二维拉普拉斯方程的边值问题
Laplace九点差分格式
1.5609 1.8067 2.1132 2.5190 3.0488
1.6172 1.8649 2.1590 2.5661 3.1403
1.6393 1.8897 2.0944 2.4093 3.1553
精确解：
1.3610 1.5029 1.6031 1.6589 1.6688
1.6078 1.7754 1.8939 1.9598 1.9714
共 10 页 第3页
Laplace 方程九点差分格式
的光滑解.
3.2 矩阵形式 Au b; 其中
A1 A2
A2 A1 A2
A
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A2
A1
A
2
A2 A1 ( N 1)*(N 1)
20 4
4
20 4
A1
4 20
4
,
4
20( N 1)*(N 1)
4 1
1 4 1
A2
1
Laplace 方程九点差分格式
开始
k=2
输入区间，节点数N 给出迭代次数n
对向量b赋值， 对向量u赋初值u0； 对矩阵A1，A2赋值
m=1
m<n+1 N
输出数值解u1
k<N-1
Y
N
A1*u1(k)=A2*u1(k-1)A2*u0(k+1);
K=k+1
A1*u1(1)=A2*u2(2)+b(1);
中南林业科技大学
本科课程设计说明书
学 院：
理学院
专业年级： 2008 级信息与计算科学二班
课 程：
科学计算课程设计
论文题目： Laplace 方程九点差分格式
2.2二维拉普拉斯方程的边值问题
u
y = 0 = f ( x ),
⇒∑
n =1
∞
{ An + Bn } sin
⇒ A + B = 2 a f (ξ ) sin nπ ξdξ n n ∫
a
0
a
u
y =a
= g (x). ⇒
∑
⇒
n =1
∞
nπb nπb nπx { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin = g ( x). a a a
真空静电势满足拉普拉斯方程： 真空静电势满足拉普拉斯方程：
方程
∆u ( x, y ) = 0
边界条件
或
∂ 2u ∂ 2 u + 2 =0 2 ∂x ∂y
云、地、导线。
导线的表面是等势面，取其为电势零点： 导线的表面是等势面，取其为电势零点： 零点
u u
x 2 + y 2 =a 2
= f 有限
a为导线半径
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
⇒
R' ' Φ + R' Φ / ρ + RΦ' ' / ρ 2 = 0
ρ 2 R' ' / R + R' ρ / R + Φ ' ' / Φ = 0
ρ R ' ' / R + R ' ρ / R = −Φ ' ' / Φ = λ
nπb nπb 2 nπξ An exp[ ] + Bn exp[− ] = ∫ g ( x) sin dξ a a a0 a
二维拉普拉斯方程的基本解
二维拉普拉斯方程的基本解一、引言二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。
本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。
二、定义二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$$其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。
三、性质1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。
2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。
3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。
4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。
四、求解方法1. 分离变量法假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。
然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。
2. 用格林函数求解格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：$$G(x,y;x_0,y_0)=\begin{cases}1 & \text{$x=x_0$, $y=y_0$}\\0 & \text{其他情况}\end{cases}$$利用格林函数可以求出任意一个边值问题的解。
拉普拉斯方程的格林函数法
则 u(M 0)u (M ) n(4整r 1 M 理M 课0 件v)d S
19
2v0，in
令G(M,M0)41rM1M0 v, 其中调和函数v满足v4r1MM0
则 u(M0)u(M)G ndS.
