总体比例的假设检验
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算机。在显著水平=0.05下，能否认为
计 农村家庭和城市家庭拥有计算的比例相 同
学
天津财经大学 统计学系
设农村家庭拥有计算机的比例为 1
统
城市家庭拥有计算机的比例 2
原假设 H0： 1 2 。
计
在原假设成立的条件下，有
P (a1 a2）/（n1 n2 ) (n1 p1 n2 p2 ) /(n1 n2 )
学
是 的无偏估计量。
天津财经大学 统计学系
n1=135 和 n2=102 都充分大时， 下面的检验统计量近似服从标准正态分布
统
Z
P1 P2
~ N (0,1)
计
P(1 - P)(1/n1 +1/n2 )
其中，三个比例的样本值分别为
学
P1=25/135=0.2254
P2=23/102=0.1852
P=(23+25)/(102+135)=0.2025
天津财经大学 统计学系
Z
0.1852 0.2254
1.897
统
1 135
1 102
*
0.2025 * (1
0.2025)
计 由于 Z 1.96,在显著水平0.05下，农村家庭和
城市家庭拥有计算的比例无显著差异
学
天津财经大学 统计学系
无偏估计量，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统
计 计量近似服从标准正态分布。即
学
Z
P1 P2
~ N (0,1)
P(1 - P)(1/n1 +1/n2 )
天津财经大学 统计学系
• 例：随机抽取135户农村家庭和102户 城市家庭调查是否拥有计算。调查结果
统 显示25户城市家庭和23户农村家庭有计
大 时 ， 样 本 比 例 P=n1/n 近 似 服 从 正 态 分 布
计 N , (1 ) / n 。因此，对于假设 H 0 : = 0 ,
学 在 H 0 成立的前提下，有
z P 0 ~ N (0,1) 0 (1 0 )
n
天津财经大学 统计学系
• 例：一项调查结果声称，某市小学生每 月零花钱达到200元的比例为40%，某
统 概率）分别为 1 和 2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和 n2
计 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x21 ， x22 ，…，
x2n2 ) ，其中，每一次观测结果只取 1（“成功”）和 0（“失败”）
学 两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数为 a1，对
1.43
0 (1 0 ) / n 0.4 (1 0.4) /100
wenku.baidu.com
计
确定拒绝域临界值z0.025=1.96，z<z0.025，故不
学
能拒绝，调查结果还不能充分理由反对比例为
40%这个看法
天津财经大学 统计学系
二、两个总体比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（“成功”
统
总体比例的假设检验
计
学
天津财经大学 统计学系
主要内容
统 • 单个总体比例的检验 计 • 两个总体比例是否相等的检验 学
天津财经大学 统计学系
一、单个总体比例的假设检验
来自总体的样本为(x1,x2,…,xn)。其中，各个
统
xi（i=1,2,…,n）只取 1（“成功”）和 0（“失败”） 两个值。样本中“成功”的次数为 n1。当 n 充分
统 科研机构为了检验这个调查是否可靠， 随机抽选了100名小学生，发现有47人
计 每月零花钱达到200元，调查结果能否
证实早先调查40%的看法？（=0.05）
学
天津财经大学 统计学系
• 解：由条件充分大，可以利用正态近似的公式
进行计算。H0: = 40% H0: 40%
统
Z P 0
0.47 0.4
随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，样本比例分别 记作 P1=a1/n1 和 P2=a2/n2。
天津财经大学 统计学系
为 检 验 1 和 2 是 否 相 等 ， 建 立 原 假 设 H0 ：
1 2 。 在 原 假 设 成 立 的 条 件 下 ， 有
统 P (a1 a2）/（n1 n2 ) (n1 p1 n2 p2 ) /(n1 n2 ) 是 的
计 农村家庭和城市家庭拥有计算的比例相 同
学
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设农村家庭拥有计算机的比例为 1
统
城市家庭拥有计算机的比例 2
原假设 H0： 1 2 。
计
在原假设成立的条件下，有
P (a1 a2）/（n1 n2 ) (n1 p1 n2 p2 ) /(n1 n2 )
学
是 的无偏估计量。
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n1=135 和 n2=102 都充分大时， 下面的检验统计量近似服从标准正态分布
统
Z
P1 P2
~ N (0,1)
计
P(1 - P)(1/n1 +1/n2 )
其中，三个比例的样本值分别为
学
P1=25/135=0.2254
P2=23/102=0.1852
P=(23+25)/(102+135)=0.2025
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Z
0.1852 0.2254
1.897
统
1 135
1 102
*
0.2025 * (1
0.2025)
计 由于 Z 1.96,在显著水平0.05下，农村家庭和
城市家庭拥有计算的比例无显著差异
学
天津财经大学 统计学系
无偏估计量，当 n1 和 n2 都充分大时，下面的检验统
计 计量近似服从标准正态分布。即
学
Z
P1 P2
~ N (0,1)
P(1 - P)(1/n1 +1/n2 )
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• 例：随机抽取135户农村家庭和102户 城市家庭调查是否拥有计算。调查结果
统 显示25户城市家庭和23户农村家庭有计
大 时 ， 样 本 比 例 P=n1/n 近 似 服 从 正 态 分 布
计 N , (1 ) / n 。因此，对于假设 H 0 : = 0 ,
学 在 H 0 成立的前提下，有
z P 0 ~ N (0,1) 0 (1 0 )
n
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• 例：一项调查结果声称，某市小学生每 月零花钱达到200元的比例为40%，某
统 概率）分别为 1 和 2 。
分别独立对这两个随机变量进行独立重复观测 n1 次和 n2
计 次，观测结果为 (x11 ， x12 ，…， x1n1 ) 和 (x21 ， x22 ，…，
x2n2 ) ，其中，每一次观测结果只取 1（“成功”）和 0（“失败”）
学 两个值。对随机变量 X1 的 n1 次观测中“成功”次数为 a1，对
1.43
0 (1 0 ) / n 0.4 (1 0.4) /100
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计
确定拒绝域临界值z0.025=1.96，z<z0.025，故不
学
能拒绝，调查结果还不能充分理由反对比例为
40%这个看法
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二、两个总体比例是否相等的检验
设有服从二点分布的随机变量 X1 和 X2，参数（“成功”
统
总体比例的假设检验
计
学
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主要内容
统 • 单个总体比例的检验 计 • 两个总体比例是否相等的检验 学
天津财经大学 统计学系
一、单个总体比例的假设检验
来自总体的样本为(x1,x2,…,xn)。其中，各个
统
xi（i=1,2,…,n）只取 1（“成功”）和 0（“失败”） 两个值。样本中“成功”的次数为 n1。当 n 充分
统 科研机构为了检验这个调查是否可靠， 随机抽选了100名小学生，发现有47人
计 每月零花钱达到200元，调查结果能否
证实早先调查40%的看法？（=0.05）
学
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• 解：由条件充分大，可以利用正态近似的公式
进行计算。H0: = 40% H0: 40%
统
Z P 0
0.47 0.4
随机变量 X2 的 n2 次观测中“成功”次数为 a2，样本比例分别 记作 P1=a1/n1 和 P2=a2/n2。
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为 检 验 1 和 2 是 否 相 等 ， 建 立 原 假 设 H0 ：
1 2 。 在 原 假 设 成 立 的 条 件 下 ， 有
统 P (a1 a2）/（n1 n2 ) (n1 p1 n2 p2 ) /(n1 n2 ) 是 的