运筹学课件01-线性规划引论
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线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
运筹学01-线性规划引论 (2)
2018/4/10 6
同时，我们有一个追求的目标——成本最低，即： Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
综合上述讨论，在添加剂中各维生素的含量以及成本与原 料消耗量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放 在一起，可以建立如下的数学模型： 目标函数 Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
9
s .t .
2018/4/10
例4、运输问题
运输 单价
仓 1 2 库 3 需求 工 厂
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
2018/4/10 10
解：设xij为i 仓库运到j工厂的原棉数量 其中：i ＝1，2，3 j ＝1，2，3 Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 + x12+ x13 50 x21 + x22+ x23 30 x31 + x32+ x33 10 s.t x11 + x21+ x31 = 40 x12 + x22+ x32 = 15
设按第i种方案下料的原材料为xi根
Min Z x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6 x7 x8 2 x 1 x 2 x 3 x 4 0 x5 0 x6 0 x7 0 x 8 100 0 x1 2 x 2 x 3 0 x 4 3 x 5 2 x6 x7 0 x 8 100 x1 0 x 2 x 3 3 x 4 0 x 5 2 x6 3 x7 4 x8 100 x i 为大于零的整数， i 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
同时，我们有一个追求的目标——成本最低，即： Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
综合上述讨论，在添加剂中各维生素的含量以及成本与原 料消耗量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放 在一起，可以建立如下的数学模型： 目标函数 Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
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s .t .
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例4、运输问题
运输 单价
仓 1 2 库 3 需求 工 厂
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
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解：设xij为i 仓库运到j工厂的原棉数量 其中：i ＝1，2，3 j ＝1，2，3 Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 + x12+ x13 50 x21 + x22+ x23 30 x31 + x32+ x33 10 s.t x11 + x21+ x31 = 40 x12 + x22+ x32 = 15
设按第i种方案下料的原材料为xi根
Min Z x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x6 x7 x8 2 x 1 x 2 x 3 x 4 0 x5 0 x6 0 x7 0 x 8 100 0 x1 2 x 2 x 3 0 x 4 3 x 5 2 x6 x7 0 x 8 100 x1 0 x 2 x 3 3 x 4 0 x 5 2 x6 3 x7 4 x8 100 x i 为大于零的整数， i 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
运筹学-绪论、线性规划引论(名校讲义)
§2.2 从实际问题中提炼数学 模型举例（2）
ai1 x1
针对问题特点，可列写线性规划数学模型如下： a x a x b （最低营养需求约束）
i2 2 in n
j
i
xj 0
x 0 （自变量约束，食品量不会为负）
z c1 x1 c2 x2 cn xn min
§2 线性规划引论
线性规划概述 从实际问题中提炼数学模型举例
§1.1 运筹学简述（1）
运筹学（Operations Research）是系统工程的最重要的理论 基础之一，在美国有人把运筹学称之为管理科学 (Management Science)。运筹学所研究的问题，可简单地归 结为一句话：“依照给定条件和目标，从众多方案中选择最 佳方案”，故有人称之为最优化技术。 1938年英国最早出现了军事运筹学，命名为“Operational Research”,1942年，美国从事这方面工作的科学家命其名为 “Operations Research”这个名字一直延用至今。 美国运筹学的早期著名工作之一是研究深水炸弹起爆深度问 题。当飞机发现潜艇后，飞机何时投掷炸弹及炸弹的引爆引 度是多少？运筹学工作者对大量统计数字进行认真分析后， 提出如下决策：1.仅当潜艇浮出水面或刚下沉时，方投掷深 水炸弹。2炸弹的起爆深度为离水面25英尺（这是当时深水 炸弹所容许的最浅起爆点）。空军采用上述决策后，所击沉 潜艇成倍增加，从而为运筹学增添了荣誉。
(i 1,2,, m)
且令μ →min 为统一标志，令 x0＝μ ，则上述问题变为下述线 形规划问题 ：
§2.2 从实际问题中提炼数学 模型举例（5）
不等式约束：x0 ai1 x1 ain xn bi x0－ai1 x1－－ain xn －bi (i 1,2,, m)
运筹学第一章线性规划
Z＝ X1＋X2 X1
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 18
4、无可行解——可行域为空集
X2
maxz=2X1+4X2
L3: X1<=4
s.t.
