三角函数小结与复习教案

§4.12.2 小结与复习(二)、(三)

●教学目标 (一)知识目标

1.任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式；

2.两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数；

3.三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角. (二)能力目标

1.理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

4.能正确运用三角公式，进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明；

5.会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的简图，理解A 、ω、ϕ的物理意义；

6.会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x 、arccos x 、arctan x 表示. (三)德育目标

1.渗透“化归”思想；

2.培养逻辑推理能力；

3.提高解题能力. ●教学重点

三角函数公式、三角函数(尤其是正弦函数、余弦函数、正切函数)的图象和性质的应用.

●教学难点

灵活应用三角公式，正弦、余弦、正切函数的图象和性质解决问题. ●教学方法 讲练结合法

通过讲解强化训练题目，加深对三角函数知识的理解，提高对三角函数知识的应用能力.

●教学过程

A 组

1.解：(1)∈+=

=k k S ,24

{ππ

ββZ }，4

9,4,47πππ-

(2)∈+-

==k k S ,232{ππββZ }，3

10,34,32πππ-

(3)∈+=

=k k S ,2512{ππββZ }，5

12,52,58π

ππ- (4)∈π=ββ=k k S ,2{Z ｝，－2π，0，2π

评述：这一题目要求我们首先要准确写出集合S ，并判断k 可取何值时，能

使集合S 中角又属于所要求的范围.

2.解：由l ＝｜α｜r 得ππ2

9

151031518054=⨯=⨯︒︒=l

44302

92≈+π

=

+=r l C cm 101.14

135********⨯≈=⨯⨯==

ππlr S cm 2 答：周长约44 cm ，面积约1．1×10 cm 2

评述：这一题需先将54°换算为弧度数，然后分别用公式进行计算. 3.(1)sin4＜0；(2)cos5＞0；(3)tan8＜0；(4)tan(－3)＞0． 评述：先判断角所属象限，然后确定其三角函数的符号. .

,04

1

cos 4

15sin 1cos sin 4

1cos :.422为第一或第四象限角知由得由解ϕϕϕϕϕϕ〉=±

=⎪⎩⎪⎨⎧

=+=

当ϕ为第一象限角时，sin ϕ＝

415

，tan ϕ＝15； 当ϕ为第四象限角时，sin ϕ＝－4

15

，tan ϕ＝－15.

评述：先由已知条件确定角所属象限，然后结合同角三角函数基本关系式，求出另外的三角函数值.

5.解：由sin x ＝2cos x ，得tan x ＝2 ∴x 为第一象限或第三象限角 当x 为第一象限角时

tan x ＝2，cot x ＝21，cos x ＝55，sec x ＝5，sin x ＝552，csc x ＝25 当x 为第三象限角时 tan x ＝2，cot x ＝2

1

，cos x ＝－55，sec x ＝－5，sin x ＝－5

5

2，csc x ＝－

2

5

110sin 10cos 10sin 10cos 10sin 10cos 10cos 10sin 170sin 10cos )10cos 10(sin 170cos 110cos 10cos 10sin 21:

.62

2

=︒

-︒︒-︒=︒-︒︒-︒=︒-︒︒-︒=

︒

--︒︒

︒-解

评述：注意灵活使用同角三角函数的基本关系式的变形式，即“1”的妙用，这也是三角函数式化简过程中常用的技巧之一，另外，注意及时使用诱导公式和三角函数图象和性质：当α∈［0,

4

π

)时，sin α＜cos α. 7.解：sin 4α－sin 2α＋cos 2α＝sin 2α(sin 2α－1)＋cos 2α＝(1－cos 2

α)(－cos 2α)＋cos 2α

＝－cos 2α＋cos 4α＋cos 2α＝cos 4α

评述：注意使用sin 2α＋cos 2

α＝1及变形式.

8.证明：(1)左边＝2(1－sin α)(1＋cos α)＝2(1－sin α＋cos α－sin αcos α)

＝2－2sin α＋2cos α－sin2α

右边＝(1－sin α＋cos α)2＝［1－(sin α－cos α)］2

＝1－2(sin α－cos α)＋(sin α－cos α)2

＝1－2sin α＋2cos α＋sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α ＝2－2sin α＋2cos α－sin2α ∴左边＝右边 即原式得证.

(2)左边＝sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)＋cos 2α·cos 2β＋sin 2β ＝sin 2α·cos 2β＋cos 2α·cos 2β＋sin 2β ＝cos 2β(sin 2α＋cos 2α)＋sin 2β＝1＝右边 ∴原式得证

评述：三角恒等式的证明一般遵循由繁到简的原则.

9.解：(1)α+-α=α

α+-αα

=α

+αα-αtan 352tan 4cos sin 3

52

cos sin 4

sin 3cos 5cos 2sin 4

将tan α＝3代入得，原式＝.7

5

(2)sin αcos α＝tan α·cos 2α＝tan α·

10

3

3113tan 1122=

+⨯=+α (3)(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×

5

8

103= 评述：注意挖掘已知条件与所求结论中的三角函数的关系. 10.解：(1)sin 625π＋cos 325π＋tan(－425π)＝sin 6π＋cos 3

π－tan 4

π=012

1

2

1=-+

(2)sin2＋cos3＋tan4≈1．0777