2019年数学一轮复习 第9章 解析几何 第1课时 直线方程练习 理
高考数学一轮复习 第9章 解析几何9.1直线的方程练习(
课时作业41 直线的方程一、填空题1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是__________．2．设A (－2,3)，B (3,2)，若直线y ＝ax －2与线段AB 有交点，则a 的取值范围是__________．3．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是__________．4．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有直线恒过定点__________．5．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是__________．6．经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程为__________．7．已知曲线C ：y ＝ln x －4x 与直线x ＝1交于点P ，那么曲线C 在点P 处的切线方程是__________．8．已知直线l 过点P (2,1)且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为__________．9．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．二、解答题10．已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33－1，3－1，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 11．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0.(1)求证：l 经过定点；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．12．(2012江苏徐州高三第一次调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6.(1)求圆O 的方程．(2)若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程．(3)设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交x 轴于点(m,0)和(n,0)，问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．参考答案一、填空题 1.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析：斜率k ＝－1a 2＋1≥－1，故k ∈ [－1,0)，由正切函数图象知倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 2.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52 ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 解析：直线y ＝ax －2过定点C (0，－2)，所以直线的斜率a ≥k BC ＝43或a ≤k AC ＝3＋2－2－0＝－52， 即a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞. 3．k ＞12或k ＜－1 解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解不等式可得k ＞12或k ＜－1. 4．(3,1) 解析：直线方程化成y －1＝k (x －3)，故过(3,1)．5.(30°，90°) 解析：由题意，可作两条直线如图所示，从图中可以看出，满足题意的直线l 的倾斜角的取值范围为(30°，90°)．6．x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 解析：当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a＝1； 将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12， 此时直线方程为x ＋2y ＋1＝0.当直线过原点时，斜率k ＝－25， 直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0. 综上可知，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.7．3x ＋y ＋1＝0 解析：易知P (1，－4)，∵y ′＝1x－4， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝－3.∴切线方程为y ＋4＝－3(x －1)，即3x ＋y ＋1＝0.8．4 解析：设过A ，B 的直线l 的斜率为k (k ＜0)，则y －1＝k (x －2)，∴A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B 点坐标为(0,1－2k )． 由S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12·2k －1k·(1－2k ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2＋4k －1k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫－4k －1k ＋4 ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·－4k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＋4 ＝12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝－12时，S △OAB 取得最小值4. 9．[135°，180°) 解析：切线斜率k ＝y ′＝－4e x 1＋e x 2＝－4e x ＋1e x ＋2≥－42e x ·1e x ＋2＝－1，即－1≤k ＜0，－1≤ta n α＜0.∵0°≤α＜180°，∴α∈ [135°，180°)．二、解答题10．解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)，即x －(m ＋1)y ＋(2m ＋3)＝0. (2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪(]0，3， ∴k ＝1m ＋1∈ (－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，＋∞. ∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3. 综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3. 11．解：(1)证明：由kx －y ＋1＋2k ＝0，得k (x ＋2)＋1－y ＝0.所以l 经过定点(－2,1)．(2)由l 的方程得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )， 由题知：－1＋2k k＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0. ∵S ＝12·OA ·OB＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥4， 当且仅当k ＞0,4k ＝1k ，即k ＝12时，面积取最小值4，此时直线的方程是x －2y ＋4＝0. 12．解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为22，所以圆O 的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝2，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，即bx ＋ay －ab ＝0，由直线l 与圆O 相切，得|ab |a 2＋b 2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，DE 2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(3)设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，x 21＋y 21＝2，x 22＋y 22＝2，直线MP 与x 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，0，m ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1，直线NP 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1，0，n ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1，mn ＝x 1y 2－x 2y 1y 2－y 1·x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝x 21y 22－x 22y 21y 22－y 21＝2－y 21y 22－2－y 22y 21y 22－y 21＝2，故mn 为定值2.。
2019高考数学一轮复习第九章平面解析几何91直线方程与圆的方程练习文
哈哈哈哈哈哈哈哈你好§9.1 直线方程与圆的方程考纲解读考点内容解读要求 高考示例常考题型 展望热度1. 理解直线的倾斜角和斜率的观点 2017 课标全国2. 掌握过两点的直线斜率的计算公Ⅰ,20;1. 直线的倾斜角、斜式2016 四川 ,10;3.Ⅱ★★☆率与方程掌握确立两直线地点的几何因素2014 福建 ,6;选择题、以及求直线方程的几种形式2013 广东 ,7[] 4.认识斜截式与一次函数的关系填空题1.2017 课标全国掌握确立圆的几何因素2. 圆的方程2. 掌握圆的标准方程与一般方程ⅡⅢ,20;★★★3.2016 北京 ,5; 会利用待定系数法和直接法求圆的方程2016 浙江 ,10剖析解读从近几年的高考试题来看, 本节主要考察基础知识和基本方法 , 一是考察直线的倾斜角与斜率的关系、 斜率公式以及直线方程的求解; 二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形联合法求圆的方程,考察形式以选择题和填空题为主. 同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡, 包含着分析法的解题思路和解题方法 , 是分析法的基础 , 所以 , 以圆为载体考察分析法的基本思想和方法是历年高考考察的要点.五年高考考点一 直线的倾斜角、斜率与方程1.(2014 福建 ,6,5 分 ) 已知直线 l 过圆 x 2+(y-3) 2=4 的圆心 , 且与直线 x+y+1=0 垂直 , 则 l 的方程是 ()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案D2.(2013 广东 ,7,5 分 ) 垂直于直线 y=x+1 且与圆 x 2+y 2=1 相切于第Ⅰ象限的直线方程是 ( )A.x+y- =0B.x+y+1=0C.x+y-1=0D.x+y+=0答案A 教师用书专用 (3)3.(2016 四川 ,10,5分 ) 设直线 l ,l 2 分别是函数 f(x)=图象上点 P ,P 处的切线 ,l1与 l 垂直相112 2哈哈哈哈哈哈哈哈你好交于点 P, 且 l ,l2 分别与 y 轴订交于点 A,B, 则△ PAB 的面积的取值范围是()1A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+ ∞)D.(1,+ ∞)答案 A考点二圆的方程1.(2016 北京 ,5,5 分 ) 圆(x+1) 2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为 ( )A.1B.2C.D.2答案 C2.(2015 北京 ,2,5 分 ) 圆心为 (1,1) 且过原点的圆的方程是 ( )A.(x-1) 2+(y-1) 2=1B.(x+1) 2+(y+1) 2=1C.(x+1) 2+(y+1) 2=2D.(x-1) 2+(y-1) 2=2答案 D3.(2016 浙江 ,10,6 分 ) 已知 a∈R,方程 a2x2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0 表示圆 , 则圆心坐标是, 半径是. 答案(-2,-4);54.(2015 湖北 ,16,5 分) 如图 , 已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0), 与 y 轴正半轴交于两点A,B(B 在 A 的上方 ), 且|AB|=2.(1) 圆 C 的标准方程为;．．(2) 圆 C 在点 B 处的切线在x 轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-) 2=2 (2)--15.(2014山东,14,5分)圆心在直线x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C截 x 轴所得弦的长为 2 , 则圆C 的标准方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=46.(2013课标全国Ⅱ ,20,12分)在平面直角坐标系xOy 中, 已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 , 在 y 轴上截得线段长为2.(1)求圆心 P 的轨迹方程 ;(2) 若 P 点到直线y=x 的距离为, 求圆 P 的方程 .分析(1) 设 P(x,y),圆P的半径为r.哈哈哈哈哈哈哈哈你好由题设得y2+2=r 2,x 2 +3=r 2. 进而 y2+2=x2+3.故 P 点的轨迹方程为y2-x 2=1.(2) 设 P(x 0,y 0), 由已知得=.又 P 在双曲线y2-x 2=1 上 , 进而得由得此时,圆P的半径r=.由得此时,圆P的半径r=.故圆 P 的方程为x2+(y-1)2=3或x2+(y+1)2=3.教师用书专用(7 — 9)7.(2014湖北,17,5分)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠ -2)和常数λ 知足:对圆O上随意一点 M,都有 |MB|= λ |MA|, 则(1)b=;(2) λ =.答案(1)-(2)8.(2013江西,14,5分)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1 相切 , 则圆 C的方程是.答案(x-2)2+=9.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l 与圆 C1:x 2+y2-6x+5=0 订交于不一样的两点A,B.(1)求圆 C1的圆心坐标 ;(2)求线段 AB 的中点 M的轨迹 C 的方程 ;(3) 能否存在实数k, 使得直线 L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由 .分析(1) 由已知得 , 圆 C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2) 由题意可知 , 直线l的斜率必存在, 设直线l的方程为y=tx,A(x1,y 1),B(x2,y 2)(x1≠x2),线段AB 的中点M(x0,y 0),将 y=tx 代入圆 C1的方程 , 整理得 (1+t 2)x 2-6x+5=0,电视播放动画动画哈哈哈哈哈哈哈哈你好则有 x1+x2=,所以 x0=, 代入直线l 的方程 , 得 y0=.由于+ =+===3x0,所以+ = .又由于方程 (1+t 2)x 2-6x+5=0 有两个不相等的实根,所以=36-20(1+t2)>0,解得t2< ,所以<x0≤3.所以线段AB的中点M的轨迹 C 的方程为+y2= .(3) 由 (2) 知, 曲线 C: +y2= .如图 ,D ,E ,F(3,0), 直线 L 过定点 G(4,0).由2 2 2 2得 (1+k )x -(3+8k )x+16k =0.当直线 L 与曲线 C相切时 , 鉴别式=0, 解得 k=± . 联合图形能够判断, 当直线 L 与曲线 C 只有一个交点时 , 有k DG≤k≤k EG或 k=k GH或 k=k GI, 即 k∈∪.哈哈哈哈哈哈哈哈你好三年模拟A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.(2018 重庆一中期中,5) 过点 (1,1), 且在 y 轴上的截距为 3 的直线方程是 ()A.x+2y-3=0B.2x-y-1=0C.x-2y-1=0D.2x+y-3=0答案 D2.(2018 豫北六校联考 ,5) 直线 x+(a 2+1)y+1=0 的倾斜角的取值范围是 ()A. B.C. ∪D. ∪答案 B3.(2018 辽宁沈阳二中期中,7) 已知等差数列{a n} 的前n 项和为S n, 且 S2=10,S 5=55, 则过点P(n,a n) 和*Q(n+2,a n+2)(n ∈N) 的直线的斜率为 ()A.4B.3C.2D.1答案 A4.(2017 河北衡水中学周测( 十九 ),7) 已知直线 l 1:3x-y+1=0, 直线 l 2过点 (1,0), 且直线 l 2的倾斜角是 l 1的倾斜角的 2 倍 , 则直线 l 2的方程为 ( )A.y=6x+1B.y=6(x-1)C.y=D.y=- (x-1)答案 D5.(2016 四川南充模拟 ,4) 过点 P(2,3), 而且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程为 ()A.x-y+1=0B.x-y+1=0 或 3x-2y=0C.x+y-5=0D.x+y-5=0 或 3x-2y=0答案 B考点二圆的方程6.(2018 吉林长春调研 ,3) 已知圆 x2+y2-4x+6y=0 的圆心坐标为 (a,b), 则 a2+b2 =( )A.8B.16C.12D.13答案 D7.(2017 河北唐山二模,5) 圆 E 经过三点 A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上, 则圆 E 的标准方程为 ()哈哈哈哈哈哈哈哈你好A.+y2=B.+y2=C. +y2=D. +y2=答案 C8.(2017 河南洛阳期中 ,6) 已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切 , 圆心在直线x+y=0 上 , 则圆 C 的方程为()A.(x+1) 2+(y-1) 2=2B.(x-1) 2+(y+1) 2=2C.(x-1) 2+(y-1) 2=2D.(x+1) 2+(y+1) 2=2答案 B9.(2016 河南许昌三模 ,6) 经过原点而且与直线x+y-2=0 相切于点 (2,0) 的圆的标准方程是 ()A.(x-1) 2+(y+1) 2=2B.(x+1) 2+(y-1) 2=2C.(x-1) 2+(y+1) 2=4D.(x+1) 2+(y-1) 2=4答案 A10.(2018 豫西南五校联考 ,14) 已知圆 C 的圆心在直线x+y=0 上, 圆 C 与直线 x-y=0 相切 , 且被直线 x-y-3=0 截得的弦长为, 则圆 C 的方程为.答案(x-1) 2+(y+1) 2=211.(2018 湘东五校模拟,15) 圆心在抛物线y= x2(x<0) 上, 而且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为.答案 (x+1) 2+ =1B 组2016— 2018 年模拟·提高题组(满分 :45 分时间:30分钟)一、选择题 ( 每题 5 分, 共 15 分)1.(2018河北衡水中学期中考试,10)在平面直角坐标系xOy 中 , 在以 (-2,0)为圆心且与直线(3m+1)x+(1-2m)y- 5=0(m∈R)相切的全部圆中, 面积最大的圆的标准方程是()A.(x+2) 2+y2=16B.(x+2) 2+y2=20C.(x+2) 2+y2=25D.(x+2) 2+y2=36答案 C电视播放动画动画哈哈哈哈哈哈哈哈你好2.(2017 河南六市二模 ,5) 圆 (x-2) 2+y2=4 对于直线 y= x 对称的圆的方程是 ()A.(x- ) 2 2B.(x-2 2+(y-1) =4 ) +(y- ) =4C.x 2+(y-2) 2=4D.(x-1) 2+(y- ) 2=4答案 D3.(2017 安徽安庆二模 ,8) 自圆 C:(x-3) 2 +(y+4) 2=4 外一点 P(x,y) 引该圆的一条切线, 切点为 Q,PQ 的长度等于点 P 到原点 O的距离 , 则点 P 的轨迹方程为 ( )A.8x-6y-21=0B.8x+6y-21=0C.6x+8y-21=0D.6x-8y-21=0答案 D二、填空题 ( 每题 5 分, 共 15 分)4.(2018 陕西部分名校摸底测试,13) 若 P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是. 答案x-y-3=05.(2017 河南天一大联考 ( 三 ),15) 已知圆 C(圆心 C 在第一象限 ) 过点 (1,0),(7,0), 直线 y=x-1 被圆 C截得的弦长为 4 , 则圆 C 的标准方程为.答案 (x-4) 2+(y-1) 2=106.(2016 黑龙江哈尔滨二模 ,15) 在平面直角坐标系xOy 中 , 以点 (2,-3) 为圆心且与直线 2mx-y-2m- 1=0(m∈R)相切的全部圆中 , 半径最大的圆的标准方程为.答案 (x-2) 2+(y+3) 2=5三、解答题 ( 共 15 分)7.(2018 晋豫百校联考 ,20) 在平面直角坐标系xOy 中 , 曲线Γ :y=x 2- mx+2m(m∈R)与 x 轴交于不一样的两点A,B,曲线Γ与 y 轴交于点 C.(1)能否存在以 AB 为直径的圆过点 C?若存在 , 求出该圆的方程 ; 若不存在 , 请说明原因 ;(2)求证 : 过 A,B,C 三点的圆过定点 .分析曲线Γ :y=x 2- mx+2m(m∈R), 令 y=0, 得 x2-mx+2m=0.设 A(x 1,0),B(x 2,0), 则易知2=m-8m>0,x 1+x 2=m,x1x2=2m.令 x=0, 得 y=2m,即 C(0,2m).(1) 若存在以 AB为直径的圆过点C,则·2 2所以 m=0或 m=- . =0, 得 x1x2+4m=0, 即 2m+4m=0,由>0 得 m<0或 m>8,所以 m=- ,哈哈哈哈哈哈哈哈你好此时 C(0,-1),AB的中点M即圆心,半径r=|CM|=,故所求圆的方程为+y2=.(2) 证明 : 设过 A,B 两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,将 (0,2m) 代入可得 E=-1-2m,所以过 A,B,C 三点的圆的方程为 x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0, 整理得 x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.令可得或故过 A,B,C 三点的圆过定点(0,1) 和.C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1求解直线的斜率及倾斜角范围的方法1.(2017 中原名校结盟12 月联考 ,6) 设点 A(-2,3),B(3,2),若直线ax+y+2=0与线段AB有交点,则实数a的取值范围是()A.∪B.C. D.∪答案 D2.(2016河南信阳调研,6)若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限, 则直线 l 的倾斜角的取值范围是()A. B. C. D.答案 C方法 2求直线方程的方法3.(2018江西南昌二中月考,6) 曲线 y=在点P(2,4)处的切线与直线l 平行且点P 到直线 l 的距离为2, 则直线 l 的方程为 ()哈哈哈哈哈哈哈哈你好A.2x+y+2=0B.2x+y+2=0 或 2x+y-18=0C.2x-y-18=0D.2x-y+2=0或2x-y-18=0答案 B4.(2016吉林九校联考,7) 经过点 P(1,4) 的直线 l 在两坐标轴上的截距都是正的, 且截距之和最小, 则直线 l 的方程为()A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案 B5.(2017 山西长治二中月考,14) 直线 l 过点 P(6,4), 且分别与 x 轴,y 轴的正方向交于A,B 两点 , 当△ ABO的面积最小时 , 直线 l 的方程为.答案 2x+3y-24=0方法 3 求圆的方程的方法6.(2018 河北石家庄质检 ,15) 过点 M(2,2) 的直线 l 与坐标轴的正方向分别订交于A,B 两点 ,O 为坐标原点 , 若△OAB的面积为 8, 则△ OAB外接圆的标准方程是.答案 (x-2) 2+(y-2) 2=87.(2016 宁夏银川一中调研,15) 两条相互垂直的直线2x+y+2=0 和 ax+4y-2=0 的交点为 P, 若圆 C 过点 P 和点M(-3,2), 且圆心在直线 y= x 上 , 则圆 C的标准方程为.答案 (x+6) 2+(y+3) 2=348.(2017 江西四校 12 月联考 ,20) 在平面直角坐标系xOy 中 , 以 O为圆心的圆与直线 x- y=4 相切 .(1)求圆 O的方程 ;(2) 圆 O与 x 轴订交于A,B 两点 , 圆 O内的动点P 使 |PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求·的取值范围.分析(1) 依题意得 , 圆 O 的半径r 等于原点O 到直线x-y-4=0的距离,即r==2, 故圆 O 的方程为x2+y2=4.(2) 由已知不如设A(-2,0),B(2,0).设 P(x,y), 由 |PA|,|PO|,|PB| 成等比数列 , 得·=x2+y2, 即 x2-y 2=2.由于点 P 在圆 O内 , 所以由此得y2<1.电视播放动画动画哈哈哈哈哈哈哈哈你好所以·=(-2-x,- y) ·(2 -x,-y)=x2+y2-4=2y2-2<0,又易得·=2y2- 2≥ -2,所以·的取值范围为[-2,0).方法 4对称问题的办理方法9.(2017江西赣中南五校联考,5) 已知直线l 与直线 2x-3y+4=0 对于直线x=1 对称 , 则直线 l 的方程为 ()A.2x+3y-8=0B.3x-2y+1=0C.x+2y-5=0D.3x+2y-7=0答案 A10.(2018湖南师大附中联考,14) 若直线l 1:y=-x对于直线l的对称直线为l 2:x+y-2=0,则直线l的方程为.答案x+y-1=011.(2017河北衡水中学二调,17) 一条光芒经过点P(2,3) 射在直线l:x+y+1=0上,反射后经过点Q(1,1).(1) 求入射光芒所在直线的方程;(2)求这条光芒从点 P 到点 Q的长度 .分析(1) 如下图 .设点 Q'(x',y')为Q对于直线l 的对称点且QQ'交 l 于点 M.∵k l=- 1,∴k QQ'=1,∴Q Q'所在直线的方程为 y- 1=1·(x -1), 即 x-y=0,由解得 l 与 QQ'的交点 M的坐标为.又∵M为 QQ'的中点 , 由解得∴Q'( -2,-2).电视播放动画动画哈哈哈哈哈哈哈哈你好设入射光芒与l 交于点 N,则 P,N,Q' 三点共线 .由 P(2,3) 、 Q'(-2,-2)得入射光芒所在直线的方程为=, 即 5x-4y+2=0.(2) 由 (1) 知 l 是线段 QQ'的垂直均分线,∴|NQ|=|NQ'|,∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ'|=|PQ'|==,即这条光芒从点P 到点 Q的长度是.电视播放动画动画。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第1节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程
A.
C.
)
π 3π
,
4 4
π 3π
π
0, 4 ∪ 2 , 4
B.
D.
