高一圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程与一般方程的特点与分析
圆的标准方程与一般方程的特点与分析圆的标准方程与一般方程各具特点，但都是我们所需要掌握的重要内容。
通过标准方程能够对一般方程进行推导，能够让我们更好地理解圆的特点和相关知识。
本文对圆的标准方程与一般方程进行分析，以供参考。
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在圆的标准方程中，包含有a、b、r这三个参数，也就是圆心坐标为（a，b），只需要将a、b、r计算出来，就可以确定圆的方程。
所以，在对圆方程进行确定的过程中，应当具备三个独立的条件，圆的定位条件就是圆心坐标，圓的定形条件就是其半径。
[1]1.圆的方程当时，则圆心O的坐标为（0，0），我们将其称之为1单位的圆；当时，则圆心O的坐标为（0，0），其半径为r；当时，则圆心O的坐标为（a，b），其半径为r。
在对圆的方程进行确定的过程中，主要是对待定系数法这一方法进行运用，也就是将有关a、b、r的方程组列出来，将a、b、r分别计算出来，亦或是将圆心（a，b）与半径r计算出来，通常情况下，其步骤是：依据有关题意，将圆的标准方程列出来；依据相关已知条件，对有关a、b、r的方程组进行建构；对所建构的方程组进行计算，分别将a、b、r的数值计算出来，将所计算的数值带入到圆的标准方程中去，进而就可以将所求圆的方程计算出来。
2.方程推导平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（a，b），点P是圆中任意一点，其坐标为（x，y）。
圆属于平面到定点距离等于定长的所有点的集合。
[2]因此，，分别将两边平方，可以得出。
3.点与圆关于点P（x1，y1）与圆（x-a）2+（y-b）2=r2的位置关系：当的情况下，那么点P位于圆外；当的情况下，那么点P位于圆上；当的情况下，那么点P位于圆内。
4.直线与圆的位置关系在平面图形中，在判定直线和圆的位置关系时，通常运用以下方法：通过其中B不等于0，可以得出关于x的一元二次方程。
通过判别式的符号，就可以对圆与直线的位置关系进行确定，其位置关系如下：倘若，那么圆与直线存在两个交点，二者是相交关系；倘若，那么圆与直线存在一个交点，二者是相切关系；倘若，那么圆与直线不存在交点，二者是相离关系。
高一数学圆的一般方程
四、点、线与圆的位置关系
由(
x
a)2 (y b)2 AxByC
0
r
2
消
去
y
得
x
的
一
元
二 次 方 程 判 别 式 为 Δ ，则 有 代 数 特 征 ：
(1) 0 直线与圆相交；
配方可得
(x D )2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(*)
( 1) 当 D2 E2 4 F 0 时 ， 方 程（ *） 表 示 以
（ D ， E ） 为 圆 心 ，1 D2 E2 4 F为 半 径 的 圆
22
2
二、圆的一般方程的定义：
( 2 ) 当 D2 E2 4 F 0 时 ， 方 程
解:设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
用待定系数法将O, M1, M2 的坐标代入圆的方程,得:
F 0,
D E F 2 0,
解得:F=0,D=-8,E=6.
4D 2E F 20 0,
所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0,
半径为
四、点、线与圆的位置关系
设圆C：(x a)2 (y b)2 r2，点M（x0,y0 )到 圆 心 的 距 离 为 d ， 则 有:
(1)d r 点M在圆外 (2)d r 点M在圆上 (3)d r 点M在圆内
四、点、线与圆的位置关系
设 圆 C:( x a )2 ( y b )2 r2 , 直 线 l： Ax By C 0, 圆 心 (a,b)到 直 线 l的 距 离 为d， 则有几何特征：
4.1.2 圆的一般方程
[名师批注] AP 垂直于 x 轴 时及 x＝0 时容 易漏掉.
y－2 y 2 2 · ＝－ 1 ，即 x ＋ y －x－ x－ 1 x
2y＝0(x≠0，且 x≠1)．(8 分)
返回
经检验，点 (1,0) ， (0,0) 适合上 式．(10 分) 综上所述，点 P 的轨迹是以
1 ，1为圆心， 以 2
求轨迹方程的常用方法
1、直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直
角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足
的关系式.
