高中数学第三章.2两角和与差的正弦余弦正切公式知识巧解学案新人教A版必修
人教A版高中数学选修两角和与差的正弦、余弦、正切公式教案新
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式（2）教学目的：能由两角和与差的的余弦、正弦公式推导出两角和与差的正切公式， 并能进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。
教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构及应用。
教学难点： 公式之间的联系与区别，公式的记忆。
教学过程一、复习提问练习：1．求证：cosx+sinx=2cos(x 4π-)证：左边= 2(22cosx+22sinx)=2( cosxcos 4π+sinxsin 4π)=2cos(x 4π-)=右边又证：右边=2( cosxcos4π+sinxsin 4π)=2(22cosx+22sinx) = cosx+sinx=左边2．已知 ，求cos(α-β)解： ①2: sin 2α+2sin αsin β+sin 2β=259③ ②2: cos 2α+2cos αcos β+cos 2β=2516④ ③+④: 2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1 即：cos(α-β)=21二、新课两角和与差的正切公式 T α+β ,T α-βtan(α+β)公式的推导（让学生回答） ∵cos (α+β)≠0 tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当cos αcos β≠0时sin α+sin β＝53① cos α+cos β=54 ②分子分母同时除以cos αcos β得：以-β代β得：注意：1︒必须在定义域范围内使用上述公式。
即：tan α，tan β，tan(α±β)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。
2︒注意公式的结构，尤其是符号。
例1、求tan15︒，tan75︒的值：解：1︒ tan15︒= tan(45︒-30︒)=32636123333331331-=-=+-=+-2︒ tan75︒= tan(45︒+30︒)= 32636123333331331+=+=-+=-+例2、已知sin α＝－53，α是第四象限的角，求tan （4π－α）解：由sin α＝－53，α是第四象限的角，cos α＝α2sin 1-＝54， tan α＝ααcos sin ＝－43tan （4π－α）＝απαπtan 4tan1tan 4tan+-＝－7例3、求下列各式的值：1︒ οο75tan 175tan 1-+ 2︒tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒解：1︒原式=3120tan )7545tan(75tan 45tan 175tan 45tan -==+=-+οοοοοοο 2︒ ∵οοοοοο28tan 17tan 128tan 17tan )2817tan(-+=+∴tan17︒+tan28︒=tan(17︒+28︒)(1-tan17︒tan28︒)=1- tan17︒tan28︒∴原式=1- tan17︒tan28︒+ tan17︒tan28︒=1 练习：P145 5、6、7 作业：P150 9、10、11、12、13tan(α-β)=βαχαtan tan 1tan tan +-tan(α+β)=βαχαtan tan 1tan tan -+。
高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式导学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数
第三章 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式【学习目标】1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系。
2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。
【学习重点】掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能运用上述公式进行恒等变换。
【基础知识】问题1：由两角差的余弦公式，怎样得到两角和的余弦公式呢？问题2：由两角和与差的余弦公式，怎样得到两角和与差的正弦公式呢？探究1、两角和与差的正弦公式的推导.探究2、两角和与差正弦公式的特征？推导两角和的正切公式？探究3、推导两角差的正切公式呢？探究4、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？注意：（1）,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈（ 2）、将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式。
【例题讲解】例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、sin 72cos 42cos72sin 42-；（2）、cos 20cos70sin 20sin 70-；（3）、1tan151tan15+-．例3x x思考：怎样求ααcos sin b a +类型？ 总结：ααcos sin b a +=22b a + (sin αcos φ+cos αsin φ)= 22b a + sin(α+φ),其中tan φ=ab 。
变式：（1）：;__________cos sin =+αα （2）： .___________cos sin =-αα （3）x x sin cos 3-=____________【达标检测】)( 37sin 83sin 37cos 7sin 1的值为、︒︒-︒︒A.23-B.21-C.21 D.23 )( 75tan 75tan 1 22的值为、︒︒- A.32 B.332 C.32 - D.332- )(,3cos 2cos 3sin 2sin 3的值是则若、x x x x x = A.10π B. 6π C.5π D.4π .________3sin ,2,23,51cos 4=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=πθππθθ则若、 ._________15tan 3115tan 3 5=︒+︒-、 6. 已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．7.已知α为第二象限角，53sin =α，β为第一象限角，135cos =β，求)2tan(βα- 的值。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A必修4 (1)
类型二 逆用公式化简与求值
2 例2 (1)sin(70°－x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)＝ 2 .
解析 ∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°， (25°－x)＋(155°＋x)＝180°， ∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
＝
cos 20°
＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)若 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β便可得到.
公式 简记符号
cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β Cα＋β
使用条件
方法一
原式＝2cosπ3sin
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
2
2
(2) 3 sin x cos x.
解：（1）1 cos x 3 sin x (2) 3 sin x cos x
2
2
sin 30 cos x cos 30 sin x
2( 3 sin x 1 cos x)
2
2
sin(30 x);
2(sin x cos 30 cos x sin 30 )
解：原式 sin(72 18 ) sin 90 1.
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例1 已知 sin 3 , 是第四象限角，求 sin( ),
5
4
cos( )的值.
4
解：由sin=-
3 5
,
是第四象限角，得
cos 1 sin2 1 ( 3)2 4 , 55
于是有sin( ) sin cos cos sin
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探究(tànjiū)二：两角和与差的正弦公式
1.利用哪些公式可以实现正弦(zhèngxián)、余弦的互 化？
提示(tíshìs)i:n cos( ) 2
sin(
)
cos
2
(
)
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2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角和与 差的正弦(zhèngxián)公式？
(2) 2 cos x 6 sin x.
解：（1）原式 （2 2 sin x 2 cos x)
2
2
2sin(x ).
4
(2)原式 2 （2 1 cos x 3 sin x)
2
2
2 2 sin( x).
6
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1.(2015·四川高考)下列函数中,最小正周期为π且图象关
高中数学第三章.2两角和与差的正弦余弦正切公式知识巧解学案新人教A版必修
学习资料专题3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆，以Ox 为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A 、B.显然，=(cos α,sin α),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·=(cos α,sin α)·(cos(-β),sin(-β))=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.于是cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反. 二、两角和与差的正弦 1.公式的推导sin(α-β)=cos［2π-(α-β)］=cos ［(2π-α)+β］=cos(2π-α)cos β-sin(2π-α)sin β=sin αcos β-cos αsin β.在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β. 2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcos α-cos2πsin α=0×cos α-1×sin α=-sin α. 当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角.误区警示 公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sin α±sin β，学习时一定要注意这一点.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin ［(α+β)-β］=sin α，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同. 三、两角和与差的正切 1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式： tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++，当cos αcos β≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cos αcos β， 即得用tan α和tan β表示的公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式：tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-.2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tan α、tan β存在.并且1+tan αtan β的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠k π+2π,β≠k π+2π，α+β≠k π+2π或α-β≠k π+2π，以上k∈Z .当tan α、tan β、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了. 典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差 例1 求sin 75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯； tan15°=tan(60°-45°)=32311345tan 60tan 145tan 60tan -=+-=︒︒+︒-︒，或tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. 例2 求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值.思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=︒︒+︒-︒︒︒+︒+︒8sin )87sin(7cos 8sin )87cos(7sin︒︒︒-︒-︒︒︒︒+︒-︒=︒∙︒-︒︒︒-︒︒∙︒-︒︒︒+︒=8sin 8cos 7sin )8sin 1(7cos 8sin 8cos 7cos )8sin 1(7sin 8sin 7cos 8sin 8cos 7sin 7cos 8sin 7sin 8sin 8cos 7cos 7sin 2222︒︒-︒︒︒︒+︒︒=︒︒︒-︒∙︒︒︒︒+︒∙︒=8sin 7sin 8cos 7cos 8sin 7cos 8cos 7sin 8sin 8cos 7sin 8cos 7cos 8sin 8cos 7cos 8cos 7sin 22 3215tan 15cos 15sin -=︒=︒︒=.巧解提示:原式=︒∙︒-︒-︒︒∙︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(︒∙︒-︒∙︒+︒∙︒︒∙︒+︒∙︒-︒∙︒=8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin︒∙︒︒∙︒=8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) 3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒∙︒+︒-︒=. 方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二 已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值例3 已知sin α=31，求cos(3π+α)的值. 思路分析：因为3π是个特殊角，所以根据C (α+β)的展开式，只需求出cos α的值即可.由于条件只告诉了sin α=31，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cos α的值，再代入展开式确定cos(3π+α)的值.解：∵sin α=31>0，∴α位于第一、二象限.当α是第一象限角时，cos α=322)31(12=-， ∴cos(3π+α)=cos 3πcos α-sin 3πsin α=6322312332221-=⨯-⨯;同理，当α是第二象限角时，cos α=322-， ∴cos(3π+α)=6332+-.方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)、C (α±β)、T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(2π+α)这样的函数求值，由于它们的角与2π的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单. 例4 已知cos(α-2β)=91-，sin(2α-β)=32，并且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求2c o sβα+的值.思路分析：观察给出的角)2()2(2βαβαβα---=+，结合公式C (α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-2β)、cos(2α-β)的值即可. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π.∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π. 又∵cos(α-2β)=91-＜0，∴πβαπ<-<<22.∴954)91(1)2(sin 1)2sin(22=--=--=-βαβα. 同理，∵sin(2α-β)=32>0，∴220πβα<-<.∴35)32(1)2(sin 1)2cos(22=-=--=-βαβα. 故)]2()2cos[(2cosβαβαβα---=+=cos(α-2β)cos(2α-β)+sin(α-2β)sin(2α-β) 2757329543591=⨯+⨯-=.例5 在△ABC 中，sinA=53,cosB=135，求cosC. 思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意. 解： ∵cosB=22135<,∴B∈(4π,2π)且sinB=1312.∵sinA=2253<,∴A∈(0,4π)∪(43π,π). 若A∈(43π,π),B∈(4π,2π)，则A+B∈(π,23π)与A+B+C=π矛盾， ∴A ∉(43π,π).因此A∈(0,4π)且cosA=54.从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=6516131********=⨯+⨯-. 例6 如图3-1-7，已知向量=(3,4)绕原点旋转45°到OP′的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.图3-1-7思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值. 解：设∠xOP=α.因为|OP|=54322=+，所以cos α=53,sin α=54. 因为x′=5cos(α+45°)=5(cos αcos45°-sin αsin45°)22)22542253(5-=⨯-⨯=，同理,可求得y′=5sin(α+45°)=227，所以P′(22-,227). 方法归纳 ①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一；已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来. 知识点三 已知三角函数值求角 例7 已知sin α=55，sin β=1010,且α、β都是锐角，求α+β的值. 思路分析：(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cos α、cos β即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据cos(α+β)的值即可求出α+β的值.解：∵sin α=55,sin β=1010，且α、β都是锐角，∴cos α=552sin 12=-α，cos β= 10103sin 12=-β. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=2210105510103552=⨯-⨯. 