第05章 二维随机变量
概率论-二维随机变量
P{ X xi , Y y j } pij , i, j 1, 2,
称上式为二维离散型随机变量( X , Y )的联合分布律, 或称
为随机变量 ( X , Y ) 的分布律.
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示
Y X
y1
y2 …
yi
…
x1 x2 . . xi
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … . . . . . . . . . . . . . . . . . . pi1 pi2 … pij …
一、二维随机变量和联合分布函数 定义3.1: 设E是一个随机试验,它的样本空间是 {}. 设X = X (ω)与Y = Y(ω)是定义在Ω上的两个随机变量, 由 它们构成一个向量(X, Y), 叫做的二维随机向量或二维随 机变量。 定义3.2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x, y,
在几何上 z f ( x, y ) 表示空间的一张曲面。由性 质（2）知，介于该曲面和 xOy 平面之间空间区域的 体积为 1 ，由性质（4）知，概率 P{( X , Y ) D} 的值 等于以 G 为底，以曲面 z f ( x, y ) 为顶的曲顶柱体
的体积。
例1 设
0, x y 1, F ( x, y ) 1, x y 1,
对于任意的y, F ( , y ) lim F ( x, y ) 0
对于任意的x, F ( x, ) lim F ( x, y ) 0
y
x
F (, ) lim F ( x, y ) 0，
F (, ) lim F ( x, y ) 1.
P{ X 2, Y 0} C / C
概率论与数理统计-第五章 二维随机变量及其分布
注：满足上述性质1~4的二元函数 可作为某个二维随机变量的分布函 数。
0 x y 0 例1.1 二元函数 F ( x, y) 1 x y 0 可否为某个二维随机变量的分布函数。
解：取 1 y1 0, x2 y2 1，则 x F (0,0) 0，F (1,0) 1，F (0,1) 1，F (1,1) 1
( x2 , y1 )
x1
x2
x
3、二维随机变量的分布函数性质
性质1 F(x,y)是变量x和y的不减函数。
即x1 x2 , F ( x1 , y) F ( x2 , y) y1 y2 , F ( x, y1 ) F ( x,)
p31 P X 3, Y 1 P X 3P 1 X 3 Y
Y X 1 2 3
P{XY}=P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=1}
1
2
3
+P{X=2,Y=2}+P{X=3,Y=1}
0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6 0
+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}
(1)当x<0或y<0时
F ( x , y)
x x
y
y
f ( s, t )dsdt
1
(3) (2)
(5)
y
0dsdt 0
(2)当0x<1, 0y<1时
F ( x , y)
x x
(1) y
(4)
y
f ( s, t )dsdt
0
x
1
x
(1)
第05章 二维随机变量
第五章 二维随机变量第一节 二维随机变量及其分布一、二维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 、Y 均为S 上的一维随机变量，称二维向量X ),(Y X =为S 上的二维随机变量.2、X 的分布：}{B P ∈X , 2B ∈B . 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},))(),((|{S e B e Y e X e .若取},|),{(2121y y y x x x y x B ≤<≤<=，那么},{}{2121y Y y x X x P B P ≤<≤<=∈X},{22y Y x X P ≤≤=},{21y Y x X P ≤≤- },{},{1112y Y x X P y Y x X P ≤≤+≤≤-.3、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量,R ∈∀y x ,,规定：},{),(y Y x X P y x F ≤≤=. 称),(y x F 为),(Y X 的分布函数.显然: },{2121y Y y x X x P ≤<≤<),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=.(2)性质① R ∈∀y x ,,1),(0≤≤y x F .② ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数.③ 0),(=-∞y F ,0),(=-∞x F ,0),(=-∞-∞F ,1),(=+∞+∞F . ④ ),(y x F 关于y x ,均为为右连续函数.⑤ R ∈<<∀2121,y y x x ,0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F .注：①~⑤为分布函数的特征性质.反之亦然.例1掷硬币三次，X 表示出现正面的次数，|)3(|X X Y --=，求),(Y X 的分布函数),(y x F .解:(1) X 的所有可能取值为3,2,1,0,依次记为4321,,,x x x x ,Y 的所有可能取值为3,1,依次记为21,y y .列表如下X样 本 点Y0 (反反反)3 1 (正反反) (反正反) (反反正) 1 2(正正反) (正反正) (反正正)13 (正正正)3(2) 概率情况列表 81},{21===y Y x X P ，83},{12===y Y x X P ， 83},{13===y Y x X P ,81},{24===y Y x X P ，其他0},{===j i y Y x X P .(3)求分布. 记}2,1 ,3,2,1|),{(===j i y x A j i ,YX1 3 0 0 8/1 1 8/3 02 8/3 0 38/1A B BA B +=, 显然φ=∈}),{(A B Y X ，那么}),{(}),{(}),{(A B Y X P BA Y X P B Y X P ∈+∈=∈∑∈===∈=By x j i j i y Y x XP BA Y X P )(,},{}),{((4)求分布函数. ∑≤≤===≤≤=yy x x j i j i y Y x XP y Y x X P y x F ,},{},{),(.