π 3π
,
4 4
π 3π
π π
, ∪ 2, 4
4 2
(2)已知点A(2,3),B(-3,-2),若直线l过点P(1,1),且与线段AB始终没有交点,则
直线l的斜率k的取值范围是(
A.
C.
3
,
2
4
3
, +∞
4
)
B.
3
−∞, 4
D.(-∞,2)
π
,π
2
时也是如此,但当 α∈
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
斜截式
纵截距,斜率
y=kx+b
点斜式
过一点,斜率
y-y0=k(x-x0)
过两点
y-y 1
y 2 -y 1
截距式
纵、横截距
x
a
一般式
—
Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面内所有直线都适用
两点式
+
适用条件
=
x-x 1
x 2 -x 1
综上,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
突破方法1.求解直线方程的2种方法
直接法 根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程
①设所求直线方程的某种形式;
待定系 ②由条件建立所求参数的方程(组);
数法
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程
2.谨防3种失误
(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时,要注意讨论斜率是否存在;
2019年高考数学(理)一轮复习精品课时练习：第九章 解析几何 Word版含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品课时练习第九章解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点：1.直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2.直线的方程；3.直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系[基本知识]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0，π)．2．直线的斜率公式(1)定义式：若直线l的倾斜角α≠π2，则斜率k＝tan_α.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1.3．两条直线平行与垂直的判定[基本能力]1．判断题(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( )(4)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (5)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× 2．填空题(1)若过两点A (－m,6)，B (1,3m )的直线的斜率为12，则m ＝________. 答案：－2(2)如图中直线l1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________．解析：设l 1，l 2，l 3的倾斜角分别为α1，α2，α3.由题图易知0<α3<α2<90°<α1<180°，∴tan α2>tan α3>0>tan α1，即k 2>k 3>k 1.答案：k 2>k 3>k 1(3)已知直线l 1：x ＝－2，l 2：y ＝12，则直线l 1与l 2的位置关系是________．答案：垂直(4)已知直线l 1：ax ＋(3－a )y ＋1＝0，l 2：x －2y ＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 解析：由题意，得a a －3＝－2，解得a ＝2.答案：2[全析考法]1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：2.tan α的单调性，如图所示：(1)当α取值在⎣⎡⎭⎫0，π2内，由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 由0增大并趋向于正无穷大；(2)当α取值在⎝⎛⎭⎫π2，π内，由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 由负无穷大增大并趋近于0. 解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1] (1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π (2)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．[解析] (1)因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. (2)如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .∴－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤－23，12 [易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2与⎝⎛⎭⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．两直线的位置关系两直线位置关系的判断方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．[例2] (1)已知直线l 1：3x ＋2ay －5＝0，l 2：(3a －1)x －ay －2＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．－16B ．6C ．0D ．0或－16(2)已知经过点A (－2,0)和点B (1,3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)由l 1∥l 2，得－3a －2a (3a －1)＝0，即6a 2＋a ＝0，所以a ＝0或a ＝－16，经检验都成立．故选D.(2)l 1的斜率k 1＝3a －01－(－2)＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －(－1)a －0＝1－2aa .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0,0)，这时直线l 2为y 轴，A (－2，0)，B (1,0)，直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] (1)D (2)1或0 [方法技巧]已知两直线一般方程的两直线位置关系的表示到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．[全练题点]1.[考点一]设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，即切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 2.[考点一]直线l 过点A (1,2)，且不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，12 B ．[0,1] C ．[0,2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选C 因为直线过点A (1,2)，且不经过第四象限，作出图象，如图所示，当直线位于如图所示的阴影区域内时满足条件，由图可知，当直线l 过A 且平行于x 轴时，斜率取得最小值，k min ＝0；当直线l 过A (1,2)，O (0,0)时，斜率取得最大值，k max ＝2，所以直线l 的斜率的取值范围是[0,2]．故选C.3.[考点二]若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C ∵直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋(2－m )＝0，m ＋2(2－m )≠0，解得m ＝1.故选C. 4.[考点二]直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为(1，p )，则n 的值为( )A ．－12B ．－14C ．10D ．8解析：选A 由直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0垂直，得2m －20＝0，m ＝10，直线10x ＋4y －2＝0过点(1，p )，有10＋4p －2＝0，解得p ＝－2，点(1，－2)又在直线2x －5y ＋n ＝0上，则2＋10＋n ＝0.解得n ＝－12.故选A.5.[考点二](2018·温州五校联考)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________.解析：因为直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0垂直，所以a ·1＋2·(a －1)＝0，解得a ＝23.答案：23突破点(二) 直线的方程[基本知识]直线方程的五种形式[基本能力]1．判断题(1)经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )(3)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb ＝1表示．( )答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)直线l 经过点(0,1)且倾斜角为60°，则直线l 的方程为________________． 解析：∵k ＝tan 60°＝3，又直线l 过点(0,1)， ∴由点斜式方程得，y －1＝3(x －0)． 即3x －y ＋1＝0. 答案：3x －y ＋1＝0(2)经过点A (2，－3)，倾斜角等于直线y ＝x 的2倍的直线方程为________________． 解析：直线y ＝x 的斜率k ＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x ＝2.答案：x ＝2(3)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝____________. 解析：显然a ＝0不符合题意，当a ≠0时，令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－2[全析考法]求直线方程[例1] (1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程； (3)求过A (2,1)，B (m,3)两点的直线l 的方程．[解] (1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0. (3)①当m ＝2时，直线l 的方程为x ＝2； ②当m ≠2时，直线l 的方程为y －13－1＝x －2m －2，即2x －(m －2)y ＋m －6＝0.因为m ＝2时，代入方程2x －(m －2)y ＋m －6＝0，即为x ＝2， 所以直线l 的方程为2x －(m －2)y ＋m －6＝0.[易错提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2] (1)已知直线x ＋2y ＝2分别与x 轴、y 轴相交于A ，B 两点，若动点P (a ，b )在线段AB 上，则ab 的最大值为________．(2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．[解析] (1)由题得A (2,0)，B (0,1)，由动点P (a ，b )在线段AB 上，可知0≤b ≤1， 且a ＋2b ＝2，从而a ＝2－2b ，故ab ＝(2－2b )b ＝－2b 2＋2b ＝－2⎝⎛⎭⎫b －122＋12. 由于0≤b ≤1，故当b ＝12时，ab 取得最大值12.(2)易求定点A (0,0)，B (1,3)． 当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ， 所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.[答案] (1)12 (2)5[方法技巧]与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y . (2)将问题转化成关于x (或y )的函数． (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．[全练题点]1.[考点一]直线3x －y ＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为( )A ．x ＋3y －3＝0B ．x ＋3y －1＝0C ．3x －y －3＝0D ．x －3y ＋3＝0解析：选B 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，得y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度，得y ＝－13(x －1)，即x ＋3y －1＝0.2.[考点二]已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8B ．2 2 C. 2 D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3.[考点二]当k >0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为________．解析：直线2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形的面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k ，又k ＋2k≥2k ·2k ＝22，故三角形面积的最大值为24. 答案：244.[考点二](2018·苏北四市模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)－2b ＝0，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：255.[考点一]△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.突破点(三) 直线的交点、距离与对称问题[基本知识]1．两条直线的交点2．三种距离[基本能力]1．判断题(1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) (2)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( ) (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( )(4)若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于－1k ，且线段AB的中点在直线l 上．( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．填空题(1)两条直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋4＝0的交点为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －1＝0，x －2y ＋4＝0，可解得⎩⎨⎧x ＝－25，y ＝95.所以两直线交点坐标为⎝⎛⎭⎫－25，95. 答案：⎝⎛⎭⎫－25，95 (2)原点到直线x ＋2y －5＝0的距离是________． 解析：d ＝|0＋0－5|5＝ 5.答案： 5(3)已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，∴|a ＋1|＝2，又a >0，∴a ＝2－1. 答案：2－1(4)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：2[全析考法]交点问题[例1] (1)当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以交点坐标为(－9，－8)，代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2，所以a ＝23.[答案] (1)B (2)23[方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2] (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为_____________________________．[解析] (1)因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设所求直线的方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y －3k ＋4＝0，由已知及点到直线的距离公式可得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，解得k ＝2或k＝－23，即所求直线的方程为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. [答案] (1)C (2)2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0[易错提醒](1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x ，y 的系数化为对应相等．对称问题1若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得{ x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解2．轴对称问题的两种类型及求解方法若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎨⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2) (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，由已知 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为P ′在直线l 上， 所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0.[方法技巧]解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．[全练题点]1.[考点一]过点⎝⎛⎭⎫65，－25且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －⎝⎛⎭⎫－25＝－2⎝⎛⎭⎫x －65，即2x ＋y －2＝0.故选C. 2.[考点三]点P (2,5)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标是( )A ．(5,2)B ．(2，－5)C ．(－5，－2)D ．(－2，－5)解析：选C 设P (2,5)关于直线x ＋y ＝0的对称点为P 1，则PP 1的中点应在x ＋y ＝0上，可排除A ，B ；而(－2，－5)与P (2,5)显然关于原点对称，而不关于直线x ＋y ＝0对称．故选C.3.[考点二]若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 B. 2 C ．3 2D ．2 3解析：选C 点M 在直线x ＋y －6＝0上，到原点的最小距离等价于原点O (0,0)到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|0＋0－6|12＋12＝62＝3 2.故选C.4.[考点二]已知A (－2,1)，B (1,2)，点C 为直线y ＝13x 上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．2 2B ．2 3C ．2 5D ．27解析：选C设B 关于直线y ＝13x 的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0－1＝－3，y 0＋22＝13×x 0＋12，解得B ′(2，－1)．由平面几何知识得|AC |＋|BC |的最小值即是|B ′A |＝(2＋2)2＋(－1－1)2＝2 5.故选C.5.[考点二]已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值为__________．解析：由题意及点到直线的距离公式得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，解得a ＝－13或－79.答案：－13或－796.[考点一]经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________________．解析：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．∵l ⊥l 3，直线l 3的斜率为34，∴直线l 的斜率k 1＝－43，∴直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，则其可化为(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋(4－2λ)＝0，因为直线l 与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，解得λ＝11.则直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝0[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A 因为圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2013·全国卷Ⅱ)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b .∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋b a ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b>b ，b21－2b >0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示． 设MC ＝m ，NC ＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ，则t m ＝DN MN ，t n ＝DM MN ，∴t m ＋t n ＝DN MN ＋DM MN＝1. ∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m ⎣⎡⎭⎫22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322， 即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)、(2)可得：1－22<b <12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6.2．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1解析：选C 由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.故选C.3．(2018·山东省实验中学月考)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C 的位置关系是________．解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y＋sin C ＝0垂直．答案：垂直4．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)， 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12.故其斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞对点练(二) 直线的方程1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号，故选B.2．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：选A ∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴其方程为x ＝2.3．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D 设点B 的坐标为(a,0)(a >0)，由OA ＝AB ，得12＋32＝(1－a )2＋(3－0)2，则a ＝2. ∴点B (2,0)．易知k AB ＝－3，由两点式，得AB 的方程为y －3＝－3(x －1)．4．(2018·北京西城区月考)已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________________．解析：当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．因为A (1,1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝05．已知直线l 过点P (2，－1)，在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b ，且满足a ＝3b .则直线l 的方程为__________________．解析：①若a ＝3b ＝0，则直线过原点(0,0)， 此时直线斜率k ＝－12，直线方程为x ＋2y ＝0.②若a ＝3b ≠0，设直线方程为x a ＋y b ＝1，即x 3b ＋yb ＝1.因为点P (2，－1)在直线上，所以b ＝－13.从而直线方程为－x －3y ＝1，即x ＋3y ＋1＝0. 综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0. 答案：x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0对点练(三) 直线的交点、距离与对称问题1．若点P (a ，b )与Q (b －1，a ＋1)关于直线l 对称，则直线l 的倾斜角α为( ) A ．135° B ．45° C ．30°D ．60°解析：选B 由题意知，PQ ⊥l ，∵k PQ ＝a ＋1－bb －1－a ＝－1，∴k l ＝1，即tan α＝1，∴α＝45°.故选B.2．已知点A (1，－2)，B (m,2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：选C 因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.3．P 点在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为( ) A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1,2)或(2，－1)．4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a－2≠c －1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0.∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋113，∴c ＋2＝±4，∴c ＋2a ＝±1. 