1.4角平分线(2)
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
1.4 角平分线同步培优练习题(含答案解析) (2)
1.4 角平分线同步培优练习题一．选择题（共10小题）1．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）A．8.5B．15C．17D．342．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．43．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝20，CD＝6，若∠C＝90°，则△ABD面积是（）A．120B．80C．60D．405．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE＝∠DBF B．DE＝DF C．2DF＝DB D．∠BDE＝∠BDF 6．如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（）A．30°B．45°C．60°D．50°7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定8．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三边的垂直平分线的交点9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC 的面积是（）A．3B．4C．5D．610．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）11．如图，点O在△ABC内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝．12．如图，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的面积是30，则OD＝．13．如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD的长为．14．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝度．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，角平分线AE与BF相交于点O，则点O到斜边AB的距离为．三．解答题（共7小题）16．在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，请解答下列问题：（1）若AD＝2cm，则D点到BC边的距离是．（2）若BC＝7cm，则△CDE的周长为．（3）连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由．17．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．18．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．19．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．（1）求证：BD＝2CD；（2）若CD＝2，求△ABD的面积．20．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．21．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝°②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．22．证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，，．求证：．（请你补全已知和求证）（2）写出证明过程．参考答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可．【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，∴点O到△ABC各边的距离相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴点O到△ABC各边的距离为4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周长为17．故选：C．2．【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC＝8，再利用角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，利用面积法得到10x＝6（8﹣x），然后解方程即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC＝＝8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝DE•AB＝AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故选：C．3．【分析】过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得解．【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵BD、CE是△ABC的外角平分线，∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH，∵点P到AC的距离为4，∴PH＝4，即点P到AB的距离为4．故选：A．4．【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝6，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝6，∴△ABD面积＝，故选：C．5．【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE＝∠DBF，∠BDE＝∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．6．【分析】由角平分线性质定理的逆定理和角的和差直接求出∠AOB的度数为60°．【解答】解：如图所示：∵点P在∠AOB的内部，PM⊥AO，PN⊥OB，PM＝PN，∴点P在∠AOB的角平分线上，∴OC平分∠AOB，∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°，故选：C．7．【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．8．【分析】根据角平分线的性质解答．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的三条角平分线的交点，故选：B．9．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据（1）中所求S△ACD＝3列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE＝DF＝2．∴S△ACD＝AC•DF＝×3×2＝3，故选：A．10．【分析】如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得PB是∠ABC的平分线，由△P AN≌△P AH，△PCM≌△PCH，推出∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，由∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，推出∠APC＝∠MPN＝60°，由∠BPN＝∠CP A＝60°，推出∠CPB＝∠APN＝∠APH即可一一判断．【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．