简单几何体的面积与体积
常见几何体的表面积体积公式
常见几何体的表面积体积公式1、长方体V：体积s：面积a：长b：宽h：高(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 {S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高（V=abh）2、圆柱体v：体积h：高s;底面积r：底面半径c：底面周长(1)侧面积=底面周长×高(2)表面积=侧面积+底面积×2(3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径3、圆锥体v：体积h：高s;底面积r：底面半径体积=底面积×高÷34、正方体V：体积s：面积a：边长体积：边长×边长×边长扩展资料周长：1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4（C=4a）面积=边长×边长（S=a×a）2、长方形C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2（C=2(a+b)）面积=长×宽（S=ab）3、三角形s面积a底h高面积=底×高÷2（s=ah÷2）三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高4、平行四边形s面积a底h高面积=底×高（s=ah）5、梯形s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2（s=(a+b)×h÷2）6、圆形S面积C周长πd=直径r=半径(1)周长=直径×π=2×π×半径（C=πd=2πr）(2)面积=半径×半径×π。
8.3简单几何体的表面积和体积说课稿2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修二
《简单几何体的表面积与体积》说课稿各位老师，大家好：今天我说课的内容是《简单几何体的表面积与体积》。
本节位于必修课程主题三几何与代数对应立体几何初步这一单元。
本节之前从形的角度认识了空间几何体，接下来将从度量的角度进一步认识空间几何体。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学分析、教学评价等六方面加以分析和说明。
一、说教材分析。
1. 内容结构：2.内容分析：本节主要内容是简单几何体的表面积和体积的计算方法，是在前面学习了基本立体图形的分类、概念、结构特征、平面表示的基础上，从度量的角度进一步认识简单几何体．也是研究生产、生活中更复杂形状的物体的表面积和体积的基础。
本节内容包括棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．3.育人价值：在实际教学过程中，在对简单几何体的表面积与体积公式的了解与使用公式解决简单的实际问题过程中，提高学生逻辑推理、数学运算、直观想象等素养和空间想象等能力，让学生体会数学来源于生活，激发学习激情。
二、说学情分析。
1.学生在小学、初中阶段已经学习了正方体、长方体、圆柱的表面积和体积以及圆锥体积的计算方法．2.通过之前的学习，学生已经熟悉一些平面图形和空间几何体的互化的思想，尤其是空间几何问题向平面问题的转化。
3.学习圆的面积公式时“分割、近似替代、求和、取极限”这种思想已有体现，现在需要学生进一步体会这种重要思想方法。
三、说教学目标。
目标：1）.掌握简单几何体的表面积和体积公式，并能利用这些公式解决简单的实际问题； 简单几何体的表面积和体积 柱体、椎体、台体的表面积和体积 球的表面积和体积（第三课时） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（第二课时） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(第一课时) 球的体积球的表面积2）.柱体、锥体、台体、球的体积公式的推导过程，掌握探究过程中的类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，并尝试使用这些数学思想方法进行数学学习．目标分析：（1）学生能结合基本立体图形的结构特征掌握简单几何体的表面积和体积公式；能从联系的角度认识柱体、锥体、台体的体积公式的联系。
简单几何体的面积与体积
例2．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=3.（1）求证：顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积.题型2：锥体的体积和表面积例3.在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60 ，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60 ，求四棱锥P－ABCD的体积.例4. 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=55.（1）证明：SC⊥BC；（2）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；（3）求三棱锥的体积V S－AB C.例5．ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？例6.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定题型3：棱台的体积、面积及其综合问题例7. 在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等， 侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是 V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明.题型4：球的体积、表面积例8．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积.例9. 如图，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积.DBAOCEF例10. 如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，P 在球面上，如果 163P ABCD V -=，（1）求球O 的表面积；（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方 体棱长为6，求球的表面积和体积.题型5：球的经纬度、球面距离问题例11. 我国首都靠近北纬40纬线，（1）求北纬40纬线的长度等于多少km ？（地球半径大约为6370km ） （2）在半径为13cm 的球面上有,,A B C 三点，12AB BC AC cm ===，求球心到经过这三点的截面的距离. 随堂练习 （一）选择题1. 如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S2. 已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323B ．283C ．243D ．2033. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．64. 将一个长方体沿从同一个顶点出发的三条棱截去一个棱锥，棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( ) A ．1：2 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：55. 如图，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ､△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为( ) A ．23B ．33 C ．43D ．326. 已知几何体的三视图如图所示，它的表面积是( )A．42+ B．22+C．32+D．6（二）填空题7. 如图，三棱柱111CBAABC-中，若FE,分别为ACAB,的中点，平面11CEB将三棱柱分成体积为21,VV的两部分，那么21VV：= .8.已知三棱柱111CBAABC-的体积为V，E是棱CC1上一点，三棱锥E—ABC的体积是V1，则三棱锥E—A1B1C1 的体积是________.9. 已知某个几何体的三视图如，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是3cm.（三）解答题10. 如图在ABC∆中，若AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积.11.表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，（1）求这个正四棱柱的表面积.（2）正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积.12.在北纬45圈上有,A B两点，设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24Rπ，求,A B两点间的球面距离.家庭作业（一）选择题1. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）A．ππ221+B．ππ441+C．ππ21+D．ππ241+2.如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a′(a′+b=h)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为（）A. 1+ba且a+b>h B. 1+ba且a+b<hC. 1+ab且a+b>h D. 1+ab且a+b<h3. 设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是（）4. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．π29B．π27C．π25D．π235. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．π3 B．π33C．π6 D．π9（二）填空题6. 如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= .7.如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体.8. 已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V=________. （三）解答题9. 在右图所示的几何体中，平面PAC⊥平面ABC，PM∥BC，PA=PC，AC=1，BC=2PM=2，AB=5,若该几何体的侧视图的面积为3.4（1）求证：PA⊥BC；（2）画出该几何体的正视图，并求其面积S；（3）求出多面体A—BMPC的体积V.10. 如图，AA1是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的任意一点，A1A＝AB＝2. （1）求证：BC⊥平面A1AC；（2）求三棱锥A1－ABC的体积的最大值．参考答案 例题讲解例1．解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy ())2(1由（2）的平方得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x2+y2+z2=16，即l2=16，所以l=4(cm).点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系. 例2．解析：（1）如图，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD ，作OM ⊥AB 交AB 于M ， 作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N.由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD.∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA ，∴A 1M=A 1N ，从而OM=ON. ∴点O 在∠BAD 的平分线上. （2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23，∴AO=4cosπAM =223. 