高等数学竞赛试题1答案
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
高数竞赛试题及答案
高数竞赛试题及答案在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。
本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
1. 竞赛试题一考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。
(1)求函数f(x)的定义域。
(2)求函数f(x)的最大值和最小值。
解答过程：(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x 的范围。
由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。
通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。
解这个不等式可以得到x ≤ 1或x ≥ 3。
对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。
同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。
解这个不等式可以得到1< x < 3。
综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。
(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。
当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。
代入可得最小值为f(2) = 1。
当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。
代入可得最大值为f(2) = -1。
综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。
2. 竞赛试题二已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。
高等数学竞赛试题含答案
I 4zx dydz 2z dzdx (1 z 2) dxdy
S
[解 1]S 的方程为 z e x2 y2 (1 x 2 y 2 4)
补两平面 S1 : z e(x2 y 2 1, 下侧) S2 : z e2 (x2 y 2 4, 上侧)
2
e2
zdV 2 zdz
3. 设 为 f (x) arctan x 在 [ 0, b] 上应用 拉格朗日 中值定理的 “中值”，则
lim
b0
2 b2
…………
（C ）
(A) 1； (B) 1 ； (C) 1 ； (D) 1 .
2
3
4
4.
设
f
(x)
,
g(x)
连续，当
x
0 时，
f
(x)
与
g(x)
为等价无穷小，令
F(x)
x 0
0
2a
（2） F (x) 1 [G '(x a) G '(x a)] 1 [ f (x a) f (x a)]
2a
2a
（3） lim F(x) lim G(x a) G(x a) lim [G(x a) G(x)] [G(x) G(x a)]
a0
a0
2a
a0
2a
1 [G '(x) G '(x)] G '(x) f (x) 2
解
lim
f
(0,
y
1 n
)
n
lim 1
f (0, y 1) n
f
(0,
y
)
n
f (0, y 1) f (0, y)
lim
n
n 1 f (0, y)
第十届高等数学竞赛理工类(一)试题答案
第十届高等数学竞赛理工类（一）试题答案南昌大学第十届高等数学竞赛(前湖校区理工类)试题答案序号：姓名：学生编号：学院（学科部）：检查室：考试号：2022年10月13日题号1，15，2，15，3，7，4，8，5，9，6，8，9，6，总分，累积分数签名：这个卷有X页，主要问题，考试时间是8:30～1130评分审阅者。
填空（每个问题3分，共15分）1。
曲面x2？2y2？3z2？21点？1.2,2? 正态方程是3nx？1岁？2z？2.1.461? 十、1.十、1.十、1.2.设n为正整数，则Lim=x？1n 3.设置向量a？？1,2,3?， B1,1,0?，如果非负实数k构成向量a？KB和a？KB垂直，然后K？(1?x)n?17.4.穿过直线x？1岁？2z？2.2.32并且垂直于平面3x？2岁？Z5.0的平面方程是x？8岁？13z？9? 0 N5。
幂级数1.N212n？3x的收敛域是？？2,2?. N2n第1页，共6页二、单项选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1、设f?x??2x?3x?2，则当x?0时（b）(a)f?x?与x是等价无穷小.(b)f?x?与x是同阶但非等价无穷小.(c)f?x?是比x低阶的无穷小.(d)f?x?是比x高阶的无穷小.2、x?0是f?x??2?12?11x1x的（b）.(a)可去间断点.(b)跳跃间断点.(c)无穷间断点.(d)振荡间断点.?g(x),x?0?3、设f?xx其中g?x?在x?0的某个邻域内二阶导数存在，且g?0??0，??0,x?0g??0??0，则（c）(a)f?x?在x?0处不连续.(b)f?x?在x?0处连续但不可导.(c)f?x?在x?0处可导，但导函数在x?0处不一定连续.(d)f?x?在x?0处导函数连续.4、设线性无关的函数y1?x?，y2?x?，y3?x?均是二阶非齐次线性方程yp?x?y??q?x?y?f?x?的解，c1,c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是(d)(a)c1y1?c2y2?y3.(b)c1y1?c2y2??c1?c2?y3.(c)c1y1?c2y2??1?c1?c2?y3.(d)c1y1?c2y2+?1?c1?c2?y3.5、设a为常数，则级数?sinna1n2??（a）.n?n?1??(a)发散.(b)绝对收敛.(c)条件收敛.(d)敛散性与a的取值有关.第2页共6页评分评审员3，（满分7分）找到极限limx2？lnarctan（x？1）？lnarctanx？。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a ρρρρρρ+-=+=2,，则以向量a ϖ、b ϖ为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰Ñ（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰Ñ（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn xa 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n nnx n a 在0=x 处（ D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
高等数学竞赛最新试题及答案
高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \)的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线\( y = x^3 - 2x^2 + x \)在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)B. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)C. \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} \)D. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)5. 函数\( f(x) = \sin x + \cos x \)的周期是：A. \( \pi \)B. \( 2\pi \)C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \pi \)6. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = |x| \)D. \( f(x) = \sin x \)7. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，求\( \int_{0}^{1} x^3 dx \)的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( 1 \)8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. \( y'' + 3y' + 2y = 0 \)B. \( y' + y = x^2 \)C. \( y'' + y' = 0 \)D. \( y'' - 2y' + y = \sin x \)9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. \( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \)B. \( \frac{\partial f}{\partial x} \)C. \( \frac{\partial f}{\partial y} \)D. \( \frac{d^2f}{dx^2} \)10. 已知\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 \)，那么\( f(x) \)是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数\( f(x) = \sqrt{x} \)的定义域是_________。
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）
