2019-2020年高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明AB卷文新人教A版
2021年数学一轮复习考点与题型总结：第七章不等式、推理与证明
解析 答案
-53-
考点1
考点2
考点3
考向三 求非线性目标函数的最值
关闭
A.4 B.9 C.10 D.12 思考如何利用可行域求非线性目标函数最值?
关闭
解析 答案ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-54-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.利用可行域求线性目标函数最值的方法:首先利用约 束条件作出可行域,然后根据目标函数找到最优解时的点,最后把 解得点的坐标代入求解即可.
关闭
答案
-30-
考点1
考点2
考点3
解析:(1)∵x>1,y>1,∴lg x>0,lg y>0,由题意得lg x+lg y=4,即
xy=104.
-31-
考点1
考点2
考点3
-32-
考点1
考点2
考点3
-33-
考点1
考点2
考点3
-34-
考点1
考点2
考点3
例5要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容 器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容 关闭
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最 低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求出最大利润;如果不获 利,那么需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
-37-
考点1
考点2
考点3
知识梳理
-38-
知识梳理 双基自测
12
2.线性规划的相关概念
线性约束条件
可行解 最大值
12345
5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次, 一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和
2019-2020年高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练44合情推理与演绎推理理
9 ＝
b＋
9a－
10＝(b＋9 Nhomakorabea)(1
ab
a－ 1 b－ 1 ab－ a－ b＋ 1
4．若 2x＋ 2y＝ 1，则 x＋ y 的取值范围是 (
)
A． [0 ， 2]
B． [ －2， 0]
C． [ － 2，＋∞ ) 答案 D
D． ( －∞，－ 2]
解析
∵２x＋2y≥ 2 2x·2y＝ 2 2x＋y( 当且仅当 2x＝ 2y 时等号成立 ) ，∴
2x
＋
y
≤
1 2，∴
2x＋
y≤
1 4
，
得 x＋y≤－ 2，故选 D.
2．下列函数中，最小值为 4 的是 (
)
4 A． y＝ x＋x C． y ＝ 4ex＋ e－ x 答案 C
4 B． y＝sinx ＋ sinx (0<x< π) D． y＝log 3x ＋ log x3(0<x<1)
解析 注意基本不等式等号成立的条件是“ a＝b”，同时考虑函数的定义域， A 中 x 的定义
5．若
x， y 是正数，则
(x
＋
1 )
2y
2＋ (y
＋
1 )
2x
2
的最小值是
(
)
7
A． 3
B. 2
9
C． 4
D.
2
答案 C
解析
原式＝
x
2＋
x y
＋
1 4y2＋
y2＋
y1 x＋4x2≥ 4.
1 当且仅当 x＝ y＝ 时取“＝”号．
2
1 6．已知 a>0，且 b>0，若 2a＋b＝ 4，则 的最小值为 ( )
2020版高考数学(理)一轮总复习(课件+层级快练)第七章 不等式及推理与证明 (2)
题组层级快练(四十二)1．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc －ad>0，则c a －db >0；②若ab>0，c a －db >0，则bc －ad>0；③若bc －ad>0，c a －db >0，则ab>0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 对于①，∵ab>0，bc －ad>0，c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确；对于②，∵ab>0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴②正确；对于③，∵bc －ad>0，又c a －db >0，即bc －ad ab >0，∴ab>0，∴③正确．2．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2 B.ba<1 C ．lg(a －b)>0 D ．(13)a <(13)b答案 D解析 方法一：利用性质判断．方法二(特值法)：令a ＝－1，b ＝－2，则a 2<b 2，b a >1，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C 三项．故选D.3．设a ∈R ，则a>1是1a <1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a>1，则1a <1成立；反之，若1a <1，则a>1或a<0.即a>1⇒1a <1，而1a <1a>1，故选A.4．(2019·广东东莞一模)设a ，b ∈R ，若a ＋|b|<0，则下列不等式成立的是( )A ．a －b>0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b<0答案 D5．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 一方面，若0<ab<1，则当a<0时，0>b>1a ，∴b<1a 不成立；另一方面，若b<1a ，则当a<0时，ab>1，∴0<ab<1不成立，故选D.6．(2016·天津)设a ，b ∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 当b<0时，显然有a>b ⇔a|a|>b|b|； 当b ＝0时，显然有a>b ⇔a|a|>b|b|；当b>0时，由a>b 有|a|>|b|，所以a>b ⇔a|a|>b|b|. 综上可知a>b ⇔a|a|>b|b|，故选C.7．(2019·山东师大附中模拟)已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，下列不等式成立的是( ) A ．log 2a>0 B ．2a －b >1C ．2ab >2D ．log 2(ab)<－2答案 D解析 方法一(特殊值法)：取a ＝14，b ＝34验证即可．方法二：(直接法)由已知，0<a<1，0<b<1，a －b<0，0<ab<14，log 2(ab)<－2，故选D.8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是( ) A ．ab<b 2<1 B ．log 12b<log 12a<0C ．2b <2a <2D ．a 2<ab<1答案 C解析 方法一(特殊值法)：取b ＝14，a ＝12.方法二(单调性法)： 0<b<a ⇒b 2<ab ，A 不对；y ＝log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12b>log 12a ，B 不对；a>b>0⇒a 2>ab ，D 不对，故选C.9．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( ) A ．甲先到教室 B ．乙先到教室 C ．两人同时到教室 D ．谁先到教室不确定答案 B解析 设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为sv 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2， 而s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s （v 1＋v 2）2－4sv 1v 2v 1v 2（v 1＋v 2）＝s （v 1－v 2）2v 1v 2（v 1＋v 2）>0， 故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室． 10．(2019·浙江台州一模)下列四个数中最大的是( ) A ．lg2 B ．lg 2 C ．(lg2)2 D ．lg(lg2) 答案 A解析 因为lg2∈(0，1)，所以lg(lg2)<0；lg 2－(lg2)2＝lg2(12－lg2)>lg2(12－lg 10)＝0，即lg 2>(lg2)2；lg2－lg 2＝12lg2>0，即lg2>lg 2.所以最大的是lg2.11．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c>b>a B ．b>c>a C ．a>c>bD ．a>b>c答案 D解析 a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图像，由三个图像的相对位置关系，可知a>b>c ，故选D.12．已知实数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝0，且xyz>0，设M ＝1x ＋1y ＋1z ，则( )A ．M>0B ．M<0C ．M ＝0D ．M 不确定答案 B解析 ∵(x ＋y ＋z)2＝x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx)＝0，∴xy ＋yz ＋zx<0，∴M ＝1x ＋1y ＋1z ＝yz ＋zx ＋xyxyz<0.13．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________．答案 (－3π2，π2)解析 ∵－π2<α<β<π2，∴－π<α－β<0.∵2α－β＝α＋α－β，∴－3π2<2α－β<π2.(2)若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________． 答案 (－3，3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4.∴－4<－|β|≤0.又∵1<α<3，∴－3<α－|β|<3. (3)若－1<a ＋b<3，2<a －b<4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 答案 (－92，132)解析 设2a ＋3b ＝x(a ＋b)＋y(a －b)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b)<152，－2<－12(a －b)<－1，所以－92<52(a ＋b)－12(a －b)<132.即－92<2a ＋3b<132.14．设α∈(0，12)，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．答案 T 1<T 2解析 T 1－T 2＝(cos1cosα－sin1sinα)－(cos1cosα＋sin1sinα)＝－2sin1sinα<0.15．(1)若a>1，b<1，则下列两式的大小关系为ab ＋1________a ＋b. 答案 <解析 (ab ＋1)－(a ＋b)＝1－a －b ＋ab ＝(1－a)(1－b)，∵a>1，b<1，∴1－a<0，1－b>0，∴(1－a)(1－b)<0，∴ab ＋1<a ＋b. (2)若a>0，b>0，则不等式－b<1x <a 的解集为________．答案 (－∞，－1b )∪(1a，＋∞)解析 由已知，得－b<0，a>0，∴1x ∈(－b ，a)＝(－b ，0)∪{0}∪(0，a)．∴x ∈(－∞，－1b )∪(1a，＋∞)．16．设a>b>c>0，x ＝a 2＋（b ＋c ）2，y ＝b 2＋（c ＋a ）2，z ＝c 2＋（a ＋b ）2，则x ，y ，z 的大小顺序是________． 答案 z>y>x解析 方法一(特值法)：取a ＝3，b ＝2，c ＝1验证即可．方法二(比较法)：∵a>b>c>0，∴y 2－x 2＝b 2＋(c ＋a)2－a 2－(b ＋c)2＝2c(a －b)>0，∴y 2>x 2，即y>x.z 2－y 2＝c 2＋(a ＋b)2－b 2－(c ＋a)2＝2a(b －c)>0， 故z 2>y 2，即z>y ，故z>y>x.17．已知a ＋b>0，比较a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小．答案a b 2＋b a 2≥1a ＋1b解析 a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b)⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b>0，(a －b)2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 18．已知a>0且a ≠1，比较log a (a 3＋1)和log a (a 2＋1)的大小． 答案 log a (a 3＋1)>log a (a 2＋1) 解析 当a>1时，a 3>a 2，a 3＋1>a 2＋1. 又y ＝log a x 为增函数，所以log a(a3＋1)>log a(a2＋1)；当0<a<1时，a3<a2，a3＋1<a2＋1.又y＝log a x为减函数，所以log a(a3＋1)>log a(a2＋1)．综上，对a>0且a≠1，总有log a(a3＋1)>log a(a2＋1)．。
高考数学一轮总复习第七单元不等式与推理证明课时5合情推理与演绎推理课件文新人教A版
解：(1)证明：tan(x＋π4)＝1t－antxa＋n xttaannπ4π4＝11＋－ttaann
x x.
(2)f(x)是以 4 为其一个周期的周期函数．
因为 f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝11＋－ffxx＋＋11＝11－＋1111＋－＋－ffffxxxx＝
－ 1 ，所以 fx
点评：(1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论， 发现与猜测的结论都要经过进一步的严格证明．
(2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和 推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范 性．
【变式探究】
3．(1)求证：tan(x＋π4)＝11－＋ttaann xx， (2)设 x∈R 且 f(x＋1)＝11＋－ffxx，试问：f(x)是周期函数吗？ 证明你的结论．
所以第 n 个等式为 1－12＋13－41＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1 ＋n＋1 2＋…＋21n.
2．用类比的方法填写下表中的空白：
等差数列{an}中
等比数列{bn}中
a3＝a2＋d
b3＝b2·q
a3＋a4＝a2＋a5
b3·b4＝b2·b5
a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5 a3
解：类比得：b1·b2·b3·b4·b5＝b53.
考点一·归纳推理
【例 1】(2018·陕西咸阳模拟)观察下列等式： 1×2<2， 1×2＋ 2×3<92， 1×2＋ 2×3＋ 3×4<8，
1×2＋ 2×3＋ 3×4＋ 4×5<225，
……
根据以上规律，第 n(n∈N*)个不等式是
.
解： 观察不等式，可得： 1×2<2＝42＝222＝1＋2 12， 1×2＋ 2×3<92＝322＝2＋212， 1×2＋ 2×3＋ 3×4<8＝126＝422＝3＋2 12， 1×2＋ 2×3＋ 3×4＋ 4×5<225＝522＝4＋212，
高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明课件文新人教A版
推理问题突破方法 归纳推理技巧与方法
类比推理的技巧与方法
【例1】 (1)(2016·河南八市重点高中联考)观察下列等式： 24＝7＋9 34＝25＋27＋29 44＝61＋63＋65＋67 …… 照此规律，第 4 个等式可为________.