又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=. 例3. 解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥ABCD ，得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角， ∠PBO=60°.在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1， 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23. ∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2. 点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积.在能力方面主要考查空间想象能力. 例4. 解：（1）证明：∵∠SAB =∠SAC =90°，∴SA ⊥AB ，SA ⊥A C.又AB ∩AC =A ，∴SA ⊥平面AB C.由于∠ACB =90°，即BC ⊥AC ，由三垂线定理，得SC ⊥BC .（2）解：∵BC ⊥AC ，SC ⊥BC .∴∠SCA 是侧面SCB 与底面ABC 所成二面角的平面角.在Rt △SCB 中，BC =5，SB =55，得SC =22BC SB -=10.在Rt △SAC 中AC =5，SC =10，cos SCA =21105==SC AC ， ∴∠SCA =60°，即侧面SBC 与底面ABC 所成的二面角的大小为60°. （3）解：在Rt △SAC 中，∵SA =755102222=-=-AC SC ， S △ABC =21·AC ·BC =21×5×5=225，∴V S －ABC =31·S △ACB ·SA =631257522531=⨯⨯. 点评：本题较全面地考查了空间点、线、面的位置关系.要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理. 例5. 解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG.设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22， CO ＝344232×=. G O C O G C =+=+=+=222232218422(). 而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2. 由V V B E F G G E F B--=，得16EF GO h ··=13S E F B △·GC点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算. 例6. 解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ， 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC ＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系.例7.（1）解：过B 1C 1作底面ABCD 的垂直平面，交底面于PQ ，过B 1作B 1G ⊥PQ ，垂足为G .如图所示：∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∠A 1B 1C 1=90°， ∴AB ⊥PQ ，AB ⊥B 1P .∴∠B 1PG 为所求二面角的平面角.过C 1作C 1H ⊥PQ ，垂足为H .由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B 1PQC 1为等腰梯形. ∴PG =21（b －d ），又B 1G =h ，∴tan B 1PG =d b h -2（b ＞d ），∴∠B 1PG =arctand b h -2，即所求二面角的大小为arctan db h-2. （2）证明：∵AB ，CD 是矩形ABCD 的一组对边，有AB ∥CD ，又CD 是面ABCD 与面CDEF 的交线，∴AB ∥面CDEF . ∵EF 是面ABFE 与面CDEF 的交线，∴AB ∥EF .∵AB 是平面ABCD 内的一条直线，EF 在平面ABCD 外，∴EF ∥面ABC D. （3）证明：∵a ＞c ，b ＞d ，∴V －V 估=h d b c a d b c a ab cd h 22)224(6+⋅+-+⋅+⋅++ =12h ［2cd +2ab +2（a +c ）（b +d ）－3（a +c ）（b +d ）］=12h （a －c ）（b －d ）＞0. ∴V 估＜V .点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题.考查了考生继续学习的潜能. 例8. 解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴222231()34R R =+， ∴43R =，∴26449S R ππ==. 点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系.例9. 解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ， ∴AB=BC=CA=2a ，且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′. 由正弦定理，得︒60sin 2a =2r ，∴r=36a .又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +.又PO ′=22r PA -=2232a a -=33a ， ∴OO ′=R －33a =d=22r R -，(R －33a )2=R 2 – (36a )2，解得R=23a ， ∴S 球=4πR 2=3πa 2.点评：本题也可用补形法求解.将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a . 例10. 解：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO=R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=， 所以2116233R R ⋅⋅=，R=2， 球O 的表面积是16π.（2）作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径为R ，则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球. 点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素. 例11. 解：（1）如图，A 是北纬40上一点，AK 是它的半径，∴OK AK ⊥， 设C 是北纬40的纬线长，∵40AOB OAK ∠=∠=，∴22cos 2cos 40C AK OA OAK OA πππ=⋅=⋅⋅∠=⋅⋅42 3.1463700.7660 3.06610()km ≈⨯⨯⨯≈⨯所以北纬40纬线长约等于43.06610km ⨯．（2）解：设经过,,A B C 三点的截面为⊙O '，设球心为O ，连结OO '，则OO '⊥平面ABC ，∵32124323AO '=⨯⨯=，∴2211OO OA OA ''=-=， 所以，球心到截面距离为11cm ．随堂练习（一）选择题1. 解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ；2. 解析：正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243， V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B.3. 解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D.4. 解析：设长方体同一顶点引出的三条棱长分别是a ，b ，c ，则棱锥的体积V1=13×12abc=16abc.长方体的体积V=abc ，剩下的几何体的体积为V2=abc-1566abc =abc ，所以V1：V2=1：5，故选D. 5. 解析：将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥.在梯形ABFE 中，易知BN=32， ∴S △BCN=12BC·HN=12×1×22.24=故该几何体体积为24×1+2×1212,3423=⨯⨯选A. 6. 解析：该几何体为直三棱柱，其表面积为2×12×1×1+2×12+2×1=3+2，选C.（二）填空题7. 解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh.∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S ， V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127Sh ，V 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5.点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可.8. 解析：如图，过E 作AC ､BC 的平行线EF ､EG ，分别与AA1､BB1交于F ､G ，连接FG.∵三棱锥E —ABC 的体积是V1，∴三棱柱EFG —CAB 的体积是3V1，∴三棱柱EFG —C1A1B1的体积是V-3V1，∵VE —A1B1C1=13VEFG —C1A1B1， ∴VE —A1B1C1=13 (V-3V1)=3V -V1， 答案：3V -V1 9.解析：该几何体由半个圆柱和一个正方体构成的组合体.其体积为23+12×π×2=(8+π) cm3，答案：8+π （三）解答题 10. 解：如图所示，所得旋转体是两个底面重合的圆锥，高的和为AB=5.底面半径等于CO=125AC BC AB =，所以所得旋转体的表面积 S=π·OC·(AC+BC)=π·125·(3+4)=845π； 其体积V=13·π·OC2·AO+13·π·OC2·BO=13·π·OC2·AB=485π. 评析：求一些组合体的表面积和体积时，首先要弄清楚它由哪些基本几何体构成，再通过轴截面分析和解决问题.11. 解：（1）设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ，则作轴截面如图，14AA '=，2AC a =， 又∵24324R ππ=，∴9R =，∴2282AC AC CC ''=-=， ∴8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表（2）如图，设球O 半径为R ，球O 1的半径为r ，E 为CD 中点，球O 与平面ACD 、BCD切于点F 、G ，球O 1与平面ACD 切于点H .由题设a GE AE AG 3622=-= ∵ △AOF ∽△AEG∴ a R a a R 233663-=，得a R 126= ∵ △AO 1H ∽△AOF∴ R r R a r R a =---36236，得a r 246= ∴ 3331728624634341a a r V O =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ππ球 点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等.12. 解：设北纬45圈的半径为r ，则24r R =，设O '为北纬45圈的圆心，α=∠B AO '， ∴24r R απ=，∴2224R R απ=， ∴2πα=，∴2AB r R ==，∴ABC ∆中，3AOB π∠=，所以，,A B 两点的球面距离等于3R π．点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离. 家庭作业（一）选择题1. 解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr .∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2，∴ππ221+=侧全S S .答案为A. 点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识. 2. 解析：设酒瓶下底面面积为S ，则酒的体积为Sa ，酒瓶的体积为Sa+Sb ，故体积之比为1+,b a 显然有a<a′，又a′+b=h ，故a+b<h.选B.3. 