高数竞赛练习题答案（函数、极限、连续）第一篇：高数竞赛练习题答案(函数、极限、连续)函数、极限、连续1.f(x),g(x)∈C[a,b]，在(a,b)内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：(1)∃η∈(a,b),使f(η)=g(η)(2)∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ)证明：设f(x),g(x)分别在x=c,x=d处取得最大值M，不妨设c≤d(此时a<c≤d<b)，作辅助函数F(x)=f(x)-g(x),往证∃ξ∈(a,b),使F''(ξ)=0令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)二阶可导，且F(a)=F(b)=0，① 当c<d，由于F(c)=f(c)-g(c)=M-g(c)≥0F(d)=f(d)-g(d)=f(d)-M≤0由“闭.连.”零点定理，∃η∈[c,d]⊂(a,b),使f(η)=g(η)② 当c=d，由于F(c)=f(c)-g(c)=f(c)-g(d)=M-M=0即∃η∈(a,b),使f(η)=g(η) 对F(x)分别在[a,η],[η,b]上用罗尔定理，∃ξ1∈(a,η),ξ2∈(η,b)，使在[ξ1,ξ2]上对F(x)在用罗尔定理，F'(ξ1)=F'(ξ2)=0，∃ξ∈(ξ1,ξ2)⊂(a,b)，使F''(ξ)=0，∃ξ∈(a,b),使f''(ξ)=g''(ξ).2.设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn,n=1,2,Λxn存在，并求该极限(1)证明limn→∞xn+1x1n(2)计算lim()n→∞xn分析：(1)确定{xn}为单调减少有下界即可1xn，用洛必达法则.(2)利用(1)确定的limn→∞解：易得0<xn≤1(n=2,3,Λ)，所以xn+1=sinxn<xn,n=(2,3,Λ)，即{xn}为xn存在，并记为limxn=a,则a∈[0,1]，单调减少有下界的数列，所以 lim n→∞n→∞对等式xn+1=sinxn<xn,两边令n→∞取极限，得a=sina,a∈[0,1]，所以a=0,即limxn=0.n→∞lim((2)n→∞xn+1sinxn)=lim()n→∞xnxn2xn2xn令t=xn=lim（t→0sint)=et→0ttlimln()tt2由于limt→0tln(sin)ttsintln[1+(sin-1)]-1-1t2sint-t洛cost-11tt2=lim=lim=lim=lim=lim=- t→0t→0t→0t→0t→03t2t2t2t33t26 xn+1xn-1所以lim()=e.n→∞xn3.已知f(x)在[0,1]连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，证明：(1)∃ξ∈(0,1),使f(ξ)=1-ξ，(2)存在两个不同点η,ζ∈(0,1),使f'(η)f'(ζ)=1证：(1)令F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0，由“闭.连.”零点定理，∃ξ∈(0,1),使F(ξ)=0,即f(ξ)=1-ξ(2)f(x)在[0,ξ],[ξ,1]上都满足拉格朗日中值定理，所以∃η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1)，使f(ξ)-f(0)=f'(η)(ξ-0),f(1)-f(ξ)=f'(ζ)(1-ξ)，即f'(η)=f'(ζ)=f(ξ)ξ=1-ξξ1-f(ξ)1-(1-ξ)ξ==1-ξ1-ξ1-ξ∴f'(η)f'(ζ)=1-ξξ⋅ξ1-ξ=14.设方程xn+nx-1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正α实根xn，并证明当α>1时，级数∑xn收敛.n=1∞证：令f(x)=xn+nx-1,则f(x)在(0,+∞)上连续，且f(0)=-1<0,f()=()n>0nn所以由连续函数的零点定理，所给方程在(0,)内有根，又由f'(x)=n(xn-1+1)>0,即f(x)在(0,)内单调递增，所以所给方程(0,)内只有唯一的根，在(，∞)上无根，即所给方程存在唯一的正实根xn.α<由上述知，对n=1,2,Λ，有0<xn<,有0<xn∞1n1n1n1n1n1，nα此外，由α>1知，级数∑收敛，所以由正项级数比较审敛法，知αn=1n∑xα收敛.nn=1∞5.求lim(cosx)x→01ln(1+x)x→0ln(1+x)解：lim(cosx)x→01ln(1+x)=elimlncosx，其中limln(1+xx→0lncosx)=limx→0ln[1+(cosx-1)]ln(1+x)=limx→0-x22x=-(cosx)所以，limx→0ln(1+x)=e-6.f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f(0)≠0,f'(0)≠0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h→0时是比h高阶的无穷小，试确定a,b的值.解1：（利用导数定义）0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)af(h)-af(0)+af(0)+bf(2h)-bf(0)+bf(0)-f(0)=limh→0h→0hhaf(h)-af(0)bf(2h)-bf(0)[(a+b)-1]f(0)[(a+b)-1]f(0)=l im+lim+lim=(a+b)f'(0)+limh→0h→0h→0h→0hhhh⎧a+b=1'由f(0)≠0,f(0)≠0,得⎨,即a=2,b=-1a+2b=0⎩解2：按解1，只要假定f(x)在x=0处可导即可，但在题中“f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数”的假定下，有以下解法：由lim h→0h→0af(h)+bf(2h)-f(0)=0得 limaf(h)+bf(2h)-f(0)=0h→0h即0=limaf(h)+bf(2h)-f(0)=(a+b-1)f(0)，由f(0)≠0,得a+b=1（1）af(h)+bf(2h)-f(0)洛=limaf'(h)+2bf'(2h)=(a+2b)f'(0)且f'(0)≠0,又由0=limh→0h→0h所以 a+2b=0（2）由（1）、（2）得a=2,b=-1.⎛2+esinx⎫⎪.7.求lim 4+x→0x⎪⎝1+e⎭解：⎛2e-+e-sinx⎫⎛2+esinx⎫⎪=1⎪=lim lim+4+4++-x→0x→0 x⎪x⎪⎝1+e⎭⎝e+1⎭⎛2+esinx⎫⎛2+esinx⎫ ⎪⎪=1 lim=lim4+4---⎪x→0x⎭x→0⎝1+ex⎪⎝1+e⎭所以原式 = 18.求limx→0143+x+-x-2.2x解1：（泰勒公式）因+x+-x-2=[1+1111x-x2+o(x2)]+[1-x-x2+o(x2)]-22828(x→0)=-x2+o(x2)~-x2所以1-x2+x+-x-2=-1lim=limx→0x→0x2x24解2：（洛必达法则）-+x+-x-2洛必达lim=limx→0x→0x22x1-x-+x1⋅lim=lim x→0+x-x4x→0x1-2x1=lim.=-4x→0x(-x++x)4第二篇：高数课件-函数极限和连续一、函数极限和连续自测题1,是非题（1）无界变量不一定是无穷大量（）（2）若limf(x)=a，则f(x)在x0处必有定义（）x→x012x（3）极限lim2sinx=limx=0（）x→+∞x→+∞33x2，选择题（1）当x→0时，无穷小量1+x-1-x是x的（）A．等价无穷小B.同阶但不等价C.高阶无穷小D.低价无穷小⎧x+1-1x≠0⎪（2）设函数f(x)=⎨，则x=0是f(x)的（）x⎪0x=0⎩A.可去间断点 B.无穷间断点C 连续点D 跳跃间断点⎧exx<0（3）设函数f(x)=⎨，要使f(x)在x0处连续，则a=（）⎩a+xx≥0A.2B 1C 0D -13n2-5n+1=（）（4）lim2n→∞6n+3n-2A 151B -C -D ∞ 2321⎧xsinx<0⎪⎪x(5)设f(x)=⎨，则在x=0处f(x) （）⎪1sinx-1x>0⎪⎩xA 有定义B 有极限C 连续D左连续3(6)x=1是函数y=x-1的（）x-1A 可去间断点B 无穷间断点C 连续D跳跃间断点3.求下列极限（1）limx→∞x+sinxsin(-2x)x+2-3（2）lim（3）limx→0x→12xln(1+2x)x-1e-2x-1（4）lim（5）limn[ln(1+n)-lnn]（6）lim(sinn+1-sinn)n→∞n→∞x→0x2x+3x+2(sinx3)tanx2lim()(7)lim (8)（9）limx(x+1-x)x→∞2x+1x→01-cosx2x→∞cosx-cosaarctanxex-ex0（10）lim(11)lim（12）limx→ax→∞x→x0x-xx-ax0x2+32x2+1sin(x-1))（13）lim（14）lim(2x→∞x→1x-1x+24，求满足下列条件的a,b的值1x2+x+a=b（2）lim(3x-ax2-x+1)=（1）limx→+∞x→26x-2⎧tanaxx<0ax+b⎪=2(4)已知f(x)=⎨x（3）lim且limf(x)存在x→0x→1x-2⎪x+2x≥0⎩x<-1⎧-2⎪2（5）已知f(x)=⎨x+ax+b-1≤x≤1在(-∞,+∞)内连续⎪2x≥1⎩⎧sin2x+e2ax-1x≠0⎪(6)函数f(x)=⎨在x=0点连续x⎪ax=0⎩5．求下列函数的间断点并判断其类型⎧x-1x≤11-cosxx2-1（1）y=2（2）y=⎨（3）f(x)=sinxx-3x+2⎩3-xx>1⎧1x>0x⎪（4）f(x)=⎨ex-1（5）y=tanx⎪⎩ln(1+x)-1<x≤026.已知x→-1时，x+ax+5x+1是同阶无穷小，求a7.证明方程x-4x+2=0在区间(1,2)内至少有一个根8.当x→0时，e+ln(1-x)-1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)=a,(a>0,a≠1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)K f(n)]n→∞n2第三篇：高数极限和连续第二章极限和连续【字体：大中小】【打印】2.1 数列极限一、概念的引入（割圆术）“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽正六边形的面积A正十二边形的面积A2n-1正6×2形的面积AnA1，A2，A3，…，An，…→…S二、数列的定义定义:按自然数1，2，3...