排列组合公式-课件·PPT
组合与组合数公式PPT课件
3 3.
A 从而 3 C A 4
3
C434 3
P3 4
P3 3
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参
加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的
活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不
同的选法？
A32 6
有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参 加一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠 军
中
排列组合公式排列组合公式
推论
• 方程x1+x2+…+xn=r 的非负整数解的个数。 • n≤r时，此方程的正整数解的个数 • n元集合的r-可重组合数，要求每个元素至少
出现一次。 • 正整数r的n-长有序分拆的个数 • 求x1+x2+x3+x4=20的整数解的数目，其中x1 ≥
3, x2 ≥ 1,x3 ≥ 0,x4 ≥ 5。
排列组合公式排列组合公式
有约束条件的排列：引例
• 用两面红旗、三面黄旗依次悬挂在一根旗杆 上，问可以组成多少种不同的标志？
排列组合公式排列组合公式
5、有约束条件的排列
• 设有k个元素a1，a2，…，ak，由它们组成一 个n-长的排列，其中对1≤i≤k，ai出现的次数 为ni，n1+n2 +… +nk=n，求排列的总数。
。
(2x13x25x3)6
x13x2 x32
(x1x2 xr)n
项，其中
n n1 1, nn 22, ,n r为 nrn非负 n1整 n2n 数 nrx1n1x2n2 xrnr
排列组合公式排列组合公式
例题
• 数1400有多少个正因数？ • 1400=23 × 52 × 7 • (3+1)(2+1)(1+1)=24
排列组合公式排列组合公式
多边形
排列组合公式排列组合公式
例题
• 对角线的条数为C(10,2)-10=45-10=35 • 任选两条对角线，可能相交在多边形内部，可能
交点为多边形的顶点，可能无交点（交点在多边 形外） • 任选四个顶点，对应一个交点，每个对角线分成 两段 • 每个对角线是一段 • 35+C(10,4) × 2=455
排列组合公式及例题方法【共12张PPT】
不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排,在11个空
档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球
分成8份,显然有 种不同的放法,所以C171名额分配方案有 种.
C
7 11
结论3 转化法〔插拔法〕:对于某些较复杂的、或较抽象 的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具 体的问题来求解.
全体,那么问题就可以解决了.并且也防止了问题的复杂性.
对等法
解学之不前加考〞任,何与限“制数条学件安,排整在个语排文法之有前考种A〞99 ,“的语排法文是安相排等在的数,
所以语文安排在数学之前考的排法共有 种.
1 2
A
9 9
结论5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与否认是
对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求出全体,就可以
得到所求.
例6 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支 部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题假设是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重复 的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不但容 易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可以简化 计算过程.
排列组合公式及例题方法
1.熟悉解决排列组合问题的根本方法;
2.让学生掌握根本的排列组合应用 题的解题技巧;
3.学会应用数学思想分析解决排列组
合问题.
一 复习引入
二 新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的,并且在实际中 的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际 应用中的解题技巧.
n! (nm)!
4.组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n1)(n2)(nm1) m!
排列组合二项式定理PPT课件
通项是指展开式的第 r+1 项，
展开式共有 n+ 个项. 1
第3页/共9页
性性质质复复习习
性质1：在二项展开式中，与首末两端等距离
的任意两项的二项式系数相等.
性质2：如果二项式的幂指数是偶数，中间一
项的二项式系数最大；如果二项式的
幂指数是奇数，中间两项的二项式系
性质3性：质数3最：大；
性质3：
C
0 n
Pnm
n! (n m)!
Pnn n!
1)
0!
1
C
m n
C
m n
n(n 1) (n n! m!
m!(n m)!