(2)(2014·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，若 am＝a，an＝b(n －m≥1，m，n∈N*)，则 am＋n＝nnb－－mma.类比等差数列{an}的上 述结论，对于等比数列{bn}(bn>0，n∈N*)，若 bm＝c，bn＝d(n －m≥2，m，n∈N*)，则可以得到 bm＋n＝________.
n－m dn
(2)
cm
[点评] 关键是发现规律，利用规律找出一般的解决问题的
方法，进一步解决问题即可.
综合法和分析法求解方略
利用分析法证明问题的思路 分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结 论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定 义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时 命题得证.
(1)解 因为四边形 OABC 为菱形， 所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 设 At，12，代入椭圆方程得t42＋14＝1， 即 t＝± 3.所以|AC|＝2 3.
(2)证明 假设四边形 OABC 为菱形.
因为点 B 不是 W 的顶点，且 AC⊥OB，所以 k≠0.
由
消 y 并整理得
解析 (1)观察可知每一行右边的数字都是连续的奇数，且奇 数的个数等于所在的行数加1，每行的第一个数字为行数加1 的和的3次方减去所在的行数，设行数为n，用an1表示每行的 第一个数，则an1＝(n＋1)3－n，因此第4行第一个数为(4＋1)3 －4＝121，则第4个等式为：54＝121＋123＋125＋127＋129.
高中数学一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-4
2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( ) A．28 B．32 C．33 D．27
[解析] 从第 2 项起每一项与前一项的差构成公差为 3 的等 差数列，所以 x＝20＋12＝32.故选 B.
[答案] B
3．(选修 1－2P30 练习 T1 改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2 时，an＝an－1＋2n－1，依次计算 a2，a3，a4 后，猜想 an 的表达式 是( )
[对点训练] 1．(2019·山东日照模拟)对于实数 x，[x]表示不超过 x 的最大 整数，观察下列等式： [ 1 ]＋[ 2 ]＋[ 3 ]＝3； [ 4 ]＋[ 5 ]＋[ 6 ]＋[ 7 ]＋[ 8 ]＝10； [ 9 ]＋[ 10 ]＋[ 11 ]＋[ 12 ]＋[ 13 ]＋[ 14 ]＋[ 15 ] ＝21； … 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为________．
主干知识梳理 Z
主干梳理 精要归纳
1．合情推理
[知识梳理]
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论， 我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 特殊 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
[解析] 根据题图(1)所示的分形规律，可知 1 个白圈分形为 2
个白圈 1 个黑圈，1 个黑圈分形为 1 个白圈 2 个黑圈，把题图(2)
中的树形图的第 1 行记为(1,0)，第 2 行记为(2,1)，第 3 行记为(5,4)，
第 4 行的白圈数为 2×5＋4＝14，黑圈数为 5＋2×4＝13，所以第
2019版高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明5合情推理与演绎推理课件理
1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)． (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一 定正确． (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这一种类比 对象较为合适． (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类 比对象较为合适．
(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正 确．
课前自助餐
合情推理归纳推理定 特义 点： ：推 特 般由 是出 征 结某 由该 的 论类类 推 的 部事事 理 推 分物物 ， 理 到的的 或 .整部全 者 体分部 由 、对对 个 由象象 别 个具事 都 别有实 具 到某概 有 一些括 这 般特出 些 的征一 推， 理.
答案 12 345 679×72＝888 888 888 解析 由分析知，当乘数为 9＝9×1 时，结果为 9 位数，各 个数位上的数字均是 1；当乘数为 18＝9×2 时，结果为 9 位数， 各个数位上的数字均是 2，归纳推理易得结果．
授人以渔
题型一 归纳推理(微专题)
微专题 1：数字的归纳 (1)(2018·山东师大附中模拟)将 1，2，3，4… 这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组， 则第 10 行左数第 10 个数为________．
第5课时 合情推理与演绎推理
…2018 考纲下载… 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的 推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并 能运用它们进行一些简单的推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
请注意 在高考中，往往以选择或填空题的形式，考查归纳或类比推 理，如 2016 年北京卷 6 题，山东卷 15 题，课标全国卷 Ⅱ，16 题等．
6．(2018·山东大联考)缺 8 数是一个非常神奇的数，观察以 下等式：
2019高考数学一轮复习第7章不等式及推理与证明第5课时合情推理与演绎推理练习理
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……第5课时 合情推理与演绎推理1．如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一呈现出来的图形是( )答案 A解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.2．如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，……，则第2 016个图形用的火柴根数为( )A ．2 014×2 017B ．2 015×2 016C ．2 015×2 017D ．3 024×2 017答案 D解析 由题意，第1个图形需要火柴的根数为3×1； 第2个图形需要火柴的根数为3×(1＋2)； 第3个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3)； ……由此，可以推出，第n 个图形需要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第2 016个图形所需火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2 016)＝3×2 016×（1＋2 016）2＝3 024×2 017，故选D.3．(2018·深圳一摸)已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 2 019＝( ) A ．3 B ．－3 C ．6 D ．－6答案 A解析 ∵a 1＝3，a 2＝6，∴a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，…，∴{a n }是以6为周期的周期数列．又2 019＝6×336＋3，∴a 2 019＝a 3＝3.选A.4．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： ①1*1＝1，②(n ＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1D ．n 2答案 A解析 由(n ＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1＋(n －1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.5．(2017·邯郸一中月考)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48，49 C ．75，76 D ．84，85答案 D解析 由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 项符合条件．6．(2017·珠海二模)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cosx)′＝－sinx ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A ．f(x) B ．－f(x) C ．g(x) D ．－g(x)答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)． 7．已知2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…， 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，则可推测a ，b 的值分别为( ) A ．6，35 B ．6，17 C ．5，24 D ．5，35答案 A解析 观察发现规律即可得出a ＝6，b ＝35，故选A.8．(2018·安徽合肥二模)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 答案 D解析 根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：的是1，2，3或6号．若乙猜对，则1，2或6号得第一名，那么丙也猜对了，所以乙没有猜对，所以得第一名的是3号，所以丙也没有猜对，只有丁猜对了比赛结果，故选D.9．(2018·广东江门月考)已知a n ＝2n －1(n∈N *)，把数列{a n }的各项排成如图所示的三角形数阵，记S(m ，n)表示该数阵中第m 行中从左到右的第n 个数，则S(8，6)＝( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19… …A ．67B ．69C ．73D ．75答案 A解析 由数阵可知，S(8，6)是数阵中第1＋2＋3＋…7＋6＝34个数，也是数列{a n }中的第34项，而a 34＝2×34－1＝67，所以S(8，6)＝67.故选A.10．已知a ，b ，c 是△ABC 的内角A ，B ，C 对应的三边，若满足a 2＋b 2＝c 2，即(a c )2＋(b c )2＝1，则△ABC 为直角三角形，类比此结论可知，若满足a n＋b n＝c n (n∈N ，n ≥3)，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．以上都有可能答案 A解析 由题意知角C 最大，a n ＋b n ＝c n(n∈N ，n ≥3)即(a c )n ＋(b c )n ＝1(n∈N ，n ≥3)，又c>a ，c>b ，所以(a c )2＋(b c )2>(a c )n ＋(b c )n ＝1，即a 2＋b 2>c 2，所以cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，所以0<C<π2，故△ABC 为锐角三角形． 11．学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子．甲：由“若三角形周长为l ，面积为S ，则其内切圆半径r ＝2S l ”，类比可得“若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径r ＝3V S ”；乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a ，b ，则其外接圆半径r ＝a 2＋b22”，类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a ，b ，c ，则其外接球半径r ＝a 2＋b 2＋c23”．这两位同学类比得出的结论是( )A ．两人都对B ．甲错、乙对C ．甲对、乙错D ．两人都错答案 C解析利用等面积与等体积法可推得甲同学类比推理的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径r＝a2＋b2＋c22，因此乙同学类比推理的结论是错误的，故选C.12．(2017·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1，1⊗2，2⊗1，1⊗3，2⊗2，3⊗1，1⊗4，2⊗3，3⊗2，4⊗1，…，则式子3⊗5是第( )A．22项B．23项C．24项D．25项答案 C解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以是第24项．故选C.13．观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为( ) A．76 B．80C．86 D．92答案 B解析由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.故选B.14．(2017·青岛一质检)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外．”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放有纵横两种形式，如图，表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推，例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为( )答案 B解析由题意得千位和十位用横式表示，百位和个数用纵式表示，所以千位的8表示为，百位的3表示为，十位的3表示为，个位的5表示为，故选B.15．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设确定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0，例如原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( ) A ．11010 B ．01100 C ．10111 D ．00011答案 C解析 对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0⊕1＝1，而h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.16．(2018·河北冀州中学期末)如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n∈N *)的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2 017＝( ) A ．502 B ．503 C ．504 D ．505答案 D解析 由a 1，a 3，a 5，a 7，…组成的数列恰好对应数列{x n }，即x n ＝a 2n －1，当n 为奇数时，x n ＝n ＋12.所以a 2 017＝x 1 009＝505.17．(2018·太原模拟)有一个游戏：将标有数字1、2、3、4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4个人在看自己的卡片之前进行预测： 甲说：乙或丙拿到标有3的卡片； 乙说：甲或丙拿到标有2的卡片； 丙说：标有1的卡片在甲手中； 丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为______． 答案 4、2、1、3解析 由甲、丁的预测不正确可得丁拿到标有3的卡片，由乙的预测不正确可得乙拿到标有2的卡片，由丙的预测不正确可知甲拿到标有4的卡片，故丙拿到标有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4个人拿到卡片上的数字依次为4、2、1、3.18．顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交给顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：则最短交货期为________答案 42解析 最短交货期为先由徒弟完成原料B 的粗加工，共需6天，然后工艺师加工该件工艺品，需21天；徒弟可在这几天中完成原料A 的粗加工；最后由工艺师完成原料A 的精加工，需15个工作日．故交货期为6＋21＋15＝42个工作日．19．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q(p≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f(n)＝p q ，例如：f(12)＝34.关于函数f(n)有下列叙述：①f(7)＝17；②f(24)＝38；③f(28)＝47；④f(144)＝916，其中所有正确的序号为________．答案 ①③解析 利用题干中提供的新定义信息可得，对于①：∵7＝1×7，∴f(7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f(24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f(28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f(144)＝1212＝1，④不正确．1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199答案 C解析 记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)(n∈N *，n ≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a 10＋b 10＝123. 2．观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n 个图案中圆点的个数是a n ，按此规律推断出所有圆点总和S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2n 2－2nB ．S n ＝2n 2C ．S n ＝4n 2－3n D ．S n ＝2n 2＋2n答案 A解析 事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n ＝2时，有S 2＝4，分别代入即可排除B 、C 、D 三项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前(n －1)项和，即S n ＝(n －1)×4＋（n －1）（n －2）2×4＝2n 2－2n.3．观察下列各式：55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125答案 D解析 ∵55＝3 125，56＝15 625，57＝78 125，58＝390 625，59＝1 953 125，510＝9 765 625，…，∴5n(n∈Z ，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(n∈Z ，且n≥5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.4．(2018·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为( ) A ．(3，9) B ．(4，8) C ．(3，10) D ．(4，9)答案 D解析 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.5．