编号依次排列的一列数x1，x2，...，xn， (1)称为无穷数列，简称数列。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、选择题1.设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （C ）(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2.设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（A ）(A)当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数；(B)当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数；(C)当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数；(D)当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数.3.设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（B ）(A)0=I ;(B)0>I ;(C)0<I ;(D)不确定.4.设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，kx x F 与)('是同阶无穷小，则=k （B ）(A)4；(B)3；(C)2；(D)1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（D）(A)不连续；(B)连续但偏导数不存在；(C)可微；(D)连续且偏导数存在但不可微.6.设k j b j i a+-=+=2,，则以向量a、b为边的平行四边形的对角线的长度为（A ）(A)11,3；(B)3,11；(C)10,3；(D)11,2.7.设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰ （k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰（D）(A)等于k ；(B)等于k -；(C)大于k ；(D)不一定等于k ，与L 2的形状有关.8.设∑∞=0n nn x a 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n n nx n a 在0=x 处（D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。
历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
）2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u u v u u u y x y x x yy x D D d d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*） 令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。
因此3103)(2-=x x f 。
3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
高等数学竞赛练习题(含答案)
高等数学竞赛练习题1、单项选择题(1)已知()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，则2(4)f x +的单调递减区间是( C ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在(2)设函数(),0,x a x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数,10<<a ，则 ( B )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 (3)设函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=和()()()x g x f x G -=在0x 处 ( D )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数(4) 若ln x 是()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）A. ln axB. 1ln ax aC. ln x a +D. 21(ln )2x(5) 设()f x 连续，则[]sin ()()aax f x f x dx -+-⎰等于 ( A )A.0B.aC.a -D. 2a（6） 下列命题中正确的命题有几个？ （ A ）（1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个. （7）. 设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是 （ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x .. （8） 设ξ为()arctan f x x=在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22limb b ξ→=（ C ）(A) 1； (B) 12； (C) 13； (D) 14.（9） 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt=-⎰，1() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 （ D ）(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小； (D) 等价无穷小.（10） 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--，则),(y x f 在点)0,0(处 （ A ）(A) 取极大值；(B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. （11）设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰（ B ）(A) 102() d f x x⎰； (B) 3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .（12） 设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1n n c ∞=∑，则1nn b ∞=∑与1n n c ∞=∑（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.（13）设0()f x '存在，则下列四个极限中等于0()f x '的是（ B ） （A ）000()()lim x f x x f x x →-- ； （B ）000()()lim h f x f x h h →--；（C ）000()()limx x f x f x x x →--； （D ）000()()lim h f x h f x h h →+--.（14）0()0f x ''=是曲线()y f x =有拐点00(,())x f x 的（ D ）（A ）充分而非必要条件； （B ）必要而非充分条件；（C ）充分必要条件； （D ）既非充分又非必要条件.（15）设2222{(,,),0},0x y z x y z R z a Ω=++≤≥≠，则I axdV Ω==⎰⎰⎰（ C ）( A )0I >； ( B )0I <； ( C )0I =； ( D ) I 的符号与a 有关.2、求极限201sin lim ln x xx x →答案： 22001sin 1sin limln lim ln 1(1)x x x x x x x x →→⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 32000sin cos 1sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--===-=-3、设220()()()xF x x t f t dt '=-⎰，若0x →时，()F x '与2x 为等价无穷小，求(0)f '答案：220()()()xxF x xf t dt t f t dt ''=-⎰⎰，220()2()()()2()x x F x x f t dt x f x x f x x f t dt '''''=+-=⎰⎰， 由020002()()1limlim lim 2()2(0)xx x x f t dtF x f x f xx→→→''''====⎰，解得1(0)2f '=4、求220081(tan )dxx π+⎰ 答案：令2x t π=-，则2200801tan dx x π+⎰2008022008200802tan 1cot 1tan dt tdt t tππ-==++⎰⎰ 22200820080021tan 21tan dt dx t xππππ=-=-++⎰⎰所以220081tan 4dx x ππ=+⎰ 5、设函数()()10f x t t x dt =-⎰，01x <<，求()f x 的极值和单调区间. 答案： 11220()()()()()xxxxf x t x t dt t t x dt tx t dt t tx dt =-+-=-+-⎰⎰⎰⎰31323x x =-+ 21()2f x x '=-,令()0f x '=，得2x =.