∵∠P AH＝∠P AN，PN⊥AD，PH⊥AC，∴PN＝PH，同理PM＝PH，∴PN＝PM，∴PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，故①正确，∵在Rt△P AH和Rt△P AN中，，∴△P AN≌△P AH，同理可证，△PCM≌△PCH，∴∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，∵∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠APC＝∠MPN＝60°，故②正确，在Rt△PBN中，∵∠PBN＝30°，∴PB＝2PN＝2PH，故③正确，∵∠BPN＝∠CP A＝60°，∴∠CPB＝∠APN＝∠APH，故④正确．二．填空题（共5小题）11．【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣2×（180°﹣∠BOC）＝180°﹣2×（180°﹣130°）＝80°，故答案为：80°．12．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×OD＝×20×OD＝30，解得：OD＝3，故答案为：313．【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE＝3，根据角平分线的性质即可证得PD＝PE＝3．【解答】解：过P作PE⊥OB，∵∠AOP＝∠BOP，∠AOB＝45°，∴∠AOP＝∠BOP＝22.5°，∵PC∥OA，∴∠OPC＝∠AOP＝22.5°，∴∠PCE＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝PC＝×6＝3，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE＝3，故答案为3．14．【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．故答案为：9015．【分析】利用勾股定理列式求出BC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O 到△ABC三边的距离相等，设为h，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵角平分线AE与BF相交于点O，∴点O到△ABC三边的距离相等，设为h，则S△ABC＝（10+6+8）h＝×6×8，解得h＝2，即点O到斜边AB的距离为2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；（2）证明△ABD≌△EBD，得到BA＝BE，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的判定定理解答．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝2cm，故答案为：2cm；（2）在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴BA＝BE，△CDE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD+CE＝AC+CE＝AB+CE＝BE+CE＝BC＝7cm，故答案为：7cm；（3）∵DA＝DE，BA＝BE，∴BD⊥AE．17．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．18．【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴CD＝DE又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴点D到AB的距离为2.6cm．19．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE＝CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；（2）依据AD＝BD＝2CD＝4，即可得到Rt△ACD中，AC＝＝2，再根据△ABD的面积＝×BD×AC进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴DE＝CD，又∵∠B＝30°，∴Rt△BDE中，DE＝BD，∴BD＝2DE＝2CD；（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝4，∴Rt△ACD中，AC＝＝2，∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．20．【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．21．【分析】（1）①先根据∠A+∠D＝180°得AB∥CD，可得∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线和三角形的内角和可得结论；②先根据同角的余角可得：∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，可得结论；（2）如图2，延长BF交于点M，根据四边形的内角和定理和邻补角的性质可得∠DCF ＝∠EMF，根据三角形的内角和定理得∠FEM＝∠CBF，同理得∠FEM＝∠ABF，从而得结论．【解答】解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，∴∠CBF＝，∠BCF＝，∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，∴∠BFC＝90°；故答案为：90②∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCF，∴∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，延长BF交于点M，∵∠BFC＝∠D，∠BFC+∠CFM＝180°，∴∠CFM+∠D＝180°，∴∠FMD+∠DCF＝180°，∵∠FMD+∠EMF＝180°，∴∠DCF＝∠EMF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠BCF＝∠EMF，∵∠EFM＝∠BFC，∴∠FEM＝∠CBF，∵∠CFB＝∠A，同理得∠FEM＝∠ABF，∴∠ABF＝∠CBF∴BF平分∠ABC．22．【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证；（2）证明△OPD≌△OPE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】解：（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD＝PE，故答案为：PD⊥OA于D；PE⊥OB于E；PD＝PE；（2）证明：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD＝PE．。
1_4_2角平分线(二)
白银市三中导学案学科：数学 年级：八 主备人：曾万军 教研组长： 教务处： 上课时间：2014 年3 月12日 学生姓名：课题 1.4.2角平分线（二） 课时2课型二、合作交流1. 证明 三角形三条角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这个点到三条边的距离相等. 已知： 求证： 证明：三边垂直平分线 三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点 交于三角形内一点钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点交点性质 到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等“距离”的区别两点之间的距离 点到直线的距离学 习 目 标 1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论． 2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活使用． 3.提升综合使用数学知识和方法解决问题的水平． 重 难 点教学重点1.三角形三个内角的平分线的性质．2.综合使用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题．教学难点角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．一、自主预习1、如图：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足为C ，D 。