答案：±16.如图，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，E (－1,0)，F (1,0)，一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．解析：从特殊位置考虑．如图，∵点A (－2,0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2,4)， ∴kA 1F ＝4.又点E (－1,0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2,1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1,4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，∴k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)7．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为_________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43，∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝0[大题综合练——迁移贯通]1．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0，即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14，因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6,0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2.2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)． (2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大． 又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.3．过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)因为4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab， 所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝12ab 最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a≥5＋2 a b ·4ba＝9， 当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.第二节 圆的方程本节主要包括2个知识点： 1.圆的方程； 2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一) 圆的方程[基本知识]1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.[基本能力]1．判断题(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )(2)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．( )(4)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( )(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．填空题(1)圆x 2＋y 2－4x ＋8y －5＝0的圆心为________，半径为________． 解析：圆心坐标为(2，－4)， 半径r ＝12(－4)2＋82－4×(－5)＝5.答案：(2，－4) 5(2)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.答案：x2＋(y－3)2＝2(3)若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4.即a2＜1，故－1＜a＜1.答案：(－1,1)[全析考法]1．求圆的方程的两种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1](1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)，则该圆的方程是________________．(3)若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．[解析](1)依题意，设圆心坐标为C(a,0)，则|CA|＝|CB|，即(a－5)2＋(0－1)2＝(a－1)2＋(0－3)2，则a＝2.故圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.(2)过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(3)法一：设过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 分别代入A ，B ，C 三点坐标，得⎩⎪⎨⎪⎧25＋5D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，9＋9－3D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－253，F ＝－5.所以A ，B ，C 三点确定的圆的方程为x 2＋y 2－4x －253y －5＝0.因为D (a,3)也在此圆上，所以a 2＋9－4a －25－5＝0. 所以a ＝7或a ＝－3(舍去)．即a 的值为7.法二：由题易知AB ∥CD ，所以圆的一条对称轴既是AB 的垂直平分线又是CD 的垂直平分线，而AB 的垂直平分线方程为x ＝2，故－3＋a2＝2，解得a ＝7.[答案] (1)(x －2)2＋y 2＝10 (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 (3)7 [方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b ，r 或D ，E ，F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r (或D ，E ，F )的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置． (2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． [例2] (2018·河南六市模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4[解析] 设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，∴圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)， 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. [答案] D[全练题点]1.[考点一]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2.[考点一](2018·福建厦门质检)圆C 与x 轴相切于T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B ，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A 由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3.[考点二]已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎭⎫0，14 C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ 解析：选A 将圆的方程化成标准形式得(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，故选A. 4.[考点二]圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________________．解析：圆心(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(0，－1)，所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.答案：x 2＋(y ＋1)2＝15.[考点二]若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上的相异两点P ，Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx ＋2y －4＝0过圆心，则k ×(－1)＋2×3－4＝0，解得k ＝2.答案：26.[考点一、二](2018·湖北襄阳四中模拟)已知点C (－1,0)，以C 为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切．(1)求圆C 的方程；(2)如果圆C 上存在两点关于直线mx ＋y ＋1＝0对称，求m 的值． 解：(1)因为圆与直线相切， 所以圆心到直线的距离即为半径长．由题意，得圆心到直线的距离d ＝|－1－3|1＋3＝2，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为圆C 上存在两点关于直线对称，所以直线过圆心C ，所以－m ＋1＝0，解得m ＝1.突破点(二) 与圆的方程有关的综合问题 (对应学生用书P148)圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.[全析考法]与圆有关的轨迹问题[例1] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )． 在R t △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的四种方法[例2] (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝ 3，解得k ＝±3. 所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， 最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧] 与圆有关最值问题的求解策略。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9 (1)
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与C 2：y 29－x 23＝1有相同的渐近线，点F (2,0)为C 1的右焦点，A ，B 为C 1的左、右顶点．(1)求双曲线C 1的标准方程；(2)若直线l 过点F 交双曲线C 1的右支于M ，N 两点，设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，是否存在实数λ使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)∵C 2的渐近线方程为y ＝±3x ，∴b a ＝3， ∵c ＝a 2＋b 2＝2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线C 1的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)由已知，A (－1,0)，B (1,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，l 过点F (2,0)与右支交于两点，则l 斜率不为零，设l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 23＝1，x ＝my ＋2，消元得(3m 2－1)y 2＋12my ＋9＝0， ∵l 与双曲线右支交于两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－1≠0，y 1y 2＝93m 2－1<0，解得m ∈⎝⎛⎭⎫－33，33， Δ＝(12m )2－4×9(3m 2－1)＝36(m 2＋1)>0，∴y 1＋y 2＝－12m 3m 2－1，y 1y 2＝93m 2－1，∵k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1≠0， ∴k 1k 2＝y 1x 2－1y 2x 1＋1＝y 1my 2＋1y 2my 1＋3＝my 1y 2＋y 1my 1y 2＋3y 2， ∵y 1＋y 2y 1y 2＝－12m 9＝－4m 3， ∴my 1y 2＝－34(y 1＋y 2)， ∴k 1k 2＝－34y 1＋y 2＋y 1－34y 1＋y 2＋3y 2＝14y 1－34y 2－34y 1＋94y 2 ＝－13， ∴存在λ＝－13使得k 1＝λk 2. 教师备选(2022·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，点E ，F 分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O ，且△EOF 的面积为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且点F 恰为△EAB 的垂心？若存在，求直线l 的方程，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知⎩⎨⎧c a ＝33，12bc ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧ a ＝6，b ＝2，c ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 26＋y 24＝1. (2)假设满足条件的直线l 存在，由E (0，－2)，F (2，0)，得k EF ＝2，因为点F 为△EAB 的垂心，所以AB ⊥EF ，所以k AB ＝－22， 设直线l 的方程为y ＝－22x ＋t ， 代入x 26＋y 24＝1， 得7x 2－62tx ＋6(t 2－4)＝0，Δ＝(－62t )2－4×7×6(t 2－4)＝－96t 2＋672>0，即－7<t <7，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝627t ，x 1x 2＝6t 2－47，由AF ⊥BE 得y 1x 1－2·y 2＋2x 2＝－1， 所以y 1y 2＋2y 1＋x 1x 2－2x 2＝0，将y 1＝－22x 1＋t ，y 2＝－22x 2＋t 代入上式，得3x 1x 2－2(t ＋2)(x 1＋x 2)＋(2t 2＋4t )＝0，所以3×6t 2－47－2(t ＋2)·62t 7＋(2t 2＋4t ) ＝0，所以5t 2＋t －18＝0，解得t ＝95(t ＝－2舍去)， 满足Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22x ＋95. 思维升华 存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．跟踪训练1 (2022·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x ，经过P (t ，0)(t >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点．(1)若t ＝4，求AP 长度的最小值；(2)设以AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，问是否存在t ，使得OM →·ON →＝－4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)设A ⎝⎛⎭⎫y 204，y 0，由P (4,0)，可得|AP |2＝⎝⎛⎭⎫y 204－42＋y 20 ＝y 4016－y 20＋16 ＝116(y 20－8)2＋12≥12， 当y 0＝±22时，|AP |取得最小值2 3.(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，可得y 2－4my －4t ＝0， 即有y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，设以AB 为直径的圆上任一点Q (x ，y )，M (x 3，0)，N (x 4,0)，所以Q 的轨迹方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2t ＝4m 2＋2t ，x 1x 2＝(my 1＋t )(my 2＋t )＝m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝－4m 2t ＋4m 2t ＋t 2＝t 2.所以Q 的轨迹方程化为x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2＋y 2－4my －4t ＝0.令y ＝0，得x 2－(4m 2＋2t )x ＋t 2－4t ＝0.所以上式方程的两根分别为x 3，x 4，则x 3x 4＝t 2－4t .由OM →·ON →＝x 3x 4＝－4，即有t 2－4t ＝－4，解得t ＝2.所以存在t ＝2，使得OM →·ON →＝－4.题型二 圆锥曲线的综合问题例2 (2022·梅州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x ＋y ＋22－1＝0与以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点B 到直线MN 的距离的取值范围．解 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F 2(c ，0)，则以椭圆C 的右焦点为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆(x －c )2＋y 2＝a 2，所以圆心到直线x ＋y ＋22－1＝0的距离 d ＝|c ＋22－1|12＋12＝a ， 又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a ＝2c ，b ＝3c ， 解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设B (m ，n )，线段MN 的中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，因为O 为△BMN 的重心，则|BO |＝2|OD |＝|OA |，所以D ⎝⎛⎭⎫－m 2，－n 2， 即B 到直线MN 的距离是原点O 到直线MN 的距离的3倍．当MN 的斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处．由|OB |＝2，得|OD |＝1，则点O 到直线MN 的距离为1，点B 到直线MN 的距离为3. 当MN 的斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 23＝0，因为D 为线段MN 的中点，所以x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m 4n ， 所以直线MN 的方程为y ＋n 2＝－3m 4n ⎝⎛⎭⎫x ＋m 2，即6mx ＋8ny ＋4n 2＋3m 2＝0，所以原点O 到直线MN 的距离d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2. 因为m 24＋n 23＝1，所以3m 2＝12－4n 2， 所以d ＝4n 2＋3m 264n 2＋36m 2＝12144＋16n 2＝39＋n 2. 因为0<n 2≤3，所以3<9＋n 2≤23，所以123≤19＋n 2<13， 所以332≤3d <3， 即点B 到直线MN 的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤332，3. 教师备选(2022·开封模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 是抛物线C 上一点，且满足FP →＝(0，－2)．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知斜率为2的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，求该数列的公差．解 (1)由题设知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设点P (x 0，y 0)，由FP →＝(0，－2)，即⎝⎛⎭⎫x 0－p 2，y 0＝(0，－2)， ∴x 0＝p 2，y 0＝－2，代入y 2＝2px ， 得4＝p 2，又p >0，∴p ＝2，则抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l ：y ＝2x ＋m ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，y 2＝4x ， 消去y 得4x 2＋(4m －4)x ＋m 2＝0，满足Δ＝(4m －4)2－16m 2＝－32m ＋16>0，即m <12， 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝1－m ，x 1x 2＝m 24， 若|F A →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，则|F A →|＋|FB →|＝2|FP →|，即x 1＋x 2＋2＝4，即3－m ＝4，m ＝－1.即x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14， 又∵公差d 满足2d ＝|FB →|－|F A →|＝x 2－x 1，而|x 2－x 1|＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝3，∴2d ＝±3，即d ＝±32. 思维升华 圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质．如：圆的半径r ，弦长的一半h ，弦心距d 满足r 2＝h 2＋d 2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB 是圆的直径，则圆上任一点P 有P A →·PB →＝0.跟踪训练2 (2022·鹰潭模拟)如图，O 为坐标原点，抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 2的右顶点，椭圆C 2的长轴长为|AB |＝8，离心率e ＝12.(1)求抛物线C 1和椭圆C 2的方程；(2)过A 点作直线l 交C 1于C ，D 两点，射线OC ，OD 分别交C 2于E ，F 两点，记△OEF 和△OCD 的面积分别为S 1和S 2，问是否存在直线l ，使得S 1∶S 2＝3∶13？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)由题知，a ＝4，c a ＝12， 所以c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝23，p ＝4.所以抛物线C 1的方程为y 2＝8x ，椭圆C 2的方程为x 216＋y 212＝1. (2)由题设知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋4.则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝my ＋4⇒y 2－8my －32＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－32.所以S 2S 1＝12|OC |·|OD |sin ∠COD 12|OE |·|OF |sin ∠EOF ＝|OC |·|OD ||OE |·|OF |＝|y 1|·|y 2||y E |·|y F |＝32|y E |·|y F |， 因为直线OC 的斜率为y 1x 1＝y 1y 218＝8y 1，所以直线OC 的方程为y ＝8y 1x . 由⎩⎨⎧ y ＝8y 1x ，x 216＋y 212＝1， 得y 2⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 则y 2E⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 同理可得y 2F⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ⎝⎛⎭⎫y 2264×16＋112⎝⎛⎭⎫y 2164×16＋112＝1， 所以y 2E ·y 2F ＝36×256121＋48m 2， 要使S 1∶S 2＝3∶13，只需322121＋48m 236×256＝⎝⎛⎭⎫1332， 解得m ＝±1，所以存在直线l ：x ±y －4＝0符合条件．课时精练1．已知椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A ，B 和C ，D .(1)设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1·k 2＝1；(2)是否存在常数λ，使得1|AB |＋1|CD |＝λ恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2， 因为点P 为双曲线x 24－y 24＝1上异于顶点的任意一点， 所以x 20－y 20＝4(x 0≠±2)，所以k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1， 即k 1k 2＝1.(2)解 由直线PF 1的方程为y ＝k 1(x ＋2)， 代入椭圆C ：x 28＋y 24＝1， 可得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－8＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，x 1x 2＝8k 21－82k 21＋1， 所以|AB |＝1＋k 21x 1＋x 22－4x 1x 2＝42·k 21＋12k 21＋1， 同理可得|CD |＝42·k 22＋12k 22＋1， 因为k 1k 2＝1，可得|CD |＝42·k 21＋1k 21＋2， 则1|AB |＋1|CD |＝142·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋1k 21＋1＋k 21＋2k 21＋1 ＝328， 即存在常数λ＝328， 使得1|AB |＋1|CD |＝328恒成立． 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实半轴长为1，且C 上的任意一点M 到C 的两条渐近线的距离的乘积为34. (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线C 相交于P ，Q 两点，问在x 轴上是否存在定点D ，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直？