解析：由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时 间的变化是相同的，反映在图象上，选项B 符合题意.故选B.4. 解析：如图所示，该旋转体的体积为圆锥C —ADE 与圆锥B —ADE 体积之差，又∵求得AB =1.∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADE B ADE C V V V ，答案D. 5. 解析：∵S ＝21ab sin θ，∴21a 2sin60°＝3，∴a 2＝4，a ＝2，a =2r ， ∴r ＝1，S 全＝2πr ＋πr 2＝2π＋π＝3π，答案A.（二）填空题6. 解析：水面高度升高r ，则圆柱体积增加πR 2·r .恰好是半径为r 的实心铁球的体积，因此有34πr 3=πR 2r . 故 332=r R .答案为332. 点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力.7. 解析：由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P —ABCD(如图)，其中PD ⊥平面ABCD ， 因此该四棱锥的体积V=13×6×6×6=72，而棱长为6的正方体的体积V=6×6×6=216，故需要216372=个这样 的几何体，才能拼成一个棱长为6的正方体. 答案：3评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力.解决折叠与展开问题时，关键是弄清楚折叠与展开前后，位置关系和数量关系变化的情况，画出准确的图形解决问题.8. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组合体，正方体的体积是1，正四棱锥的体积是2,6故该凸多面体的体积为216+.点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向.（三）解答题9.解：（1）证明：AC=1，BC=2，AB=5，∴AC2+BC2=AB2.∴AC⊥BC.又∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴PA⊥BC.（2）设几何体的正视图如图所示：∵PA=PC，取AC的中点D，连接PD，则PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC，∴PD⊥平面ABC.∴几何体侧视图的面积=12AC·PD=12×1×PD=34.∴PD=32.易知△PAC是边长为1的正三角形.∴正视图的面积是上､下底边长分别为1和2，PD的长为高的直角梯形的面积.∴S=12333.224=⨯+（3）取PC的中点N，连接AN，由△PAC是边长为1的正三角形，可知AN⊥PC，由(1)知BC⊥平面PAC，∴AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM.∴AN是四棱锥A—PCBM的高，且AN=3.2由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC.由PM∥BC，可知四边形PCBM是上､下底边长分别为1和2，PC的长1为高的直角梯形.其面积S′=32，∴V=13S′·AN=3.410. 解：（1）证明：∵C是底面圆周上异于A、B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥AC.∵AA 1⊥平面ABC ，BC平面ABC ，∴AA 1⊥BC . ∵AA 1∩AC ＝A ，AA 1平面AA 1C ，AC 平面AA 1C ，∴BC ⊥平面AA 1C .（2）设AC ＝x ，在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝4－x 2(0＜x ＜2)，故VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13·12·AC ·BC ·AA 1＝13x 4－x 2(0＜x ＜2)， 即VA 1－ABC ＝13x 4－x 2＝13x 2(4－x 2)＝13－(x 2－2)2＋4. ∵0＜x ＜2，0＜x 2＜4，∴当x 2＝2，即x ＝2时，三棱锥A 1－ABC 的体积最大，其最大值为23.。
几何体的体积和表面积
几何体的体积和表面积几何体是我们在数学中经常遇到的概念，它们有不同的形状和尺寸。
在几何学中，我们经常需要计算几何体的体积和表面积，这些计算对于解决实际问题和理解几何属性非常重要。
本文将介绍几何体的体积和表面积的计算方法，以及应用场景。
一、体积的计算体积是用来度量三维物体所占空间的大小。
不同几何体的体积计算方法也不同。
1. 立方体的体积计算立方体是一种具有六个相等面积的正方体。
其体积计算公式为：V= 边长 * 边长 * 边长，其中V表示体积。
例如，一边长为5厘米的立方体的体积为：V = 5厘米 * 5厘米 * 5厘米 = 125立方厘米。
2. 圆柱体的体积计算圆柱体是由一个圆和与圆共面的侧面组成的几何体。
其体积计算公式为：V = π * r² * h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高度。
例如，一个底面半径为3厘米、高度为8厘米的圆柱体的体积为：V = π * 3² * 8 = 72π立方厘米。
3. 球体的体积计算球体是一种由所有与一个给定点的距离小于等于一个给定值的点组成的几何体。
其体积计算公式为：V = 4/3 * π * r³，其中V表示体积，r 表示半径。
例如，一个半径为6厘米的球体的体积为：V = 4/3 * π * 6³ = 288π立方厘米。
4. 锥体的体积计算锥体是一个由一个平面曲线（底面）和一段到曲线外一点的直线（侧面）组成的几何体。
其体积计算公式为：V = 1/3 * π * r² * h，其中V表示体积，r表示底面半径，h表示高度。
例如，一个底面半径为4厘米、高度为10厘米的锥体的体积为：V = 1/3 * π * 4² * 10 = 53.333π立方厘米。
二、表面积的计算表面积是用来度量几何体外侧所包围的表面的总大小。
不同几何体的表面积计算方法也不同。
1. 立方体的表面积计算立方体的表面积计算公式为：A = 6 * 边长²，其中A表示表面积。
空间几何体的体积与面积的全部公式
空间⼏何体的体积与⾯积的全部公式空间⼏何体的体积与⾯积的全bai部公式：1、圆柱体（duR为圆柱体上下底圆zhi半径，h为圆柱体⾼）S=2πdaoR²+2πRhV=πR²h2、圆锥体（r为圆锥体低圆半径,h为其⾼）S=πR²+πR[(h²+R²)的平⽅根]V=πR²h/33、正⽅体（a为边长）S=6a²V=a³4、长⽅体（a为长，b为宽，c为⾼）S=2(ab+ac+bc)V=abc5、棱柱（S为底⾯积，h为⾼）V＝Sh6、棱锥（S为底⾯积，h为⾼）V＝Sh/37、棱台（S1和S2分别为上、下底⾯积，h为⾼）V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/38、圆柱（r为底半径，h为⾼，C为底⾯周长，S底为底⾯积，S侧为侧⾯积，S表为表⾯积）C＝2πr，S底＝πr²，S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr²h9、圆台（r为上底半径，R为下底半径，h为⾼）S= πR²＋πrl＋πRl＋πr²V＝πh(R²＋Rr＋r²)/310、球（r为半径，d为直径）S=4πr²V＝4/3πr^3＝πd^3/6扩展资料：巧记空间⼏何体中的⾯积和体积公式的⽅法：1. ⾯积问题：空间⼏何体的⾯积主要分为两类：侧⾯积和表⾯积，其中的重点是旋转体的侧⾯积公式。
对于多⾯体的⾯积，其各个⾯都是多边形，这个在⼩学阶段就研究过了。
其中，只需要记住圆台的侧⾯积公式就够了。
将圆台侧⾯打开，是⼀个扇环，很像⼀个梯形。
所以圆台的侧⾯积就按照梯形来进⾏计算，就很容易理解。
如下图所⽰：圆台侧⾯积公式对于圆柱和圆锥的侧⾯积公式，不需要单独去记忆，只需要将其看成⼀个特殊的圆台就⾏了。
圆柱体就是上下底相同的圆台，圆锥体就是上底为0的圆台。
2. 体积问题：按照上⾯的思路，把柱体和椎体看成⼀个特殊的台体，因此也只需要记住⼀个台体的体积公式就可以啦。
简单几何体的表面积和体积
基础知识梳理
(3)锥体 圆锥和棱锥 的体积 锥体(圆锥和棱锥 锥体 圆锥和棱锥)的体积
1 V锥体＝ Sh. 3
1 其中V圆锥＝ 3 πr2h ，r为底面半径． 其中 为底面半径． 为底面半径
基础知识梳理
(4)台体的体积公式 台体的体积公式 V台＝h(S＋＋ ． ＋＋S′)． ＋＋ 为台体的高， 和 分别为上下 注：h为台体的高，S′和S分别为上下 为台体的高 两个底面的面积． 两个底面的面积． 1 ＋ 其中V 其中 圆台＝ 3 πh(r2＋rr′＋r′2) ． 为台体的高， 、 分别为上 分别为上、 注：h为台体的高，r′、r分别为上、 为台体的高 下两底的半径． 下两底的半径． (5)球的体积 球的体积 4 3 V球＝ 3 πR .
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)由(1)知 AB⊥BD.∵CD∥AB， 由 知 ⊥ ∵ ∥ ， ∴CD⊥BD，从而 DE⊥BD. ⊥ ， ⊥ 在 Rt△DBE 中，∵DB＝2 3， △ ＝ ， DE＝DC＝AB＝2， ＝ ＝ ＝ ， 1 ∴S△DBE＝2DBDE＝2 3. ＝ 又∵AB⊥平面 EBD，BE平面 ⊥ ， EBD，∴AB⊥BE. ， ⊥ ∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE＝ ＝ ＝ ＝ ， 1 ABBE＝4. ＝ 2
第9讲 立体几何
在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，底面各边 都相等， 是 PC 上的一动点， M 当点 M 满足BM⊥PC 时， 平面 MBD⊥平面 PCD. 立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线 面关系的转化，即： 线∥线↔线∥面↔面∥面
判定 线⊥线↔线⊥面↔面⊥面 性质
线∥线↔线⊥面↔面∥面 如(ⅲ)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β，给出下列 四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒ α⊥β ； ④l⊥m ⇒ α∥β. 其 中 正 确 的 命 题 是
8.直线与平面平行的判定和性质 (1)判定：①判定定理：如果平面外的一条直线和这个 平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平 行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一 个平面内的任何直线与另一个平面平行. (2)性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这 条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平 行.在遇到线面平行时， 常需作出过已知直线且与已知 平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.如 α、β 表示平面，a、b 表示直线，则 a∥α 的一个充分 不必要条件是( D ) A.α⊥β，a⊥β C.a∥b 且 b∥α B.α∩β＝b，且 a∥b D.α∥β 且 a⊂β
(4)体积公式 V 柱＝S·h (S 为底面面积，h 为高)， 1 V 锥＝ S·h(S 为底面面积，h 为高). 3 (5)球的表面积和体积 4 3 2 S 球＝4πR ，V 球＝ πR . 3
2.空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个 公共点.②平行直线——在同一平面内，没有公共 点.③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点. 如(1)空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是四边 上的中点，则直线 EG 和 FH 的位置关系是 相交 . (2)给出下列四个命题： ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线； ②两异面直线 a，b，如果 a 平行于平面 α，那么 b 不 平行平面 α； ③两异面直线 a，b，如果 a⊥平面 α，那么 b 不垂直 于平面 α； ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平 行直线.其中正确的命题是 ①③ .
