华师版—求二次函数的关系式
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
a-b＋c＝-5， 依题意得 c＝－4，
a＋b＋c＝1，
解得
a＝2， b＝3， c＝－4，
∴这个二次函数的关系式为y＝2x2＋3x－4.
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且 过点M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， 所以设二次函数的关系式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1.
26.3 求二次函数的关系式
2个
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要 已知几个点的坐标求出它的表达式？
2个
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤
是什么？
(1)设：（表达式）
待定系数法
(2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
顶点法求二次函数的方法
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的关系式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
{ { ∴ 3=4a+c，
a=2，
解得
－3=a+c，
c=－5.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
华东师大版九年级数学下册课件：27.2求二次函数的关系
有一座抛物线形拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O 离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横 截面是矩形CDEF，建立如图的直角坐标系。 Y （1）求此抛物线的解析式； （2）如果限定矩形的长CD O 为9米，那么矩形的高DE不 X 能超过多少米，才能使船通 F E 过拱桥； （3）若设EF=a，请将矩形 CDEF的面积S用含a的代数 B C M D A 式表示，并指出a的取值范围。
探究拓展: (2)
数学爱好者第127页，变式练习
已知一抛物线大门，其地面宽度AB=18m，如图， 一同学站在门内，在离门脚B点1m远的D处，垂直地 面立起一根1.7m的木杆，其顶端恰好顶在抛物线门上 的C处，根据这些条件，请你求出该大门的高h.
例1：根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式 (1) 已知二次函数的图象经过点A(0,1),B(2,0),C(–1,2) (2) 已知抛物线的顶点为(1, –3),且与y轴交于点(0,1) (3) 已知抛物线与x轴交于点M(–3，0),N(5,0),且与y轴交 于点(0, –3).
分析:(1) 根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函 2 y ax bx ca 0 数关系式为一般式： (2) 根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为顶点 2 式 y a x h k 再根据抛物线与y轴的交点可求出a值； (3) 根据抛物线与x轴的两个交点坐标，可设函数关系式 为交点式： y a x x1 x x2 ,再根据抛物线与y轴的交点 可求出a值
(2) 如何设函数关系式呢？
A
y
﹒
O C B
x
设 y ax
2
(3) a的取值范围是什么？ (4) A、B、O三点的坐标分别 是什么？ a<0
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》课件_24
四、思考——中考真题链接（ 2017 ）
• 一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的 顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离 为1 m处达到最高，高度为3m．
• (1)建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为(0，2.25)， 水柱的最高点的坐标为(1，3)，求出此坐标系中抛物形水柱对应的 函数关系式（不要求写取值范围）；
3、交点式(两根式）y a(x x1)( x x2 ) (a≠0)
已知抛物线与x轴的交点坐标，选择交点式.
课前热身
二、试说下列各题求二次函数解析式的方法
[第一组]
(1)二次函数图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1) ；
(2) 将二次函数y 2(x 1)2 3 的图像向右 平移1个
试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，
若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每y 小时多少千米？
E
C
F
A O
D
B x
(3)解:∵抛物线的函数解析式
为 y 1 x2 4
∴E：(0，4) 25
C
又有题意可得：F（0，3 A
∴EF＝1 ）
y E F
O
D
B x
∴水位有CD上升到点E所用的时间为4小时。
设货车从接到通知到到达桥所用的时间为 t .
则40（t＋1）＝280 解得：t＝6＞4 故货车按原速行驶，不能安全通过此桥。
设货车速度为x km／h，能安全通过此桥.
