D102二重积分的计算83767
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在高等数学的学习中，二重积分是一个重要的概念和工具，它在解决许多实际问题和理论推导中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法对于我们深入学习数学以及解决相关的实际问题至关重要。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是在平面区域上对某个二元函数进行积分。
简单来说，就是把平面区域划分成许多小的区域，然后对每个小区域上的函数值乘以小区域的面积，再把这些乘积相加。
接下来，我们来介绍几种常见的二重积分计算方法。
一、直角坐标系下的计算方法在直角坐标系中，二重积分可以表示为两种形式：先对 x 积分再对y 积分，或者先对 y 积分再对 x 积分。
当我们选择先对 x 积分时，我们需要把积分区域投影到 x 轴上，确定 x 的积分限。
然后，对于每个固定的 x 值，在对应的垂直于 x 轴的线段上确定 y 的积分限。
例如，对于积分区域 D 是由直线 y ＝ x ，y ＝ 1 以及 x ＝ 0 所围成的三角形，我们要计算二重积分∬D f(x,y)dxdy。
先对 x 积分，x 的积分限是从 0 到 y ，y 的积分限是从 0 到 1 。
则可以将二重积分化为累次积分：∫₀¹(∫₀ʸ f(x,y)dx)dy 。
同样，如果先对 y 积分，就把积分区域投影到 y 轴上，确定 y 的积分限，然后再确定每个固定 y 值对应的 x 的积分限。
二、极坐标系下的计算方法在某些情况下，使用极坐标系来计算二重积分会更加方便。
极坐标系中的坐标是（r,θ) ，其中 r 表示点到原点的距离，θ 表示极角。
在极坐标系下，二重积分的表达式为∬D f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 。
比如，对于圆形或者扇形的积分区域，使用极坐标系往往能简化计算。
例如，计算以原点为圆心，半径为 R 的圆上的二重积分，积分区域 D 为 x²＋y² ≤ R² 。
在极坐标系中，r 的积分限是从 0 到 R ，θ 的积分限是从 0 到2π 。
D10_2二重积分的计算-极坐标
故①式成立 .
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2 2 ( x y ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 y 2 2 y, 例4. 计算 D
x y 4 y 及直线 x 3 y 0, y 3x 0 所围成的 y 平面闭区域. 4 2 2 解： x y 2 y r 2 sin x 2 y 2 4 y r 4 sin y 3x 0 2 3 x 3 y 0 1 6
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
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x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) rd r d
2 2 1 k 1 (r rk ) k 2 rk k 2 k
o
r rk x
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
2
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2
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常见区域D'的确定
(1) D : x y 2Rx (如图)
2 2
y
r 2 2Rr cos D : , 0 r 2 R cos 2 2 (2) D : x 2 y 2 2Ry (如图) r 2Rr sin
二重积分的计算
二重积分的计算二重积分的计算，是多元函数积分学的第一个难关，这一关过好了，对于其他类型（三重积分，曲线和曲面积分等）的积分，将开个好头，希望大家真正理解并掌握。
首先需要化点功夫弄明白二重积分的定义以及性质。
这里我就不写过多的内容，因为深入理解需要在具体的计算中才能加深理解，就事论事地背定义是很难有效果的。
二重积分的计算，最基本也是最根本的是要理解转化二重积分为累次积分的原理，即一个二重积分化为两个有先后次序的定积分，这2个定积分一般彼此存在着关系，先积分的那个定积分一般是后一个定积分的被积函数。
转化的前提是需要将被积区域D 表示为不等式形式。
二重积分的被积区域是个平面域，常用两种表示法：1）12()():x y x D a x b ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先y 后x ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)x x bb Da x a x f x y d f x y dy dx dx f x y dy ϕϕϕϕσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
2）12()():y x y D c y d ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，这时，累次积分的次序是“先x 后y ”，具体公式为2211()()()()(,)(,)(,)y y dd Dc y c y f x yd f x y dx dy dy f x y dx ψψψψσ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰。
上述公式表示的是在直角坐标系下的计算公式。
在直角坐标系下，对平面区域可以沿平行于坐标轴的直线来分划该区域，所以积分微元d dxdy σ=。
如果被积区域D 是一个矩形区域，则:c y dD a x b≤≤⎧⎨≤≤⎩，而且被积函数可表为(,)()()f x yg xh y =， 此时，二重积分实际变为两个独立定积分的乘积：(,)()()()()b d bdDa c a cf x y dg xh y d y d x g x d x h y d yσ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 这是二重积分计算中最简单的情况。
2D102二重积分的计算
y
M3
D M 4
M1 M2
令 h2 k2, 则
o
x
x2
x1