2、代入法（相关点法）：若动点P（x,y）随着圆
上的另一动点Q（ x1,y1 ）运动而运动，且x1,y1可
用x,y表示，则可将点Q的坐标代入已知圆的方程，
即得动点P的轨迹方程.
课时小结
得的弦长等于6的圆的一般方程.
[典例] (12 分)已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝9，求经过 点 A(1,2)的圆的弦的中点 P 的轨迹．
返回
[解题流程]
欲求弦的中点 P 的轨迹，需先求出点 P 的轨迹方程.
画出图形，结合圆的弦的 中点的性质，由 AP⊥OP 建立关系求解．
设动点 P 的坐标x， y―→由 AP⊥OP―→ 讨论 AP 垂直于 x 轴情形―→列 kAP· kOP＝ －1 的关系式―→检验―→得出结论
将圆的标准方程展开,化简,整理,可得 x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0, 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 也就是说: 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程 的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①
圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
1. 圆的标准方程1、已知圆心为),(b a C ，半径为r ， 如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程 ：222)()(r b y a x =-+-若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是222r y x =+3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要r b a ,,三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程例2已知圆的方程222r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程例3．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程例4．一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上，求此圆的方程例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y x =上截得的弦AB 长为，圆心在直线30x y -=上，求此圆的方程．2. 圆的一般方程1．圆的一般方程将标准方程222()()x a y b r -+-=展开，整理，得22222220x y ax by a b r +--++-=，将①配方得：22224()()224D E D E F x y +-+++=． ② 把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当2240D E F +->时，方程①表示以(,)22D E --为半径的圆；（2）当2240D E F +-=时，方程①表示一个点(,)22D E --； （3）当2240D E F +-<时，方程①不表示任何图形．结论：当2240D E F +->时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，且不等于0； （2）没有xy 这样的二次项．以上两点是二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C ≠0，B=0，0422>-+FA E D ）说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。
圆的一般方程
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以 ） ＜ 时 ）无实数解， 不表示任何图形。 不表示任何图形。
所以形如x Dx＋Ey＋ 4F>0） 所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
(D ) ( D)4,−6,−3
( A)4,−6,3
(2)
2 + y 2 − 2ax − y + a = 0 x
是圆的方程的充要条件是
1 1 1 ( A)a < ( B)a > (C )a = 2 2 2 (3)圆 x2 + y 2 + 8x −10y + F = 0 与 x
轴所得的弦长是
1 ( D)a ≠ 2
把方程： 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ D 2 E 2 D2 + E 2 − 4 F 配方可得： 配方可得：( x + ) + ( y + ) = 2 2 4 D E
为圆心， 为圆心，以(
1 D2 + E2 −4F 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解 ） 时 方程只有一组解X=-D/2
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系 圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 配方 → 标准方程 圆心 半径 标准方程(圆心 半径) 圆心,半径 一般方程 ← 展开 (3)给出圆的一般方程 如何求圆心和半径 (用配方法求解) 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 给出圆的一般方程 如何求圆心和半径? (4)要学会根据题目条件 恰当选择圆方程形式 要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式 要学会根据题目条件 恰当选择圆方程形式: 我们一般采用圆的标准方程较简单. ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单 若知道或涉及圆心和半径 我们一般采用圆的标准方程较简单 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 若已知三点求圆的方程 我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解. 法求解
圆的一般方程和标准方程知识题型总结
圆的方程一、圆的标准方程确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式写出点Mr = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②自己证明为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
二、探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.三、特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件 方程形式 圆心在原点 ()2220x y rr +=≠过原点 ()()()2222220x a y b a b ab -+-=++≠圆心在x 轴上 ()()2220x a y rr -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2220x y b rr +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2220x a y aa -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2220x y b bb +-=≠与x 轴相切 ()()()2220x a y b bb -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2220x a y b a a -+-=≠与两坐标轴都相切 ()()()2220x a y b aa b -+-==≠四、圆的一般方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2，圆心(a ，b)，半径r ．把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2=0．取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得022=++++F Ey Dx y x ①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++ ② 这个方程是不是表示圆？(1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程②表示（1）当0422>-+F E D 时，表示以（-2D ，-2E）为圆心,F E D 42122-+为半径的圆； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2E y -=，即只表示一个点（-2D ，-2E）;（3）当0422<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆只有当0422>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如022=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程()2214x y ++=五、圆的一般方程的特点：(1)①x 2和y 2的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。
圆的一般方程和标准公式
圆的一般方程和标准公式圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=R²。
圆的一般方程公式：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。
标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。
结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R ²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。
把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。
圆的标准方程与一般方程
(1)求 的最大值和最小值.