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )答案 A解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形． 6．(2015·山东)观察下列各式： C 10＝40； C 30＋C 31＝41； C 50＋C 51＋C 52＝42； C 70＋C 71＋C 72＋C 73＝43； ……照此规律，当n∈N *时， C 2n －10＋C 2n －11＋C 2n －12＋…＋C 2n －1n －1＝________．答案 4n －1解析 由题知C 2n －10＋C 2n －11＋C 2n －12＋…＋C 2n －1n －1＝4n －1.7．已知数列{a n }为等差数列，则有等式a 1－2a 2＋a 3＝0，a 1－3a 2＋3a 3－a 4＝0，a 1－4a 2＋6a 3－4a 4＋a 5＝0. (1)若数列{a n }为等比数列，通过类比，则有等式______；(2)通过归纳，试写出等差数列{a n }的前n ＋1项a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1之间的关系为________． 答案 (1)a 1a 2－2a 3＝1，a 1a 2－3a 33a 4－1＝1，a 1a 2－4a 36a 4－4a 5＝1 (2)C n 0a 1－C n 1a 2＋C n 2a 3－…＋(－1)nC n na n ＋1＝0解析 因等差数列与等比数列之间的区别是前者是加法运算，后者是乘法运算，所以类比规律是由低一级运算转化到高一级运算，从而解出第(1)问；通过观察发现，已知等式的系数与二项式系数相同，解出第(2)问．8．对∀a ，b ∈R ，定义运算：a⊕b＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a<b ；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b ，a ≥b ，b －a ，a<b.则下列判断正确的是________．①2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 014； ②(a⊕a)⊗a ＝0； ③(a⊕b)⊗a ＝a⊕(b ⊗a)． 答案 ②解析 对于①，由定义的运算可知，2 014⊗2 015＝2 015－2 014＝1， 故2 015⊕(2 014⊗2 015)＝2 015⊕1＝2 015，故①错误． 对于②，因为a⊕a＝a ，故(a⊕a)⊗a ＝a ⊗a ＝a －a ＝0，故②正确． 由于③，当a≥b 时，a ⊕b ＝a ，故(a⊕b)⊗a ＝a ⊗a ＝0， 而b ⊗a ＝a －b ，故a⊕(b ⊗a)＝a⊕(a－b)． 显然，若b≥0，则a≥a－b ，所以a⊕(a－b)＝a ， 若b<0，则a<a －b ，所以a⊕(a－b)＝a －b. 故(a⊕b)⊗a≠a⊕(b ⊗a)．故③错误．9．(2015·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n)称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)． 已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________． 答案 5解析 由题意得相同的数字运算后结果为0，不同的数字运算后结果为1.若后四位码元为1101，根据定义的运算，则有x 4⊕x 5＝1⊕1＝0，x 4⊕x 5⊕x 6＝0⊕0＝0，x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0⊕1＝1，显然不符合方程x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，所以后四位码元出错．同理，第2，3，6，7位码元依次为1001.假设这四位都正确，则x 2⊕x 3＝1⊕0＝1， 所以x 2⊕x 3⊕x 6＝1⊕0＝1， 所以x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕1＝0，显然满足校验方程组，所以这四位码元正确．故最后两位码元正确，出错的码元只能是第四位或第五位． 同理，第1，3，5，7位的码元依次为1011， 所以x 1⊕x 3＝1⊕0＝1，x 1⊕x 3⊕x 5＝1⊕1＝0， x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0⊕1＝1，显然不满足校验方程组． 所以出错的码元是第5位，即k ＝5.10．(2014·陕西理)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中F ，答案 F ＋V －E ＝2解析 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2. 11．分形几何学是数学家伯努瓦·曼得尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图．易知第三行有白圈5个，黑圈4个，我们采用“坐标”来表示各行中的白圈、黑圈的个数．比如第一行记为(1，0)，第二行记为(2，1)，第三行记为(5，4)． (1)第四行的白圈与黑圈的“坐标”为________；(2)照此规律，第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为________． 答案 (1)(14，13) (2)(3n －1＋12，3n －1－12)(n∈N *) 解析 (1)从题中的条件易知白圈、黑圈的变化规律：一个白圈的下一行对应两个白圈和一个黑圈，一个黑圈的下一行对应一个白圈和两个黑圈，因此第4行的白圈个数为5×2＋4×1＝14，黑圈个数为5×1＋4×2＝13，所以第四行的白圈与黑圈的“坐标”为(14，13)． (2)第n 行中的白圈和黑圈总数为3n －1个，设“坐标”为(a n ，3n －1－a n )，则第n ＋1行中的白圈和黑圈总数为3n个，设“坐标”为(a n ＋1，3n－a n ＋1)＝(a n ＋3n －1，2×3n －1－a n )，即a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋3n －1⇒a n ＝3n －1＋12，从而得到第n 行中的白圈、黑圈的“坐标”为(3n －1＋12，3n －1－12)(n∈N *)． 12．(2017·北京，文)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________． 答案 ①6 ②12解析 令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ，且x>y>z ，①若教师人数为4，则4<y<x<8，当x ＝7时，y 取得最大值6.②当z ＝1时，1＝z<y<x<2，不满足条件；当z ＝2时，2＝z<y<x<4，不满足条件；当z ＝3时，3＝z<y<x<6，y ＝4，x ＝5，满足条件．所以该小组人数的最小值为3＋4＋5＝12. 13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 答案 (1)34 (2)sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34解析 方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 方法二：(1)同解法一． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos （60°－2α）2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α尚水出品 ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34·sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.。
配套K12高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明AB卷文1
【大高考】2017版高考数学一轮总复习第7章不等式、推理与证明第五节推理与证明AB卷文新人教A版1.(2016·新课标全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( )A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个解析由题意知，平均最高气温高于20 ℃的六月，七月，八月，故选D.答案 D2.(2016·新课标全国Ⅱ，16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.解析由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”.答案1和33.(2014·课标Ⅰ，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.解析根据甲和丙的回答推测乙没去过B城市，又知乙没去过C城市，故乙去过A城市. 答案A1.(2016·浙江，8)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( ) A.{S n }是等差数列 B.{S 2n }是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)， 从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A. 答案 A2.(2016·山东，12)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sinπ2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.答案 43×n ×(n ＋1)3.(2015·陕西，16)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为________.解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且有前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n4.(2013·陕西，13)观察下列等式 (1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ……照此规律，第n 个等式可为____________________________________________. 解析 观察规律，等号左侧为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，等号右侧分两部分，一部分是2n，另一部分是1×3×…×(2n －1).答案 (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)5.(2014·福建，16)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________.解析 可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案 2016.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析 至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”. 答案 A7.(2016·浙江，20)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0，1]，证明： (1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34＜f (x )≤32. 证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1， 所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)由0≤x ≤1得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924＞34，所以f (x )＞34.综上，34＜f (x )≤32.8.(2015·四川，21)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.(1)解 由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增. (2)证明 由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0， 解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0， 令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)， 其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)， 由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1， 即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0， 再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0， 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解.9.(2015·江苏，20)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列. (1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由； (3)是否存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n 1，a n ＋k 2，a n ＋2k3，a n ＋3k4依次构成等比数列？并说明理由.(1)证明 因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d(n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)解 令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0).假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列， 则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1. 将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列. (3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n ＋k2，a n ＋2k3，a n ＋3k4依次构成等比数列，则a n1(a 1＋2d )n ＋2k＝(a 1＋d )2(n ＋k )，且(a 1＋d )n ＋k(a 1＋3d )n ＋3k＝(a 1＋2d )2(n ＋2k ).分别在两个等式的两边同除以a 2（n ＋k ）1及a 2（n ＋2k ）1，并令t ＝d a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0， 则(1＋2t )n ＋2k＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k(1＋3t )n ＋3k＝(1＋2t )2(n ＋2k ).将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )， 且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t ).化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )] ＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]，且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]. 再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t ) ＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**).令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )， 则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]. 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]. 令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0.由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0， φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0和(0，＋∞)上均单调. 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立. 所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n ＋k2，a n ＋2k3，a n ＋3k4依次构成等比数列.10.(2014·天津，20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M ＝{0，1，2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n qn －1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }.(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n .证明：若a n ＜b n ，则s ＜t .(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}.可得，A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}. (2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )qn －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋(q －1)qn －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以，s <t .。
2019届高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-4 基本不等式及其应用讲义 文
4．已知 a≥0，b≥0，且 a＋b＝2，则( )
A．ab≤12
B．ab≥12
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
[解析] 由 a＋b＝2 得，ab≤a＋2 b2＝1，排除 A. 当 a＝0，b＝2，ab＝0 排除 B. 又a2＋2 b2≥a＋2 b2，可得 a2＋b2≥2. 再由特殊值，排除 D.
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到， 可利用函数单调性求解．
[跟踪演练] (2017·安徽安庆三模)随着社会的发展，汽车逐步成为人们的 代步工具，家庭轿车的持有量逐年上升，交通堵塞现象时有发生， 据调查某段公路在某时段内的车流量 y(千辆/时)与汽车的平均速 度 v(千米/时)之间有函数关系：y＝v2＋89v0＋0v1600(v>0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最 大？最大车流量约为多少？(结果保留两位小数) (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/时，则汽车的平 均速度应控制在什么范围内？
利用均值 不等式证明
[证明] 由 a＋b＝1，得1a＋1b＋a1b＝21a＋1b， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4， ∴1a＋1b＋a1b≥8当且仅当a＝b＝12时等号成立.
