概率论复习-1

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概率论与数理统计复习题1-知识归纳整理

概率论与数理统计复习题（一）A. 古典概型挑选题1. 在所有两位数(10－99)中任取一两位数，则此数能被2或3整除的概率为（） A. 6/5 B . 2/3 C. 83/100 D.均不对2. 对事件A,B.下列正确的命题是（） A ．如A,B 互斥，则A ，B 也互斥B. 如A,B 相容，则A ，B 也相容C. 如A,B 互斥，且P(A)>0,P(B)>0,则A.B 独立 D . 如A,B 独立，则A ，B 也独立3. 掷二枚骰子，事件A 为闪现的点数之和等于3的概率为（） A.1/11 B . 1/18 C. 1/6 D. 都不对5. 甲，乙两队比赛，五战三胜制，设甲队胜率为0.6，则甲队取胜概率为（） A. 0.6B. C 35*0.63*0.42C. C 350.63*0.42+C 45*0.64*0.4D .C 35*0.63*0.42+C 45*0.64*0.4+0.656. 某果园生产红富士苹果，一级品率为0.6，随机取10个，恰有6个一级品之概率（） A. 1B. 0.66C . C 466104.06.0D.（0.6）460.4）（7. 一大楼有3层，1层到2层有两部自动扶梯，2层到3层有一部自动扶梯，各扶梯正常工作的概率为 P ，互不影响，则因自动扶梯不正常不能用它们从一楼到三楼的概率为（） A.（1-P ）3 B. 1-P 3C . 1-P 2（2-P ）D.（1-P ）（1-2P ）8. 甲，乙，丙三人共用一打印机，其使用率分别p, q, r ，三人打印独立，则打印机空暇率为（） A. 1-pqr B . （1-p ）（1-q ）（1-r ） C. 1-p-q-r D. 3-p-q-r 9. 事件A,B 相互独立， P(A)=0.6, P( A B )＝0.3, 则 P(AB)=（） A . 0.15 B. 0.2 C. 0.25 D. 0.110. 甲，乙各自射击一目标，命中率分别为0.6和0.5，已知目标被击中一枪，则此枪为甲命中之概率（） A . 0.6 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.55 11. 下列命题中，真命题为（）A. 若 P （A ）=0 ，则 A 为不可能事件知识归纳整理B .若A,B 互不相容，则1BA P ）＝（ C.若 P(A)=1，则A 何必然事件D.若A,B 互不相容，则 P(A)=1-P(B)12. A,B 满足P(A)+P(B)>1，则A,B 一定（）A. 不独立B. 独立C. 不相容 D . 相容13. 若（），则〕〕〔＝〔）P(B)-1P(A)-1B A P( A. A,B 互斥 B. A>B C. 互斥，B A D . A,B 独立14. 6本中文书，4本外文书放在书架上。

概率论复习资料(1)

1、一袋中有十个质地、形状相同且编号分别为1、2、…、10的球.今从袋中任意取出三个球并记录球上的号码，求（1）最小号码为5的概率，（2）最大号码为5的概率，（3）一个号码为5，另外两个号码一个大于5，一个小于5的概率。

解：}5{1最小号码为=A }5{2最大号码为=A }555{3，一个小于，一个大于一个号码为=A1) 所求概率121)(31025111==C C C A p ； 2）所求概率201)(31024112==C C C A p ； 3）所求概率61)(3101415113==C C C C A p2、在1500个产品中有400个次品，1100个正品.任取200个，求（1）恰好有90个次品的概率；（2）至少有两个次品的概率。

解：设}90{个次品恰好有=A , }{至少有两个次品=B（1）所求概率 2001500110110090400)(C C C A p =；（2）所求概率 200150********140020011001)(C C C C B p +-=。

3、将一枚骰子重复掷n 次，试求掷出的最大点数为5的概率。

解：设}5{最大点数为=A , n 次掷出的点数≤5，有n5种不同结果，而n 次掷出的点数≤4，有n4种不同结果。

所以n 次掷出的最大点数为5，有nn 45-种不同结果。

故所求概率nn A p 645)(4-=4、若A ，B 互不相容，则()0)();()(=+=B A P B P A P B A P Y ；)]()([1)(1)B A ()B A (B P A P B A P P P +-=-==Y Y 。

若A ，B 相互独立，());()(1)(1)(B P A P B A P B A P B A P ⋅-=-==I I Y)()()(B P A P B A P ⋅=；)()()B A (B P A P P ⋅=。

5、设A 、B 为两个事件，P(B)=0.5，P(A-B)=0.3。

概率论与数理统计习题课1-1

7 12
P( A B C ) =
事件的关系互斥：互斥：AB = φ 对立事件，对立事件，样本空间的划分
P ( B A) = P ( B )
n个事件两两互斥，就称这n个事件互斥个事件两两互斥，就称这n
独立
P ( A B ) = P ( A)
P ( AB ) = P ( A) P ( B )
n个事件独立的要求很高
3 1 1 2 4未中， 3 或者1、、未中，伤 L因此总的概率为 C 4 6 2 3
3 4
1 3 1 1 ∴ P ( A) = 1 − P ( A ) = 1 − − C 4 6 6 2
4
3
1 n k k
条件概率
乘法公式
全概公式和贝叶斯公式
n个独立事件至少发生其一的概率
伯努利概型
在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k次的概率重伯努利试验中，事件A恰好发生k
k Pn (k ) = Cn p k q n − k , k = 0,1,2, L , n
1. B
掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7 2. 掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中一颗为1的概率。一颗为1的概率。解：
3. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号，某人忘记了电话号码的最后一个数字，因此他随意地拨号，求他拨号不超过3次而接通电话的概率；（1）求他拨号不超过3次而接通电话的概率；若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？（2）若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
解：设A = {第 i 次拨号拨对 }, i = 1,2,3 i
1 3
表示施放4枚深水炸弹击沉潜水艇的事件解设A表示施放枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，则表示施放枚深水炸弹击沉潜水艇的事件，

概率论笔记1

概率复习重点归纳一、随机事件与概率重点难点：重点：概率的定义与性质，条件概率与概率的乘法公式，事件之间的关系与运算，全概率公式与贝叶斯公式难点：随机事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes 公式以及对贝努利概型的事件的概率的计算常考题型：（1）事件关系与概率的性质（2）古典概型与几何概型（3）乘法公式和条件概率公式（4）全概率公式和Bayes 公式（5）事件的独立性（6）贝努利概型概念辨析1，互不相容（互斥）事件同逆（对立）事件互不相容事件：AB =Φ 逆事件：,A B AB ⋃=Ω=Φ事件互逆指的是非此即彼，即事件之一必定发生；而不相容仅指不能同时发生，但是是可以同时不发生的。

2，独立与互不相容（互斥）对事件A 及B ，若P(A)P(B)>0，且P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 及B 互相独立；事件独立同事件互斥是两套不同的概念，不能进行比较；须知独立性针对的是事件概率存在上面的等式关系；而互斥是指事件的不可同时发生，两者之间不存在必然关系。

3、条件概率同乘积概率P(AB)是在样本空间Ω内，事件AB 的概率，而P(A | B)是在试验中增加了新条件B 发生后的缩减的样本空间B Ω中计算事件A 的概率。