又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4π. 方法归纳 给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值. 知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sin β=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tan α.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sin β=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α， sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α， 又3sin β=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α. ∴2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α. ∴tan(α+β)=2tan α.方法归纳 对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系. 知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值 例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33 tan12°·tan18°=33. 解：∵︒∙︒-︒+︒18tan 12tan 118tan 12tan =tan(12°+18°)=tan30°=33，∴tan12°+tan18°=33(1-tan12°·tan18°)， 即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边. ∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33. 方法归纳 三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值. 解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --+=1，所以tan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223. 方法归纳 当α+β=k π+4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2； 当α+β=k π-4π,k∈Z 时，(1+tan α)(1+tan β)=2tan αtan β. 问题•探究 思想方法探究问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β化简为__________.将α-β看作一个角，β看作另一个角,则cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=cos ［(α-β)+β］=cos α. 解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换. 探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tan αtan β=)tan(tan tan βαβα++；tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)；tan αtan βtan(α+β)=tan (α+β)-tan α-tan β等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,π］上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？探究过程:形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.asinx+bcosx=)cos sin (222222x ba b x b a a b a -+++,令cos φ=22ba a +,sin φ=22ba b +，则原式=22b a +(sinxcos φ+cosxsin φ)=22b a +sin(x+φ).(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=a b 确定，常常取φ=arctan ab). 探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如2sinx-3cosx ，就可以利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为a=2,b=-3,A=1322=+b a ，所以2sinx-3cosx=13sin(x+φ)，(其中φ在第四象限，且tan φ=23-)，所以2sinx-3cosx 的最大值是13，最小值是13-.。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式》0
由特殊到一般、由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学会应用数学知识解决问题，培养学生学习数学的兴趣。
教学重点
把形如 的三角函数式化成一个角的一个三角函数式的形式。
教学难点
1、化简形如 的三角函数式；
2、讨论形如 的函数性质（周期、最值、单调性等）。
教学方法
以教师为主导，遵循学生认知规律适当启发；以学生为主体，实施合作探究式学习。
从简单问题入手希望层层递进地引导学生展开探究活动。
展示知识发生、发展的过程，还原数学思维，培养学生解决问题的创造和创新能力，提升主动运用数学的意识，掌握数学思想方法。
通过小组内分工合作完成目标任务，可以提高学生的合作意识、学习数学的自信心、解决问题的效率等。
正确认识和理解数学的本质，形成数学精神和数学素养。
通过作业进一步巩固公式和方法。
板 书 设 计
§1.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用（一）
辅助角公式例1、例2、
说明
课 后 记
时间紧张，例3没进行完，留作业。
5．反思小结，观点提炼
由学生谈本节课学习的收获，并总结归纳本节课的主要内容。
6．布置作业，课后反馈
未完成学案的问题
积极思考问题，小范围讨论、交流。
小范围讨论并总结方法。
思考并回答
思考并回答问题。
小组为单位讨论并尝试总结。
以小组为单位书面完成例题并展示成果。
学生口头总结。
创设一个实际问题情境，不仅提出本节课的研究问题，而且使学生体会数学的应用价值，感受学习数学新知识的必要性，同时利用问题激发学生 的好奇心，调动学生的学习积极性。
（3） （ ）
3．交流反馈，解疑释惑
高中数学第三章3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式1学案含解析新人教A版必修71
学 习 资 料 专 题3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第一课时 两角和与差的正弦、余弦公式[提出问题]问题1：把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？提示：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 问题2：在cos(α±β)的公式中，α，β的条件是什么？ 提示：α，β为任意角． [导入新知]两角和与差的余弦公式[化解疑难] 公式C (α＋β)的推导cos(α＋β)＝cos[α－(－β)] ＝cos αcos(－β)＋sin αsin(－β) ＝cos αcos β－sin αsin β，即cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.[提出问题]问题1：由公式C (α＋β)或C (α－β)可求sin 75°的值吗？提示：可以，因为sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°)． 问题2：由公式C (α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？提示：可以，sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β＝sin αcos β＋cos αsin β. 问题3：能利用上述公式把sin(α－β)用sin α，cos α，sin β，cos β表示吗？ 提示：能． [导入新知]两角和与差的正弦公式[化解疑难]两角和与差的正弦公式与余弦公式的区别(1)余弦公式右边函数名的排列顺序为：余·余±正·正，左右两边加减运算符号相反． (2)正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．[例1] (1)sin 20°·cos 10°＋3sin 10°tan 70°－2cos 40°＝________.(2)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.[解] (1)2(2)原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝－cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2. [类题通法]解决给角求值问题的策略对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值，要善于逆用或变用公式．[活学活用]求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°. 答案： 6[例2] 已知π4<α<4，0<β<4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝513.(1)求sin(α＋β)的值； (2)求cos(α－β)的值．[解] (1)∵π4<α<3π4，π2<π4＋α<π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45.∵0<β<π4，3π4<3π4＋β<π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213，∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β)＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝6365. (2)由(1)可知，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝45，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝－1213， ∴sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β ＝sin π4＋αcos 3π4＋β－cos π4＋αsin 3π4＋β＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－3365. 又∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α－β－π2 ＝－cos(α－β)， ∴cos(α－β)＝3365.[类题通法] 给值求值的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、凑角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． [活学活用]已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值．答案：32[例3] 已知△C ，求A 的值．[解] 由已知B ＝60°，A ＋C ＝120°， 设A －C2＝α，∵A >C ，则α>0，故A ＝A ＋C 2＋A－C2＝60°＋α，C ＝A ＋C 2－A －C2＝60°－α，故1cos A ＋1cos C＝1＋α＋1－α＝112cos α－32sin α＋112cos α＋32sin α＝cos α14cos 2α－34sin 2α＝cos αcos 2α－34.由题设有cos αcos 2α－34＝－2cos B ＝－22，整理得：42cos 2α＋2cos α－32＝0. 即(2cos α－2)(22cos α＋3)＝0. ∵22cos α＋3≠0，∴2cos α－2＝0. ∴cos α＝22. 故α＝45°，A ＝60°＋45°＝105°. [类题通法]解决给值(式)求角问题的方法解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正、余弦公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．[活学活用]已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．答案：－π47.与辅助角有关的公式[典例] (12分)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋a cos x ＋b (a ，b ∈R ，且均为常数)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，且恰好能够取到f (x )的最小值2，试求a ，b 的值．[解题流程][规范解答](1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋a cos x＋b＝2sin x cos π6＋a cos x ＋b ＝3sin x ＋a cos x＋b＝a 2＋3sin(x ＋φ)＋b .(4分)所以，函数f (x )的最小正周期为2π.(6分)(2)由(1)可知：f (x )的最小值为－a 2＋3＋b ，所以－a 2＋3＋b ＝2.①(8分)另外由f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上单调递增，可知f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32＋a 2＋b ＝2.②(10分) 由①②解得a ＝－1，b ＝4.(12分) [名师批注]此处在解题过程中极易忽视.注意对“恰好能够取到f x 的最小值2”的理解，否则无法求解.[活学活用]已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值；(3)求函数f (x )的单调增区间．答案：(1)π (2)x ＝k π＋π12(k ∈Z)时，f (x )有最大值为2；x ＝k π－5π12(k ∈Z)时，f (x )有最小值为－2(3)k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)[随堂即时演练]1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64答案：D2．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1答案：C3．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β＝________.答案：04．已知sin α＝－35，α是第四象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________. 答案：72105．化简求值：(1)sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)；(2)cos(70°＋α)sin(170°－α)－sin(70°＋α)cos(10°＋α)； (3)cos 21°·cos 24°＋sin 159°·sin 204°. 答案：(1)sin 2α (2)－32 (3)22[课时达标检测]一、选择题1．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．－7210B.7210C ．－210D.210答案：A2．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案：C3．已知α为钝角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π12的值为( ) A.22＋36 B.22－36C ．－22＋36 D.－22＋36答案：C4．sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3 cos(θ＋15°)等于( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．0答案：D5．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π4答案：C 二、填空题6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3，则tan α＝________.答案：17．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝________. 答案：5398．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β＝________.答案：π3三、解答题9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4的值．解：∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α ＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝45，∴sin β＝－45，又β是第三象限角，∴cos β＝－1－sin 2β＝－35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝sin βcos π4＋cos βsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＝－7210.10．已知sin αcos β＝14，求t ＝cos αsin β的取值范围．解：由于sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝14＋t ， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝14－t ，又sin(α＋β)∈[－1,1]，sin(α－β)∈[－1,1]， 故有⎩⎪⎨⎪⎧－1≤14＋t ≤1，－1≤14－t ≤1，解得－34≤t ≤34.即t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34.11．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R.设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值． 解：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017， ∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2 ＝－3017，∴sin α＝1517.又∵f ⎝⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85， ∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＋π6＝2cos β＝85， ∴cos β＝45.又∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝817，sin β＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝45×817－35×1517＝－1385.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04
，π＜2α＜ ，求 tanα.