(2)求 x2+y2 的最大值和最小值.
圆心 ：－D2 ，－E2
半径：
2、直线与圆位置关系：相离、相切、相交
3、圆与圆位置关系：外离、外切、相交、内切、内含
（1）当 d r1 r2 时，两圆相离
（2）当 d r1 r2 时，两圆外切
（3）当 r1 r2 d r1 r2 时，两圆相交 （4）当 d r1 r2 时，两圆内切 （5）当 0 d r1 r2 时，两圆内含
A．－2
B．－4
C．－6
圆的标准方程与一般方程 D．－8
6、圆 C：(x＋1)2＋(y－2)2＝8 到直线 l：x＋y＋1＝0 的距离为 2的点的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
7、圆 x2＋y2＝1 和 x2＋y2－6y＋5＝0 的位置关系为(
)
A．外切
B．内切
C．相离
D．内含
8、圆 x2＋y2－2x－5＝0 和圆 x2＋y2＋2x－4y－4＝0 的交点为 A、B，则线段 AB 的垂直平分线方程为( )
A．2x－y＋1＝0
B．2x－y－1＝0
C．2x＋y＋1＝0
D．2x＋y－1＝0
4、若方程 x2＋y2－x＋y＋m＝0 表示圆，则实数 m 的取值范围是(
)
－∞，1
A.
2
B．(－∞，0)
1，＋∞ C. 2
－∞，1
D.
2
5、已知圆 x2＋y2＋2x－2y＋a＝0 截直线 x＋y＋2＝0 所得弦的长度为 4，则实数 a 的值为( )
一、教学目标 1、理解掌握圆的标准方程与一般方程 3、直线与圆的应用问题 二、引入新知
高考数学第51讲 圆的标准方程和一般方程
一、圆的方程的三种形式 (1)圆的标准方程： (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，方程表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆． (2)圆的一般方程：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 ①当D 2＋E 2－4F ＞0时，表示圆心为 (－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F 的圆； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，表示一个点 (－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F ＜0时，它不表示任何图形． (3)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径的两端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 二、点与圆的位置关系圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心A (a ，b )，半径r .若点M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； 若点M (x 0，y 0)在圆外， 则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2； 若点M (x 0，y 0)在圆内， 则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.三、在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．的圆的方程是( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D.(x －1)2＋(y －1)2＝2 【解析】圆的半径r ＝2211 ＝2， ∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.答案D 【拓展练习】1.(2016·浙江文10)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________. 【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.(2015·江苏文10)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________. 【解析】直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.(1)确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如果选择标准方程，求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量．(2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组，求出参数D 、E 、F 的值即可． 【例2】(2015·广东深圳模拟11)圆心在直线要点 梳 理 用圆的标准方程直接求圆方程 待定系数法求圆方程 考点剖析第51讲 圆的标准方程和一般方程x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________． 【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 【拓展练习】3.圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为 。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究：2、探索研究：确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r = ①化简可得：222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例（2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a)^2+（y-b)^2=r^2。
圆的一般方程:把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=—2a，E=-2b,F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0,在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1。