求证：（1）OC=OD ，（2）DF=CF 。
OFEDCBA三、展示拓展[例3]如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．四、检测反馈1、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC ，则∠ABC 的度数是 .2、在△ABC 中，AB=AC ，∠A=50°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ， 垂足为E ，则∠DBC 的度数是 .3、如图，已知点C 是∠AOB 的平分线上一点，点P 、P′分别在边OA 、OB 上. 假如要得到OP=O P′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能 的结果的序号为____________：①∠OCP=∠OC P′ ②∠OPC=∠OP′C ； ③PC=P′C ； ④PP′⊥OC4、如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。
1.4角平分线(教案)
同学们，今天我们将要学习的是《角平分线》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将角平均分成两个相等角的情况？”比如，在剪纸或拼图时，我们可能需要这样的技巧。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索角平分线的奥秘。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解角平分线的基本概念。角平分线是通过角的顶点，将角分成两个相等角的射线。它在几何图形的分割和证明中有着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用角平分线来解决实际问题，以及它如何帮助我们解决几何问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调角平分线的定义和性质这两个重点。对于难点部分，比如性质的应用，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
此外，课后我对学生的作业进行了批改，发现他们在解题过程中对角平分线的应用还不够熟练。为了帮助他们巩固知识点，我计划在下一节课开始时，对一些典型的错误进行讲解，让学生明白自己错在哪里，如何改正。
另外，小组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是因为他们对讨论主题不够感兴趣或者不知道如何表达自己的观点。针对这个问题，我打算在下次课中尝试引入一些生活化的例子，激发学生的兴趣，并引导他们如何进行有效讨论。同时，我也会鼓励学生多与同伴交流，培养他们的团队协作能力。
在学生小组讨论的引导过程中，我意识到提问技巧的重要性。提出的问题既要能够启发学生思考，又要具有一定的开放性，让学生有足够的空间发挥。在今后的教学中，我会更加注意问题的设计，努力提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
首先，我意识到在讲解角平分线性质时，需要更多地结合实际例子来帮助学生理解。例如，在证明角平分线上的点到角的两边距离相等时，我可以准备一些具体的图形，让学生观察、测量并自己推导出这个性质。这样既能提高他们的几何直观能力，也能加深对性质的理解。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。
但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。
提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。
5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
学生分组讨论，教师巡回指导。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。
1.4角平分线(2)
思 考 分 析
N
D P
F
M
）
E
C
三角形角平分线的性质定理
定理：三角形的三条角平分线相 交于一点，并且这一点到三条边的距 离相等．
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分 线的性质定理
三边垂直平分线 锐角三角形 交于三角形内一点 三条角平分线
三角 形
交于三角形内 钝角三角形 交于三角形外一点 一点 直角三角形 交于斜边的中点
复习
1.角平分线的性质定理 角平分线上的点到叫两边的距离相等
2.角平分线的逆定理 在一个角的内部,到角两边距离相等的 点,在这个角的平分线上
作三角形的三个内角的角平分线，你发现
了什么？ 发现：三角形的三个内角的
角平分线交于一点．这一点
到三角形三边的距离相等．
你能证明所发现的这个命题吗？ 找出命题中的条件和结论
M
思 考 分 析
C
命题：三角形的三条角平分线相交于一点； 并且这一点到三条边的距离相等．
已知：如图，△ABC的角平分线BM、 CN相交于点P， 过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， PE⊥BC，垂足分别为D、 F 、 E 求证：∠A的角平分线经过点P． 且PD=PE=PF
A
证明：∵BM是∠ABC的角平分线,点P在 BM上， PD⊥AB，PE⊥BC ∴PD=PE（ ） 同理：PE=PF． ∴PD=PE=PF． B ∴点P在∠A的平分线上（ 即：∠A的角平分线经过点P．
交点性质 到三角形三个顶点 到三角形三边 的距离相等 的距离相等
例2、如图,在△ABC中,已 知 AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC的角平线 ,DE⊥AB,垂足为E.
(
A
E
1)如果CD=4cm, 求AC的长;
北师大版(新)初中数学八年级下册 1,4角平分线 第二课时【优质课件】
1 已知△ABC，求作一点P，使P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB.下列确定P 点的方法正确的是( B ) A．P 为∠A 与∠B 的平分线的交点 B．P 为∠A 的平分线与AB 的垂直平分线的交点 C．P 为AC，AB 两边上的高的交点 D．P 为AC，AB 两边的垂直平分线的交点
2 如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市．张、李两村 坐落在两相交公路内．超市的位置应满足下列条件：(1)使其 到两公路的距离相等；(2)为了方便群众，超市到两村的距离 之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置．
证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点P 在BM上，且PD丄AB，PE 丄BC，垂足分别为D，E， ∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理，PE＝PF． ∴PD＝PE＝PF. ∴点P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上)，即∠A 的平分线经过点P.
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
A
E
C
D
B
(1) 解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC丄AC，DE丄AB 垂足为E， ∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC＝BC，∴ ∠B＝∠BAC， (等边对等角). ∵ ∠C＝90°， ∴ B＝1 90＝45 . ∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
FEM＝FDN，
在△FEM 与△FDN 中， EMF＝DNF，
∴△FEM ≌ △FDN.
FM＝FN，
∴FE＝FD.