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥≥<≤<≤<≤≥<≤<<<<=.3 ,3 1, ,3 ,32 ,8/7 ;31 ,3 ,8/6 ;3 ,21 ,8/4 ;31 ,21 ,8/3 ;3 ,10 ,8/1;3 ,1 1 0 0,),(y x y x y x y x y x y x y x y x y x F 或或二、边缘分布1、),(Y X 关于X 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F x X P x F y X +∞→=≤=.证明：取}{},{},{x X Y x X n Y x X A n ≤=+∞<≤→≤≤=不减,由①②知),(lim y x F y +∞→存在,故)(}{)lim ()(lim ),(lim ),(lim x F x X P A P A P n x F y x F X n n n n n y =≤====∞→∞→∞→+∞→.2、),(Y X 关于Y 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F y Y P y F x Y +∞→=≤=. (略)三、随机变量相互独立、定义：设),(y x F 为),(Y X 的分布函数，X 、Y 的分布函数分别为 )(x F X 、)(y F Y ，若R ∈∀y x ,，恒有=),(y x F )(x F X )(y F Y ， 则称X 与Y 相互独立.2、X 与Y 相互独立⇔R ∈<<∀2121,y y x x ，恒有}{}{},{21212121y Y y P x X x P y Y y x X x P ≤<≤<=≤<≤<.证明：“⇐” R ∈∀y x ,，由于},{},{y Y x X y Y n x X n ≤≤→≤<-≤<-, }{}{x X x X n ≤→≤<-, }{}{y Y y Y n ≤→≤<-均不减,则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=},{lim y Y n x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{}{[lim y Y n P x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{lim }{lim y Y n P x X n P n n ≤<-≤<-=∞→∞→)()(}{}{y F x F y Y P x X P Y X =≤≤=.“⇒”R ∈<<∀2121,y y x x ,有 },{2121y y x x P ≤<≤<ηξ ),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=)()()()()()()()(11122122y F x F y F x F y F x F y F x F Y X Y X Y X Y X +--= )]()()][()([1212y F y F x F x F Y Y X X --= }{}{2121y y P x x P ≤<≤<=ξξ.3、X 与Y 相互独立⇔R ⊂∀21,B B ，恒有}{}{},{2121B Y P B X P B Y B X P ∈∈=∈∈.第二节 二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量 1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量，若),(Y X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量. 显然：),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量⇔X 与Y 均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：设),(Y X 所有可能取的值为),(j i y x ，令 },{j i ij y Y x X P p ===,称其为二维随机变量),(Y X 的概率分布(分布率)。
§5二维随机变量及其分布
问题，在研究家庭的收支时则涉及更多个方面的因素。
与一维随机变量的研究类似，我们也把随机向量 分成离散型、连续型及混合型，主要研究离散型和连
续型的随机向量。
2014-12-8 3
二、二维随机变量的分布函数
定义：设有二维随机变量( X ,Y ), 对x, y R, 称概率 P ( X x,Y y )为随机变量( X ,Y )的联合分布函数.
y
2
1 1
2
x
0, x 1, 或y 1 1/ 3, 1 x 2, y 2. F ( x , y ) 1/ 3, 1 y 2, x 2. 0, 1 x 2,1 y 2. 1, x 2, 且y 2.
2014-12-8 14
例4
从1，2，3，4中取一数记为X，再从1，…，X
2014-12-8 16
第三节
二维连续型随机变量
2014-12-8
17
一、联合密度函数 1、定义：如果存在二元非负函数 p(x,y)，使得二维 随机变量（X,Y）的分布函数 F(x,y)满足
x y
F ( x, y)
p( u, v )dudv .
则称（X,Y）为二维连续随机变量， p(x,y)称为
5
注意：上述四条性质是联合分布函数的充要条件.
2014-12-8
Y
关于非负性的补充说明：
P ( a X b, c Y d )
d
D
C
B
c A
a F ( b, d ) F ( a , d ) F ( b, c ) F ( a , c ) 0 .
取值的概率；
按照分布函数的定义，这个概率又可以表示为
第五章 二维随机变量及其概率分布
P{( X ,Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y) 为顶面的柱体体积.
例3.1 设( X ,Y )的联合密度函数为
f
(
x,
y)
cxy
0
0 x 1, 0 y 1 ,
others
(1)求常数C的值；（2）求P{X Y}；
（3）.求F (x, y)
解 (1)由
解 由于
43 2 P{X 0,Y 0} P{X 0}P{Y 0 X 0}
10 9 15
46 4 P{X 0,Y 1} P{X 0}P{Y 1 X 0}
10 9 15
64 4 P{X 1,Y 0} P{X 1}P{Y 0 X 1}
10 9 15
65 5 P{X 1,Y 1} P{X 1}P{Y 1 X 1}
例1.1 已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为
F (x, y) A[B arctan x)][C arctan y)] ( x, y )
1)求常数A，B，C;
解: 由分布函数的性质，有
lim F(x, y) lim A(B arctan x)(C arctan y)
x
x
y
y
A(B
G
(4)若 f ( x, y)在( x, y)连续,则有2F ( x, y) f ( x, y). xy
3.说明
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面.