由Ax+By+C=0,可得y=(—C—Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x)=0。
利用判别式b^2—4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac〉0，则圆与直线有2交点,即圆与直线相交.如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac〈0，则圆与直线有0交点,即圆与直线相离.2。
如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴）,将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y—b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A〈x1或x=—C／A〉x2时，直线与圆相离;当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交;半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x—a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2）^2+（y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=〉圆心坐标为(-D/2,-E/2）1．点与圆的位置关系设圆C∶(x—a)2+(y-b)2=r2,点M(x0，y0）到圆心的距离为d，则有：（1）d＞r 点M在圆外；(2）d=r 点M在圆上；（3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0,圆心(a,b)判别式为△，则有: (1)d＜r 直线与圆相交; (2）d=r 直线与圆相切；(3）d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或（1）△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；（3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征,3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+（y-b)2=r2和圆C2：（x-m)2+（y—n）2=k2（k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2）d=k-r 两圆内切；（3)d＞k+r 两圆外离；（4）d＜k+r 两圆内含；（5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1）过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2,圆上一点为（x0,y0），则此点的切线方程为x0x+y0y=r2（课本命题）．②圆（x-a)2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0,y0)，则过此点的切线方程为(x0—a）（x—a）+(y0—b)（y-b)=r2（课本命题的推广)．（2）相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1—E2)y+(F1-F2）=0．(3）圆系方程:①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程）．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N（3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程.解：设圆的方程为:x^2+y^2 +Dx+Ey+F=0 ,∴ 圆心为(- ，— )，半径r=由题意：圆心到y轴的距离为｜- | , y轴上截得的弦长为1∴ r =( ) +（）∴ (D +E −4F)= + D∴ E −4F=1 。
圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程1、情境设置：在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究：2、探索研究:确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为Ａ（a ，b ）,半径为ｒ。
(其中a 、b 、r 都是常数，ｒ>０）设M （ｘ，y ）为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)Ｐ＝{Ｍ||ＭA|=ｒ},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件r =ﻩ①化简可得:222()()x a y b r -+-= ②引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程,得出结论。
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。
3、知识应用与解题研究例（1）：写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。
探究:点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法:(１)2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 (２）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （３)2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内例(2）：ABC ∆的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数．（学生自己运算解决）例(３)：已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A ，B 两点的距离相等，所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上,又圆心C 在直线l 上，因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 。