第二节 简单几何体的表面积和体积(知识梳理)
第二节简单几何体的表面积和体积复习目标学法指导1.柱、锥、台体的表面积和体积公式.2.球的表面积和体积公式.3.一些简单组合体表面积和体积的计算.4.柱、锥、台体之间关系.(发展要求)1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和底面积.2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开图.3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,进一步求出面积、体积.4.所有公式均不要求记忆.空间几何体的表面积和体积公式如下表面积体积S表=S侧+2S底表面积即空间几何体暴露在外的所有面的面积之和棱柱的底面积为S,高为h,V=S·hV柱=S·hS=S′V台=13(S′+S S +S)h S表=S侧+S底棱锥的底面积为S,高为h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13S ·hS 表=S 侧+ S 上底+S 下底棱台的上、下底面 面积分别为S ′,S,高为h, V=13(S ′+ S S+S)h圆柱的底面半径和母线长分别为r,lS 表=2πr 2+2πrl 圆柱的高为h,V=πr 2h圆锥的底面半径和母线长分别为r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为h,V=13πr 2h圆台的上、下底面半 径和母线长分圆台的高为h,V=13π(r ′2+别为r,r′,l,S表=π(r′2+r2+r′l+rl)r′r+r2)h球球半径为R,S球=4πR2V球=43πR31.概念理解(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡.(2)求空间几何体体积的常用方法①公式法:直接根据相关的体积公式计算.②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等.③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.2.求面积或体积中相关联的结论几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=222a b c ++.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是πS , 故侧面展开图的边长为2π·πS =2πS,所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D为BC 的中点,则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11A B DC V-=1113B DC S ∆·AD=13×12×233=1. 答案:13.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π3, 该几何体的表面积为12×π×12+12π×114++12×2×2=)51π2+2.答案: π3)51π2+24.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以O 为球心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,则13×3×32,解得32()()2233+62262h ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭6故球的表面积为4π×62=24π.答案:24π5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.解析:由三视图得几何体的直观图如图.所以S表=2×12×2×2+12×3512×3 1153如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则3设球心坐标为(x,y,z),因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③所以x=1,y=3,z=1,所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是()222131++=5.所以球的体积是43π×(5)3=2053π.答案:4+15+32053π考点一几何体的表面积[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )(A)2 23(D)4(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )(A)4π3(B)5π3(C)4π3(D)5π3(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为4383],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为2223所以四面体的四个面的面积分别为12×2×2=2,12×2×2212×2×221 2×22sin π33因此四面体的最大面的面积是3.故选C.(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2×12×2×3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2×12×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+23,故选D.(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=22π122rl r l r⋅-2π,r l=3,即sin θ=3,θ=π3. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得AD ⊥SA,AD ⊥AB ⇒AD ⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCDV-=13S 四边形ABCD ·SO=83sin θ, 所以sin θ∈[3,1]⇒θ∈[π3,2π3]⇒-12≤cos θ≤12, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=221cos θ-,所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SBθ=21cos θ-,将该四棱锥补成一个以SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=21r +⇒S=4πR2=4π(21cos θ++1), 所以S ∈[28π3,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )(A)15π cm2(B)21π cm2(C)24π cm2(D)33π cm2解析:由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )(A)81π4(B)16π(C)9π(D)27π4解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=94,所以球的表面积为4π×(94)2=814π.故选A.考点二几何体的体积[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )(A)12cm3(B)1 cm3(C)16 cm3 (D)13cm3(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.解析:(1)由题意,根据给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,所以该三棱锥的体积为V=13×12×1×1×1=16(cm 3),故选C.解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为2,高为12. 故M EFGHV=13×(2)2×12=112. 答案:(1)C 答案:(2)112(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )(A)60 (B)30 (C)20 (D)10解析:如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13×12×5×3×4=10.故选D.考点三 与面积、体积相关的综合问题[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则12S S = ;(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a2,正四面体的高2233a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭6a,由13r ·S 1=1332·h 知r=146a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2π6a,则12S S 2236a a 63.解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,所以D ′E ⊥EB ′,所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V''''-=13S △A ′B ′C ′·D ′E =13×12×a ×a ×2a=2a 3.答案:(1)63 答案:(2)2a 3(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210(C)132(D)310解析:如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.又AM=12BC=52,OM=12AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=22562⎛⎫+ ⎪⎝⎭=132. 故选C.2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3的直四棱柱,则其表面积为2×3×1+32+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+32=18.答案:33+31318考点四易错辨析[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )(A)5π3 (B)8π3(C)10π3(D)12+2π3解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为V=43π×13×12+π×12×2=83π,故选B.正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视图,不能凭感觉去确定.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4解析:如图,不妨设N在B处,AM=h,CQ=m,则有MB2=h2+4,BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,由MB2=BQ2+MQ2,得m2-hm+2=0.则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.类型一几何体的表面积1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )(A)7π cm2(B)8π cm2(C)9π cm2(D)11π cm2解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,因此该几何体表面积等于12×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )(A)28+65(B)30+65(C)56+125(D)60+125解析:根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,因此表面积为S=12×(2+3)×4+12×4×5+12×4×(2+3)+12×5415 5故选B.类型二几何体的体积3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,所以其体积为V=12×43π×33+13π×32×4=30π.故选C.4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )(A)π2(B)1+π2(C)1+π(D)2+π解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+12×π×12×2=2+π,故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )3333解析:由等边△ABC的面积为3323,所以AB=6,所以等边△ABC的外接圆的半径为r=33AB=23.设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则d=22R r-=1612-=2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6=183.故选B.6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为13×33×2+42×3=93(cm3),表面积为1 2×3×33+2+42×3+12×3×2+12×3×4+12×5×33=(18+63)(cm2).答案:93(18+63)7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.解析:由题意知所给的几何体是棱长均为2的八面体,它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的,正四棱锥的高为1,所以这个八面体的体积为2V 正四棱锥=2×13×(2)2×1=43.答案:43类型三 面积、体积综合问题8.(2018·浙江绍兴质量调测)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( A )(A)83 (B)8 (C)203(D)6 解析:如图所示,在棱长为2的正方体中,题中的三视图对应的几何体为四棱锥P-ADC 1B 1,其中P 为棱A 1D 1的中点,则该几何体的体积11P ADC B V -=211P DB C V -=211D PB C V-=2×13×11PB C S∆×DD 1=83. 故选A.9.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积为( C )(A)33(B)23(C)3 (D)1解析:由题意知,如图所示,在棱锥S-ABC中,△SAC,△SBC都是有一个角为30°的直角三角形,且3,SC=4,所以3作BD⊥3×3)2×3. SC于D点,连接AD,易证SC⊥平面ABD,因此V=13故选C.。