f ( x, y)d x d y 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
P{( X ,Y ) G} f ( x, y) d x d y,
设二维离散型随机变量( X ,Y )所有可能取的 值为 ( xi , y j ), i, j 1, 2,, 记
二维随机变量及其分布
有放回抽取方式
P(X=1,Y=1)=1/9 P(X=1,Y=2)=2/9
Y X
1
2
P(X=2,Y=1)=2/9
1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/9
2 2/9
4/9
§1.2 二维离散型随机变量
一、二维离散型随机变量及联合分布律
分布律与分布函数的关系
若(X,Y)的分布律为P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…
则(X,Y)的分布函数为
F(x,y) pij xi x,y j y
i4
j i 于是（X ,Y）的分布规律为
y x1
2
3
4
如求：Y=2概率
1
1/4 1/8 1/12 1/16 0 1 1 1
2
0
1/8 1/12 1/16
8 12 16
3
0
0
1/12 1/16 6 4 3 1348 48 48 48
4
0
0
0
1/16
例：从一个装有3支蓝色，2支红色，3支绿色圆珠 笔的盒子里，随机抽取两支，若X,Y分别表示抽出 的蓝笔数和红笔数，求（X,Y)的分布规律。
为:
P{(X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy
G
在几何上z= f(x,y)表示空间的一个曲面.由性质2 , 介于它和 xoy平面的空间区域的体积为1，由性质4, P{(X,Y)∈G}的值等于以G为底,以曲面z= f(x,y)为顶
概率论二维随机变量
对于连续型随机变量，可以通过联合概率密度函数积分计算边缘分布的概率密 度函数。
边缘分布的应用场景
统计推断
在统计分析中，常常需要利用边缘分布来推断另 一个随机变量的统计性质，如均值、方差等。
概率模型简化
在复杂概率模型中，可以通过计算边缘分布来简 化模型，便于分析和计算。
数据处理
在处理多维数据时，可以利用边缘分布来提取单 维数据，进行进一步的分析和处理。
条件概率与条件期望
条件概率
在概率论中，条件概率是指在某个条件下的概率。对于二维随机变量，条件概率是指在给定某个变量的条件下， 另一个变量的概率分布。
条件期望
条件期望是指在给定某个变量的条件下，另一个变量的期望值。在二维随机变量中，条件期望是指在给定某个变 量的条件下，另一个变量的加权平均值。
05
例如温度和压力的联合分布。
02
二维随机变量的定义与性质
二维随机变量的定义
1 2
定义
二维随机变量是两个随机变量的组合，通常表示 为 (X, Y)，其中 X 和 Y 都是随机变量。
定义域
二维随机变量的定义域是 X 和 Y 的取值范围的 组合，通常表示为 D，D 是实数域 R 的子集。
3
概率空间
二维随机变量是概率空间的一个元素，概率空间 由样本空间、事件域和概率函数组成。
联合概率分布满足概率的基本性质，即非 负性、归一性和可加性。
03
二维随机变量的期望与方差
二维随机变量的期望
01
02
03
定义
二维随机变量的期望是所 有可能取值的概率加权和。
计算公式
E(X,Y)=∫−∞∞∫−∞∞(x,y )f(x,y)dxdy，其中f(x,y)是 联合概率密度函数。
《二维随机变量》课件
二维随机变量是概率论中的一个概念 ，它由两个随机变量组成，每个随机 变量都可以取不同的值，这些值之间 有一定的概率分布关系。
性质
总结词
二维随机变量具有独立性、对称性、可加性等性质。
详细描述
独立性是指两个随机变量之间没有相互影响，一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量的取值。对称性是 指两个随机变量的取值概率相同，即P(X=x, Y=y) = P(X=y, Y=x)。可加性是指两个随机变量的和仍然是一个随 机变量，其概率分布可以通过两个随机变量的概率分布计算得出。
CHAPTER 03
二维随机变量的函数
Z变换
定义
Z变换是数学中的一种变换方法，用于将离散信号或序列转换为复 平面上的函数。在二维随机变量的背景下，Z变换可以用于分析两
个随机变量之间的关系。
应用
通过Z变换，我们可以研究两个随机变量之间的依赖关系，例如相 关性、条件概率等。此外，Z变换还可以用于信号处理、控制系统
线性变换在统计学、概率论和数据分 析等领域有广泛应用，例如在回归分 析和主成分分析中常用到线性变换。
标准化变换
标准化变换的定义
标准化变换是将二维随机变 量的每个分量分别减去其均 值并除以其标准差，从而将 原始变量转换为标准正态分
布的随机变量。
标准化变换的性质
标准化变换将原始变量的均 值为0、标准差为1的标准正 态分布，保持了变量的方差 、协方差等统计特性不变。
03
当相关系数为0时，协方差也 为0，表示两个随机变量之间 没有线性相关性。
CHAPTER 06
二维随机变量的函数变换
线性变换
01
线性变换的定义
线性变换是二维随机变量的变换方式 之一，它通过一个线性方程组将原始 变量转换为新的变量。
二维随机变量
同理FY y F , y
二. 离散型边缘分布律
a. 定义：
FX x F x, pij p ij Pi , i 1,2,
xi x j 1 j 1
FY y pij P j , j 1,2,
问X和Y是否独立？
0
xe
dy xe x , x>0
y
fY ( y) xe
0
( x y )
dx e ,
y >0
即： xe x , x 0 f X ( x) 0, 其它
e y , y 0 fY ( y ) 0, 其它
若(X,Y)的概率密度为
由
[ cy (2 x)dy ]dx
0 0 1 2 0
1
x
f ( x, y)dxdy 1
确定C
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
c =24/5
例2 设(X,Y)的概率密度是 cy (2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 注意积分限 0 , 其它 求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 . 解: (2)
f ( x , y) 1 21 2 1 x 1 2 exp{ [( ) 2 2 2(1 ) 1 1
2 (
x 1
其中
1, 2 , 1, 2 ,
1
)(
y 2
2
)(
y 2
2
)2 ]}
均为常数,且
则称（ X,Y）服从参数为 1, 2 , 1, 2 , 的二维正态分布. 记作（ X,Y）～N( 1, 2 , 1, 2 , )
二维随机变量
1
例3:将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”，已 在例1中求了(X,Y)的联合分布律，现求二维随机 变量(X,Y)关于X与Y的边缘分布律.