利用基本不等式证明不等式的技巧 利用基本不等式证明不等式时，首先要观察题中要证明的不 等式的形式，若不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配 凑等方法对不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条 件；若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和所证不等式 之间的联系，当已知条件中含有 1 时，要注意 1 的代换．另外， 解题中要时刻注意等号能否取到．
此时 m＝12x＋34＋5x0≥2 2x·5x0＋34＝443， 当且仅当12x＝5x0，即 x＝10 时，取“＝”． 故销售量至少应达到443万件时，才能使技术革新后的销售收 入等于原销售收入与总投入之和．
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.4 基本不等式 考试要求 1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．( × ) (2)y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.( √ )(4)函数y ＝sin x ＋4sin x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值为4.( × ) 教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．4答案 D解析 ∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2x －21x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 2．函数y ＝4－x －1x(x <0)( ) A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案 B解析 y ＝4＋(－x )＋1－x ≥4＋2－x ·⎝⎛⎭⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2； ②ab ≤a 2＋b 22； ③a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④2ab a ＋b≤ab . 答案 ②③ 解析 当b a为负时，①不成立． 当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为( ) A.94 B ．4 C.92D ．9 答案 C解析 y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝⎛⎭⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号， ∴当x ＝34时，y max ＝92. (2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有( ) A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3解析 ∵x <23， ∴3x －2<0， f (x )＝3x －2＋93x －2＋3＝－⎣⎡⎦⎤2－3x ＋92－3x ＋3≤－22－3x ·92－3x ＋3＝－3.当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”．(3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________．答案 －1解析 因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·1－x 2＋11－x＝－12⎣⎡⎦⎤1－x ＋11－x≤－12·21－x ·11－x ＝－1，当且仅当1－x ＝11－x ，即x ＝0时取“＝”，所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2 常数代换法例2 (2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是() A ．1 B ．2C.94 D.92解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1， 所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋12b ＝12⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝⎛⎭⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3 消元法例3 已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案 2解析 方法一 (换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二 (代入消元法)由x ＋y ＋xy ＝3得y ＝3－x x ＋1， ∵x >0，y >0，∴0<x <3，∴x ＋y ＝x ＋3－x x ＋1＝x ＋4x ＋1－1＝x ＋1＋4x ＋1－2≥2x ＋1·4x ＋1－2＝2，当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.延伸探究 本例条件不变，求xy 的最大值．解 ∵x ＋y ＋xy ＝3，∴3－xy ＝x ＋y ≥2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号，令t ＝xy ，则t >0，∴3－t 2≥2t ，即t 2＋2t －3≤0， 即0<t ≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1.教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于() A ．16 B ．6 C ．18 D ．12答案 B解析 因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫2y ＋8x ＝10＋2xy ＋8yx≥10＋22xy ·8yx ＝10＋2×4＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，y ＝6时取等号，所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( ) A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4 答案 A解析 f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－x ＋1＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－x ＋1，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案 52解析 ∵2x >1，∴x －12>0， f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12 ≥21x －12·⎝⎛⎭⎫x －12＋12＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”． ∴f (x )的最小值为52. (2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案 12解析 令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8，∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝⎛⎭⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝4时等号成立． ∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4 (1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0) B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋⎝⎛⎭⎫a －b 22＝12a 2＋b 2，∵CF ≥OF ，∴12a 2＋b 2≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是() A ．a ＋b <4aba ＋bB.ab <2aba ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案 D解析 对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2aba ＋b，故选项B 错误；对于选项C ，2a 2＋b 2>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a都是正数，根据基本不等式求最值， a b ＋b a ≥2a b ×b a ＝2，故D 正确． 思维升华 基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)． 跟踪训练2 (1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，则p是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2， ∴a 2＋b 22>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是( )A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2abD.2a 2＋b 2答案 B解析 ∵a ，b 为互不相等的正实数，∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab ＝1ab <2ab， 2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b.柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则： x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32 ≥x 1－x 32＋y 1－y 32.一、利用柯西不等式求最值例1 已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案 6437 解析 (x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝⎛⎭⎫14＋9，所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437， 当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437. 例2 已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案 3解析 (ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3 函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________． 答案 6 3 解析 y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4 已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明 (a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎫a 1b 1＋a 2b 2＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a 1b 12＋⎝⎛⎭⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5 已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 证明 根据柯西不等式，有()12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2， 所以1n(a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n . 课时精练1．下列函数中，最小值为2的是( )A ．y ＝x ＋2xB ．y ＝x 2＋3x 2＋2C ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 当x <0时，y ＝x ＋2x<0，故A 错误； y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2， 当且仅当x 2＋2＝1x 2＋2， 即x 2＝－1时取等号，∵x 2≠－1，故B 错误；y ＝e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，当且仅当e x ＝e －x ，即x ＝0时取等号，故C 正确；当x ∈(0,1)时，y ＝log 3x <0，故D 错误．2．(2022·汉中模拟)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则ab 的最大值为( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12取得最小值时x 的值为( ) A.15 B.14 C.24 D.13答案 A解析 f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x ≥2＋322x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x ，即x ＝15时等号成立．4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是() A ．1 B ．4C ．7D ．3＋17答案 C解析 ∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3≥2x －2y －1＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是( )A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案 B解析 f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝xx 2－x ＋4(x >0)，则( )A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13 D ．f (x )有最大值13答案 D解析 f (x )＝xx 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立，∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“aba ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab2ab ＝ab2≤162＝2，故必要性成立；当a ＝2，b ＝10，此时aba ＋b ≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立，因此“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件． 8．已知正实数a ，b 满足a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则下列不等式恒成立的有( ) ①2a ＋2b ≥22；②a 2＋b 2<1； ③1a ＋1b<4； ④a ＋1a >2. A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②③④答案 C解析 ∵2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝22，当且仅当a ＝b 时取等号，∴①正确； ∵a 2＋b 2<a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴②正确；∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ×a b ＝4， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴③错误；∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴0<a <1，∵a ＋1a ≥2a ·1a＝2，当且仅当a ＝1时取等号， ∴a ＋1a>2，④正确． 9．若0<x <2，则x 4－x 2的最大值为________．答案 2解析 ∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 24－x 2≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤a ＋b 24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案 27解析 因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x＝1， 所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝⎛⎭⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x＝27， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号， 所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b2＋b 的最小值为________． 答案 2 2解析 ∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立， ∴1a ＋a b2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－233，233 B.⎝⎛⎭⎫－233，233 C.⎣⎡⎦⎤－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－223，223 答案 A解析 ∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2－1≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233， 即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号， ∴x ＋y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b >ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4.答案 ①③④解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab ，即a ＝b ＝22时取等号，故①正确； 因为a ＋b ≥2ab >0， 所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝a ＋b 2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b ≥ab ，即a 2＋b 2ab≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b≥ 2＋2b a ·a b＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b＋ab 的最小值为____________． 答案 174解析 因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t＋t ，t ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 因为函数y ＝1t＋t 在⎝⎛⎦⎤0，14上为减函数，所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174. 16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案 3＋2 2解析 因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得x x －1＋2y y －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝⎛⎭⎫1x －1＋2y －1 ≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1， 即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”， 所以x x －1＋2y y －1的最小值为3＋2 2.。
高中数学一轮复习课件：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)7-1
①当 a>0 时，－a4<a3，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3； ②当 a＝0 时，－a4＝a3＝0，不等式的解集为{x|x∈R，且 x≠0}； ③当 a<0 时，－a4>a3，不等式的解集为 x|x<a3，或x>－a4. 综上所述：当 a>0 时，不等式的解集为 x|x<－a4，或x>a3；
5.简单分式不等式的解法
x－a x－b>0
等价于(x－a)(x－b)>0；
x－a x－b<0
等价于(x－a)(x－b)<0；
xx－－ab≥0 等价于xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0 等价于xx－－ba≠0x－. b≤0，
[辨识巧记] 1．倒数性质的几个必备结论 (1)a>b，ab>0⇒1a<1b. (2)a<0<b⇒1a<1b. (3)a>b>0,0<c<d⇒ac>bd. (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
[知识梳理]
1．两个实数比较大小的方法
a－b>0⇔a>b， (1)作差法a－b＝0⇔a＝ba，b∈R，
a－b<0⇔a<b.
ab>1⇔a>ba∈R，b>0， (2)作商法ab＝1⇔a＝ba∈R，b>0，
ab<1⇔a<ba∈R，b>0.
2．不等式的基本性质
m＋n＝3， n－m＝－1，
解得mn＝＝12.，
因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，
高考数学(理)一轮总复习课件：第七章 不等式及推理与证明 7-5
【解析】 由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差 n[3＋（2n＋1）] 数列3，5，7，…，2n＋1，其前 n项和Sn＝ ＝n(n 2 ＋2)，所以S31＝1 023，则第31个等式中最后一个偶数是1
032×2＝2 046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2 018在第31个等式中． 【答案】 C
【解析】
建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面
几何的性质类比推理空间立体几何的性质时，注意平面几何中 点的性质可类比推理空间几何体中线的性质，平面几何中线的 性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可 类比推理空间几何中体的性质．所以三角形类比空间中的三棱 锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2＝S12＋S22 ＋S32. 【答案】 S2＝S12＋S22＋S32