2 在△ABC 内到三条边距离相等的点是△ABC 的( B )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高的交点 D．以上均不对
3 到三角形三边距离相等的点的个数是( D )
1.4角平分线(2)
初三数学导学稿 （初三年级）一、课前自主思考：习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?二、探究活动：（一）师生探究，合作交流 1.已知：如图，设△ABC 的角平分线．BM 、CN 相交于点P ，证明：P 点在∠B AC 的角平分线上．三角形角平分线的性质定理 ：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．．（二）小组交流，合作解决１. 如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．2.已知：如图，P 是么AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：(1)OC=OD ；(2)OP 是CD 的垂直平分线．P DAE COBD FEM NC BA PADBEC三、课堂小结：1.通过今天的学习，同学们有何收获？还有那些疑惑？2.你认为老师上课过程中还有那些需要注意或改进的地方？3.预习时候的疑难解决了吗？四、自我检测：1.三角形的三条角平分线相交于一点，这点叫做三角形的 ，并且这点 到 的距离相等.2.（1）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE=3，BD=5，则BC= .（2）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB 于E ，且DE=3，BE=4，则BC= .（3）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB 于E ，且BC=8，BE=4，则DE= .EDCAOCB A PC A E DB2题图 3题图 5题图3.如图，在△ABC 中，∠BA C =80°，∠ACB 和∠ABC 的平分线相交于点O ，连接OA ，则∠OAC= ，∠BOC= .4.到三角形三边距离相等的点是（ ）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点；D.不能确定. 5.如图，已知点P 到BE 、BD 、AC 的距离恰好相等，则点P 的位置：（1）在∠B 的平分线上；（2）在∠DAC 的平分线上；（3）在∠ECA 的平分线上；（4）恰是∠B 、∠DAC 、∠ECA 三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 6.已知：△ABC 的周长为15，OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD=23，求△ABC 的面积.DOCBA7.在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC 且交AC 于D.（1）若∠BAC =30°，求证：AD=BD.（2）若AP 平分∠BAC ，且交BD 于点P ，求∠BP A 的度数.PD C B A五、课后反思：。
八年级数学下册 1.4 角平分线 角平分线的性质定理和判定定理指的是什么素材 (新版)北师大版
角平分线的性质定理和判定定理指的是什么？
难易度：★★★★
关键词：角平分线 -角平分线的性质定理和判定定理
答案：
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这角的平分线上。
【举一反三】
典题：在下列空格内填上正确或错误：
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
（3）角的平分线是到角两边距离相等的点的集合．
（4）角平分线是角的对称轴．
思路导引：此题主要考查角平分线的性质以及逆定理，还要注意角平分线是射线而不是直线或线段．根据性质定理：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断．
标准答案：
解：答案分别为：正确；正确；正确；错误．
（1）角的平分线上的点到角的两边的距离相等，符合角平分线的性质定理，正确；
（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上，符合角平分线的性质定理的逆定理，正确；
（3）角的平分线是到角两边距离相等的点的集合，符合角平分线的性质定理的逆定理，正确；
（4）因为对称轴是一条直线，而角平分线是射线，所以角平分线是角的对称轴，错误．。
1.4.2角平分线 教案2021-2022学年北师大版八年级数学下册
课题1.4角平分线（2）学习目标1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。
2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。
3.培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。
重点难点重点：角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。
难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。
教法选择自主探究、合作学习课型新授课课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本节设计对学生能力的要求较高，教师要善于利用典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。
教师可以让学生自己证明，自己写出角平分线性质定理的逆命题，并写出已知、求证，写出证明过程，角平分线性质定理中的“距离”是点到线的距离，教学中教师要加以强调。
这样设计教学，既符合教材的逻辑，也符合学生的认知。
课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、复习旧知，探究新知1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE=DF，∠EDB= 60º，则∠EBF= 度，BE= .2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的__________，AE+DE=____.学生回忆角平分线的性质和判定定理的相关知识，自主完成.3.尺规作图：作∠AOB的平分线.学生回忆角平分线尺规作图的作法，在练习本上自主完成.提出要求：尺规作图三角形的三个内角的角平分线，并仔细观察所作的图形，你有什么发现呢?二、设置问题，引入新课问题：通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什出示问题，鼓励学生采用不同方法证明此问题。