称 G ( M ,M 0 ) 为 三 维 L a p l a c e 方 程 狄 氏 问 题 的 格 林 函 数 。 这 种 由 格 林 函 数 或 其 导 数 的 积 分 来 表 示 解 的 方 法 称 为 格 林 函 数 法 。
的 值 来 表 示 。
2） 若 M0为 外 或 边 界 上 的 点 ， 类 似 推 导 有
u(M)nrM 1M0
1 rMM0
u ndS 24uu(0 (M ， M00 M ))， ， 0在 M M 00在 在 外 上 内
整理课件
13
3 ） 若 u C 2 ( ) C 1 ( ) ， 且 2 u = F , 我 们 可 以 得 到 类 似 公 式
取 v1,则 可 得 牛 曼 问 题 u n=f有 解 的 必 要 条 件 是 fdS0
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14
（3）平均值公式
定 理 ： 设 函 数 u(M )在 区 域 内 调 和 的 ， M 0(x0,y0,z0)为 其 中 任 一 点 ，
Ka表 示 以 M 0(x0,y0,z0)为 中 心 ， 以 a为 半 径 且 完 全 落 在 内 部 的 球 面 ，
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15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
常 数 外 解 也 是 唯 一 确 定 的 。
证明：
设 u1,u2为 上 述 两 类 问 题 的 解 ， 则 它 们 的 差 vu1u2必 是 原 问 题 的 满 足 零 边 界 条 件 的 解 ， 即 对 于
拉普拉斯方程的格林函数法
然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的
电位 1 和感应电荷的电位 内4的rM电0M位.
v
的叠加，
Green函数=
➢将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这
个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原
来的问题同样的解
M0
M1
4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄氏问题的解
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4.3 格林函数
要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 v , 它满
1
足: 易,
但v 对| 于4一 r些M0特M .殊对的于区一域般, 的如区半域空,间确，定球v域并等不, 容格
林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电
象法”求解。
4.3 格林函数
Green函数的物理意义
➢在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在 面内侧必
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用
热传导方程与拉普拉斯方程特殊函数解析求解与应用热传导方程和拉普拉斯方程是数学物理中常见的偏微分方程，广泛应用于能量传输、温度分布、电势分布等领域。
为了求解这些方程，一种常用的方法是利用特殊函数解析求解。
本文将介绍热传导方程和拉普拉斯方程的基本概念，并详细阐述特殊函数解析求解的方法和应用。
一、热传导方程热传导方程描述了物质内部温度分布随时间的变化规律。
假设我们有一个热导率为k的均匀材料，其温度分布由函数u(x, t)表示，其中x 表示空间坐标，t表示时间。
则热传导方程可表示为：∂u/∂t = k∇²u其中，∇²是拉普拉斯算子，定义为∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²。
该方程描述了温度分布变化的速率与热导率和温度分布的曲率之间的关系。
为了求解热传导方程，可以采用分离变量法。
我们假设温度分布u(x, t)可以表示为两个函数的乘积：u(x, t) = X(x)T(t)。
将这个表达式代入热传导方程中可以得到：X(x)T'(t) = kX''(x)T(t)这里，X''(x)表示X(x)对x的二阶导数，T'(t)表示T(t)对t的一阶导数。