13
2
3
3
解： ∵π＜2α＜ ，∴ ＜α＜ .
2
2
4
由 cos 2
1 sin 2
5
1 ( 12 ) 2
5 ，得 tan
1 cos2
1 13
3
13
13
sin 2
12 2
13
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
或 tan 或 tan
或 tan
2 1 cos
2 sin
可避开符号的讨论 .
③若角α的倍角 2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把
的函数值连在一起 .
知识点二 积化和差公式的应用
例 4 求下列各式的值：
5 (1) cos sin ； (2)2cos50° cos70° -cos20° .
12 12
5
15
1
3
.
2
24
(2)原式 =cos(50° +70° )+cos(50°-70° )-cos20°
1
=cos120°+cos20° -cos20° =cos120°=-cos60° = .
2
31
例 5 求证： (1)sin80°cos40° =
sin 40 ；
42
11
(2)sin37.5° sin22.5° = + cos15° .
( 2 3) .
例 2 求 cos , tan 的值 . 8 12
2
解： 由于 cos2
1 cos 1
4
2
1
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式教案新人教A版必修
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、教材分析本节的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，为了引起学生学习本章的兴趣，理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用从而激发学生对本章内容的学习兴趣和求知欲。
二、教学目标⒈掌握两角和与差公式的推导过程；⒉培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；⒊发展学生的正、逆向思维能力，构建良好的思维品质。
三、教学重点难点重点：两角和与差公式的应用和旋转变换公式；难点：两角和与差公式变aSina ＋bCosa 为一个角的三角函数的形式。
四、学情分析五、教学方法1．温故、推新，循序渐进，以学生为主体逐步掌握本节知识要点2．学案导学：见后面的学案。
3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备多媒体课件七、课时安排：1课时八、教学过程（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-．通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos cos αβ，得到()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-． 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+ 注意：,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．（二）例题讲解例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α==， 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- ， 于是有43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两结果一样，我们能否用第一章知识证明？3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭ 例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、s i n 72c o s 42c o s 72s i n 42-；（2）、c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70-；（3）、1tan151tan15+-． 解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.（1）、()1s i n72c o s 42c o s 72s i n 42s i n7242s i n 302-=-==； （2）、()c o s 20c o s 70s i n 20s i n 70c o s 2070c o s 900-=+==；（3）、()1t a n 15t a n 45t a n 15t a n 4515t a n 6031t a n 151t a n 45t a n 15++==+==--．例3x x解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？)()1cos sin 30cos cos30sin 22sin 302x x x x x x x ⎫-==-=-⎪⎪⎭思考：=余弦分别等于12. （三）反思总结，当堂检测。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一学案含解析新人教A版必修
学习资料3．1。
2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一)内容标准学科素养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式.2。
会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法。
发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第74页［基础认识］知识点一两角和的余弦公式阅读教材P128,思考并完成以下问题如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？若α＋β＝α－（－β），则cos(α＋β）＝_________________________________________________.提示：cos αcos（－β)＋sin αsin（－β)＝cos αcos β－sin αsin β知识梳理C（α＋β)：cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β．知识点二两角和与差的正弦公式阅读教材P11～12,思考并完成以下问题如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？（1)由sin α＝cos错误!可知．sin(α＋β）＝cos错误!＝cos错误!＝________．（2)sin（α－β）＝sin[α＋(－β）]＝________．提示:(1)sin αcos β＋cos αsin β（2)sin αcos β－cos αsin β内容两角和的正弦两角差的正弦简记符号S(α＋β)S（α－β)公式形式sin(α＋β）＝sin__αcos__β＋cos__αsin__βsin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β1．cos 75°＝________．答案:错误!2．sin 72°cos 18°＋cos 72°sin 18°＝________．答案：1授课提示：对应学生用书第75页探究一给角求值[教材P130例4］方法步骤：(1)逆用公式：将非特殊角转化为特殊角求值；（2）正用公式：将非特殊角拆分为特殊角求值．［例1]求值：错误!·cos 10°＋错误!sin 10°tan 70°－2cos 40°。
高中数学 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式学案 新人教a版必修41
第三章 三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1．推导并理解两角和与差的余弦、正弦、正切公式，掌握公式的结构特征．2．灵活掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的正用、逆用，并运用之求值与证明．基础梳理 一、两角和的余弦公式 将－β代替公式cos ()α－β＝cos αcos β＋sin αsin β中的β，得到cos []α－()－β＝cos αcos ()－β＋sin αsin ()－β，即cos ()α＋β＝cos_αcos_β－sin_αsin_β，这就是两角和的余弦公式．练习1：cos(45°＋30°)4练习2：cos 20°cos 70°－sin 20°sin 70°＝0． 思考应用1．两角和与差的余弦公式的适用范围及公式的特征有哪些？解析：(1)适用范围：没有限制条件，α、β、α＋β、α－β均为任意角，可以是数、字母和代数式．(2)公式特征：同名异号——同名：两同名三角函数相乘；异号：公式左右加减号相反． 二、两角和与差的正弦公式sin ()α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－()α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β， 即sin ()α＋β＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β，这就是两角和的正弦公式． 以－β代替公式sin ()α＋β＝sin αcos β＋cos αsin β中的β，得到sin []α＋()－β＝sin αcos ()－β＋cos αsin ()－β＝sin αcos β－cos αsinβ，即sin ()α－β＝sin_αcos_β－cos_αsin_β，这就是两角差的正弦公式．练习3：sin(60°＋45°)4练习4：sin(60°－45°)4思考应用2．两角和与差的正弦公式的适用范围及公式的特征有哪些？解析：(1)适用范围：没有限制条件，α、β、α＋β、α－β均为任意角，可以是数、字母和代数式．(2)公式特征：“异名同号”——异名：两异名三角函数相乘；同号：公式左右加减号相同．三、两角和与差的正切公式 由于tan ()α＋β＝sin ()α＋βcos ()α＋β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β，若cos αcos β≠0，将上式分子、分母同除以cos αcos β， 得到tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β，这就是两角和的正切公式． 以－β代替公式tan ()α＋β＝tan α＋tan β1－tan αtan β中的β，得到tan []α＋()－β＝tan α＋tan ()－β1－tan αtan ()－β＝tan α－tan β1＋tan αtan β，即tan ()α－β＝tan α－tan β1＋tan αtan β，这就是两角差的正切公式．练习5：tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝3思考应用3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特征有哪些？解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β均不为k π＋π2(k ∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进行说理：cos(α＋β)≠0，则α＋β≠k π＋π2；同除cos α、cos β，得cos α≠0，cos β≠0，则α≠k π＋π2，β≠k π＋π2.cos x ≠0，保证了tan x 有意义．(2)公式特征：同名；分子同号，分母异号；容易联想到韦达定理． 自测自评1．下列式子中，正确的个数为(B ) ①sin ()α－β＝sin α－sin β； ②cos ()α＋β＝cos α－cos β；③sin ()α－β＝sin αcos β－cos αsin β； ④cos ()α＋β＝cos αcos β＋sin αsin β.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(D ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12，故选D.3．化简sin α－3cos α得(D )A ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3B ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6C ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6D ．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 解析：sin α－3cos α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α－32cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3.故选D.4．逆用两角差的正切公式求3－tan 18°1＋3tan 18°的值等于(A )A ．tan 42°B ．tan 3°C ．1D ．tan 24° 解析：3－tan 18°1＋3tan 18°＝tan 60°－tan 18°1＋tan 60°tan 18°＝tan ()60°－18°＝tan 42°，故选A.5．在△ABC 中，已知sin(A －B )cos B ＋cos (A －B )·sin B ≥1，则△ABC 是(C ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形 解析：由已知得sin(A －B ＋B )≥1， 即sin A ≥1，又sin A ≤1， ∴sin A ＝1，∴A ＝90°.故选C.基础提升1．已知sin α＝45，cos(α＋β)＝－35，α、β都是第一象限的角，则sin β等于(A )A.2425B.725 C.2425或725 D ．－24252．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x ，0≤x <π2，则f (x )的最大值为(B )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2解析：因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3.故当x ＝π3时，函数取得最大值为2.故选B.3．已知α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是(C )A ．－1B ．1C ．2D ．4 解析：∵α＋β＝π4，∴由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝1，可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，故原式可化为 1＋tan α＋tan β＋tan αtan β ＝1＋()1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.故选C.4．已知A ，B 均为钝角，sin A ＝55，sin B ＝1010，则A ＋B 的值为(A ) A.7π4 B.5π4 C.3π4 D.π4解析：∵π4＜A ＜π，π2＜B ＜π，∴cos A ＝－255，cos B ＝－31010.∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22.又∵π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4.5．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，c ＝62，则a ，b ，c 的大小关系是(B )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．