圆内接四边形的一个美妙性质
2.1 圆内接四边形的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
[例3]
如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P
是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C， ⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.
求证：PM⊥CD.
[思路点拨] ⊙O1与⊙O2相交，
考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考 虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑 证角相等．
DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足．
求证：E、B、C、F四点共圆． 证明：如图，连接EF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴A，E，D，F四点共圆．
∴∠1＝∠2.
∴∠1＋∠C＝∠2＋∠C＝90°. ∴∠BEF＋∠C＝180°. ∴B、E、F、C四点共圆．
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∴∠BPC＝180°－∠A＝120°. ∴∠BPC＝∠DBC. 又∵∠DCB＝∠BCP， ∴△BCP∽△DCB.
∴∠D＝∠CBP.
(2)由(1)知△BCP∽△DCB， BC CP ∴DC＝CB. ∴CB2＝CP· CD. 又 CB＝AC，∴AC2＝CP· CD.
6．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，
1．圆内接四边形的性质 (1)圆的内接四边形 对角互补．
如图：四边形ABCD内接于⊙O，
则有：∠A＋ ∠C ＝180°，∠B＋ ∠D ＝180°. (2)圆内接四边形的外角等于它的 内角的对角
．
如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则 有：∠CBE＝ ∠D .
2．圆内接四边形的判定 (1)判定定理：如果一个四边形的 对角互补 ，那么 这个四边形的四个顶点共圆． (2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的 对 角 ，那么这个四边形的四个顶点共圆 ．
证明：(1)如图，
2.1 圆内接四边形的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
∴∠D＝∠CBP.
(2)由(1)知△BCP∽△DCB， BC CP ∴DC＝CB. ∴CB2＝CP· CD. 又 CB＝AC，∴AC2＝CP· CD.
6．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，
[例1]
如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延
长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别 相交于F、G. 求证：∠CFG＝∠DGF. [思路点拨] 已知四边形ABCD内
接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE ＝∠BAD，又EG平分∠BEC，故△CFE∽△AGE.
[证明] 因为四边形ABCD是圆内接四边形， 所以∠ECF＝∠EAG. 又因为EG平分∠BEC， 即∠CEF＝∠AEG，所以△EFC∽△EGA. 所以∠EFC＝∠EGA. 而∠DGF＝180°－∠EGA，∠CFG＝180°－
∠EFC，
所以∠CFG＝∠DGF.
圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于 其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而
证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．
1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C的度数 比为4∶3∶5，求四边形各角的度数． 解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x， 则由∠A＋∠C＝180°， 可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°. ∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，
[证明]
如图，
分别连接AB，AE， ∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠ABP＝∠D.
∵A、E、B、P四点共圆， ∴∠ABP＝∠AEP.
∴∠AEP＝∠D.
第2讲 2 圆内接四边形的性质与判定定理
AC 的中点，且 AP⊥BC 于 P，求证：E，D，P，F 四点共圆． 【证明】 ∵AP⊥BC，F 为 AC 的中点，
∴PF 是 Rt△APC 斜边上的中线， ∴PF＝ FC，∴∠ FPC＝∠C， ∵E、F、D 分别为 AB、AC、BC 的中点，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
(2)G、B、C、F 四点共圆．
课 时 作 业
图 2－2－5
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
课 前 自 主 导 学
【思路探究】 (1)要证 D、E、F、G 四点共圆，只需找 到过这四点的外接圆的圆心，证明圆心到四点的距离相等， 可取 GF 的中点 H，证点 H 即为圆心． (2)要证 G、B、C、F 四点共圆，只需证∠B＝∠AFG(或
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
补，那么这个四边形的四个顶点共圆；(3)如果一个四边形的 一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 共圆；(4)与线段两端点连线夹角相等(或互补)的点连同该线 段两端点在内共圆．
菜 单
课 时 作 业
新课标 ·数学 选修4-1
如图 2－2－6，在△ABC 中，E，D，F 分别为 AB，BC，
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而 证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
课 时 作 业
菜
单
新课标 ·数学 选修4-1
如图 2－2－4 所示，已知四边形 ABCD 内接于⊙ O，延
课 前 自 主 导 学
长 AB 和 DC 相交于点 E，EG 平分∠AED，且与 BC、AD 分 别交于 F、G.