并对学生的说理给予肯定.对全班学生做出讲解，并书写证明过程.小组合作，相互讨论，完成所提出的问题.独立思考问题，根据定理写出已知、求证，全班交流.么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．三、合作学习，自主探究（一）探究三角形的的角平分线性质定理并仔细观察所作的三角形的三个内角的角平分线的图形，你发现了什么?学生观察讨论得出结论：“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．提问：你能证明自己发现的结论一定正确吗？请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．证明过程如下：已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点分别做AB、BC、AC的垂线PD、PE、PF,垂足分别为D、E、F.∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE=PF.∴ PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即：∠A的平分线经过点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．归纳总结：三角形角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．几何语言：如图，在△ABC中∵ AE、BF、CN是△ABC的三条角平分线且PD⊥AB、PM⊥AC、 PO ⊥BC(已知)∴ AE、BF、CN相交于一点P且PD=PM=PO(三角形角平分线的性质定理)下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等二、展示思维过程，构建探究平台求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM和角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F.求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.DFEMNC BAP三、例题讲解例 如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB ．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到角两边的距离相等)． ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°，∴∠B=12 ×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)． 在等腰直角三角形BDE 中BD=cm DE 2422=(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=cm )244(+．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt △ACD ≌Rt △AED(HL)∴AC=AE. ∵BE=DE=CD ，∴AB=AE+BE=AC+CD ． 四、巩固练习1.完成课本P31 随堂练习 五、本课小结指导学生理解题意，并疏通证明思路.出示问题，巡查学生完成情况，并个别讲解.对于例题的第一问，着重讲解，并板书解题过程，对做得好的学生给予表扬和鼓励.引导学生完成本节课所学内容的小结.理解题意，并独立思考解题过程小组合作，相互讨论，完成例题。
八年级下册1、4角平分线的性质第2课时三角形的角平分线习题新版湘教版
3．如图，在△ABC 中，O 为△ABC 的三条角平分线的交点， OF⊥AB，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 F，D，E，且 AB＝10 cm，BC＝8 cm， AC＝6 cm，则点 O 到三边 AB，BC，AC 的距离分别为( A ) A．2 cm，2 cm，2 cm B．3 cm，3 cm，3 cm C．4 cm，4 cm，4 cm D．2 cm，3 cm，5 cm
如果 AB＝8，BC＝12，△ABG 的面积为 18，则△CBG 的面 积为__2_7_____． 【点拨】易知 BG 为∠ABC 的平分线，如图， 过 G 作 GH⊥BC 于点 H，作 GM⊥AB 于点 M，则 GM＝GH. ∵△ABG 的面积为 18， ∴12AB·GM＝18.∴GM＝92.∴GH＝92. ∴△CBG 的面积为12BC·GH＝12×12×92＝27.
14．观察、猜想与证明： 在△ABC 中，∠ACB＝2∠B.
(1)如图①，当∠C＝90°，AD 为∠BAC 的平分线时，求证：AB ＝AC＋CD；
证明：过 D 作 DE⊥AB，交 AB 于点 E，如图①所示，易知∠ACB ＝∠AED＝90°. ∵∠ACB＝2∠B，∴∠AED＝2∠B. 又∵∠AED＝∠B＋∠EDB， ∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE. ∵AD 为∠BAC 的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE.∴BE＝DC.
第1章 直角三角形
1.4 角平分线的性质 第2课时 三角形的角平分线
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新知笔记
三边
答案显示
1B
2B
3A
4C
5 27
6 125° 7 B
8D
9C
10 A
11 10
12 见习题 13 见习题 14 见习题
角平分线(1-2)
角平分线(1-2)
§1．4．1 角平分线（一）
教学目标
（一）知识目标
1．角平分线的性质定理的证明。
2．角平分线的判定定理的证明。
3．用尺规作已知角的角平分线。
（二）能力目标
1．进一步发展学生的推理证明意识和推理能力，培养学生将文字语言转化为符号语言，图形语言的能力。
2．体验解决问题策略的数学思想方法，提高实践能力。
教学重点
1．角平分线的性质和判定定理的证明。
2．用尺规作已知角的角平分线并说明理由。
教学难点
1．正确地表述角平分线性质定理的逆命题。
2．正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明。
教学过程
1、创设问题情境：
〖思考与探索〗有一种蜘蛛网的主网线是它相邻的主网线构成的角平分线(如图)，如果蜘蛛在∠AOB 平分线OC 上一点P 处,为尽快爬到OA 或OB 上控制猎物,它应该选择什幺路线,两条路线长度关系怎样?。
2021北师大版八年级数学下册角平分线(二) 练习题含答案
北师大版八年级数学下册第一章1.4.2 角平分线(二) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，点P到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BPC＝_____．2．如图，在△ABC中，∠A＝90°， BD平分∠ABC，AD＝2 cm，AB＋BC＝8，则S＝_____．△ABC3．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝20°，则∠PCA＝_____．4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，对角线BD⊥CD，P是BC 边上一动点，连接PD.若∠ADB＝∠C，则PD长的最小值为_____．二、选择题5．如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝10 cm，DE＝8 cm，则AC＝ ) A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm6．下列命题中，假命题是( )A．三角形的三条角平分线交于一点B．在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个C．三角形的一顶点与另外两内角平分线的交点的连线一定平分三角形的这个内角D．在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个7．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC，交AB 于点E，则下列结论一定正确的是( )A．AE＝BE B．DB＝DE C．AE＝BD D．∠BCE＝∠ACE8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点C为圆心，小于BC长为半径画弧分别与AC，BC边交于点F，E.