m
C
0 n
1)
1
Pnm
C
m n
Pmm
， C C m n
nm n
Cm n1
Cnm
C m1 n
全排列：n个不同元素全部取出的一个排列.全排列数公式：所
有全排列的个数，即：
Pnn n第2页(n/共9页1) (n 2) 21
6×5=30
2. 若x、y可以取1，2，3，4，5中的任一个，则点(x,y)的不同个
数有多少？
5×5=25
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练习2
1.计算：
③ p44=
① =p83 ，33②6 = ，p136 3=360 p33 24，④ = p55， 1⑤20 = ， p66 = 720
6p2 2
2
Cn0 1
Cn1 n
感谢您的观看！
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不同点
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
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1.排列和组合的区别和联系：
名称
排列组合公式课件
斯特林数、贝尔数等特殊计数方法介绍
1 2 3
第一类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个圆排列的方案数，记 作$s(n,k)$。
第二类斯特林数 表示将n个不同元素分成k个集合的方案数，记作 $S(n,k)$。
贝尔数 表示将n个元素分成任意个集合的方案数，记作 $B_n$。
排列组合在计算机科学中应用举例
组合性质
C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=2^n。
组合公式推导过程
推导思路
通过排列数公式A(n,m)与组合数公 式C(n,m)之间的关系，推导出组合 公式C(n,m)=A(n,m)/m!。
推导过程
首先明确排列数公式A(n,m)的定义及 性质，然后利用排列数与组合数之间 的关系，推导出组合公式，并解释公 式中各符号的含义。
典型例题分析与解答
例题选择
选择具有代表性和针对性 的例题，如基础题型、易 错题型等；
解题步骤
详细阐述解题思路和步骤， 包括问题建模、公式应用、 计算过程等；
答案解析
给出最终答案，并对解题 过程进行解析和评价。
PART 03
组合公式详解
组合定义及性质
组合定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同取法，记作C(n,m)。
分组竞赛
将学生分成若干小组，每组选一名 代表上台解题，看哪一组解得又快 又准，增强学生的团队协作和竞争 意识。
PART 05
知识拓展与延伸
阶乘、双阶乘等相关概念引入
阶乘
n!=n×(n-1)×...×2×1，0!=1。
双阶乘
n!!，当n为奇数时，n!!=n×(n-2)×...×3×1；当n为偶数时，n!!=n×(n-2)×...×4×2。
排列组合公式(全)
欢迎阅读排列组合公式排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。
排列的个数用P(n,r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重。
可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。
组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号(1)(2)准确理解；(3)(4)(1)12．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2各步计例1：用集合A集合B把集合AS（A）S（B）例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合B分为子集的集合，规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。
这时集合C的元素与B的子集存在一一对应关系，则S（B）=S（C）*6！S（C）=9！/3！/6！这就是我们用以前的方法求出的C（9，6）以上都是简单的例子，似乎不用弄得这么复杂。
但是集合的观念才是排列组合公式的来源，也是对公式更深刻的认识。
大家可能没有意识到，在我们平时数物品的数量时，说1，2，3，4，5，一共有5个，这时我们就是在把物品的集合与集合（1，2，3，4，5）建立一一对应的关系，正是因为物品数量与集合（1， 2，3，4，5）的元素个数相等，所以我们才说物品共有5个。
我写这篇文章的目的是把这些潜在的思路变得清晰，从而能用它解决更复杂的问题。
例3：999所以集合D例4：用集合A中1排在2在集合B C 中相同数字。
排列组合ppt课件
01
排列组合基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（ m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个不同元素中取出m个元素的 排列。
组合公式推导
根据乘法原理，组合数等 于从n个不同元素中取出m 个元素的排列数除以这m 个元素的全排列数。
组合公式证明
通过数学归纳法证明组合 公式。
排列组合公式的推导与证明
排列组合公式的推导
通过数学归纳法和乘法原理，逐步推导出排列和组合的公式。
排列组合公式的证明
通过数学归纳法和反证法，证明排列和组合公式的正确性。
机器学习
03
在机器学习中，排列组合用于描述样本空间和事件发生的可能
性，例如在朴素贝叶斯分类器中。
在统计学中的应用
概率分布
在统计学中，排列组合用于描述概率分布和随机事件的组合数量 ，例如在二项分布、多项分布等概率分布中。
统计推断
在统计推断中，排列组合用于计算样本数据的可能性和置信区间 ，例如在贝叶斯推断和参数估计中。
从n个不同元素中取出m个元素的所有组合方式。
排列组合在概率论中的应用
总结词
排列组合在概率论中有广泛的应用，它们是概率论中的基本概念之一。
详细描述
在概率论中，排列组合被广泛应用于各种概率模型和随机事件的计算中。例如，在计算随机事件的概率时，可以 使用排列组合来计算样本空间的大小和基本事件的数量。在计算条件概率时，可以使用排列组合来计算条件事件 的基本事件的数量。此外，在概率分布的计算中，排列组合也起着重要的作用。
3
组合的特性
组合无方向性，即顺序不影响组合的唯一性。
《排列组合公式》课件
便确定排列或组合的基数。
区分排列与组合
02 排列组合公式包括排列公式和组合公式，使用时应明
确所需的是排列还是组合，并选择相应的公式。
考虑顺序
03
排列公式需要考虑元素的顺序，而组合公式则不考虑
元素的顺序。
公式应用范围的限制
元素互异
排列组合公式的应用前提是所涉及的 元素必须互不相同，否则公式不适用 。
组合公式的推导过程
组合公式的基本形式
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
推导过程
通过排列与组合的数学关系，利用阶乘的性质进行推 导，最终得到组合公式的形式。
组合公式的数学证明
可以通过数学归纳法或组合恒等式进行证明，确保公 式的正确性。
组合公式的应用实例
概率计算
在概率论中，组合公式常用于计 算事件发生的可能性，如组合概 率和条件概率。
无限制条件
对于某些特定问题，可能需要添加额 外的限制条件，如去除重复、特定顺 序等，此时公式应用范围需相应调整 。
避免常见的计算错误
基数不为零
01
排列组合公式的基数不能为零，否则会导致计算错误。
重复计算
02
在使用排列组合公式时，应避免重复计算相同的情况，确保每
种情况只计算一次。
正确使用括号
03
在应用排列组合公式时，应正确使用括号，以确保计算的准确
排列公式的扩展形式
排列组合混合公式
除了单纯的排列公式外，还有排列组合混合公式， 可以用来计算同时涉及排列和组合的问题。
有限制条件的排列公式
在一些特定的问题中，可能需要对元素进行限制， 此时需要使用有限制条件的排列公式。
高阶排列公式
对于较大规模的排列问题，需要使用高阶排列公式 来计算。
第二节排列组合-PPT课件
方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可 用间接法求解.