由()20(01)f x x x ''=><<知1(263f =-+为极小值，由21()2f x x '=-知，()f x的单调减区间是(0,2，单调增区间是 6、说明级数nn ∞=(1)(1)](1)1(1)11111n n n n n n n ----===----，而交错级数2(1)1nn ∞=-∑收敛，调和级数211n n ∞=-∑发散，故原级数发散 7、已知20()()8f x f x dx '=⎰，且(0)0f =，求2()f x dx ⎰及()f x答案：已知2()f x dx ⎰为一常数，由28()()f x f x dx'=⎰，积分得28()()f x x f x dx=⎰， 再积分得2()4f x dx =±⎰，所以()2f x x =±8、求内接于椭圆12222=+by a x ，而面积最大的矩形的边长答案：设内接矩形的边长分别为2,2u v ，则(,)u v 在椭圆上，所以22221u v a b+=，矩形面积()44S u uv u u a ==<<，222()S u '==，令()0S u '=，得唯一驻点u =，从而v =，由实际问题知，当u =时，有最大面积2S ab =，这时矩形边长分别为a 29、设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1233()(0)f x dx f =⎰，求证在(0,1)内至少存在一点c ，使()0f c '=答案：由定积分中值定理得1232(0)3()3()(1)()3f f x dx f f ξξ==-=⎰，其中213ξ≤≤， 在[0,]ξ上应用罗尔定理，至少存在一点(0,)(0,1)c ξ∈⊂，使()0f c '=10、设{}n a 是单调不减的数列，令12nn a a a b n+++=，若lim n n b a →∞=，试证lim n n a a →∞=.若去掉“单调不减”这个条件，试问这个结论是否成立？（要求说明理由）证：因对任意1,n n n a a +≤，故12n nn n a a a na b a n n+++=≤= .（夹逼）固定n ，并令m n >，则1111nk n mk m k k n k k n a m n b a a a m m m ===+-⎛⎫=+≥+ ⎪⎝⎭∑∑∑ 令m →∞，得lim m n m a b a →∞=≥，从而n n a a b ≥≥，令n →∞，得lim n n a a →∞=若去掉“单调不减”这个条件，则结论不一定成立.例如，取1(1),1,2,n n a n -=-= ，则12lim lim 0nn n n a a a b n→∞→∞+++== ，但数列{}n a 发散. 11、设在[0,](0)a a >上|()|f x M ''≤，且()f x 在(0,)a 内取得最大值，试证|(0)||()|f f a Ma ''+≤证：因()f x 在(0,)a 内取得最大值，由费马定理得存在(0,)b a ∈使()0f b '=.对()f x '使用拉格朗日中值定理得，111(0)()()(),(0,)f f b f b bf b ξξξ''''''=-=-∈222()()()()()(),(,)f a f b f a b a b f b a ξξξ''''''=+-=-∈ 从而(0)()()f f a Mb M a b Ma ''+≤+-=.12、设()f x 在[0,]n 上连续（n 为自然数，2n ≥），(0)()f f n =，试证存在,1[0,]n ξξ+∈，使()(1)f f ξξ=+证：令()(1)()g x f x f x =+-，则()g x 在[0,1]n -上连续 令[0,1][0,1]min (),max ()x n x n m g x M g x ∈-∈-==，则11(),0,1,2,,1,()n i m g i M i n m g i M n -=≤≤=-≤≤∑ ，1()()(0)0n i g i f n f -==-=∑，对函数()g x 应用介值定理得，存在[0,1]n ξ∈-，使11()()0n i g g i n ξ-===∑，即存在,1[0,]n ξξ+∈，使()(1)f f ξξ=+.13、设函数()f x 在[,]a b 上可积，且()0baf x dx >⎰，试证存在区间[,][,]a b αβ⊂使()0,[,]f x x αβ>∈.证：反证法. 若不然，则对于[,]a b 的任何子区间[,]αβ上都有点ξ，使()0f ξ≤，从而对于[,]a b 的任何分划T ：012n a x x x x b =<<<<= ，在每个子区间1[,]i i x x -上都有点i ξ，使()0i f ξ≤.那么由()f x 在[,]a b 上的可积性知，max 01()lim()0i nbiiax i f x dx f xξ∆→==∆≤∑⎰，矛盾.14、设()f x 在点0x =二阶可导，且0()lim 11cos x f x x→=-，求(0),(0)f f '和(0)f ''的值解：0()lim11cos x f x x→=- 0(0)lim ()0x f f x →∴==又00()()1lim lim 1cos sin x x f x f x x x→→'==- 0(0)lim ()0x f f x →''∴==000()(0)()()sin (0)lim lim lim .10sin x x x f x f f x f x xf x x x x→→→''''-''====-15、设(,)()z f x y x y g x ky =-+++，,f g 具有二阶连续偏导数，且0g ''≠，如果222222224z z z f x x y y ∂∂∂''++=∂∂∂∂，求常数k 的值 解：设,,x y u x y x ky w ν-=+=+=，则1212,z zf fg f f kg x y ∂∂''''''=++=-++∂∂ 2111221222zf f f fg x∂''''''''''=++++∂ 211122122zf f f f kg x y∂''''''''''=-+-++∂∂ 22111221222z f f f f k g y∂''''''''''=--++∂ ∴由222222224z z zf x x y y ∂∂∂''++=∂∂∂∂得2(1)0kg ''+=，故1k =-.16、设()f x 在[0,1]上可积，证明22()()01f x f y x y e dxdy π-≤+≤≥⎰⎰证： 2112!xe e x x x ξ=++≥+ ()()1()()f x f y e f x f y -∴≥+-[]2222()()01011()()f x f y x y x y e dxdy f x f y dxdy -≤+≤≤+≤≥+-⎰⎰⎰⎰ 22220101()()x y x y f x dxdy f y dxdy ππ≤+≤≤+≤=+-=⎰⎰⎰⎰17、设函数()f x 在(,)-∞+∞内具有一阶连续导数，L 是上半平面(0)y >内的有向分段光滑曲线，起点为(,)a b ，终点为(,)c d ，令21[()][()]L xI yf xy dx xf xy dy y y=++-⎰.要求：（1）证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当ab cd =时，求I 的值. 证明(1) 因为211[()]()()yf xy f xy xyf xy y y y ∂'+=-+∂2[()]xxf xy x y∂=-∂在上半平面内处处成立，所以曲线积分I 与上半平面内路径L 无关.解(2) 由于曲线积分I 与路径无关，所以可取积分路径L 为由点(,)a b 到点(,)c b ，再到点(,)c d 的折线段，从而2221[1()][()1]cd ab c I b f bx dx y f cy dyby =++-⎰⎰()()c d a b c a c cbf bx dx cf cy dy b d b -=+++-⎰⎰()()bc cd ab bc c a f t dt f t dt d b =-++⎰⎰ ()cd abc af t dt d b =-+⎰所以，当ab cd =时，c aI d b=-.18、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试求下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==； （4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m、,求证：()()F x f x M m -≤-.解（1）00111()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--==-=+--⎰⎰⎰ （2）11()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a'=+--=+--（3）000()()[()()][()()]lim ()lim lim22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a→→→+--+-+--== 1['()'()]'()()2G x G x G x f x =+== （4）11|()()||()()||[()()]()()|22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a aξ+--=-=+---⎰|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+19、求曲线 ln ln 1x y += 所围成的平面图形的面积.[解1]去掉绝对值曲线为：,11,1,101,0111,0101xy e x y y x x y ey ex x y xy x y e =≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且11111()()e ee x A ex dx dx e ex x e e =-+-=-⎰⎰ [解2]令ln ,ln ,,,:||||1,uv x u y v x e y e D u v '====+≤则00uuv u v v uv x x e J e e y y e===⋅. ||DD dxdy J dudv '==⎰⎰⎰⎰u vD e e dudv '⋅=⎰⎰01111111u uu v u v u u e du e dv e du e dv e e+-----+=-⎰⎰⎰⎰. 