b <c <a 解析：a ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22sin 14°＋22cos 14°＝2sin 59°，b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 16°＋22cos 16°＝2sin 61°，c ＝62＝2×32＝2sin 60°.∵sin 59°<sin 60°<sin 61°，∴a <c <b ，故选B. 巩固提高6.函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．解析：由题意知：f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[φ＋(x ＋φ)]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin φcos (x ＋φ)＋cos φsin(x ＋φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝cos φsin(x ＋φ)－sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，即f (x )＝sin x ，因为x ∈R ，所以f (x )的最大值为1.答案：1 7.sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°等于(B )A ．2＋ 3B ．2－ 3C ．1＋32 D ．1－32解析：原式＝sin （15°－8°）＋cos 15°sin 8°cos （15°－8°）－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°－cos 15°sin 8°＋cos 15°sin 8°cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝sin 15°cos 15°＝sin （45°－30°）cos （45°－30°）＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32－22×1222×32＋22×12＝3－13＋1＝4－232＝2－ 3.故选B. 8．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为(A )A ．0 B.45C ．0或45D ．0或±45解析：由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧cos α·cos β－sin α·sin β＝45， ①cos α·cos β＋sin α·sin β＝－45， ②①＋②得：2cos αcos β＝0，∴cos αcos β＝0，故选A.9．已知函数 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013， f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解析：(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×5π4－π6＝2sin π4＝ 2. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝ 2sin α＝1013， ∴sin α＝513，∵f (3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋2π3－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β＝65，∴cos β＝35， 又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，sin β＝1－cos 2β＝45，∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan ()α＋β的值；(2)求α＋2β的值．解析：(1)由已知条件即三角函数的定义可知 cos α＝210，cos β＝255， 因α为锐角，故sin α>0， 从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得 sin β＝1－cos 2β＝55， 因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β] ＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）·tan β＝－3＋121－（－3）×12＝－1， 又0<α<π2，0<β<π2，故0<α＋2β<3π2，从而由 tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4.1．利用和、差角公式求值的主要类型．(1)知角求值型：在利用两角和与差的三角函数公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求角转化为已知或特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°等)之间的关系问题，然后利用公式化简求值．(2)给值求值型：解答此类题的关键在于充分利用已知角的范围及角的三角函数值，求得另外需求的一些角的三角函数值；特别需要注意的是在已知某角的三角函数值，求其另一三角函数值时，有可能用到分类讨论思想，在解答这类题时，应避免漏解．2．给值求角问题．(1)给值求角的关键是先求出该角的某一三角函数值，以及该角在对应区间上的单调性，从而达到解题的目的．(2)根据题设条件，求角的某一三角函数值的方法：一般地，若条件中只有角的弦值，往往是求角的正弦或余弦，角在第一、二象限求余弦，角在第二、三象限求正弦，角在第三、四象限求余弦，角在第一、四象限求正弦．若条件中有切，往往求角的正切值．(3)讨论角的范围．必要时，还需根据已知角的三角函数值缩小角的取值范围，从而确定角的大小．。
高中数学第三章.2两角和与差的正弦余弦正切公式问题导学案新人教A版必修32
学 习 资 料 专 题3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式问题导学一、给角求值问题活动与探究1(1)sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12 C ．12 D ．32(2)－sin 167°sin 223°＋sin 257°sin 313°＝________．迁移与应用求值：sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°．解决给角求值的问题有两种思路：一种是非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，一种是利用诱导公式把角化整化小，然后观察角的关系及式子特点，选择公式求值．在这两种思路中，公式的正用逆用都要熟练．二、给值求值问题活动与探究2已知sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos β＝－513，β是第三象限角，求cos(α＋β)，tan(α＋β)的值．迁移与应用1．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )A ．33B ．－33C ．539D ．－692．已知α，β是锐角，且sin α＝437，cos(α＋β)＝－1114，求sin β的值．1．在给值求值问题中，已知α，β的某一种弦的函数值，求α＋β，α－β的余弦值，其基本思路是：先看公式中的量，哪些是已知的，哪些是待求的，再利用同角三角函数的基本关系式求出，但在求未知量的过程中，要注意根据角所在的象限确定符号．2．解决给值求值问题的关键是找出已知式与欲求式之间的角、运算及函数的差异，角的变换是其中较为常见的．如α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，α＝α＋β2＋α－β2，β＝α＋β2－α－β2，2α＝(α＋β)＋(α－β),2β＝(α＋β)－(α－β)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝π2＋(α＋β)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝π2＋(α－β)等． 三、给值求角问题活动与探究3已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求角β的值．迁移与应用已知tan α＝2，tan β＝3，且α，β都是锐角，求α＋β的值．解答这类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一三角函数值时，应先缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而选取三角函数求解．四、三角函数式的化简与证明活动与探究4 化简下列各式：(1)sin x －3cos x ；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ； (3)sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)；(4)(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°．迁移与应用1．化简下列各式：(1)sin 70°sin 65°－sin 20°sin 25°；(2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )；(3)3＋tan 15°1－3tan 15°； (4)tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°．2．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tan α．1．三角函数式的化简或证明，主要从三方面寻求思路：一是观察函数的特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系；二是观察角的特点，它们之间可经过何种形式联系起来；三是观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．2．同时，注意公式的变形应用：cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan(α＋β)等．当堂检测1．sin 59°cos 89°－cos 59°sin 89°的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．－ 32．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．75B ．15C ．－75D ．－153．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C ＝( )A ．－55 B ．55 C ．－255 D ．2554．已知tan α＝13，tan(β－α)＝－2，且π2＜β＜π，则β＝________．5．若α是锐角，且sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos α的值是________．课前预习导学 【预习导引】 cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β sin αcos β＋cos αsinβ sin αcos β－cos αsin β tan α＋tan β1－tan αtan β tan α－tan β1＋tan αtan β预习交流1 提示：正弦、余弦的公式中，角是任意的；而在T (α±β)中，α，β，α±β都不等于k π＋π2(k ∈Z )，同时1＋tan αtan β，或1－tan αtan β≠0．预习交流2 提示：例如：α＋2β＝(α＋β)＋β；类似地，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)观察题目中出现的角的关系，把47°写成17°＋30°，然后运用公式求值．(2)题目中给出的角各不相同，可充分利用诱导公式进行转化，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式进行求值．(1)C (2)32 解析：(1)原式＝sin(17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°＝12．(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(270°－13°)sin(270°＋43°)＝sin 13°sin 43°＋(－cos 13°)·(－cos 43°)＝cos 43°cos 13°＋sin 43°sin13°＝cos(43°－13°)＝cos 30°＝32．迁移与应用 解：原式＝sin(15°－8°)＋cos 15°sin 8°cos(15°－8°)－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan(45°－30°) ＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝2－3． 活动与探究2 思路分析：利用弦函数的平方关系，由sin α，cos β的值求出cos α，sin β的值，再利用两角和与差的公式展开代入求解．解：由sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得 cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35．又由cos β＝－513，β为第三象限角得sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝－1213，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝6365， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝1665， ∴tan(α＋β)＝sin(α＋β)cos(α＋β)＝1663．也可由cos α＝－35，sin α＝45，得tan α＝－43．由sin β＝－1213，cos β＝－513，得tan β＝125，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1663．迁移与应用 1．C 解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，0＜α＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，又∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，－π2＜β＜0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539，故选C ． 2．解：∵α是锐角，且sin α＝437，∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4372＝17． 又cos(α＋β)＝－1114，α，β均为锐角，∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314，∴sin β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1114×437＝32． 活动与探究3 思路分析：已知角α－β，α＋β的余弦值，求角β需求β的余弦值，2β＝(α＋β)－(α－β)．解答本题可由已知条件求α－β，α＋β的正弦值，从而求出cos 2β的值，得到2β的值，最后求出β．解：由α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213， 得sin(α－β)＝513．由α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213，得sin(α＋β)＝－513．cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－1213×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×513＝－1．