若存在，求出定点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可得a ＝1，所以双曲线C ：x 2－y 2b 2＝1， 所以渐近线方程为bx ±y ＝0，设M (x 0，y 0)， 则|bx 0－y 0|b 2＋1·|bx 0＋y 0|b 2＋1＝34， 即|b 2x 20－y 20|b 2＋1＝34， 因为M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 20－y 20b2＝1， 即b 2x 20－y 20＝b 2，所以b 2b 2＋1＝34， 解得b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)假设存在D (t ，0)，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直，则可得k PD ＋k QD ＝0，F (2,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，当直线l 的斜率存在时，直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，3x 2－y 2＝3， 可得(3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2k 2－3， x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3， 所以k PD ＋k QD ＝y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝y 1x 2－t ＋y 2x 1－t x 1x 2－t x 1＋x 2＋t 2＝0， 即k (x 1－2)(x 2－t )＋k (x 2－2)(x 1－t )＝0恒成立，整理可得k [2x 1x 2－(t ＋2)(x 1＋x 2)＋4t ]＝0，所以k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×4k 2＋3k 2－3－t ＋2×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 即2×4k 2＋3k 2－3－(t ＋2)×4k 2k 2－3＋4t ＝0， 所以8k 2＋6－4k 2(t ＋2)＋4t (k 2－3)＝0，所以6－12t ＝0，解得t ＝12， 当直线l 的斜率不存在时，t ＝12也满足题意． 所以存在点D ⎝⎛⎭⎫12，0，使得∠PDQ 的平分线与x 轴或y 轴垂直．3．(2022·承德模拟)已知M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为－14，设动点P 的轨迹为曲线C 1.抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)与C 1在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线C 1于点B ，交抛物线C 2于点E (点B ，E 不同于点A )．(1)求曲线C 1的方程；(2)是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)设动点P (x ，y )(x ≠±2)，则k PM ＝y x ＋2，k PN ＝y x －2. ∵k PM ·k PN ＝－14， ∴y x ＋2·y x －2＝－14， 即y 2x 2－4＝－14， 即x 24＋y 2＝1(x ≠±2)， ∴曲线C 1的方程为x 24＋y 2＝1(x ≠±2)． (2)设A (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，B (x 2，y 2)，E (x 0，y 0)，显然直线l 存在斜率，设l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m ， 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，∴x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 0＝－4km 1＋4k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋m ， 得x 2＝2p (kx ＋m )，即x 2－2pkx －2pm ＝0，∴x 1x 0＝－2pm ，∴x 1·－4km 1＋4k 2＝－2pm ⇒x 1＝p ⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k ， ∴k >0，∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x 2＝2py ， 即x 2＋x 4p 2＝4， ∴p 2⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋p 4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4p 2＝4， ∴p 2＝4⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＋⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 4，设⎝⎛⎭⎫1＋4k 22k 2＝⎝⎛⎭⎫12k ＋2k 2 ＝t ≥⎝⎛⎭⎫212k ·2k 2＝4， 当且仅当12k ＝2k ，即k ＝12时取等号， 则p 2＝4t ＋t 2＝4⎝⎛⎭⎫t ＋122－14， 当t ≥4时，⎝⎛⎭⎫t ＋122－14≥20， 当k ＝12，即t ＝4时，p 2取得最大值，最大值为15， 即p ＝55. 此时A ⎝⎛⎭⎫255，255，满足Δ>0， 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p 的最大值为55.4．(2022·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，P 为直线y ＝x －2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B .当P 在y 轴上时，OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值．解 (1)P 为直线y ＝x －2上的动点，当P 在y 轴上时，则P (0，－2)，由x 2＝2py (p >0)，得y ＝x 22p (p >0)， 所以y ′＝x p(p >0)， 设A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212p ，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222p ，x 1>0，x 2<0， 所以过点A 的切线方程为y －x 212p ＝x 1p(x －x 1)， 又因为点P 在过点A 的切线上，所以－2－x 212p ＝x 1p(0－x 1)， 解得x 21＝4p ，又因为OA ⊥OB ，所以直线OA 的斜率为1，所以x 1＝x 212p，解得x 1＝2p ， 解得p ＝1，所以抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)由(1)得抛物线的切线的斜率y ′＝x ，A ⎝⎛⎭⎫x 1，x 212，B ⎝⎛⎭⎫x 2，x 222， 所以切线P A 的方程为y －x 212＝x 1(x －x 1)， 切线PB 的方程为y －x 222＝x 2(x －x 2)， 两切线方程联立解得P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，x 1x 22，又点P 在直线y ＝x －2上，所以x 1x 22＝x 1＋x 22－2， 由题意知直线AB 的斜率一定存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2y ， 消元得x 2－2kx －2m ＝0，Δ＝4k 2＋8m >0，所以x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2m ， 所以－2m 2＝2k 2－2，即k ＋m ＝2，满足Δ>0， 所以点O 到直线AB 的距离为d ＝|m |1＋k 2＝2－k 21＋k 2＝1＋－4k ＋31＋k 2， 令t ＝－4k ＋31＋k 2， 则t ′＝2k －22k ＋11＋k 22， 令t ′＝0，得k ＝2或k ＝－12， 所以当k ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪(2，＋∞)时， t ′>0，t 单调递增，当k ∈⎝⎛⎭⎫－12，2时，t ′<0，t 单调递减， 当k ＝－12时，t ＝4，当k →＋∞时，t →0且t <0， 所以t max ＝4，所以d max ＝1＋4＝5，所以点O 到直线AB 距离的最大值为 5.。
高考数学一轮总复习：第九章 解析几何1
高考数学一轮总复习：第九章解析几何目录第1课时直线方程第2课时两直线的位置关系第3课时圆的方程及直线与圆的位置关系第4课时圆与圆的位置关系及圆的综合问题第5课时椭圆（一）第6课时椭圆（二）第7课时双曲线（一）第8课时双曲线（二）第9课时抛物线（一）第10课时抛物线（二）第11课时直线与圆锥曲线的位置关系专题研究一求曲线的轨迹方程专题研究二最值与范围问题专题研究三定点、定值问题专题研究四探索性问题第1课时直线方程1．直线x－3y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )A.π6B.π3C.23π D.56π答案 A2．过点(－1，2)且倾斜角为150°的直线方程为( ) A.3x－3y＋6＋3＝0 B.3x－3y－6＋3＝0C.3x＋3y＋6＋3＝0D.3x＋3y－6＋3＝0答案 D3．在等腰三角形AOB中，AO＝AB，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为( )A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)答案 D解析因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以kAB ＝－kOA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y－3＝－3(x－1)．4．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>π3”是“k>3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析当π2<α<π时，k<0；当k>3时，π3<α<π2.所以“α>π3”是“k>3”的必要不充分条件，故选B.5．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案 C解析由条件知直线在两个坐标轴上的截距为正数．6．过点(5，2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是( )A．2x＋y－12＝0 B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0 D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0答案 B解析设所求直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为2a.①当a＝0时，所求直线经过点(5，2)和(0，0)，所以直线方程为y＝25x，即2x－5y＝0；②当a≠0时，设所求直线方程为xa＋y2a＝1，又直线过点(5，2)，所以5a＋22a＝1，解得a＝6，所以所求直线方程为x6＋y12＝1，即2x＋y－12＝0.综上，所求直线方程为2x－5y＝0或2x＋y－12＝0.故选B.7．若直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为( )A．1 B．2C．4 D．8答案 C解析∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)(1a＋1b)＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.8．在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是( )答案 B解析当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，B项符合．9．已知A(2，5)，B(4，1)．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为( )A．－1 B．3C．7 D．8答案 C解析依题意得kAB ＝5－12－4＝－2，所以线段lAB：y－1＝－2(x－4)，x∈[2，4]，即y＝－2x＋9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－(－2x＋9)＝4x－9，x∈[2，4]．设h(x)＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max＝4×4－9＝7.10．曲线y＝13x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )A.π6B.3π4C.π4D.π3答案 B解析y′＝x2－2x，当x＝1时，切线斜率k＝12－2×1＝－1，设切线的倾斜角为θ，则tanθ＝－1，∴θ＝3π4.11．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是( )A．[34，2] B．(－∞，34]∪[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1，2] 答案 B解析直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1，1)，kPA ＝2，kPB＝34，故k的取值范围是(－∞，34]∪[2，＋∞)．故选B.12．已知直线l的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为________．答案x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0解析设所求直线l的方程为xa＋yb＝1.∵k＝16，即ba＝－16，∴a＝－6b.又三角形面积S＝3＝12|a|·|b|，∴|ab|＝6.则当b＝1时，a＝－6；当b＝－1时，a＝6.∴所求直线方程为x －6＋y 1＝1或x 6＋y －1＝1. 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.13．已知P(－3，2)，Q(3，4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 (－73，－13)解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a<－13.14． 若关于x 的方程|x －1|－kx ＝0有且只有一个正实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 k ＝0或k≥1解析 由题意，知|x －1|＝kx ，有且只有一个正实根，结合图形，可得k ＝0或k≥1.15．在△ABC 中，已知A(1，1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．答案 2x ＋5y ＋9＝0 解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴l AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，l AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎨⎧2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C(3，－3)． 由⎩⎨⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B(－2，－1)． ∴l BC ：2x ＋5y ＋9＝0.16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．答案 (3＋3)x －2y －3－3＝0 解析 由题意可得k OA ＝tan45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)， 所以AB 的中点C(m －3n 2，m ＋n2)， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1， 解得m ＝3，所以A(3，3)．又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 17．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k∈R )， (1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．答案 (1)定点(－2，1) (2)k≥0 (3)S 最小值为4，x －2y ＋4＝0 解析 (1)证明：设直线过定点(x 0，y 0)， 则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k∈R 恒成立， 即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立． 所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0.解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2，1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1， 要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k≥0，1＋2k≥0，解得k 的取值范围是k≥0. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，则A(－1＋2kk ，0)，B(0，1＋2k)．又－1＋2kk<0，且1＋2k>0， ∴k>0.故S ＝12|OA||OB|＝12×1＋2k k×(1＋2k)＝12(4k＋1k＋4)≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k＝1k，即k＝12时，等号成立．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.第2课时两直线的位置关系1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为( )A．－12 B．－2C．0 D．10答案 A解析由2m－20＝0，得m＝10.由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.∴p＝－2.又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.3．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是( )A．m＝1或m＝－2 B．m＝1C．m＝－2 D．m的值不存在答案 A解析 方法一：据已知若m ＝0，易知两直线不平行，若m≠0，则有1m ＝1＋m2≠m －26⇒m ＝1或m ＝－2.方法二：由1×2＝(1＋m)m ，得m ＝－2或m ＝1.当m ＝－2时，l 1：x －y －4＝0，l 2：－2x ＋2y ＋6＝0，平行． 当m ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y ＋6＝0，平行．4． 直线kx －y ＋2＝4k ，当k 变化时，所有直线都通过定点( ) A ．(0，0) B ．(2，1) C ．(4，2) D ．(2，4)答案 C解析 直线方程可化为k(x －4)－(y －2)＝0，所以直线恒过定点(4，2)． 5． 分别过点A(1，3)和点B(2，4)的直线l 1和l 2互相平行且有最大距离，则l 1的方程是( )A ．x －y －4＝0B ．x ＋y －4＝0C ．x ＝1D ．y ＝3 答案 B解析 连接AB ，当l 1与l 2分别与AB 垂直时，l 1与l 2之间有最大距离且d ＝|AB|，此时k AB ＝1，∴kl 1＝－1，则y －3＝－(x －1)，即x ＋y －4＝0.6．光线沿直线y ＝2x ＋1射到直线y ＝x 上，被y ＝x 反射后的光线所在的直线方程为( )A ．y ＝12x －1B ．y ＝12x －12C ．y ＝12x ＋12D ．y ＝12x ＋1答案 B解析 由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1，y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，即直线过(－1，－1)．又直线y ＝2x ＋1上一点(0，1)关于直线y ＝x 对称的点(1，0)在所求直线上， ∴所求直线方程为y －0－1－0＝x －1－1－1，即y ＝x 2－12.7．点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是( ) A ．2 B ．2－ 2 C ．2＋ 2 D ．4答案 C解析 由点到直线的距离公式，得d ＝|cosθ＋sinθ－2|cos 2θ＋sin 2θ＝2－2sin (θ＋π4)，又θ∈R ， ∴d max ＝2＋ 2.8．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 令y′＝4x 3＝4，得x ＝1，∴切点为(1，1)，l 的斜率为4.故l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.9． 若动点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0，l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2 答案 A解析 由题意知，点M 所在直线与l 1，l 2平行且与两直线距离相等．设该直线的方程为x ＋y ＋c ＝0，则|c ＋7|2＝|c ＋5|2，解得c ＝－6.点M 在直线x ＋y －6＝0上．点M 到原点的最小值就是原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即d ＝|－6|2＝3 2.故选A.10． 复数z 满足zi ＝3＋4i ，若复数z －在复平面内对应的点为M ，则点M 到直线3x －y ＋1＝0的距离为( )A.4105B.7105C.8105D.10答案 D解析 由zi ＝3＋4i ，得z ＝3＋4i i ＝3i －4－1＝4－3i ，∴z －＝4＋3i ，∴z －在复平面内对应的点M(4，3)，∴所求距离d ＝|3×4－3＋1|10＝10.11． 三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k≠±5，k ≠1答案 C解析 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，若(1，1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.12． 已知倾斜角为α的直线l 与直线m ：x －2y ＋3＝0垂直，则cos2α＝________．答案 －35解析 直线m ：x －2y ＋3＝0的斜率是12，∵l ⊥m ，∴直线l 的斜率是－2，故tanα＝－2，∴π2<α<2π3，sin α＝255，cos α＝－55，∴cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－55)2－1＝－35.13．若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图像关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝________．答案 2解析 直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x＝ay＋8与y＝－12x＋b为同一直线，故得⎩⎨⎧a＝－2，b＝4.所以a＋b＝2.14．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．答案 3解析∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15.而a2＋b2的几何意义是原点到M点的距离|OM|，所以(a2＋b2)min ＝1532＋42＝3.15．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．答案2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0解析设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得|－2k－2＋4－3k|1＋k2＝|4k＋2＋4－3k|1＋k2.∴k＝2或k＝－2 3 .∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.16.如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．答案210解析由题意，求出P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点分别为P1(4，2)，P 2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P1P2|＝210.17．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标．答案A(－1，0)，C(5，－6)解析如图，设C(x0，y)，由题意知l1∩l2＝A，则⎩⎨⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0. 即A(－1，0)．又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1. ∴k BC ＝－1kl 1＝－112＝－2. ∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B′在直线AC 上，易得B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方程为x ＋y ＋1＝0.由C(x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，可得⎩⎨⎧x 0＋y 0＋1＝0，2x 0＋y 0－4＝0⇒⎩⎨⎧x 0＝5，y 0＝－6.即C(5，－6)．18．设一直线l 经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0和l 2：x ＋2y －3＝0所截得线段的中点在直线x －y －1＝0上，求直线l 的方程．答案 2x ＋7y －5＝0解析 方法一：设直线x －y －1＝0与l 1，l 2的交点为C(x C ，y C )，D(x D ，y D )，则⎩⎨⎧x ＋2y －1＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎨⎧x C ＝1，y C ＝0，∴C(1，0)． ⎩⎨⎧x ＋2y －3＝0，x －y －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝53，y D＝23，∴D(53，23)．则C ，D 的中点M 为(43，13)．又l 过点(－1，1)，由两点式得l 的方程为 y －131－13＝x －43－1－43， 即2x ＋7y －5＝0为所求方程．方法二：∵与l 1，l 2平行且与它们的距离相等的直线方程为x ＋2y ＋－1－32＝0，即x ＋2y －2＝0.由⎩⎨⎧x ＋2y －2＝0，x －y －1＝0，得M(43，13)．