八年级数学上册角平分线的性质第一课时课件新人教版
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人教版八年级上册数学课件：角平分线的性质优秀课件
求证：（1）∠ECD=∠EDC； （2）OC=OD.
人 教人版教八版年八级年上级册上数册学数课学件课：件12：.3角角平平分分线线的的性性质质优（秀共pp1t6课张件PPT）
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证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
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角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
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证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ，
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
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角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
A
证明：过点P作PD⊥PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
八年级数学上册角平分线课件新人教版
怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？
变式1：△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P也在∠A的平分线上. 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F A ∵点P在∠ABC的平分线上, D M PD⊥AB， PE⊥BC N F ∴PD＝PE P 同理 PE＝PF B C E ∴PD＝PF ∴点P在∠BAC的平分线上
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
所以： 角平分线可以看做到角的两边 距离相等的所有点的集合
用一用
1、 如图，开发区一个工厂，在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出 工厂的位置，并说明理由。
变式2：已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线 相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 同理 FM＝FH ∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上.
G M H
12.3角平分线的性质 （2）
温故知新
1、快速用尺规作一个已知角的 平分线. 2、角平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 A
用符号语言表述：
D O 1 2 E B P C
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
想一想
• 把刚才的性质反过来：到一个角的两边距离相 等的点是否一定在这个角的平分线上呢？
课堂练习
1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在三 条公路围成的一块平地上 修建一个度假村.要使这个 度假村到三条公路的距离 相等，应在何处修建?
人教版八年级上册数学课件12.3角平分线的性质3
OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？
A
在OC 上再取几个点试一试． 通过以上测量，你发现了角
D
的平分线的什么性质？
C
P
O
E
B
求证经； 历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
求证：PD =PE．
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
线．你能说明它的道理吗？
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 求证：PD =PE．
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
在△OPD和△OPE 中
格的逻辑推理证明这个结论吗？ 边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
CA=CA（公共边）
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
已知：如图，ＯC平分∠ＡOＢ， 追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 在△ACD和△ACB中
D
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
格的逻辑推理证明这个结论吗？
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
E
人教版八年级数学上册1角的平分线的性质教学课件
2
交 于 ，交 于
;
分别以 ， 为圆心，
大于
1
2
作射线 .
则射线 即为所求.
的长为半径作弧，
两弧在∠ 内部交于点 ;
3
如何证明我们的作法是正确的呢？
作图可得 = , = .
由这两个条件证明射线 平分
∠ 即可.
⊥ 于 ，
∴ = .
平分∠ ，
例
如图，点 是∠ 平分线 上一点， ⊥ 于 ，
= 2，求点 到边 的距离.
分析
先标图.
1
由“距离” 想作垂直.
2
求证何来？
已知可推？
由“角分双垂”想到角的平分
线的性质.
例
如图，点 是∠ 平分线 上一点， ⊥ 于 ，
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
题设：一个点在一个角的平分线上.
结论：它到角的两边的距离相等.
已知：如图∠ = ∠，点 在 上， ⊥ ，
⊥ ，垂足分别为点 ，.
求证： = .
分析
求证何来？
由△ ≌ △ 推相等的线段.
尺规作图
尺规作图作一个角的角平分线.
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
定理应用
“角分双垂推等距”.
教材本章节 习题 12.3 第 1，2 题
证明：
∵
∴
∠ = ∠ = 90°.