X0
1
2
3 p. j
Y
1
0 3/8 3/8 0 6/8
求（X1 ,X2）的联合分布律及边缘分布律。 假设： （1）采取有放回取球方式 （2）采取不放回取球方式 （3）通过此题你得出何结论?
FX ( x) P( X x,Y ) F( x,)
x
x
dx f ( x, y)dy ( f ( x, y)dy)dx
固定x
同理:
固定y
例2:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
即 F（x，y）= F（x+0，y） F（x，y）= F（x，y+0）
2. 二维离散型随机变量的联合分布
定义 若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值 是有限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维 离散型随机变量。
中心问题：(X,Y)可能取哪些值？ 它取这些值的概率分别为多少？
二维（X，Y）的联合分布律:
6e2x3 y , x 0, y 0
f (x, y)
0, 其他
求( X ,Y )关于X与Y的边缘概率密度。
解：当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
=0
当x 0时，f X ( x)
f ( x, y)dy
6e 2x3 y dy 6e 2 x e 3 y dy 2e 2 x
(2) pij 1
ij
例1： 将一枚硬币连掷三次，令X=“正面出现 的次数”，Y=“正反面次数之差的绝对值”， 试求(X,Y)的联合分布律。
概率论与数理统计完整--第五章-二维随机变量及其分布精选ppt
2F(x, y) f (x, y) xy
例题3
.
例题3
1.设(ξη)的联合概率密度为
ce(2x4y) f(x,y)
0
求（1）常数C
x0,y0 其它
（2）P(ξ≥η)
解：（1）
f(x,y)d
xdy
ce(2x4y)dxdy
00
dx c e2xe4ydy c1
0
08.源自C=8例题3续例题3
1.设(ξη)的联合概率密度为
ce(2x4y) x0,y0
f(x,y) 求（1）常数C0
其它
（2）P(ξ≥η)
解：（2） P() f(x,y)dxdy
xy
dxx8e(2x4y)dy
0
0
0 8e2x[14e4y]0xdx
2 e2xd x2 e6xd x2/3
0
0
.
例题3续
例题3续 2.设(ξ，η)的联合概率密度为
求（1）(ξ,η)的分布律
（2）P(ξ≥η)
解: (2)
ξη 1
2
1
0
1/3
P(ξ≥η) 2
1/3 1/3
=P(ξ=1,η=1)+P(ξ=2,η=1)+ P(ξ=2,η=2) =2/3
back
.
第三节 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量
设(ξη)的分布函数为F(x ,y),若存在非负可 积函数f(x,y)，使得对于任意实数 x,y 有
二维随机变量的分布函数
.
二、二维随机变量的分布函数 设(ξη)是二维随机变量，(ξη)R2,
则称F(x,y)=P{ξx,ηy}为(ξη)的分 布函数，或ξ与η的联合分布函数。
二维随机变量(PPT课件)教学文稿
P { X x 2 , Y y 2 } P { X x 2 , Y y 1 }
P { X x 1 , Y y 2 } P { X x 1 , Y y 1 } 0, 故 F ( x 2 , y 2 ) F ( x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 ) F ( x 1 , y 2 ) 0 .
p 1 j p 2 j p ij
例1 设随机X变 在1量 ,2,3,4四个整数中等
地取一个值, 另一个随Y机 在1~变 X中 量等可能 地取一整数值. 试求 (X,Y)的分布. 律 解 用乘法公式容(X 易,Y求 )的得 分布. 易律知 {Xi,Yj}的取值情:i况 1,2 是 ,3,4, j取不大 于i的正整数 . 且
P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 , i4
i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
1
11
8
12 16
1
11
8
12 16
11
0 12 16
1 0 0 16
三、二维连续型随机变量
1.定义
对于二维(X 随 ,Y)机 的变 分量 布 F(x 函 ,y)数 , 如果存在非负 f(x可 ,y)使 积对 函于 数x任 ,y有 意
第一节 二维随机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
二维随机变量
§3.1 二维随机变量一二维随机变量的分布函数1 .二维随机变量定义2 .二维随机变量的分布函数3. 二维随机变量的分布函数的性质4. 边缘分布函数二二维离散型随机变量1. 二维离散型随机变量的定义2. 二维离散型随机变量的概率分布3. 二维离散型随机变量的分布函数4. 二维离散型随机变量的边缘分布律和边缘分布函数5. 常见的二维离散型随机变量的分布三二维连续型随机变量1. 二维连续型随机变量的定义2. 二维连续型随机变量的概率密度性质3. 二维连续型随机变量的边缘概率密度及边缘分布函数(){}()(){}为一随机事件而集合，即其值域能取值为或二维随机向量，其可称为二维随机变量量则由它们构成的联合变上的两个随机变量，是定义在和，样本空间为一个随机试验，其设定义二维随机变量的定义SD e Y e X y x e R S e y e Y x e X y x D R y x Y X S e Y Y e X X e SE ⊂∈=⊂∈∀===∈===)(),(,,)(,)(,),(),()()(}{1.1122一二维随机变量及分布函数),())(),(()()()4(),())(),(()()()3(),())(),(()()(3)2(),())(),(()()()1(212121r c e R e C e R e C t t e T e T e T e T w h e W e H e W e H y x e Y e X e Y e X ====个二维随机变量组成一与收益一种产品的综合成本个二维随机变量构成一与最高温度某地区某日最低温度二维随机变量构成一个与体重岁儿童身高某地区一个二维随机变量构成与纵坐标标一发炮弹的弹着点横坐例如{}{}{}内的概率：点左下方的无穷矩形域为顶点的位于该以所示的可视为随机点落在下图其中的联合分布函数。