又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2．∴2β＝π，∴β＝π2．迁移与应用 解：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2＋31－2×3＝－1．又α，β均为锐角，∴0°＜α＋β＜180°， ∴α＋β＝135°．活动与探究4 思路分析：(1)提出2后逆用两角和与差的正弦或余弦公式；(2)各因式中角的形式无法统一，且没有明显的凑角关系，所以只能利用和(差)角公式展开后寻求解决办法；(3)观察角的关系，知2α＋β＝α＋(α＋β)，再利用公式求值；可先把3代换3＝tan 60°，再切化弦，通分逆用公式化简．解：(1)sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·12－cos x ·32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·cos π3－cos x ·sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3；(2)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1－32sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3＋32cos x＝0．(3)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α． (4)原式＝(tan 10°－tan 60°)·cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－sin 60°cos 10°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－sin(60°－10°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2．迁移与应用 1．解：(1)原式＝sin 70°cos 25°－cos 70°sin 25°＝sin(70°－25°)＝si n 45°＝22．(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )] ＝sin 90°＝1．(3)原式＝tan 60°＋tan 15°1－tan 60°tan 15°＝tan 75°＝2＋3．(4)原式＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝3． 2．证明：sin(2α＋β)＝5sin β⇒sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝5sin(α＋β)cos α－5cos(α＋β)sin α⇒2sin(α＋β)cos α＝3cos(α＋β)sin α ⇒2tan(α＋β)＝3tan α．【当堂检测】1．A 解析：sin 59°cos 89°－cos 59°sin 89°＝sin(59°－89°)＝sin(－30°)＝－12．2．B 解析：cos α＝1－sin 2α＝45，原式＝cos α－sin α＝45－35＝15．3．D 解析：sin B ＝31010，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝255．4．3π4 解析：tan β＝tan[α＋(β－α)]＝tan α＋tan(β－α)1－tan α·tan (β－α)＝13－21＋23＝－1．又∵π2＜β＜π，∴β＝3π4．5．26－16 解析：∵α是锐角，∴0＜α＜π2，－π6＜α－π6＜π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝223，cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6 ＝223×32－13×12＝26－16．。
高中数学第三章两角和与差的正弦余弦和正切公式知识导航学案新人教A版必修15
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式知识梳理在三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α代替β等换元法可以推导出其他公式.你能根据下表回顾推导过程吗？知识导学要学好本节内容，可复习已学过的其他知识，充分利用单位圆，分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系，为向量方法的运用做好准备.有意识地联想向量知识.向量的数量积是解决距离与夹角问题的工具，在两角差的余弦公式的推导中应如何能够体现它的作用？探索过程的安排，应当先把握整体，然后逐步追求细节，在补充完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过自己的独立探索而得出.疑难突破1.两角和与差的正弦公式是怎样推导的？两角和与差正切公式是怎样推导的？剖析：用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化：sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］=cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β=sin αcos β+cos αsin β; sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β; tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++, 分式分子、分母同时除以cos αcos β，得到tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+. 注意：α+β≠2π+k π,α≠2π+k π,β≠2π+k π(k∈Z ). tan(α-β)=tan ［α+（-β）］=βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan tan 1)tan(tan +-=(---+.注意：α-β≠2π+k π,α≠2π+k π,β≠2π+k π(k∈Z ). 对于两角和与差的公式的异同要进行对比与分析，便于理解记忆和应用.(1)明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号；(2)要牢记公式，并能熟练地进行左右互相转化；(3)和、差角公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成和、差角公式的特例.2.三个基本的三角恒等变换.剖析：（1）代换这是一种常用的数学思想，特别是解三角题尤为突出，本部分主要代换是角的代换，常用的有:α=(α+β)-β=β-(β-α)=21［(α+β)+(α-β)］=21［(α+β)-(β-α)］, 2α=(α+β)+(α-β)=(α+β)-(β-α),4α=2·2α,α=2·2α等. 这几种代换形式要灵活掌握，解题中经常用到. 如α、β为锐角，cos α=71,cos(α+β)=1411-,则cos β=_____________. 若展开cos(α+β)进行运算，则烦琐难解，但若利用β=(α+β)-α代换，则解法简便，大大降低了解题难度.（2）公式的逆向、多向变换使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，这是灵活使用公式所必需的，特别是三角函数公式.如：计算sin20°cos50°-sin70°cos40°，能逆用两角差的正弦化为:sin(20°-50°)=sin(-30°)=-21. 计算4330tan 2115tan 115tan 22115tan 115tan 22=︒=︒-︒⨯=︒-︒. 以下几种变换要熟练掌握:tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β),1 tan αtan β=)tan(tan tan βαβα±±, cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α,cos 2α=22cos 1α+,sin 2α=22cos 1α-. （3）引入辅助角的变换对于形如asin α+bcos α(a,b 不同时为0）的式子引入辅助角变为Asin(α+φ)的形式，可进行三角函数的化简，求周期最值等.要熟记以下常用变换:sin α+cos α=2sin(α+4π),sin α-cos α=2sin(α-4π),3sin α+cos α=2sin(α+6π),sin α-3cos α=2sin(α-3π).。
高中数学 (3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式)教案 新人教A版必修4
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,即α+β=α-(-β)的关系,从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β),又如比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.三维目标1.在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.3.通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.重点难点教学重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点：灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路 1.(旧知导入)教师先让学生回顾上节课所推导的两角差的余弦公式,并把公式默写在黑板上或打出幻灯片,注意有意识地让学生写整齐.然后教师引导学生观察cos(α-β)与cos(α+β)、sin(α-β)的内在联系,进行由旧知推出新知的转化过程,从而推导出C(α+β)、S(α-β)、S(α+β).本节课我们共同研究公式的推导及其应用.思路2.(问题导入)教师出示问题,先让学生计算以下几个题目,既可以复习回顾上节所学公式,又为本节新课作准备.若sin α=55,α∈(0,2π),cos β=1010,β∈(0,2π),求cos(α-β),cos(α+β)的值.学生利用公式C （α-β）很容易求得cos （α-β）,但是如果求cos （α+β）的值就得想法转化为公式C （α-β）的形式来求,此时思路受阻,从而引出新课题,并由此展开联想探究其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得两角差的余弦公式吗？请一位同学到黑板上默写出来.②在公式C (α-β)中,角β是任意角,请学生思考角α-β中β换成角-β是否可以？此时观察角α+β与α-(-β)之间的联系,如何利用公式C (α-β)来推导cos(α+β)=?③分析观察C (α+β)的结构有何特征？④在公式C (α-β)、C (α+β)的基础上能否推导sin(α+β)=?sin(α-β)=?⑤公式S (α-β)、S (α+β)的结构特征如何？⑥对比分析公式C (α-β)、C (α+β)、S (α-β)、S (α+β),能否推导出tan(α-β)=?tan （α+β）=？⑦分析观察公式T (α-β)、T (α+β)的结构特征如何？⑧思考如何灵活运用公式解题？活动：对问题①,学生默写完后,教师打出课件,然后引导学生观察两角差的余弦公式,点拨学生思考公式中的α,β既然可以是任意角,是怎样任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？鼓励学生大胆猜想,引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系,学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β,所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C (α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.所以有如下公式： cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β我们称以上等式为两角和的余弦公式,记作C (α+β).对问题②,教师引导学生细心观察公式C (α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦,等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”,同时让学生对比公式C (α-β)进行记忆,并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题③,上面学生推得了两角和与差的余弦公式,教师引导学生观察思考,怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin 2α+cos 2α=1来互化,此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos ［2π-(α+β)］=cos ［(2π-α)-β］ =cos(2π-α)cos β+sin(2π-α)sin β =sin αcos β+cos αsin β.在上述公式中,β用-β代之,则sin(α-β)=sin ［α+(-β)］=sin αcos(-β)+cos αsin(-β)=sin αcos β-cos αsin β.因此我们得到两角和与差的正弦公式,分别简记为S (α+β)、S (α-β). sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.对问题④⑤,教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆,同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点,体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆,教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________,sin 75sin 72cos 75cos 72ππππ+=__________. 对问题⑥,教师引导学生思考,在我们推出了公式C (α-β)、C (α+β)、S (α+β)、S (α-β)后,自然想到两角和与差的正切公式,怎么样来推导出tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系式,化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论,这时教师不要直接提醒,让学生自己悟出来.当cos(α+β)≠0时,tan(α+β)=.sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(βαβαβαβββ-+=++a a 如果cos αcos β≠0,即cos α≠0且cos β≠0时,分子、分母同除以cos αcos β得tan(α+β)=)tan(tan 1tan tan βαβα--+,据角α、β的任意性,在上面的式子中,β用-β代之,则有tan(α-β)=.tan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan βαβαβαβα+-=---+ 由此推得两角和、差的正切公式,简记为T (α-β)、T (α+β).tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+- 对问题⑥,让学生自己联想思考,两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知,α、β、α±β都不能等于2π+k π(k∈Z ),并引导学生分析公式结构特征,加深公式记忆.对问题⑦⑧,教师与学生一起归类总结,我们把前面六个公式分类比较可得C (α+β)、S (α+β)、T (α+β)叫和角公式；S (α-β)、C (α-β)、T (α-β)叫差角公式.并由学生归纳总结以上六个公式的推导过程,从而得出以下逻辑联系图.