圆内接四边形的判定与性质定理
假设 : 四边形ABCD中, B D 180 , 求证 : A、B、C、D在同一圆周上 简称四点共圆.
0
分析 不在同一条直线上的三 点确定一个圆. 经过A、B、C三点作圆O, 如果能够由条件得 到圆O过点D, 那么就证明了命题.
一 般 地 , 我们可以从四边形 的边的关系、角的关系 等来 考察这些图形的共同特征.下 面考察四个角的关系.
C
D
O
B
显然,圆内接四边形的角都是 A 图2 6 1 圆周角.因此, 为了考察这些圆 周角的关系 , 我们可以借助圆周角定 理. 1 1 如图 2 61, 连接 OA 、OC , 则B , D . 2 2 1 0 因为 360 , 所以 B D 360 0 180 0 2 同理得 A C 1800.
C
所以 QFC与QFA互余.而A与QFA也互余 , 则A QFC, A QPC. 因此, A、B、P、Q四点共圆.
推理 如果四边形的外角等于 它的内角的对角, 那么这个四边形的四个 顶点共圆.
请同学们自己写出推论 的证明.
例1 如图2 9,圆O1与圆O2都经过A、B两点. 经过点A的直线CD与圆O1交于点C , 与圆O2交 于点D.经过点B的直线EF与圆O1交于点E , 与 D 圆O2交于F .求证 : CE // DF . A 证明 连结AB. C 因为四边形 ABEC是圆 O2 O1 F O1的内接四边形 . E B 图2 9 所以 BAD E.
又因为四边形 ADFB是圆O2的内接四边形 .
2.1 圆内接四边形的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
[例3]
如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，P
是⊙O1上一点，PA、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C， ⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.
求证：PM⊥CD.
[思路点拨] ⊙O1与⊙O2相交，
考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考 虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑 证角相等．
(3)菱形有外接圆；
(4)正多边形有外接圆． 解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确， 因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误， 只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正 多边形的中心到各顶点的距离相等．
4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点 F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证： (1)D、E、F、G四点共圆； (2)G、B、C、F四点共圆．
∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°.
2．已知：如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD，BC 相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分
∠CDF.
(1)求证：AB＝AC； (2)若AC＝3 cm，AD＝2 cm， 求DE的长．
解：(1)证明： ∵∠ABC＝∠2， ∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC＝∠4. ∴AB＝AC. (2)∵∠3＝∠4＝∠ABC， ∠DAB＝∠BAE， ∴△ABD∽△AEB. AB AD ∴AE＝ AB. ∵AB＝AC＝3，AD＝2， AB2 9 ∴AE＝ AD ＝ . 2 9 5 ∴DE＝ －2＝ (cm). 2 2
证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距 离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那 么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角 等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如
2.1 圆内接四边形的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
∠EFC，
所以∠CFG＝∠DGF.
圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于 其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而
证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．
1．圆内接四边形ABCD中，已知∠A、∠B、∠C的度数 比为4∶3∶5，求四边形各角的度数． 解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为4x、3x、5x， 则由∠A＋∠C＝180°， 可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°. ∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°，
∴∠BPC＝180°－∠A＝120°. ∴∠BPC＝∠DBC. 又∵∠DCB＝∠BCP， ∴△BCP∽△DCB.
∴∠D＝∠CBP.
(2)由(1)知△BCP∽△DCB， BC CP ∴DC＝CB. ∴CB2＝CP· CD. 又 CB＝AC，∴AC2＝CP· CD.