虽然A 、B 都发生，但两者是不同的，一般说来，当A 、B 同时发生时，常用P(AB)，而在有包含关系或明确的主从关系时，用P(A | B) .例：袋中有9 个白球1 个红球，作不放回抽样，每次任取一球，取2 次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（ 2）第一次取到的是白球的条件下，第二次取到白球的概率.问题（1）求的就是一个乘积事件概率的问题，而问题（2）求的就是一个条件概率的问题.4、全概率公式同贝叶斯公式全概率公式：要求事件A 的概率（通常直接不太好求），将其分成几个比较容易计算的概率之和。

在分析问题的过程中，A 可视为B1∪B2∪B3∪…∪Bn 的子事件，或者把Bi 看成A 发生的原因，A 是结果，而及较易求出，从而可由“因”求出“果”。

练习一(预备知识-随机事件与概率)--1_参考答案

A.全部打中 B.至少击中一发 C.必然事件 D.不少于一发击中【参考答案】 C 14.某类灯泡使用时数在 500 小时以上的概率为 0.5,从中任取 3 个灯泡使用,则在使用 500 小时之后无一损坏的概率为( )。
1 A. 8
2 B. 8
3 C. 8
4 D. 8 【参考答案】 A
15.设P (A) >0, P (B) >0, 则下列公式正确的是( )。
−1
+
C
3 n
p
3q
n
−3
+⋯+
C
2m n
+1p
2m
+1q
n
−2m −1 ⎛⎜⎜⎝m =
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
n−1 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎞⎟
⎥⎟
⎥ ⎥ ⎦
⎠
而a +b = (p +q)n = 1
a −b = (q −p)n = (1−2p)n
密
解得:a
=
1 2
+
1 2
(1 − 2p )n
封
姓名
【参考答案】事件A 出现偶数次的概率为a ,事件A 出现奇数次的概率为b
考试时间总主考
第 5 页（共 6 页）
a
=
C
0 n
p
0q
n
+
C
2 n
p
2q
n
−2+⋯+ Cn2mp2mqn −2m ⎛⎜⎜⎝m =
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
n 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥
⎞⎟
⎥⎟
⎥ ⎥ ⎦
⎠
b
=

概率论第一章复习题

概率论与数理统计第一章复习题一、填空题1.设()0.4,()0.5P A P B ==，当随机事件B A , 互不相容时，()_______P A B =；当随机事件B A , 相互独立时，()_______P A B =2. 设B A ,是两个相互独立的事件，已知 ()0.2,()0.6P A P A B ==，则 =)(B P3.已知3.0)(,7.0)(=-=B A P A P ，则 =)(AB P4．据天气预报，某地第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，则两天都不下雨的概率为5. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为8081，则该射手的命中率为______________6. 某种动物由出生算起，活20岁以上的概率为0.8，活25岁以上的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问不能活到25岁以上的概率为______________7.若12件产品中有3件次品，从中随机抽取3次，每次抽1件，作放回抽样，则至少抽到1件次品的概率是二、选择题1．设B A ,是两个独立随机事件，若0)(=AB P ，则（）(A) A 和B 互不相容（B ） 0)(=B P（C ）0)(=A P 或 0)(=B P (D) 0)(=A P2. 10件产品中有3件次品，从中随机抽出2件，至少抽到1件次品的概率是（）（A ） 31 （B ） 52 （C ）157 (D) 158 3. 设A ，B 为随机事件，则()P A B -=（）（A ）)()(B P A P - （B ）()()P A P AB -（C ）()()()P A P B P AB +- （D ）()()()P A P B P AB -+三、计算题1. 已知一批产品的合格率为95%. 检查产品的质量时，一个合格品被误判为次品的概率为2%；一个次品被误判为合格品的概率为3%. 求（1）任意检查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率.2.某地区电压呈三种状态，即高压状态，正常状态与低压状态，据以往的数据表明，这三种状态发生的概率分别为5﹪,85%与10﹪.某种家用电器在这三种状态损坏的的概率依次为0.4，0.1和0.2.（1）求该家用电器损坏的的概率；（2）若该家用电器已损坏，求它是在高压状态下损坏的概率.。

《概率论与数理统计》习题及答案--第一章

《概率论与数理统计》习题及答案
第一章
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（ 1）掷一颗骰子，记录出现的点数 . A ‘出现奇数点’ ；（ 2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数 . A ‘两次点数之和为
一次的点数，比第二次的点数大 2’；
Байду номын сангаас10’，B ‘第
（ 3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1,2,3,4,5 ；从中同时
解（ 1） A1 A2 A3 ；（ 2） A1 A2 A3 ；（ 3） A1 A2 A3 （ 4） A1 A2 A1 A3 A2 A3 。
A1 A2 A3
A1 A2 A3 ；
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解设 A ‘任取一电话号码后四个数字全不相同’ ，则
P( A)
(2,3,5), (2, 4,5), (1,3,5)}
A {(1, 2,3), (1,2, 4), (1,2,5), (1,3, 4), (1,3,5), (1,4,5)}
（ 4） S {( ab, , ), ( , ab, ), ( , ,ab), (a,b, ), ( a, ,b), (b, a, ),
(b, , a), ( , a, b,), ( ,b, a)} ，其中‘ ’表示空盒；
A {( ab, , ), (a, b, ), ( a, , b), (b, a, ), (b, , a)} 。
（ 5） S {0,1, 2, }, A {0,1, 2,3, 4}, B {3, 4, } 。 2．设 A, B,C 是随机试验 E 的三个事件，试用 A, B,C 表示下列事件：
（ 1）仅 A 发生；（ 2） A, B, C 中至少有两个发生；（ 3） A, B, C 中不多于两个发生；（ 4） A, B, C 中恰有两个发生；（ 5） A, B, C 中至多有一个发生。