可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β),在化简求值中就经常应用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美.对于两角和与差的正切公式,当tan α,tan β或tan （α±β）的值不存在时,不能使用T （α±β）处理某些有关问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如：化简tan(2π-β),因为tan 2π的值不存在,所以改用诱导公式tan(2π-β)=βββπβπsin cos )2cos()2sin(=--来处理等.应用示例思路1例1 已知sin α=53-,α是第四象限角,求sin(4π-α),cos(4π+α),tan(4π-α)的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系,在面对问题时要注意认真分析条件,明确要求.再思考应该联系什么公式,使用公式时要有什么准备,准备工作怎么进行等.例如本题中,要先求出cos α,tan α的值,才能利用公式得解,本题是直接应用公式解题,目的是为了让学生初步熟悉公式的应用,教师可以完全让学生自己独立完成.解：由sin α=53-,α是第四象限角,得cos α=54)53(1sin 122=--=-a . ∴tan α=a a cos sin =43-. 于是有sin(4π-α)=sin 4πcos α-cos 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ cos(4π+α)=cos 4πcos α-sin 4πsin α=,1027)53(225422=-⨯-⨯ tan(α-4π)=4tan tan 14tan tan ππa a +-=a a tan 11tan +-=7)43(1143-=-+--. 点评：本例是运用和差角公式的基础题,安排这个例题的目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯.变式训练1.不查表求cos75°,tan105°的值解：cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=42621222322-=⨯-⨯, tan105°=tan(60°+45°)= 311345tan 60tan 145tan 60tan -+=-+ =-(2+3). 2.设α∈(0,2π),若sin α=53,则2sin(α+4π)等于 A.57 B.51 C.27 D.4 答案：A例2 已知sin α=32,α∈(2π,π),cos β=43-,β∈(π,23π). 求sin(α-β),cos(α+β),tan(α+β).活动：教师可先让学生自己探究解决,对探究困难的学生教师给以适当的点拨,指导学生认真分析题目中已知条件和所求值的内在联系.根据公式S (α-β)、C (α+β)、T (α+β)应先求出cos α、sin β、tan α、tan β的值,然后利用公式求值,但要注意解题中三角函数值的符号.解：由sin α=32,α∈(2π,π),得 cos α=a 2sin 1--=-2)32(1--=35-,∴tan α=552-. 又由cos β=31-,β∈(π,23π). sin β=β2cos 1--=47)43(12-=---, ∴tan β=37.∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =32×(43-)-(12356)47()35(--=-⨯-. ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=(35-)×(43-)-32×(47-) =.127253+ ∴tan(α+β)=35215755637)552(137552tan tan 1tan tan ++-=⨯--+-=-+βαβα=17727532+-.点评：本题仍是直接利用公式计算求值的基础题,其目的还是让学生熟练掌握公式的应用,训练学生的运算能力.变式训练引导学生看章头图,利用本节所学公式解答课本章头题,加强学生的应用意识.解：设电视发射塔高CD=x 米,∠C AB=α,则sin α=6730, 在Rt△ABD 中,tan(45°+α)=3030+x tan α. 于是x=30tan )45tan(30-+αα , 又∵sin α=6730,α∈(0,2π),∴cos α≈6760,tan α≈21. tan(45°+α)=211211tan 1tan 1-+≈-+αα=3, ∴x=21330⨯-30=150(米). 答：这座电视发射塔的高度约为150米.例3 在△ABC 中,sinA=53(0°<A<45°),cosB=135(45°<B<90°),求sinC 与cosC 的值. 活动：本题是解三角形问题,在必修5中还作专门的探究,这里用到的仅是与三角函数诱导公式与和差公式有关的问题,难度不大,但应是学生必须熟练掌握的.同时也能加强学生的应用意识,提高学生分析问题和解决问题的能力.教师可让学生自己阅读、探究、讨论解决,对有困难的学生教师引导学生分析题意和找清三角形各角之间的内在联系,从而找出解决问题的路子.教师要提醒学生注意角的范围这一暗含条件.解:∵在△ABC 中,A+B+C=180°,∴C=180°-(A+B). 又∵sinA=53且0°<A<45°,∴cosA=54. 又∵cosB=135且45°<B<90°,∴sinB=1312. ∴sinC=sin［180°-(A+B)］=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB =53×135+54×1312=6563, cosC=cos ［180°-(A+B)］=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB =53×1312-54×135=6516. 点评：本题是利用两角和差公式,来解决三角形问题的典型例子,培养了学生的应用意识,也使学生更加认识了公式的作用,解决三角形问题时,要注意三角形内角和等于180°这一暗含条件.变式训练在△ABC 中,已知sin(A-B)cosB+cos(A-B)sin B≥1,则△ABC 是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰非直角三角形答案：C思路2例1 若sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53,且0<α<4π<β<43π,求cos(α+β)的值. 活动：本题是一个典型的变角问题,也是一道经典例题,对训练学生的运算能力以及逻辑思维能力很有价值.尽管学生思考时有点难度,但教师仍可放手让学生探究讨论,教师不可直接给出解答.对于探究不出的学生,教师可恰当点拨引导,指导学生解决问题的关键是寻找所求角与已知角的内在联系,引导学生理清所求的角与已知角的关系,观察选择应该选用哪个公式进行求解,同时也要特别提醒学生注意：在求有关角的三角函数值时,要特别注意确定准角的范围,准确判断好三角函数符号,这是解决这类问题的关键.学生完全理清思路后,教师应指导学生的规范书写,并熟练掌握它.对于程度比较好的学生可让其扩展本题,或变化条件,或变换所求的结论等.如教师可变换α,β角的范围,进行一题多变训练,提高学生灵活应用公式的能力,因此教师要充分利用好这个例题的训练价值.解：∵0<α<4π<β<43π,∴43π<43π+α<π,-2π<4π-β<0, 又已知sin(43π+α)=135,cos(4π-β)=53, ∴cos(43π+α)=1312-,sin(4π-β)=54-. ∴cos(α+β)=sin ［2π+(α+β)］=sin ［(43π+α)-(4π-β)］ =sin(43π+α)cos(4π-β)-cos(43π+α)sin(4π-β) =135×53-(1312-)×(54-)=6533-. 本题是典型的变角问题,即把所求角利用已知角来表示,实际上就是化归思想.这需要巧妙地引导,充分让学生自己动手进行角的变换,培养学生灵活运用公式的能力.变式训练已知α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, 求cos(α+4π)的值. 解：∵α,β∈(43π,π),sin(α+β)=53-,sin(β-4π)=1312, ∴23π<α+β<2π,2π<β-4π<43π. ∴cos(α+β)=54,cos(β-4π)=135-. ∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］ =cos(α+β)cos(β-4π)+sin(α+β)sin(β-4π)=54×(135-)+(53-)×1312=6556-. 例2 化简.sin sin )sin(sin sin )sin(sin sin )sin(a a a a θθθβθβββ-+-+- 活动：本题是直接利用公式把两角的和、差化为两单角的三角函数的形式,教师可以先让学生自己独立地探究,然后进行讲评.解：原式=aa a a a a sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin cos cos sin θθθθβθβθββββ-+-+- =a a a a a a a a sin sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin βθβθβθθβθβθβθβθβαθβ-+-+-=asin sin sin 0βθ =0.点评：本题是一个很好的运用公式进行化简的例子,通过学生独立解答,培养学生熟练运用公式的运算能力.变式训练 化简)cos(sin sin 2cos sin 2)sin(βαβαβαβα++-+ 解：原式=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin sin 2cos sin 2sin cos cos sin -+- =).tan()cos()sin(cos cos sin sin cos sin sin cos αβαβαββαβαβαβα-=--=+- 知能训练课本本节练习1—4. 1.(1)426-,(2)426-,(3)426+,(4)2-3. 2.10334-. 3.263512- 4.-2.作业已知0<β<4π,4π<α<43π,cos(4π-α)=53,sin(43π+β)=135,求sin(α+β)的值. 解：∵4π<α<43π,∴2π-<4π-α<0.∴sin(4π-α)=2)53(1--=54-. 又∵0<β<4π,∴43π<43π+β<π,cos(43π+β)=2)135(1--=1312-. ∴sin(α+β)=-cos(2π+α+β)=-cos ［(43π+β)-(4π-α)］ =-cos(43π+β)cos(4π-α)-sin(43π+β)sin(4π-α) =-(1312-)×53135-×(54-)=6556. 课堂小结1.先由学生回顾本节课都学到了哪些数学知识和数学方法,有哪些收获与提高,在公式推导中你悟出了什么样的数学思想？对于这六个公式应如何对比记忆？其中正切公式的应用有什么条件限制？怎样用公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：我们本节课要理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导,明白从已知推得未知,理解数学中重要的数学思想——转化思想,并要正确熟练地运用公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,一个题目能给出多种解法,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的.设计感想1.本节课是典型的公式教学模式,是在两角差的余弦公式的基础上进行的,因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想,并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力.2.纵观本教案的设计,知识点集中,容量较大,重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等,通过本节的学习,使学生深刻理解公式的推导、证明方法,熟练应用公式解决简单的问题.同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法,让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.第2课时导入新课思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式,并回忆公式的来龙去脉,然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征,说出它们的区别和联系,以及公式的正用、逆用及变形用,以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2.(问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos （α＋β）cos β＋sin （α＋β）sin β;(2)cos sin 1tan cos sin cos sin sin 22---+--x x x x x x x ; (3).tan tan cos sin )sin()sin(2222αββαβαβα+-+ 2.证明下列各式 (1);tan tan 1tan tan )cos()sin(βαβαβαβα++=-+ (2)tan （α＋β）tan （α-β）（1-tan 2tan 2β）＝tan 2α-tan 2β; (3).sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+ 答案:1.(1)cos α;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨,并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.活动：待学生稍做回顾后,教师打出幻灯,出示和与差角公式,让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系,理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察,当α、β中有一个角为90°时,公式就变成诱导公式,所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时,还要注意角的相对性,如α=(α+β)-β,)2()2(2βαβαβα---=+等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识,学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法,以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯,提高数学素养.sin （α±β）＝sin αcos β±cos αsin β〔Ｓ（α±β）〕;cos （α±β）＝cos αcos βαsin β〔C （α±β）〕;tan （α±β）＝βαβαtan tan 1tan tan ±〔T （α±β）〕. 讨论结果：略.应用示例思路1例1 利用和差角公式计算下列各式的值.（1）sin72°cos42°-cos72°sin42°;（2）cos20°cos70°-sin20°sin70°; （3）15tan 115tan 1-+活动：本例实际上是公式的逆用,主要用来熟悉公式,可由学生自己完成.对部分学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现（1）同公式S (α-β)的右边,（2）同公式C (α+β)右边形式一致,学生自然想到公式的逆用,从而化成特殊角的三角函数,并求得结果.再看（3）式与T (α+β)右边形式相近,但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1,原式化为15tan 45tan 115tan 45tan -+,再逆用公式T (α+β)即可解得. 解：（1）由公式S (α-β)得 原式=sin(72°-42°)=sin30°=21. （2）由公式C (α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0. （3）由公式T (α+β)得原式=15tan 45tan 115tan 45tan -+=tan(45°+15°)=tan60°=3. 