20、设曲面S 为曲线 e 0yz x ⎧=⎨=⎩ (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分 24 d d 2 d d (1) d d SI zx y z z z x z x y =-+-⎰⎰[解1]S的方程为22(14)z x y =≤+≤补两平面2222212:(1,):(4,)S z e x y S z e x y =+≤=+≤下侧上侧122S S S VzdV ++=⎰⎰⎰⎰⎰ 2()2e eD z zdz d σ=⎰⎰⎰224252ln 22e ez zdz e e πππ==-⎰1222242(1)(1)(1)(1)xyS D zxdydz zdzdx z dxdy e dxdy e eππ-+-=--=--⋅=-⎰⎰⎰⎰；2121244225(1)4(1);(1)4(1)22xyS D S S S S S e dxdy e I e e e e πππππ44++=-=-=--=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 42332e e πππ13=--2 [解2]2(4,2,1)(,,1)x y DI zx z z z z dxdy =--⋅-⎰⎰222220142221(4cos 2sin 1)(41)1333(:14)22DD r edxdy dxdyd e r rdr e e D x y πθθθππππ⎡⎤⎥=+-⎥⎦=-+--=--≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰21、设幂级数 0n n n a x ∞=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==; （1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..解（1）令101(),()nn n n n n S x a x S x na x ∞∞-=='==∑∑则22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a x a x a x S x ∞∞∞---===''=-===∑∑∑，()()0S x S x ''-=1201()(0)4,(0)1x x S x c e c e S a S a -'=+====由，求得125353,,()2222x x c c S x e e -===+（2）由000531313()0ln ,()0,()(ln )222525x x S x e e x S x S x S -'''=-==>∴得又为极小值.22、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12ff x y f x π∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭, 且满足()c o t y 1 ( 0, )lim e 0,nn f y n f y →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求 (,)f x y .解 1(0,)(0,)lim (0,)11(0,)(0,)(0,)lim lim 1(0,)(0,)n nnf y f y n f y nn n f y f y f y n n e f y f y →∞+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0,)(0,)y f y f y e = (0,)ln (0,)cot (0,)y f y d f y y f y dy==，对y 积分得ln (0,)lnsin ln (0,)sin f y y c f y c y =+= 代入(0,)112f c π==得，(0,)sin ff y y f x∂==-∂又已知(,)()x f x y c y e -⇒=，(0,)sin f y y = ，()sin (,)sin .x c y y f x y e y -∴==故23、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。
全国高中数学竞赛试题及答案
全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。
2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。
3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。
试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。
2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。
3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。
试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。
3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。
试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。
2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。
3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。
试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。
2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
高等数学竞赛试题及参考答案
九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题院系 班级 学号 姓名一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( )。
A. 3 B. 2 C. 1 D. 312 ⎰-=+116dx x sin 1xcos x （ ）A.2π B.π C.1D.03 设f （x ）=⎩⎨⎧<≥0x ,x sin 0x ,x ，则)0(f '=（ ）A.-1B.1C.0D.不存在 4 下列极限中不能应用洛必达法则的是( ) A.x xx ln lim +∞→B.xxx 2cos lim∞→C.xxx -→1ln lim1D.x e x x ln lim -+∞→5 设f (x)是连续函数，且⎰=x x x dt t f 0cos )(，则f (x)=( ) A.cos x-xsin xB.cos x+xsin xC.sin x-xcos xD.sin x+xcos x6 设函数f(x)满足)x (f 0'=0, )x (f 1'不存在, 则（ ） A.x=x 0及x=x 1都是极值点 B.只有x=x 0是极值点C.只有x=x 1是极值点D.x=x 0与x=x 1都有可能不是极值点7 设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则⎰-=a adx )x (f （ ）A. 0B. 2⎰adx )x (fC.⎰-+a0dx )]x (f )x (f [D. ⎰--adx )]x (f )x (f [8 设函数y=f(x)在点x 0的邻域V(x 0)内可导，如果∀x ∈V(x 0)有f(x)≥f(x 0)， 有（ ） A ．)(')('0x f x f ≥ B ．)()('0x f x f ≥ C ．0)('0=x fD ．0)('0>x f9 设f(x)=x 15+3x 3-x+1,则f (16)（1）=（ ） A ．16!B ．15!C ．14!D ．010=⎰])arctan ([673dx x x dx d （ ） A. 5 B. 3 C. 7 D. 0 二、填空题（每空4分，共32分）1 当x →0时，sin(2x 2)与ax 2是等价无究小，则a=___________ .2 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+000)1ln(2x x xx ，则f '(0)=___________. 3 曲线y =x 3+3x 2-1的拐点为___________. 4 n31sin n 1lim22n ∞→= ___________.5 设1)1(f =' 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∞→)1(f )x11(f x lim x =___________.6 曲线x 2+y 5-2xy=0在点(1、1)处的切线方程为 .7 dx xx x ⎰++221)(arctan = .8 曲线y =1222-+-x x x 的垂直渐近线的方程是 .三、计算题 （每题8分，共16分） 1. 计算⎰10dx ex2. 设f(x)的一个原函数为x e x 2，计算dx x x f)(/⎰四、解答题（第1题10分，第2题12分）1. 设曲线xy=1与直线y=2，x=3所围成的平面区域为D （如图所示）.求D 的面积.2. 计算定积分⎰-+12.)2()1ln(dx x x九江职业大学第一届“数学建模”选拔赛暨《高等数学》竞赛试题参考答案一、单项选择题（每小题3分，共30分）1 设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥++<0x ,K x 2x 40x ,xx3sin 2在x=0处连续，则K=( A )。
数学竞赛试卷试题及答案
数学竞赛试卷试题及答案试题一：代数问题1. 解方程：\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)2. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a+b)^2 \leq2(a^2 + b^2) \)试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，角C为直角，已知AB=5，AC=3，求BC的长度。
2. 证明：圆的内接四边形的对角和为180度。
试题三：数列问题1. 给定数列：\( a_n = 2n - 1 \)，求前10项的和。
2. 证明：数列 \( b_n = n^2 \) 是一个严格递增数列。
试题四：组合问题1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，求有多少种不同的放法。
2. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^3 - n \) 总是能被6整除。
试题五：概率问题1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
2. 证明：如果一个事件的概率为 \( p \)，则其补事件的概率为\( 1-p \)。
答案：试题一：1. 解：\( (x-2)(x-3) = 0 \)，所以 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
2. 证明：\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)，由于 \( 2ab \leqa^2 + b^2 \)，所以 \( (a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \)。
试题二：1. 解：根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \)。
2. 证明：设圆内接四边形为ABCD，连接对角线AC和BD，由于圆周角定理，\( \angle{AOC} + \angle{BOC} = 180^\circ \)，同理\( \angle{AOD} + \angle{BOD} = 180^\circ \)，所以\( \angle{AOC} + \angle{AOD} + \angle{BOD} + \angle{BOC} = 360^\circ \)。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、求由方程032=-+xy y x所确定的函数()x y y =在()+∞,0内的极值，并判断是极大值还是极小值. 解：对032=-+xy y x两边求导得()2230x y y y xy ''+-+=，223y xy y x-'=- 令0y '=得2yx =，代入原方程解得11,84x y ==.()()()()()2111122,,,08484232613x y x y y y y x y x yy y yx '=====''-----''=-.故当18x =时，y 取极大值14.二、设xyyx u -+=1arctan ，求x u ∂∂, 22x u ∂∂.解：()()2211111xy yy x xy xy y x xu-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=∂∂=211x+, 22x u ∂∂=()2212x x +-三、计算曲线积分⎰+-=Lyx ydxxdy I224，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周,0>R 1≠R ,取逆时针方向.解：()224,yx yy x P +-=, ()224,y x x y x Q +=, 当()()0,0,≠y x 时,()x Qyx x y y P ∂∂=+-=∂∂2222244， 当10<<R 时()D ∉0,0,由格林公式知,0=I .当1>R 时, ()D ∈0,0,作足够小的椭圆曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θεθεsin cos 2:y x C ,θ从0到π2.当>ε充分小时,C 取逆时针方向,使D C ⊂,于是由格林公式得0422=+-⎰-+CL yx ydxxdy ， 因此⎰+-L y x ydx xdy 224⎰+-=C yx ydxxdy 224 =θεεπd ⎰202221 =π 四、设函数()x f 在()+∞,0内具有连续的导数，且满足()()()422222t dxdy y xfy x t f D+++=⎰⎰，其中D 是由222t y x =+所围成的闭区域，求当x ∈()+∞,0时()x f 的表达式.解：()()22402tf t d r f r rdr t πθ=+⎰⎰=()3404tr f r dr t π+⎰,两边对t 求导得()()3344f t t f t t π'=+，且()00f =，这是一个一阶线性微分方程，解得()()411t f t e ππ=-五、设dx x x a n n⎰=πsin ，求级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的和.解：令t n x -=π, 则()dt t t n a n n ⎰-=ππ0sin=n n a dt t n -⎰ππ0sin .sin 2n nn a t dt ππ=⎰2220sin sin 22n n t dt tdt n πππππ===⎰⎰.⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+1111111n n a a n n π.1n n k S =⎛⎫=-∑=n k =111n ⎫-⎪+⎭, =S 111n n ⎫-=⎪+⎭六、设()f x 在[)+∞,0上连续且单调增加，试证：对任意正数a ，b ，恒有()()()[]⎰⎰⎰-≥ba ba dx x f a dx x fb dx x xf 0021. 解：令()()0xF x x f t dt =⎰，则()()()0xF x f t dt xf x '=+⎰,()()()ba Fb F a F x dx '-=⎰=()()0bx a f t dt xf x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()ba xf x xf x dx ≤⎡+⎤⎣⎦⎰ =()2baxf x dx ⎰,于是()()()()()001122bba axf x dx F b F a b f x dx a f x dx ⎡⎤≥⎡-⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 七、设()v u ,ϕ具有连续偏导数，由方程()bz y az x --,ϕ=0确定隐函数()y x z z ,=，求yzb x z a ∂∂+∂∂. 解：两边对x 求偏导得1210z z a b x x ϕϕ∂∂⎛⎫⎛⎫''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭g g ,两边对y 求偏导得1210z z ab y y ϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭g g , 112z x a b ϕϕϕ'∂=∂''+，212z x a b ϕϕϕ'∂=∂''+, yz b x z a ∂∂+∂∂=1.八、设nn x n121112----=Λ，判别数列{}n x 的敛散性.解：定义00x =，令1k k k u x x -=-，则1nk n k u x ==∑,当2n ≥时，1n n n u x x -=-=-,()21-==+.1lim 14n n u →∞=,由1n ∞=1n n u ∞=∑收敛，从而{}n x 收敛. 九、设半径为r 的球面∑的球心在球面0∑：()22220xy z R R ++=>上，问当r 为何值时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大？解：由对称性可设∑的方程为()2222xy z R r ++-=，球面∑被球面0∑所割部分的方程为zR =z x ∂=∂, z x ∂=∂,=球面∑与球面0∑的交线在xoy 平面的投影曲线方程为422224r x y r R +=-，令l =所求曲面面积为()200l DSr d πθρ==⎰⎰,=222r r r R π⎛⎫- ⎪⎝⎭.令()0S r '=得驻点43r R =,容易判断当43rR =时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大. 十.计算()ds yx y x IL⎰+-+=22221，其中曲线弧L 为：x y x 222=+，0≥y . 解： 22x x y-=, (1) 221xx x y --=',ds ==， (2)将(1)、(2)代入()ds y x y x IL⎰+-+=22221得 dx x x xI 220212-=⎰ =dx x⎰-2212 =4. 十一.计算曲面积分()3322231Ix dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221y x z --=被平面0=z 所截出部分的上侧.解：记1∑为xoy 平面上被园221x y +=所围成的部分的下侧，Ω为由∑与0∑围成的空间闭区域.由高斯公式知()()13322222316x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑∑Ω+++-=++⎰⎰⎰⎰⎰Ò =()221126r d dr z r rdz πθ-+⎰⎰⎰=()()122320112112r r r r dr π⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎰ =2π.()221332122313x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑+≤++-=--⎰⎰⎰⎰=3π23I πππ=-=-。
高等数学竞赛训练题(一)