答案 A 解析 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏， 故下一个呈现出来的图形是A.
4．(2017· 北京，文)某学习小组由学生和教师组成，人员构 成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数． ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________． ②该小组人数的最小值为________．
*
1 ＋…＋n2<________．
【解析】 根据已知的三个不等式，推理得出1＋ 1 2n－1 ＋n2< n . 2n－1 【答案】 n
1 1 ＋ ＋… 22 32
微专题3：图形的归纳 (3)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其 中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形 用了18根火柴，……，则第2 016个图形用的火柴根数为( )
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.5 基本不等式的综合应用题型一 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例1 (1)(2022·成都模拟)已知直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，则log 2a ＋log 2b 的最大值为( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3答案 D解析 因为直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切， 所以1a 2＋b 2＝2，即a 2＋b 2＝14，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤18(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 218＝－3，所以log 2a ＋log 2b 的最大值为－3.(2)(2022·合肥质检)若△ABC 的内角满足sin B ＋sin C ＝2sin A ，则( )A ．A 的最大值为π3B ．A 的最大值为2π3C ．A 的最小值为π3D ．A 的最小值为π6答案 A解析 ∵sin B ＋sin C ＝2sin A .∴b ＋c ＝2a .由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b ＋c242bc＝3b 2＋c 2－2bc 8bc ≥6bc －2bc 8bc ＝12， 当且仅当b ＝c 时取等号．又A ∈(0，π)， ∴0<A ≤π3，即A 的最大值为π3. 教师备选已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上有一点P ，使PF 1⊥PF 2，则b a的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤0，22 C.⎣⎡⎦⎤12，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案 B解析 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，∴2mn ＝4a 2－4c 2＝4b 2，又2mn ≤2⎝⎛⎭⎫m ＋n 22， 即4b 2≤2⎝⎛⎭⎫2a 22，∴2b 2≤a 2，∴0<b a ≤22. 思维升华 基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，一般利用常数代换法求最值，要注意最值成立的条件．跟踪训练1 (1)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则1a ＋4b 的最小值等于( ) A ．2 B.32 C.12D ．1 答案 B解析 ∵函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，又a >0，b >0.∴1a ＋4b ＝16⎝⎛⎭⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝56＋16⎝⎛⎭⎫b a ＋4a b ≥56＋16×2b a ·4a b ＝32， 当且仅当2a ＝b ＝4时，等号成立．此时满足在x ＝1处有极值．∴1a ＋4b 的最小值等于32. (2)已知数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝－8，则a 9＋9a 1的最大值为________．答案 －12解析 ∵a 2a 5a 8＝－8，∴a 35＝－8，∴a 5＝－2，∴a 1<0，a 9<0，a 9＋9a 1＝－(－a 9－9a 1)≤－2－a 9－9a 1＝－29a 1a 9 ＝－29·a 25＝－12，当且仅当－a 9＝－9a 1时取等号．题型二 求参数值或取值范围例2 (1)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a 等于( )A ．6B ．8C ．16D ．36答案 D解析 因为f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)，故4x ＋a x ≥24x ·ax ＝4a ，当且仅当4x ＝ax ，即x ＝a2时取等号，故a2＝3，a ＝36.(2)已知x ，y 属于正实数，若不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，则实数m 的取值范围是() A ．(－∞，9] B ．(－∞，16]C ．(－∞，25]D ．(－∞，36]答案 C解析 因为x ，y 属于正实数，所以不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，即m ≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫4x ＋9y x ＋y min ，因为⎝⎛⎭⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y≥13＋24y x ·9x y＝25， 当且仅当4y x ＝9x y，即3x ＝2y 时，等号成立， 所以m ≤25.教师备选(2022·沙坪坝模拟)已知函数f (x )＝2x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－∞，43 C ．(－∞，－2)D ．(－2，－2)答案 C解析 ∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－2x 3－3x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，且f (x )在R 上单调递增，则不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0等价于f (2m ＋mt 2)<－f (4t )＝f (－4t )，∴2m ＋mt 2<－4t ，即m <－4t t 2＋2对t ≥1恒成立， ∵－4t t 2＋2＝－4t ＋2t ≥－42t ·2t＝－2， 当且仅当t ＝2t，即t ＝2时等号成立， ∴m <－ 2.思维升华 求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点．利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．跟踪训练2 (1)(2022·杭州模拟)已知k ∈R ，则“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k ≤2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为对任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab ，而对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ，所以－2≤k ≤2，因为[－2,2]是(－∞，2]的真子集，所以“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k ≤2”的充分不必要条件．(2)(2022·济宁质检)命题p ：∃x ∈(0，＋∞)，x 2－λx ＋1＝0，当p 是真命题时，则λ的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 依题意，方程x 2－λx ＋1＝0有正解，即λ＝x ＋1x有正解， 又x >0时，x ＋1x≥2， ∴λ≥2.题型三 基本不等式的实际应用例3 小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)，由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x ≤10. 因为2<10－52<3，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为y ＋25－x x ＝19－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤19－225＝9，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm 2.答案 72 600解析 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，由题意可得3ab ＝60 000，所以ab ＝20 000，即b ＝20 000a， 所以该海报的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋10×2＋5×2)cm ，即(3b ＋30)cm ，所以整个矩形海报面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝3ab ＋30a ＋60b ＋600＝30(a ＋2b )＋60 600＝30⎝⎛⎭⎫a ＋40 000a ＋60 600 ≥30×2a ·40 000a＋60 600 ＝30×400＋60 600＝72 600， 当且仅当a ＝40 000a，即a ＝200时等号成立， 所以当广告栏目的高为200 cm ，宽为100 cm 时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm 2.思维升华 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值． 跟踪训练3 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．答案 37.5解析 由题意知t ＝23－x －1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎫32×150%＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎡⎦⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号， 即最大月利润为37.5万元． 课时精练1．(2022·苏州模拟)设直线l 与曲线y ＝x 3－2x＋1相切，则l 斜率的最小值为( ) A. 6 B ．4 C ．2 6 D ．3 2答案 C解析 因为x ≠0，所以x 2>0，因为y ′＝3x 2＋2x 2≥26⎝⎛⎭⎫当且仅当3x 2＝2x 2，等号成立， 所以l 斜率的最小值为2 6.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A ．13B ．12C ．9D ．6答案 C解析 由椭圆C ：x 29＋y 24＝1， 得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立．3．(2022·北京人大附中模拟)数列{a n }是等差数列 ，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q >1，且a 5＝b 5，则( )A ．a 3＋a 7>b 4＋b 6B ．a 3＋a 7≥b 4＋b 6C ．a 3＋a 7<b 4＋b 6D ．a 3＋a 7＝b 4＋b 6 答案 C解析 因为数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，所以a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5，所以a 3＋a 7≤b 4＋b 6，又因为公比q >1，所以a 3＋a 7<b 4＋b 6.4．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立，∴a ＋2a ＋1≥9， ∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.5．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是( )A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案 B解析 设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则方案一：两次加油平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ， 方案二：两次加油平均价格为400200x ＋200y＝2xy x ＋y <xy ， 故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．6．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x ·m ＋1＝0成立，若綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)答案 A解析 ∵綈p 为假命题，∴p 为真命题，即关于x 的方程4x ＋2x ·m ＋1＝0有解．由4x ＋2x ·m ＋1＝0，得m ＝－2x －12x ＝－⎝⎛⎭⎫2x ＋12x ≤－22x ·12x ＝－2， 当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时，取等号．∴m 的取值范围为(－∞，－2]．7．(2022·焦作质检)若数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a n n 的最小值为( ) A.72 B.185 C.113 D.92答案 A解析 因为数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，所以a 1＋2＝a 2＋1，解得a 1＝8，所以a n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1＋a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋8＝n 2－n ＋162， 则a n n ＝n 2－n ＋162n＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n －1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n －1＝72， 当且仅当n ＝16n，即n ＝4时，等号成立， 所以a n n 的最小值为72. 8. 如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点A ，B 在直径上，顶点C ，D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为(单位：cm 2)( )A ．8B ．10C ．16D ．20答案 C解析 连接OC ，如图，设BC ＝x ，则OB ＝16－x 2，所以AB ＝216－x 2，所以矩形ABCD 的面积S ＝2x 16－x 2，x ∈(0,4)，S ＝2x 16－x 2＝2x 216－x 2≤x 2＋16－x 2＝16，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，此时S max ＝16.9．已知向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎫3，y －12(x >0，y >0)，若m ⊥n ，则xy 的最大值为________． 答案 124 解析 因为向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎫3，y －12， 且m ⊥n ，所以3x ＋2⎝⎛⎭⎫y －12＝0，即3x ＋2y ＝1. 因为x >0，y >0，所以1＝3x ＋2y ≥23x ×2y ，即xy ≤124， 当且仅当3x ＝2y ＝12， 即x ＝16，y ＝14时取等号． 10．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为________．答案 52＋5解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝25.因为(a ＋b )2＝25＋2ab ≤25＋2×a ＋b 24， 所以(a ＋b )2≤50，所以5<a ＋b ≤52，当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立． 故这个直角三角形周长的最大值为52＋5.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________． 答案 9解析 因为圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线， 所以两圆相内切，其中C 1(－2a ,0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1，故|C 1C 2|＝4a 2＋b 2，由题设可知4a 2＋b 2＝2－1⇒4a 2＋b 2＝1，所以(4a 2＋b 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＝4a 2b 2＋b 2a 2＋5 ≥24a 2b 2·b 2a 2＋5＝9， 当且仅当b 2＝2a 2时等号成立．12．(2022·北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m (单位：万件)与广告费用x (单位：万元)符合函数模型m ＝3－2x ＋1.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入________万元．答案 3解析 设李明获得的利润为f (x )万元，则x ≥0，则f (x )＝8m －x ＝8⎝⎛⎭⎫3－2x ＋1－x＝24－16x ＋1－x＝25－⎣⎡⎦⎤16x ＋1＋x ＋1≤25－216x ＋1x ＋1＝25－8＝17，当且仅当x ＋1＝16x ＋1， 因为x ≥0，即当x ＝3时，等号成立．13．(2022·柳州模拟)已知△ABC 中，a 2＋b 2－c 2＝ab ≥c 2，则△ABC 一定是() A ．等边三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形答案 A解析 由a 2＋b 2－c 2＝ab ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为0°<C <180°，所以C ＝60°，因为a 2＋b 2－c 2≥2ab －c 2，当且仅当a ＝b 时取等号，即ab ≥2ab －c 2，解得ab ≤c 2，又因为ab ≥c 2，所以ab ＝c 2，且a ＝b 时取等号，因为C ＝60°，所以△ABC 一定是等边三角形．14．(2022·武汉模拟)已知平面向量OA →，OB →，OC →为三个单位向量，且〈OA →，OB →〉＝120°，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．答案 [－2,2]解析 由OC →＝xOA →＋yOB →，两边同时平方得OC →2＝(xOA →＋yOB →)2，即OC →2＝x 2OA →2＋y 2OB →2＋2xyOA →·OB →，∵平面向量OA →，OB →，OC →为三个单位向量，且〈OA →，OB →〉＝120°，∴x 2＋y 2－xy ＝1，∴(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，即－2≤x ＋y ≤2.15．(2022·大庆模拟)设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( ) A ．M >N >Q B ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q 答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14，∴N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2，又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14，∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2，又∵Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .16．设0<t <12，若1t ＋21－2t ≥k 2＋2k 恒成立，则k 的取值范围为() A ．[－4,2] B ．[－2,4]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－2,0)∪(0,4] 答案 A解析 依题意k 2＋2k ≤1t ＋21－2t 对∀t ∈⎝⎛⎭⎫0，12恒成立，所以k 2＋2k ≤⎝⎛⎭⎫1t ＋21－2t min ，因为t ∈⎝⎛⎭⎫0，12，所以1－2t >0，所以1t ＋21－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t ＋21－2t (2t ＋1－2t )＝2＋2＋1－2t t ＋4t1－2t≥4＋21－2t t ·4t 1－2t＝8， 当且仅当1－2t t ＝4t 1－2t时取“＝”， 即t ＝14时取得最小值， 所以k 2＋2k ≤8，所以(k －2)(k ＋4)≤0，解得－4≤k ≤2，即k ∈[－4,2]．。
备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第七章推理与证明
可以类比得到：在四面体P－ABC中，PA，PB，PC
两两垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，
四面体 P－ABC 的外接球的半径 R＝
a2＋b2＋c2 2.
下面进行证明：
可将图形补成以PA，PB，PC为邻边的长方体，
则四面体 P－ABC 的外接球即为长方体的外接球，所以半径 R＝ a2＋b2＋c2 2.
命题点2 分析法 例 5 用分析法证明：2 2－ 7> 10－3.
要证 2 2－ 7> 10－3， 即证 2 2＋3> 10＋ 7， 即证(2 2＋3)2>( 10＋ 7)2. 即证 12 2>2 70， 即证 6 2> 70. 因为(6 2)2＝72>( 70)2＝70， 所以 6 2> 70成立. 由上述分析可知 2 2－ 7> 10－3 成立.
教材改编题
1.已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，
a3，a4后，猜想an的表达式是
A.an＝3n－1
√C.an＝n2
B.an＝4n－3 D.an＝3n－1
a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝ 32，a4＝42， 猜想an＝n2.
命题点4 数学归纳法 例 7 先猜想下列算式的和，并用数学归纳法证明：1×1 4＋4×1 7＋7×110 ＋…＋3n－2×1 3n＋1(n∈N*).