与或称为随机变量的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数上的二维随机变量是定义在设定义数二维随机变量的分布函),(,,)(,)(,,),()1.1(,,)(,,,),(2.12y x y e Y x e X e P y Y x X P Y X Y X y x y Y x X P x F y x S Y X ≤≤=≤≤+∞<<∞−≤≤=)y ,x (xx 0yy{}{}{}{}{}{})y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F ).(y Y ,x X y Y ,x X y Y ,x X y Y ,x X y Y y ,x X x P .y Y y ,x X x ))e (Y ),e (X (,)y ,x (F 11122122111221222121212121+−−=≤≤+≤≤−≤≤−≤≤=≤<≤<≤<≤<即内的概率形域落入有限矩容易得出随机点定义由)y ,x (22xx x 210y)y ,x (21)y ,x (12)y ,x (1112y y.,~.).(,~)y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F .,y y ,x x .)y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F y,x ,y x .),(F ,),(F )y ,(F ,y ,),x (F ,x )y ,x (F .)y ,x (F )y ,x (F ,y y )y ,x (F )y ,x (F ,x x .y x )y ,x (F ..变量的分布函数二维随机的二元函数可作为某个满足上述式可知由由的定义即知其中下述不等式成立对任意的即均是右连续的和关于变量及对固定的且对固定的即的不减函数和是变量布函数性质二维随机变量的分°°°°°≥+−−≤≤°+==+∀°=+∞+∞=−∞−∞=−∞=−∞≤≤°≤≤∀≤≤∀°4121431040031000102131112212221212121212111222212211100.()1(,)?:0,1,(0,0)0,(1,0)1,(0,1)1,(1,1)1(,)(,)(,)(,)1110104,(,).x y F x x y X Y x y x y F F F F F x y F x y F x y F x y F x y +≤⎧=⎨+>⎩========−−+=−−+=−<°例二元函数能否为某个二维随机变量的分布函数解取则故不满足故此不能作为分布函数{}{}{}{}).()y ,(F y Y ,x P y Y P )y (F :Y ).(),x (F Y ,x X P x X P )x (F :X ),y ,x (F )Y ,X (.y x 41314+∞=≤+∞<=≤=+∞=+∞<≤=≤=的边缘分布函数关于的边缘分布函数关于则的分布函数已知边缘分布函数.)Y ,X (,...,j ,i )y ,x ()Y ,X (,)Y ,X (..j i 为二维离散随机变量则称限对或可列多对的所有可能取的值是有若二维随机变量定义定义二维离散型随机变量的二维离散型随机变量二21311==.,,11,(,)(0,0),(0,1),(1,0)(1,1),(,).X Y X Y X Y ⎧⎧===⎨⎨⎩⎩例抛掷两枚硬币一次观察出现的正反两情况令甲币出现正面乙币出现正面甲币出现反面乙币出现反面则的可能取值为及故此为二维离散型随机变量{}{}{}.,),(,12,2,1,01,2,1,,,,2,1,),(),(4.1211或联合概率分布的联合分布和或称为随机变量的概率分布或分布律为二维离散型随机变量，，，则称满足的概率若，为所有可能取的值设二维离散型随机变量定义概率分布二维离散型随机变量的Y X Y X j i y Y x X P p pj i p j i y Y x X P p y Y x X j i y x Y X j i ij i j ijij j i ij j i j i """"====°=≥°=======∑∑∞=∞=为分布律通常用表格表示Y x,...y ,...,y ,y j 21∑==1j ij.i pp .x .x x i 21...p ...p p j 11211...p ...p p j 22221....p ...p p ij i i 21..p .p p .i ..21∑==1i ijj .p p ...p ...p p j (21)1{}{}{}).(pyY,xXPyY,xXP)y,x(F,...,j,i,pyY,xXP)Y,X(xx yyijxx yyjiijjii ji j61213∑∑∑∑≤≤≤≤====≤≤=====则其分布函数为具有分布律若分布函数二维离散型随机变量的{}{}2(,)4:(0,0),(0,1),(1,0)(1,1).0,1,0,15. (1)00,,(,),(,),0X YX X Y Y Rx y X x Y yX Y F x y P X x Y y====<<≤≤=≤≤=由于的可能取值仅为个及故按直线将划分成个区域当或时不包括的可能取值故.,,11,00(,)(0,0),(0,1),(1,0)(1,1),X YX Y⎧⎧===⎨⎨⎩⎩例抛掷两枚硬币一次观察出现的正反两情况令甲币出现正面乙币出现正面甲币出现反面乙币出现反面则的可能取值为及{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}111011000115106010001001014106100010001103103000010102=≤≤=≤≤>>===+===≤≤=≤≤<≤≥===+===≤≤=≤≤≥<≤====≤≤=≤≤<≤<≤y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),(),,(),,()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(故及个可能值点四的包括时当故及个可能值点两的包括时当故及个可能值点两的包括时当故一个可能值点的只包括时当(1)(2)(3)(4)(5)11:y ,x y ,x .y ,x .y ,x .y x )y ,x (F 