简单几何体的表面积与体积 测试题
简单几何体的表面积与体积测试题
1、有一个长方体，长为10cm，宽为6cm，高为15cm，求它的表面积和体积？
表面积=2×(10×6+10×15+6×15)=660平方厘米
体积=10×6×15=900立方厘米
2、有一个圆柱体，底面半径为5cm，高为10cm，求它的表面积和体积？
表面积=2×3.14×5×10+2×3.14×52=942.0平方厘米
体积=3.14×52×10=7850.0立方厘米
3、有一个圆锥体，底面半径为3cm，高为8cm，求它的表面积和体积？
表面积=2×3.14×3×8+2×3.14×32=150.72平方厘米
体积=3.14×32×8/3=75.36立方厘米
4、有一个长方体，长为12cm，宽为9cm，高为6cm，求它的表面积和体积？
表面积=2×(12×9+12×6+9×6)=432平方厘米
体积=12×9×6=648立方厘米
5、有一个正方体，边长为10cm，求它的表面积和体积？
表面积=6×102=600平方厘米
体积=103=1000立方厘米。
高中数学 空间几何体的表面积和体积
1、表面积：几何体表面的面积 2、体积：几何体所占空间的大小。
表面积、全面积和侧面积
• 表面积：立体图形的所能触摸到的面积之 和叫做它的表面积。（每个面的面积相加 ）
• 全面积 全面积是立体几何里的概念， 相对于截面积（“截面积”即切面的面积） 来说的，就是表面积总和
2r
l
圆锥的侧面展开图是扇形
rO
S r2 r l r(r l)
(3)台体的侧面积
①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周 长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公
式：S正棱台侧＝ 1∕2(c＋c.′)h′
②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为
r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝ πl(r′＋． r)
(2)锥体的侧面积
①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜 高为h′，则
S正棱锥侧＝ 1∕2ch.（′ 类比三角形的面积）
②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那 么
S圆锥侧＝ πrl.（类比三角形的面积）
把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h' h'
S正棱锥＝ 侧 12ch'
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正三棱锥的侧面展开图
h/ h/
侧面展开
h' h'
正五棱锥的侧面展开图
S表面积 S侧S底
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线
展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图
有什么关系？
扇形
R扇＝ l
l扇＝
nl
180
l
r
S圆锥 ＝ S 侧 扇 ＝ n 3l6 201 2l扇 lrl
几何体的表面积和体积公式
几何体的表面积和体积公式一、柱体。
1. 棱柱。
- 表面积公式：- 直棱柱的表面积S = 2S_底+S_侧，其中S_底为底面多边形的面积，S_侧为侧面积。
若直棱柱底面多边形的边长为a，边数为n，棱柱的高为h，则S_侧=nah。
- 体积公式：V = S_底h，h为棱柱的高。
2. 圆柱。
- 表面积公式：S = 2π r^2+2π rh，其中r为底面半径，h为圆柱的高。
- 体积公式：V=π r^2h。
二、锥体。
1. 棱锥。
- 表面积公式：S = S_底+S_侧，棱锥的侧面积S_侧等于各个侧面三角形面积之和。
若棱锥底面多边形的边长为a，边数为n，斜高（侧面三角形底边上的高）为h'，则S_侧=(1)/(2)nah'。
- 体积公式：V=(1)/(3)S_底h，h为棱锥的高。
2. 圆锥。
- 表面积公式：S=π r^2+π rl，其中r为底面半径，l为母线长。
- 体积公式：V = (1)/(3)π r^2h，h为圆锥的高。
三、台体。
1. 棱台。
- 表面积公式：S = S_上底+S_下底+S_侧，棱台的侧面积S_侧=(1)/(2)(n(a + b)h')，其中n为底面边数，a为上底面多边形的边长，b为下底面多边形的边长，h'为斜高。
- 体积公式：V=(1)/(3)h(S_上底+S_下底+√(S_上底)S_{下底})，h为棱台的高。
2. 圆台。
- 表面积公式：S=π r^2+π R^2+π l(R + r)，其中r为上底面半径，R为下底面半径，l为母线长。
- 体积公式：V=(1)/(3)π h(r^2+R^2+rR)，h为圆台的高。
四、球体。
- 表面积公式：S = 4π R^2，其中R为球的半径。
- 体积公式：V=(4)/(3)π R^3。
高中数学简单几何体的表面积与体积考点及例题讲解
简单几何体的表面积与体积考纲解读 1.结合三视图求几何体的表面积与体积；2.利用几何体的线面关系求表面积和体积；3.求常见组合体的表面积或体积．[基础梳理]1．多面体的表面积与侧面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．旋转体的表面积与侧面积名称侧面积 表面积 圆柱(底面半径r ，母线长l ) 2πrl 2πr (l ＋r ) 圆锥(底面半径r ，母线长l ) πrl πr (l ＋r ) 圆台(上、下底面半径r 1，r 2，母线长l )π(r 1＋r 2)lπ(r 1＋r 2)l ＋π(r 21＋r 22) 球(半径为R )4πR 23.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh .特别地，V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径)． (2)V 锥体＝13Sh .特别地，V 圆锥＝13πr 2h (r 为底面半径)．(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．特别地，V 圆台＝13πh (r 2＋rr ′＋r ′2)(r ，r ′分别为上、下底面半径)．(4)V 球＝43πR 3(球半径是R )．[三基自测]1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144答案：A2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．答案：1∶473．一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．答案：3365π cm 24．(必修2·1.3A 组改编)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为________． 答案：3π5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)所有棱长都为2的三棱锥的体积为________． 答案：223考点一 几何体的表面积与侧面积|易错突破[例1] (1)(2018·九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋23B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋43(2)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A.⎝⎛⎭⎫95－π2cm 2 B.⎝⎛⎭⎫94－π2cm 2 C.⎝⎛⎭⎫94＋π2cm 2 D.⎝⎛⎭⎫95＋π2cm 2 (3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．[解析] (1)直观图是四棱锥P ABCD ，如图所示，S △P AB ＝S △P AD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin 60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，故此棱锥的表面积为6＋42＋23，故选A.(2)该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2(cm 2)． (3)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．长方体的长、宽、高分别为4,3,1，表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38， 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1， 侧面积为2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π. 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38. [答案] (1)A (2)C (3)38 [易错提醒]1．以三视图为载体的几何体的表面积或侧面积问题，要分清三视图中的量是否为各表面计算面积所用的量．2．几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加．3．组合体的表面积，要注意衔接部分分散在哪个面中来计算．[纠错训练]1．已知某斜三棱柱的三视图如图所示，求该斜三棱柱的表面积．解析：由题意知，斜三棱柱的直观图如图中ABC A 1B 1C 1所示．易知正方体的棱长为2.斜三棱柱的两个底面积的和为2S △ABC ＝2×12×AB ×AC ＝2，侧面ABB 1A 1的面积S 侧面ABB 1A 1＝2×1＝2，侧面ACC 1A 1为矩形，S 侧面ACC 1A 1＝AA 1·AC ＝25，侧面BCC 1B 1是边长为5的菱形，连接CB 1、BC 1，易得CB 1＝23，BC 1＝22，且CB 1⊥BC 1，所以S 侧面BCC 1B 1＝12CB 1·BC 1＝12×23×22＝26，所以斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的表面积为4＋2(5＋6)．2．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，求它的表面积．解析：该几何体是一个球体挖掉18剩下的部分，如图所示，依题意得78×43πR 3＝28π3，解得R ＝2，所以该几何体的表面积为4π×22×78＋34π×22＝17π.考点二 空间几何体的体积|方法突破[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π(2)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥C 1B 1DA 的体积为( )A ．3 B.32 C ．1D.32(3)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．[解析] (1)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－12×π×32×6＝63π.法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π，选择B.(2) 在正△ABC 中，D 为BC 中点， 则有AD ＝32AB ＝3， S △DB 1C 1＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A B 1DC 1底面上的高．∴VC 1B 1DA ＝VA C 1B 1D ＝13S △DB 1C 1·AD ＝13×3×3＝1.(3)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π2.