包括分子和分母两部分。
分式中的分子和分母可以是整数、小数或者含有变量的代数式。
分式在数学运算中有着广泛的应用，涉及到了加减乘除、化简、求值等多种操作，是数学学习中的基础知识之一。
分式的类型1. 真分式：分子的绝对值小于分母的绝对值，即分式的值小于1。
例如 1/2、3/4 等。
2. 假分式：分子的绝对值大于或等于分母的绝对值。
例如 5/4、7/3 等。
3. 负分式：分式的值为负数，即分子与分母异号。
例如 -2/3、-5/7 等。
4. 单项式分式：分子和分母都是单项式的分式。
例如 (2x+3)/(x-1)、(3y-2)/(2y+1) 等。
5. 复合分式：分子和分母中含有多项式或者多个分式的复合分式。
例如 (x+1)/(x+2/y)、(3x/2+1)/(x-1/(2x+1)) 等。
分式的性质1. 分式的乘法：分式的乘法是指两个分式相乘的运算。
分式相乘时，可以将两个分式的分子和分母相乘分别得到新的分子和分母，然后进行化简。
例如(a/b)×(c/d) = (a×c)/(b×d)。
2. 分式的除法：分式的除法是指两个分式相除的运算。
分式相除时，可以将除数的分子和分母对调，然后进行分式的乘法。
例如 (a/b)÷(c/d) = (a/b)×(d/c)。
3. 分式的加法和减法：分式的加法和减法是指两个分式相加和相减的运算。
分式相加和相减时，需要将分式的分母通分，然后进行加法或者减法运算。
例如 (a/b)+(c/d) =(ad+bc)/(bd)。
化简分式化简分式是指将分式的分子和分母的公因式提取出来，使分式的值保持不变。
分式的化简是分式运算中的常见操作，可以使分式更加简洁明了，并且便于后续的运算和求值。
化简分式的具体步骤包括：寻找分子和分母的公因式，将公因式约去，得到化简后的分式。
分式的运算分式的运算是指对分式进行加减乘除等操作，根据不同的运算规则进行相应的计算。
分式的基本性质
分式的基本性质分式（Fraction）是数学中常常遇到的一种数值表达形式。
它由一个分子和一个分母组成，分子表示被分割的部分，而分母表示分割的总共的部分。
例如，分数1/2表示将一个整体分成2个相等的部分，而分数3/4表示将一个整体分成4个相等的部分中的3个部分。
在学习分式的过程中，我们需要了解分式的一些基本性质，以帮助我们更好地理解和应用分式。
1. 分式的定义分式可以用以下形式表示：a / b其中，a和b为整数，且b不等于0。
a称为分式的分子，b称为分式的分母。
分子表示分割的部分，分母表示分割的总共的部分。
2. 分式的化简分式的化简是指将一个分式表示为最简形式的过程。
一个分式被称为是最简的，当且仅当分式的分子和分母没有公因数。
通过化简分式，我们可以更方便地进行运算和比较。
2.1 约分约分是将分子和分母同时除以它们的公因数，以得到最简分式的过程。
约分的步骤如下：1.找出分子和分母的公因数；2.将分子和分母都除以它们的公因数，得到最简分式。
例如，对于分式6/8，我们可以找到2是6和8的一个公因数，所以可以约分为3/4。
2.2 强化约分在某些情况下，为了进一步简化分式，我们可以继续进行约分的操作。
例如，对于分式12/16，我们不仅可以约分为3/4，还可以继续约分为3/8。
这是因为12和16都可以被2整除，所以我们可以连续约分两次。
3. 分式的运算分式有加法、减法、乘法和除法四种基本的运算。
下面将对这四种运算进行详细介绍。
3.1 分式的加法和减法分式的加法和减法的规则是：a/b + c/d = (a * d + b * c) / (b * d)a/b - c/d = (a * d - b * c) / (b * d)其中，a/b和c/d为两个分式，分子表示分割的部分，分母表示分割的总共的部分。
加法运算将两个分式的分子相乘后相加，然后将两个分式的分母相乘。
减法运算将两个分式的分子相乘后相减，然后将两个分式的分母相乘。
《分式的基本性质》分式
注意符号运算
详细描述
在进行分式的加减法时，需要注意符号运算，特别是当 分子或分母为负数时，需要特别小心。
总结词
化简运算结果
详细描述
在进行分式的加减法后，需要对结果进行化简，即约分 ，将结果化为最简形式。
分式的乘除法
总结词
分子乘除、分母乘除法
详细描述
在进行分式的乘除法时，需要将分子和分母分 别进行乘除运算。
通分的注意事项
通分是将两个或多个分式化为相同分 母的过程。
通分时要注意分母的选择，要选择一 个所有分母都能整除的最小正整数作 为最简公分母。
通分的步骤
首先找出各个分式的最简公分母，然 后将各个分式的分子和分母都乘以相 应的倍数，使其分母与最简公分母相 同。
分式的运算性质
运算性质的定义
分式的运算性质是指在进 行分式的加减乘除等运算 时，可以运用的一些性质 和规则。
数，简化分式。
约分时，要特别注意约去的公因 数是否为0，避免出现除数为0
的情况。
约分时，要注意分子和分母的符 号，确保约分后分式的符号正确
。
通分时注意最简公分母的选择