(以下同方法一)方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x ＋2y －2＝0， 设所求方程为(x －y －1)＋λ(x＋2y －2)＝0，∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x ＋7y －5＝0.方法四：设所求直线与两平行线l 1，l 2的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 ⎩⎨⎧x 1＋2y 1－1＝0，x 2＋2y 2－3＝0⇒(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)－4＝0. 又A ，B 的中点在直线x －y －1＝0上， ∴x 1＋x 22－y 1＋y 22－1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝43，y 1＋y 22＝13.(以下同方法一)第3课时 圆的方程及直线与圆的位置关系1．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A ．(－1，1)B ．(1，－1)C ．(－1，0)D ．(0，－1)答案 D解析r＝12k2＋4－4k2＝124－3k2，当k＝0时，r最大．2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为( )A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 D．(x－1)2＋(y－2)2＝4答案 A解析由题意得，圆C的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，∴圆C 的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，故选A.3．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y 轴相切于原点”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a，0))，且半径r＝|a|.∴当E＝F＝0且D<0时，圆心为(－D2，0)，半径为|D2|，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.4．直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．无法确定答案 A解析方法一：圆x2＋y2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，直线mx－y＋2＝0恒过点A(0，2)，而02＋22＝4<9，所以点A在圆的内部，所以直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝9相交．故选A.方法二：求圆心到直线的距离，从而判定．5．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34答案 D解析由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)即kx－y－2k－3＝0，又因为反射光线与圆相切，所以|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1⇒12k2＋25k＋12＝0⇒k＝－43，或k＝－34，故选D项．6．已知圆C关于x轴对称，经过点(0，1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A．x2＋(y±33)2＝43B．x2＋(y±33)2＝13C．(x±33)2＋y2＝43D．(x±33)2＋y2＝13答案 C解析方法一：(排除法)由圆心在x轴上，则排除A，B，再由圆过(0，1)点，故圆的半径大于1，排除D，选C.方法二：(待定系数法)设圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，圆C与y轴交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA＝12∠ACB＝12×120°＝60°，则tan60°＝|OA||OC|＝1|OC|，所以a＝|OC|＝33，即圆心坐标为(±33，0)，r2＝|AC|2＝12＋(33)2＝43.所以圆的方程为(x±33)2＋y2＝43，选C.7．过点P(－1，0)作圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的两条切线，设两切点分别为A ，B ，则过点A ，B ，C 的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －1)2＝2B ．x 2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝1答案 A解析 P ，A ，B ，C 四点共圆，圆心为PC 的中点(0，1)，半径为12|PC|＝12（1＋1）2＋22＝2，则过点A ，B ，C 的圆的方程是x 2＋(y －1)2＝2. 8．直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能 答案 B解析 圆心到直线的距离d ＝|sinθ－2－sinθ|sin 2θ＋cos 2θ＝2.所以直线与圆相切．9． 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0 答案 A解析 如图，圆心坐标为C(1，0)，易知A(1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2. 故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，故选A.另解：易知P ，A ，C ，B 四点共圆，其方程为(x －1)(x －3)＋(y －0)(y －1)＝0，即x 2＋y 2－4x －y ＋3＝0.又已知圆为x 2＋y 2－2x ＝0，∴切点弦方程为2x ＋y －3＝0，选A.10． 已知圆x 2＋(y －1)2＝2上任一点P(x ，y)，其坐标均使得不等式x ＋y ＋m≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]答案 A解析 如图，圆应在直线x ＋y ＋m ＝0的右上方，圆心C(0，1)到l 的距离为|1＋m|2，切线l 1应满足|1＋m|2＝2，∴|1＋m|＝2，m ＝1或m ＝－3(舍去)．从而－m≤－1，∴m ≥1.11． 直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析 联立⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －3）2＝4，x －y ＋2＝0，消去y ，得x 2－4x ＋3＝0.解得x 1＝1，x 2＝3. ∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴CA →＝(－2，0)，CB →＝(0，2)． ∴CA →·CB →＝－2×0＋0×2＝0.12．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．3答案 C解析设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，则|PQ|即为切线长，MQ为圆M的半径，长度为1，|PQ|＝|PM|2－|MQ|2＝|PM|2－1，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝|3－0＋1|12＋（－1）2＝22，∴|PM|最小值为22，|PQ|＝|PM|2－1＝（22）2－1＝7，选C.13．以直线3x－4y＋12＝0夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程为________．答案(x＋2)2＋(y－32)2＝254解析对于直线3x－4y＋12＝0，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝－4.即以两点(0，3)，(－4，0)为端点的线段为直径，则r＝32＋422＝52，圆心为(－4 2，32)，即(－2，32)．∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－32)2＝254.14．从原点O向圆C：x2＋y2－6x＋274＝0作两条切线，切点分别为P，Q，则圆C上两切点P，Q间的劣弧长为________．答案π解析如图，圆C：(x－3)2＋y2＝9 4，所以圆心C(3，0)，半径r＝3 2 .在Rt△POC中，∠POC＝π6.则劣弧PQ所对圆心角为2π3.弧长为23π×32＝π.15．若直线l：4x－3y－12＝0与x，y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝1解析由题意知，A(3，0)，B(0，－4)，则|AB|＝5.∴△AOB的内切圆半径r＝3＋4－52＝1，内切圆的圆心坐标为(1，－1)．∴内切圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.16．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一：∵所求圆的圆心在直线x－3y＝0上，且与y轴相切，∴设所求圆的圆心为C(3a，a)，半径为r＝3|a|.又圆在直线y＝x上截得的弦长为27，圆心C(3a，a)到直线y＝x的距离为d＝|3a－a| 12＋12.∴有d2＋(7)2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法二：设所求的圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为|a－b|2.∴r2＝(|a－b|2)2＋(7)2.即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求的圆与y 轴相切，∴r 2＝a 2.② 又因为所求圆心在直线x －3y ＝0上， ∴a －3b ＝0.③ 联立①②③，解得a ＝3，b ＝1，r 2＝9或a ＝－3，b ＝－1，r 2＝9. 故所求的圆的方程是(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 方法三：设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F.令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0.由圆与y 轴相切，得Δ＝0，即E 2＝4F.④ 又圆心(－D 2，－E2)到直线x －y ＝0的距离为|－D 2＋E 2|2，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎫|－D 2＋E 2|22＋(7)2＝r 2，即(D －E)2＋56＝2(D 2＋E 2－4F)．⑤ 又圆心(－D 2，－E2)在直线x －3y ＝0上，∴D －3E ＝0.⑥ 联立④⑤⑥，解得D ＝－6，E ＝－2，F ＝1或D ＝6，E ＝2，F ＝1. 故所求圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0 或x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋1＝0.17． 已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称．(1)求实数m 的值；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，OA →·OB →＝－3(O 为坐标原点)，求圆C 的方程．答案 (1)m ＝1 (2)x 2＋y 2＋2x －3＝0解析 (1)圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝1－a ，圆心C(－1，0)． ∵圆C 上存在两点关于直线l ：mx ＋y ＋1＝0对称， ∴直线l ：mx ＋y ＋1＝0过圆心C. ∴－m ＋1＝0，解得m ＝1.(2)联立⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x ＋a ＝0，x ＋y ＋1＝0，消去y ，得2x 2＋4x ＋a ＋1＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， Δ＝16－8(a ＋1)>0，∴a<1. 由x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝a ＋12，得 y 1y 2＝(－x 1－1)(－x 2－1)＝a ＋12－1. ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝a ＋1－1＝a ＝－3. ∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0.第4课时 圆与圆的位置关系及圆的综合问题1．两圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的位置关系是( )A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离答案 A解析 由于圆C 1的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，故圆心为C 1(－1，3)，半径为6；圆C 2的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心为C 2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C 1C 2|＝（－1－2）2＋（3＋1）2＝5＝6－1，显然两圆内切．2． 直线x －3y ＝0截圆(x －2)2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 D解析画出图形，如图，圆心(2，0)到直线的距离为d＝|2|12＋（3）2＝1，∴sin∠AOC＝d|OC|＝12，∴∠AOC＝π6，∴∠CAO＝π6，∴∠ACO＝π－π6－π6＝2π3.3．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．4 2C．6 D．210答案 C解析由题意得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆C的圆心为(2，1)，半径为2.因为直线l为圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，则2＋a －1＝0，解得a＝－1，连接AC，BC，所以|AB|2＝|AC|2－|BC|2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝36，所以|AB|＝6，故选C.4．直线y＝－33x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是( )A．(3，2) B．(3，3)C．(33，233) D．(1，233)答案 D解析当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m|1＋（33）2＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，需要1<m<233.5．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠APB ＝90°，则实数c 的值是( )A ．－3B ．3C ．2 2D ．8答案 A解析 由题知圆心为(2，－1)，半径为r ＝5－c.令x ＝0得y 1＋y 2＝－2，y 1y 2＝c ，∴|AB|＝|y 1－y 2|＝21－c.又|AB|＝2r ，∴4(1－c)＝2(5－c)．∴c＝－3.6．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 C解析 把x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心为(－1，－2)，半径r ＝22，圆心到直线的距离为2，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于 2.7． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A(－1，0)，B(1，2)．在圆C 上存在点P ，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 设P(x ，y)，则(x －2)2＋y 2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4，因为|2－2|<（2－0）2＋（0－1）2<2＋2，所以圆(x －2)＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P的个数为2.选B.8．已知点P在圆x2＋y2＝5上，点Q(0，－1)，则线段PQ的中点的轨迹方程是( )A．x2＋y2－x＝0 B．x2＋y2＋y－1＝0C．x2＋y2－y－2＝0 D．x2＋y2－x＋y＝0答案 B解析设P(x0，y)，PQ中点的坐标为(x，y)，则x＝2x，y＝2y＋1，代入圆的方程即得所求的方程是4x2＋(2y＋1)2＝5，化简，得x2＋y2＋y－1＝0.9．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD，则四边形ABCD的面积为( )A．5 2 B．10 2C．15 2 D．20 2答案 B解析圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝10，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝210，|BD|＝210－5＝25，所以四边形ABCD的面积为S＝12|AC|·|BD|＝12×210×25＝10 2.10．已知两点A(0，－3)，B(4，0)，若点P是圆x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP面积的最小值为( )A．6 B.11 2C．8 D.21 2答案 B解析如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小．直线AB的方程为x4＋y－3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离为d ＝|3×0－4×1－12|32＋（－4）2＝165，∴△ABP 的面积的最小值为12×5×(165－1)＝112.11． 若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 D解析 依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P(0，1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C(1，0)，半径为r ＝2.则易知定点P(0，1)在圆内．由圆的性质可知当PC⊥l 时，此时直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.12．若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.233答案 A解析 依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为bx －ay＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b|b 2＋a 2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2，选择A.13．已知直线3x －y ＋2＝0及直线3x －y －10＝0截圆C 所得的弦长均为8，则圆C 的面积是________．答案 25π解析 因为已知的两条直线平行且截圆C 所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d 为两直线距离的一半，即d ＝12×|2＋10|3＋1＝3.又因为直线截圆C 所得的弦长为8，所以圆的半径r ＝32＋42＝5，所以圆C 的面积是25π.14． 设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l.已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________．答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(－1，a)(a>0)，则A(0，a)，又F(1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a)，由题意得AC →与AF →的夹角为120°，得cos120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝3，所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.15．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3≥0，x ＋3y ＋3≥0，x ≤3，表示的平面区域内作圆M ，则最大圆M 的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝4解析 不等式组构成的区域是三角形及其内部，要作最大圆其实就是三角形的内切圆，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，x ＋3y ＋3＝0，得交点(－3，0)， 由⎩⎨⎧x －3y ＋3＝0，x ＝3，得交点(3，23)，由⎩⎨⎧x ＋3y ＋3＝0，x ＝3，得交点(3，－23)，可知三角形是等边三角形，所以圆心坐标为(1，0)，半径为(1，0)到直线x ＝3的距离，即半径为2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 答案 (1)y 2－x 2＝1(2)x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3 解析 (1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r. 由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. 从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P(x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 02－x 02＝1.由⎩⎨⎧x 0－y 0＝1，y 02－x 02＝1，得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧x 0－y 0＝－1，y 02－x 02＝1，得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.17． 已知圆C 经过(2，4)，(1，3)，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A(0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点．(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； ②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．答案 (1)(x －2)2＋(y －3)2＝1 (2)①AM →·AN →为定值，且定值为7 ②y＝x＋1解析 (1)设圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，则依题意，得⎩⎨⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1. (2)①AM →·AN →为定值．过点A(0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT|2＝7， ∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos0°＝|AT|2＝7，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k)x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1，又当k ＝1时Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y＝x ＋1.第5课时 椭圆（一）1． 已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m>0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．9答案 B解析 由4＝25－m 2(m>0)⇒m ＝3，故选B.2．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．4答案 A解析 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m，b ＝1. ∴1m ＝2，∴m ＝14. 3． 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 答案 B解析 由题意知2a ＝6，2c ＝13×6，所以a ＝3，c ＝1，则b ＝32－12＝22，所以此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.4． 若椭圆mx 2＋ny 2＝1的离心率为12，则mn ＝( )A.34 B.43 C.32或233D.34或43 答案 D解析将椭圆方程标准化为x21m＋y21n＝1，∵e2＝1－b2a2，∴b2a2＝1－e2＝34，①若a2＝1m，b2＝1n，则mn＝34；②若a2＝1n，b2＝1m，则mn＝43，故选D.5．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为( )A.x216＋y212＝1 B.x216＋y28＝1C.x28＋y24＝1 D.x28＋y22＝1答案 B解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵e＝22，∴ca＝22.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.6．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆y24＋x23＝1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A．5 B．4C．3 D．2答案 A解析∵椭圆的方程为y24＋x23＝1，∴a2＝4，b2＝3，c2＝1，∴B(0，－1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|＋|PC|＝4，∴|PB|＝4－|PC|，∴|PA|＋|PB|＝4＋|PA|－|PC|≤4＋|AC|＝5.7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15答案 B解析由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b.又c2＝a2－b2，消去b整理，得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝3 5或e＝－1(舍去)．8．如图，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C的方程为( )A.x225＋y25＝1 B.x236＋y216＝1C.x236＋y210＝1 D.x245＋y225＝1答案 B解析设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示．