[答案] (1)B (2)C (3)2＋π2[方法提升]求几何体的体积的方法 方法解读适合题型 直接法对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解 规则 几何体割补法当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体不规则 几何体 等积转换法 利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算三棱锥[跟踪训练]1．(2018·大连双基检测)如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )A ．15B ．13C ．12D ．9解析：几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD 是一个矩形(其中AB ＝5，BC ＝2)，棱EF ∥底面ABCD ，且EF ＝3，直线EF 到底面ABCD 的距离是3.连接EB ，EC ，则题中的多面体的体积等于四棱锥E ABCD 与三棱锥E FBC 的体积之和，而四棱锥E ABCD 的体积等于13×(5×2)×3＝10，三棱锥E FBC 的体积等于13×⎝⎛⎭⎫12×3×3×2＝3，因此题中的多面体的体积等于10＋3＝13，选B.答案：B2．如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V圆台＝13×(π×AD 2＋π×AD 2×π×BC 2＋π×BC 2)×AB ＝13×π×(AD 2＋AD ×BC ＋BC 2)×AB＝13×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×AD 3×12＝43π×23×12＝163π(cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积V ＝V 圆台－V半球＝52π－163π＝1403π(cm 3)．答案：1403π(cm 3)考点三 有关球的组合体及面积、体积最值问题|思维突破[例3] (1)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )A ．33 B.3 C ．2 6D ．23(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．(3)正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为________．[解析] (1)设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，那么正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎫6×34a 2×h ＝332(9－h 24)h ＝332(－h 34＋9h )． 令y ＝h 34＋9h ，∴y ′＝－3h 24＋9.令y ′＝0，∴h ＝2 3.易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大，故选D.(2)设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，连接AO ，OB (图略)，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V SABC ＝V ASBC ＝13×S △SBC×AO ＝13×(12×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(12×2R ×R )×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.(3)如图，截面图为长方形ACC 1A 1和其外接圆．球心为EE 1的中点O ， 则R ＝OA .设正四棱柱的侧棱长为b ，底面边长为a ，则AC ＝2a ，AE ＝22a ，OE ＝b2，R 2＝⎝⎛⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭⎫b 22， ∴4R 2＝2a 2＋b 2，则正四棱柱的侧面积： S ＝4ab ＝2·2a ·2b ≤2(a 2＋2b 2)＝42R 2，故侧面积有最大值，为42R 2，当且仅当a ＝2b 时等号成立． [答案] (1)D (2)36π (3)大 42R 2 [思维升华]1．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．2．解决几何体最值问题的方法 方法解读适合题型基本不等式法根据条件建立两个变量的和或积为定值，然后利用基本不等式求体积的最值(1)求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值；(2)求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值函数法通过建立相关函数式，将所求的组合体中的最值问题最值问题转化为函数的最值问题求解，此法应用最为广泛几何法 由图形的特殊位置确定最值，如垂直图形位置变化中的最值[跟踪训练](2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：△AOB 的面积为定值，当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O ABC 的体积取得最大值．由16R 3＝36得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π.故选C.答案：C1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B.3π4 C.π2D.π4解析：球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的12，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r＝1－(12)2＝32，故该圆柱的体积V ＝π×(32)2×1＝3π4，故选B.答案：B2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：由三视图知圆锥的高为23，底面半径为2，则圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为12×4π×4＝8π.圆柱的底面积为4π，圆柱的侧面积为4×4π＝16π，从而该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π，故选C.答案：C3.[考点二](2015·高考全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×13πR 2×5＝16×203π(立方尺)，因此堆放的米约有16×203×1.62×3≈22(斛)．故选B.答案：B4.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝142，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π.答案：14π5.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值．解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为a (a >0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ，则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫5－36a 2－⎝⎛⎭⎫36a 2＝25－533a ， ∴25－533a >0，∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312×25a 4－533a 5.令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533a 4，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.法二：如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝36BC ，∴OG 的长度与BC 的长度成正比．设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5－x ，S △ABC ＝23x ·3x ·12＝33x 2，则所得三棱锥的体积V ＝13×33x 2×(5－x )2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，令f ′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x <2，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80，∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.。
简单几何体的面积与体积
简单几何体的面积与体积教学目标：1.熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.2.学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题.知识点梳理1.多面体的面积和体积公式名称侧面积(S 侧)全面积(S 全)体 积(V)棱柱直截面周长×lhS h S ⋅=⋅直截面底棱柱直棱柱ch底侧S S 2+h S ⋅底棱锥各侧面积之和棱锥正棱锥'21ch 底侧S S +h S ⋅底31棱台各侧面面积之和棱台正棱台()''21h c c +下底上底侧S S S ++h(S 上底+S 下底+)31下底下底S S ⋅表中表示面积，、分别表示上、下底面周长，表斜高，表示斜高，表示侧棱长.S 'c c h 'h l 2. 旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球侧S rl π2rl π()lr r 21+π全S ()r l r +π2()r l r +π()()222121r r l r r +++ππ24R πV(即)h r 2πl r 2πh r 231π()22212131r r r r h ++π334R π表中分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台 上、下底面半径，表示半径.h l ,r 21,r r R 例题讲解题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.评析：几何体的展开与折叠问题是近几年高考的一个热点内容，通过折叠与展开问题，可以很好地考查学生的空间想象能力以及推理能力点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力考从深层上考查空间想象能力的主要方向BCAA1平面AC中，＝。
空间几何体的面积与体积关系
空间几何体的面积与体积关系几何学是研究空间形状和大小的学科，而空间几何体的面积与体积关系是几何学中一个重要的概念。
面积和体积是描述几何体大小的两个基本量，它们之间存在着一定的关系。
首先，我们来看一下面积和体积的定义。
面积是指一个平面内所包围的区域的大小，通常用平方单位来表示，比如平方米、平方厘米等。
而体积是指一个立体所占据的空间大小，通常用立方单位来表示，比如立方米、立方厘米等。
对于一些简单的几何体，面积与体积的关系比较容易理解。
比如，对于一个正方形，它的面积等于边长的平方，而体积等于面积乘以高度。
这是因为正方形的底面积和高度决定了它的体积。
同样，对于一个正方体，它的体积等于边长的立方，而它的表面积等于边长的平方乘以6。
这是因为正方体的边长决定了它的体积和表面积。
然而，对于一些复杂的几何体，面积与体积的关系就不那么直观了。
比如，对于一个圆柱体，它的底面积等于圆的面积，而体积等于底面积乘以高度。
这是因为圆柱体的底面积和高度决定了它的体积。
同样，对于一个球体，它的表面积等于球的面积，而体积等于球的体积。
这是因为球体的半径决定了它的表面积和体积。
在实际应用中，面积和体积的关系经常被用来解决一些实际问题。
比如，在建筑设计中，我们需要计算房间的面积和体积，以确定房间的大小和容量。
在工程测量中，我们需要计算土地的面积和体积，以确定土地的面积和容量。
在物流管理中，我们需要计算货物的面积和体积，以确定货物的空间占用和运输成本。
总结一下，空间几何体的面积与体积关系是几何学中一个重要的概念。
面积和体积是描述几何体大小的两个基本量，它们之间存在着一定的关系。
对于一些简单的几何体，面积与体积的关系比较容易理解。
然而，对于一些复杂的几何体，面积与体积的关系就不那么直观了。
在实际应用中，面积和体积的关系经常被用来解决一些实际问题。
通过对面积和体积的计算和理解，我们可以更好地理解和应用几何学的知识。
简单几何体的表面积和体积 (教师版)