由于等式两侧只含有x和t两个变量，所以可以等号两侧除以X(x)T(t)，得到两个方程：T'(t)/T(t) = kX''(x)/X(x)左侧只含有t，右侧只含有x，而等式两侧是相等的常数，表示为λ。
于是，我们可以得到两个简化的方程：T'(t)/T(t) = λkX''(x)/X(x) = λ由于左侧只含有t，右侧只含有x，两个方程可以分别等于一个常数。
这两个方程分别称为时间方程和空间方程，它们的解分别为特殊函数T(t)和X(x)。
二、特殊函数解析求解特殊函数是满足某些特定条件的函数，常见的特殊函数有奇异函数、超几何函数、贝塞尔函数等等。
圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
这个解，称为圆域内的泊松公式，它的理论 意义是把解写成了积分的形式，方便研究
2 Euler 方程 R R R 0 的通解为 R 0 c0 d 0 ln , 0 R n cn n d n n , n2
(n 0,1,2,3,)
为了保证 R (0) ，那么只有 d n 0 (n 1,2,)，即
为了应用方便，我们将求出的系数代入： a0 n u ( , ) (an cos n bn sin n ) 2 n 1 经过简化后得到：
u ( , ) 1
2ຫໍສະໝຸດ 01 n f ( t ) ( ) cos n ( t ) d t 2 n 1 0
本题可写为求以下方程组的解：
2 1 u 1 2u ( ) 0 , 0 , 0 2 u 2 2 u ( 0 , ) f ( ) , 0 2 u ( 0 , ) u ( , ) u ( , 2 ) ① ② ③ ④
式中： a0 a c 0 0 2 a n a n cn bn bn cn
（4）. 确定系数 a0,an,bn。 利用边界条件 u ( 0 , ) f ( ) , 0 2 , 得
a0 n f ( ) 0 (an cos n bn sin n ) 2 n 1
2 R R R 0
u ( 0 , ) ③
R (0)
u ( , ) u ( , 2 ) ④ ( 2 ) ( )
因此，得到两个常微分方程的定解问题：
0 ( 2 ) ( )
拉普拉斯算符的运算法则
拉普拉斯算符的运算法则1.基本法则：（1）加法性：对于两个标量函数f(x,y,z)和g(x,y,z)，拉普拉斯算符满足∇²(f+g)=∇²f+∇²g。
（2）标量函数乘法法则：对于一个标量函数 f(x, y, z) 和一个常数 k，拉普拉斯算符满足∇²(kf) = k∇²f。
（3）链式法则：对于两个函数f(x,y,z)和g(t)，其中f只依赖于变量t，而g只依赖于变量x、y和z，拉普拉斯算符满足∇²(f∘g)=(∇²f)⋅g+2(∇f)⋅(∇g)+f(∇²g)。
（4）乘积法则：对于两个函数 f(x, y, z) 和 g(x, y, z)，拉普拉斯算符满足∇²(fg) = f∇²g + g∇²f + 2(∇f)⋅(∇g)。
2.定解问题法则：在求解偏微分方程时，拉普拉斯算符的运算法则还包括定解问题法则。
（1）边值定解问题法则：在求解偏微分方程的边值问题时，根据拉普拉斯算符的性质，我们可以通过给定边界值来确定解的行为。
比如，在求解二维泊松方程时，可以通过在边界上给定函数值来确定解的形状。
（2）初始条件定解问题法则：在求解时间相关的偏微分方程时，除了边值条件外，还需要给定初始条件。
在这种情况下，需要将初值问题转化为一个定解问题，通过迭代求解来确定解的行为。
（3）分离变量法：对于一些特殊的偏微分方程，我们可以使用分离变量法来求解，其中包括将解表示为两个或多个独立变量的乘积形式，然后逐个求解子问题。
总结起来，拉普拉斯算符的运算法则包括基本法则和定解问题法则。
基本法则是对于标量函数的运算法则，包括加法性、标量函数乘法法则、链式法则和乘积法则。
定解问题法则是在求解偏微分方程时的运算法则，包括边值定解问题法则、初始条件定解问题法则和分离变量法。
这些运算法则是求解偏微分方程和计算物理量的重要工具，对于理解和应用偏微分方程具有重要意义。
(2021年整理)固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述的全部内容。