分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点N.若BC＝3，则点M到AC 的距离是( )A．1 B. 3 C.33D．3三、解答题9．(1)如图，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB，AC交叉区域内建一个仓库P，使点P到两条道路的距离相等，且PM＝PN.你能设计出点P的位置吗？(2)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD ⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.①若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离；②求证：点P在∠HAC的平分线上．10．如图，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF, BD ＝CD.求证：AD平分∠BAC.B组(中档题)四、填空题11．如图，△ABC的两个外角平分线交于点P，则下列结论正确的是_____．(填序号)①PA＝PC；②BP平分∠ABC；③点P到AB，BC的距离相等；④BP平分∠APC.12．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO ∶S△BCO∶S△CAO＝_____．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，BC＝BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为_____．五、解答题14．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，连接DE，DF⊥BC于点F，求∠EDC的度数．C组(综合题)15．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过点A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG.(1)求证：GA平分∠DGB；(2)若S四边形DGBA ＝6，AF＝32，求FG的长．参考答案A组(基础题)一、填空题1．如图，点P到△ABC三边的距离相等，∠A＝40°，则∠BPC＝110°．2．如图，在△ABC中，∠A＝90°， BD平分∠ABC，AD＝2 cm，AB＋BC＝8，则S＝8_cm2．△ABC3．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝20°，则∠PCA＝45°.4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝8，对角线BD⊥CD，P是BC 边上一动点，连接PD.若∠ADB＝∠C，则PD长的最小值为8．二、选择题5．如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝10 cm，DE＝8 cm，则AC＝(C)A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．20 cm6．下列命题中，假命题是(D)A．三角形的三条角平分线交于一点B．在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个C．三角形的一顶点与另外两内角平分线的交点的连线一定平分三角形的这个内角D．在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个7．如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC，交AB 于点E，则下列结论一定正确的是(D)A．AE＝BE B．DB＝DE C．AE＝BD D．∠BCE＝∠ACE8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以点C为圆心，小于BC长为半径画弧分别与AC，BC边交于点F，E.分别以点E，F为圆心，大于12EF长为半径画弧，两弧交于点N.若BC＝3，则点M到AC 的距离是(A)A．1 B. 3 C.33D．3三、解答题9．(1)如图，M，N是一个总厂的两个分厂，现要在道路AB，AC交叉区域内建一个仓库P，使点P到两条道路的距离相等，且PM＝PN.你能设计出点P的位置吗？解：如图，点P为∠BAC的平分线与线段MN的垂直平分线的交点．(2)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD ⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.①若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离；②求证：点P在∠HAC的平分线上．解：①过点P 作PF ⊥BE 于点F ， ∵BP 平分∠ABC ，PH ⊥BA ，PF ⊥BE ， ∴PH ＝PF ＝5 cm.∴点P 到直线BC 的距离为5 cm. ②证明：连接AP.∵CP 平分∠ACE ，PD ⊥AC ，PF ⊥BE ， ∴PF ＝PD. ∴PD ＝PH.∴AP 平分∠HAD ，即点P 在∠HAC 的平分线上．10．如图，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF, BD ＝CD.求证：AD 平分∠BAC.证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠CFD ＝90°. 在Rt △BDE 和Rt △CDF 中， ⎩⎨⎧BE ＝CF ，BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)．∴DE ＝DF. 又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴AD 平分∠BAC.B 组(中档题)四、填空题 11．如图，△ABC 的两个外角平分线交于点P ，则下列结论正确的是②③．(填序号)①PA ＝PC ；②BP 平分∠ABC ；③点P 到AB ，BC 的距离相等；④BP 平分∠APC.12．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在边AB 上，BC ＝BD ，DE ⊥AB 交AC 于点E ，△ABC 的周长为12，△ADE 的周长为6，则BC 的长为3．五、解答题14．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，连接DE，DF⊥BC于点F，求∠EDC的度数．解：过点D作DM⊥AC交CA的延长线于点M，DN⊥AE于点N.∵CD平分∠ACB，DF⊥BC，∴DF＝DM.∵∠BAC＝120°，∴∠DAM＝60°.∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝60°.∴∠DAM＝∠BAE.∴DM＝DN，DN＝DF.∵DF⊥BC，∴ED平分∠AEB.∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∴∠AEB＝90°.∴∠DEF＝45°.∵∠B＝∠ACB＝30°，∴∠DCF＝15°.∴∠EDC＝30°.C组(综合题)15．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过点A作AF⊥DE，垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG.(1)求证：GA平分∠DGB；(2)若S四边形DGBA ＝6，AF＝32，求FG的长．解：(1)证明：过点A作AH⊥BC于点H，∵在△ABC和△ADE中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，∴△ADE≌△ABC(SAS)．∴S△ADE ＝S△ABC.∴12DE·AF＝12BC·AH.∴AF＝AH.∴点A在∠DGB的平分线上，即GA平分∠DGB.(2)∵△ADE≌△ABC，∴AD＝AB.又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，∴Rt△ADF≌Rt△ABH(HL)．∴S四边形DGBA ＝S四边形AFGH＝6.易证Rt△AFG≌Rt△AHG，∴S△AFG＝3.∵AF＝3 2 .∴12×FG×32＝3，解得FG＝4.。