6．在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，
证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距 离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那 么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角 等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如
果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边
的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．
3．判断下列各命题是否正确． (1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个； (2)矩形有唯一的外接圆；
1．圆内接四边形的性质 (1)圆的内接四边形 对角互补．
如图：四边形ABCD内接于⊙O，
则有：∠A＋ ∠C ＝180°，∠B＋ ∠D ＝180°. (2)圆内接四边形的外角等于它的 内角的对角
．
如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则 有：∠CBE＝定定理：如果一个四边形的 对角互补 ，那么 这个四边形的四个顶点共圆． (2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的 对 角 ，那么这个四边形的四个顶点共圆 ．
圆内接四边形的性质和判定定理
性质和判定定理
D C
·
A
OB
如果一个多边形的所有顶点都在一个圆 上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个 圆就是多边形的外接圆
圆内接四边形性质定理 圆内接四边形 对角互补
圆内接四边形判定定理 对角互补的四 边形内接于圆
如果 n(n N*,n 4) 个点在同一个圆
上，也称这 n 个点共圆
M A
O1·
C
N
B
·O 2D
例2、如图，D为△ABC的边BC上一点， ⊙O1经过点B、D，交AB于另一点E，⊙O2 经 过点C、D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2 交 于点G，求证：（1）∠BAC+∠EGF＝180°
（2）∠EAG＝∠EFG A
F E
G
O1·
·O2
B
D
C
例3、如图，以锐角三角形ABC的三边为 边向外作三个等边三角形ABD、BCE、CAG，求 证：△ABD、△BCE、△CAG的外接圆⊙O1 、 ⊙O2、⊙O3交于一点
一个四边形内接于圆也称这个四边形的
顶点四点共圆
D
C
D
C
·
A
OB
A
B
定理 若两点在一条线段同侧且对该线 段张角相等，则此两点与线段两个端点共圆
特别的，对定线段张角为直角的点共圆
例1、如图，⊙O1与⊙O2交于点M、N，直 线AB过M与⊙O1与⊙O2 分别交于点A、B，直 线CD过N与⊙O1与⊙O2 分别交于点C、D，求 证：AC//BD
D
A
G
O1 ·F
·O3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
·O2
E
圆内接四边形的性质及其应用
03 圆内接四边形的面积和周 长
面积的计算
面积公式
圆内接四边形的面积可以通过公 式计算，公式为$S = frac{1}{2} times d times p$，其中$d$是 圆的直径，$p$是圆内接四边形
的周长。
面积与半径的关系
圆内接四边形的面积与半径成正 比，当半径增大时，面积也相应
增大。
面积与角度的关系
04 圆内接四边形的实际应用
在几何作图中的应用
性质利用
圆内接四边形的对角互补性质在几何作 图中常被用来确定点或线的位置。例如 ，通过已知的两个相对角的度数，可以 确定一个圆的圆心和半径。
VS
作图工具
圆内接四边形可以作为作图工具，帮助确 定复杂图形的角和边的长度。例如，在绘 制椭圆或更复杂的几何图形时，可以利用 圆内接四边形的性质来辅助作图。
，证明相对的两个内角互补。
弦切角定理的证明
总结词
弦切角定理表明，在圆内接四边形中，切线与弦之间 的夹角等于该弦所对的圆周角。
详细描述
要证明弦切角定理，可以首先在圆内接四边形中作一 条切线，并连接该切线与弦的端点。然后，利用圆的 切线性质和圆周角定理（圆周角等于同弧所对的圆心 角的一半），证明弦切角定理成立。
切线长定理
总结词
切线长定理表明在圆内接四边形中，两条相对的切线长度相等，且两条切线的交点到两切点的距离也 相等。
详细描述
在圆内接四边形ABCD中，如果AB和CD是切线，那么线段AC等于线段BD，即AC = BD。这是因为切线 与半径垂直，而两条切线的交点到两切点的距离相等。这个定理可以用来判断一个四边形是否为圆内接四 边形。
圆内接四边形的面积还与其相对 的两个角度有关，相对角度越大，
圆内接四边形课件
与矩形的关系
特殊的圆内接四边形是矩 形，即对角线相等的平行 四边形。
与菱形的关系
特殊的圆内接四边形是菱 形，即四边相等的平行四 边形。
与正方形的关联
正方形是特殊的矩形和菱 形的结合体，因此也是特 殊的圆内接四边形。
圆内接四边形的历史与发展
古代起源
01
古希腊数学家开始研究圆内接四边形，发现了其与圆的性质之
详细描述
圆内接四边形的定义是四个顶点 都在同一个圆周上的四边形。这 个圆被称为四边形的外接圆。
性质
总结词
圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括对角互补、外角等 于内对角等。
详细描述
圆内接四边形的性质包括对角互补，即相对的两个内角之和 为180度；外角等于内对角，即外角等于另一个内角所对的 弧上的圆周角。此外，圆内接四边形的对角线互相平分，且 相对的两边之积等于另外两边之积。