简单几何体的表面积和体积1 柱体①棱柱体积：V=sℎ(其中ℎ是棱柱的高)②圆柱(1) 侧面积：S=2πrℎ(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)2 锥体①棱锥棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；②圆锥(1) 圆锥侧面积：S=πrl(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l)(其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ(其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)3台体①圆台表面积S=π (r′2+r′2+r′l+rl)其中r′是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.②台体体积V=13(S′+√SS′ +S) ℎ其中S , S′分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.4 球体面积S=4πR2，体积V=43πR3（其中R为球的半径）【题型一】几何体的表面积【典题1】已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1=．【解析】如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为√12+32=√10．∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×√10=4√10．∴S2S1=4√1024=√106．【点拨】注意侧面积和全面积的区别．【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（）A．2π B．3πC．4πD．5π【解析】圆锥的底面半径为2，高为4，∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；∴圆柱的侧面积为：S=2πx(4−2x)=4 π(2x−x2)(0<x<2)令t=2x−x2，当x=1时t max=1；所以当x=1时，S max=4π．即圆柱的底面半径为1时，圆柱的侧面积最大，最大值为4π．故选：C ．【点拨】① 圆柱的侧面积S =2πrℎ，则需要知道圆柱的高ℎ与底圆半径r ；② 在处理圆锥、圆柱问题时，要清楚母线、高、底圆的半径之间的关系，则要看轴截面(如下图),此时由相似三角形的性质可以得到每个量的关系.【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r 、R ，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )A ．2ℎ=1R +1rB ．1ℎ=1R +1rC ．1r =1R +1ℎD ．2R =1r +1ℎ 【解析】设圆台的母线长为l ，根据题意可得圆台的上底面面积为S 上=πr 2，圆台的下底面面积为S 下=πR 2，∵圆台的侧面面积等于两底面面积之和，∴侧面积S 侧=π(r 2+R 2)=π(r +R)l ，解之得l =r 2+R 2r+R ∵l =√ℎ2+(R −r)2∴r 2+R 2r+R =√ℎ2+(R −r)2，∴(r 2+R 2r +R )2=ℎ2+(R －r)2 ∴2ℎ=1R +1r ．故选 A ． 【点拨】在处理圆台问题时，要清楚母线、上底圆半径、下底圆半径、高之间的关系，则要看轴截面(如下图),有 l =√ℎ2+(R −r)2.【题型二】几何体的体积【典题1】正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB̂分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是()A．2: 1: 1B．1∶2: 1C．1∶1∶1D．2∶2: 1【解析】设正方形ABCD的边长为1，可得图1旋转所得旋转体为以AD为轴的圆锥体，高AD=1且底面半径r=1∴该圆锥的体积为V1=13π×AB2×AD=13π；图2旋转所得旋转体，是以AD为半径的一个半球，减去图1旋转所得圆锥体而形成，∴该圆锥的体积为V2=V半球−V1=12×43π×AD2－V1=13π；图3旋转所得旋转体，是以AD为轴的圆柱体，减去图2旋转所得半球而形成，∴该圆锥的体积为V3=π×AB2×AD－V半球=π－23π=13π综上所述V1=V2=V3=13π，由此可得图中1、2、3三部分旋转所得旋转体的体积之比为1∶1∶1．故选 C．【点拨】①圆锥是由直角三角形以某一直角边为轴旋转得到；圆柱是由矩形以某一边为轴旋转得到；球是由半圆以直径为轴旋转得到;②求解不规则图形可用“割补法”.【典题2】如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于()A．23ℎB．1927ℎC．√633ℎD．√1933ℎ【解析】方法一设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为49S．∴水的体积V =13Sℎ－13×49S ×(ℎ−ℎ1)=1981Sℎ． 设倒置后液面面积为S′，则S′S =(ℎ2ℎ)2，∴S′=Sℎ22ℎ2．∴水的体积V =13S′ℎ2=Sℎ233ℎ2． ∴1981Sℎ=Sℎ233ℎ2，解得ℎ2=√193ℎ3． 故选 D ．方法二 设容器为圆锥1，高为ℎ,体积为V ;倒置前液面上的锥体为圆锥2，高为ℎ′=ℎ−ℎ1,体积为V 1;倒置后液面以下的锥体为圆锥3，高为ℎ2,体积为V 2.∵ℎ1ℎ=13 ∴ℎ′ℎ=23 ∴V−V 水V =(23)3=827⇒V 水V =1927， 在倒置后，又有V 水V =(ℎ2ℎ)3 ∴(ℎ2ℎ)3=1927⇒ℎ2=√193ℎ3【点拨】 ① 涉及圆台的表面积和体积，可把圆台补全为圆锥；② 两个相似几何体，若相似比为a ,则对应线段比为a ，对应的平面面积比为a 2,对应的几何体体积比是a 3.【典题3】 已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =2，∠ASC =∠BSC =45°，则棱锥S −ABC 的体积V = .【解析】由题可知AB 一定在与直径SC 垂直的小圆面上，作过AB 的小圆交直径SC 于D ，如图所示，设SD =x ，则DC =4－x ，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD 和CABD ，在△SAD 和△SBD 中，由已知条件可得AD =BD =x ，又因为SC 为直径，所以∠SBC =∠SAC =90°，所以∠DBC =∠DAC =45°，所以在△BDC 中，BD =4－x ，所以x =4－x ，解得x =2，所以AD =BD =2，所以 ABD 为正三角形，所以V =13S △ABD ×4=4√33.【点拨】① 圆内直径所对的圆周角为90°；② 若垂直于三棱锥的某棱长的截面面积为S ，棱长长ℎ，则三棱锥的体积为13Sℎ．【题型三】与球有关的切、接问题【典题1】 已知三棱锥D −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若AB =AC =BC =DB =DC =1，当三棱锥D －ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）A. 5π3B. 2 πC. 5 πD. 20π3【解析】 如图，当三棱锥D −ABC 的体积取到最大值时，则平面ABC ⊥平面DBC ，取BC 的中点G ，连接AG ，DG ，则AG ⊥BC ，DG ⊥BC ，分别取△ABC 与△DBC 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，则O 为四面体ABCD 的球心，由AB =AC =BC =DB =DC =1，得正方形OEGF 的边长为√36，则OG =√66∴四面体A −BCD 的外接球的半径R =√OG 2+B G 2=√(√66)2+(12)2=√512 ∴球O 的表面积为=4 π×(√512)2=5π3，故选：A ．【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为√10的正四棱锥P －ABCD 中，大球O 1内切于该四棱锥，小球O 2与大球O 1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O 2的体积为 ．【解析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM=1，PM=√PA2−AM2=√10−1=3，PO=√9−1=2√2，如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM，设球O1的半径为R，则O1N=R，因为sin∠MPO=OMPM =13，所以NO1PO1=13，则PO1=3R，PO=PO1+OO1=4R=2√2，所以R=√22，设球O1与球O2相切与点Q，则PQ=PO－2R=2R，设球O2的半径为r，同理可得PQ=4r，所以r=R2=√24，故小球O2的体积V=43πr3=√224π，故答案为√224π．巩固练习1(★)如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是()A．S1≤S2B．S1<S2C．S1>S2D．S1≥S2【答案】Ｂ【解析】设圆柱的底面半径为r，图1水的表面积为 S1=2πr2+2πr•r=4πr2．对于图2，上面的矩形的面积的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．上下底面的面积的和是π×r2．图2水的表面积S2=(4+3π)r2．显然S1<S2．故选B．2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为()A．πB．3π2C．2π3D．π2【答案】Ａ【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ；由圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为πr•4=4πr；又圆锥的轴截面面积为12•2r•ℎ=rℎ，所以4πr=4rℎ，解得ℎ=π；所以该圆锥的高为π．故选：A．3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是cm2．【答案】14，10000【解析】由题意知，截去的八个四面体是全等的正三棱锥，8个底面三角形，再加上6个小正方形，所以该几何体共有14个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是S表面积=8×12×25√2×25√2×sin60°+6×25√2×25√2=10000(cm2)．故答案为：14，10000．4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为12√3，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是.【答案】1: 4: 3√3【解析】由题意可设直角梯形上底、下底和不垂直于底的腰为x，2x，√3x；则圆台的上、下底半径和母线长分别为x，2x，√3x，如图所示；所以上底面的面积为S上底=π•x2；下底面的面积为S下底=π•(2x)2=4πx2；侧面积为S侧面=π(x+2x)•√3x=3√3πx2；所以圆台的上底、下底面积和侧面面积之比是πx2∶4πx2: 3√3πx2=1: 4: 3√3．5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是.【答案】2√2π3【解析】如图所示，过点P 作PE ⊥平面ABC ，E 为垂足，点E 为的等边三角形ABC 的中心．AE =23AD ，AD =√32． ∴AE =23×√32=√33．∴PE =√PA 2−AE 2=√63．设圆柱底面半径为R ，则2R =1sin60°=2√3， ∴圆柱的侧面积＝2πR •PE =√3π×√63=2√2π3，6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 . 【答案】128√281πm 3【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥形物体的母线长l =4m ，侧面展开图的圆心角为2π3，故2πr =2π3，解得 r =43m ， 故圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=83√2m ，故圆锥的体积V =13πr 2ℎ=128√281πm 3．7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .【答案】(1−√732)a【解析】 令圆锥倒置时水的体积为V ′，圆锥体积为V ，则v′v =(a 2)3÷a 3=18，∴V 空V 锥=78，倒置后 V 水=18V ， 设此时水高为ℎ，则ℎ3 a 3=78，∴ℎ=(1−√732)a ． 故原来水面的高度为(1−√732)a ．8(★★★) 半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .【答案】12√3【解析】如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为O 1，O 2，底面边长与高分别为x ，ℎ，则O 2A =√33x ，在Rt △OAO 2中，ℎ24+x 23=4， 化为ℎ2=16−43x 2，∵S 侧=3xℎ，∴S 侧2=9x 2ℎ2=12x 2(12−x 2)≤12(x 2+12−x 22)2=432．当且仅当x 2=12－x 2，即x =√6时取等号，此时S 侧=12√3．9(★★★) 如图所示，在边长为5+√2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M 、N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．