猜想1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋3n－2×1 3n＋1＝3nn＋1(n∈N*). 证明如下：①当n＝1时，猜想显然成立； ②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即 1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋3k－2×1 3k＋1＝3k＋k 1， 那么当n＝k＋1时， 1×1 4＋4×1 7＋7×110＋…＋3k－2×1 3k＋1＋3k＋1×1 3k＋4 ＝3k＋k 1＋3k＋1×1 3k＋4
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7.1 等式性质与不等式性质 考试要求 1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 知识梳理1．两个实数比较大小的方法作差法⎩⎪⎨⎪⎧ a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a <b . (a ，b ∈R )2．等式的性质性质1 对称性：如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 传递性：如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 可加(减)性：如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 可乘性：如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 可除性：如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝b c. 3．不等式的性质性质1 对称性：a >b ⇔b <a ；性质2 传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；性质3 可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；性质4 可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；性质5 同向可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；性质6 同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；性质7 同正可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)．常用结论1．若ab >0，且a >b ⇔1a <1b . 2．若a >b >0，m >0⇒b a <b ＋ma ＋m ； 若b >a >0，m >0⇒b a >b ＋ma ＋m .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(√ )(2)若ba >1，则b >a .( × )(3)若x >y ，则x 2>y 2.( × )(4)若1a >1b ，则b <a .( × )教材改编题1．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式不正确的是( )A ．12a <12b B.1a >1bC.a ＋2b ＋2>ab D ．ac 3<bc 3答案 D解析 因为y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增，所以12a <12b ，A 正确；因为y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以1a >1b ，B 正确；因为a ＋2b ＋2－a b ＝2b －ab ＋2b >0，所以a ＋2b ＋2>ab ，C 正确；当c ＝0时，ac 3＝bc 3，所以D 不正确．2．已知M ＝x 2－3x ，N ＝－3x 2＋x －3，则M ，N 的大小关系是________．答案 M >N解析 M －N ＝(x 2－3x )－(－3x 2＋x －3)＝4x 2－4x ＋3＝(2x －1)2＋2>0，∴M >N .3．已知－1<a <2，－3<b <5，则a ＋2b 的取值范围是______．答案 (－7,12)解析 ∵－3<b <5，∴－6<2b <10，又－1<a <2，∴－7<a ＋2b <12.题型一 比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝b 2a ＋a 2b与q ＝a ＋b 的大小关系为( ) A ．p <q B ．p ≤q C ．p >q D ．p ≥q答案 B解析 p －q ＝b 2a ＋a 2b－a －b ＝b 2－a 2a ＋a 2－b 2b＝(b 2－a 2)·⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝b 2－a 2b －a ab ＝b －a 2b ＋aab ，因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c 答案 B解析 令函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， 易知当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .教师备选已知M ＝e 2 021＋1e 2 022＋1，N ＝e 2 022＋1e 2 023＋1，则M ，N 的大小关系为________． 答案 M >N解析 方法一 M －N ＝e 2 021＋1e 2 022＋1－e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋1e 2 023＋1－e 2 022＋12e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021＋e 2 023－2e 2 022e 2 022＋1e 2 023＋1＝e 2 021e －12e 2 022＋1e 2 023＋1>0. ∴M >N .方法二 令f (x )＝e x ＋1e x ＋1＋1＝1e e x ＋1＋1＋1－1e e x ＋1＋1＝1e ＋1－1e e x ＋1＋1， 显然f (x )是R 上的减函数，∴f (2 021)>f (2 022)，即M >N .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．跟踪训练1 (1)已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b，N ＝a 1＋a ＋b 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <NC ．M ＝ND ．不能确定答案 A解析 ∵0<a <1b ，∴1＋a >0,1＋b >0,1－ab >0. ∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝21－ab1＋a 1＋b >0，∴M >N .(2)e π·πe 与e e ·ππ的大小关系为________．答案 e π·πe <e e ·ππ解析 e π·πe e e ·ππ＝e π－eππ－e ＝⎝⎛⎭⎫eππ－e ，又0<eπ<1,0<π－e<1，∴⎝⎛⎭⎫eππ－e <1，即e π·πee e ·ππ<1，即e π·πe <e e ·ππ.题型二 不等式的性质例2 (1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是() A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2C ．若c >a >b >0，则a c －a <bc －bD ．若a >b >c >0，则a b >a ＋c b ＋c 答案 D 解析 对于A 选项，当c ＝0时，显然不成立，故A 选项为假命题； 对于B 选项，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但不满足a 2<ab <b 2，故B 选项为假命题；对于C 选项，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b ＝12，故C 选项为假命题； 对于D 选项，由于a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c＝a b ＋c －b a ＋c b b ＋c ＝ac －bc b b ＋c＝a －b c b b ＋c>0，即a b >a ＋c b ＋c ，故D 选项为真命题． (2)若1a <1b<0，则下列不等式正确的是________．(填序号) ①1a ＋b <1ab ； ②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b； ④ln a 2>ln b 2.答案 ①③解析 由1a <1b <0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确； ②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b<0， 则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确； ④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上单调递减，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域 (0，＋∞)上单调递增，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．教师备选若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C ．a |c |>b |c | D.a c 2＋1>bc 2＋1答案 D解析 对于A ，若a >0>b ，则1a >1b ，故A 错误；对于B ，取a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，故B 错误；对于C ，若c ＝0，a |c |＝b |c |，故C 错误；对于D ，因为c 2＋1≥1，所以1c 2＋1>0，又a >b ，所以a c 2＋1>bc 2＋1，故D 正确．思维升华 判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证．(2)利用特殊值法排除错误选项．(3)作差法．(4)构造函数，利用函数的单调性．跟踪训练2 (1)(2022·珠海模拟)已知a ，b ∈R ，满足ab <0，a ＋b >0，a >b ，则() A.1a <1b B.b a ＋a b >0C ．a 2>b 2D ．a <|b |答案 C解析 因为ab <0，a >b ，则a >0，b <0，1a >0，1b <0，A 不正确；b a <0，a b <0，则b a ＋a b <0，B 不正确；又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，C正确；由a>－b>0得a>|b|，D不正确．(2)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是________．(填序号)①1ac>1bc；②ba c>ab c；③(1－c)a<(1－c)b；④log b(a＋c)>log a(b＋c)．答案③④解析由题意知，a>b>1>c>0，所以对于①，ac>bc>0，故1ac<1bc，所以①错误；对于②，取a＝3，b＝2，c＝1 2，则ba c＝23，ab c＝32，所以ba c<ab c，故②错误；对于③，因为0<1－c<1，且a>b，所以(1－c)a<(1－c)b，故③正确；对于④，a＋c>b＋c>1，所以log b(a＋c)>log b(b＋c)>log a(b＋c)，故④正确．题型三不等式性质的综合应用例3(1)已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．答案(－4,2)(1,18)解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.(2)已知3<a <8,4<b <9，则a b的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，2解析 ∵4<b <9，∴19<1b <14， 又3<a <8，∴19×3<a b <14×8， 即13<a b<2. 延伸探究 若将本例(1)中条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围． 解 设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )， 又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232， 即－32<3x ＋2y <232，∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232. 教师备选已知0<β<α<π2，则α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 ∵0<β<π2，∴－π2<－β<0， 又0<α<π2，∴－π2<α－β<π2， 又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<π2. 思维升华 求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练3 (1)已知a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，则c a的取值范围是( ) A ．－3<c a<－1 B ．－1<c a <－13 C ．－2<c a<－1 D ．－1<c a <－12 答案 A解析 因为a >b >c ,2a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0，b ＝－2a －c ，因为a >b >c ，所以－2a －c <a ，即3a >－c ，解得c a>－3， 将b ＝－2a －c 代入b >c 中，得－2a －c >c ，即a <－c ，得c a <－1，所以－3<c a <－1. (2)已知1<a <b <3，则a －b 的取值范围是________，a b的取值范围是________． 答案 (－2,0) ⎝⎛⎭⎫13，1解析 ∵1<b <3，∴－3<－b <－1，又1<a <3，∴－2<a －b <2，又a <b ，∴a －b <0，∴－2<a －b <0，又13<1b <1a ，∴a3<ab <1，又a3>13，∴13<ab <1.综上所述，a －b 的取值范围为(－2,0)；a b 的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，1.课时精练1．已知a >0，b >0，M ＝a ＋b ，N ＝a ＋b ，则M 与N 的大小关系为() A ．M >NB ．M <NC ．M ≤ND ．M ，N 大小关系不确定答案 B解析 M 2－N 2＝(a ＋b )－(a ＋b ＋2ab )＝－2ab <0，∴M <N .2．已知非零实数a ，b 满足a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2<a 2bC.1ab 2<1a 2b D.b a <a b答案 C解析 若a <b <0，则a 2>b 2，故A 不成立；若⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a <b ，则a 2b <ab 2，故B 不成立；若a ＝1，b ＝2，则b a ＝2，a b ＝12，b a >a b ，故D 不成立，由不等式的性质知，C 正确．3．已知－3<a <－2,3<b <4，则a 2b 的取值范围为( )A ．(1,3) B.⎝⎛⎭⎫43，94C.⎝⎛⎭⎫23，34D.⎝⎛⎭⎫12，1答案 A解析 因为－3<a <－2，所以a 2∈(4,9)，而3<b <4，故a 2b 的取值范围为(1,3)．4．若a >1，m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a ＋1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系是() A ．n >m >p B ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n答案 B解析 由a >1知，a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，而2a －(a ＋1)＝a －1>0，即2a >a ＋1，∴a 2＋1>2a >a ＋1，而y ＝log a x 在定义域上单调递增，∴m >p >n .5．已知a ，b ∈R ，则“|a |>|b |”是“a b >1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 不妨令a ＝1，b ＝0，故|a |>|b |不能推出a b >1，若a b >1，故a ，b 同号，若a ，b 都大于0，则a >b >0，从而|a |>|b |；若a ，b 都小于0，则a <b <0，从而|a |>|b |，故a b >1能推出|a |>|b |，从而“|a |>|b |”是“a b >1”成立的必要不充分条件．6．(2022·济宁模拟)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式恒成立的是() A ．xy >yz B ．xy >xzC ．xz >yzD ．x |y |>|y |z答案 B解析 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0，y 的符号无法确定，对于A ，因为x >0>z ，若y <0，则xy <0<yz ，故A 错误；对于B ，因为y >z ，x >0，所以xy >xz ，故B 正确；对于C ，因为x >y ，z <0，所以xz <yz ，故C 错误；对于D ，因为x >z ，当|y |＝0时，x |y |＝|y |z ，故D 错误．7．设a ，b ，c ，d 为实数，且a >b >0>c >d ，则下列不等式正确的是( )A ．c 2>cdB ．a －c <b －dC ．ac <bdD.c a －d b >0 答案 D解析 因为a >b >0>c >d ，所以a >b >0,0>c >d ，对于A ，因为0>c >d ，由不等式的性质可得c 2<cd ，故选项A 错误；对于B ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则a －c ＝3，b －d ＝3，所以a －c ＝b －d ，故选项B 错误；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，则ac ＝－2，bd ＝－2，所以ac ＝bd ，故选项C 错误；对于D ，因为a >b >0，d <c <0，则ad <bc ，所以c a >d b， 故c a －d b>0，故选项D 正确． 8．若0<a <1，b >c >1，则( )A.⎝⎛⎭⎫b c a <1B.c －a b －a >c b C ．c a －1<b a －1D ．log c a <log b a答案 D解析 对于A ，∵b >c >1，∴b c>1. ∵0<a <1，则⎝⎛⎭⎫b c a >⎝⎛⎭⎫b c 0＝1，故选项A 错误；对于B ，若c －a b －a >c b， 则bc －ab >bc －ac ，即a (c －b )>0，这与0<a <1，b >c >1矛盾，故选项B 错误；对于C ，∵0<a <1，∴a －1<0.∵b >c >1，∴c a －1>b a －1，故选项C 错误；对于D ，∵0<a <1，b >c >1，∴log c a <log b a ，故选项D 正确．9．已知M ＝x 2＋y 2＋z 2，N ＝2x ＋2y ＋2z －π，则M ________N ．(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 M －N ＝x 2＋y 2＋z 2－2x －2y －2z ＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3>0，故M >N .10．(2022·宜丰模拟)若1a <1b <0，已知下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋a b>2.其中正确的不等式的序号为________．答案 ①④解析 因为1a <1b<0， 所以b <a <0，故③错误；所以a ＋b <0<ab ，故①正确；所以|a |<|b |，故②错误；所以b a >0，a b >0且均不为1，b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当b a ＝a b ＝1时，等号成立，所以b a ＋a b>2，故④正确． 11．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________． 答案 a <2ab <12<a 2＋b 2<b 解析 方法一 令a ＝13，b ＝23， 则2ab ＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59， 故a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 方法二 ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12<b <1，∴2b >1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12， 即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12， 即a 2＋b 2>12.