分类
总结词
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型。
详细描述
根据圆心与四边形相对位置的不同，圆内接四边形可以分为四种类型，分别是 正圆内接四边形、椭圆内接四边形、抛物线内接四边形和双曲线内接四边形。 不同类型的圆内接四边形具有不同的性质和特点。
02
圆内接四边形的判定定理
定理内容
注意作图的精度
在绘制过程中，要注意作图的精度，尽量保证四边形各边的长度相 等，角度相等，以提高作图的准确性。
05
圆内接四边形的实际应用
在几何图形中的应用
圆内接四边形是几何学中的基本图形之一，它在证明定理和 推导公式等方面具有广泛的应用。例如，利用圆内接四边形 的性质可以证明勾股定理、托勒密定理等重要的几何定理。
圆内接四边形也是解析几何和微积分中的基础概念，常用于 研究曲线的性质和函数的极值等问题。
人教版九年级上册数学《圆周角》圆说课复习(第2课时圆内接四边形的性质)
于 AC 的对称点 E 在边 BC 上，连接 AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE 的度数为
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个 人 简 历 ： 课件 /jianli/
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_____5_2_°___. 手抄报：课件/shouchaobao/
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第二十四章 圆
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手 抄 报 ： 课 件/shouchaobao/ 课 件
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＝8，∴AC＝12AB＝4，∴⊙C 课件
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的半径为
4.∵CE⊥OA，∴OE＝12OA＝2.在
Rt△CEO
中，CE＝ OC2－OE2＝ 42－22＝2 3.又∵点 C 在第二象限，∴点 C 的坐标为(－2 3，
2)．
第二十四章 圆
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数学·九年级（上）·配人教
思维训练
14．【核心素养题】如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于
点E、F.
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(1)当∠E＝∠F时，则∠ADC＝_______9_0_°_；
圆内接四边形的一个性质及应用
圆内接四边形的一个性质及应用
作者：朱蜀云
来源：《中学生数理化·教研版》2009年第09期
2009年高考全国卷Ⅱ(理)16题：已知AC、BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为点M(1,2).求四边形ABCD面积的最大值.
要解决本题，先要证明关于圆内接四边形的一个定理.
定理：过圆内定点的相互垂直的两相交弦的平方和为定值.
已知：如图1，⊙O半径为r，M为⊙O内一定点，弦AC、BD相交于M，且AC⊥BD，若OM=d.
求证：-
证明：分别过O作OP⊥BD，OQ⊥AC，垂足分别为P、Q，连接OC、OD.
在Rt△COQ中，-
∴-
同理-
∴-
即-
∴-d定值).
用此定理可较简捷地解答文中这道题.
解：如图2，由定理知,
（-）
-
=8×4-
=32-12
=20 .
又∵四边形ABCD中AC⊥BD，
∴面积
∵均值不等，
∴4=5 .
当且仅当AC=BD时，等号成立.
∴圆内接四边形ABCD面积的最大值为5.。
圆内接四边形的性质与判定定理
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
B
B C
C
B
C
1.【圆内接四边形的性质】
直接研究较困难，那么我们可以先从问题的反面思考： 如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征？ 我们应该从哪些角度来思考呢？
观察下面这组图中的四边形都内接于圆.你能从 中发现这些四边形的共同特征吗？
A
DA
D
A
D
A
D
O
B
C
B
B C
推论 ： 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么
它的四个顶点共圆.
[悟一法] (1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或 互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供 了一种新的途径． (2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意 性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意 两者的综合运用．(3)构造全等或相似三角形，以达到证 明线段相等、角相等或线段成比例等目的．
(2)如果点D在⊙O内部. 延长AD交圆于点E, 连接CE,则
∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°
A D
E O
B
C
∴∠E=∠ADC
（2）
这同样与“三角形外角大于任意不相邻的内角”矛盾.
∴点D不可能在⊙O内.
综上所述，点D只能在圆周上，即A、B、C、D四点共圆.