则4x+40≥280 解得x≥60 故速度不小于60km／h，货车能安全通过此桥。
（二）生活中的二次函数---抛物线形（运动路线问题）
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》说课稿3
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》说课稿3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》这一节内容，是在学生已经掌握了二次函数的图象与性质的基础上进行学习的。
二次函数是初中数学中的重要内容，它不仅涉及到代数知识，还与几何知识紧密相关。
通过学习求二次函数的关系式，可以帮助学生更好地理解和把握二次函数的本质特征，为后续学习更高级的数学知识打下基础。
本节课的主要内容是求解二次函数的关系式，包括二次函数的定义、标准形式、顶点坐标、开口方向等。
这些内容是学生进一步研究二次函数性质的基础，对于学生来说，既熟悉又陌生。
熟悉的是，他们已经接触过二次函数，并对其有一定的了解；陌生的是，他们还没有系统地学习过如何求解二次函数的关系式。
因此，本节课的教学目标是帮助学生建立起二次函数关系式的知识体系，提高他们的数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和性质有一定的了解。
他们在学习过程中，能够通过观察、实验、推理等方法，探索二次函数的性质。
然而，由于二次函数的知识较为抽象，学生对于如何求解二次函数的关系式仍然存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，采取适当的教学策略，帮助学生理解和掌握二次函数的关系式。
三. 说教学目标本节课的教学目标主要包括以下三个方面：1.知识与技能：使学生了解二次函数的定义、标准形式、顶点坐标、开口方向等基本概念，能够熟练地求解二次函数的关系式。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，让学生体验二次函数关系式的探索过程，培养他们的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的学习态度，提高他们的团队协作能力。
四. 说教学重难点本节课的教学重难点是二次函数的关系式的求解。
学生需要理解并掌握二次函数的定义、标准形式、顶点坐标、开口方向等基本概念，并能够运用这些概念解决实际问题。
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》教学设计4
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》教学设计4一. 教材分析华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》一课，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行的一节实践活动课。
通过本节课的学习，使学生能够进一步理解二次函数的性质，提高解决实际问题的能力。
教材通过引入实际问题，引导学生运用所学的二次函数知识解决实际问题，从而培养学生的实践能力和创新能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次函数的知识有了一定的了解。
但是，对于如何将二次函数的知识运用到实际问题中，解决实际问题，学生的掌握情况参差不齐。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导学生通过合作、探究的方式，主动参与课堂，提高解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：通过解决实际问题，引导学生掌握求解二次函数关系式的方法。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决实际问题的积极性。
四. 教学重难点1.重点：求解二次函数关系式的方法。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并求解。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究。
2.采用小组合作、讨论的方式，培养学生的团队协作能力。
3.采用案例教学法，让学生通过实际问题，理解并掌握二次函数的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生解决实际问题。
2.准备PPT，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入一个实际问题，激发学生的学习兴趣，然后引导学生思考如何将实际问题转化为二次函数问题。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT呈现实际问题，并引导学生分析问题，找出其中的二次函数关系。
3.操练（10分钟）教师引导学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试求解二次函数的关系式。
4.巩固（5分钟）教师选取几组学生的解法，进行讲解和分析，帮助学生巩固求解二次函数关系式的方法。
华师大版九年级下册26.求二次函数的表达式课件
系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），
待定系数法 试求出这个二次函数的关系式.
步骤： 1.设：
解： 设这个二次函数的关系式是
∴△BCD的面积＝
1 2
×8×7＝28.
课堂小结
待定系数法 已知条件 求二次函数解析式 所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标 或对称轴或最值
③已知抛物线与 x轴的两个交点
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标）
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是 y=-2(x-1)2+6
.
顶点坐标是（1，6）
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4) 和(1，1)．求这个二次函数的关系式．
解：设这个二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c．
a-b＋c＝-5， 依题意得 c＝－4，
a＋b＋c＝1，
一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
问题1 （1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定
8.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴 交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》教学设计3
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》一课，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是引导学生探究二次函数的一般形式，以及二次函数的顶点式、对称轴式等关系式。
通过本节课的学习，使学生能更好地理解和运用二次函数的相关知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和图像已经有了一定的了解。
但是，对于二次函数的一般形式和关系式的推导，还需要通过实例进行引导和探究。
因此，在教学过程中，需要充分考虑学生的认知水平和学习需求，通过合理的教学设计，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效果。
三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的顶点式、对称轴式等关系式。
2.能够通过给定的二次函数，正确地找出其顶点、对称轴等信息。
3.培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式的推导和理解。
2.二次函数的顶点式、对称轴式等关系式的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题，引导学生观察、思考、探究，从而得出二次函数的一般形式和关系式。
2.采用合作学习的方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