通分时，要选择最简公分母， 避免出现复杂和不必要的计算 。
最简公分母的选择要考虑分式 的分母和分子，确保最简公分 母能够同时整除分式的分母和 分子。
数学中的分式
总结词
数学中分式用于解决几何、代数等问 题。
详细描述
在数学中，分式经常被用来解决几何 和代数等问题。例如，在几何学中， 分式用于计算面积和体积的比率；在 代数中，分式用于解决方程和不等式 等问题。
05
分式的注意事项与易错点
约分时注意分子和分母的公因数
约分时，要仔细观察分子和分母 的公因数，确保正确地约去公因
初中数学分式知识点
第十五章分式1、分式的定义及性质1)分式的定义：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子图片叫做分式，A为分子，B为分母；2)与分式有关的条件(1)分式有意义：分母不为0（B不等于0）；(2)分式値为0：分子为0且分母不为0.(A=0,且B不等于0). 1）分式的基本性质：分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的値不变。
图片2）分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。
3）最简分式：分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。
4）分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
5）最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积叫作公分母，即最简公分母。
2、分式的计算1)分式乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，图片2)分式的除法法则：把除式的分子、分母项颠倒位置后，与被除式相乘，图片3)分式的乘方：把分子、分母分别乘方，图片4)分式的加減法则：(1)同分母分式加减法：分母不变，分子相加减图片(2)异分母分式加减法，=：先通分，化为同分母的分式，再加減，图片5)分式混合运算的运算顺序：先乘方、再乘除、后加减；同级运算中，按照从左到右的顺序进行；有括号的先算括号里面的。
3、分式方程1)分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程；2)解分式方程的步骤：(1)去分母：把方程两边同乘以各分母的最简公分母；(2)解整式方程：得到整式方程的解；(3)检验：把所得的整式方程的解代入最简公分母中，a.若最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的値是原方程的增根；b.若最简公分母不为0，则是原方程的解。
分式的概念及基本性质
分式的概念及基本性质
分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号或括号的作用。
分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母。
一、分式的概念
1.分式是两个整式相除的商式，其中分子为被除数，分母为除数，分数线起除号（或括号）的作用。
2.分式的分母中必须含有字母，而分子中可以含有字母，也可以不含字母，这是区别整式的重要依据。
3.在任何情况下，分式的分母的值都不可以为0，否则分式无意义。
这里，分母是指除式而言。
而不是只就分母中某一个字母来说的。
也就是说，分式的分母不为零是隐含在此分式中而无须注明的条件。
二、分式的基本性质
分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。
三、四则运算
同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减。
异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算。
分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母。
分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘。
四、分式条件
1.分式有意义条件：分母不为0。
2.分式值为0条件：分子为0且分母不为0。
3.分式值为正(负)数条件：分子分母同号得正，异号得负。
4.分式值为1的条件：分子=分母≠0。
5.分式值为-1的条件：分子分母互为相反数，且都不为0。
《分式的基本性质》分式PPT
y2 x2
；⑤
运用分式的基本性质的注意事项
×
③.
；y ym x xm
(1)分子分母同时进行；(2)分子、分母只能同乘或同除，不能 进行同加或同减； (3)分子、分母同乘或同除同一个整式；
(4)除式是不等于零的整式.