概率论与数理统计期末复习1

概率论与数理统计期末复习（一）第二章随机变量及其分布一、了解离散性随机变量及其概率分布：特征：可列无穷多二、熟练掌握三种常用离散性随机变量的分布律(0-1)分布、二项分布、泊松分布(泊松定理的应用) (知道：期望方差)【例1-1】某种型号器件的寿命X(以小时计)具有概率密度()⎪⎩⎪⎨⎧>=，其他00100,10002x x x f现有一大批此种器件(设备损坏与否相互独立)，任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率.【例1-2】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,515/x ex f x X 某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而从窗口离开的次数，写出Y 的分布律，并求出{}1≥Y P .【例1-3】设有80台同类型设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法，其一是由4人维护，每人维护20台；其二是由3人共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.【例2-1】一电话总机每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求某一分钟内呼唤次数大于2的概率.【例2-2】保险公司在一天内承保了5000张相同年龄，为期一年的寿险保单，每人一份.在合同有效期内若投保人死亡，则公司需赔付3万元. 设在一年内，该年龄段的死亡率为0.0015，且各个投保人是否死亡相互独立. 求该公司对于这批投保人的赔付金额总数不超过30万元的概率.三、熟练掌握连续型随机变量分布函数的概念，以及概率密度和随机变量分布函数的关系要点: {}x X P x F ≤=)(；⎰=∞-xdt t f x F )()(，若)(x F 在x 点连续，则有)()('x f x F =；概率密度的性质：⎰=≥∞∞-1)(,0)(dx x f x f 满足这两个条件的函数才可以认为是概率密度；四、熟练掌握三种连续型随机变量的分布均匀分布、指数分布、正态分布(知道：概率密度、分布函数、期望方差) 【例3-1】设随机变量X 的分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=e x e x x x x F X ,11,ln 1,0)((1) 求{}{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<≤<<252,30,2X P X P X P ;(2) 求概率密度)(x f X .【例3-2】设随机变量X 的概率密度为：()⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤=其他，，,021210x x x x x f求X 的分布函数.【例3-3】设()()x g x f ,都是概率密度函数，求证：()()()()10,1≤≤-+=αααx g x f x h 是一个概率密度函数.【例4-1】设K 在(0,5)服从均匀分布，求关于x 的方程：02442=+++K Kx x有实数根的概率.【例4-2】（记住正态分布引理）设随机变量()22,3~N X :(1) 求{}52≤<X P ;(2) 试确定常数c,使得{}{}c X P c X P ≤=>;(3) 试确定常数d 的最小值，使得{}9.0≥>d X P .【例4-3】设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(min)服从指数分布，其概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,515/x ex f x X 某顾客在窗口等待服务，若超过10min ，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而从窗口离开的次数，写出Y 的分布律，并求出{}1≥Y P .五、求随机变量的函数分布的两种方法： (1)直接法:{}{})]'())[(?()())(?()()(111y g y g x f y f y g x F y x g P y Y P y F X Y X Y ---=⇒=≤=≤=(2)定理法：P52 定理直接套公式(套公式要注意在x 的定义域上)(x g y =必须是严格单调！)【例5-1】设)1,0(~N X (1) 求X e Y =的概率密度；(2) 求122+=X Y 的概率密度； (3) 求X Y =的概率密度.【例5-2】设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧>=-，其他00,x e x f x 求2X Y =的概率密度.【练习】1. 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试估计他至少击中2次的概率.2. 设()λπ~X ，且{}{}21===X P X P ，求{}4=X P .3. 设()λπ~X ，其分布律为{},...2,1,0,!===-k k e k X P kλλ，试确定k 的值，使得{}k X P =最大.4. 设()p n b X ,~，其分布律为{}10.,...,2,1,0,)1(<<=-==-p n k p p C k X P k n kk n ，试确定k 的值，使得{}k X P =最大.5. 设连续型随机变量X 的分布函数为： ()()+∞<<∞-+=x x B A x F arctan(1) 求B A ,的值；(2) 求X 的概率密度()x f .6. 设连续型随机变量X 的概率密度为：()⎩⎨⎧<<+=其他,010,x b ax x f且8521=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>X P ,(1) 求b a ,的值；(2) 求⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<2141x P ;(3) 求随机变量X 的分布函数()x F .7. 对某地区考生抽样调查的结果表明,考生的数学成绩（百分制）近似服从()2,72σN ，其中σ未知，已知96分以上的考生占总数的2.3%.试求考生的数学成绩介于60分与84分之间的概率.8. 设321,,X X X 是随机变量，且()()()232213,5~,2,0~,1,0~N X N X N X ,{}22≤≤-=x P P j ，（j=1,2,3）,则（）（13-8）(A) 321P P P >> (B) 312P P P >> (C) 213P P P >> (D) 231P P P >>9. （13-14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则{}a Y a Y P >+≤1的值为.10. （11-8）设()()x F x F 21，为2个分布函数，其相对应的概率密度为()()x f x f 21,，其都是连续函数，则下列选项中必为概率密度的是（）(A) ()()x f x f 21 (B) ()()x F x f 122 (C) ()()x F x f 21 (D) ()()()()x F x f x F x f 1221+11. （10-8）设()x f 1为标准正态分布的概率密度，()x f 2为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若()()())0,0(0,0,21>>⎩⎨⎧>≤=b a x x bf x x af x f 为概率密度，则b a ,应该满足( )(A) 432=+b a (B) 423=+b a (C) 1=+b a (D) 2=+b a12. （06-14）设随机变量X 服从正态分布()2111,σμN ,随机变量Y 服从正态分布()2222,σμN ，且{}{}1121<-><-μμY P X P ,则下列结论成立的是（）(A) 21σσ< (B) 21σσ> (C) 21μμ< (D) 21μμ>13. （02-21）设随机变量X 的概率密度为： ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,00,2cos 21πx x x f 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，求2Y 的数学期望.14. 设随机变量),(~σμN X ,求证：随机变量)0,(≠+=a b a b aX Y 为常数，也服从正态分布 ()2','~σμN Y ，并指出2','σμ的值.15. 设随机变量X 在区间()10，服从均匀分布. (1) 求X e Y =的概率密度；(2) 求X Y ln 2-=的概率密度.。

概率论与数理统计复习题（1）

概率论与数理统计复习题（1）复习题概率论与数理统计复习题一、填空题1．已知则．2．已知，A, B两个事件满足条件，且，则。

3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用表示取出的3件产品中的次品件数，则．4．同时抛掷3枚硬币，以X表示出正面的个数，则X的概率分布为．5．设随机变量X的概率密度为用Y表示对X的3次独立重复观察中事件出现的次数，则。

6．设随机变量X～，且，则_________7．若二维随机变量（X, Y）的区域上服从均匀分布，则（X，Y）的密度函数为8．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为则。

9．设随机变量X的分布律为X-202P0.40.30.3。

10．设随机变量X的概率密度为则 A = 。

11．设，则，。

12．已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，，则。

13．设，，，则．14．设总体是来自总体X的样本，则，。

15．设是总体的样本，则当常数时，是参数的无偏估计量．16．一袋中有50个乒乓球，其中20个红球，30个白球，今两人从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取到红球的概率为。

．17．已知、两事件满足条件，且，则= 。

18．已知，，，则、、都不发生的概率为。

．19．设一次试验中事件发生的概率为，又若已知三次独立试验中至少出现一次的概率等于，则。

．20．设事件和中至少有一个发生的概率为，和中有且仅有一个发生的概率为，那么和同时发生的概率为．21．20个运动员中有两名国家队队员，现将运动员平分为两组，则两名国家队队员分在不同的组的概率为。

．22．已知，，则．23．甲袋中有5只白球，5只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，5只红球，10只黑球，从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率为．24．设、是随机事件，，，，则，，．25．设两两相互独立的三个事件、、满足条件，，且已知，则．26．若，且，，则．27．设、为随机事件，已知，，，则．28．设，，，则0.1，0.5，．29．已知，，，则．30．设、相互独立，，，则．31．已知，，，则．32．一个实习生用同一台机器接连独立的制造了3个同种零件，第个零件不合格的概率为，以表示3零件中合格品的个数，则。

概率统计期末复习-经管(1)

第一章随机事件及其概率一、基本概念1．事件的关系与运算、运算规律因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理。