计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics土木工程系2014年03月17日评语目录摘要 (2)A BSTRACT (2)一、引言 (3)1）什么是边界元法[1] (3)2)积分方程和边界元法的发展历史［2］ (4)二、边界元法［5] (5)1）概述 (5)2)基本解 (5)3)拉普拉斯(Laplace）积分方程 (6)4）拉普拉斯（Laplace)边界积分方程 (7)5）拉普拉斯(Laplace）积分方程离散化与解法 (7)6)泊松（Poisson）边界积分方程 (9)三、结束语 (9)参考文献 (10)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。
它以边界积分方程为数学基础,同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。
第3章 边值问题的解法
静电场的边值问题
一、泊松方程和拉普拉斯方程
二、松方程和拉普拉斯方程 泊松方程：
v
2
拉普拉斯方程（在 v 0 区域内）：
0
2
上述方程为二阶偏微分方程。其中▽2 (拉普拉斯算子）
2 2 2 在直角坐标系下 ： 2 2 2 2 x y z
本章小结
主要内容及关键公式：见教材
要掌握的重点：
1. 静电场、恒定电场的基本方程形式 （积分形式、微分形式） ，及其物理意义。 2. 静电场、恒定电场的边界条件（方程、 物理意义、应用） 3. 会计算电场强度、电位函数、电容、 电导、分布电荷密度
三、边值问题的解法
基于唯一性定理，寻求解拉普拉斯方程（或泊松方 程）的方法——解析法，数值法。 镜像法 解析法 分离变量法
镜像法 应用背景：当电荷存在于无限大导电区域附近时， 可用镜像法求解电场。
暂时忽略边界的存在，在所求区域之外，放置虚拟电 荷来代替实际导体表面上复杂的电荷分布。
该虚拟电荷被称为实际电荷的镜像电荷。 即：镜像电荷在求解域之 外，而导体被忽略。
在圆柱坐标，球坐标系中的表示：见 P16
二、唯一性定理
静电场中，在每一类边界条件下(P.50)，泊松方程
或拉普拉斯方程的解必定是唯一的。 即：不管采用什么方法，只要能找到一个 既能满足（1）给定的边界条件，
又能满足（2）拉普拉斯方程（或泊松方程）
的电位函数， 则这个解（即此电位函数）一定是正确的。
数学物理方程课程
《数学物理方程》课程教学大纲课程代码：B0110040课程名称：数学物理方程／equation of mathematic physics课程类型：学科基础课学时学分：64学时/4学分适用专业：地球物理学开课部门：基础课教学部一、课程的地位、目的和任务课程的地位：数学物理方程是地球物理学专业的一门重要的专业（或技术）基础课。
数学物理方程是反应自然中物理现象的基本模型，也是一种基本的数学工具，与数学其他学科和其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、系统工程、物理、化学、生物等学科都有广泛联系。
对于将来从事工程地震技术工作及自然科学研究的学生来说是必不可少的。
期望学生通过该门课程的学习，能深刻地理解数学物理方程的不同定解问题所反应的物理背景。
课程的目的与任务：使学生了解数学物理方程建立的依据和过程，认识这门学科与物理学、力学、化学、生物学等自然科学和社会科学以及工程技术的极密切的广泛的联系。
掌握经典数学物理方程基本定解问题的提法和相关的基本概念和原理，重点掌握求解基本线性偏微分方程定解问题的方法和技巧。
使学生掌握与本课程相关的重要理论的同时，注意启发和训练学生联系自己的专业，应用所学知识来处理和解决实际问题的能力。
二、课程与相关课程的联系与分工学生在进入本课程学习之前，应修课程包括：大学物理、高等数学、线性代数、复变函数、场论与向量代数。
这些课程的学习，为本课程奠定了良好的数学基础。
本课程学习结束后，可进入下列课程的学习：四大力学、电磁场与微波技术、近代物理实验等。
且为进一步选修偏微分方程理论、数值计算、控制理论与几何分析等课程打下基础。
三、教学内容与基本要求第一章绪论1.教学内容第一节偏微分方程的基本概念第二节弦振动方程及定解条件第三节热传导方程及定解条件第四节拉普拉斯方程及定解条件第五节二阶线性偏微分方程的分类第六节线性算子2.重点难点重点：物理规律“翻译”成数学物理方程的思路和步骤，实际问题近似于抽象为理想问题难点：数学物理方程的数学模型建立及数学物理方程的解空间是无限维的函数空间3.基本要求（1）了解数学物理方程研究的基本内容，偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念；了解算子的定义。
拉普拉斯(Laplace)方程
(1.13)
实例三：膜平衡方程 在第三章中我们研究了膜的振动方程
ρ
∂2u ∂t2
=
T
∂2u ∂x2
+
∂2u ∂y2
+ F (t, x, y).