探索新知
知识点1 分式的基本性质
例1 填空： （1） x3 (x2)
xy y
3x2， 3xy 6x2
第十五章 分式
分式的基本性质
人教版·八年级上册
学习目标
1.理解并掌握分式的基本性质．（重点） 2.能熟练运用分式的基本性质进行分式的约分和通分.（难点）
复习导入
1.什么叫做分式？
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式. 分式 A 中，A叫做分子，B叫做分母.
B
复习导入
例1 （1） ；
x3 x2 xy y
÷x
3x2 3xy 6x2
xy 2x
，
约去了分子与分母的公因
约去了分子与分母的公因式
式x，把 x3 化为x 2
.
xy
y
3x，把 3x2 3xy
6x2
为
.
x化 y 2x
探索新知
知识点2 分式的约分 思考 根据分数的约分，由例1（1）你能想出如何对分式进行约分吗？
2.分式有意义和无意义的条件是什么？
分式有意义的条件：分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式
A B
才有意义.
分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B=0时，分式 A 无
B
意义.
复习导入
3.分式值为零的条件是什么？ 要使分式 A 的值为零，则A=0，且B≠0.
分式知识点整理范文
分式知识点整理范文分式是数学中的一个重要概念，它是有理数的一种表示形式。
在分式中，我们将有理数表示为两个整数的比值，其中一个整数作为分子，另一个整数作为分母。
分式在数学中的应用广泛，特别是在代数、方程和比例等领域。
下面是对分式相关知识点的整理：1.分式的定义：分式是一个数的表示形式，它由一个整数作为分子和一个非零整数作为分母构成。
分子和分母之间用斜杠（/）或分数线（∕）隔开。
2.分式的性质：(1)分式中，分子和分母的符号相同则该分式为正数，符号不同则为负数。
(2)分式中，分子和分母的最大公约数可以约去，得到分式的最简形式。
(3)分式中，分子为0，分式的值为0；分母为0，分式的值为无穷大（或无定义）。
3.基本性质：(1)相等性：两个分式相等，当且仅当它们的值相等。
(2)基本运算（加、减、乘、除）：加法：分母相同，分子相加；分母不同，通分后相加。
减法：分母相同，分子相减；分母不同，通分后相减。
乘法：分子相乘，分母相乘。
除法：分子相乘，分母相乘（除法转化为乘法），然后约分。
(3)化简：可以通过约分将分式化简为最简形式。
4.分式的应用：(1)代数中的分式：分式在代数中常用于表示未知数的比例关系和运算结果。
(2)方程中的分式：分式常用于解方程，通过变量代换等方法将方程化简为分式方程，然后求解。
(3)比例中的分式：分式常用于比例关系的表示，例如比例中的比值和比例的反比关系。
(4)三角函数中的分式：三角函数的周期性和性质等可以用分式表示。
(5)概率中的分式：概率常用分式表示，例如事件发生的次数与总数的比值。
5.分式的扩展形式：(1)假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数，可以通过带分数的形式表示。
(2)显分数：分子小于分母的分式称为显分数，是带分数的简化形式。
6.分式的性质和规律：(1)加减分式的方法和规律：分式的加减法中，需找到分式的最小公倍数作为通分的分母，然后对应相加或相减。
(2)乘除分式的方法和规律：分数的乘法只需分别将分子和分母相乘；分数的除法可以转化为乘法，即将除号变为乘号，再将第二个分数取倒数。
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3.（2011四川南充市，8，3分）当8、分式 的值为0时，x的值是（）
4.（2011浙江省舟山，11，4分）当 时，分式 有意义．
5.（2011江苏苏州，7,3分）已知 ，则 的值是
6.（2011重庆江津，2，4分）下列式子是分式的是( )
A. B. C. D.
分式NO.05
【考点导读】
序号
知识点
了解
理解
掌握
运用1分式的概念√2分式的约分与通分
√
3
分式的加、减、乘、除运算
√
【自学合作】（一）限时对学——基础知识过关
1.分式如何判别？2.分式有意义的条件
3.分式的基本性质：4.分式基本性质的用途：
5.分式的运算与分数类似。
(二)合作群学——直面中考
1．（2011浙江金华，7，3分）计算 – 的结果为（）
【展示提升】
7.（2011安徽，15，8分）先化简，再求值： ，其中x=－2．
8.（2012·长沙）先化简，再求值：