∵12<b <1， ∴(a 2＋b 2)－b ＝[(1－b )2＋b 2]－b ＝2b 2－3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0，即a 2＋b 2<b ，综上可知a <2ab <12<a 2＋b 2<b . 12．若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－3π2，π2 解析 ∵－π2<α<π2，∴－π<2α<π.∵－π2<β<π2，∴－π2<－β<π2， ∴－3π2<2α－β<3π2. 又α－β<0，α<π2，∴2α－β<π2. 故－3π2<2α－β<π2.13．(2022·长沙模拟)设实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则下列不等式恒成立的是( )A ．c <bB ．b ≤1C ．b ≤aD ．a <c 答案 D解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2， 两式相减得2b ＝2a 2＋2，即b ＝a 2＋1，∴b ≥1.又b －a ＝a 2＋1－a ＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0， ∴b >a .而c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b ，从而c ≥b >a .14．实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c .那么a ，b ，c ，d 的大小关系是________．答案 b >d >c >a解析 由题意知d >c ①，②＋③得2a ＋b ＋d <2c ＋b ＋d ，化简得a <c ④，由②式a ＋b ＝c ＋d及a <c 可得到，要使②成立，必须b >d ⑤成立，综合①④⑤式得到b >d >c >a .15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则c a的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－2，－12 解析 因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c )．又a >b >c ，所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a. 所以⎩⎨⎧ 2c a <－1，c a >－2，解得－2<c a <－12. 即c a的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－12. 16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．答案 ①6 ②12解析 设男学生人数为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x >y ，y >z ，2z >x ，且x ，y ，z均为正整数．①当z ＝4时，8>x >y >4，∴x 的最大值为7，y 的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.②x >y >z >x 2，当x ＝3时，条件不成立，当x ＝4时，条件不成立，当x ＝5时，5>y >z >52，此时z ＝3，y ＝4.∴该小组人数的最小值为12.。
高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明7
高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．知识梳理1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域不包括边界Ax＋By＋C≥0包括边界不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ ) (2)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( × ) (3)点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )>0，在异侧的充要条件是(Ax 1＋By 1＋C )(Ax 2＋By 2＋C )<0.( √ )(4)目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( × )教材改编题1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45 C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45答案 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”， ∴x ≥95，y >380，z >45.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ＋y －3≥0表示的区域(阴影部分)是( )答案 D解析 将点(0,0)代入x －y ＋1<0不成立，则点(0,0)不在不等式x －y ＋1<0所表示的平面区域内， 将点(0,0)代入x ＋y －3≥0不成立，则点(0,0)不在不等式x ＋y －3≥0所表示的平面区域内， 所以表示的平面区域不包括原点，排除A ，C ；x －y ＋1<0不包括边界，用虚线表示，x ＋y －3≥0包括边界，用实线表示，故选D. 3．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为________．答案 92解析 根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当目标函数z ＝x ＋2y 经过点⎝⎛⎭⎫32，32时，z 取最大值为92.题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －y ≥1，y ＋1≥0表示的平面区域的面积为______．答案 3解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，2x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A (1,1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，即B (0，－1)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，即C (3，－1)， S △ABC ＝12×|3－0|×|1－(－1)|＝3.(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x >m 表示的平面区域为三角形，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，3)解析 根据题意，先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝x ＋1，可得A (3,4)， 要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m <3， 所以m 的取值范围为(－∞，3)．教师备选已知点A (3,0)，B (－3,2)，若直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，13 B ．(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤－13，1 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13∪[1，＋∞) 答案 B解析 因为直线ax －y －1＝0与线段AB 总有公共点， 所以点A 和点B 不同在直线的一侧， 所以(3a －0－1)(－3a －2－1)≤0， 解得a ≤－1或a ≥13.即a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≥2，3x ＋y ≤5所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋2分成面积相等的两个部分，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B (0,5)，因为直线y ＝kx ＋2过定点C (0,2)， 所以C 点在可行域内，要使直线y ＝kx ＋2将可行域分成面积相等的两部分， 则直线y ＝kx ＋2必过线段AB 的中点D .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，解得⎝⎛⎭⎫32，12，即A ⎝⎛⎭⎫32，12， 所以AB 的中点D ⎝⎛⎭⎫34，114，将D 的坐标代入直线y ＝kx ＋2，得114＝34k ＋2，解得k ＝1.题型二 求目标函数的最值问题 命题点1 求线性目标函数的最值例2 (2021·浙江)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －y ≤0，2x ＋3y －1≤0，则z ＝x －12y 的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－12 D.110答案 B解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝2x 并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －1＝0，x ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 所以A (－1,1)，z min ＝－1－12＝－32.命题点2 求非线性目标函数的最值例3 (1)如果点P (x ，y )在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0上，则y ＋1x －2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－2，－13 B.⎣⎡⎦⎤－2，－32 C.⎣⎡⎦⎤－2，13 D.⎣⎡⎦⎤－13，2 答案 A解析 作出点P (x ，y )所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，y ＋1x －2表示动点P 与定点Q (2，－1)连线的斜率． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.于是k QE ＝1＋11－2＝－2，k QF ＝0＋1－1－2＝－13.因此－2≤y ＋1x －2≤－13.(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y －3≤0，x ≥0，则(x －1)2＋y 2的最小值为( )A ．1 B.45 C.255 D ．2答案 B解析 结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，而(x －1)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方， 又(1,0)到直线2x －y ＝0的距离为25， 故(x －1)2＋y 2的最小值为45.命题点3 求参数值或取值范围例4 已知k >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x ＋y －3≤0，y ≥k x －3，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则k 等于( )A ．3B ．5 C.12 D.14答案 A解析 由不等式组知可行域只能是图中△ABC 内部阴影部分(含边界)所示，作直线l ：2x ＋y ＝0，平移直线l ，只有当l 过点B 时，z ＝2x ＋y 取得最小值， 易知B (2，－k )， ∴4－k ＝1，解得k ＝3. 教师备选1．(2022·六安模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，y －2≥0，x ＋y －5≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 C解析 不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z ， 作出直线y ＝－2x ，向上平移过点C 时，z ＝2x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ y －2＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 所以z ＝2x ＋y 的最大值为2×3＋2＝8. 2．已知实数x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．答案 10解析 根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x 2＋y 2是指可行域内的动点(x ，y )与定点(0,0)之间的距离的平方， 由图可知，点P 到原点O 的距离的平方最大，又因为⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －5＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以P (1,3)， 故z max ＝12＋32＝10.3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝________.答案 3解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝a ，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，∴A ⎝⎛⎭⎫a －12，a ＋12.①当a ＝0时，A ⎝⎛⎭⎫－12，12，x ＝z 无最小值，不满足题意； ②当a <0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，要使z 最小，则直线y ＝－1a x ＋za 在y 轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；③当a >0时，由z ＝x ＋ay 得y ＝－1a x ＋za，由图可知，当直线过点A 时直线在y 轴上的截距最小，z 最小，此时，－1a ≥－1，即a ≥1，此时z ＝a －12＋a ·a ＋12＝a 2＋2a －12＝7.即a 2＋2a －15＝0， 解得a ＝3或a ＝－5(舍)． 思维升华 常见的三类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by . (2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a.跟踪训练2 (1)已知A (1,2)，点B (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1，则OA →·OB →的取值范围是________． 答案 [1,5]解析 作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，2x －y －2≤0，x ≥1的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．设z ＝OA →·OB →，则z ＝x ＋2y ， 将z ＝x ＋2y 化为y ＝－12x ＋z 2，由图象可得，当直线y ＝－12x ＋z2过点A (1,2)时，z 取最大值，最大值为5.当直线y ＝－12x ＋z2过点C (1,0)时，z 取最小值，最小值为1.∴OA →·OB →的取值范围是[1,5]．(2)(2022·平顶山模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，y －2≥0，x －1≥0，则z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值是______． 答案 52解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2y ＋1x ＋1，其中k ＝y ＋1x ＋1表示可行域内点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －5＝0，y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即C (3,2)， 由图可得k min ＝k CQ ＝2＋13＋1＝34， 所以z min ＝1＋2×34＝52.(3)(2022·金华模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a 的值为________． 答案 －1或2解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作直线l ：y －ax ＝0，在z ＝y －ax 中，y ＝ax ＋z ，a 是斜率，z 是纵截距，直线向上平移，z 增大，因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l 与AB 或AC 平行， 所以a ＝－1或a ＝2.题型三 实际生活中的线性规划问题例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：体积(立方分米/件)重量(千克/件)快递员工资(元/件)甲批快件 20108乙批快件102010快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( ) A ．150元 B ．170元 C ．180元 D ．200元答案 B解析 设一次派送甲批快件x 件、乙批快件y 件，则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤350，10x ＋20y ≤250，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤35，x ＋2y ≤25，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，小马派送完毕获得的工资z ＝8x ＋10y (元)， 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝35，x ＋2y ＝25，解得x ＝15，y ＝5， 所以目标函数在点M (15,5)处取得最大值， 故z max ＝8×15＋10×5＝170(元)．所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元． 教师备选某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( ) A ．180 000元 B ．216 000元 C ．189 000元 D ．256 000元答案 B解析 设生产产品A 为x 件，产品B 为y 件，获利z 元． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y ，作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．将z ＝2 100x ＋900y 化为y ＝－73x ＋z900，由图象可得，当直线y ＝－73x ＋z900过点M 时，在y 轴上的截距最大，即z 最大．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.3y ＝90，5x ＋3y ＝600，得M (60,100)，∴z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)， ∴利润最大为216 000元．思维升华 解线性规划应用题的步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题； (2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( ) A ．2 400元 B ．2 560元 C ．2 816元 D ．4 576元答案 B解析 设甲型车x 辆，乙型车y 辆，运送这批水果的费用为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180，x ∈N ，y ∈N目标函数z ＝320x ＋504y ， 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ∈N ，y ∈N ，0≤x ≤8，0≤y ≤4，24x ＋30y ≥180所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．作直线320x ＋504y ＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z 取得最小值， 即z min ＝8×320＋0×504＝2 560(元)．课时精练1．将不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2≥0，x ＋y <0表示的平面区域记为F ，则属于F 的点是( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(－1，－1)D ．(1，－1)答案 C解析 将点(1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧1≥0，2>0，故不在区域F 内，将点(－1,1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧－1<0，0＝0，故不在区域F 内，将点(－1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧3≥0，－2<0，故在区域F 内，将点(1，－1)代入方程组得⎩⎪⎨⎪⎧5≥0，0＝0，故不在区域F 内．