高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程_知识点总结
高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程_知识点总结
高考数学知识点：圆的标准方程与一般方程圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。
定点就是圆心，定长就是半径。
圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。
圆的一般方程：
圆的一般方程
当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当=0时，表示点；
当＜0时，不表示任何图形。
圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心,高考历史；定形条件：半径。
（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即
几种特殊位置的圆的方程：
条件
标准方程
一般方程
圆心在原点
过原点
圆心在x轴上
圆心在y轴上
与x轴相切
与y轴相切
与x,y轴都相切
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点。
高一数学公式和知识点
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高一数学知识点：圆的标准方程和一般方程公式知识点总结
高一数学知识点：圆的标准方程和一般方程公式知识点总结【摘要】小编和大家分享高一数学知识点欢迎大家前来了解、查询。
圆：体积=4/3()(r )
面积=()(r )
周长=2()r
圆的标准方程 (_-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 _2+y2+D_+Ey+F=0 注：D2+E2-4F0
(一)椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2b+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2b)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
(二)椭圆面积计算公式
椭圆面积公式： S=ab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率()乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。
常数为体，公式为用。
椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径_短半径_PAI_高
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一、学习目标1. 了解圆的定义，理解并掌握圆的标准方程和一般方程.2. 掌握用待定系数法求圆的方程.3. 掌握圆的标准方程与一般方程的互化.4. 体会求轨迹方程的方法与思想.二、重点、难点重点：圆的标准方程，通过圆的一般方程求圆的标准方程，根据已知条件求圆的方程. 难点：根据已知条件求圆的方程.三、考点分析本节内容是圆的方程，有关圆的题目，多以选择题、填空题的形式重点考查其标准方程和一般方程，难度不大；有时，也将圆的方程作为解答题考查.1. 圆的定义：平面到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是圆的半径.2. 圆的标准方程：以),(b a C 为圆心，r （0>r ）为半径的圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ），圆心坐标为（2,2E D --），半径为2422F E D r -+=.特别地，当0422=-+F E D 时，表示点)2,2(ED --；当0422<-+FE D 时，不表示任何图形. 4. 点与圆的位置关系已知点22211)()(:),,(r b y a x C y x P =-+-圆的方程 则2121)()(b y a x PC -+-=在圆外点P r PC ⇔>；在圆上点P r PC ⇔=；在圆内点P r PC ⇔<.知识点一：圆的方程例1. （1）求经过点P （1，3），Q （－2，2），且圆心在直线0832:=--y x l 上的圆的方程.（2）求圆心在直线l ：835=-y x 上，且与坐标轴相切的圆的方程. 【思路分析】题意分析：求圆的方程关键是求出圆心坐标和半径.解题思路：（1）设出圆心坐标，由已知条件构造方程组求解；或求出线段PQ 的垂直平分线方程，与直线l 的方程联立，解出交点坐标即为圆心坐标.（2）圆与坐标轴相切，说明圆心到坐标轴的距离相等，即都等于圆的半径，由此可列出圆心坐标所满足的方程，解方程可得圆心坐标和半径. 【解答过程】（1）解法一：设圆心坐标为),(b a C ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=---++=-+-0832)2()2()3()1(2222b a b a b a ，解得：⎩⎨⎧-==21b a ，所以5)32()11(22=--+-==PC r ，所以所求圆的方程为25)2()1(22=++-y x .解法二：根据条件可知圆心一定在线段PQ 的垂直平分线上，由直线的点斜式方程可求得线段PQ 的垂直平分线方程为013=-+y x ，由已知圆心也在直线l ：0832=--y x 上，所以由方程组⎩⎨⎧=--=-+0832013y x y x 解得圆心坐标为（1，－2），以下解法同解法一.（2）设圆心为),(b a ，因为圆与坐标轴相切，所以b a =，圆心在已知直线上， 所以有835=-b a ， 所以⎩⎨⎧=-=835||||b a b a ，解得⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧==1144b a b a 或， 当⎩⎨⎧==44b a 时，a r =＝4，所求圆的方程为16)4()4(22=-+-y x ；当⎩⎨⎧-==11b a 时，a r =＝1，所求圆的方程为1)1()1(22=++-y x .