由F(－25，0)，得c＝2 5.由|OP|＝|OF|＝|OF1|，知PF1⊥PF.在Rt△PFF1中，由勾股定理，得|PF1|＝|F1F|2－|PF|2＝（45）2－42＝8.由椭圆定义，得|PF1|＋|PF|＝2a＝4＋8＝12，从而a＝6，得a2＝36，于是b2＝a2－c2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C的方程为x236＋y216＝1.9．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22B．2－ 3C.5－2D.6－ 3 答案 D解析设|F1F2|＝2c，|AF1|＝m，若△ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF1|＝m，|BF1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，即有4a＝2m＋2m，即m＝(4－22)a，则|AF2|＝2a－m＝(22－2)a，在Rt△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2，即4c2＝4(2－2)2a2＋4(2－1)2a2，即有c2＝(9－62)a2，即c＝(6－3)a，即e＝ca＝6－3，故选D.10．椭圆x25＋y24＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点M，N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析 设右焦点为F′，由椭圆的定义得，△FMN 的周长C ＝|MN|＋|MF|＋|NF|＝|MN|＋(2a －|F′M|)＋(2a －|F′N|)＝4a ＋|MN|－|F′M|－|F′N|≤4a，当MN 过点F′时取等号，即当直线x ＝m 过右焦点F′时，△FMN 的周长最大． 由椭圆的定义可得c ＝5－4＝1.把x ＝1代入椭圆标准方程可得15＋y 24＝1，解得y ＝±455.所以△FMN 的面积S ＝12×2×2×455＝855.故选C.11． 焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b3，则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23答案 C解析 由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得12×2c ·b ＝12(2a ＋2c)·b 3，得a ＝2c ，即e ＝c a ＝12，故选C.12． 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的一个焦点为F 1，若椭圆上存在一点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )A.22B.23C.59D.53 答案 D解析设线段PF1的中点为M，另一个焦点为F2，由题意知，|OM|＝b，又OM是△F2PF1的中位线，∴|OM|＝12|PF2|＝b，|PF2|＝2b，由椭圆的定义知|PF1|＝2a－|PF2|＝2a－2b.又|MF1|＝12|PF1|＝12(2a－2b)＝a－b，又|OF1|＝c，在直角三角形OMF1中，由勾股定理得(a－b)2＋b2＝c2，又a2－b2＝c2，可得2a＝3b，故有4a2＝9b2＝9(a2－c2)，由此可求得离心率e＝ca＝53，故选D.13．设F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于点M，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率为( )A.3－1 B．2－ 3C.22D.32答案 A解析由题意知∠F1MF2＝π2，|MF2|＝c，|F1M|＝2a－c，则c2＋(2a－c)2＝4c2，e2＋2e－2＝0，解得e＝3－1.14．若点O和点F分别为椭圆x22＋y2＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2＋|PF|2的最小值为________．答案 2解析由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，设P(2cosα，sinα)，则|OP|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(2cosα－1)2＋sin2α＝2cos2α－22cosα＋3＝2(cosα－22)2＋2，所以当cosα＝22时，|OP|2＋|PF|2取得最小值2. 15． 椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．答案 (－3，0)或(3，0)解析 记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.所以点P 的坐标为(－3，0)或(3，0)．16 一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．答案 4 3解析 ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.17.如图所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y 22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c.所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)， 由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2. 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1.即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3. 所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.18． 设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b. 答案 (1)12(2)a ＝7，b ＝27解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac.将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点．故b 2a＝4，即b 2＝4a.①由|MN|＝5|F 1N|，得|DF 1|＝2|F 1N|. 设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎨⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28. 故a ＝7，b ＝27.第6课时 椭圆（二）1．已知对任意k∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(0，5)C ．[1，5)∪(5，＋∞)D ．[1，5)思路 该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线位置关系的讨论方法，由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别式Δ≥0求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过的定点，由直线和椭圆恒有公共点可得，定点在椭圆上或在椭圆内，这样便可得到关于参数m 的不等式，解之即可．答案 C解析 方法一：由椭圆的方程，可知m>0，且m≠5. 将直线与椭圆的方程联立方程组，得⎩⎨⎧y －kx －1＝0，①x 25＋y 2m＝1，②由①，得y ＝kx ＋1. 代入②，得x 25＋（kx ＋1）2m＝1.整理，得(5k 2＋m)x 2＋10kx ＋5(1－m)＝0.。
2019版高考数学一轮总复习第九章解析几何1直线方程课件
★状元笔记★ 求直线倾斜角范围的步骤 (1)求出斜率 k 的取值范围(若斜率不存在，倾斜角为 90°)； (2)利用正切函数的单调性， 借助图像或单位圆确定倾斜角的 取值范围．
思考题 1 (1)将本例(1)中的 sinα 换成 sin2α ，则直线倾 斜角的范围变为________．
【答案】 {θ|θ＝0°或 135°≤θ <180°}
3 (2)已知两点 A(－1，2)，B(m，3)，且实数 m∈[－ 3 －1， 3 －1]，求直线 AB 的倾斜角 α 的范围． π 【解析】 ①当 m＝－1 时，α＝ 2 ； ②当 m≠－1 时， 1 3 ∵k＝ ∈(－∞，－ 3]∪[ ，＋∞)， 3 m＋1 π π π 2π ∴α∈[ 6 ， 2 )∪( 2 ， 3 ]． π 2π 综合①②知直线 AB 的倾斜角 α 的范围是[ ， ]． 6 3 π 2π 【答案】 [ 6 ， 3 ]
2 2
不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 所有直线都适用
一般式
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)． (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率． (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大． (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等． (4)经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示． x y (5)不经过原点的直线都可以用a ＋b＝1 表示． (6)经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可 以用方程(y－ y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－ y1)表示．
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直线的方向向量 若 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线 l 上两点，则 l 的方向向量的 坐标为(x2－x1， y2－ y1)； 若 l 的斜率为 k， 则方向向量的坐标为(1， k)．
江苏专版高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程教案理含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程教案理含解析苏教版第一节 直线与方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝tan_α. (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含直线x ＝x 0 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2) 和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用[小题体验]1．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案：12．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 答案：23．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝04．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________. 解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a.依题意2＋a ＝1＋2a，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．若直线l 经过点A (1,2)，且倾斜角是直线y ＝x ＋3的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为____________．解析：因为直线y ＝x ＋3的倾斜角为α＝45°，所以所求直线l 的倾斜角为2α＝90°，所以直线l 的方程为x ＝1.答案：x ＝12．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0.答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·启东中学检测)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.答案：x ＋y ＋1＝02．(2018·绥化一模)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：44．已知线段P Q 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q(2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段P Q 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k Q A ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m. 结合图象知，若直线l 与P Q 有交点， 应满足－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0＜m ≤12或－23≤m ＜0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段P Q 有交点．所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，121．倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点二 直线的方程重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程． 解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]1．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为xa ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程为x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝02．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．解析：设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0. 答案：5x －2y －5＝0 考点三 直线方程的综合应用 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程的问题．角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2019·如皋检测)过点P (2,1)的直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点． (1)当OA ·OB 最小时，求直线l 的方程； (2)当2OA ＋OB 最小时，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )两点． (1)OA ·OB ＝⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ·(1－2k )＝4＋(－4k )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥4＋2－4k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝8，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时取得最小值8.故当OA ·OB 最小时，所求直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)2OA ＋OB ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ＋(1－2k )＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋(－2k )≥5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ·－2k ＝9，当且仅当－2k＝－2k ，即k ＝－1时取得最小值9.故当2OA ＋OB 最小时，所求直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程的问题3．(2018·徐州调研)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4,0)，若直线y ＝kx ＋1上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，求实数k 的取值范围．解：设P (2cos θ，2sin θ)，则AP 的中点坐标为Q(cos θ＋2，sin θ)， 因为点Q 在直线y ＝kx ＋1上，所以sin θ＝k (cos θ＋2)＋1，即k ＝sin θ－1cos θ＋2，即k 表示单位圆上的点(cos θ，sin θ)与点(－2,1)连线的斜率． 设过点(－2,1)的直线方程为y －1＝k (x ＋2)，若要满足题意，则圆心到直线kx －y ＋2k ＋1＝0的距离d ＝|2k ＋1|k 2＋1≤1，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，0. [通法在握]处理直线方程综合应用的思路(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由已知画出简图，如图所示． 因为l 1：ax －2y ＝2a －4， 所以当x ＝0时，y ＝2－a ， 即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )． 因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4， 所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2， 即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．易知l 1与l 2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B (2,2)．则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154≥154.所以S min ＝154，此时a ＝12.答案：122．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段P Q 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＜x 0＋2，求y 0x 0的取值范围．解：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0＜x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM ＞0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM ＜－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通模拟)将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y ＝2x 的倾斜角是α，则tan α＝2，将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则倾斜角变为α＋π4，∴所得直线的斜率k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3. 答案：－32．(2018·南通中学月考)过点P (－2,4)且斜率k ＝3的直线l 的方程为________． 解析：由题意得，直线l 的方程为y －4＝3[x －(－2)]，即3x －y ＋10＝0. 答案：3x －y ＋10＝03．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限， 所以k ＋6＞0且k ＋2＜0，所以－6＜k ＜－2. 答案：(－6，－2)4．(2018·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π5．(2019·无锡模拟)已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若这条直线不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：若a －2＝0，即a ＝2时，直线方程可化为x ＝15，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a －2≠0，直线方程可化为y ＝3a －1a －2x －1a －2，此时若直线不经过第二象限，则3a －1a －2≥0，1a －2≥0，解得a ＞2. 综上，满足条件的实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)6．(2018·南京调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，故其倾斜角为3π4.答案：3π4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·泰州模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________． 解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝ －3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.答案：3x ＋y ＋3＝02．(2018·泗阳中学检测)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P (x,1)，Q(7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，所以x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q(7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：－133．(2019·苏州调研)已知θ∈R ，则直线x sin θ－3y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：设直线的倾斜角为 α，则tan α＝33sin θ， ∵－1≤sin θ≤1，∴－33≤tan α≤33， 又α∈[0，π)，∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π4．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－－1＝1，所以实数k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.答案：86．(2019·南京模拟)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为x a ＋y a＝1，把P (2,3)代入，得2a ＋3a＝1，a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0.若直线的截距为0，可设为y ＝kx ，把P (2,3)代入，得3＝2k ，k ＝32，直线方程为3x －2y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 答案：x ＋y －5＝0或3x －2y ＝07．已知直线l ：y ＝kx ＋1与两点A (－1,5)，B (4，－2)，若直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l ：y ＝kx ＋1的方程恒过点P (0,1)， 如图，∵k PA ＝－4，k PB ＝－34，∴实数k 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞8．若直线l ：x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________．解析：由直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2a b≥2b a ·2ab＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2.答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值； (3)若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； (4)若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3； 令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)由(1)易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在．(3)依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由(1)知所求m ＝－53.(4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1.由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB (O 为坐标原点)面积最小时，直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的斜率为k ，且k ＜0，所以直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.令x ＝0，得y ＝3－2k ，所以B (0，3－2k )；令y ＝0，得x ＝2－3k，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫2－3k，0.则△AOB 的面积为S ＝12(3－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋6－9k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k·－4k ＝12，当且仅当－9k ＝－4k ，即k ＝－32时等号成立，所以直线l 的方程为3x ＋2y －12＝0.答案：3x ＋2y －12＝02．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x＋12＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x ＞0，所以e x＋1e x ≥2e x·1ex ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1e x ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：123．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k＜0且1＋2k ＞0，所以k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何9.1直线及其方程教学案 理