(1.14)
特别地，当研究在不随时间而变换的外力F (x, y)作用下的膜的平衡问题时，膜的位移 函数u和时间t无关，此时方程(1.14) 可化为膜平衡方程
∂2u ∂x2
位质量的质点的引力−→F (x,
y,
z)其大小为
m r2
，而作用的方向为−P−P→0，即作用方向沿着这
两点的连线指向P0点，其中r = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2表示点P0与点P 的距
离。−→F (x, y, z)可以写成下述向量的形式
−→F (x,
y,
z)
=
第五章 Laplace方程
Laplace方程(又称调和方程)和Poisson方程是最典型的椭圆型方程，它们具有广泛 的应用背景，譬如静电学中的电势以及牛顿万有引力理论中的引力势均满足这类椭圆 型方程(它们在静电学和引力理论中分别被称为静电场方程和静态引力场方程)。本章我 们介绍关于Laplace方程和Poisson方程的一些基本知识、方法和结果。在第一节中我们 介绍了Laplace方程和Poisson方程的导出以及定解条件的提法。在第二节中我们介绍变 分法，着重介绍在物理、力学等领域中具有重要应用的变分问题及变分原理(实际上， 许多常微分方程问题和数学物理方程的定解问题常常可归结为变分问题)。在第三节中 我们应用Green公式，建立了Laplace方程解的平均值定理，并证明了关于调和函数的 极值原理，进而应用该极值原理证明了第一边值问题解的唯一性和稳定性。在第四节 中，我们首先引入著名的Green函数，讨论了它的一些基本性质，并着重介绍了求解特 殊区域(球、半空间和圆)上的Laplace方程的第一边值问题解的表达式的静电源法。在 第五节中，我们利用在第四节中建立的Poisson公式进一步讨论了调和函数的另外一些 重要性质，譬如Harnack定理等等。在第六节中我们证明了Laplace方程的强极值原理， 并利用它讨论了Laplace方程的第二边值问题解的唯一性。
数理方程第二章 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题-3
将非齐次边界条件（2）代入形式解（3）：
R( 0 )( ) f ( )
（6）
上式无法分离成关于R和的两个独立的边界条 件，不能分别构成关于R和的常微分方程的定 解问题！
下一步如何进行？
深圳大学电子科学与技术学院
寻找物理上的边界条件：
1. ( , ) 和 ( , 2 ) 在物理上代表同一个点， 具有相同的温度:
0
A cos
1 u 1 2u 2 2 0 0 0 2
(1) (2)
0
u A cos
0
( 0 2 )
深圳大学电子科学与技术学院
0 ( 2 ) ( )
(7)
(8)
(9)
R R R 0
2
R(0)
(10)
至此已经构成了完整的角向和径向的定解问题，而 条件(2）将象弦振动问题和热传递问题中的初始条 件一样，最后再去考虑。
深圳大学电子科学与技术学院
求解角向定解问题： 1. 0：(7)的通解
一般解:
a0 n u ( , ) an cos n bn sin n 2 n1
a0 an 1
2
f ( ) A cos
A cos d 0
0 2
bn
1
2 n 0
A cos sin n d 0
0
1
0n
A cos cosn d
(10)为欧拉方程，其通解为
为了保证 R(0) ，必须取 d n 0 (n 0, 1, 2,)
R0 ( ) c0 ( n 0)
拉普拉斯方程、水平集方法等
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：上面的方程常常简写作：或其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：Δφ = 0其中Δ称为拉普拉斯算子.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D 的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维拉普拉斯方程狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
证明 二维拉普拉斯方程 椭圆形
证明二维拉普拉斯方程椭圆形二维拉普拉斯方程是二阶偏微分方程中的一个重要方程，它在数学物理中有着广泛的应用。
本文将从数学和物理两个方面来证明二维拉普拉斯方程的椭圆形。
首先，我们来看二维拉普拉斯方程在数学上的证明。
设二维空间中的函数u(x, y)满足拉普拉斯方程:▽^2u = ∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0要证明这个方程的椭圆性，我们可以通过证明拉普拉斯方程满足极值原理来进行。
首先，我们假设存在某个点(x0, y0)使得u(x0, y0)取得极大值。