2．(2022·合肥质检)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3≤0，x ＋y ≥0，x －y ≥0围成的封闭图形的面积是( )A ．12B ．6C ．9D ．15 答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，x －y ＝0得A (3,3)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝0，x ＋y ＝0得B (3，－3)， 所以可行域的面积为12×3×6＝9.3．(2021·全国乙卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，x －y ≤2，y ≤3，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．18B ．10C ．6D ．4 答案 C解析 方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y ＝－3x ，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即点A 的坐标为(1,3)．从而z ＝3x ＋y 的最小值为3×1＋3＝6.方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．易知直线x ＋y ＝4与y ＝3的交点坐标为(1,3)，直线x ＋y ＝4与x －y ＝2的交点坐标为(3,1)，直线x －y ＝2与y ＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z ＝3x ＋y 可得z 的值分别为6,10,18，所以比较可知z min ＝6.方法三 (巧用不等式的性质)因为x ＋y ≥4，所以3x ＋3y ≥12. ① 因为y ≤3，所以－2y ≥－6.②于是，由①＋②可得3x ＋3y ＋(－2y )≥12＋(－6)，即3x ＋y ≥6，当且仅当x ＋y ＝4且y ＝3，即x ＝1，y ＝3时不等式取等号，易知此时不等式x －y ≤2成立． 4．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )答案 C解析 (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C 符合题意．5．(2022·长沙模拟)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1，则z ＝2x －y 的取值范围是( )A ．[0,3]B ．[1,3]C ．[－3,0]D ．[－3，－1]答案 A解析 作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，x ≤1表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，即B (1，－1)，化目标函数z ＝2x －y 为y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过原点时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值，为2×0－0＝0；当直线y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值，为2×1－(－1)＝3， ∴z ＝2x －y 的取值范围是[0,3]．6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( ) A ．甲7件，乙3件 B ．甲9件，乙2件 C ．甲4件，乙5件 D ．甲2件，乙6件答案 D解析 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x ，y 件，利润为z 元，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋7y ≤50，x ，y ∈N ，z ＝x ＋1.8y ，画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，结合实际情况，显然当y ＝－59x ＋59z 经过整点A (2，6)时，z 最大．7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －6≤0，x ＋y －1≥0，2x －y ＋1≥0，则z ＝y －1x ＋1的最大值是( )A.127 B.12 C ．1 D ．2答案 A解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，z ＝y －1x ＋1表示可行域中的点(x ，y )与点P (－1,1)的连线的斜率， 由图可知z ＝y －1x ＋1的最大值在A 点取得，由⎩⎪⎨⎪⎧x －6＝0，2x －y ＋1＝0， 得A (6,13)， 所以z max ＝13－16＋1＝127.8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案 答案 D解析 设获得一等奖和二等奖的人数分别为x ，y (x ，y ∈N *)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤200，3x ≤y ，x ≥2，作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图可知，2≤x ≤4,6≤y ≤16，故x 可取2,3,4，故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品， 购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A ，B ，C 正确； 当x ＝2时，y 可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种， 当x ＝3时，y 可取9,10,11,12,13,14，共6种， 当x ＝4时，y 可取12，共1种， 故共有11＋6＋1＝18(种)，故D 不正确．9．已知点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，则实数b 的取值范围是________． 答案 (－∞，－3)解析 因为点(1,1)在直线x ＋2y ＋b ＝0的下方，所以1＋2＋b <0，解得b <－3. 10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －2≥0，x －3y ＋6≥0，则2y4x 的最小值为________． 答案 18解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，2y 4x ＝2y －2x，若使2y －2x 最小，需y －2x 最小． 令z ＝y －2x ，则y ＝2x ＋z ， z 表示直线在y 轴上的截距，根据平移知，当x ＝3，y ＝3时，z ＝y －2x 有最小值为－3， 则2y 4x 的最小值为2－3＝18. 11．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋4≥0，x ＋y －1≥0，x ≤1，若直线y ＝k (x －1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________． 答案 －4解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,6)，B (1,0)，C (－1,2)．由于直线y ＝k (x －1)过定点B (1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，所以当直线y ＝k (x －1)过线段AC 的中点D (0,4)时，△ABD 和△BCD 的面积相等， 此时k ＝k BD ＝4－00－1＝－4.12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元． 答案 780解析 设每天安排电脑机和普通机各x ，y 台， 则一天可获利z ＝12×8x ＋10×6y ＝96x ＋60y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，2x ＋y ≤15，12x ＋10y ≥100，0<x ≤7，0<y ≤5，画出可行域(图略)，可知当目标函数经过(5,5)时，z max ＝780.13．(2022·郑州模拟)已知M (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的平面区域内的任意一点，且M (x ，y )满足x 2＋y 2≤a ，则a 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ．9 D ．10 答案 D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≤1所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，y ＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，即点A (－3,1)，同理可得B (3,1)，C (0，－2)， 且OA ＝OB ＝10，OC ＝2，x 2＋y 2的几何意义为原点O 与可行域内的点M (x ，y )的距离的平方，由图可知，当点M 与点A 或点B 重合时，OM 取最大值，故x 2＋y 2的最大值为10， ∴a ≥10，即a 的最小值为10.14．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ≥a ，x ≤y ，且z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍，则a 等于( ) A.34 B.56 C.65 D.43 答案 B解析 根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线l ：y ＝2x ，平移直线l ，由图可知，当直线经过点D 时，直线在y 轴上的截距最小， 此时z ＝2x －y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝y ，可得D (1,1)， 所以z ＝2x －y 的最大值是1；当直线经过点B 时，直线在y 轴上的截距最大， 此时z ＝2x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x ＝a ，可得B (a ,2－a )， 所以z ＝2x －y 的最小值是3a －2， 因为z ＝2x －y 的最大值是最小值的2倍， 所以6a －4＝1，解得a ＝56.15．实数对(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，且目标函数z ＝kx －y 当且仅当x ＝3，y ＝1时取最大值，则k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－12，1 D ．(－∞，1]答案 C解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，其中A (1,2)，B (4,2)，C (3,1)，由z ＝kx －y ，将直线l ：y ＝kx －z 进行平移可得直线在y 轴上的截距为－z ， 因此直线在y 轴上截距最小时，目标函数z 达到最大值． 因为当且仅当l 经过点C (3,1)时，目标函数z 达到最大值， 所以直线l 的斜率应介于直线AC 的斜率与直线BC 的斜率之间， k AC ＝1－23－1＝－12，k BC ＝2－14－3＝1，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 16．(2022·宜春模拟)设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6≥0，x ＋2y －6≤0，y ≥0，则2y 2－xy x 2的最小值是________． 答案 －18解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k ＝yx 的几何意义为可行域内的点到原点的斜率， 由图象可知，OA 的斜率最大，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，x ＋2y －6＝0得A (2,2)， ∴0≤k ≤1，∴2y 2－xy x 2＝2⎝⎛⎭⎫y x 2－y x＝2k 2－k ＝2⎝⎛⎭⎫k －142－18≥－18⎝⎛⎭⎫当且仅当k ＝14时，取到最小值.。
高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明课件理
(5)已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式 f(2n)＞n2 时，f(2k＋1)比 f(2k)多的项数是________. 解析 f(2k)＝1＋12＋13＋…＋21k， f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k，故 多了 2k 项. 答案 2k
知识点三 数学归纳法
1.数学归纳法的定义 (1)当 n 取第一个值 n0 时，证明命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当__n_＝__k_＋__1___ 时，命题也成立.于是命题对一切 n∈N*，n≥n0，命题都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的步骤 用数学归纳法证明命题时，其步骤如下： (1)当 n＝n0 时，验证命题成立； (2)假设 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，推证__n_＝__k_＋__1___时， 命题也成立，从而推出对所有的从 n0 开始的正整数命题成立. 两个步骤体现了递推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠 基；第二步是递推的依据，也叫归纳递推，两者缺一不可.
2.间接证明——反证法
一般地，假设原命题 不成(立即在原命题的条件下，结论不成 立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 假设错误， 从而证明了 原命题成，立这样的证明方法叫做反证法.
►一个易错点：反证法. (3)[反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为 条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论， 不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法]用反证法证明 “ 三 角 形 中 至 少 有 一 个 内 角 不 小 于 60 ° ” ， 应 先 假 设 为 ________. 答案 三角形中每一个内角都小于60°
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3. (xx ·陕西， 16) 观察下列等式 11
1－ 2＝ 2
11111 1－ 2＋ 3－ 4＝ 3＋ 4
11111111 1－ 2＋ 3－ 4＋ 5－ 6＝4＋ 5＋ 6
…… 据此规律，第 n 个等式可为 ________.
解析 等式左边的特征： 第 1 个等式有 2 项，第 2 个有 4 项，第 3 个有 6 项，且正负交错，
1 11
1
1
答案 1－ 2＋ 3－ 4＋…＋ 2n－1－ 2n＝ n＋ 1＋ n＋ 2＋…＋ 2n
4. (xx ·陕西， 13) 观察下列等式
(1 ＋ 1) ＝2×１ (2 ＋ 1)(2 ＋2) ＝ 22×1× 3 (3 ＋ 1)(3 ＋2)(3 ＋ 3) ＝ 23× 1× 3× 5
……
照此规律，第 n 个等式可为 ____________________________________________.
，
Bn≠
Bn＋
2，
n∈
*
N
(
P≠Q
表示点
P
与 Q不重合 ). 若 dn＝ | AnBn| ， Sn 为△ An BnBn＋1 的面积，则 (
)
A.{ Sn} 是等差数列
B.{ S2n} 是等差数列
C.{ dn} 是等差数列
D.{ d2n} 是等差数列
1 解析 Sn 表示点 An 到对面直线的距离 ( 设为 hn) 乘以 | BnBn－1| 长度一半，即 Sn＝ 2hn| BnBn－1| ，
1 则 Sn＋1－ Sn＝ 2| AnAn＋1|| BnBn＋1|tan θ，都为定值，
所以 Sn＋1－ Sn 为定值，故选 A. 答案 A
2. (xx ·山东， 12) 观察下列等式：
π －2
2π － 2 4
sin 3
＋ sin 3
＝ 3× 1× 2；
sin
π 5
－2 ＋
sin
2π 5
－2 ＋
sin
……
π －2
2π － 2
3π － 2
2nπ － 2
照此规律， sin 2n＋1 ＋ sin 2n＋1 ＋ sin 2n＋ 1 ＋…＋ sin 2n＋ 1 ＝
________.
4 解析 观察等式右边的规律：第 1 个数都是 3，第 2 个数对应行数 n，第 3 个数为 n＋ 1.
4 答案 3× n× ( n＋ 1)
各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是
2”，乙看
了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是
1”，丙说：“我的卡片上的数字
之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是 ________.
解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”可知，丙为“１ 和 2”或“１ 和 3”，又
乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，所以乙只可能为“２ 和 3”，所以由甲说“我
③c≠０有且只有一个正确，则 100a＋10b＋ c 等于 ________.
解析 可分下列三种情形： (1) 若只有①正确，则 a≠2， b≠ 2， c＝0，所以 a＝ b＝ 1 与集
111
11
故第 n 个等式左边有 2n 项且正负交错，应为 1－ 2＋ 3－4＋…＋ 2n－1－ 2n；等式右边的
特征：第 1 个有 1 项，第 2 个有 2 项，第 3 个有 3 项，故第 n 个有 n 项，且有前几个的规
1
1
1
律不难发现第 n 个等式右边应为 n＋ 1＋n＋ 2＋…＋ 2n.
111
解析 观察规律，等号左侧为 ( n＋ 1)( n＋2) …（n＋ n) ，等号右侧分两部分，一部分是
n
2，
另一部分是 1×3×…× (2 n－ 1). 答案 ( n＋1)( n＋2) …（n＋ n) ＝ 2n× 1× 3×…× (2 n－ 1)
5. (xx ·福建， 16) 已知集合 { a，b， c} ＝ {0 ， 1， 2} ，且下列三个关系：① a≠2；② b＝ 2；
3π 5
－2 ＋
sin
4π －2 4
5
＝ 3×2× 3；
π －2
2π － 2
3π － 2
6π － 2 4
sin 7
＋ sin 7
＋ sin 7
＋…＋ sin 7
＝ × 3× 4； 3
π －2
2π － 2
3π － 2
8π － 2 4
sin 9
＋ sin 9
＋ sin 9
＋…＋ sin 9
＝ ×4×5； 3
由题目中条件可知 | BnBn－ 1| 的长度为定值，过 A1 作垂直得到初始距离 h1，那么 A1， An 和两
个垂足构成等腰梯形，则 hn＝h1＋ | A1An|tan θ( 其中 θ 为两条线所成的锐角，为定值 ) ，
1
从而
Sn＝ ( 2
h1＋ |
A1An|tan
θ )| BnBn＋1| ，
1 Sn＋ 1＝ 2( h1＋ | A1An＋1|)| BnBn＋1| ，
均最低气温约为 5 ℃ . 下面叙述不正确的是 (
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
A. 各月的平均最低气温都在 0 ℃以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于 20 ℃的月份有 5 个
解析 由题意知，平均最高气温高于 20 ℃的六月，七月，八月，故选 D.
答案 D
2. (xx ·新课标全国Ⅱ， 16) 有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3. 甲，乙，丙三人
与乙的卡片上相同的数字不是 2”，所以甲只能为“１ 和 3”．
答案 1 和 3
3. (xx ·课标Ⅰ， 14) 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B， C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；
乙说：我没去过 C城市；
丙说：我们三人去过同一城市 .
由此可判断乙去过的城市为 ________.
2019-2020 年高考数学一轮总复习第 7 章不等式推理与证明第五节推 理与证明 AB卷文新人教 A 版
1.(xx ·新课标全国Ⅲ， 4) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情
况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图
.
图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 ℃，B点表示四月的平
解析 根据甲和丙的回答推测乙没去过 答案 A
B 城市，又知乙没去过 C城市，故乙去过 A 城市 .
1.(xx ·浙江， 8) 如图，点列 { An} ，{ Bn} 分别在某锐角的两边上， 且 | AnAn
＋ 1|
＝|
A A | n＋1 n＋2
，
An≠
An ＋2，
n∈
*
N
，
|
BnBn＋1|
＝|
B B | n＋1 n ＋2