在△ 和△ 中，
《角的平分线的性质》PPT优质课件
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾 旧 知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2， 又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4， 又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边 的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
八上数学最新人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质(第1课时)
垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
A
D C
P
O
B
如图，E是∠AOB的角平分线OC上的一点， EM⊥OB垂足为M，且 EM=3cm，求点E 到OA的距离
分析：点E 到OA的距离是过点E作OA的垂线段，再根据角的平分线的性质，可知点E 到OA的距离。
解：过E作EN⊥OA垂足为N
∵ E是∠AOB的角平分线上的一点， EM⊥OB， EN⊥OA，B
2、分别以M、N为圆心，大于
的长为1半M 径N 作弧，两弧在∠AOB内部交于点C。
2
3、作射线OC，射线OC即为所求。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC
∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
A
M
C
O
8
C
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？ （3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？
在应用这一性质时要注意哪些问题？
布置作业
教科书习题12.3第4、5题．
利用尺规作角的平分线的具体方法:
1、以O为圆心，适当长为半径作 弧，交OA于M，交OB于N。
2长、为分半12别径M以作NM弧、，N为两圆弧心在，∠大AO于B内部交于的M
点C。 3 、 作 射 线 OC ， 射 线 OC 即为所求。
A C
O
N
B
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？ A
用量角器度量，也可用折纸的方法． 追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？
人教版八年级数学上册12.3.1角的平分线的性质(第1课时)
E
B
C
D
A
E
B
C
D
4.如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 则PN=_______ 。 2
N 0 M P
A
C B
*5.如图，△ABC中，AB=8厘米，∠C=90°， AC=BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于 点E。求：△DBE的周长= 8厘米。
证明:连结MC,NC由作法知:
在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC (SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线. M
A C
O
N
B
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
P48 思考 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？ 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线 OC，在OC 上任取一点P，过点 A P 画出OA，OB 的垂线，分别记 D 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 C 作比较，你得到什么结论？ P O
B
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等
E
C
A
2. 如 图 , 在 △ ABC 中 ， AC⊥BC ， AD 为 ∠ BAC 的平分线，DE⊥AB，AB ＝ 7 ㎝ ， AC ＝ 3 ㎝ ， 求 BE= 4 CM. 3.如图，在△ABC中， ∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若 BC＝8,BD＝5，则点D 3 到AB的距离为_____
证明:∵ AD平分∠CＡＢ, D是AD上一点（已知）
∵DE⊥AB,DC⊥AC（已知） ∴DC＝DＥ(角平分线的性质） 在Rt△CDF和Rt△EDB 中 BD=FD （已知） DC=DE（已证） ∴Rt △CDF≌Rt△EDB (HL) ∴CF＝EB（全等三角形对应边相等）
12.3 角的平分线的性质 课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册
∴∠AOC=∠BOC
求证：PE=PF
在△EOP和△FOP中
EA
∠AOC=∠BOC ∠OEP=∠OFP
PC
OP=OP
O
∴ △EOP≌△FOP（AAS)
∴ PE=PF
FB
角平分线的性质 角平分线 上的点 到角两边的距离 相等
几何语言
∵ OP是∠AOB的角平分线
PE⊥OA PF⊥OB
O
∴ PE=PF
EA P
∴ △OEC≌△OFC（SSS） ∴ ∠AOC=∠BOC 即 OC平分∠AOB
E
F
为什么？
新知学习二
猜想：角平分线上的点到角两边的距离相等
同学能用学过的知识证明它吗?
命题证明：角平分线上的点到角两边的距离相等
已知：OC是∠AOB的角平分线，
点P在OC上，
证明：∵ OC是∠AOB的角平分线
PF⊥OB PE⊥OA
E
∴ PD=PE=PF
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
课堂小结
内容：1. 角平分线上的点到角两边的距离相等 2. 证明几何命题的步骤
应用角平分线性质的条件：1. 存在角平分线 2.涉及距离问题
布置作业
课本P51：第1、2题
配套练习前8题
感谢您的观看
人教版数学八年级上册
12.3第一课时
角平分线的性质
教材分析
情景导入
新知学习一
A
已知:∠AOB
求作∠AOB的平分线
O
B
③ ① ② 作以分射点别线以O为点O圆CM心、，N为适圆当心长，为大半于径画M弧N，为交半O径A于画点弧M，，两O弧B交于于点点NC
证明：在△OEC和△OFC中， OE=OF EC=FC OC=OC
《角的平分线的性质》示范公开课教学PPT课件【部编新人教版八年级数学上册】
三角形的三条角平分线交于一点.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例2：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相 等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处（ 在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）?