3.利用多媒体教学手段，展示二次函数的图像和性质，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备黑板和粉笔，用于板书和展示。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次函数的图像和性质，引导学生回忆二次函数的相关知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）利用多媒体展示二次函数的一般形式和关系式，引导学生观察和思考，通过实例进行讲解和分析，让学生初步理解二次函数的一般形式和关系式。
3.操练（15分钟）让学生在小组内进行合作学习，通过解决实际问题，运用二次函数的一般形式和关系式，找出二次函数的顶点、对称轴等信息。
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》说课稿
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》这一节，是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行教学的。
教材从实际问题出发，引导学生利用已学的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
在这一节中，学生需要掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的系数与图像的关系，为后续学习二次函数的图像和性质打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图像和性质，对二次函数有一定的了解。
但是，对于二次函数的一般形式，以及系数与图像的关系，学生可能还存在疑惑。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主探索二次函数的一般形式，理解系数与图像的关系。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握二次函数的一般形式，了解二次函数的系数与图像的关系。
2.过程与方法：培养学生利用已学的知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的重要作用。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的一般形式，二次函数的系数与图像的关系。
2.教学难点：二次函数的一般形式，系数与图像的关系的推导过程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，引导学生自主探索、合作交流，提高学生的数学素养。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学手段，直观展示二次函数的图像和性质，帮助学生更好地理解教学内容。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生回忆二次函数的图像和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.自主探索：学生分组讨论，观察、分析二次函数的图像，尝试找出二次函数的一般形式，并理解系数与图像的关系。
3.引导发现：教师引导学生通过交流、思考，总结出二次函数的一般形式，以及系数与图像的关系。
4.巩固练习：学生独立完成一些相关的练习题，加深对二次函数的一般形式和系数与图像关系的理解。
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》教学设计
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》这一节内容，是在学生已经掌握了函数的概念、一次函数的性质等基础知识的基础上进行授课的。
二次函数是初中数学中的重要内容，它在实际生活和工作中有着广泛的应用。
本节课主要让学生了解二次函数的一般形式，掌握二次函数的解析式，并能够根据实际问题建立二次函数模型。
教材通过丰富的实例，引导学生探究二次函数的性质，培养学生的动手操作能力和数学思维能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有所了解。
但是，二次函数相对复杂，学生可能存在理解上的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际问题进行引导和解答。
此外，学生对于实际问题的解决能力有待提高，教师在教学中应注重培养学生的建模能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式，掌握二次函数的解析式。
2.学会根据实际问题建立二次函数模型，解决实际问题。
3.培养学生的动手操作能力、数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的一般形式，二次函数的解析式。
2.难点：根据实际问题建立二次函数模型，解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：教师讲解二次函数的一般形式、解析式等基本概念。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生建立二次函数模型。
3.动手操作法：学生动手操作，探究二次函数的性质。
4.小组讨论法：学生分组讨论，培养合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》的课件，包括图片、文字、动画等元素，直观展示二次函数的性质。
2.实例素材：收集一些实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些有关二次函数的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次函数的图像，引导学生回顾一次函数的性质，为新课的学习做好铺垫。
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》教学设计2
华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》教学设计2一. 教材分析华师大版数学九年级下册《求二次函数的关系式》一章，主要让学生掌握二次函数的定义、标准形式、顶点坐标、开口方向等基本概念。
通过本章的学习，使学生能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、代数等相关知识，具备一定的逻辑思维和分析问题的能力。
但二次函数作为初中数学的重要内容，对学生来说具有一定的难度，需要通过本节课的教学，帮助学生理解和掌握二次函数的基本概念和性质。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数的定义、标准形式、顶点坐标、开口方向等基本概念。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生的数学思维和逻辑分析能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义及其相关性质。
2.二次函数标准形式的推导和应用。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的基本概念和性质。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图像，帮助学生理解开口方向、顶点坐标等概念。
3.运用案例分析法，让学生分组讨论，合作解决实际问题。
4.采用归纳总结法，引导学生自主总结二次函数的基本性质。
六. 教学准备1.多媒体教学课件。
2.相关案例资料。
3.练习题及答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示二次函数的图像，引导学生观察开口方向、顶点坐标等特征，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义、标准形式、顶点坐标、开口方向等基本概念，让学生初步理解二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的案例，运用二次函数解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成，检验学生对二次函数知识的掌握程度。
教师选取部分答案进行讲解，指出解题过程中容易出现的问题。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：二次函数在实际生活中的应用，如何利用二次函数解决实际问题。
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》课件_4
与x轴交于两点（x ,0),(x ,0).
1
2
拓广探索
例 已知：如图,用交点式求二次函数关系式
y=ax²+bx+c.
解：如图,由题意得：抛物线与x轴
4
3C
交点的横坐标为－1和3
2
∴设所求函数关系式为y=a(x＋1)(x－3)
A
o
B
∵图象过点（0，3）
-1
35
-2
∴3=a(0＋1)(0－3)
∴a=－1
与x轴交于两点（x ,0),(x ,0).