高等数学竞赛训练题（各专业适用）1.求2sin sin sinlim .1112n n n n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦（答案：2π）2.求极限2[arctan(1)]lim(1cos )x u x t dt du x x →+-⎰⎰. （答案：6π）3. 求极限302cos 13lim xx x x→+⎛⎫- ⎪⎝⎭ （答案：16-）4. 求.)93(lim 1x xxx ++∞→ （答案：9）5. 设存在极限b x x x I m x =-++=+∞→])27[(lim 45，求常数m 与b .（答案：.57,51==b m ）6. 已知2)13(lim 2=++-+∞→bx ax x x ,求b a ,的值. （答案：9=a ,12-=b ）7. 设函数)(x f 在0=x 的某邻域内具有一阶连续导数,且,0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小,试确定b a ,的值.（答案：2a =,1b =-） 8.证明:若,0a b >,则lim 2nn →∞⎛=⎪⎝⎭9. 设函数)(),(x g x f 在],[b a 上连续,且0)(>x g ,利用闭区间上连续函数性质,证明存在一点],[b a ∈ξ,使⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ.10. 已知当1→x 时,2)2(-x x 与2)1()1(-+-x b x a 是等价无穷小,求b a ,的值. （答案：)2ln 1(2+=a , b 为任意实常数） 11.函数()f x 在[0,)+∞上可导, (0)1f =,且满足等式1()()()0.1x f x f x f t dt x '+-=+⎰(1) 求导数();f x '(2) 证明: 当0x ≥时,不等式()1x e f x -≤≤成立.（答案：(1)()1xef x x -'=-+）12.设()f x 在(,)-∞+∞上连续, 且()0f x >, ()()f t f t -=. 对函数()||()a aF x x t f t dt -=-⎰回答下列问题： (1)证明()F x '单调增加; (2)x 为何值时()F x 取得最小值;(3)当把()F x 的最小值表为a 的函数2()1f a a --时, 试求()f x . （答案： (2) 0x =； (3) 2()1f x x =+）13.计算积分3（答案：ln(22π++）14. 设xO y 平面上有正方形{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤及直线:(0l x y t t +=≥若()S t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积, 试求() (0).x S t d t x ≥⎰（答案：33201 (01),611() (12),631 (2).x x x S t dt x x x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+-+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩⎰ ）15. 求函数2()ln(1)f x x x =+在0x =处的n 阶导数()(0)(3).n f n ≥ （答案：1()(1)(0)!.2n n fn n --=⋅-）16. 设()f x 在[0,]a 上连续, 在(0,)a 内可导, 且(0)0f =,()f x '单调增加,试证:()f x x在(0,)a 内也单调增加.17.设b a e >>, 证明.b a a b >18. 设函数()f x 在区间[0,1]上连续, 在开区间(0,1)内大于零,并满足23()()2xf x f x ax'=+(a 为常数), 又曲线()y f x =与1,0x y ==所围成的图形S 的面积值为2 , 求函数()y f x =, 并问a 为何值时, 图形S 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小. （答案： 23().2f x ax cx =+，5a =-）19.设ln(1)(ln )x f x x+=, 计算()f x dx ⎰. （答案：(1)ln(1)x x x e e C --+++）20. 证明1100(1)ln ()lnln ()()x f u f x t dt du f u duf u ++=+⎰⎰⎰.21. 求1(1)(21)!nn n n ∞=-+∑的和. （答案：cos 1sin 12-）22.设正项数列{}n a 单调减少,且1(1)n n n a ∞=-∑发散,试问级数111nn n a ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑是否收敛?并说明理由. （答案：收敛）23. 设()f x 在0x =的某邻域内具有二阶连续导数, 且0()limx f x x→=,证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛. 24. 求满足下列性质的曲线C: 设),(000y x P 为曲线22x y =上任一点.则由曲线,0x x =22xy =,2x y =所围成区域的面积A 与曲线,0y y =22x y =和C 所围成区域面积B 相等.（答案： 曲线C: 2932xy =）25. 设)(x f 在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 1)1(,0)0(==f f . 证明:在(0,1)内存在不同的ηξ,,使5)(3)(2='+'ηξf f .26. 设()f x 在[0,2](0)a a >上连续, 证明:x20()[()(2)].a a f x dx f x f a x dx =+-⎰⎰`27. 计算222111[]ln (1)I dx x xx =--⎰（答案：12-）28. 计算不定积分arctan 322.(1)xxedx x +⎰arctan xC-+）29.确定常数,,a b c 的值,使3sin lim(0).ln(1)x x bax xc c t dtt→-=≠+⎰（答案：11,0,2a b c ===）30. 试证:当0x >时, 22(1)ln (1).x x x -≥-。
高等数学竞赛试题含答案
高等数学竞赛试题一、计算题 1．求9解 原积分=55551155==3522(1)15x c + 2．求1120(1)(12)limsin xxx x x x→+-+解 由洛比塔法则，原极限=112220(1)ln(1)12(12)ln(12)lim (1)(12)(1)2(12)x xx x x x x x x x x x x x x →⎡⎤-++-+++-+⎢⎥++⎣⎦而20(1)ln(1)1lim(1)2x x x x x x →-++=-+2012(12)ln(12)lim 12(12)x x x x x x →-++=-+ 2e∴原极限=3．求p 的值，使22007() ()0bx p ax p e dx ++=⎰解：当取p 满足()a p b p +=-+即2b ap +=-时 积分2222007()2007200722()0b a bb px p x x b a aa px p edx xe dx x e dx -++-+-+===⎰⎰⎰4．设(,)x ∀∈-∞+∞，''()0f x ≥，且20()1x f x e -≤≤-，求()f x 的表达式 解：由条件'()f x 单调增。
且(0)0f =易知'()0f x ≡，若不然，不妨设0x ∃ 0'()0f x >则当0x x >时0000()()'()'()()'()x xx x f x f x f x dx f x dx x x f x -=≥=-→+∞⎰⎰矛盾'()0f x ∴≤ 同理可让'()0'()0f x f x ≥⇒≡()(0)0f x f ∴≡='A'B 5．计算2()sx y dS+⎰⎰，其中S为圆柱面224x y+=，（0≤z≤1）解：S圆柱面关于y对称，且y是奇函数∴原积分=22221()2482s s sx ds y ds x y dsππ==+=⨯=⎰⎰⎰⎰⎰⎰二、设1211211212345632313nun n n=+-++-+++---111123nvn n n=+++++求（1）1010uv（2）limnnu→∞解：111121113()(32313323133n nnk kUk k k k k k k===+-=++-----∑∑111111111()32313123n nn k kVk k k k n n n===++-=+++=--++∑∑（1）10101UV=（2）22111111n nnk kUkn k nn====++∑∑21lim ln31nxU dxx→∞∴==+⎰三、有一张边长为4π的正方形纸（如图），C、D分别为'AA、'BB的中点，E为'DB的中点，现将纸卷成圆柱形，使A与'A重合，B与'B重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点O重合，D落在Y轴正向上，此时，求：（1）通过C，E两点的直线绕Z轴旋转所得的旋转曲面方程；（2）此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。
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高等数学竞赛试题1一、 填空： 1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x xx01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = －1 。
2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为332+π 。
3．()=+⎰--22d e x x x x 26e 2-- 。
4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()230,,处的指向外侧的单位法向量为{}32051,,。
5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----x y z x x y z 所确定，则=z d ()y x x x xy z xy z d d e1e 1-1+++---- 。
二、选择题： 1．设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分是y ∆的（ A ）（A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小；（C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。
2．设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ）（A ）f (a ) = 0，且()0='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ；（C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ； （D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。