各部分如图所示或综述为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=1111016011060101030000{}{}{}{}{}{}∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∧≤≤∞=≤+∞≤∞=∧≤≤∞=≤+∞≤≤≤=====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==+∞======⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+∞===≤≤=====1.11.1)8.1(),()(:)7.1(),()(,),(,...2,1,,,),()4(i iji j iyy y y i ij y y x ij y j iji i ixx x x j ij x x y ij x x x yy ijij j i p y Y P p Y y Y P p p y F y F Y p x X P p X x X P p p x F x F X py Y x X P y x F j i p y Y x X P Y X i i i j i i i j i j 的边缘分布律为故关于的边缘分布函数为关于的边缘分布律为故关于的边缘分布函数为关于则其分布函数为知的概率分布为若已数边缘分布及边缘分布函二维离散型随机变量的{}{}{}{}{}{}{}{}111213,1,2,2,3,,,,,,,,.:(,),,1,2,3.11,11110041211,21214361,31X Y X Y X Y X Y p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X ========×=========×======例.一中袋中有四个球上面分别标有从这口袋中任取一球后不放回袋中再从袋中任取一个球依次用表示第一次第二次取得的球上标有的数学试求的边缘分布律解先求的概率分布可能取值为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}2122231113143122112,12124362112,22224362112,3232436P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X ===×=========×=========×=========×={}{}{}{}{}{}{}{}{}:X Y P X P Y ,X P p X Y P X P Y ,X P p X Y P X P Y ,X P p 即00413333361324132323121314131313333231=×=========×=========×======== Y X1 2 3.i p1 2 30 6112161 61 61 12161 0412141j.P 41 21 411X1 2 3.i p 412141表中横行相加即得X 的边缘分布律Y1 2 3j.p 412141表中纵行相加即得Y 的边缘分布律具有分布律如果二维两点分布常见的二维离散型分布)Y ,X ()(15点分布的边缘分布均为一维两与此时服从二维两点分布则称Y X ,)Y ,X ( Y X 0 11p −1 0 0 px0 1.i p p −1 pY0 1j.p p −1 p二维等可能分布)(2{}{}{}n,...,j ,ny Y P p m,...,i ,m x X P p Y X .,)Y ,X (n,...,j ,m ,...,i ,mny Y ,x X P ,)Y ,X (j j .i .i j i 21121121211=============可能分布的边缘分布均为一维等与此时即离散型均匀分布服从等可能分布则称即等取每对可能值的概率相若{}服从二维等可能分布即此的概率分布为则现的点数第二颗骰子出记第一颗以抛两颗相同的骰子一次例),(6,...,2,1,361,),(,,,,6.1Y X ij j Y i X P Y X Y X ====二维连续型随机变量三{}{}{}{}y Y x X P y Y x X P y Y x X P y Y x X P Y X Y X y x y x F Y X Y X Y X y x f Y X dxdy y x f y x F y x y x f y x F Y X x y≤<=<≤<<=≤≤=∫∫∞−∞−,,,,0),(),(2,),(),(1),(),(),()9.1(),(),(),(),(),(5.1.1。
概率论完整二维随机变量及其分布ppt课件
前儿童的发育情况时，就要同时抽查儿童的身高 X、 体重Y , 这里，X和 Y是定义在同一样本空间
S{某地区的全部学龄前儿童}
上的两个随机变量. 在这种情况下，我们不但要研究 多个随机变量各自的统计规律，而且还要研究它们之 间的统计相依关系，因而需考察它们的联合取值的统
(x 2 , y2)
y1
O x1
x2 x
图 2.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 )
F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y .1 ).
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
F X ( x ) P { X x } P { X x , Y } F(x, )
F Y ( y ) P { Y y } P { X , Y y } F (, y)
.
二维随机变量的分布函数
P { x 1 x x 2 ,y 1 y y 2 } F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 1 ). 若已知 (X,Y)的分布函数F(x,y),则可由F(x,y) 导出 X和 Y各自的分布函数 FX(x)和 FY(y):
二维随机变量及其分布
二维随机变量 边缘分布 随机变量的独立性 条件分布
§5.1 二维随机变量 一、二维随机变量的定义
设X、Y 为定义在同一样本空间Ω上的随机变 、 为定义在同一样本空间Ω 上的一个二维随机变 量，则称向量（ X，Y ）为Ω上的一个二维随机变 则称向量（ ， 量。 一维随机变量X——R 上的随机点坐标 2 二维随机变量(X,Y)——R 上的随机点坐标
X
0 1 2
Y
0
1
2
pi .