x(u
h, v)
x(u,
v)
x u
(u,
v)
h
o( )
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x4
x1
x(u, v
k
)
x(u,
v)
x v
(u,
v)
k
o( )
同理得
y2
y1
y u
(u,
v)
1
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例4. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
dxd
y
0
b
(xa, fy()xd)xddxy
f [f ((xt)(]u,v()t,)yd(tu,v()x) J (u(,tv)))d u
D
dv
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证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
则
D
:
11
y x
x 2
102二重积分的计算法一
分部积分法(略). (05/06学年第一学期考试题A卷)
解Ⅱ 化为二次积分,交换积分次序
原式=
1
(
xey2dy)dx
1
dx
xey2dy
1
dx
1ey2dy
01
01
0x
0x1 DX : xy1
DY
:
0y1 0xy
原式
1
dy
yey2dx
00
1ey2dy
y
dx
e 1 y2
ydy
0
公式1
上式称为 y后先 x对 的对 二次积分
几点小结
Df(x ,y )d x d ya b [ 1 2 (( x x ))f(x ,y )d y ]d x
9
①通过体积作 ,实为 现过 了渡 二重积 计分 算的 方一 法种
通过计算两次(单 定积 积)来 分 分求. 解
②二重积分的计算关定键限是：投影穿线法
2(x0)
AA((xx0 )0 )
1(x0) oo aa xx00
xx
bbyy1(1x()x)
1(x0)
2(x0)
A A ((x x0)) 1 2 1 (2 ((x(x x)x 0 )0 ))ff(x (,xy 0,)y d)ydy
b
VaA(x)dx
即得
D D ff( (x ,y ) )d d a b a [ b d x 1 2 (( x x ) )1 2 (f( x x ) ()x f,y () x d ,y y ]) d d x y .
12
例1 计算 x d y ,其D ： 中 y 由 1 ,x2 及 yx所围. 闭
D
解 Ⅰ
看作X－型域
微积分D102二重积分计算
xlny( 1y2)dxdy 0
D2
例 6 ：f(x 设 )在 a,b上,连 证续 明
bx
b
adxaf(y)dya(bx)f(x)dx
bx
证明：记 I dx f(y)dy, 则积分区域D为 aa
axb,ayx,
将D改写为： ayb,yxb
于是有
bb
b
I dy f(y)dx f(y)(by)dy
2 y2 x
y
则
D
:
y2xy2 1y2
oD
1
4x yx2
xyd D
2
dy
1
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
sinx
例3. 计算
D
x
dxdy,
其中D 是直线 yx,y0,
x所围成的闭区域.
D
D
f2(x,y)dxdy
D
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
例1. 计算 I xyd, 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
1yx 1x2
y
I
2
d
x
1
x x yd 1
y
2
1
1 2
xy2
| x
1
dx
2 y
yx
1
1212x312xdx
rkrkk
k
在 k 内取点(rk,k),对应有
k r k co k , k s r k si kn
二重积分计算方法
二重积分计算方法引言二重积分是高等数学中的重要内容，常用于计算平面区域上的面积、质量、重心等问题。
计算二重积分时，需要掌握一些常见的计算方法，本文将介绍三种常见的计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。
直角坐标系下的累次积分法直角坐标系下的累次积分法是最常用的计算二重积分的方法之一。
对于平面上的一个区域D，可以将其分解为若干个小矩形区域，然后通过对每个小矩形区域进行积分求和，从而得到整个区域的二重积分值。
具体步骤如下： 1. 将区域D划分为若干个小矩形区域，每个小矩形区域的面积可以通过计算两个相邻顶点之间的距离得到。
2. 对每个小矩形区域进行积分，积分的上限和下限分别是该小矩形区域在x轴和y轴上的边界。
3. 将每个小矩形区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。
极坐标系下的累次积分法在一些特殊的情况下，采用极坐标系进行计算可以简化计算过程。
极坐标系下，平面上的点由极径和极角两个参数决定，适用于具有旋转对称性的问题。
具体步骤如下： 1. 将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。
极坐标系下，二重积分的积分变量可以表示为r和θ。
2. 将区域D在极坐标系下表示出来，确定积分的上限和下限。
3. 对每个小区域进行积分，积分的上限和下限分别是在极坐标系下的边界。
4. 将每个小区域的积分结果求和，得到整个区域D的二重积分值。
变量代换法变量代换法是一种常用的计算二重积分的方法，通过引入新的变量进行积分变换，从而简化计算过程。
具体步骤如下： 1. 引入新的变量，将二重积分中的自变量进行变换。
2. 将原来的二重积分转换为新的变量下的二重积分。
3. 对新的二重积分进行计算，可以使用上述的直角坐标系下的累次积分法或者极坐标系下的累次积分法。
4. 将计算得到的结果转换回原来的变量，得到整个区域D的二重积分值。
总结本文介绍了三种常见的二重积分计算方法：直角坐标系下的累次积分法、极坐标系下的累次积分法以及变量代换法。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将讨论二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
首先，我们来看直角坐标系下的二重积分计算方法。
设函数f(x, y)在闭区域D上连续，要计算二重积分∬D f(x, y) dxdy。
其中D是有界闭区域，可以表示为D={(x, y)|a≤x≤b, c≤y≤d}。