对于该点的任意邻域内的点(x, y)，根据泰勒展开定理，我们可以得到:u(x, y) = u(x0, y0) + (x - x0)(∂u/∂x)|_(x0, y0) + (y -y0)(∂u/∂y)|_(x0, y0) + ...由于(u - u(x0, y0))在(x, y) = (x0, y0)附近是一个小量，所以我们只考虑u(x, y)中的一阶项。
所以有:u(x, y) ≈ u(x0, y0) + (x - x0)(∂u/∂x)|_(x0, y0) + (y -y0)(∂u/∂y)|_(x0, y0)由于(x - x0)和(y - y0)是小量，我们可以忽略它们的平方和更高阶的项。
于是上式可以进一步简化为:u(x, y) ≈ u(x0, y0) + (x - x0)(∂u/∂x)|_(x0, y0) + (y -y0)(∂u/∂y)|_(x0, y0)接下来，我们考虑到x0和y0是使得u(x0, y0)取得极大值的点，所以在这个点处对u函数求偏导数，有:(∂u/∂x)|_(x0, y0) = 0(∂u/∂y)|_(x0, y0) = 0将上述结果代入到近似公式中，得到:u(x, y) ≈ u(x0, y0)这意味着，在(x0, y0)附近的点上，函数u(x, y)的值保持在u(x0, y0)附近。
由于x0和y0是任意选取的，我们可以得出结论，拉普拉斯方程满足极值原理，即在二维空间中，满足拉普拉斯方程的函数u(x, y)在取得极值的点附近保持极值。
拉普拉斯方程、水平集方法等
拉普拉斯方程（Laplace's equation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
定义三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ：上面的方程常常简写作：或其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：Δφ = 0其中Δ称为拉普拉斯算子.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得φ在D的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域D边界处的温度函数φ本身，而是φ沿D的边界法向的导数。
从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
这种非常有用的性质称为叠加原理。
可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
二维拉普拉斯方程狄利克雷边界条件（u(r=2)=0、u(r=4)=4sin(5*θ)）下的环形拉普拉斯方程（r=2、R=4）图形两个自变量的拉普拉斯方程具有以下形式：解析函数解析函数的实部和虚部均满足拉普拉斯方程。
电势与格林函数静电问题中的拉普拉斯方程与格林函数解法
电势与格林函数静电问题中的拉普拉斯方程与格林函数解法导言：在静电学中，研究电势和格林函数是解决电场分布的重要方法。
本文将讨论电势与格林函数在静电问题中的应用，重点介绍拉普拉斯方程以及格林函数解法。
一、拉普拉斯方程简介拉普拉斯方程是描述电势在无电荷区域中分布的基本方程。
对于一个二维情况下的电势分布问题，拉普拉斯方程可以写作：∇²ψ = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，ψ表示电势。
二、格林函数的概念与意义格林函数是求解拉普拉斯方程问题的关键工具。
格林函数是指满足以下条件的函数G(x,x')：∇²G(x,x') = -1 / ε₀ * δ(x-x')其中，ε₀是真空介电常数，δ(x-x')表示Dirac函数。
格林函数在某一点的值表示在该点放置单位点电荷时在空间中的分布情况。
三、格林函数的求解方法格林函数的求解可以通过使用边值问题的方法，具体步骤如下：1. 确定给定区域的边界条件以及相应的边界值。
2. 根据边界条件和拉普拉斯方程建立复杂变量的边界值问题。
3. 利用复变函数的解析性质求解得到问题的解析解。
4. 根据格林第一定理以及叠加原理，得到最终的格林函数解。
四、拉普拉斯方程与格林函数解法实例在一个有限区域中，假设存在一个带电导体表面，题目要求求解该区域内的电势分布。
根据已知条件，可以将问题建模为一个边值问题，通过求解格林函数来得到电势分布。
结论：在静电学问题中，电势与格林函数是求解电场分布的重要方法。
通过拉普拉斯方程与格林函数的解法，可以得到电势的具体分布情况。
在实际问题中，我们可以根据具体的边界条件和几何形状，使用适当的数值方法或解析方法求解，从而获得准确的电势分布结果。
参考文献：[1] Griffiths D J. Introduction to Electrodynamics[M]. Pearson Education Limited, 2017.[2] Lewin W. Mathematical Methods in Classical Mechanics[M]. Springer Science & Business Media, 2012.。