2.【圆内接四边形的判断定理 】
别是AB、BC、CD、DA的中点，连接EF、FG、GH、HE，则
FG∥BD,GH∥AC.∵AC⊥BD,
A
H
∴FG⊥GH.同理可证，HE⊥EF.
E
圆内接四边形的性质及判定定理
二圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书P21][例1]如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[证明]连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数． 解：设∠A ，∠B ，∠C 的度数分别为4x,3x,5x ， 则由∠A ＋∠C ＝180°， 可得4x ＋5x ＝180°.∴x ＝20°.∴∠A ＝4×20°＝80°，∠B ＝3×20°＝60°， ∠C ＝5×20°＝100°，∠D ＝180°－∠B ＝120°.2．已知：如图，四边形ABCD 内接于圆，延长AD ，BC 相交于点E ，点F 是BD的延长线上的点，且DE 平分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC ＝∠4. ∴AB ＝AC .(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC ， ∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB . ∴AB AE ＝ADAB. ∵AB ＝AC ＝3，AD ＝2， ∴AE ＝AB 2AD ＝92.∴DE ＝92－2＝52(cm).[例2] 如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC于P .求证：E ，D ，P ，F 四点共圆．[思路点拨] 可先连接PF ，构造四边形EDPF 的外角∠FPC ，证明∠FPC ＝∠C ，再证明∠FPC ＝∠FED 即可．[证明] 如图，连接PF ， ∵AP ⊥BC ，F 为AC 的中点，∴PF ＝12AC .∵FC ＝12AC ，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.[例3]如图，已知⊙O与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，P A、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．[证明]如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥P A.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．5.如图，P点是等边△ABC外接圆的BC上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP ∽△DCB ， ∴BC DC ＝CP CB. ∴CB 2＝CP ·CD .又CB ＝AC ，∴AC 2＝CP ·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)四点P ，D ，C ，E 共圆； (2)AP ⊥CP .解：(1)证明：在△ABC 中， 由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知：△ABD ≌△BCE ，即∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， 所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (2)如图，连接DE .在△CDE 中，CD ＝2CE ， ∠ACD ＝60°，由余弦定理知∠CED ＝90°. 由四点P ，D ，C ，E 共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ， 所以AP ⊥CP .[对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A ＝sin C ，②sin A ＋sin C ＝0，③cos B ＋cos D ＝0，④cos B ＝cos D . 其中恒成立的关系式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故∠A ＝180°－∠C ，且∠A ，∠C 均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立．同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．答案：B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．答案：B3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案：B二、填空题5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴AEAC＝EFBC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36．如图，直径AB ＝10，弦BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______， BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB . 即∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD . ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 27．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，若∠C ＝34°，则∠AOB ＝________，∠ADB ＝________.解析：∵∠C 和∠AOB 分别是AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB ＝2∠C ＝68°.∵周角是360°，劣弧AB 的度数为68°，∴优弧AB 的度数为292°. ∴∠ADB ＝12×292°＝146°.答案：68° 146° 三、解答题8.已知：如图，E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：E ，F ，G ，H 共圆．证明：法一：连接EF 、FG 、GH 、HE . ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC .同理EH ∥BD .∴∠HEF ＝∠AOB .∵AC ⊥BD ，∴∠HEF ＝90°. 同理∠FGH ＝90°. ∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°. ∴E 、F 、G 、H 共圆． 法二：连接OE 、OF 、OG 、OH .∵四边形ABCD 为菱形． ∴AC ⊥BD ， AB ＝BC ＝CD ＝DA .∵E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点， ∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ，OG ＝12CD ，OH ＝12DA .∴OE ＝OF ＝OG ＝OH .∴E ，F ，G ，H 在以O 点为圆心，以OE 为半径的圆上． 故E ，F ，G ，H 四点共圆．9.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上， 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE . 因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ， 故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ， 所以∠F AB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．别是劣弧AB 与10．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分优弧ADB 上的任一点(点C 、D 均不与A 、B 重合)．(1)求∠ACB .(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA 、OB ，作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE .Rt △AOE 中，OA ＝2. AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.所以sin ∠AOE ＝AE OA ＝32，∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°.从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB ，垂足为F ，则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然，当DF 经过圆心O 时，DF 取最大值， 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3，S △ABD ＝33， 即△ABD 的最大面积是3 3.。