事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的表1.1没有相同的元素与互不相容和事件事件的差集与不发生发生而事件事件的交集与同时发生与事件事件的和集与至少有一个发生与事件事件的相等与相等与事件事件的子集是发生发生导致事件的余集的对立事件子集事件元素基本事件空集不可能事件全集必然事件样本空间集合论概率论记号B A B A AB B A B A B A B A B A AB B A B A B A B A B A B A B A B A B A A A A A ∅=-=⊂∅Ω ω,对偶律：A B A B = ，A B A B =2、概率的定义频率：A n n f (A )n=，其中n 为试验次数, A n 为事件A 发生的次数概率的统计定义：在相同条件下重复进行n 次试验，若事件A 发生的频率A n n f (A )n=随着试验次数n 的增大而稳定地在某个常数p ()10≤≤p 附近摆动，则称p 为事件的概率，记为)(A P古典概型：具有下列两个特征的随机试验模型： 1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同.概率的古典定义：在古典概型的假设下，设事件A包含其样本空间S中k个基本事件, 即},{}{}{21ki i i e e e A =则事件A发生的概率.)()()(11中基本事件的总数包含的基本事件数S A n k e P e P A P kj i k j i jj====∑== 概率的公理化定义：设E 是随机试验, S 是它的样本空间,对于E 的每一个事件A 赋于一个实数, 记为)(A P , 若)(A P 满足下列三个条件: 1. 非负性：对每一个事件A ,有 0)(≥A P ;2. 完备性：1)(=S P ;3. 可列可加性：设,,21A A 是两两互不相容的事件，则有.)()(11∑∞=∞==i ii i A P A P 则称)(A P 为事件A 的概率.概率的基本性质：○1()0P ;∅=○2设12n A ,A ,,A 是两两互不相容的事件，则有11nni i i i P(A )P(A ).===∑○3()()1P A P A ;=-○4()()()P A B P A P AB ;-=-特别地，若B A ⊂，则()()()P A B P A P B ;-=-()()P A P B ;≥○5对任一事件A 有()1P A ≤○6对于任意两个事件A ，B 有()()()()P A B P A P B P AB =+-3、条件概率与独立性条件概率：)()()|(A P AB P A B P =（0)(>A P ），在事件A 发生的条件下,事件B 的条件概率.事件的独立性：A ,B 相互独立P(AB )P(A)P(B )⇔=n A A A ,,,21 相互独立()111j jk ki i j j k,k n,P A P A ==⎛⎫⇔∀≤≤= ⎪⎝⎭∏事件独立的性质： ○1当0)(>A P ,0)(>B P 时, A ,B 相互独立与A ,B 互不相容不能同时成立. 但∅与S 既相互独立又互不相容(自证). ○2 设A ,B 是两事件, 且0)(>A P ,若A ,B 相互独立, 则)()|(A P B A P =. 反之亦然.伯努利概型（试验的独立性）设随机试验只有两种可能的结果：事件A 发生(记为A )或事件A 不发生(记为A )，则称这样的试验为伯努利(Bermourlli)试验。

华东理工大学概率论答案-1

华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第一册）学院 ____________专业 ____________班级 ____________ 学号 ____________姓名 ____________任课教师____________第一次作业一．填空题：1．设{}20≤≤=x x S ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ，具体写出下列各事件： B A =1131x 422x x ⎧⎫≤≤<<⎨⎬⎩⎭或者，B A =S ，B A =B ，AB =A 。

2．设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来：（1）事件ABC 表示A 、B 、C 都发生； (2) 事件ABC 表示A 、B 、C 都不发生；（3）事件ABC 表示A 、B 、C 不都发生；（4）事件A B C 表示A 、B 、C 中至少有一件事件发生；（5）事件AB AC BC 或AB AC BC 表示A 、B 、C 中最多有一事件发生。

二．选择题：1．设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,4,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，则事件=-BC A ( A )。

A.}10,9,8,6,1{B. }5,2{C. }10,9,8,6,2{D. }10,9,8,6,5,2,1{2．对飞机进行两次射击，每次射一弹，设事件=A “恰有一弹击中飞机”, 事件B = “至少有一弹击中飞机”，事件C =“两弹都击中飞机”, 事件=D “两弹都没击中飞机”，又设随机变量ξ为击中飞机的次数，则下列事件中( C )不表示}1{=ξ。

A. 事件AB. 事件C B -C. 事件C B -D. 事件C D -3．设A 、B 是两个事件，且∅≠A ，∅≠B ，则()()B A B A ++表示（ D ）。

A. 必然事件 B. 不可能事件 C. A 与B 不能同时发生 D. A 与B 中恰有一个发生4．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 表示（ D ）。

复习题二概率论(1)

复习题一一、填空题（每题3分，共15分） 1、已知()0.6P A B ⋃=，()0.4P A =，若A 与B 互斥，则()P B = . 若A 与B 独立，则()P B = .2、设随机变量~(,)X B n p ，()6,() 3.6E X D X ==，则n= .3、设随机变量X 和Y 独立，且~(1,1),~(0,2)X N Y U ，令231Z X Y =-+，则()___E Z =，=)(Z D4、设随机变量X 的期望为2，方差为4，则根据切比雪夫不等式有估计{}24P X -≥≤ .5、设1,n X X ⋅⋅⋅是来自正态总体X 2~(,)N μσ的样本，2X S 和分别为其样本平均值和样本方差，则2=_____,S =_______X 。

当2σ未知时，μ的置信度为1α-的置信区间为二、单项选择题（每题3分，共15分）1、设,X Y 为相互独立的两随机变量，则下列错误的是（） A ．(X-Y)=E(X)-E(Y)EB ．D(X-Y)=D(X)+D(Y)C ．(XY)=E(X)E(Y)ED ．D(XY)=D(X)D(Y)2、设2~(4,2)X N ，{}{}P X c P X c ≤=>，则c =（） A ．0 B ．2 C ．3 D ．43、~(2,1)X N ,2~(1)Y n χ-,且,X Y 相互独立，令Z =,则有（）A ．~(0,1)Z NB ． ~(1)Z t n -C ．2~()Z n χD ． ~()Z t n 4、设12,X X 是来自总体(,1)N μ的样本，则下列估计量中无偏估计量为（）A ．^1122153X X μ=+ B ．^1121344X X μ=+C ．^1121133X X μ=+D ．^1121123X X μ=+5、设二维随机变量),(Y X 服从(1,2,3,1,0)N -，则下列结论错误的是（）A ．~(1,3)X NB ． X 与Y 相互独立C ．0),cov(=Y XD ．~(3,2)X Y N - 三、计算题（每题7分，共70分）1、某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种灯管，产量依次占全厂的40%，35%，25%。