A
C
D
B
M
S
N
AB：500=1： 20 000 AB=2.5cm
情景导入
（2）下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在 角的定点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是 这个角的平分线.你能说明它的道理吗?
分析
在△ACD和△ACB中
AD=AB，DC=BC AC=AC
△ACD≌△ACB
∠DAC=∠BAC
AC平分∠BAD
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思考
做一做：你能用三角形全等证明这个结论吗?
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，做 PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
分析： 要证明PD=PE，只要证明它们所在的△OPD≌△OPE， 而△OPD≌△OPE的条件由已知容易得到它满足公理 （AAS）.故结论可证.
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情景导入 （1）画一画：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法， 如何确定角的平分线?
（1）在准备好的角上标好字母A，O，B；
（2）把∠ AOB对折，使得这个角得两边重合；
A
（3）折痕就是∠AOB的角平分线.
O
B
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)
条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF， 在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定： 到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】 在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）
人教版八年级数学上册作业课件 第十二章 全等三角形 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
A．3 B．32
C．2 D．6
6．(2020·湘潭)如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D， 且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为____．3
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝ 10 cm，CD＝3 cm，则△ABD的面积为__1_5_c_m__2_．
120°，∴∠ROQ＝∠EOF，∴∠EOQ＝∠FOR，再由 ASA 证△OEQ≌△OFR，即
可得 OE＝OF
解：∵AP平分∠BAC，PE⊥AC，PF⊥AB，∴∠PFA＝∠PEA＝90°，∠FAP ＝ ∠ EAP ， PF ＝ PE ， 在 Rt△AFP 和 Rt△AEP 中 ， AP ＝ AP ， PF ＝ PE ， ∴ Rt△AFP≌Rt△AEP(HL) ， ∴ AE ＝ AF ， 在 △ AFO 和 △ AEO 中 ， AF ＝ AE ， ∠FAO＝∠EAO，AO＝AO，∴△AFO≌△AEO(SAS)，∴OF＝OE
15．如图，点D是△ABC的外角∠ACE的平分线上的一点，DF⊥AC于点F， DE⊥BC，交BC的延长线于点E，求证：CE＝CF.
解：∵CD是∠ACE的平分线，DE⊥CE，DF⊥AC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°， DE ＝ DF ， 在 Rt△DEC 和 Rt△DFC 中 ， DC ＝ DC ， DE ＝ DF ， ∴Rt△DEC≌Rt△DFC(HL)，∴CE＝CF
A．大于12 CD C．小于12 CD
B．等于21 CD D．以上答案都不对
2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝ ∠BOC的依据是( A )
A.SSS B．ASA C．AAS D. 角平分线上的点到角两边的距离相等
八年级数学上册角平分线的性质第一课时课件新人教版
猜想： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
证一证
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
D P O E B A
例题：如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点 O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工 厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里， 村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到 公路l2的距离。
丰收乐园
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线 上的点到这个角的两边的距离 相等. 符号语言： ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB( 已知） ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.
A
D 1 2 E B P
O
C
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｍ
Ｃ
弧,交OA于M,交OB于N.,
长 为半径作弧,两弧在∠AOB的内 部交于点C. Ｂ Ｎ ⑶作射线OC 温馨提示: 射线OC即为所求. 作角平分线是最基本的 尺规作图,大家一定要掌握噢!
0
任务二：探究角平分线的性质
(1)实验： 1、作出∠AOB的角平分线OC，在OC上找一点P, 作这一点到OA,OB的距离PD、PE。 2、测量出PD、PE ，比较有什么大小关系？
角平分线的性质（第一课时）
前置任务订正
A
o
1 2
C B
学习目标：
1.会画角平分线
2.掌握角平分线的性质
展示
你有办法作已知角的平平分线的方法 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. A
八年级数学人教版(上册)第1课时角的平分线的性质
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
知识点 1 角的平分线的作法
1.如果要作∠AOB 的平分线 OC，合理的顺序是( C )
①作射线 OC；②在 OA，OB 上分别截取 OD，OE，使 OD＝
OE；③分别以点 D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在
1.如图，△ABC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，BD∶DC＝2∶ 1.若 AC＝3 cm，则 AB＝ 6 cm .