L1: X1+X2>=6
X1＋X2>=6 X1＋2X2<=6
L2: X1＋2X2<=6
L4: X2<=3
X1 <=4, X2<=3
X1>=0, X2>=0
二、一般线性规划问题的建模过程（方法）
追求什么目标？ 决策变量？ 目标函数？ 约束条件？
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 4
课本P4例1.1: 生产安排问题 设X1,X2,X3是甲、乙、丙三种产品的产量，Z是工厂 的总利润。 maxz=3X1+2X2+5X3
s.t. X1+2X2+X3<=430 ——第一道工序 3X1＋2X3<=460 ——第二道工序 X1+4X2<=420 ——第三道工序 X1>=0, X2>=0 , X3>=0
b1
b2
Xm＝
bm
－
a1m1 a2m1 amm1
Xm＋1
a1n
a2n
－用…向－量的am形n 式Xn表示为：(1.j1m18a) j x j
b
n
ajxj
j m1
(1.19)
方程组的基是B，设XB是对应于这个基的基变量，XB=（
X1，X2，…，Xm）T
《运筹学》 第一章 线性规划
满足约束条件：
am
x1 1 am x2 2 x1, x2,, xn
《运筹学》 第一章 线性规划
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4、无可行解——可行域为空集
X2
maxz=2X1+4X2
L3: X1<=4
s.t.
L1: X1+X2>=6
X1＋X2>=6 X1＋2X2<=6
L2: X1＋2X2<=6
L4: X2<=3
X1 <=4, X2<=3
X1>=0, X2>=0
二、一般线性规划问题的建模过程（方法）
追求什么目标？ 决策变量？ 目标函数？ 约束条件？
《运筹学》 第一章 线性规划
Slide 4
课本P4例1.1: 生产安排问题 设X1,X2,X3是甲、乙、丙三种产品的产量，Z是工厂 的总利润。 maxz=3X1+2X2+5X3
s.t. X1+2X2+X3<=430 ——第一道工序 3X1＋2X3<=460 ——第二道工序 X1+4X2<=420 ——第三道工序 X1>=0, X2>=0 , X3>=0
b1
b2
Xm＝
bm
－
a1m1 a2m1 amm1
Xm＋1
a1n
a2n
－用…向－量的am形n 式Xn表示为：(1.j1m18a) j x j
b
n
ajxj
j m1
(1.19)
方程组的基是B，设XB是对应于这个基的基变量，XB=（
X1，X2，…，Xm）T
《运筹学》 第一章 线性规划
满足约束条件：
am
x1 1 am x2 2 x1, x2,, xn
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
上页
下页
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对我们有 何限制?