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
第一章 角平分线习题汇总2
是题库不是教案第一章1.4角平分线2一、角平分线性质与判定1．如图，ABC ∠，ACB ∠的平分线相交于F ，过点F 作//DE BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，连接AF ，那么下列结论正确的是（ ）①,BDF CEF 都是等腰三角形；②1902BFC BAC ∠=+∠ ③ADE 的周长为+AB AC ；④AF 平分BAC ∠．A ．①③④B ．①②③C ．①②③④D ．②③④ 2．如图，在△ABC 中，BF 、CF 分别平分∠ABC 和∠ACB ，过点F 作EG ∥BC 分别交于点AB 、AC 于点E 、G ．若AB =9，BC =10，AC =11，则△AEG 的周长为（ ）A ．15B ．20C ．21D ．193．如图所示，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 于点E ，交AC 于点E ．若AB+AC=20，可求得△AEF 的周长为________．4．已知，ABC ∆中，9AB =，7BC =，8AC =，点O 是ABC ∆的三个内角的角平分线的交点，AOB S ∆、BOC S ∆、AOC S ∆分别表示AOB ∆、BOC ∆、AOC ∆的面积，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆=__________．5．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D ，过点D 作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ．若2BE =，3CF =，求线段EF 的长．6．如图，ABC 中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过O 作EF BC ∥交AB ，AC 于E ，F ．若ABC 的周长比AEF 的周长大12cm ，O 到AB 的距离为3cm ，则OBC 的面积为__________2cm ．7．如图，在ABC 中，AB AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线分别交于点O ，过O 点作//MN BC ，分别交AB 、AC 于点M 、N ．（1）求证：AMN 是等腰三角形；（2）求证：2MN BM =8．如图，点O 是△ABC 中∠BCA ，∠ABC 的平分线的交点，已知△ABC 的面积是12，周长是8，则点O 到边BC 的距离是（ ）是题库不是教案A ．1B ．2C ．3D ．49．如图，在ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线， DE AB ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，ABC ∆面积是228,16,12cm AB cm AC cm ==，则DE 的长为( )A ．2B ．2.4C ．3D ．3.2 10．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．11．已知，如图，ABC 中，90C ∠=︒，点O 为ABC 的三条角平分线的交点，OD 垂直BC ，OE AC ⊥，OF AB ⊥，点D 、E 、F 分别是垂足，且10cm AB =，8cm BC =，6cm CA =，则OF =__________．12．如图，OP 平分AOB ∠，15AOP ∠=︒，PC OB ∕∕，PD OB ⊥于点D ，4PD =，则PC 等于____．13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D ，E ，F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则OD 的长度为________cm.14．如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，且BC=4，DE=2，则△BCD 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．8D ．6 15．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，O 为ABC ∆角平分线的交点，若ABO ∆的面积为20，则ACO ∆的面积为是（ ）A ．12B ．15C ．16D ．1816．如图，ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将ABC ∆分成3个三角形，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆=（ ）A ．3:2:4B ．1:1:1C ．2:3:4D ．4:3:2 17．如图，,AO BO 分别平分,CAB CBA ∠∠，且点O 到AB 的距离 2 OD cm =，ABC 的周长为28cm ，则ABC 的面积等于( )是题库不是教案A ．27cmB ．214cmC ．221cmD ．228cm 18．如图所示，已知点P 是△ABC 三条角平分线的交点，PD ⊥AB ，若PD =5，△ABC 的周长为20，求△ABC 的面积．19．如图，在△ABC 中，点D 为边AC 上的一点，BD ＝BC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，且 DE 平分∠BDC ．求证：AD ＝BC ．20．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．21．如图，△ABC 中，AB =4cm ，BC =AC =5cm ，BD ，CD 分别平分∠ABC ，∠ACB ，点D 到AC 的距离是1cm ，则△ABC 的面积是_____．22．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为14，12，8，其三条角平分线的交点为O ，则::ABO BCO CAO S S S =_____．23．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别为30、40、50．其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO =______ 。
最新北师大版八年级下册数学精品课件 1.4 第2课时 三角形三条内角的平分线
N
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
B
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
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A D
P
E
F M
C
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
的三条角平分线有什么关系？
A
点P在∠A的平分线上.