【题后思考】由已知条件构造出圆心坐标和半径的方程组，是求圆的方程的关键.例2. 求过点A （－2，1），B （0，－1），C （－2，－3）的圆的方程.【思路分析】题意分析：利用圆的一般方程求解.解题思路：设出圆的一般式方程，分别把三点的坐标代入方程，构成方程组，解此方程组即可得出所求结果.【解答过程】设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，因为A 、B 、C 三点在圆上，所以有⎪⎩⎪⎨⎧=+---+-=+--=++-+-032)3()2(0)1(021)2(22222F E D F E F E D ，解此方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧===124F E D ，所求圆的方程为012422=++++y x y x .【题后思考】本题也可以先求出圆心和半径进而列出圆的方程，但不如这种方法简捷.例3. （1）求与圆0222=+-+y x y x 关于直线01=+-y x 对称的圆的方程. （2）求方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件. 【思路分析】题意分析：（1）所求圆与已知圆的半径相同，故只需求出圆心坐标即可求解.（2）本题的关键是落实运用二元二次方程表示圆的充要条件.解题思路：（1）先求出已知圆的圆心坐标和半径，再求出该圆圆心关于对称轴的对称点坐标.（2）直接代入0422>-+F E D 得关于m 的不等式，解不等式即可.【解答过程】（1）圆的方程可化为45)1()21(22=++-y x ， 所以圆心的坐标为)1,21(-，半径为25， 设圆心关于直线01=+-y x 的对称点为),(b a ，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--+-=-+01212211211b a a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=232b a ，所以所求圆的方程为45)23()2(22=-++y x . （2）∵0)1)(14(442016204)4(42222>--=+-=-+=-+m m m m m m F E D1>∴m 或41<m . 【题后思考】（1）由圆的一般方程要能够准确求出圆心坐标和半径，既可以用配方法将其转化为圆的标准式方程求解，也可以直接套用公式求解.（2）并不是所有形如022=++++F Ey Dx y x 的方程都表示圆，用这样的方程表示圆的充要条件是0422>-+F E D .【知识小结】当已知条件与圆心、半径有关时，求圆的方程时，把方程设为标准方程更简便；对于圆的一般方程要会求圆心坐标和半径；另外还要掌握用二元二次方程表示圆的充要条件为0422>-+F E D .知识点二：与圆有关的综合问题例4. 动点M 到两个定点O （0，0），A （3，0）的距离之比为1：2，求动点M 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线. 【思路分析】题意分析：动点M 满足的条件在已知条件中已明确给出，只需把它用坐标表示出来，并化简整理即可.解题思路：设出动点M 的坐标，分别用两点间的距离公式表示MO 、MA 的长.【解答过程】设动点M 的坐标为（y x ,），由已知，21=MA MO，21)3(2222=+-+∴yx y x ， 2222)3(2y x y x +-=+∴两边平方并整理得：03222=-++x y x ，所以动点M 的轨迹为以（－1，0）为圆心，以2为半径的圆.【题后思考】求动点的轨迹方程即求动点的坐标（y x ,）满足的方程，当已知条件中明确给出动点运动的条件时，只需把条件用坐标表示出来，并化简整理即可.例5. 已知点2),0,2(),0,2(=-AD B A ，E 为线段BD 的中点，求点E 的轨迹方程. 【思路分析】题意分析：（1）由已知条件可知点D 的轨迹方程，把点D 的坐标用点E 的坐标表示出来，然后代入点D 的轨迹方程.（2）利用图形的几何性质可推出1=OE ，故可知点E 的轨迹是以原点为圆心的圆. 解题思路：（1）设出点E 的坐标，用中点坐标公式求出点D 的坐标.（2）由图形可得OE 为△ADB 的中位线.【解答过程】解法一：设点),(y x E ，点),(11y x D ，因为E 为线段BD 的中点，所以有y y x x 2,2211=-=，2=AD ，4)2(2121=++∴y x ，即4)2()222(22=++-y x ，整理得：122=+y x .解法二：连接OE ，则OE 为△ADB 的中位线，所以121==AD OE ， 由圆的定义可知，点E 的轨迹是以原点为圆心的圆， 方程为122=+y x .【题后思考】本题的两种解法分别用到了求轨迹方程的相关方法和定义法.例6. 如果实数y x ,满足方程1)1()3(22=-+-y x ，求：（1）xy的最大值和最小值；（2）y x +3的最大值和最小值；（3）22y x +的最大值和最小值.【思路分析】 题意分析：利用22,3,y x y x xy++的几何意义，用数形结合的方法来解决. 解题思路：xy的几何意义为圆上的点与原点连线的斜率；y x +3的几何意义为设y x b +=3，则b 表示直线在y 轴上的截距；22y x +的几何意义表示圆上的点到原点的距离的平方. 【解答过程】（1）xy表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的两条切线， 则切线的斜率分别为0和3，所以xy的最大值为3，最小值为0.（2）设y x b +=3，则b 表示直线在y 轴上的截距，作圆的两条斜率为3-的切线，这两条切线的截距分别为2和6， 所以y x +3的最大值为6，最小值为2.（3）22y x +表示圆上的点到原点的距离的平方，因为圆心到原点的距离为2，所以圆上的点到原点距离的最大值为3，最小值为1， 所以22y x +的最大值为9，最小值为1.【题后思考】本题使用代数式的几何意义求解比较直观.易错点是误认为22y x +是圆上的点到原点的距离.例7. 已知圆C ：425)3()21(22=-++y x 上两点Q P ,满足：①关于直线4+=kx y 对称；②OQ OP ⊥，求直线PQ 的方程. 【思路分析】题意分析：由圆上两点Q P ,关于直线4+=kx y 对称可知圆心在这条直线上，故斜率k 的值可求，进而由02121=+⇔⊥y y x x OQ OP .解题思路：设出所求直线方程，代入圆方程，用根与系数的关系构造关于所求的方程. 