上页
下页
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
运筹学教学课件线性规划学习课件
降低潜在损失
通过全面、有效的风险管理策略，降低潜 在损失。
06线性规划在ຫໍສະໝຸດ 通运输中的应用线性规划在货物运输中的应用
优化运输路径
通过线性规划方法，可以优化货物的运输 路径，从而降低运输成本和时间。
车辆装载优化
线性规划可以优化车辆的装载方案，使得 车辆的装载量达到最大，减少车辆使用数 量和运输成本。
04
线性规划问题的求解方法
图解法
总结词
直观、简单、易懂
详细描述
图解法是一种用几何图形来求解线性规划问题的简单直观的方法，它通过将不等式约束条件转换为图形的限制 条件，将线性规划问题转化为在图中寻找最优解的问题。该方法适用于小规模问题，方便理解，是求解线性规 划问题的基本方法之一。
单纯形法
总结词
03
线性规划问题的数学模型
线性规划问题的标准形式
确定线性规划问题的标准形式
标准形式是由一个线性目标函数和一个线性约束条件组成的数学模型。
将非标准形式转化为标准形式
在求解线性规划问题时，通常需要将非标准形式转化为标准形式，这可以通过引入变量、转换约束条件等方式 实现。
线性规划问题的扩展形式
多目标线性规划
05
线性规划在管理决策中的应用
线性规划在生产计划中的应用
总结词
高效、低成本
确定生产计划目标
通过线性规划方法确定最优质、低 成本的生产计划。
优化生产资源配置
将有限的资源，如人力、物料、设 备等，根据不同产品或部门的需要 ，进行合理分配和优化。
提高生产效率
通过优化生产流程和布局，减少生 产过程中的浪费和等待时间，提高 生产效率。
特点
运筹学注重定量分析、优化思想和系统方法，强调理论与实践相结合，具有广泛应用性和多学科交叉 性。
管理运筹学线性规划_PPT课件
• 为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式， 非标准型可以转化为标准型。标准形式为：
▪ 目标函数极大化， ▪ 约束条件为等式， ▪ 右端常数项bi≥0， ▪ 决策变量非负。
19
经济管理学院
第三节 线性规划的标准型
二、标准型的表达方式 有代数式、矩阵式：
1. 代数式
n
maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
6D
C(4,6)
2x2 =12
3
Z=24
Z=12
B Z=36
0
4
A
8
12
x1
16
3x经1 +济4管x2理=3学6院
第二节 线性规划的图解法
三 、解的可能性（续）
• 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数 无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）
例如
x2
-2x1 + x2 =2
3
maxZ= 3x1 +2 x2
一、图解法的基本步骤 • 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。 • 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，
三维的线性规划则要在立体图上求解，这就比较麻 烦，而维数再高以后就不能图示了。
12
经济管理学院
第二节 线性规划的图解法
1. 可行域的确定
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 条件共同围城的区域。x2
x1 +2 (x2′-x 2〃) + x3′+ x4 =5
2x1 +3 (x2′-x 2〃) + x3′≥6
x1 +
(x2′-x
〃 2
)
+
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
第1章线性规划引论详解
④ 根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性或上下 界。
资源分配问题
▪ 资源分配（resource-allocation）问题是将有限的资源
▪ 分配到各种活动中去的线性规划问题。这一类问题的
▪ 共性是在线性规划模型中每一个函数限制均为资源限
▪ 制(resource constraint) , 并且每一种有限资源都可以表
资源分配问题一般形式
资源分配问题一般形式
▪ 我们用表示xj第j种活动的数量(水平)，则目标 函数 最大化。
▪ 对于第i种资源， 我们有约束条件：
▪ 即资源消耗量不超过的资源总量
资源分配问题一般形式
▪ 因此，这类问题的数学模型为：
成本效益平衡问题一般形式
▪ 以上所讨论的成本效益平衡问题是通过选择 各种活动水平的组合，从而以最小的成本实 现最低可接受的各种效益水平。该问题的一 般形式可描述为：
一般形式
▪ 线性规划的一般形式为：
资源分配问题一般形式
▪ 资源分配问题是将有限的资源分配从事各种 活动的线性规划问题，其一般形式可以描述 为：
▪ 管理层计划用m种资源去从事n种活动，通过 收集每种资源的总量和每种活动单位资源使 用量以及单位贡献等数据如下表所示，来确 定活动的数量使得在资源许可的条件下贡献 最大。