我们可以将D分割成若干个小区域，每个小区域用矩形来逼近，然后计算每个小矩形的面积乘以函数值的和，再对所有小矩形的面积和进行求和，即可得到二重积分的近似值。
当小矩形的数量趋向于无穷大时，即可得到二重积分的精确值。
接下来，我们来看极坐标系下的二重积分计算方法。
在极坐标系下，二重积分的计算通常更加简便。
设函数f(r, θ)在闭区域D 上连续，要计算二重积分∬D f(r, θ) r drdθ。
其中D可以表示为D={(r, θ)|α≤θ≤β, g(θ)≤r≤h(θ)}。
在极坐标系下，我们可以直接利用极坐标系下的面积元素r drdθ来进行计算，即将函数f(r, θ)乘以r后再进行积分即可得到二重积分的值。
除了直角坐标系和极坐标系外，二重积分还可以在其他坐标系下进行计算，如柱坐标系、球坐标系等。
不同的坐标系下，二重积分的计算方法会有所不同，但原理都是类似的，即将闭区域分割成小区域，然后计算每个小区域的面积乘以函数值的和，再对所有小区域的面积和进行求和。
在实际应用中，二重积分常常用于计算平面图形的面积、质心、转动惯量等物理量，以及计算二元函数在闭区域上的平均值、方差等统计量。
因此，掌握二重积分的计算方法对于深入理解微积分的应用具有重要意义。
总之，二重积分的计算方法是微积分中的重要内容，通过对不同坐标系下的二重积分进行计算，可以更好地解决实际问题。
希望本文对读者对二重积分的计算方法有所帮助。
二重积分计算方法
二重积分计算方法二重积分是微积分中的一种重要概念，用于计算平面上的曲面面积、一些物理量的总量等问题。
在本文中，我将向您介绍二重积分的计算方法。
首先，我们需要了解二重积分的定义。
对于一个定义在闭区域D上的函数f(x,y)，其在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA其中，dA表示微小面积元素，可以看作是一个非常小的正方形区域。
为了计算二重积分，我们需要确定积分区域D以及函数f(x,y)的表达式。
接下来，将介绍几种常用的计算方法。
1.直角坐标系下的二重积分在直角坐标系下，二重积分的计算可以分为两种情况：先积x再积y，或者先积y再积x。
在具体计算时，我们可以采用以下步骤：a)确定积分区域D，并在坐标平面上对其进行准确定位。
b)根据题目给出的条件，写出函数f(x,y)的表达式。
c)根据积分顺序，分别计算内、外积分的上下限，并对函数f(x,y)进行必要的变换（如换元、利用对称性等）。
d)将上下限代入函数f(x,y)的表达式，计算出积分的被积函数。
e)对内、外积分依次进行计算，并最终得出结果。
2.极坐标系下的二重积分在一些问题中，使用直角坐标系来计算二重积分可能比较复杂，此时可以尝试使用极坐标系来简化计算。
计算极坐标系下的二重积分的步骤如下：a)确定积分区域D，并在坐标平面上对其进行准确定位。
b)根据题目给出的条件，写出函数f(r,θ)的表达式，其中r为极径，θ为极角。
c)根据积分顺序，确定被积函数中r和θ的上下限，并对函数f(r,θ)进行必要的变换。
d)将上下限代入函数f(r,θ)的表达式，计算出积分的被积函数。
e)对内、外积分依次进行计算，并最终得出结果。
3.利用对称性简化计算在一些情况下，函数f(x,y)具有一定的对称性，可以通过利用对称性来简化二重积分的计算过程。
常见的对称性包括奇偶性、轮换对称性、中心对称性等。
例如，如果函数f(x,y)是关于y轴对称的，则可以将计算范围限制在x≥0的情况下，并将最终结果乘以24.利用变换简化计算在一些问题中，我们可以通过变换的方法将二重积分转化为其中一种标准形式，然后使用标准形式的计算公式来求解。
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法在数学的广袤领域中，二重积分是一个重要的概念，它在许多实际问题和理论研究中都有着广泛的应用。
理解和掌握二重积分的计算方法，对于我们解决诸如计算平面区域的面积、物体的质量、重心等问题具有关键意义。
首先，让我们来明确一下二重积分的定义。
二重积分是用来计算在一个平面区域上的函数的累积量。
简单来说，就是把这个区域划分成无数个小的部分，对每个小部分上的函数值乘以小部分的面积，然后把这些乘积加起来。
接下来，我们探讨几种常见的二重积分计算方法。
直角坐标系下的计算方法是基础且重要的。
当积分区域是一个矩形时，计算相对简单。
假设积分区域为＄D ＝＼｛（x,y) ｜ a ＼leq x ＼leq b, c ＼leq y ＼leq d\｝＄，被积函数为＄f(x,y)＄，则二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_c^d f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这意味着我们先对＄y$ 进行积分，把＄x$ 看作常数，得到一个关于＄x$ 的函数，然后再对＄x$ 进行积分。
如果积分区域不是矩形，而是由直线围成的一般区域，比如＄D ＝＼｛（x,y) ｜＼varphi_1(x) ＼leq y ＼leq ＼varphi_2(x)， a ＼leq x ＼leq b\｝＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_a^b ＼left(＼int_{＼varphi_1(x)｝＾｛＼varphi_2(x)｝ f(x,y) ＼，dy ＼right)dx＼这种情况下，我们先对＄y$ 积分，然后对＄x$ 积分。
极坐标系下的计算方法在处理具有圆形或扇形特征的积分区域时非常有用。
在极坐标系中，点的坐标表示为＄（r,＼theta)＄，其中＄r$ 表示点到原点的距离，＄＼theta$ 表示极角。
如果积分区域可以用极坐标表示为＄D ＝＼｛（r,＼theta) ｜＼alpha ＼leq ＼theta ＼leq ＼beta, ＼varphi(＼theta) ＼leq r ＼leq ＼psi(＼theta)＼｝＄，被积函数为＄f(x,y) ＝ f(r\cos\theta, r\sin\theta)＄，那么二重积分可以表示为：＼＼iint_D f(x,y) ＼，dx\，dy ＝＼int_{＼alpha}＾｛＼beta} ＼left(＼int_{＼varphi(＼theta)｝＾｛＼psi(＼theta)｝ f(r\cos\theta, r\sin\theta) r ＼，dr ＼right)d\theta＼这里需要注意的是，多了一个＄r$ ，这是因为在极坐标下，面积元素＄dx\，dy$ 要换成＄r\，dr\，d\theta$ 。
D102二重积分的计算83767