1/ 9
2/ 9 1/ 9 4/9
Y的分布律
2/ 9
2/ 9 0 4/9
1/ 9
0 0 1/ 9
4/9
4/9 1/ 9
p. j
上页
下页
最近页
将两只红球和2只白球随机地投入已经编好号的三个盒子 将两只红球和 只白球随机地投入已经编好号的三个盒子 中去,设 表示落入第 个盒子内红球的数目,Y表示落入第 表示落入第1个盒子内红球的数目 表示落入第2个盒 中去 设X表示落入第 个盒子内红球的数目 表示落入第 个盒 子内白球的数目,求 的分布律及边缘分布律. 子内白球的数目 求(X,Y)的分布律及边缘分布律 的分布律及边缘分布律 (X,Y)的联合分布律及边缘分布律为 的联合分布律及边缘分布律为 X的分布律
上页 下页 最近页
一、边缘分布的定义
设二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x, y ) ，
FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = P ( X ≤ x, Y < +∞ ) = F ( x, +∞ )
称为二维随机变量(X, Y)关于 的边缘分布函数； 关于X的边缘分布函数 称为二维随机变量 关于 的边缘分布函数；
二维随机变量
π
2
] = 1 y ( )] = 0 3
2
][ C + arctg (
F ( x , −∞ ) = A [ B + arctg
⇒B=C =
π
2
x π )][ C − ] = 0 2 2
A=
1
π2
1 16
P{0 < X ≤ 2, 0 < Y ≤ 3} = F (2,3) − F (0,3) − F (2, 0) + F (0, 0) =
1 (x ， , y) ∈ D ⊂ R2 f ( x , y ) = D的面积 0 , 其它
则称(X, Y)在区域 在区域D上(内 服从均匀分布。 则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。 易见， 易见，若（X，Y）在区域 上(内) 服从均匀分布 ， ）在区域D上 内 内任意区域G， ，对D内任意区域 ，有 内任意区域
1 ( x , y ) ∈ D (1) f ( x , y ) = others 0
1 1 1 SG = × ×1 = 2 2 4
1 ( 2) P {Y < 2 X } = 4 1 = 4
G = {Y < 2 X }
1
1 1 1 S3 = × 1 × = 2 2 4
H = { X ≤ 0.5, Y ≤ 0.5}
x y F ( x , y ) = A[ B + arctg( )][C + arctg( )] 2 3
1)求常数 ，B，C。 2)求P{0<X<2,0<Y<3} 求常数A， ， 。 求 求常数
解:F ( ∞ , ∞ ) = A [ B +
F ( −∞ , y ) = A [ B −
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 二维随机变量第一节 二维随机变量及其分布 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量第一节 二维随机变量及其分布一、二维随机变量1、 定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 、Y 均为S 上的一维随机变量，称二维向量X ),(Y X =为S 上的二维随机变量.2、X 的分布：}{B P ∈X , 2R ⊂B .若取},|),{(2121y y y x x x y x B ≤<≤<=，那么},{}{2121y Y y x X x P B P ≤<≤<=∈X},{22y Y x X P ≤≤=},{21y Y x X P ≤≤- },{},{1112y Y x X P y Y x X P ≤≤+≤≤-.3、分布函数(1) 定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量,R ∈∀y x ,,规定：},{),(y Y x X P y x F ≤≤=. 称),(y x F 为),(Y X 的分布函数.显然: },{2121y Y y x X x P ≤<≤<),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=.(2)性质① R ∈∀y x ,,1),(0≤≤y x F .② ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数.③ 0),(=-∞y F ,0),(=-∞x F ,0),(=-∞-∞F ,1),(=+∞+∞F . ④ ),(y x F 关于y x ,均为为右连续函数. ⑤ R ∈<<∀2121,y y x x ,0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F .注：①~⑤为分布函数的特征性质.反之亦然.例1 掷硬币三次，X 表示出现正面的次数，|)3(|X X Y --=，求),(Y X 的分布函数),(y x F .解:(1) X 的所有可能取值为3,2,1,0,依次记为4321,,,x x x x ,Y 的所有可能取值为3,1,依次记为21,y y .列表如下X 样 本 点Y0 (反反反)3 1 (正反反) (反正反) (反反正) 1 2 (正正反) (正反正) (反正正)1 3(正正正)3(2) 概率情况列表81},{21===y Y x X P ，83},{12===y Y x X P ， 83},{13===y Y x X P ,81},{24===y Y x X P ，其他0},{===j i y Y x X P .(3)求分布. 记}2,1 ,3,2,1|),{(===j i y x A j i ,YX1 30 0 8/1 1 8/3 0 2 8/3 0 3 0 8/1A B BA B +=, 显然φ=∈}),{(A B Y X ，那么}),{(}),{(}),{(A B Y X P BA Y X P B Y X P ∈+∈=∈∑∈===∈=By x j i j i y Y x X P BA Y X P )(,},{}),{((4)求分布函数. ∑≤≤===≤≤=yy x x jij i y Y x X P y Y x X P y x F ,},{},{),(.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥≥<≤<≤<≤≥<≤<<<<= .3 ,3 1,,3 ,32 ,8/7 ;31 ,3 ,8/6 ;3 ,21 ,8/4 ;31 ,21 ,8/3;3 ,10 ,8/1;3 ,1 1 0 0,),(y x y x y x y x y x y x y x y x y x F 或或二、边缘分布1、),(Y X 关于X 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F x X P x F y X +∞→=≤=.