1
2
作业布置
习题26.2 第4题
这个二次函数的解析
2 式为 y x 12 4
Ａ
y
4
B
O2
5
x
A-2
x＝１
5
B
x
-2
练一练 2、已知：二次函数的图象的对称轴为直线 x= –3，并且函数有最大值为5，图象经过点 (–1,–3)，求这个函数的解析式。
解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是 （－3，5），所以，设y=a(x+3)²＋5
又已由知图三点象坐过标（,可2设，4）、（3，10），得
y=ax2+bx+c, 求出a、b、c
的值4呦a ！2b 1 4， 9a 3b 1 10.
解得
a
3 ，b 2
3 2
.
因此，所求二次函数的关系式是
y 3 x2 3 x 1. 22
练一练 3、已知：二次函数的图象经过点A(–1，6)、 B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。
式.
分析：∵直线 y 3 x 3 与x轴、y轴的交点为
（2，0），（20，3）则： 4a 2b c 0
九年级数学下册 26.2.3 求二次函数的关系式课件 (新版)华东师大版
a=2 b=-4 c =1
所以，所求的二次函数的关系式是 y 2x2 4x 1
•
若此题变为已知一个二次函数的图象过点(0，1)，且它的顶点坐
标是(8，9)，能求出这个二次函数的关系式吗？若能，请说出你的方
法；若不能，请说明理由。
解：因为这个函数的图象的顶点是（8，9），所以，可设函数 关系 式为
y
O
A
CB
x
y O
A
C Bx
返回
• 解：以点C为原点，以AB所在直线为x轴,以过点C的x轴的垂线
为y轴，建立直角坐标系。这时，C在原点,坐标为（0，0），
此时，,OC所在直线为抛物线的对称坐标为（2，0），屋顶的横截
面所成抛物线的顶点O的坐标为（0，0.8），开口向下，所以
• 26.2 二次函数的图象与性质
3. 求二次函数的关系式
• 例 已知二次函数的图象过（0，1）、（-1，7）、（1，-1）三点，
求这个二次函数的 关系式。
• 解：设所求二次函数为 y ax2 bx c ，因为这个函数的图象
过（0，1）、（-1，7）、（1，-1）三点，可得
1=c 7=a-b+c
y
O
A
CB
x
y O
A
C
Bx
返回
解：以点B为原点，以AB所在直线为x轴，以过点B的x轴的垂线为y轴，
建立直角坐标系。这时，点B在原点,坐标为（0，0），点A的坐标为（-4，
0），此时，,OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB＝2m，所以，
屋顶的横截面所成抛物线的顶点O的坐标为（-2，0.8），开口向下，所以
九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 3求二次函数的关系式课件 华东师大版
确定二次函数关系式的方法 1.当已知抛物线上任意三点的坐标时，通常设二次函数的关系 式为一般式y=_a_x_2+_b_x_+_c_(_a_≠__0_)_，然后列出_三__元__一__次__方__程__组__,解 三元一次方程组得出a，b，c的值，从而求得二次函数的关系式.
2.当已知抛物线的顶点坐标为(h,k)和抛物线上另一点的坐标 时，通常设顶点式y=_a_(_x_-_h_)_2+_k_,求解二次函数的关系式. 3.当已知抛物线与x轴的交点为(x1，0)，(x2,0)或与x轴交点的 横坐标为x1,x2时，通常设交点式y=_a_(_x_-_x_1_)_(_x_-_x_2)_,求解二次函 数的关系式. 【点拨】根据不同的条件选择不同函数关系式形式.
3.已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1，-4)，且经过点(2， -3)．将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所 得图象经过坐标原点？并求平移后图象对应的二次函数的关系 式.
【解析】设该二次函数的关系式为：y=a(x-1)2-4． ∵经过点(2，-3)，∴-3=a(2-1)2-4，∴a=1. ∴二次函数的关系式为y=x2-2x-3. 令y=0，x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3. ∴该二次函数的图象向左平移3个单位，能使平移后所得图象 经过坐标原点. 此时，图象顶点为(-2，-4), ∴平移后图象对应的二次函数的关系式为y=(x+2)2-4.