【解答过程】由圆上两点Q P ,关于直线4+=kx y 对称可知圆心在这条直线上，所以有4213+-=k ，解得2=k ， 则直线PQ 的斜率为21-，设P 点坐标为),(11y x ，Q 点坐标为),(22y x ，直线PQ 的方程为b x y +-=21，代入圆的方程整理得：0)36(4)4(4522=+-+-+b b x b x ，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=-=+>+-⨯⨯--=∆5)36(45)4(40)36(454)4(162212122b b x x b x x b b b5324)(2141)21)(21(2221212121++=++-=+-+-=b b b x x b x x b x b x y y ， 02121=+⇔⊥y y x x OQ OP ，所以053245)36(422=++++-b b b b 解得23=b 或45，经检验，0>∆成立.所以所求直线PQ 的方程为032=-+y x 或0542=-+y x .【题后思考】本题中由02121=+⇔⊥y y x x OQ OP 是解此类型题常用的结论；求出b 的值后，应验证0>∆是否成立.【知识小结】在本讲中，我们学习了圆的标准方程和一般方程.在求圆的方程时，可根据已知条件选择适当的方程求解.解决有关圆的最值问题时，利用代数式的几何意义求解比较简便.在解答有关圆的综合问题时，结合圆的性质求解是关键；求圆的方程时，如果已知条件与圆心、半径有关，一般采用圆的标准方程求解，如果与圆心、半径无直接关系，则使用圆的一般方程求解.（答题时间：50分钟）一、选择题1. 圆5)2(22=++y x 关于原点对称的圆的方程是（ ） A . 5)2(22=+-y x B . 5)2(22=-+y x C . 5)2()2(22=+++y x D . 5)2(22=++y x2. 点（1，1）在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则a 的取值范围为（ ） A . 11<<-a B . 10<<a C . 1-<a 或1>aD . 1±=a3. 已知直线l 的方程为02543=-+y x ，则圆122=+y x 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ）A . 3B . 4C . 5D . 64. 一个动点在圆122=+y x 上移动，它与点A （3，0）连线的中点的轨迹方程为（ ）A . 4)3(22=++y xB . 1)3(22=+-y xC . 1)2()32(22=+-y x D . 21)23(22=++y x 5. 经过圆0222=++y x x 的圆心，且与直线0=+y x 垂直的直线方程是（ ） A . 01=+-y x B . 01=--y x C . 01=-+y xD . 01=++y x6. 已知圆042422=--++y x y x ，则22y x +的最大值为（ ）A . 9B . 14C . 5614-D . 5614+二、填空题7. 已知点A （－4，－5），B （6，－1），则以线段AB 为直径的圆的方程是 . 8. 已知圆)0()()(222>=-+-r r b y a x 过原点且与y 轴相切，则r b a ,,应满足的条件是 .9. 圆心在直线2=x 上的圆与y 轴交于点A （0，－4），B （0，－2），则圆的方程是 . 10. 直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于点A 、B ，弦AB 的中点为（0，1），则直线l 的方程为 . 三、解答题11. 求与x 轴相切于点（5，0），并在y 轴上截得的弦长为10的圆的方程.12. 方程04)1(422=+--+y x a ay ax 表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.13. 已知圆0622=+-++m y x y x 和直线032=-+y x 相交于Q P ,两点，若OQ OP ⊥，求m 的值.一、选择题1. A 解析：圆心的坐标为（－2，0），则关于原点对称的点的坐标为（2，0）.2. A 解析：由已知22(1)(1)4a a -++<，解得11a -<<.3. B 解析：圆心到直线的距离5d ==，∴最小值为5－1＝4.4. C 解析：设00(,)M x y 为圆上的动点，MA 的中点为(,)N x y ，则0030,22x y x y ++== ()2222000023,2,1,23(2)1x x y y x y x y ∴=-=+=∴-+=.5. A 解析：圆的圆心为（－1，0），直线的斜率为1，故所求直线的方程为1y x =+即10x y -+=.6. D 解析：圆心为（－2，1），半径为3，所以22x y +的最大值为23)14=+二、填空题7. 22(1)(3)29x y -++= 解析：由中点坐标公式得圆心坐标为（1，－3），由两点间8. a r =且0b = 解析：由已知：222(0)(0)(0),,0a b r r r a b -+-=>=∴=. 9. 22(2)(3)5x y -++= 解析：线段AB 的中点坐标为（0，－3），所以圆心坐标为（2，－3）=10. 10x y -+= 解析：圆心为（－1，2），圆心与弦AB 的中点（0，1）的连线的斜率为－1，所以所求直线l 的斜率为1，且过点（0，1），故所求直线l 的方程为1y x -=即10x y -+=三、解答题11. 解：因为与x 轴相切于点（5，0），所以圆心的横坐标为5，设圆的半径为r ，则有22210()5502r =+=，所以圆心的纵坐标为±故所求圆的方程为 22(5)(50x y -+±=.12. 解：圆方程可化为22222(1)24(22)[]()a a a x y a a a --+-++=， 方程表示圆⇔2220a a -+>且0a ≠，,0a R a ∴∈≠时方程表示圆. 22224(22)2(2)22a a a a a -+-=+≥，当且仅当2a =时取等号.2a ∴=时，圆的半径最小，此时圆的方程为22(1)(1)2x y -++=.13. 解：设1122(,),(,)P x y Q x y ，由2223060x y x y x y m +-=⎧⎨++-+=⎩得2520120y y m -++=， 1212124,5my y y y +∴+==，1212,0OP OQ x x y y ⊥∴+= 1212(32)(32)0y y y y ∴--+= 即121296()50y y y y -++=964(12)0m ∴-⨯++=，解得：3m =.。