▪ f14 + f24 + f34 = f45 + f46 ▪ 对仓库v5、v6，运进的产品数量等于其需求
量 ▪ f15 + f25+ f45 = 120 ▪ f46+ f36 = 130
物流网络配送问题
▪ 此外，对网络中有运输容量限制的路线的约 束是：该路线上的运输产品数量不超过该线 路的运输能力，即：
资源分配问题
▪ 资源分配（resource-allocation）问题是将有限的资源
▪ 分配到各种活动中去的线性规划问题。这一类问题的
▪ 共性是在线性规划模型中每一个函数限制均为资源限
▪ 制(resource constraint) , 并且每一种有限资源都可以表
资源分配问题一般形式
资源分配问题一般形式
▪ 我们用表示xj第j种活动的数量(水平)，则目标 函数 最大化。
▪ 对于第i种资源， 我们有约束条件：
▪ 即资源消耗量不超过的资源总量
资源分配问题一般形式
▪ 因此，这类问题的数学模型为：
成本效益平衡问题一般形式
▪ 以上所讨论的成本效益平衡问题是通过选择 各种活动水平的组合，从而以最小的成本实 现最低可接受的各种效益水平。该问题的一 般形式可描述为：
一般形式
▪ 线性规划的一般形式为：
资源分配问题一般形式
▪ 资源分配问题是将有限的资源分配从事各种 活动的线性规划问题，其一般形式可以描述 为：
▪ 管理层计划用m种资源去从事n种活动，通过 收集每种资源的总量和每种活动单位资源使 用量以及单位贡献等数据如下表所示，来确 定活动的数量使得在资源许可的条件下贡献 最大。
▪ f14 + f24 + f34 = f45 + f46 ▪ 对仓库v5、v6，运进的产品数量等于其需求
量 ▪ f15 + f25+ f45 = 120 ▪ f46+ f36 = 130
物流网络配送问题
▪ 此外，对网络中有运输容量限制的路线的约 束是：该路线上的运输产品数量不超过该线 路的运输能力，即：
2-1线性规划引论-(1) [运筹学]
![2-1线性规划引论-(1) [运筹学]](https://img.taocdn.com/s3/m/e8b076084431b90d6c85c7c1.png)
min Z cij xij ;
aij xij ai (i 1, 2, m, 对机床A i 加工机时的限制); j 1 m s.t. xij b j ( j 1, 2, n, 对零件B j的需要量必须保证); i 1 xij 0(i 1, 2, m; j 1, 2, n).
11
min Z x1 x2 xn ;
例4 运输问题
某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、 货运成本如下表所示。
编队形式 航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 — 4 27 20 1 2 — 2 4 4 36 72 20 40 拖轮 1 A型 驳船 2 B型 驳船 — 货运成本 （千元／队） 36 货运量 （千吨） 25
解：
当产销平衡（即 ai b j）时，设xij 表示由产地A i 运往销地B j (i 1,2, , m; j 1,2, , n)的运量，
i 1 j 1
m
n
则问题的数学模型为：求xij (i 1,2, , m; )
minZ cij x ij ;
i 1 j 1
编队形式
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30 2x1 + 2x3 ≤34 4x2 + 4x3 + 4x4 ≤52 25x1 + 20x2 xj ≥ 0 j = 1,2,3,4 ＝200 40x3 + 20x4 ＝400
船队 用单纯形法可求得： A型 B型 类型 1 2 3 4 拖轮 1 1 2 1 2 — 4
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 a 1 n x n b1 a x a x a x b 22 2 2n n 2 21 1 s.t. a x a x a x b m 2 2 mn n m m1 1 x j 0 ( j 1, 2 , , n )
运筹学课件 第一章线性规划
8
2013-11-30
• 以上数学模型有什么特点？ • 线性规划模型的定义 • 线性规划的一般形式
9
2013-11-30
建模过程： 1.理解要解决的问题，了解问题的目标和条 件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每 一组值表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数， 确定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决 问题过程中必须遵循的约束条件。
目标函数： Min
14
2013-11-30
1.2 线性规划图解法
对于只有两个决策变量的线性规划问题， 可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问 题的有关概念，并求解。 下面通过案例详细讲解其方法：