【规律总结】 确定二次函数关系式的四个步骤
1.设：按已知条件设出二次函数关系式的相关形式. 2.列：根据题意列出方程或方程组. 3.解：解方程或方程组. 4.定：确定函数关系式.
【跟踪训练】
1.一个二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，
华东师范大学出版社初中数学九年级下册 求二次函数的关系式【省一等奖】
二次函数的图象和性质3．求二次函数的表达式教学目标1、会利用待定系数法求二次函数的表达式.2、学会利用二次函数解决实际问题.3、经历探索求二次函数表达式的方法的过程，培养和发展学生学习数学的主动性，提高数学表达能力.重点难点重点：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情境选择适当的式子来求二次函数的表达式.难点：熟记、区分并能灵活运用三种表达式，能利用待定系数法求二次函数的表达式.教学过程一、 知识回顾目前已学习的二次函数的关系式有哪些（1）一般式：()02≠++=a c bx ax y（2）顶点式：())0(2≠+-=a k h x a y 顶点坐标()k h ,二、新课讲授问题1 如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。
它的拱高AB 为4m ，拱高CO 为0.8m 。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢（引出新课——求二次函数的表达式）问题2 已知二次函数的顶点求二次函数的表达式（一） 例题讲解（教材22页）例6、一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式.分析：因为这个二次函数的顶点是（8，9），因此可以设成顶点式.解：设函数关系式为 图象过点（0，1）()19802=+-∴解得81-=a()98812+--=∴x y 为这个二次函数的关系式 （二）练一练1、已知：二次函数的图象的顶点的坐标是（1，4），并且抛物线与x 轴的两个交点的距离是4，求这个函数的解析式.2、已知：二次函数的图象的对称轴为直线3-=x ,并且函数有最大值为5，图象经过点（-1，-3），求这个函数的解析式.问题3 已知图象上的三点，求二次函数的解析式（一）、根据求函数解析式的方法，不难知道：在二次函数()02≠++=a c bx ax y 中，有 个待定系数，需要图象上的 个点的坐标.（二）、例题讲解（教材22页）例7、一个二次函数的图象过（0,1）、（2,4）、（3,10）三点，求这个二次函数的关系式.解：设所求二次函数为c bx ax y ++=2，由这个函数的图象过点（0,1），可得c=1.又由图象过点（2,4）、（3,10）得⎩⎨⎧=++=++101394124b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==2323b a 因此，所求二次函数的关系式为123232+-=x x y ()92+=8-x a y（三）练一练3、已知：二次函数的图象经过点A （-1,6）、B （3,0）、C （0,3），求这个函数解析式.4、已知：抛物线c bx ax y ++=2过直线323+-=x y 与x 轴、y 轴的交点，且过（1,1），求抛物线的解析式.三、拓广探索1、交点式：())0)((21≠--=a x x x x a y ，条件：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点())0,(,0,21x x .2、例题讲解例：已知，如图，用交点式求二次函数关系式.解：如图，由题意得：抛物线与x 轴的交点的横坐标为-1和3∴设所求函数关系式为()()31-+=x x a y图象过点（0,3）())30(103-+=∴a1-=∴a∴所求的函数关系式为)3)(1(-+-=x x y即322++-=x x y3、练一练已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C 三个点，其中A 的坐标为（-1,0），B 的坐标为（3,0），并且ABC ∆的面积是6，求这个函数的解析式.四、归纳小结二次函数解析式的确定：（1） 当已知图象上任意三点的坐标或已知三对对应值时，使用一般式cbx ax y ++=2来解；（2） 当已知顶点坐标或对称轴或最值时，使用顶点式())0(2≠+-=a k h x a y 来解比较简便;（3） 过与x 轴的两个交点和一普通点的二次函数解析式确定：交点式 ())0)((21≠--=a x x x x a y ，条件：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点())0,(,0,21x x五、作业布置习题 第4题。
求二次函数的关系式-华东师大版九年级数学下册教案
求二次函数的关系式-华东师大版九年级数学下册教案一、教学目标1.学生能够通过上下左右平移和变形，确定二次函数的关系式；2.学生能够解析二次函数的图像，找出其对称轴和最值点；3.学生能够判断二次函数的相关性质，如增减性、奇偶性和单调性等。
二、教学重点1.学生能够通过上下左右平移和变形，确定二次函数的关系式；2.学生能够解析二次函数的图像，找出其对称轴和最值点。
三、教学难点1.学生能够判断二次函数的相关性质，如增减性、奇偶性和单调性等；2.学生能够综合运用所学知识，解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课简单介绍二次函数的定义和一些基本概念，如顶点和对称轴等。
2. 理论掌握（1）上下左右平移通过讲解将一般式化为顶点式，然后通过平移变形的方法，推导出二次函数的关系式。
（2）寻找对称轴和最值点讲解二次函数的最值点和对称轴的概念，然后通过变形公式，求出二次函数的最值点和对称轴。
3. 练习（1）平移练习通过给出二次函数在坐标系上的图像，让学生确定关系式。
（2）对称轴和最值点练习通过给出二次函数的关系式，让学生求出对称轴和最值点。