第九章 解析几何9．1 直线及其方程考纲要求1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握确定直线位置的几何要素．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角：①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴____与直线l ____方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为______．②倾斜角的取值范围为________．(2)直线的斜率：①定义：一条直线的倾斜角α的______叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝______，倾斜角是______的直线的斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________.2．直线的方程(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则直线方程为____________，它不包括__________的直线．(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距b 和斜率k ，则直线方程为__________，它不包括垂直于x 轴的直线．(3)两点式：已知直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)，则直线方程为______________，它不包括垂直于坐标轴的直线．(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距分别为a ，b (其中a ≠0，b ≠0)，则直线方程为____________，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．(5)一般式：任何直线的方程均可写成______________的形式．1．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角α为( )．A.π6B.π3C.23πD.56π 2．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为( )． A.3x －3y ＋6＋3＝0 B.3x －3y －6＋3＝0C.3x ＋3y ＋6＋3＝0D.3x ＋3y －6＋3＝03．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )．A ．－6B ．－7C ．－8D ．－94．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )．A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或15．若过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角α为钝角，则实数a 的取值范围是__________．一、直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π (2)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为__________．方法提炼直线倾斜角的范围是[0，π)，但这个区间不是正切函数的单调区间．因此在考虑倾斜角与斜率的关系时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．请做演练巩固提升1二、直线方程的求法【例2】 已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程．方法提炼求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程．请做演练巩固提升2,3三、直线方程的应用【例3－1】 已知点A (2,5)与点B (4，－7)，试在y 轴上求一点P ，使得|PA |＋|PB |的值为最小．【例3－2】 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．方法提炼在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决．请做演练巩固提升5易忽视过原点的直线而致误【典例】 过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为__________．解析：(1)当过原点时，直线方程为y ＝－43x ， (2)当不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a＝1，即x －y ＝a . 代入点(3，－4)，∴a ＝7，即直线方程为x －y －7＝0.答案：y ＝－43x 或x －y －7＝0 答题指导：解决与直线方程有关的问题时，要注意以下几点：(1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；(2)掌握确定直线的两个条件；(3)注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；(4)注意逆向思维、发散思维的训练．1．直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )．A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 2．光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( )．A ．y ＝3x －3B ．y ＝－3x ＋3C ．y ＝－3x －3D ．y ＝3x ＋33．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在的直线方程为( )．A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝04．点P在直线x＋y－4＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为__________．5．若直线l过点P(－2,3)，与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)①正半轴 向上 0° ②[0°，180°)(2)①正切值 tan α 90° ②y 2－y 1x 2－x 12．(1)y －y 0＝k (x －x 0) 垂直于x 轴(2)y ＝kx ＋b (3)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(4)x a ＋y b ＝1 (5)Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)基础自测1．A 解析：易知直线的斜截式方程为y ＝33x ＋33a ， ∴k ＝33，tan α＝33. ∴α＝π6. 2．D 解析：由直线的倾斜角α＝150°，得k ＝tan α＝－33， 由点斜式方程得y －2＝－33(x ＋1)，即3x ＋3y －6＋3＝0. 3．B 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.4．D 解析：当直线l 过原点时，则－2－a ＝0，即a ＝－2；当直线l 不过原点时，原方程可化为x a ＋2a＋y a ＋2＝1， 由a ＋2a＝a ＋2，得a ＝1. ∴a 的值为－2或1.5．－2＜a ＜1 解析：tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a )＝a －12＋a. 由a －12＋a＜0得－2＜a ＜1. 考点探究突破【例1】 (1)B (2)k ≤－4或k ≥34解析：(1)将直线方程变形为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1， ∴直线的斜率k ＝－1a 2＋1. ∵a 2＋1≥1，∴0＜1a 2＋1≤1. ∴－1≤k ＜0，即－1≤tan α＜0.∴34π≤α＜π.故选B. (2)如图，由斜率公式，得k AP ＝1－(－3)1－2＝－4， k BP ＝1－(－2)1－(－3)＝34， ∴k ≥34或k ≤－4. 【例2】 解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12. 整理，得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y 138＝1. (2)因为BC 边上的中点坐标为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0. 化为截距式方程为x 117－y 11＝1. 【例3－1】 解：如图所示，先求出A 点关于y 轴的对称点A ′(－2,5)，∴|PA |＋|PB |＝|PB |＋|PA ′|.∴当P 为直线A ′B 与y 轴的交点时，|PA ′|＋|PB |的值最小，即|PA |＋|PB |的值最小．直线A ′B 的方程为y ＋75＋7＝x －4－2－4， 化简为2x ＋y －1＝0.令x ＝0，得y ＝1.故所求P 点坐标为(0,1)．【例3－2】 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b＝1. 由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)． 又S ＝12a ·b ≥12×24＝12， 此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0. ∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0.演练巩固提升1．D 解析：直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1.当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4；当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 2．B 解析：点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 3．B 解析：∵k BC ＝3－11－3＝2－2＝－1， ∴BC 边上的高所在直线过A (－1,1)且k ＝－1k BC＝1. ∴所求直线方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.4．2 2 解析：根据题意知，|OP |的最小值为原点O 到直线x ＋y －4＝0的距离．根据点到直线的距离公式，得42＝2 2. 5．解：由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为y －3＝k (x ＋2)．令x ＝0，得y ＝2k ＋3；令y ＝0，得x ＝－3k－2， 则12·|2k ＋3|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3k －2＝4， ∴(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝±8. 若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝8， 化简得4k 2＋4k ＋9＝0，方程无解；若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2＝－8， 化简得4k 2＋20k ＋9＝0， 解得k ＝－92或－12. ∴直线l 的方程为y －3＝－92(x ＋2)或y －3＝－12(x ＋2)， 即9x ＋2y ＋12＝0或x ＋2y －4＝0.。
高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1讲直线的方程练习理
【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第1讲 直线的方程练习 理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则k 1，k 2，k 3的大小关系为________.解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.答案 k 1<k 3<k 22.直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________.解析 由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α. ∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33. 设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33. 结合正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的图象可知， 0≤θ≤π6或5π6≤θ<π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫56π，π 3.(2016·南通调研)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________.解析 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 答案 －134.(2015·泰州调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是________.解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.故②符合.答案 ②5.(2015·衡水一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为________.解析 ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12， ∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2.答案 3x －y ＋2＝06.(2016·烟台模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3， 则有k 4－k 3＝2，所以k ＝－24. 答案 －247.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知直线l 过点M (1，1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则当OA ＋OB 取得最小值时，直线l 的方程为________. 解析 设A (a ，0)，B (0，b )(a >0，b >0).设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b＝1，所以OA ＋OB ＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a≥2＋2·a b ·b a ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.答案 x ＋y －2＝08.一条直线经过点A (－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________.解析 由题设知，直线在两坐标轴上截距均不为0， 设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1.∵A (－2，2)在此直线上， ∴－2a ＋2b＝1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1.②由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2. 由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解.故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y －2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程.答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0二、解答题9.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R ).(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为0，显然相等，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）＝0，a －2≤0，∴a ≤－1. 综上可知a 的取值范围是(－∞，－1].10.如图，在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7，3)，且AC 边的中点M在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求这个三角形三边所在直线的方程.解 设M (0，a )，N (b ，0)，C (m ，n )，∵A (5，－2)，B (7，3)，又M 是AC 的中点，∴5＋m ＝0，m ＝－5，N 是BC 的中点，∴3＋n ＝0，n ＝－3，∴C 点坐标为(－5，－3)，由直线方程的两点式得AB 边所在直线方程为y －（－2）3－（－2）＝x －57－5，整理得：5x －2y －29＝0； AC 边所在直线方程为y －（－2）－3－（－2）＝x －5－5－5， 整理得：x －10y －25＝0；BC 边所在直线方程为y －3－3－3＝x －7－5－7， 整理得：x －2y －1＝0.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.解析 直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案 312.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________.解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴上的截距为－3，此时k ＝12，由图形可得满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞13.(2016·南京、盐城调研) 如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为________.解析 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan (180°－30°)＝－33，所以直线l OA 与直线l OB 的方程分别为y ＝x ， y ＝－33x .设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3). 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.答案 (3＋3)x －2y －3－3＝014.(1)求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程.(2)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )，若a >－1，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求△OMN 面积取最小值时，直线l 的方程.解 (1)设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋y b ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b＝1， 若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y －1＝0.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y －7＝0.②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0.(2)易求M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2a ＋1，0，N (0，2＋a )， ∵a >－1， 所以S △OMN ＝12·a ＋2a ＋1·(2＋a )＝12·[（a ＋1）＋1]2a ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋1）＋1a ＋1＋2≥2， 当且仅当a ＋1＝1a ＋1，即a ＝0时，等号成立. 故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。
高考数学一轮复习 第九章解析几何9.1直线及其方程练习 理 新人教A版
课时作业43 直线及其方程一、选择题1．直线经过原点和点(－1，－1)，则它的倾斜角α是( )．A ．45°B ．135°C ．45°或135°D ．0°2．已知点P (3，m )在过M (2，－1)和N (－3,4)的直线上，则m 的值是( )．A ．5B ．2C ．－2D ．－63．如果A ·C ＜0，且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )．A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝05．已知直线l 1的方向向量为a ＝(1,3)，直线l 2的方向向量为b ＝(－1，k )．若直线l 2经过点(0,5)且l 1⊥l 2，则直线l 2的方程为( )．A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝06．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( )．A ．0 B.33C. 3 D ．－ 3 7．已知函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)，当x ＜0时，f (x )＞1，方程y ＝ax ＋1a表示的直线是( )．二、填空题8．直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角为__________．9．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，则1a ＋1b＝__________. 10．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线三、解答题11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)求证：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．参考答案一、选择题1．A 解析：直线的斜率k ＝－1－0－1－0＝1， ∴tan α＝1.∴α＝45°.2．C 解析：过点M ，N 的直线方程为y ＋14＋1＝x －2－3－2. 又∵P (3，m )在这条直线上，∴m ＋14＋1＝3－2－3－2，m ＝－2. 3．C 解析：由A ·C ＜0及B ·C ＜0，可知A ≠0，B ≠0，又直线Ax ＋By ＋C ＝0过⎝ ⎛⎭⎪⎫－C A ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－C B ，且－C A ＞0，－C B＞0， ∴直线不过第三象限．4．A 解析：易知A (－1，0)．∵|PA |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上．∴B (5，0)．∵PA ，PB 关于直线x ＝2对称，∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.5．B 解析：由条件知kl 1＝3，kl 2＝－k ，∴3×(－k )＝－1.∴k ＝13，即kl 2＝－13. 又l 2过点(0，5)，∴l 2：y ＝－13x ＋5，即x ＋3y －15＝0. 6．C 解析：由k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan 60°＝ 3.7．C 解析：∵f (x )＝a x 且x ＜0时，f (x )＞1，∴0＜a ＜1，1a＞1. 又∵y ＝ax ＋1a ，令x ＝0得y ＝1a， 令y ＝0得x ＝－1a 2. ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1a 2＞1a， 故C 项图符合要求．二、填空题8．135° 解析：∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1，1)，∴a ＋m －2a ＝0.∴m ＝a . 直线方程为ax ＋ay －2a ＝0，又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0.∴斜率k ＝－1.∴倾斜角α＝135°.9.12 解析：设直线方程为x a ＋y b＝1，因为A (2，2)在直线上，所以2a ＋2b ＝1，即1a ＋1b ＝12. 10．①③⑤ 解析：对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1，0)，故②不正确；对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍， 即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z )就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确． 对于⑤，举例：y ＝2x －2，只过整点(1，0)，故⑤正确．三、解答题11．解：(1)∵l 在两坐标轴上的截距相等，∴直线l 的斜率存在，a ≠－1.令x ＝0，得y ＝a －2.令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1. 由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2或a ＝0. ∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0. ∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]．12．(1)证明：设直线过定点(x 0，y 0)，则kx 0－y 0＋1＋2k ＝0对任意k ∈R 恒成立，即(x 0＋2)k －y 0＋1＝0恒成立．所以x 0＋2＝0，－y 0＋1＝0.解得x 0＝－2，y 0＝1，故直线l 总过定点(－2，1)．(2)解：直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k 的取值范围是k ≥0. (3)解：依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )． 又－1＋2k k ＜0且1＋2k ＞0， ∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB | ＝12×1＋2k k×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.。
2019高考数学一轮复习 第9章 解析几何 第1课时 直线方程练习 理
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴ ＝a－2，即a＋1＝1.