分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可
用间接法.（4）分类. 解 （1）第一步：选3名男运动员，有 C 63 种选法. 第二步：选2名女运动员，有 C 42种选法. 共有 C 3 =120( 种)选法………………………………3′ C4
6 6
（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男…………………….4′ 由分类加法计数原理可得总选法数为：
参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共
有种.
解析： 星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为C 5 2 ，星 期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有
2 ). 2 =60(C 种 A 5 3
种，则共有 A 32
答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队 长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员.
=2 880A（种 )排法. 4
A 44 A 55
学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析 法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、 直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常 见的解题思路.
举一反三
3. (2019· 全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星 期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人
高中一年级数学上册排列组合课件
以3个元素中2个相邻为例，可以将这两个元素捆绑在一起作为一个元素，再与第三个元 素进行排列，总的排列方式为2的2次方种。
难点三：分组排列问题
总结词
掌握分组排列的原理和方法是解决这类问题的关键。
详细描述
分组排列是指将元素分成若干组进行排列的方式，解决这 类问题需要明确每组元素的内部排列以及不同组之间的排 列。
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 所有排列的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的排列数。
排列的计算公式
A(n,m) = n! / (n-m)!
组合的定义
组合的定义
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元 素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个元素中取出m个元素的组合数。
组合的计算公式
C(n,m) = n! / [m!(n-m)!]
排列与组合的差异
排列需要考虑取出元素的顺序 ，而组合则不考虑取出元素的 顺序。
排列过程中，相邻元素之间有 “先后顺序”，而组合过程中 ，相邻元素之间没有“先后顺 序”。
在使用排列数公式和组合数公 式时，排列数公式中需要除以 (n-m)!，而组合数公式中不需 要除以(n-m)!。
解析：本题考查的是 排列组合中的分组分 配问题。先分组，再 排列。分组的方法为 C(6，3)种，再对两组 进行排列，即A(3，3) 种。
答案：C(6，3)×A(3 ，3)=120种。
练习题三：拓展题
01
02
总结词：考查排列组合 与计数原理的综合应用
详细描述
排列组合基本原理.课件
排列和组合之间可以 通过组合数公式进行 转换。
排列和组合都是从n 个不同元素中取出m 个元素进行操作，计 算公式不同。
02
排列组合基本原理
伯努利原理
01
02
03
伯努利原理的内容
在n个独立事件中，每个 事件发生的概率为p，则 至少有一个事件发生的概 率为1-（1-p）^n。
应用
在保险业中，伯努利原理 常被用于计算保险概率， 例如汽车保险、健康保险 等。
03
排列的应用
排列的常见应用场景
01
彩票中奖概率计算
02
03
04
计算机科学中的排列算法
统计学中的样本排列
金融领域中的投资组合优化
排列在组合物件中的运用
密码学中的排列组合 计算机程序中的随机数生成
组合物件中的排列问题，如拼图、魔方等
排列在解决其他问题中的运用
数学竞赛中的排列题目 密码破译中的排列分析
计算机程序中的算法优化问题
04
组合的应用
组合的常见应用场景
彩票中奖概率计算
在计算彩票中奖概率时，通常需要考虑从数百万个彩票号 码中选取特定组合的情况，这时就需要使用组合的原理来 计算。
投资组合风险与收益评估
在投资领域，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性 构建投资组合，以实现风险分散和资产保值增值，这里的 投资组合构建就需要用到组合的原理。
注意事项
伯努利原理在独立事件的 情况下适用，如果事件之 间存在依赖关系，则该原 理可能不成立。
容斥原理
Hale Waihona Puke 01容斥原理的内容
在计算多个集合的并集时，需要考虑重复计算的问题。通过将各个集合
单独求和，再减去重复计算的集合，即可得到正确的并集结果。
排列组合公式(全)
排列组合公式排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列,称为从n个中取r个的无重排列。
排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示.排列的个数用P（n，r)表示。
当r=n时称为全排列。
一般不说可重即无重.可重排列的相应记号为 P（n，r)，P(n，r)。
组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序,称为从n个中取r个的无重组合.组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r）表示，对应于可重组合有记号C（n,r)，C(n,r）.一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型,需要较强的抽象思维能力；(2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解;(3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；（4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力.二、两个基本计数原理及应用(1）加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法,互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务,必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立;只要有一步中所采取的方法不同,则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S(A）=9!集合B为数字不重复的六位数的集合。
把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。
显然各子集没有共同元素。
每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则S（A）=S（B）＊3！S（B）=9！/3!这就是我们用以前的方法求出的P（9，6)例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队,问有多少种选法？设不同选法构成的集合为C,集合B为数字不重复的六位数的集合.把集合B分为子集的集合,规则为全部由相同数字组成的数组成一个子集，则每个子集都是某6个数的全排列，即每个子集有6！个元素。