（3）相关性质判定通过给出二次函数的关系式，让学生判断其增减性、奇偶性和单调性等。
4. 拓展将所学知识应用于实际问题，如求解某个匀加速运动的距离和时间问题等。
5. 总结回顾本节课所学知识，强化重点和难点。
让学生自主总结笔记。
五、教学反思本节课主要讲解了二次函数的一般式、顶点式和对称轴的求法，以及二次函数的相关性质的判定方法。
通过练习，提高了学生的二次函数解析能力和解决实际问题的能力。
下一步可以考虑将所学知识应用于更多实际问题，进一步增强学生的综合应用能力。
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》课件_19
3 2
c 2
y 1 x2 3 x 2
2
2
变式训练
当自变量x=0时函数值y=-2，当自变量x=-1时，函数值 y=-1;当自变量x=1时，函数值y=1,求这个二次函数的表达 式？
解：设y=ax2+bx+c(a≠0)
根据题意得： c 2
a b c 1 a b c 1
x
o
活学活用
3、已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4， 且当x=1时，函数有最小值-4，求此表达式.
顶点坐标（1 ，-4 ）设y=a(x-1)2-4
y
x
o
4、某抛物线与x轴两交点的横坐标为2、6，且函数的
最大值为8，求函数的表达式.
y
x
顶点坐标（ 4，8）设y=a (x-4)2+8
o
新知讲解
新知讲解
例2、已知抛物线的顶点为（－1，3），与y轴交 点为（0，－5）求抛物线的解析式？
解：设y=a(x＋1)2 +3
y
∵经过点( 0,-5 )
∴-5=a+3 ∴a=-8 ∴y=-8（x＋1）2 +3
x
o
即y=-8x 2 -16x-5
活学活用
1、某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度，
1、已知图象上三点坐标，通常选择一般式. 2、已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），
通常选择顶点式. 3、已知与x轴的两个交点的横坐标，通常用交点式 注意：确定二次函数的解析式的关键是根据条件的特
点，恰当地选择一种函数表达式，灵活应用.
大显身手
抛物线的图象经过（2，0)与（6，0）点，其顶点的 纵坐标是2，求它的函数关系式.
华东师范大学出版社初中数学九年级下册 求二次函数的关系式(全国一等奖)
用待定系数法求二次函数的解析式教学目标：1.通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法2.能灵活的根据条件恰当的选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
3.从学习中体会数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
教学重点：根据不同的条件灵活的选择恰当的解析式从而用待定系数法求函数解析式。
教学难点:用待定系数法求二次函数的解析式，并会利用其解决实际问题。
学情分析：对于155班学生来说，数学基础比较薄弱，抽象思维能力和演绎推理能力依然比较缺乏，所以我在授课时注重引导、启发、和探讨，从而促进知识的掌握和思维能力的进一步发展。
教学过程：师：今天，我们一起来复习用待定系数法求二次函数的解析式。
多媒体出示学习目标。
生读，明确学习目标。
想一想：1.已知二次函数的图象过点（1，2）、（3，5）、（-2，-6），求该函数的解析式。
2.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-4，8），且图象过点（0，3），求函数的解析式。
3.已知二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是3，-2，且与y轴交点的纵坐标是7，求该二次函数的解析式。
由以上三个题，师生交流互动，回顾二次函数常见的三种形式。
教师出示思一思学生小组讨论，解决问题。
用一用:建立坐标系求实际问题中的函数关系式某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，大门的地面宽AB=4米，顶部C离地面高度为米.现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面米，装货宽度为米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门师生共同分析，解决问题。
学生书写解题过程。
练一练:有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．课堂小结：谈谈你的收获。
作业：练一练用两种解题方法书写在作业本上。
课后反思：求函数解析式是初中数学主要内容之一，求二次函数的解析式更是联系高中数学的重要纽带。
在求函数解析式时，应恰当地选用那个函数解析式的形式，选择得当，解题简洁，若选择不当，解题繁琐，甚至解不出来。
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解：设AB为x米
• ∵ AB为x米、篱笆长为24米A ∴ 花圃长为（24－4x）米 B ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
D
C
如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二 道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ *(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
归纳小结
二次函数解析式的确定:
（3）过与x轴的两个交点和一普通 点的二次函数解析式确定. 交点式 y a( x x1 )( x x 2 )( a 0)
条件：若抛物线y ax bx c
2
与x轴交于两点（x 1 ,0), ( x 2 ,0).