D
N
F
P
M
B
导入新课
情境引入
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、 BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标
出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
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讲授新课
一 三角形的内角平分线 活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线， 你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝1 ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝1
2
2
∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
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A
（2）证明：由（1）的求解过程易知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
C ∴AC=AE. ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD.
E
D
B
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例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，
1.4角平分线的性质(2)
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
E
F D
B
C
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
例3：在△ABC中AC=BC，∠C=900，AD是△ABC 的角平 分线，DE⊥AB，垂足为E （1）已知CD=4cm,求AC的长 （2）求证：AB=AC+CD
练习巩固
练习巩固：1、课本29页随堂练习 2、课本30页 1、2、3、4题
练习巩固：1、课本29页随堂练习 2、课本30页 1、2、3、4题
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
1、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
2、角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、 线段相等的新途径.
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M D C F A E B N
第一章
等腰三角形
1.4 角平分线 （第2课时）
1.角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述：
∵ OC是∠AOB的平分线 ∴ PD＝PE PD⊥OA，PE⊥OB
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课题：§1.4 角平分线 （第2课时） 第 1 页 共 4 页
课题：§1.4角平分线（第2课时）
【学习目标】
1 .进一步加强学生推理证明的能力；
2. 能够证明三角形的三条角平分线相交于一点的定理；
3. 初步掌握综合运用多个定理解决有关问题的思路和方法.
【学习重难点】
重点：了解三角形的三个内角的平分线交点与三边的位置关系.
难点：能够运用角平分线的性质定理、判定定理及其有关定理解决实际问题.
【学前准备】
1.上课时要带来圆规、直尺、直角三角板.
2.上节课我们学习了角平分线的什么定理？
3.已知：如图，四边形ABCD 中,AB=AD,AB ⊥BC ， AD ⊥DC ．
求证：点C 在∠DAB 的平分线上．
【自学探究】
三角形三边的垂直平分线的位置关系有什么定理?它是如何证明的？用类似的方法能够证明三角形的角平分线相交于一点吗？
如图，设△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E ，F ，D.
求证：△ABC 的三条角平分线交于一点.
所以我们得到了三角形的三条角平分线性质定理： 三角形的三条角平分线 ，并且
【师生合作】
例1：如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠A=90°，BD 是△ABC 的角平分线，
DE ⊥AB ，垂足为E.
A B C D
课题：§1.4 角平分线 （第2课时） 第 2 页 共 4 页
（1）已知：CD=4cm ，求AB 的长.
（2）求证：BC=AB+AD.
例2．如图，△ABC 中，∠B 、∠C 的角平分线相交于O ，
下面结论中正确的是（ ）． （A ）∠1＞∠2（B ）∠1=∠2（C ）∠1＜∠2（D ）不能确定．
例3.如图，已知∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC
.求证：∠1=∠2.
【课堂练习】
一、选择题
1.三角形中，到三边距离相等的点是（ ）
A.三条高线交点
B.三条中线交点
C.三条角平分线的交点
D.三边的垂直平分线的交点
2.已知：如图3，△ABC 中，∠C = 90°，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB = 10cm ，BC = 8cm ，CA = 6cm ，则点O 到三边AB ，AC 和BC 的距离分别等于（ ）
cm
B C
A. 2、2、2 B .3、3、3
C. 4、4、4 D 2、3、5
3.如图2，在中，的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P.过点
P作AB、AC（或延长线）的垂线，垂足分别是M、N.求证：BM=CN.
4. 已知：如下图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.
.
求证：（1）OC=OD. （2）OP是CD的垂直平分线
【课堂小结】
【作业】课本P39页习题1、2、3.
1、
课题：§1.4 角平分线（第2课时）第3 页共4 页
2、
3、
课题：§1.4 角平分线（第2课时）第4 页共4 页。