概率论与数理统计第一章期末复习

概率论与数理统计第一章期末复习(一)随机事件1.随机现象定义1在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象．定义2只有一个结果的现象称为确定性现象．2.样本空间定义3一个试验如果满足下述条件：(1)试验可以在相同的情形下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．就称这样的试验是一个随机试验，记作E．定义4随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记作Ω．样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点，记作ω．3.随机事件定义5随机试验的某些样本点的集合称为随机事件，简称事件，常用大写英文字母A，B，C，…表示．定义6由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件．而样本空间Ω的最大子集(即Ω本身)称为必然事件，样本空间Ω的最小子集(即空集∅)称为不可能事件．4.事件的关系与运算下面的讨论总是假设在同一个样本空间Ω中进行．1)包含关系⊂如果属于A的样本点必属于B，则称A包含于B或称B包含A，记作A B ⊃．用概率的语言说：事件A发生必然导致事件B发生．或B A对任一事件A，必有∅Ω⊂A．⊂2)相等关系如果属于A的样本点必属于B，且属于B的样本点必属于A，即BA⊂且=．AB⊂，则称事件A与B相等，记作A B3)互不相容(互斥)如果A 与B 没有相同的样本点，则称A 与B 互不相容(互斥)．即事件A 与事件B 不可能同时发生．4)两事件的和事件“事件A 与B 中至少有一个发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的和(或并)，记作B A ．5)两事件的积事件“事件A 与B 同时发生”，这样的一个事件称作事件A 与B 的积(或交)，记作B A (或AB )．6)两事件的差事件“事件A 发生而B 不发生”，这样的事件称为事件A 对B 的差，记作A B -．7)对立事件或逆事件若=AB ∅且Ω=B A ，则称A 与B 为对立事件或互为逆事件，事件A 的对立事件记作A ．【例1】设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，则(1)事件{A 发生且B 与C 至少有一个发生}可表示为：)(C B A ；(2)事件{A 与B 发生而C 不发生}可表示为：C AB ；(3)事件{A 、B 、C 中至少有两个发生}可表示为：BC AC AB ；(4)事件{A 、B 、C 中至多有两个发生}可表示为：ABC ；(5)事件{A 、B 、C 中不多于一个发生}可表示为：AB BC AC ；(6)事件{A 、B 、C 中恰有一个发生}可表示为：ABC ABC ABC ．【例2】关系()成立，则事件A 与B 为对立事件．A ．=AB ∅B ．Ω=B AC ．=AB ∅，Ω=B AD ．=AB ∅，Ω≠B A 【解析】由对立事件的概念可知选项C 正确．【例3】甲、乙两人谈判，设事件A ，B 分别表示甲、乙无诚意，则B A 表示()A ．两人都无诚意B ．两人都有诚意C ．两人至少有一人无诚意D ．两人至少有一人有诚意【解析】由题可知A 与B 分别表示甲、乙有诚意，则B A 表示甲、乙两人至少有一人有诚意，故选项D 正确．5.事件的运算性质(1)交换律：A B B A =，BA AB =；(2)结合律：C B A C B A )()(=，)()(BC A C AB =；(3)分配律：()()()A B C AB AC = ，()()()A B C A C B C = ；(4)对偶律：B A B A = ，B A AB =．一些有用的等式：A A A = ，A Ω=Ω ，A A ∅= AA A =，A A Ω=，A ∅=∅A B A AB AB -=-=，A B A B A =【例4】化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．【解】(1) A B B A B A B A ==)())((ØA =；(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3)))(())((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．(二)随机事件的概率1.概率的公理化定义定义1设E 是随机试验，Ω是它的样本空间．对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为)(A P ，称为事件A 的概率，如果集合函数)(⋅P 满足下列条件：(1)非负性0)(≥A P ，对Ω∈A ；(2)规范性()1P Ω=；(3)可列可加性若=j i A A ∅，j i ≠， ,2,1,=j i ，有∑+∞=+∞==11)()(i i i i A P A P ．2.概率的性质性质1不可能事件的概率为0，即()0P ∅=．性质2概率具有有限可加性，即若=j i A A ∅(n j i ≤<≤1)，则∑===ni i n i i A P A P 11)()( ．性质3对任一随机事件A ，有()1()P A P A =-．性质4若A B ⊂，则)()()(B P A P B A P -=-．推论若A B ⊂，则)()(B P A P ≥．性质5对任意的两个事件A ，B ，有)()()(AB P A P B A P -=-．性质6对任意的两个事件A ，B ，有()()()()P A B P A P B P AB =+- ．对任意三个事件A ，B ，C ，有)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= ．推论对任意的两个事件A ，B ，有)()()(B P A P B A P +≤ ．【例1】设A 与B 互不相容，且0)(>A P ，0)(>B P ，则下列结论正确的是()A ．A 与B 为对立事件B ．A 与B 互不相容C ．)()()(B P A P B A P -=-D ．)()(A P B A P =-【解析】因为A 与B 互不相容，所以AB =∅，0)(=AB P ，故选项A ：互不相容不一定对立，故选项A 错误；选项B ：互不相容不一定对立，故B A 不一定等于Ω，所以B A B A =不一定等于∅，即A 与B 不一定互不相容，故选项B 错误；选项C ：)()()()(A P AB P A P B A P =-=-，故选项C 错误，进而选项D 正确．【例2】已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．【解】(1)7.0)(1)(=-=A P A P ；(2)∵B A ⊂，∴A AB =，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．【注】事件的概率的计算常常需要结合对偶律，应用性质3．【例3】已知事件A ，B ，B A 的概率分别是0.4，0.3，0.6，求(B A P ．【解】)()()()(AB P B P A P B A P -+= )(3.04.06.0AB P -+=所以1.0)(=AB P ，则3.0)()()((=-=-=AB P A P B A P B A P ．【例4】已知41)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ．求：(1)A ，B ，C 中至少发生一个的概率；(2)A ，B ，C 都不发生的概率．【解】(1)因为0)(=AB P ，且AB ABC ⊂，所以由概率的单调性知0)(=ABC P ；再由加法公式，得A ，B ，C 中至少发生一个的概率为)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 8516243=-=．(2)因为{A ，B ，C 都不发生}的对立事件为{A ，B ，C 中至少发生一个}，所以A ，B ，C 都不发生的概率为83851(=-=C B A P ．3.古典概型定义2若随机试验E 具有下述特征：(1)样本空间的元素(即样本点)只有有限个，不妨设为n 个，并记它们为12,,,n ωωω ．(2)每个样本点出现的可能性相等(等可能性)，即有12()()()n P P P ωωω=== ．则称这种等可能性的概率模型为古典概型．对任意一个随机事件Ω∈A ，有nk A A P =Ω=中所有样本点的个数所含有样本点的个数事件)(．【例5】袋中有大小相同的4个白球，3个黑球，从中任取3个至少有2个白球的概率为．【解析】袋中共有7个球，从中任取3个，共有37C 中取法，即样本空间Ω中共有37C 个样本点．取出的3个球中至少有2个白球，分为2个白球1个黑球和3个白球两种情况．当取出的3个球中有2个白球1个黑球时，共有1324C C 中取法；当取出的3个球中有3个白球时，共有0334C C 中取法．记=A {从中任取3个至少有2个白球}，则事件A 中共有03341324C C C C +个样本点．因此3522)(3703341324=+=C C C C C A P ．(三)条件概率1.条件概率定义1设A 与B 是样本空间Ω中的两个事件，若0)(>B P ，则称)()()(B P AB P B A P =为“在事件B 发生条件下事件A 发生的条件概率”，简称条件概率．【例1】已知31)()(==B P A P ，61)(=B A P ，求(B A P ．【解】∵61)()()(==B P AB P B A P ，∴181)(=AB P ，)(1)()()()(B P B A P B P B A P B A P -== )(1)]()()([1B P AB P B P A P --+-=127=．【注】条件概率的计算通常与概率的性质结合使用．【技巧】在计算过程中，只要有概率的性质可以用，就一直用概率的性质计算，直到没有概率的性质可用时，对得到的式子进行化简整理，代入已知数据计算．2.乘法公式定理1(乘法公式)(1)若0)(>B P ，则)()()(B A P B P AB P =．(2)若0)(121>-n A A A P ，则)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ．【例2】一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第三次才取得合格品的概率．【解】设=i A {第i 次取得合格品}，3,2,1=i ．由题意知，所求概率为)(321A A A P ，易知10010)(1=A P ，999)(12=A A P ，9890)(213=A A A P ．由此得)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P =0083.0989099910010≈⋅⋅=．3.全概率公式定义2设Ω为试验E 的样本空间，1B ，2B ，…，n B 为E 的一组事件．如果=j i B B ∅，j i ≠，n j i ,,2,1, =且Ω=n B B B 21，则称1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分．定理2(全概率公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则对任一事件A 有)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==．4.贝叶斯公式定理3(贝叶斯公式)设1B ，2B ，…，n B 为样本空间Ω的一个划分，若0)(>A P ，0)(>i B P ，n i ,,2,1 =，则∑==n i j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()()()(，n i ,,2,1 =．【例3】一批同型号的零件由编号为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的三台机器共同生产，各台机器生产的零件占这批零件的比例分别为35%、40%和25%，各台机器生产的零件的次品率分别为3%、2%和1%．(1)求该批零件的次品率；(2)现从该批零件中抽到一颗次品，试问这颗零件由Ⅰ号机器生产的概率是多少？【解】设=A {零件是次品}，=1B {零件由Ⅰ号机器生产}，=2B {零件由Ⅱ号机器生产}，=3B {零件由Ⅲ号机器生产}，则由题设知35.0)(1=B P ，4.0)(2=B P ，25.0)(3=B P ，03.0)(1=B A P ，02.0)(2=B A P ，01.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 021.0=．(2)题目要求的是)(1A B P ，由贝叶斯公式，得21)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．【例4】有甲、乙、丙三厂同时生产某种产品．甲、乙、丙三厂的产量之比为1：1：3，次品率分别为4%，3%，2%．(1)若从一批产品中随机抽出一件，求这件产品为次品的概率．(2)若产品的售后部门接到一名顾客投诉，说其购买的产品为次品，请问哪个厂最该为此事负责，为什么？【解】设=A {产品为次品}，=1B {产品由甲厂生产}，=2B {产品由乙厂生产}，=3B {产品由丙厂生产}，则由题设知，2.0)(1=B P ，2.0)(2=B P ，6.0)(3=B P ，04.0)(1=B A P ，03.0)(2=B A P ，02.0)(3=B A P ．(1)题目要求的是)(A P ，由全概率公式，得∑==31)()()(i i i B A P B P A P 026.0=．(2)由贝叶斯公式，得134)|()()|()()(31111==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，133)|()()|()()(31222==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ，136)|()()|()()(31333==∑=i i i B A P B P B A P B P A B P ．所以在产品为次品的情况下，产品来自丙厂的可能性最大，丙厂最该负责．【注】全概率公式与贝叶斯公式通常一起考试．(四)独立性1.两个事件的独立性定义1若)()()(B P A P AB P =成立，则称事件A 与事件B 相互独立，简称A 与B 独立．否则称A 与B 不独立或相依．定理1若事件A 与B 独立，则A 与B 独立；A 与B 独立；A 与B 独立．【例1】甲、乙两人彼此独立的向同一个目标射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率．【解】设=A {甲击中目标}，=B {乙击中目标}，则=B A {目标被击中}．则)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=98.0=．【例2】若事件A 与B 相互独立，8.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：)(B A P 和)|(B A A P ．【解】∵A 与B 相互独立，∴)()()()(AB P B P A P B A P -+= )()()()(B P A P B P A P -+=92.0=．)())(()|(B A P B A A P B A A P =)()()()()(B A P B P A P B A P B A P ==13.0=．【例3】设)()(B A P B A P =，证明：A 与B 相互独立．【证】因为)()(B A P B A P =，所以有)(1)()()(1)()()()()(B P AB P A P B P B A P B P B A P B P AB P --=--==，即有)]()()[()](1)[(AB P A P B P B P AB P -=-，整理得)()()(B P A P AB P =，所以A 与B 相互独立．2.多个事件的相互独立性定义2设A ，B ，C 是三个事件，若有⎪⎩⎪⎨⎧===)()()()()()()()()(C P B P BC P C P A P AC P B P A P AB P (1)第11页共11页则称A ，B ，C 两两独立．若还有)()()()(C P B P A P ABC P =，(2)则称A ，B ，C 相互独立．注意：只有(1)式与(2)式同时成立，事件A ，B ，C 才相互独立．(1)式成立不能保证(2)式成立；反过来，(2)式成立也不能保证(1)式成立．定义3设有n 个事件1A ，2A ，…，n A ，对任意的n k j i ≤<<<≤ 1，若以下等式均成立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()()()()()(2121n n k j i k j i j i j i A P A P A P A A A P A P A P A P A A A P A P A P A A P 则称此n 个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立．定理2如果n (2≥n )个事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则其中任何m (n m ≤≤1)个事件换成相应的对立事件，形成的n 个新的事件仍相互独立．【例4】三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31，41，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？【解】设A ，B ，C 分别表示三人独立译出密码，则51)(=A P ，31)(=B P ，41)(=C P ，且A ，B ，C 相互独立，有方法1：)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++= )()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P C P A P B P A P C P B P A P +---++=6.0=．方法2：)(1)(C B A P C B A P -=(1C B A P -=()()(1C P B P A P -=53411)(311)(511(1=----=．。