点评：本例体现了对公式的全面理解,要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更全面深刻的理解. 变式训练 1.化简求值：（1）cos44°sin14°-sin44°cos14°; （2）sin14°cos16°+sin76°cos74°;（3）sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x). 解：（1）原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=21-. （2）原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=21. （3）原式=sin ［(54°-x)+(36°+x)］=sin90°=1.2.计算.75tan 175tan 1+- 解：原式=75tan 45tan 175tan 45tan +-=tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=33-. 例2 已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R ,设θ∈［0,2π］,若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评. 解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ), 即-sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ-sinxsin θ =sinxcos θ+cosxsin θ+cosxcos θ+sinxsin θ.∴sinxcos θ+sinxsin θ=0.∴sinx(sin θ+cos θ)=0对任意x 都成立.∴2sin(θ+4π)=0,即sin(θ+4π)=0. ∴θ+4π=k π(k∈Z ).∴θ=k π-4π(k∈Z ).又θ∈［0,2π),∴θ=43π或θ=47π.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力. 变式训练已知：2π<β<α<43π,cos(α-β)=1312,sin(α+β)=54-,求cos2β的值.解：∵2π<β<α<43π,∴0<α-β<4π,π<α+β<23π.又∵cos(α-β)=1312,sin(α+β)= 54-,∴sin(α-β)=135,cos(α+β)=53-.∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =53-×1312+(54-)×135=6556-.例3 求证：cos α+3sin α=2sin(6π+α). 活动：本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S (α+β)展开,化简整理即可得到左边此为证法,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S (α+β)的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数. 证明：方法一：右边=2(sin6πcos α+cos 6πsin α)=2(21cos α+23sin α)=cos α+3sin α=左边.方法二：左边=2(21cos α+23sin α)=2(sin 6πcos α+cos 6πsin α)=2sin(6π+α)=右边.点评：本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与3分别变为了21与23,即辅助角6π的正、余弦.关于形如asinx+bcosx （a,b不同时为零）的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式,其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=AC os φ,b=Asin φ,那么asinx+bcosx=A(sinxcos φ+cosxsin φ)=Asin(x+φ).由sin 2φ+cos 2φ=1,可得 A 2=a 2+b 2,A=±22b a +,不妨取A=22b a +,于是得到cos φ=22ba a+,sin φ=22ba b +,从而得到tan φ=ba,因此asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx 这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx 的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变换思想很重要,即把两个三角函数化为一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高,是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练的掌握它. 变式训练化简下列各式： （1）3sinx+cosx; （2）2cosx-6sinx.解：（1）原式=2(23sinx+21cosx)=2(cos 6πsinx+sin 6πcosx) =2sin(x+6π). （2）原式=22 (21cosx-23sinx)=22(sin 6πcosx-cos 6πsinx) =22sin(6π-x). 例4 （1）已知α+β=45°,求(1+tan α)(1+tan β)的值; （2）已知sin(α+β)=21,sin(α-β)=31,求.tan tan βα 活动：对于（1）,教师可与学生一起观察条件,分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tan α,tan β的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在（2）中,我们欲求.tan tan βα若利用已知条件直接求tan α,tan β的值是有一定的困难,但细心观察公式S (α+β)、S (α-β)发现,它们都含有sin αcos β和cos αsin β,而.tan tan βα化切为弦正是βαβαsin cos cos sin ,由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答. 解：（1）∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1. 又∵tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+∴tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), 即tan α+tan β=1-tan αtan β.∴原式=1+tan α+tan β+tan αtan β=1+(1-tan αtan β)+tan αtan β=2. （2）∵sin(α+β)=21,sin(α-β)= 31,∴sin αcos β+cos αsin β=21,①sin αcos β-cos αcos β=31.②①+②得sin αcos β=125, ①-②得cos αsin β=121,∴5121125sin cos cos sin tan tan ===βαβαβα点评：本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以逆用两角和的正切公式变形tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),对于我们解题很有用处,而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,应让学生熟练掌握其解法. 变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值解：原式=［(1+tan1°)(1+tan44°)］［(1+tan2°)(1+tan43°)］…［(1+tan22°)(1+tan23°)］(1+tan45°)=2×2×2×…×2=223. 2.计算：解：原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1. 知能训练课本本节练习5—7.解答：5.解:（1）原式=sin90°=1. （2）原式=cos60°=21. （3）原式=tan45°=1. （4）原式=-sin60°=23-. （5）原式=-cos60°=21-. （6）原式=sin20°（-cos70°）+（-cos20°）sin70° =-（sin20°cos70°+cos20°sin70°）=-sin90°=-1. 6.（1）原式=sin6πcosx-cos 6πsinx=sin(6π-x). （2）原式=2(23sinx+21cosx)=2sin(x+6π). （3）原式=2(22sinx-22cosx)=2sin(x-4π).（4）原式=22(21cosx-23sinx)=22sin(6π-x). 点评：将asinx+bcosx 转化为Asin(x+φ)或Acos(x+φ)的形式,关键在于“凑”和（或差）角公式.7.解：由sin(α-β)cos α-cos(β-α)sin α=53,可得 sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=sin(α-β-α)=-sin β=53, ∴sin β=53-.又β是第三象限角, ∴cos β=54-.∴sin(β+45π)=sin βcos 45π+cos βsin 45π=1027.作业已知一元二次方程ax 2+bx+c=0(ac ≠0)的两个根为tan α、tan β,求tan(α+β)的值. 解：由韦达定理得：tan α+tan β=a b -,tan αtan β=ac , ∴tan(α+β)=a c bac c b-=--=-+1tan 1tan tan αββα.课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习,我们在运用和角与差角公式时,应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习,要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ),运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题.设计感想1.本节是典型的习题课,目的就是加深巩固两角和与差公式的应用,深刻理解公式的内在联系,学会综合利用公式解题的方法和技巧.因此,本节课安排的四个例子都是围绕这个目标设计的,它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用.另外,通过补充的例题,教给学生正用、逆用、变形用公式的方法,培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力.特别是给出了形如“asinx+bcosx=22b a +sin(x+φ)”公式的推导和应用,对于三角函数的研究,给我们提供了一种重要的方法.2.对于习题课来说,我们应该本着以学生为主体,教师为主导的原则,让学生先认真审题、独立思考、板演解法,然后教师再进行点评,理清思路,纠正错误,指导解法,争取一题多解,拓展思路,通过变式训练再进行方法巩固.。
高中数学新人教版A版精品教案《3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式》
例3：
引导学生小结：
学生说出了本节课学习的主要内容，还有化简中用到类比、整体代入的、化归与的数学思想。
学生自己先独立完成不会的组内讨论，
最后得出结果
例3的解决有两种方法
方法一、将例1中的
tan15°=
直接代入原式=
方法二、观察例2（3）题的形式发现
原式=
=tan（45°15°）
课题名称《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》设 计 者谢君玉
单 位内蒙古巴彦淖尔市磴口县第一中学授课年级高一
章节名称
人教版普通高中课程标准实验教科书必修四
第三章三角恒等变换§两角和与差的正弦、余弦、正切公式（第1课时）
学 时
40分
课标要求
>对本节内容的要求是：
（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
（让学生知道要到哪里去）
磴口电信公司准备将信号发射塔建在阿贵庙附近的一座小山上。
如图所示小山高BC约30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间的距离为60米，从A点观测电视发射塔的视角（∠CAD ）约45°，求这座信号发射塔的高度。
由本地实际出发，提高学生学习兴趣。通过老师引导，学生发现，想解决发射塔的高度，需要知道 从而导入新课，让学生了解学习数学很有用
由同角三角函数的关系：tanα= 类比推导3：tanαβ=
思考：如何用tanα、tanβ表示tanαβ
思路：弦化切
（分子分母同除以coαcoβ）
注意：α、β的范围
（α、β、αβ≠ ）
由两角和的正切推导4：tanα-β=
学生先猜想，接着证明，得出结论注意：（α、β、α-β≠ ）
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3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式疱工巧解牛知识•巧学一、两角和的余弦公式1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.2.用两点间的距离公式推导C(α+β).图3-1-5如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,可得P3(cos(α+β)，sin(α+β))，P4(cos(-β)，sin(-β)).由整个作图过程可知△P3OP1≌△P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|.|P1P3|2=|P2P4|2，即［cos(α+β)-1］2+sin2(α+β)=［cos(-β)-cosα］2+［sin(-β)-sinα］2.根据同角三角函数的基本关系,整理得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)，即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.3.利用向量的数量积推导C(α+β).图3-1-6如图3-1-6，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆，以Ox 为始边作角α、-β，它们与单位圆的交点分别为A 、B.显然，=(cosα,sinα),=(cos(-β),sin(-β)).根据向量数量积的定义，有·= (cosα,sinα)·(cos(-β),sin(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.于是cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.学法一得 ①在处理问题的过程中，把有待解决或难解决的问题，通过某种转化，归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解，这种思想方法叫做化归思想. ②以任意角的三角函数的定义为载体，我们推导了同角的三角函数的基本关系式、诱导公式和两角和的余弦公式.熟记公式中角、函数的排列顺序及式中的正负号是正确使用公式的关键.记忆要诀 公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.二、两角和与差的正弦1.公式的推导sin(α-β)=cos ［2π-(α-β)］=cos ［(2π-α)+β］=cos(2π-α)cosβ-sin(2π-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ. 在上面的公式中，以-β代β，即可得到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.2.