3．曲线12+-+=x x x y （ B ）（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。
4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数，且()0≠'x,y y ϕ。
已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ； （B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ； （C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ； （D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。
5．设曲面(){}0Σ2222≥=++=,z k z y x x,y,z 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）（A ）⎰⎰∑z y x d d 2； （B ）⎰⎰∑z y x d d ；（C ）⎰⎰∑x z z d d ； （D ）⎰⎰∑y x y d d 。
三、设函数 f (x )具有连续的二阶导数，且()0lim=→xx f x ，()40=''f ，求()xx x x f 101lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。
解：由题设可推知f (0) = 0，()00='f ，于是有()()()22lim 2lim lim0020=''='=→→→x f x x f xx f x x x 。
故 ()()()()()()()220010e 1ln ex p lim 1lim 1lim 2=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→→→x f xx x x f x f xx xx x x f x x f x x f x x f 。
四、设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t ,u u y ,t x t u 所确定，求9d d 22=x x y 。
解：由t t t t t y t 2ln 12e 22ln 1e d d 2ln 1+=⋅+=+，t tx4d d =，得到()t x y 2ln 12e d d +=，所以()()()222222ln 14e 412ln 12e2412ln 12e d d d d 1d d d d d d t t t t t tt t tx x y t x y +-=⋅+-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=。
而当x = 9时，由221t x +=及t > 1，得t = 2，故()()222222ln2116e22ln 14e 9d d +-==+-==t t t x x y 。
五、设n 为自然数，计算积分()⎰+=20d sin 12sin πn x xxn I 。
解：注意到：对于每个固定的n ，总有()12sin 12sin lim0+=+→n xxn x ， 所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。
又()()x nx x n x n sin 2cos212sin 12sin =--+，于是有()()00sin21d cos22d sin 12sin 12sin 220201===--+=-⎰⎰-πnx n x nx x x x n x n I I ππn n ， 上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有11I I I n n===-Λ。
所以2d cos 2d cos2d sin cos sin2sin cos2d sin sin32022020201πππππ=+=+===⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x x x I I n 。
六、设f (x )是除x = 0点外处处连续的奇函数，x = 0为其第一类跳跃间断点，证明()⎰xt t f 0d 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。
证明：因为x = 0是f (x )的第一类跳跃间断点，所以()x f x +→0lim 存在，设为A ，则A ≠0；又因f (x )为奇函数，所以()A x f x -=-→0lim 。
命：()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=.A,x x f ;x ,;A,x x f x 0000ϕ则()x ϕ在x = 0点处连续，从而()x ϕ在()+∞∞-,上处处连续，且()x ϕ是奇函数：当x > 0，则－x < 0，()()()()[]()x A x f A x f A x f x ϕϕ-=--=+-=+-=-； 当x < 0，则－x > 0，()()()()[]()x A x f A x f A x f x ϕϕ-=+-=--=--=-, 即()x ϕ是连续的奇函数，于是()⎰xt t 0d ϕ是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。
又()()x A t t f t t xx -=⎰⎰0d d ϕ，即 ()()x A t t t t f xx +=⎰⎰00d d ϕ， 所以()⎰xt t f 0d 是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。
七、设f (u , v )有一阶连续偏导数，()()xy ,y x f z cos 22-=，ϑϑsin cos r y ,r x ==，证明：()xy vzy u z x z r r z sin 2sin 1cos ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ϑϑϑ。
解： 设：()xy v ,y x u cos 22=-=，则()()()ϑϑϑϑsin cos sin sin cos 2x y xy vz y x u zy v v z y u u z r y x v v z x u u z r x r y y z r x x z r z +⋅∂∂--∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂类似可得()()()ϑϑϑϑϑcos sin sin cos sin 2x y xy r vzy x u z r z -⋅∂∂++∂∂-=∂∂， 代入原式左边，得到()()()()()()()xy vz y u z x x y xy v z uzx y xy v z y x u z z r r z sin 2cos sin sin sin ycos xsin sin 2sin cos sin cos sin cos 2cos sin 1cos ∂∂-∂∂=-∂∂-+⋅∂∂++⋅∂∂⋅--∂∂⋅=∂∂-∂∂ϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑϑ八、设函数f (u )连续，在点u = 0处可导，且f (0)= 0，()30-='f 求：()⎰⎰⎰≤++→++2222d d d 1lim2224t z y x t z y x z y x f πt 。
解：记()()⎰⎰⎰≤++++=2222d d d 12224t z y x z y x z y xfπtt G ，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，有()()()420220204d 4d d sin d 8trr r f r r r f πtt G tt⎰⎰⎰⎰==ππϕϕϑ于是有()()()()()()300lim 44lim d 4limlim 0320420-='=-===→→→→⎰f t f t f tt t f t rr r f t G t t tt t 。
九、计算⎰+++-=Lyx x yx x y I d d ，其中L 为1=++y x x 正向一周。
解：因为L 为1=++y x x ，故()[]⎰⎰⎰⎰⎰=--=+-=DDLyx x y I σσd 2d 11d d 格林公式其中D 为L 所围区域，故⎰⎰Dσd 为D 的面积。
为此我们对L 加以讨论，用以搞清D 的面积。
当00≥+≥y x x 且时，0121=-+=-++y x y x x ； 当0且0≤+≥y x x 时，011=--=-++y y x x ；当0且0≥+≤y x x 时，011=-=-++y y x x ； 当0且0≤+≤y x x 时，0121=---=-++y x y x x ， 故D 的面积为2×1=2。
从而4d d =+++-=⎰Lyx x yx x y I 。
十、⑴ 证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立。
⑵ 设∑=+=nk n kn x 121tan ，求n n x ∞→lim 。
证明：⑴因为32tan lim 3231sec lim 2tan lim tan lim tan lim 2202200304220==-=+⋅-=-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x ， 又注意到当x 充分小时，x x ≥tan ，所以成立不等式422tan 0x x x ≤-≤。
⑵ 由⑴知，当n 充分大时有，()22111tan 1k n k n kn kn +++≤+≤+，故()n kn k n k n x k n nk n k n k n nk 1111111211++≤+++≤≤+∑∑∑∑====，而∑∑==+=+n k nk nk n k n 111111，于是ln2d 11111lim 1lim 1011=+=+=+⎰∑∑=∞→=∞→x x nk n k n n k n nk n ， 由夹逼定理知ln2lim =∞→n n x 。