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下 D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D r 2 ( )
r 1( )
o
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(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域
域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系
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则有 D f (x, y) dx dy
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f
(x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
)
o r 1( )
r ( )
D f (r cos , r sin ) r d r d
2
( )
D
d f (r cos , r sin ) r d r o
0
0
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
d 1 2 2 ( ) d
D
20
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cosk , k rk sink
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n
lim
0
k
1
f
(
rk
cos k
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
例3. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 Dx
所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, y x
因此取D 为X – 型域 :
D
:
0 0
y x
x
D x o x
D
sin x
x
dxd
y
0
sin x
x
d
x
x
0 d
y
0 sin x dx
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
ex2 d x
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得
故①式成立 .
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例7. 求球体
被圆柱面
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
及直线
所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2 y2 x y
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D xyd 1dyy2 xy d x
2 1
1 2
x2
y
y2 y2
dy
1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
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二、利用极坐标计算二重积分 y
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2,, n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
11
y x
x 2
y
I
2
dx
1
x xyd y 1
在极坐标系下D
:
0Hale Waihona Puke a0 2,故
原式 D
r d r d
2
d
a rer2 d r
0
0
(1 ea 2 )
由于 ex2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
D f (r cos , r sin )r d r d
d
2 (
)
f
(r
cos ,
r
sin
)r
o dr
1( )
r 1( ) r 2 ( )
特别,
对
D
:
0 r (
0
2
当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
2
2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
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说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
2 1
1 2
xy2
xd
1
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
1 2
x
2
y
2d y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9 8
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例2. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
y
4 y 4 x2
D D1 D2 (如图所示)
D1
显然, 在 D1上, f (x, y) f (x, y) 在 D2上, f (x, y) f (x, y)
y 3x
o D2 1 x
x 1
I x ln(y 1 y2 )dxdy D1
x ln(y 1 y2 )dxdy 0 D2
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx
2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
2
y
x
8 x2 22
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
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例5. 计算
其中D 由
y 4 x2, y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f (x, y) x ln(y 1 y2 )