概率论与数理统计第1-3章复习资料

其中λ = n P 例2：在例1的试验中，求：（1）A=“点数和为奇数的概率”；（2）B=“点数不同的概率” 例3：某产品40件，其中有次品3件。现从其中任取3件，求下列事件的概率：（1）A=“3件中恰有2件次品”；（111/9880）（2）B=“ 3件中至少有1件次品”（633/2964）
xi R , i 1 , , n , n 元函数
F ( x1 ,, xn ) P( X 1 x1 ,, X n xn ) ( 是 X 1 ,, X n ) 的分布函数。
（1）’
注：r, v 取值的规律称 r, v 的分布，分布函数是描述 r, v 的概分布的主要方法之一。（二）分布函数的性质：一维：1、有界性：0 F ( X ) 1
m 4、由公式 P( A) 进行计算 n
（二）几何概型所求概率为： P（A）=[A所包含的区域度量] / [样本空间的度量] （三）条件概率及其全概率公式 1、条件概率：若P(B) ＞0，则
P( A B) P( AB) P( B)
2、全概率公式如果B1,…,Bn为一完备事件组，即满足：（1） B1,…,Bn两两不相容i=1, …,n；
例4：一盒装有10只晶体管，其中有4只次品，6只正品，随机地抽取 1只测试，直到4只次品晶体管都找到。求最后一只次品晶体管在下列情况发现的概率：（1）A=“在第 5 次测试发现”。（2/105）（2）B=“在第10次测试发现”。（2/5）例5：将编号1，2，3的三本书任意地排列在书架上，求事件 A=“至少有一本书自左到右的排列顺序号与它的编号相同” 的概率。例6：五个乒乓球，其中三个旧球，二个新球，每次取一个，共取两次，以有放回和无放回两种方式求下列事件的概率：（1）A=“两次都取到新球”；（2）B=“第一次取到新球，第二次取到旧球”；（3）C=“至少有一次取到新球”。