15
2013-11-30
例1、某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
10
2013-11-30
线性规划的组成： •目标函数 Max F 或 Min F
•约束条件
•决策变量
s.t. (subject to) 满足于
用符号来表示可控制的因素
11
2013-11-30
在管理中一些典型的线性规划应用
• 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下， 下料最少
• 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2013-11-30
• 以上数学模型有什么特点？ • 线性规划模型的定义 • 线性规划的一般形式
9
2013-11-30
建模过程： 1.理解要解决的问题，了解问题的目标和条 件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每 一组值表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数， 确定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决 问题过程中必须遵循的约束条件。
目标函数： Min
14
2013-11-30
1.2 线性规划图解法
对于只有两个决策变量的线性规划问题， 可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问 题的有关概念，并求解。 下面通过案例详细讲解其方法：
15
2013-11-30
例1、某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
10
2013-11-30
线性规划的组成： •目标函数 Max F 或 Min F
•约束条件
•决策变量
s.t. (subject to) 满足于
用符号来表示可控制的因素
11
2013-11-30
在管理中一些典型的线性规划应用
• 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下， 下料最少
• 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
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2012-10-4
12
(3) 线性规划模型一般形式
目标函数
Max Min
Z c1 x1 c2 x2 cn xn a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n , b 1 a x a 22 x 2 a 2 n x n , b 2 21 1 a x a x a x , b m2 2 mn n m m1 1 x 1 , x 2 , , x n 0
2012-10-4 2
解: 设产品A, B产量分别为变量x1， x2
根据题意，两种产品的生产要受到可用资源的限制， 具体讲： 对于煤，两种产品生产消耗量不能超过30，即： x1 + 2x2 30 对于劳动力，两种产品生产的占用量不能超过60，即：
3x1 + 2x2 60
对于仓库，两种产品生产的占用量不能超过24，即： 2x2 24 另外，产品数不能为负，即： x1，x2 0
Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 + x12+ x13 50 x21 + x22+ x23 30 x31 + x32+ x33 10 s.t x11 + x21+ x31 = 40 x12 + x22+ x32 = 15
设按第i种方案下料的原材料为xi根
Min Z x1 x 2 x 3 x 4 x5 x6 x7 x8 2 x1 x 2 x 3 x 4 0 x5 0 x6 0 x7 0 x8 100 0 x1 2 x 2 x 3 0 x 4 3 x5 2 x6 x7 0 x8 100 x1 0 x 2 x 3 3 x 4 0 x5 2 x6 3 x7 4 x8 100 x i为大于零的整数， 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 i
第一章 线性规划引论
1.1 线性规划问题及其数学模型
1.2 线性规划问题的图解法
1.3 线性规划问题的建模与应用举例
1.1 线性规划问题及其数学模型
(1) 线性规划问题
例1、生产组织与计划问题 A 煤 劳动力 仓库 单位利润 1 3 0 40 B 2 2 2 50 可用资源 30 60 24
A, B 各生产多少, 可获最大利润?
x13 + x23+ x33 = 35
xij 0
2012-10-4 11
(2) 线性规划问题的特点
决策变量： (x1… xn)T 代表某一方案， 决策者要考虑 和控制的因素非负；
目标函数：Z=ƒ(x1 … xn) 为线性函数，求Z极大或极小; 约束条件：可用线性等式或不等式表示.