证明：取}{},{},{x X Y x X n Y x X A n ≤=+∞<≤→≤≤=不减,由①②知),(lim y x F y +∞→存在,故)(}{)lim ()(lim ),(lim ),(lim x F x X P A P A P n x F y x F X n n n n n y =≤====∞→∞→∞→+∞→.2、),(Y X 关于Y 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F y Y P y F x Y +∞→=≤=. (略)三、随机变量相互独立、定义：设),(y x F 为),(Y X 的分布函数，X 、Y 的分布函数分别为)(x F X 、)(y F Y ，若R ∈∀y x ,，恒有=),(y x F )(x F X )(y F Y ， 则称X 与Y 相互独立.2、X 与Y 相互独立⇔R ∈<<∀2121,y y x x ，恒有}{}{},{21212121y Y y P x X x P y Y y x X x P ≤<≤<=≤<≤<.证明：“⇐” R ∈∀y x ,，由于},{},{y Y x X y Y n x X n ≤≤→≤<-≤<-, }{}{x X x X n ≤→≤<-,}{}{y Y y Y n ≤→≤<-均不减,则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=},{lim y Y n x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{}{[lim y Y n P x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{lim }{lim y Y n P x X n P n n ≤<-≤<-=∞→∞→)()(}{}{y F x F y Y P x X P Y X =≤≤=.“⇒”R ∈<<∀2121,y y x x ,有},{2121y Y y x X x P ≤<≤< ),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=)()()()()()()()(11122122y F x F y F x F y F x F y F x F Y X Y X Y X Y X +--= )]()()][()([1212y F y F x F x F Y Y X X --= }{}{2121y Y y P x X x P ≤<≤<=.3、X 与Y 相互独立⇔R ⊂∀21,B B ，恒有}{}{},{2121B Y P B X P B Y B X P ∈∈=∈∈.第二节 二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量 1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量，若),(Y X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量. 显然：),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量⇔X 与Y 均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：设),(Y X 所有可能取的值为),(j i y x ，令 },{j i ij y Y x X P p ===,称其为二维随机变量),(Y X 的概率分布(分布率)。
分布律也可用表的形式来表示。
Y X1y 2y … j y … 1x 11p 12p … j p 1 …2x21p 22p … j p 2… i x1i p2i p… ij p …在上节例1中),(Y X 的概率分布为：Y X 1 3 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 31/83、分布律性质(1)0≥ij p ; (2)1,=∑ji ijp;(1)(2)为离散型随机变量的特征性质. 反之亦然. 利用分布律，我们可求出各种随机事件发生的概率。
∑∈=∈By x ijj i pB Y X P ),(}),{(,2R ⊂B ；(3) ∑≤≤=yy x x ijj i py x F ,),(,R ∈∀y x ,.二、边缘分布1、),(Y X 关于X 的边缘分布：∑=⋅jij i p p .X1x 2x… i x … ⋅i P⋅1p ⋅2p…⋅i p…证明:},{}{+∞<<-∞====⋅Y x X P x X P p i i i∑∑====jijjjipy Y x X P },{2、),(Y X 关于Y 的边缘分布：∑=⋅iijj p pY X1y 2y … j y … ⋅i P 1x11p 12p … j p 1… ⋅1p 2x 21p 22p … j p 2… ⋅2p i x 1i p2i p… ij p … ⋅i pj P ⋅1⋅p2⋅p…j p ⋅…三、条件分布1、在j y Y =的条件下X 的分布：jij j i p p y Y x X P ⋅===}|{,0≠⋅j p .: jij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P ⋅=======}{},{}|{.2、在i x X =的条件下Y 的分布： ⋅===i ij i j p p x X y Y P }|{,0≠⋅i p .例1 上节例1中,),(Y X 的边缘分布为：Y X 1 3 ⋅i P0 0 1/8 1/8 1 3/8 0 3/8 2 3/8 0 3/8 30 1/8 1/8 j P ⋅6/82/81/8那么,在1=Y 的条件下, X 的分布为X1 2 )1(=YP1/2 1/2例2 已知X 服从参数3/2的(0-1)分布，又Y1 2 3 )0(=X P1/2 1/4 1/4Y1 2 3 )1(=XP1/3 1/3 1/3 求),(Y X 的概率分布.解:由于YX1 2 3⋅i P3121⨯ 3141⨯ 3141⨯ 3113231⨯ 3231⨯ 3231⨯ 32YX1 2 30 61 121 121 192 92 92四、相互独立X 与Y 相互独立⇔j i ij p p p ⋅⋅=证明: “⇐”R ∈∀y x ,,∑∑∑≤⋅≤⋅≤≤==≤≤=x x j yy i yy x x iji j j i p p p y Y x X P y x F ,},{),()()(y F x F pp Y X yy jxx i j i ==∑∑≤⋅≤⋅,所以X 与Y 相互独立.“⇒”取}{}1{i i i nx X x X n x A =→≤<-=不增, }{}1{j j jn y Y y Y n y B =→≤<-=不增, 显然 },{}1,1{j i j j i i n n y Y x X y Y ny x X n x B A ==→≤<-≤<-=不增,那么[])()(lim )(lim },{n n n n n n j i ij B P A P B A P y Y x X P p ∞→∞→=====j i j i n n n n p p y Y P x X P B P A P ⋅⋅∞→∞→=====}{}{)(lim )(lim .例3 设),(Y X 的概率分布为Y X1 2 3 ⋅i P1 1/6 1/9 1/18 1/3 21/3αβ2/3j P ⋅1/2 1/3 1/6则：(1) =+βα 。