【答案】10π，2√303π【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为ℎ，由已知条件可得{l+r+√2r=(5+√2)×√22πrl=π2，解得r=√2，l=4√2，∴S=πrl+πr2=10π，又∵h=√l2−r2=√30，∴V=13πr2ℎ=2√303π．故答案为10π，2√303π10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为．【答案】27π4【解析】因为四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，所以可以把其放到长宽高分别为a，b，c的长方体中，四面体的棱长是长方体的面对角线，∴a2+b2=22，①；b2+c2=22，②；c2+a2=12，③故四面体的外接球半径R满足：8R2=22+22+12=9；∴R2=98．∵四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，要想圆锥的侧面积最小；故需满足四面体的外接球恰好是圆锥的内切球；作圆锥的轴截面，如图：设BE=r，则AB=2r，AE=√3r；可得：OB2=OE2+EB2；∴R2=(√3r－R)2+r2⇒r=√3R；故圆锥侧面积的最小值为：πrl=2πr2=2π•3R2=27π4．故答案为：27π4．11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为.【答案】1110【解析】由AB=3，BC=4，AC=5，得AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM=3，设四棱锥A－BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC－A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V1V1=1110．12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为．【答案】13【解析】将直三棱柱ABC－A1B1C1展开成矩形ACC1A1，如图，连结AC1，交BB1于D，此时AD+DC1最小，∵AB =1，BC =2，BB 1=3，∠ABC =90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，∴当AD +DC 1最小时，BD =1，此时三棱锥D －ABC 1的体积V D−ABC 1=V C 1−ABD =13×S △ABD ×B 1C 1=13×12×AB ×BD ×B 1C 1=13×12×1×1×2=13．13(★★★) 已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB =45°，当三棱锥S －ABC 体积最大时，其外接球的表面积为 .【答案】28π3【解析】由题可知，平面CAB ⊥平面SAB ，且CA =CB 时，三棱锥S －ABC 体积达到最大，如右图所示， 则点D ，点E 分别为△ASB ，△ACB 的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O ．∴点O 是此三棱锥外接球的球心，AO 即为球的半径．在△ACB 中，AB =2，∠ACB =45°⇒∠AEB =90°，由正弦定理可知，AB sin∠ACB =2AE ，∴AE =EB =EC =√2，延长CE 交AB 于点F ，延长SD 交AB 于点F ，∴四边形EFDO 是矩形，且OE ⊥平面ACB ，则有OE ⊥AE ，又∵OE =DF =13SF =13×√32AB =√33， ∴OA =√OE 2+AE 2=√73．∴S 球表面积=4πR 2=4π×( √73)2=28π3．14(★★★)如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 ．【答案】12【解析】如图，M是AC的中点．①当AD=t <AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=√3－t，由△ADE∽△BDM，可得ℎ1=√(√3−t)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1⋅√(√3−t)2+1=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，√3)②当AD=t>AM=√3时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t－√3，由等面积，可得12⋅AD⋅BM=12⋅BD⋅AH，∴1 2⋅t⋅1=12√(t−√3)2+1，∴ℎ=√(√3−t)2+1，∴V=13⋅12⋅(2√3−t)⋅1√(√3−t)2+1=16⋅√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(√3，2√3)综上所述，V=16√3−t)2√(√3−t)2+1，t∈(0，2√3)令m=√(√3−t)2+1∈[1，2)，则V=16⋅4−m2m，∴m=1时，V max=12．故答案为12．。
《简单几何体的表面积与体积》立体几何初步(棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积)
定义
棱台是由平行于棱锥底面的平面 截棱锥得到的几何体，其上、下
底面平行且相似。
性质
棱台的上、下底面是相似多边形 ，侧面是梯形，梯形的延长线相
交于一点。
分类
根据上、下底面的形状，棱台可 分为四棱台、五棱台等。
棱台的表面积计算
公式：棱台的表面积由上底面、下底面和侧面组成， 其表面积公式为
输标02入题
$S = frac{1}{2}(c_1 + c_2 + sqrt{c_1 c_2})$
《简单几何体的表面积与体 积》立体几何初步(棱柱、棱 锥、棱台的表面积与体积)
汇报人： 2023-12-24
目录
• 棱柱的表面积与体积 • 棱锥的表面积与体积 • 棱台的表面积与体积 • 简单几何体的表面积与体积在
实际生活中的应用 • 总结与展望
01
棱柱的表面积与体积
棱柱的定义与性质
01
02
03
01
03
计算步骤：首先分别计算上底面和下底面的周长，然 后代入公式计算侧面面积，最后将上底面、下底面和
侧面的面积相加得到棱台Байду номын сангаас总表面积。
04
其中，$c_1$ 和 $c_2$ 分别为上底面和下底面的周长 。
棱台的体积计算
01
公式：棱台的体积公式 为
02
03
$V = frac{1}{3}(S_1 + S_2 + sqrt{S_1 S_2})$
分类
根据底面的形状，棱锥可 以分为正棱锥、斜棱锥和 平行棱锥等。
棱锥的表面积计算
公式
注意事项
棱锥的表面积等于其底面的面积加上 所有侧面的面积。
在计算过程中，需要注意各个侧面的 高和底面半径的关系，以及顶点到底 面的距离。
高中数学简单几何体的面积与体积相关知识点、例题
高中数学简单几何体的面积与体积相关知识点、例题姓名：__________指导：__________日期：__________一、知识要点（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。
1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。
1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式①即锥体的侧面积公式；②c＝c时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式：①时即为锥体的体积公式；②S上＝S下时即为柱体的体积公式。
（六）球的表面积和体积公式（七）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：二、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图【例1】有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A、D，则铁丝的最短长度为多少厘米？解：展开后使其成一线段AC＝考点二求几何体的面积【例2】设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）解：答：略。
考点三求几何体的体积【例3】求棱长为的正四面体的体积。
分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。
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学之导教育中心教案
学生:_陈华智授课时间：_ 课时：3 年级：高一教师：廖
课题斜二侧画法、空间几何体的表面积与体积
教学架构
一知识回顾
二知识新授
三知识小结
教学内容
一知识回顾
1 简单几何体的结构特征
2 几何体的三视图与直观图
二知识新授
（一）斜二测画法（特殊平行投影画法），其步骤如下：
本次内容掌握情况
总结教师签字学生签字
例：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图
练习 1 如图，画出水平放置的等腰三角形的直观图
2 用斜二测画法画出底面为正六边形，侧面为全等矩形的六棱柱的直观图
总结：画立体图的步骤：（1）画轴；（2）画底面；（3）画侧棱；（4）成图
3 一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上
底面重合，圆柱的底面直径为3cm，高为4cm，圆锥的高为3cm，画出此几何体的直观图 4 如图，梯形A'B'C'D'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，试将其恢复成原图形
5 已知∆ABC是正三角形，且它的边长为a，求∆ABC的平面直观图的面积
6．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，求原三角形的面积
（二）柱体，椎体，台体的表面积与体积
1 柱体、椎体、台体的侧面积，就是，表面积就是，即侧面与底面积之和
2 棱柱的表面积等于侧面积与底面积之和
直棱柱的侧面积：
长方体的表面积：
正方体的表面积：
3 棱锥的表面积：
棱锥的侧面积：棱锥的侧面展开图是由各个侧面图组成的
正n棱锥的侧面积：侧面展开图是由n个全等的等腰三角形组成的，侧面积为：S=
4 台体的表面积
正n棱台的侧面是由n个全等的等腰梯形组成的。
侧面积为：S=
5 圆柱的表面积
圆柱的侧面积：
6 圆锥的表面积
圆锥的侧面积：
7 圆台的表面积
圆台的侧面积：S= （r1+r2)l
8 体积的概念
9 棱柱和圆柱的体积：
10 椎体的体积：
11 台体的体积：
习题巩固
1 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为30°，求其表面积与体积
2 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为a，求它的表面积
2 已知三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且两两垂直，长度分别为2,3,4.求三棱锥P-ABC的体积
3 已知三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且SB=1，SA=3，SC=7，求其体积
5 一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积为多少/?
6 若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与
侧面积的比是多少？
7 圆锥的高为5，底面半径为4，求它的侧面积和表面积
8 如果圆锥的底面半径为r，轴截面为等腰直角三角形，求其表面积
9 若圆台的高是3，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成的角是
45°，求其侧面积
10 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积为32 ，求母线长
11 圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为6，求（1）侧面积（2）轴截面相对顶点
在圆台侧面上的最短距离
柱体的相关练习
1 在一个长方体中，过一个顶点的三条棱长的比是1:2:3，其体对角线为214，求其体积
2 若长方体两两相邻的三个面的面积分别是2，3，6，求长方体的体积
3 如图，在棱长为4的正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，PB
1
=
4
1
A
1
B
1
，求多面体P-BCC
1
B
1
的体积
4 已知直三棱柱ABC-A
1B
1
C
1
的高为3，底面是边长为1的正三角形，如图，求三棱锥
B
1
-ABC的体积
5 若圆柱的高扩大为原来的四倍，底面半径不变，则其体积扩大多少？若高不变，半径扩大
原来的4倍，则体积扩大多少倍？
6 轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是多少？
7 把长、宽分别为4,2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积
8以圆柱的上底面的中心为顶点，下底面为底面做圆锥，已知圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径
9 边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距
离是多少？
10 已知正六棱台的两底边长为1,2，高是1，求其侧面积
三知识小结。