具备以上三个要素的问题就称为 线性规划问题。
2012-10-4 6
同时，我们有一个追求的目标---成本最低，即： Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
综合上述讨论，在添加剂中各维生素的含量以及成本与原 料消耗量成线性关系的假设下，把目标函数和约束条件放 在一起，可以建立如下的数学模型： 目标函数 Min Z= 2x1 + 5x2 +6x3+8x4
2012-10-4
(0 1)
20
例1-3、 Max Z=2X1+ 4X2
2X1+X2 8
X2
X1 0
-2X1+X2 2
s.t
-2X1+X2 2 X1 , X2 0
无有限最优解
8
6
可行域 无上界
4
可行域
2
无界
0
4
无有限最优解
X1
X20
Z=0
2X1+X2 8
2012-10-4
③ 容易求解。对线性规划来说，容易求解问题主要是控制 问题的规模，包括决策变量的个数和约束条件的个数。 这条原则的实现往往会与(1)发生矛盾，在实现时需要对 两条原则进行统筹考虑。
2012-10-4
27
建立线性规划模型的四个步骤 ①设立决策变量； ②明确约束条件并用决策变量的线性等式或不 等式表示； ③用决策变量的线性函数表示目标，并确定是 求极大（Max）还是极小（Min）；
21
例1-4、 Max Z=3X1+2X2
X2
s.t
-X1 -X2 1
X1 0 X2 0
X1 , X2 0
无可行域 无可行解
-1 0
X1
-1
-X1 -X2 1
2012-10-4
22
例
x2
6
2-1 z 2x 1 3x 2 2x 1 2x 2 12 x 2x 2 8 1 2x 1 8 4x 2 12 x1 0 , x2 0
A
10
C
D 20
0
10
30
2012-10-4
19
最优解：BC线段
Max Z=1200
C点：X(2)=(15,7.5)
B点：X(1)=(6,12)
X=X(1)+(1-)X(2) (0 1) X= X1 X2 = 6 12 +(1- ) 15 7.5
X1 =6 +(1- )· 15 X2=12+(1- )· 7.5 X1 =15-9 X2 =7.5+4.5
Max Min Z CX AX , b X 0
1 2
s .t
定义1：满足约束(2)的X=(X1 …Xn)T称为线性规划问题的 可行解，全部可行解的集合称为可行域。 定义2：满足(1)的可行解称为线性规划问题的最优解。
2012-10-4
15
例1-1 Max Z=40X1+ 50X2 X1+2X2 30
④根据决策变量的物理性质研究变量是否有非 负性。
2012-10-4
28
人力资源分配的问题
例 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务 人员数如下：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
x1
Max
5
⑶
s .t
4
⑷
3
1 2 3 4
1
2
(4 2)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
⑵ ⑴
∴有唯一最优解：x1 = 4 x2 = 2
2012-10-4
最优值 Z = 14
23
例
x2
6
2-2 z x 1 2x 2 2x 1 2x 2 12 x 2x 2 8 1 2x 1 6 4x 2 12 x1 0 , x2 0
4x1 + 6x2 + x3+2x4 12
约束条件
s.t
x1 + x2 + 7x3+5x4 14
2x2 + x3 + 3x4 8 xj 0 (j =1,…,4)
2012-10-4
7
例3、合理下料问题 2.9m 钢筋架子100个，每个需用 2.1m 各1，原料长7.4m
1.5m
求：如何下料，使得残余料头最少。 解：首先列出各种可能的下料方案； 计算出每个方案可得到的不同长度钢筋的数量及残余 料头长度；
9
s .t .
2012-10-4
例4、运输问题
运输 单价
仓 1 2 库 3 需求 工 厂
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
求：运输费用最小的运输方案。
2012-10-4 10
解：设xij为i 仓库运到j工厂的原棉数量 其中：i ＝1，2，3
j ＝1，2，3
确定决策变量；
根据下料目标确定目标函数； 根据不同长度钢筋的需要量确定约束方程。
2012-10-4 8
组合方案
2.9m 2.1m 1.5m 合 料 料 计 长 头
1
2 0 1
2
1 2 0
3
1 1 1
4
1 0 3
5
0 3 0
6
0 2 2
7
0 1 3
8
0 0 4
7.3m 7.1m 6.5m 7.4m 6.3m 7.2m 6.6m 6.0m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 7.4m 0.1m 0.3m 0.9m 0.0m 1.1m 0.2m 0.8m 1.4m
A
10
B C D 20
0
10
30
X2 0
17
(2)、求最优解 Z=40X1+50X2
0=40X1+50X2
X2
最优解：
30
X* = (15,7.5) Zmax =975
最优解 Z=975 C D 20
(0,0)， (10,-8)
C点： X1+2X2 =30
20
3X1+2X2 =60
可行解 Z=0 等值线
A
10
B
0
10