经济数学2010概率论复习(1)

概率论与数理统计练习题及解答第一章一. 填空题1．射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（1,2,3i =），则事件“至多命中两次”可表示为123123()A A A A A A 2. 射击三次，事件i A 表示第i 次命中目标（1,2,3i =），则事件“至少命中一次” 可表示为123A A A3. 设A ，B ，C 表示三个随机事件，则三个事件都发生表示为 ABC4. 设A ，B ，C 表示三个随机事件，则三个事件至少有一个发生表示为A B C5. 设A,B,C 为三事件，则事件“三个都不发生”可表示为 ABC .6. 设A 与B 互不相容，()04.P A = , ()05.P B =, 则()P A B =09.7. 设A 与B 相互独立，()04.P A = , ()05.P B =, 则()P A B = 07.8. 10件产品中有4件次品，从中任取3件，则恰有2件次品的概率为03.9. 三个人独立地破译密码，他们能译出的概率分别为51、41、31，此密码能被译出的概率为（3/5）。

10．10个零件中有4个次品，每次从中任取一个零件，作不放回地抽取，则第三次才取得正品的概率为1 10. 11．同时掷三枚均匀的硬币，则至少出现一次反面的概率为7 8. 12．每次试验中A 出现的概率为13，在三次试验中A 至少出现一次的概率为2719. 13. 袋中有4个红球，2个白球.从中任取3个，则恰好取到2个红球的概率是3514. 设()0.5,()0.6,()0.9P A P B P A B ===, 则(|)P B A =0.415. 设()0.5,()0.4,()0.8P A P B P A B ===, 则(|)P A B =0.25二．单项选择题1．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为【 B 】（A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”（B ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”（C ）“甲、乙两种产品均畅销”（D ）“甲、乙两种产品均滞销”2．设事件A 与B 同时发生的概率0)(=AB P ，则【 D 】(A ) 事件A 与B 相互独立 (B ) 事件A 与B 互不相容(C ) 事件AB 为不可能事件 (D ) )()()(B P A P B A P +=3．每次试验中A 出现的概率为1/3, 在三次试验中A 出现至少一次的概率是【 B 】 (A) 12 (B) 1927 (C) 827 (D) 1274．设A 、B 是随机事件，且B A ⊂，()0P B >，则下列式子正确的是【 B 】.（A ）()(|)P A P A B <（B ）()(|)P A P A B ≤ （C ）()(|)P A P A B > （D ）()(|)P A P A B ≥5．设甲、乙二人独立地向同一目标各射击1次, 其命中率分别为06.和05.,则目标被击中的概率是【 C 】(A ) 01. (B ) 03. (C ) 08. (D ) 06.6．对于任意两个事件A 与B,必有P(A-B)=( C )A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C ． P(A)-P(AB) D. P(A)+P(B)7. 某种动物活到25岁以上的概率为0.8，活到30岁的概率为0.4，则现年25岁的这种动物活到30岁以上的概率是（ D ）。

概率论与数理统计习题及答案----第1章习题详解

概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(6) ABC(5) ABC=A B C(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3. 略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A-B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1-P（AB）=1-[P(A)-P(A-B)]=1-[0.7-0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=14+14+13-112=347. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】 p =5332131313131352C C C C /C8. 对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1-P (A 1)=1-(17)59. 略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果：（1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的；（3） n 件是有放回逐件取出的. 【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P nN 种，n 次抽取中有m次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P m M 种，从N -M 件次品中取n -m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P PP m m n mn M N M n N--由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P （A ）=C C C m n mM N Mn N--可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n 种，n次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n -m 次取得次品，每次都有N -M 种取法，共有（N -M ）n -m 种取法，故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为()C 1m n mm n M M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11. 略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13. 一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14. 有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯= (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15. 掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1）问正好在第6次停止的概率；（2）问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115(()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == 16. 甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+ 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.3207617．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18. 某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1）在下雨条件下下雪的概率；（2）这天下雨或下雪的概率. 【解】设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19. 已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A === 或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20. 已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.【解】设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21. 两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图题22图【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x-y|>30.如图阴影部分所示.22301604P==22. 从（0，1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于65的概率；（2）两个数之积小于14的概率.【解】设两数为x,y，则0<x,y<1.（1）x+y<65.11441725510.68125p=-==(2) xy=<14.1111244111d d ln242xp x y⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰23. 设P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(A B)=0.5，求P（B｜A∪B）【解】()()()()()()()()P AB P A P ABP B A BP A B P A P B P AB-==+-0.70.510.70.60.54-==+-24. 在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =∙+∙+∙+∙0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？（2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27. 在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知111120()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28. 某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29. 某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++ 0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30. 加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯= 31. 设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32. 证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33. 三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率.【解】设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835. 已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1）虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.（2）新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 310110C(0.35)(0.65)0.5138k k k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241kk k k p -===∑36. 一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；（3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”；（4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型： 224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3）由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：（1）甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；（2）甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3）如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】（1） 111p n =-(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38. 将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设这三段长分别为x ,y ,a -x -y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a -x -y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--=== 40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000-（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）-P （BC ）≤P (A ). 【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥= ()()()P AB P AC P ABC =+-()()()P AB P AC P BC ≥+-42. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A ==43. 将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()(22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22nn n P A =-44. 掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1）当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5(2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C (]22nn n P A =-45. 设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1-甲反≤n -乙反）=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反）因此P (甲正>乙正)=1246. 证明“确定的原则”（Sure -thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |)≥P (B |)，则P （A ）≥P (B ).【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+= 47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则121(1)1()(12()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A nn P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n -1是1，2，…，n 中的任n -1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (12()C (11()C (10()(1)n n nk ki ni k i j ni j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1C (1)(1)C (1k k n n kn n n n n n n--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1nk i i n n i P A n n =-=--+--+ 111(1)C (1)n n k nn n+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B ==则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212rrr m m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n -r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n -r 次取自B 2盒，第2n -r +1次拿起B 1，发现已空。

《概率论与数理统计》第三版--课后习题答案.-(1)

习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：；(8)在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：；1.2(1)A 与B 都发生, 但C 不发生; ；(2)A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;；(3)A,B,C 中至少有一个发生; ；(4)A,B,C 中恰有一个发生;；(5)A,B,C 中至少有两个发生; ；(6) A,B,C 中至多有一个发生;；(7) A;B;C 中至多有两个发生;(8) A,B,C 中恰有两个发生. ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

1.3 设样本空间, 事件=,具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4)（1）；(2) =；(3) =;(4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2)由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。