2、圆内接四边形性质定理
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圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD,圆心为O ，延长BC 至E,AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°,∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角:∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似:△BCP∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理:AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法)【证明】方法一:利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
如图,连接OB 、OD 则∠A=β，∠C=α ∵α+β=360°∴∠A+∠C=×360°=180°同理得∠B+∠D=180°(也可利用四边形内角和等于360°） 【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。
设圆内接四边形ABCD证明:∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°连接BO 并延长，交⊙O 于E.连接AE 、CE 。
则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE -∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE—∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE—∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°—（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°)【证明】方法三:利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD,将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）∠4=∠1，∠7=∠2,∠8=∠5,∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等)∴∠1+∠2+∠5+∠6=×360°=180°∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°—(∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD∠BCD+∠DCE=180°(平角为180°） ∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）∴∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证:△BCP∽△ADP ，△ABP∽△DCP21212121证明：∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP（一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。
四边形内接于圆的性质
四边形内接于圆的性质
1、圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC。
3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB。
4、同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD。
5、圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）。
直线和圆位置关系：
①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。
圆心与切点的连线垂直于切线。
AB与⊙O相切，d=r。
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= 180 °- ( 1 ∠BAC + 1 ∠B CA)
2
2
- ( 1 ∠DBC + 1 ∠DBA)
2
2
= 180 °-
1 2
( ∠BAC + ∠BCA + ∠DBC + ∠DBA)
= 180 °- 1 ( ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC ) 2
= 180 °- 1 ×180°= 90°1 2
= 180°- 1 ( 180°- ∠BAC) 2
= 90°+
1 2
∠BAC,
同理可证 ∠B FC = 90 °+ 1 ∠CDB , 2
因 为 A, B , C, D 四 点 共
圆 ,所以 ∠BAC = ∠CDB ,从 而
∠B EC = ∠B FC, 即 B , E, F , C
四点共圆 1
其次证明 ∠HEF = 90°1
图 12
(未完待续 ) (收稿日期 : 2 009 0329 )
如图 3,因为 B, E, F, C 共
圆 ,所以 ∠F EC = ∠FB C, 同理
图3
可证 , A, H, E, B 四点共圆 , 从而也有 ∠HEA = ∠HBA,则
∠HEF = ∠AEC - ( ∠F EC + ∠HEA)
= ∠AEC - ( ∠FB C + ∠HBA)
= [ 180 °- ( ∠EAC + ECA) ] - ( ∠FB C + ∠HBA)
Hale Waihona Puke 同理可证四边 形 EFGH 的 其它 各顶 角也 都是 90°1
这就证明了四边形 EF GH是一个矩形 1
(收稿日期 : 20080212)
(上接第 4页 ) 只使用一种正多边形是比较 容易的 情况 ,答案 是只
能用等边三角 形 , 或 正方 形 , 或正 六边 形 1 更一 般的 情 况 ,就需要多一 点 耐心 计算 , 考虑 各 种不 同 的可 能 性 1 有趣的是 , 包括上述 3种模式共有 11 种模式 (见图 12) 1 只使用一种凸的但不一定是正的 多边形 的情况 ,完 满的 答案仍然是一个悬而未决的难题 1
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· · (2009年第 6期 ·初中版 ) 短论荟萃
圆内接四边形的一个美妙性质
221300 江苏省运河高等师范学校 刘步松
设 ABCD 为 圆内 接四 边形 , 连 对角 线 AC 和 BD, 设 △AB C 的内心为 E, △B CD 的内心为 F , △CDA的内心为 G, △DAB 的内心 为 H,则 四边 形 EFGH 是一 个矩 形 1 如图 11
图 1 图 2 证明如下 :
如图 2,首先证明 B, E, F , C四点共圆 1
连结 B E、FC、B F、EC,则
∠B EC = 180°- ( ∠EB C + ∠ECB )
= 180°- ( 1 ∠AB C + 1 ∠ACB )
2
2
= 180°-
1 2
( ∠AB C
+
∠ACB )