第四章格林函数法
u u(M0 )
n
n
从而得证
1
1 1 u (M )
u (M 0) 4
[u (M ) ( )
nrM M 0 rM M 0
]d S n
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4 调和函数的基本性质
性质1：设 u ( x, y , z ) 在有界区域 内为调和函数，且在
上有一阶连续偏导数，则 u dS 0 n 证：令 v 1 将 u , v 代入第二Green公式即可。
u (M 0 ){ u [ n 4 n (r M M 0)] (4r M M 0 v ) n } d S（3）
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选 v ，使 v 1
，则（3）式变成
4 rM M 0
v 1 1
称为Green函u(数M0)u[n4n(rM M0)]dS
1
u (
1
G(M,M0)4rMM0 g(M,M0)
其中 g(M,M0) 表示导电面上感应电荷所产生的电位。
（该函数结构即是Green函数）
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可见只要将g(M,M0) 确定了，则 G(M,M0) 也就确定了。
g(M,M0) 如何确定呢？根据Green函数的结构，g(M,M0)必须
n rM M 0
于是
r rMM0
r2 MM0
2
u n(rM 1 M 0)d S1 2 u d S1 24 2u 4 u
1 rM M 0
u 1
ndS
udS4u
n
n
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(33)
将(33)代入方程(30),分离变量得
X ''( x) Y ''( y)
X(x) Y( y)
其中 是常数。 因此我们得到两个常微分方程
2
X ''(x) Y ''( y)
X (x) Y (y)
X ''(x) X (x) 0, (34) Y ''( y) Y ( y) 0, (35)
1 2 a0
(an cos n
n1
bn sin n )r0n
f ( ),
(0 2 ),
16
u(r0 , )
1 2
a0
(an
n1
cos n
bn
sin n )r0n
f ( ),
(0 2 ),
由傅里叶级数理论，知
an r0n
2
2
2
f ( ) cosnd
0
(n 0,1, 2, ),
bn r0n
求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u(x, y) 来表示板上点 (x, y) 处的温度，即
1
解下列定解问题：
uu(xxx,0)uyy
0 (0 x f (x), u(x,b)
a, 0 y g(x),
b),
u(0, y) 0, u(a, y) 0.
(30) (31) (32)
应用分离变量法，设 u(x, y) X (x)Y (y),
其通解为
R0 (r) C0 ln r D0 ,
其中C0 , D0 是任意常数。只有当 C0 0 时，函数 R0
才满足有界性条件 | R(0) | .
因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R0 (r) D0.
从而得原方程(39)的一个非0解
u0 (r, )
B0 D0
1 2
a0 .
13
'' 0. ( 2 ) ( ). (41)
9
urr
1 r
ur
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
u |rr0 f ( ). 设方程(39)的解为
u(r,) R(r)(), 代入方程(39)得
R'' 1 R' 1 R'' 0
分离变量则有
r
r2
r 2R''rR' ''
R
其中比值 为常数。
(39) (40)
10
由此可得两个常微分方程 r 2 R''rR'R 0,
(0 2 )
(40)
u(r, )
1 2
a0
n1
(an
cos n
bn
sin
n )r n .
(43)
其中系数 an , bn ,由式(44)确定
1
an r0n
2
f ( ) cos nd
0
bn
1
r0n
2
f ( ) sin nd
0
(n 0,1, 2, ),
(44)
(n 1, 2, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
18
小结 几种常见的固有函数系的形式
(1) u(0,t) 0, u(l,t) 0; (2) u(0,t) 0, ux (l,t) 0;
sin
nx
l
(n
1,
2,
);
sin
(2n
1)x
2l
(n
1,
2,
);
(3) ux (0,t) 0, u(l,t) 0;
cos
(2n
1)x
2l
比较系数得
A Acos 2 B sin2
sin2 0.