-4
*例5.已知：如图,求二次函数解析式y=ax² +bx+c.
4
3
A
C
2
o
-1
-2 -4
解：如图,由题意得：抛物线与x轴 交点的横坐标为－1和3 ∴设所求函数解析式为y=a(x＋1)(x－3) ∵图象过点（0，3） 3 ∴3=a(0＋1)(0－3) ∴a=－1
B
5
∴所求的函数解析式为y=－(x＋1)(x－3) 即y= –x² +2x+3
分析： 3 ∵直线 y x 3 与x轴、y轴的交点为
（2，0），（0，3）则： 4a 2b c 0 c 3 a b c 1
2
例3.已知：二次函数的图像的对称轴为直线 x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点 (–1,–3)，求这个函数的解析式。 解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是 （－3，5），所以，设y=a(x+3)² ＋5
解： (2) S = －4x2+24x A ＝－4(x-3）2＋36 B 当x=3时，Smax=36 （平方米）
当x＝
b 3 时，S最大值＝ 2a
D C
4ac b 2 ＝36（平方米） 4a
如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二 道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ *(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
2
顶点坐标（h，k） *(3)交点式 y
a( x x1 )( x x 2 )( a 0)
2
条件：若抛物线y ax bx c 与x轴交于两点（x 1 ,0), ( x 2 ,0).
例1.已知：二次函数的图像经过点A(–1，6)、 B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的解析式。 解：设所求函数解析式为y=ax² +bx+c . 由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点得
-4
当C（0，-3）时，函数的解析式为： -y=-x² +2x+3,即y=x² -2x-3
-2
-4
归纳小结
二次函数解析式的确定:
求二次函数解析式可用待定系数法. (1)当已知图象上任意三点的坐标或 已知三对对应值时，使用一般式： 2 y ax bx c 来解； (2)当已知顶点坐标或最值时，使 2 用顶点式 y ax h k 来解，比较 简单。
a b c 6 9a 3b c 0 c 3
解这个方程组得a= 0.5，b= – 2.5，c=3 ∴所求得的函数解析式为y=0.5x² 2.5x+3 –
3 2+bx+c过直线 y x 3 例2.已知：抛物线y=ax 2 与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求度为8米 (3)
B
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
用6 m长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所 示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才 能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面 积是多少？
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
又抛物线经过点（－1，－3），得 －3=a(－1+3)² ＋5 ∴ a=－2 ∴所求的函数解析式为：y= –2(x+3)² ＋5 即y= –2x² –12x–13
4
2
例4.已知：二次函数 的图像的顶点的坐标 是（1，4）,并且抛物 线与x轴的两个交点的 距离是4，求这个函数 的解析式。
B
5
Ａ
-2
x＝１
二次函数的简单应用
如图，在一面靠墙的空地上用长24米的篱笆，围成中间隔有二 道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ *(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
例6.已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其 中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并 且△ABC的面积是6，求这个函数的解析式。
4
C
2
分析：由题意可知OC的长是3，所以 点C的坐标为（0，3)或（0，-3）
A
-2
o
B
5
当C（0，3）时，函 数的解析式为： y=-x² +2x+3
4 2 -5 5
在实际问题中,自变量往往是有一定 取值范围的.因此,在根据二次函数 的顶点坐标,求出当自变量取某个值 时,二次函数取最大值(或最小值), 还要根据实际问题检验自变量的这 一取值是否在取值范围内,才能得到 最后的结论.
回味知识点：
二次函数的解析式有哪些？
(1)一般式 y ax 2 bx c(a 0) (2)顶点式 y a( x h) k (a 0)