2.如图，AE 是∠BAC 的平分线，BD 是△ABC 的中线，AE， BD 相交于点 E，EF⊥AB 于点 F.若 AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20， 则 EF 的长为 2 .
BC＝5，对角线 BD 平分∠ABC，则△BCD 的面积为( B )
A．8
B．7.5
C．15
D．无法确定
第 7 题图
8.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分
∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直.若 AD＝8，则点 P 到
BC 的距离是( C )
证明：过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F， ∴∠PEC＝∠PFD＝90°. ∵OM 是∠AOB 的平分线， ∴PE＝PF. ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
又∵∠PDO＋∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF. ∠PCE＝∠PDF，
证明：过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，则 ∠DFC＝∠DEB＝90°.
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
12.3 角的平分线的性质 第1课时 角的平分线的性质
知识点 1 角的平分线的作法
1.如果要作∠AOB 的平分线 OC，合理的顺序是( C )
①作射线 OC；②在 OA，OB 上分别截取 OD，OE，使 OD＝
OE；③分别以点 D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在
1.如图，△ABC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，BD∶DC＝2∶ 1.若 AC＝3 cm，则 AB＝ 6 cm .
2.如图，AE 是∠BAC 的平分线，BD 是△ABC 的中线，AE， BD 相交于点 E，EF⊥AB 于点 F.若 AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20， 则 EF 的长为 2 .
BC＝5，对角线 BD 平分∠ABC，则△BCD 的面积为( B )
A．8
B．7.5
C．15
D．无法确定
第 7 题图
8.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，AB∥CD，BP 和 CP 分别平分
∠ABC 和∠DCB，AD 过点 P，且与 AB 垂直.若 AD＝8，则点 P 到
BC 的距离是( C )
证明：过点 P 作 PE⊥OA 于点 E，PF⊥OB 于点 F， ∴∠PEC＝∠PFD＝90°. ∵OM 是∠AOB 的平分线， ∴PE＝PF. ∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
又∵∠PDO＋∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF. ∠PCE＝∠PDF，
证明：过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，则 ∠DFC＝∠DEB＝90°.
∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，
人教版八年级数学上册第十二章全等三角形12.3 第1课时 角平分线的性质课件
O （3）垂直距离.
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
C P
定理的作用： 证明线段相等.
应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB，
E B
推理的理由有三个， 必须写完全，不能少
了任何一个.
∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知），
∴ BD = CD ，
A
求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到
DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
E
F
≌ Rt△CDF.
B
D
C
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD，
A D
C
P
O
E
B
验证结论
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE. 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， O
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
A
D C
P
E
B
OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE.
C
D
A
EB
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能
说明∠AOC=∠BOC的依据是（ A ）
A.SSS
B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
八-年级数学上册教学课件-角的平分线的性质
拓展点三
拓展点三 角的平分线的性质与全等三角形的判定的综合运用
例3 如图=DC.求证:BE=CF.
A
E
F
B
C
D
分析先由角平分线的性质就可以得出DB=DF,再证明△BDE≌△FDC就可以得出结论.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
证明 ∵∠B= 90 °,
八年级数学上册
第二单元 全等三角形
角 的 平 分 线 的 性 质
知识点一
知识点二
知识点三
知识点一 角的平分线的作法
如图,已知∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
作法:(1)以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点E,F;
(2)分别以E,F为圆心,大于1 EF的长为半径画弧,两弧在∠AOB 内部交于点C;
③经过分析,找出由已知推出要证结论的途径,写出证明过程.
知识点一
知识点二
知识点三
A
D
O
C
P
E
B
名师解读
(1)用几何符号语言表示:如图,∵点P在∠AOB的平分线上,且PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为
D,E,∴PD=PE.