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
由 得C(3，－3)．
由 得B(－2，－1)．
∴BC：2x＋5y＋9＝0.
16．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
答案(1)3x＋y＝0或x＋y＋2＝0 (2)a≤－1
解析(1)当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距为零．
11．过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．
答案4x＋3y＝0或x－y－7＝0
12．已知直线l的斜率为 ，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l的方程为________．
答案x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
解析设所求直线l的方程为 ＋ ＝1.
∵k＝ ，即 ＝－ ，∴a＝－6b.
方法二：设方程为 ＋ ＝1，将P(1，4)代入得 ＋ ＝1，a＋b＝(a＋b)( ＋ )＝5＋( ＋ )≥9，当且仅当b＝2a，即a＝3，b＝6时，截距之和最小，∴直线方程为 ＋ ＝1，即2x＋y－6＝0.
8．过点M(1，－2)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为( )
答案A
解析因为直线l的斜率为直线y＝－3x＋2的斜率的 ，则直线l的斜率为k＝－ ，故y－5＝－ (x＋2)，得3x＋4y－14＝0，故选A.
3．直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为( )
A．2或 B．2或－
C．－2或－ D．－2或
(重点班)高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第1节直线与方程课时训练理
第九篇平面解析几何(必修2、选修21)第1节直线与方程知识点、方法题号直线的倾斜角和斜率1,4,12直线的方程8,10,14直线的位置关系2,3,13直线的交点和距离问题9直线方程的综合应用5,6,7,11,15,16基础对点练(时间:30分钟)1.直线l:xsin 30°+ycos 150°+1=0的斜率是( A )(A)(B)(C)-(D)-解析:设直线l的斜率为k,则k=-=.2.直线x+a2y+6=0和(a-2)x+3ay+2a=0无公共点,则a的值为( C )(A)3或-1 (B)0或3(C)0或-1 (D)-1或0或3解析:两直线无公共点,即两直线平行,所以解得a=0或a=-1.故选C.3.(2015新泰模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若l1⊥l2,则实数a的值是( C )(A)0 (B)2或-1 (C)0或-3 (D)-3解析:因为l1⊥l2,所以a+a(a+2)=0,则a=0或a=-3,故选C.4.(2016枣庄模拟)将直线l沿y轴的负方向平移a(a>0)个单位,再沿x轴正方向平移a+1个单位得直线l′,此时直线l′与l重合,则直线l′的斜率为( B )(A)(B)-(C)(D)-解析:设直线l:y=kx+b,l沿y轴负方向平移a个单位得l1:y=kx+b-a,再沿x轴正方向平移a+1个单位得l′:y=k(x-a-1)+b-a,即y=kx+b-ka-k-a,由l′与l重合得-a-ka-k=0,k=-.5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点( B )(A)(0,4) (B)(0,2) (C)(-2,4) (D)(4,-2)解析:直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).故选B.6.不论m为何值时,直线l:(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点( D )(A) (1,- ) (B)(-2,0) (C)(2,3) (D)(9,-4)解析:直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5,化为(mx+2my-m)+(-x-y+5)=0,即直线l过x+2y-1=0与-x-y+5=0的交点,解方程组得7.(2015合肥一模)已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( B )(A)x-2y+1=0 (B)x-2y-1=0(C)x+y-1=0 (D)x+2y-1=0解析:因为l1与l2关于l对称,所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上.又易知(0,-2)为l1上一点,设它关于l的对称点为(x,y),则解得即(1,0),(-1,-1)为l2上两点,可得l2的方程为x-2y-1=0.8.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( B )(A)x+2y-6=0 (B)2x+y-6=0(C)x-2y+7=0 (D)x-2y-7=0解析:直线过P(1,4),代入后舍去选项A,D;又在两坐标轴上的截距均为正值,舍去选项C.故选B.9.已知平面内两点A(1,2),B(3,1)到直线l的距离分别是,-,则满足条件的直线l的条数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条;又因为|AB|=,所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线,故共3条.故选C.10.(2016哈尔滨模拟)经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l的方程为.解析:设所求直线方程为+=1,由已知得解得或所以2x+y+2=0或x+2y-2=0为所求.答案:2x+y+2=0或x+2y-2=011.已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值.(1)l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1);(2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等.解:(1)因为l1⊥l2,所以a(a-1)-b=0.又因为直线l1过点(-3,-1),所以-3a+b+4=0.故a=2,b=2.(2)因为直线l2的斜率存在,l1∥l2,所以直线l1的斜率存在,k1=k2,即=1-a.又因为坐标原点到这两条直线的距离相等,所以l1、l2在y轴上的截距互为相反数,即=b.故a=2,b=-2或a=,b=2.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016哈尔滨模拟)函数y=asin x-bcos x的一条对称轴为x=,则直线l:ax-by+c=0的倾斜角为( D )(A)45°(B)60° (C)120°(D)135°解析:由函数y=f(x)=asin x-bcos x的一条对称轴为x=知,f(0)=f(),即-b=a,所以直线l的斜率为-1,所以倾斜角为135°.13.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于.解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(x0,y0),则有解得x0=1-n,y0=1+m,又点(x0,y0)在直线x-y+2=0上,所以1-n-1-m+2=0,所以m+n=2,所以+=(+) (m+n)=++≥.答案:14.(2015淮安一调)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.解析:设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.答案:6x-y-6=015.已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点,求:(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程;(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.解:(1)设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0).则直线l的方程为+=1,则+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) (+)=2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.(2)设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A(1-,0),B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=(1-1+)2+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4,则当且仅当k2=,即k=-1时等号成立,则直线l的方程为y=-x+2.16. (2015东营模拟)设直线l的方程为(a+1)x+y-2-a=0(a∈R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若a>-1,直线l与x,y轴分别交于M,N两点,O为坐标原点,求△OMN面积取最小值时,直线l的方程.解:(1)当直线l经过坐标原点时,设直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a+2=0,解得a=-2, 此时直线l的方程为-x+y=0,即x-y=0;当直线l不经过坐标原点,即a≠-2且a≠-1时,由直线在两坐标轴上的截距相等可得=2+a,解得a=0,此时直线l的方程为x+y-2=0.所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.(2)由直线方程可得M(,0),N(0,2+a),因为a>-1,所以S△OMN=××(2+a)=×=[(a+1)++2]≥×[2+2]=2,当且仅当a+1=,即a=0时等号成立,此时直线l的方程为x+y-2=0.精彩5分钟1.(2014高考四川卷)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是.解题关键:两直线过定点,且两直线互相垂直.解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,不难验证PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5.答案:52.(2015黄山一模)已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为.解题关键:利用点到直线的距离,确定x0,y0的关系,求的范围转化为关于x0的函数,求其范围.解析:因为直线x+2y-1=0与直线x+2y+3=0平行,所以=, 可得x0+2y0+1=0,因为y0>x0+2,所以-(1+x0)>x0+2,解得x0<-.设=k,所以k==--,因为x0<-,所以0<-<,所以-<<-.答案:(-,-)。
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第1课时 直线方程1．直线3x ＋3y －1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6答案 C解析 直线3x ＋3y －1＝0的斜率k ＝－3，倾斜角为2π3.2．直线l 过点M(－2，5)，且斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝0答案 A解析 因为直线l 的斜率为直线y ＝－3x ＋2的斜率的14，则直线l 的斜率为k ＝－34，故y －5＝－34(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0，故选A.3．直线(2m 2－m ＋3)x ＋(m 2＋2m)y ＝4m ＋1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值为( ) A ．2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．－2或12答案 A解析 令y ＝0，则(2m 2－m ＋3)x ＝4m ＋1，又2m 2－m ＋3≠0，所以4m ＋12m 2－m ＋3＝1，即2m 2－5m ＋2＝0，解得m ＝2或m ＝12.4．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图像可能是图中的哪一个( )答案 B5．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( ) A ．－1<k<15B ．k>1或k<12C.15<k<1 D ．k>12或k<－1答案 D解析 设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k(x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式可得．也可以利用数形结合．6．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab>0，bc<0 B ．ab>0，bc>0 C ．ab<0，bc>0 D ．ab<0，bc<0答案 A解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，∴直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －cb ，易知－a b <0且－cb>0，故ab>0，bc<0. 7．(2018·安徽毛坦厂中学月考)经过点P(1，4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( ) A ．x ＋2y －6＝0 B ．2x ＋y －6＝0 C ．x －2y ＋7＝0 D ．x －2y －7＝0答案 B解析 方法一：直线过P(1，4)，代入，排除A 、D ，又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.方法二：设方程为x a ＋y b ＝1，将P(1，4)代入得1a ＋4b ＝1，a ＋b ＝(a ＋b)(1a ＋4b )＝5＋(b a ＋4ab )≥9，当且仅当b＝2a ，即a ＝3，b ＝6时，截距之和最小，∴直线方程为x 3＋y6＝1，即2x ＋y －6＝0.8．过点M(1，－2)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，若M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x －y －4＝0 C ．x ＋2y ＋3＝0 D ．x －2y －5＝0答案 B解析 设P(x 0，0)，Q(0，y 0)，∵M(1，－2)为线段PQ 中点， ∴x 0＝2，y 0＝－4，∴直线PQ 的方程为x 2＋y－4＝1.即2x －y －4＝0.9．(2018·湖南师大附中月考)将直线y ＝3x 绕坐标原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得直线的方程为( ) A ．y ＝－13x ＋13B ．y ＝－13x ＋1C ．y ＝3x －3D ．y ＝13x ＋1答案 A解析 直线y ＝3x 绕坐标原点逆时针旋转90°后，其斜率k ＝－13，直线方程为y ＝－13x ，再向右平移1个单位长度可得直线的方程为y ＝－13x ＋13，故选A.10．若直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 C解析 显然直线ax ＋by ＝ab 在x 轴上的截距为b ，在y 轴上的截距为a.∵ax＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1，1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，∴直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C.11．过点M(3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 4x ＋3y ＝0或x －y －7＝012．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为________．答案 x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0 解析 设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵k ＝16，即b a ＝－16，∴a ＝－6b.又三角形面积S ＝3＝12|a|·|b|，∴|ab|＝6.则当b ＝1时，a ＝－6；当b ＝－1时，a ＝6. ∴所求直线方程为x －6＋y 1＝1或x 6＋y－1＝1.即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.13．(2018·安徽合肥模拟)曲线y ＝lnx 在与x 轴交点处的切线方程为________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵曲线y ＝lnx 与x 轴的交点为(1，0)，且函数y ＝lnx 的导函数y ′＝1x ，∴曲线y ＝lnx 在点(1，0)处的切线的斜率k ＝11＝1，过点(1，0)且斜率为1的直线的方程为y －0＝x －1，即x －y －1＝0.14．已知P(－3，2)，Q(3，4)及直线ax ＋y ＋3＝0.若沿PQ →的方向延长线段PQ 与直线有交点(不含Q 点)，则a 的取值范围是________．答案 (－73，－13)解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：k PQ ＝13，k AQ ＝73，k l ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知k PQ <k l <k AQ ，解得－73<a<－13. 15．在△ABC 中，已知A(1，1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程． 答案 2x ＋5y ＋9＝0解析 k AC ＝－2，k AB ＝23.∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0， AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，3x ＋2y －3＝0，得C(3，－3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －2y ＝0，得B(－2，－1)． ∴BC ：2x ＋5y ＋9＝0.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 答案 (1)3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 (2)a≤－1解析 (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧－（a ＋1）≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a≤－1.17．过点P(1，2)作直线l ，与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程．答案 (S △AOB )min ＝4，l ：2x ＋y －4＝0 解析 设直线l 的方程为y －2＝k(x －1)， 令y ＝0，得x ＝k －2k ，令x ＝0，得y ＝2－k.∴A ，B 两点坐标分别为A(k －2k，0)，B(0，2－k)．∵A ，B 是l 与x 轴，y 轴正半轴的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k<0，k －2k >0，2－k>0.∴k<0. S △AOB ＝12·|OA|·|OB|＝12·k －2k ·(2－k)＝12(4－4k －k)．由－4k >0，－k>0，得S △AOB ≥12(4＋2（－4k）（－k ）)＝4.当且仅当k ＝－2时取“＝”．∴S △AOB 最小值为4，方程为2x ＋y －4＝0.1．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是( ) A ．[π6，π3)B ．(π6，π2)C ．(π3，π2)D ．[π6，π2]答案 B解析 ∵直线l 恒过定点(0，－3)， 作出两直线的图像，如图所示，从图中看出，直线l 的倾斜角的取值范围应为(π6，π2)．2．直线x ＋a 2y －a ＝0(a>0)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值为________． 答案 1解析 方程可化为x a ＋y 1a ＝1，因为a>0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅当a ＝1a ，即a ＝1时取等号，故a的值为1.3．一条直线经过点A(－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________． 答案 x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0解析 设直线的斜率为k(k≠0)，则直线方程为y －2＝k(x ＋2)，由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k .由12|2k ＋2||－2k －2k |＝1. 得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.4．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P(1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解析 由题意可得k OA ＝tan45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x. 设A(m ，m)，B(－3n ，n)，所以AB 的中点C(m －3n 2，m ＋n2)，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A(3，3)． 又P(1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.。