和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例.如sin(2π-α)=sin2πcosα-cos2πsinα=0×cosα-1×sinα=-sinα.当α或β中有一个角是2π的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；上面公式中的α、β均为任意角.误区警示 公式对分配律不成立，即sin(α±β)≠sinα±sinβ，学习时一定要注意这一点.学法一得 公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，如化简sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ，不要将sin(α+β)和cos(α+β)展开，而应当整体考察，进行如下变形：sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ=sin［(α+β)-β］=sinα，这也体现了数学中的整体原则.记忆要诀 记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的正弦公式的右端的两部分为异名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相同.三、两角和与差的正切1.公式的推导利用两角和的正弦、余弦公式，可以推导出两角和的正切公式： tan(α+β)=βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++，当cosαcosβ≠0时，我们可以将上式的分子、分母同时除以cosαcosβ，即得用tanα和tanβ表示的公式：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+，在上面的公式中，以-β代β，可得两角差的正切公式： tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-. 2.公式成立的条件要能应用公式，首先要使公式本身有意义，即tanα、tanβ存在.并且1+tanαtanβ的值不为零，所以可得α、β需满足的条件：α≠kπ+2π,β≠kπ+2π，α+β≠kπ+2π或α-β≠kπ+2π，以上k∈Z .当tanα、tanβ、tan(α±β)不存在时，可以改用诱导公式或其他方法解决.学法一得 两角和与差的正切同样不仅可以正用，而且可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)就可以解决诸如tan15°+tan30°+tan15°tan30°的问题.所以在处理问题时要注意考察式子的特征，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了.典题•热题知识点一 所求角可表示成两个特殊角的和、差例1 求sin75°,tan15°的值.解：sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30° =42621222322+=⨯+⨯； tan15°=tan(60°-45°)=32311345tan 60tan 145tan 60tan -=+-=︒︒+︒-︒， 或tan15°=tan(45°-30°)=3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒︒+︒-︒. 例2 求︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值. 思路分析：观察被求式的函数名称的特点和角的特点，其中7°=15°-8°，15°=8°+7°，8°=15°-7°.无论采取哪种代换方式，都可减少角的个数.利用和角或差角公式展开，进行约分、化简、求值.若用7°=15°-8°代换，分子、分母是二次齐次式；若用15°=8°+7°或8°=15°-7°代换，分子、分母将会出现三次式，显然选择后者更好，不妨比较一下. 答案：原式=︒︒+︒-︒︒︒+︒+︒8sin )87sin(7cos 8sin )87cos(7sin ︒︒︒-︒-︒︒︒︒+︒-︒=︒•︒-︒︒︒-︒︒•︒-︒︒︒+︒=8sin 8cos 7sin )8sin 1(7cos 8sin 8cos 7cos )8sin 1(7sin 8sin 7cos 8sin 8cos 7sin 7cos 8sin 7sin 8sin 8cos 7cos 7sin 2222︒︒-︒︒︒︒+︒︒=︒︒︒-︒•︒︒︒︒+︒•︒=8sin 7sin 8cos 7cos 8sin 7cos 8cos 7sin 8sin 8cos 7sin 8cos 7cos 8sin 8cos 7cos 8cos 7sin 22 3215tan 15cos 15sin -=︒=︒︒=. 巧解提示:原式=︒•︒-︒-︒︒•︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin( ︒•︒-︒•︒+︒•︒︒•︒+︒•︒-︒•︒=8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin ︒•︒︒•︒=8cos 15cos 8cos 15sin =tan15°=tan(45°-30°) 3233133130tan 45tan 130tan 45tan -=+-=︒•︒+︒-︒=. 方法归纳 三角函数式的结构一般由角、三角函数符号及运算符号三部分组成.因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.无论是化简、求值，还是证明，其结果应遵循以下几个原则：①能求值的要求值；②三角函数的种类尽可能少；③角的种类尽可能少；④次数尽可能低；⑤尽可能不含根号和分母.知识点二 已知α、β的三角函数值，求α±β的三角函数值例3 已知sinα=31，求cos(3π+α)的值. 思路分析：因为3π是个特殊角，所以根据C (α+β)的展开式，只需求出cosα的值即可.由于条件只告诉了sinα=31，没有明确角α所在的象限，所以应分类讨论，先求cosα的值，再代入展开式确定cos(3π+α)的值. 解：∵sinα=31>0，∴α位于第一、二象限. 当α是第一象限角时，cosα=322)31(12=-， ∴cos(3π+α)=cos 3πcos α-sin 3πsin α=6322312332221-=⨯-⨯; 同理，当α是第二象限角时，c osα=322-， ∴cos(3π+α)=6332+-.方法归纳 解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)、C (α±β)、T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的.其中在利用同角三角函数的基本关系求值时，应先解决与已知具有平方关系的三角函数值.但是，对于cos(π+α)、cos(2π+α)这样的函数求值，由于它们的角与2π的整数倍有关，所以无需按它们的展开式求值，直接利用诱导公式可能更简单.例4 已知cos(α-2β)=91-，sin(2α-β)=32，并且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求2cos βα+的值.思路分析：观察给出的角)2()2(2βαβαβα---=+，结合公式C (α-β)展开式的特点，只需利用同角三角函数的基本关系计算出sin(α-2β)、cos(2α-β)的值即可. 解：∵2π＜α＜π，0＜β＜2π，∴4π＜2α＜2π，0＜2β＜4π. ∴4π＜α-2β＜π，-4π＜2α-β＜2π. 又∵cos(α-2β)=91-＜0，∴πβαπ<-<<22. ∴954)91(1)2(sin 1)2sin(22=--=--=-βαβα. 同理，∵sin(2α-β)=32>0，∴220πβα<-<. ∴35)32(1)2(sin 1)2cos(22=-=--=-βαβα. 故)]2()2cos[(2cos βαβαβα---=+=cos(α-2β)cos(2α-β)+sin(α-2β)sin(2α-β) 2757329543591=⨯+⨯-=. 例5 在△ABC 中，sinA=53,cosB=135，求cosC. 思路分析：本题主要考查三角形中的三角函数问题.若不注意“△ABC”这个条件，就会产生多解，所以解这类问题时一定要注意尽量压缩角的范围，避开分类讨论，同时要注意结论是否符合题意.解： ∵cosB=22135<,∴B∈(4π,2π)且sinB=1312.∵sinA=2253<,∴A∈(0,4π)∪(43π,π). 若A∈(43π,π),B∈(4π,2π)，则A+B∈(π,23π)与A+B+C=π矛盾， ∴A ∉(43π,π).因此A∈(0,4π)且cosA=54. 从而cosC=cos ［π-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=651613125313554=⨯+⨯-. 例6 如图3-1-7，已知向量OP =(3,4)绕原点旋转45°到OP′的位置，求点P′(x′,y′)的坐标.图3-1-7思路分析：本题相当于已知角α的三角函数值，求α+45°的三角函数值.解：设∠xOP=α.因为|OP|=54322=+，所以cosα=53,sinα=54. 因为x′=5cos(α+45°)=5(cosαcos45°-sinαsin45°) 22)22542253(5-=⨯-⨯=， 同理,可求得y′=5sin(α+45°)=227，所以P′(22-,227). 方法归纳 ①已知角α的某一三角函数值和角α所在的象限，则角α的其他三角函数值唯一；已知角α的某一三角函数值，不知角α所在的象限，应先分类讨论，再求α的其他三角函数值.②一般地，90°±α，270°±α的三角函数值，等于α的余名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，它的证明也可通过两角和、差的三角函数式进行.③在给值求值的题型中，要灵活处理已知与未知的关系，合理进行角的变换，使所求角能用已知角表示出来，所求角的三角函数值能用已知角的三角函数值表示出来.知识点三 已知三角函数值求角例7 已知sinα=55，sinβ=1010,且α、β都是锐角，求α+β的值. 思路分析：(1)根据已知条件可先求出α+β的某个三角函数值，如cos(α+β).(2)由两角和的余弦公式及题设条件知只需求出cosα、cosβ即可.(3)由于α、β都是锐角，所以0＜α+β＜π,y=cosx 在(0,π)上是减函数，从而根据cos(α+β)的值即可求出α+β的值.解：∵sinα=55,sinβ=1010，且α、β都是锐角，∴cosα=552sin 12=-α，cosβ= 10103sin 12=-β. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=2210105510103552=⨯-⨯. 又∵0＜α+β＜π,∴α+β=4π. 方法归纳 给值求角的一般步骤是：①确定所求角的范围；②找到该范围内具有单调性的某一三角函数值；③先找到一个与之相关的锐角，再由诱导公式导出所求角的值.知识点四 利用两角和、差的三角函数公式证明恒等式例8 已知3sinβ=sin(2α+β)，求证：tan(α+β)=2tanα.思路分析：观察条件等式和结论等式中的角，条件中含有β、2α+β，结论中含有α+β、α，若从条件入手，可采用角的变换，β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，展开后转化成齐次整式，约分得出结论.证明：∵3sinβ=3sin［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα，sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα，又3sinβ=sin(2α+β)，∴3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.∴tan(α+β)=2tanα.方法归纳 对条件恒等式的证明，若条件复杂，可从化简条件入手得出结论；若结论复杂，可化简结论得出条件；若条件和结论都较为复杂，可同时化简它们，直到找到它们间的联系. 知识点五 变用两角和差的三角函数公式化简求值例9 用和、差公式证明tan12°+tan18°+33 tan12°·tan18°=33. 解：∵︒•︒-︒+︒18tan 12tan 118tan 12tan =tan(12°+18°)=tan30°=33， ∴tan12°+tan18°=33 (1-tan12°·tan18°)， 即左边=33(1-tan12°tan18°)+33tan12°tan18°=33=右边. ∴tan12°+tan18°+33tan12°·tan18°=33. 方法归纳 三角公式通过等价变形，可正用，可逆用，也可变用，主要是通过对函数结构式的变形与对角的分、拆、组合来实现的.例10 求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan45°)的值.解：因为α+β=45°时，tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan --+=1，所以tan α+tan β+tan αtan β=1，即(1+tan α)(1+tan β)=2.于是(1+tan1°)(1+tan44°)=(1+tan2°)(1+tan43°)=……=(1+tan22°)(1+tan23°)=2.又因为1+tan45°=2，所以原式=223.方法归纳 当α+β=kπ+4π,k∈Z 时，(1+tanα)(1+tanβ)=2； 当α+β=kπ-4π,k∈Z 时，(1+tanα)(1+tanβ)=2tanαtanβ. 问题•探究思想方法探究问题1 在三角恒等变换中，三角公式众多，公式变换也是解决问题的有效手段，在应用这些公式时要注意些什么问题？探究过程:使用任何一个公式都要注意它的逆向变换、多向变换，这是灵活使用公式所必须的，尤其是面对那么多三角公式，把这些公式变活，显得更加重要，这也是学好三角函数的基本功.如：cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ化简为__________.将α-β看作一个角，β看作另一个角,则cos(α-β)cosβ-sin(α-β)sinβ=cos［(α-β)+β］=cosα. 解答本题时不仅利用角的变换：α=(α-β)+β，同时运用了公式的逆向变换.探究结论:两角和的正切公式tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+.除了掌握其正向使用之外，还需掌握如下变换：1-tanαtanβ=)tan(tan tan βαβα++；tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)；tanαtanβtan(α+β)=tan (α+β)-tanα-tanβ等.两角和的正切公式的三种变形要熟悉，其在以后解题中经常使用，要能灵活处理.问题2 2004年重庆高考有一题为：求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在［0,π］上的单调递增区间.该函数变形后就需要用到形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子的变换，我们称之为辅助角变换，那么如何进行辅助角变换？探究过程:形如asinx+bcosx(a 、b 不同时为零)的式子可以引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式.asinx+bcosx=)cos sin (222222x b a b x ba ab a -+++, 令cosφ=22b a a +,sinφ=22b a b+，则原式=22b a +(sinxcosφ+cosxsinφ)=22b a +sin(x+φ).(其中φ角所在象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tanφ=a b 确定，常常取φ=arctan a b ). 探究结论:辅助角变换是三角变形的重要形式，它的应用十分广泛，特别是在数学中求三角函数的最值及物理学当中波的合成时，都是重要的工具.例如2sinx-3cosx ，就可以利用这一结论将其化为一个三角函数的形式，从而确定其最值，因为a=2,b=-3,A=1322=+b a ，所以2sinx-3cosx=13sin(x+φ)，(其中φ在第四象限，且tanφ=23-)，所以2sinx-3cosx 的最大值是13，最小值是13-.。