B Asin2 B cos 2
cos 2 1,
n2 (n 1, 2, ), 14
'' 0. ( 2 ) ( ). (41)
3.当 0时，方程的通解为
( ) Acos B sin ,
其中 A, B 是任意常数。由于( 2 ) (),
'' 0. ( 2 ) ( ). (41)
2.当 0时，方程的通解为 0 ( ) A0 B0 ,
其中A0 , B0 是任意常数。只有当 A0 0 时，函数 0
才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题
的解为
0 ( ) B0 .
(41)
再将 0 代入问题(42)中的方程 r 2R''rR'R 0,
3.当 0时，方程的通解为
( ) Acos B sin ,
其中 A, B 是任意常数。由于( 2 ) (),
Acos B sin Acos ( 2 ) B sin ( 2 )
Acos cos 2 Asin sin2
B sin cos 2 B cos sin2
(n 1, 2, )
7
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题
考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度
分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f () (0 2 ), 且 f (0) f (2 ).
试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯， 并且区 域是圆形的，为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用 u(r, )来表示圆形薄板内 (r, )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
为了保证 | R(0) | , 只有取 Dn 0 (n 1, 2, ), 所以 Rn (r) Cnr n . (n 1, 2, ),
15
那么，当 n2 (n 1, 2, ), 时，我们得到方程(39) 的一系列特解
un (r, ) (an cos n bn sin n )r n (n 1, 2, ),
0
1
2
sin 2d
1
2R 0
2R
特别的，
a0 2
21
又由于
bn
1
R n
2
sin sin nd
0
(n 1, 2, ),
则有
bn
1
2R n
2
[cos(1 n) cos(1 n) ]d
0
0 (n 1)
b1
1
R
2 sin 2 d
0
1
2
(1 cos2 )d
2R 0
.
R
22
将上面所求得的系数
(n 0,1, 2, ),
bn
1
R n
2
sin sin nd
0
(n 1, 2, ),
20
由于 则有
1
an Rn
2
sin cosnd
0
(n 0,1, 2, ),
an
1
2R n
2
[sin(1 n) sin(1 n) ]d
0
1 2 , (n 1)
Rn n2 1
a1
1
R
2
sin cosd
则有
1 Rr Rt r ,
Rrr
(Rtt
1) 1 rr
Rt
(
1 r2
)
1 r2
Rtt
1 r2
Rt ,
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
Rn Cnent Dnent . 再将 t ln r 代入还原得
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
x n y(n) P1 x n1 y(n1) Pn1 xy' Pn y f ( x).
其中 P1 Pn 是常数， f (x) 是已知函数。 问题：求满足如下欧拉(Euler)方程的函数 R(r)
r 2 Rrr rRr n2 R 0, (n 1, 2, )
解 作变换 r et
t ln r
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
(32)
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ''(x) X (x) 0, X (0) X (a) 0, (36)
的非0解。
(1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。
(2)当 0 时，问题(36)也没有非平凡解。
n y
n y
(ane a bne a
n1
n
) sin a
x
仍然满足方程和齐次边界条件(32).
(37)
再应用非齐次边界条件 u(x,0) f (x), u(x,b) g(x),
(31)
5
则有关系式
n
(an bn )sin
n1
a
x f ( x),
n b
(ane a
n1
bne
n a
b
)
s
in
2
2
2
f ( )sin nd
0
(n 1, 2, ),
an
1
r0n
2
f ( ) cos nd
0
bn
1
r0n
2
f ( ) sin nd
0
(n 0,1, 2, ),
(44)
(n 1, 2, ),
17
因此，定解问题(39)(40)
urr
1 r
u
r
1 r2
u
0
(0 r r0 ),
(39)
u |rr0 f ( ). 的解由级数解(43)给出
y
x
u x ur rx u x
u y ur ry u y
u xx (urr rx ur x ) rx ur rxx (u r rx u x ) x u xx