(2)性质中的“距离”是指“点到直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则
于点H.求证:AP 平分∠HAD.
H
p
A
D
B
C
E
分析过点P作PF⊥BE于点F,根据角平分线的性质可得PH=PF,PF=PD,有PD=PH,可得答案.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
解 过 点 P作 P F⊥BE 于点F,∵BP平分∠ABC,P H ⊥BA于 点
H,PF⊥BE于点F,
人教版八年级数学上册1《角的平分线的性质》教学课件
P
O
E
B
探究归纳
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
角的平分线上的点到角的两边的距离相
等.
A
D C
P
O
E
B
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？
追问2 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
C E
动手实践
追问3 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你 受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
目标重点
学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
学习重点： 探索并证明角的平分线的性质．
探究新知
问题1 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的 平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
利用尺规作角的平分线的具体方法: A
M C
O
N
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
OC，在OC 上任取一点P，过点 P 画出OA，OB 的垂线，分别记 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 作比较，你得到什么结论？
O
E
B
探究归纳
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
角的平分线上的点到角的两边的距离相
等.
A
D C
P
O
E
B
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角 的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严 格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点 P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， 垂足分别为D，E．
追问1 你能评价这些方法吗？在生产生活中，这 些方法是否可行呢？
追问2 下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两
边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
D
B
C E
动手实践
追问3 从利用平分角的仪器画角的平分线中，你 受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
12.3 角的平分线的性质 （第1课时）
目标重点
学习目标： 1．会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性． 2．探索并证明角的平分线的性质． 3．能用角的平分线的性质解决简单问题．
学习重点： 探索并证明角的平分线的性质．
探究新知
问题1 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的 平分线？
用量角器度量，也可用折纸的方法．
利用尺规作角的平分线的具体方法: A
M C
O
N
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那 么角的平分线有什么性质呢？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
OC，在OC 上任取一点P，过点 P 画出OA，OB 的垂线，分别记 垂足为D，E，测量 PD，PE 并 作比较，你得到什么结论？
八年级数学上册角平分线的性质课件
个角的两边的距离相等。
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
A D P O E B
证一证：角的平分线上的点到这个
角的两边的距离相等。
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） A ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） D ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） C P 1 在△PDO和△PE12.3
徐润萍
D C
B
E
A B C
金羊九年制学校
D
如何用尺规作角的平分线？ 作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆
A
Ｍ
Ｃ
1 心．大于 ＭＮ的长为半 2
径画弧、两弧在∠AOB的
内部交于Ｃ． ３、作射线OC．
Ｂ
Ｏ Ｎ
则射线ＯＣ就是所求的角平分线。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
填空：
如 图 ， OC 是 ∠AOB 的 平 分 线 ， ∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
C
A
D
P
B
·
E
O
练一练：
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD ⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别 ， 是 D 、 E,PD=3cm, 则 PE=__________cm.
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.
A D P O E B
证一证：角的平分线上的点到这个
角的两边的距离相等。
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上， PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） A ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） D ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） C P 1 在△PDO和△PE12.3
徐润萍
D C
B
E
A B C
金羊九年制学校
D
如何用尺规作角的平分线？ 作法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢ于Ｎ． ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆
A
Ｍ
Ｃ
1 心．大于 ＭＮ的长为半 2
径画弧、两弧在∠AOB的
内部交于Ｃ． ３、作射线OC．
Ｂ
Ｏ Ｎ
则射线ＯＣ就是所求的角平分线。
（×）
A
B D C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
填空：
如 图 ， OC 是 ∠AOB 的 平 分 线 ， ∵PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
C
A
D
P
B
·
E
O
练一练：
1、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB， 垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？ 2 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上 ,PD ⊥OA,PE⊥OB, 垂 足 分 别 ， 是 D 、 E,PD=3cm, 则 PE=__________cm.