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√
.
P( A) =
m Cn−1m !
(n−1)!
概率论
四、条件概率
是两个事件，设A、B是两个事件，且P(B) > 0 , 是两个事件
P(AB ) P(A| B) = P(B )
五、乘法公式
若 P(B) > 0 , 则 P(AB)=P(B)P(A|B) 若 P(A) > 0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A)
概率论
已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1 已知: ( ( (
由Bayes 公式: 公式:
概率论
练习2 由于随机干扰, 练习2：由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信号收到信号“ ”,“不清不清” “ • ”, 收到信号“• ”,“不清”,“ — ” 的概率分别为0.7, 发出信号“ 概率分别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”, 收到“ ”,“不清 ,“— 不清” 的概率分别为0.0, 收到“• ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.9.已知在发出的信号中已知在发出的信号中, ”和 0.1, 0.9.已知在发出的信号中, “ • ”和“ — ” 出现的概率分别为0.6 试分析, 出现的概率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信不清” 原发信号为“ ”还是还是“ 号“不清”时, 原发信号为“ • ”还是“ — ”的哪个大？概率哪个大？解: 设原发信号为“ 设原发信号为“ • ” 为事件 B1 原发信号为“ 原发信号为“ — ”为事件 B2 收到信号“不清” 收到信号“不清” 为事件 A
P(B )P(AB ) 1 2 2 P(B A = ) = 2 P(A ) 4
可见, 当收到信号“不清” 可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 ”的可能性大 “ • ”的可能性大
七、独立性与贝努利试验概型
则称A 相互独立. ☆ P(AB)= P(A) P(B) 则称、B相互独立相称性和均衡性，在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可以认为基本事件是等可能的并在此基础上计算事件的概率. 件的概率
概率论
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不、在用排列组合公式计算古典概率时，要重复计数，也不要遗漏. 要重复计数，也不要遗漏例如：双不同的鞋子中任取4只例如：从5双不同的鞋子中任取只，这4只鞋子中双不同的鞋子中任取只鞋子中至少有两只配成一双” 事件A）的概率是多少？ “至少有两只配成一双”（事件）的概率是多少？ 1 5 7 9 3 下面的算法错在哪里？下面的算法错在哪里？ 2 4 6 8 10
P( A) = ∑P( B )P( A| B ) i i
i=1
n
P(A | B) = P(A)P(B A) ｜i i i
A ∑P(A )P(B｜ )
j= 1 j j
n
概率论
练习1. 商店论箱出售玻璃杯,每箱20 20只其中每箱含0 练习1. 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0 只次品的概率分别为0.8, 0.1，，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的. :从一箱中任取4只检查,结果都是好的. B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2 分别表示事件每箱含0 只次品解
质性 1 P( ∅) = 0 .
质有个件 1 2 , n 两斥性 2设限事 A , A ,… A 两互 ,则
P( A + A +L A ) = P( A ) + P( A ) +L P( A ) . + n + 1 2 1 2 n
质件A 性 3 对任事于何件 ,有
) P( A) =1− P( A .
☆ 将伯努利试验E独立地重复地进行n次 ,则称将伯努利试验E独立地重复地进行次
这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 . 这一串重复的独立试验为重伯努利试验重复的独立试验为
试验中恰好成功k次的概率 ☆ n重Bernoulli 试验中恰好成功次的概率重
k b(k; n, p) = Cn pk qn−k , k = 0,1,2,Ln
概率论
六、全概率公式和Bayes公式全概率公式和Bayes Bayes公式
每一原因B 每一原因 i发生的概率 P(Bi)已知，其对结果的已知，已知其对结果A的影响程度P(A|Bi)已知影响程度已知
B3 B1 B5
A
B4 B6 B8 B7
B2
由原因B 推结果A: 由原因 i推结果由结果A推原因由结果推原因Bi : 推原因
已知：已知：
概率论
P(B ) = 0.6, P(B ) = 0.4 1 2
P(AB ) = 0.2, P(AB ) = 0.1 1 2
P(A = P(B )P(AB ) + P(B )P(AB ) ) 1 1 2 2 = 0.16 P(B )P(AB ) 3 1 1 P(B A = ) = , 1 P(A ) 4
分组分配
练习2 个男孩个男孩，个女孩个女孩（练习 n个男孩，m个女孩（m≤n+1) （1）随机排成一列）（2）围成一圈，）围成一圈，设事件A表示任意两个女孩都不相邻，设事件表示任意两个女孩都不相邻，求P(A) 表示任意两个女孩都不相邻
概率论
解：(1) 将n+m个人排列，共有N=(n+m)!种不同排法个人排列，共有种不同排法. 个人排列种不同排法对于事件A，先排男孩，共有种方法插空排女孩，种方法，对于事件，先排男孩，共有n!种方法，插空排女孩， m 共有 Cn+1m ! +
) P( A =
P B 则 (A ) =
) 2. 若 ( A∪B) = 0.9, P(B) = 0.51, P(B A = 0.35, P
A. 0.16 ； B. 0.18 ； C. 0.21 ； D. 0.23
2 3
概率论
三.古典概型
若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件： (1) 它的样本空间只有有限多个样本点；它的样本空间只有有限多个样本点； (2) 每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同. 称这种试验为等可能随机试验或古典概型称这种试验为等可能随机试验或古典概型. 等可能随机试验古典概型中事件A的概率的计算公式古典概型中事件的概率的计算公式 :
P( A) =
(n+ m)!
m Cn+1m !
.
概率论
（2）排成一圈时，若仍按排成一）排成一圈时，当首尾都是女孩时就相邻了。列，当首尾都是女孩时就相邻了。由对称性，由对称性，可固定一个起始位置，个起始位置，为便于计算事件 A，以男孩作，为起始位置，为起始位置，剩下的 n+m-1个人归结为直线个人归结为直线排列的情况
积事
差
概率论
A
B S
A
B S
A
B S
熟练掌握事件的关系和运算，用简单事件表示复杂事件熟练掌握事件的关系和运算，
A
B S
A B S
A B S
二、概率
1. 概率的定义：概率的定义：
概率论
我们介绍了概率定义的几种学派：我们介绍了概率定义的几种学派：概率统计定义、古典定义、几何概率、主观概率，定义、古典定义、几何概率、主观概率，最终给出了举世公认的概率的公理化定义。给出了举世公认的概率的公理化定义。
58 12 P(A = ) 10 4
双中取1双从5双中取双，从剩双中取只中取2只下的 8只中取只只中取错在同样的“ 只配成两错在同样的“4只配成两算了两次. 双”算了两次
概率论
箱中摸球
分球入箱
随机取数是常见的几种模型 .
概率论
第一章概率论的基本概念
概率论
一、重点与难点
1.重点
随机事件的概念古典概型的概率计算方法概率的加法公式条件概率和乘法公式的应用全概率公式和贝叶斯公式的应用
2.难点
古典概型的概率计算全概率公式的应用
概率论
概率论的基本概念
事件
概率
概率论
一、事件
事件间的关系与事件的运算四种关系包含关系系系系关关关件件相等斥立事事件互对和三种运算
P( A∪B∪C) = P( A + P( B) + P(C) − P( A ) ) B
− P( A ) − P( B ) + P( A C) C C B
A 、 B 独立时 P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A) P ( B )
概率论
利用概率性质计算概率
1 1. A B 立 A B 不生概为、独，、都发的率 9 P(A ) = P(B ),则 B A
质性 4 设A B为事 ,且A⊃ B,则、两件 ) ) P( A− B) = P( A − P( B) 并 P( A ≥ P( B) . 且
概率论
) 质性 5 对任事 A,都 P( A ≤1. 于一件有
性 6 设A B为意个件,则质 , 任两事
) P( A∪B) = P( A + P( B) − P( A ) B
A包的本件含基事数 P( A) = S中基事总的本件数
概率论