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3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
说一说
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用几何语言表示为：
∵OP平分∠AOB PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O A D P E B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O E D
12.3角平分线的性质 （1）
小林中心验证等方式，掌握角平分线的性质 定理 2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问 题.
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
o
1 2
C B
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长
B A P E M F C
用一用(2)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E B D
F C
温馨提示:
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点 D到AB的距离是多少？
探究1---想一想
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道 理吗?
经过上面的探索，你能得 到作已知角的平分线的方 法吗？小组内互相交流一 下吧！
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. A
A E
E
B
C
D
2.如图, △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的 外角的平分线CE相交于点P.求证:点P到三边 AB,BC,CA所在直线的距离相等.
D C P A A B E
E
3、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 2 则PN=_______。
N
0 P M A C B
4、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB
A
F
E
C
D
B
5、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平 分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C D
A
E
B
思考：
证明: ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠AOC= ∠BOC ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠ PDO=∠PEO=900 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO=∠PEO ∠AOC= ∠BOC OP=OP
D O
A P C B
E
∴ △PDO≌△PEO
(AAS) ∴ PD=PE
用一用（1）
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC 于E，PF⊥AC于F ND ∵ BM为△ABC的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
A
P
C
B
定理的作用： 证明线段相等。
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证 的途径，写出证明过程。
• 角平分线性质： • 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
已知:OC是∠AOB的平分线, 点P在OC上,且 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.求证: PD=PE
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
丰收乐园
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线 上的点到这个角的两边的距离 相等. 符号语言： ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB( 已知） ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.
作法: ⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在 ∠AOB的内部交于点C. ⑶作射线OC, 射线OC即为所求.
1 MN 2
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的 尺规作图,大家一定要掌握噢!
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
A
D
O
1 2 E
P C
B
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
说一说
你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用几何语言表示为：
∵OP平分∠AOB PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O A D P E B
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离。 O E D
12.3角平分线的性质 （1）
小林中心验证等方式，掌握角平分线的性质 定理 2.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问 题.
复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角分成两个相等的角，
这条射线叫做这个角的平分线。
A
o
1 2
C B
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长
B A P E M F C
用一用(2)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E B D
F C
温馨提示:
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点 D到AB的距离是多少？
探究1---想一想
如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿 AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道 理吗?
经过上面的探索，你能得 到作已知角的平分线的方 法吗？小组内互相交流一 下吧！
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法 已知:∠AOB. 求作:∠AOB的平分线. A
A E
E
B
C
D
2.如图, △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的 外角的平分线CE相交于点P.求证:点P到三边 AB,BC,CA所在直线的距离相等.
D C P A A B E
E
3、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 2 则PN=_______。
N
0 P M A C B
4、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EB
A
F
E
C
D
B
5、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平 分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C D
A
E
B
思考：
证明: ∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ ∠AOC= ∠BOC ∵ PD⊥OA,PE⊥OB, ∴ ∠ PDO=∠PEO=900 在△PDO和△PEO中 ∠ PDO=∠PEO ∠AOC= ∠BOC OP=OP
D O
A P C B
E
∴ △PDO≌△PEO
(AAS) ∴ PD=PE
用一用（1）
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC 于E，PF⊥AC于F ND ∵ BM为△ABC的角平分线 ∴PD=PE 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
A
P
C
B
定理的作用： 证明线段相等。
证明几何命题的一般步骤：
1、明确命题的已知和求证
2、根据题意，画出图形，并用数学 符号表示已知和求证；
3、经过分析，找出由已知推出求证 的途径，写出证明过程。
• 角平分线性质： • 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
已知:OC是∠AOB的平分线, 点P在OC上,且 PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D,E.求证: PD=PE
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
丰收乐园
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线 上的点到这个角的两边的距离 相等. 符号语言： ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB( 已知） ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.
作法: ⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 的长为半径作弧,两弧在 ∠AOB的内部交于点C. ⑶作射线OC, 射线OC即为所求.
1 MN 2
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的 尺规作图,大家一定要掌握噢!
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
A
D
O
1 2 E
P C
B