福建省厦门市普通高中2015届高三质量检查数学文试题
2015年福建高考数学文科试卷带详解
2015年福建高考数学 文科卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若（1+i ）+（2-3i ）=a +b i （a ，b ∈R ，i 是虚数单位），则a ，b 的值分别等于（ ） A.3，－2 B.3，2 C.3，－3 D.－1, 4 【参考答案】A【测量目标】复数形式的代数运算.【试题分析】由已知得3－2i=a+b i ，所以a =3，b = －2，故选A. 2.若集合M ={x |－2≤x <2},N ={0，1，2},则M N 等于（ ） A.{0} B.{1} C.{0,1,2} D.{0,1} 【参考答案】D【测量目标】集合的基本运算.【试题分析】由交集定义得M N ={0,1},故选D. 3.下列函数为奇函数的是（ ）A.y =B.e x y =C.y =cos xD.e e x x y -=-【参考答案】D【测量目标】函数奇偶性的判断.【试题分析】函数y =和e x y =是非奇非偶函数；cos y =x 是偶函数；e e x x y -=-是奇函数，故选D.4.阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ） A.2 B.7 C.8D.128第4题图【参考答案】C【测量目标】流程图.【试题分析】由题意得，该程序表示分段函数2,2,,9,2x x y x x ⎧=⎨-<⎩≥则f （1）=9－1=8.故选C.5．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点（1,1），则a +b 的最小值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【参考答案】C【测量目标】不等式的性质. 【试题分析】由已知得111,a b +=则a +b =（a +b ）（11a b +）=2+b a a b+，因为a >0，b >0，所以2a b b a +=≥，故a +b ≥4，当b a a b =，即a =b =2时取等号.6．若sin α=513-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A.125 B.125- C.512 D.512- 【参考答案】D【测量目标】同角三角函数的基本关系式. 【试题分析】由sin α=513-，且α为第四象限角，则cos α=1213=，则tan α=sin cos αα=512-，故选D. 7.设(1,2),(1,1),k ===+a b c a b .若,⊥b c 则实数k 的值等于（ ） A.32-B.53-C.53D.32【参考答案】A【测量目标】平面向量的数量积.【试题分析】由已知得(1,2)(1,1)(1,2),k k k =+=++c 因为,⊥b c 则0,⋅=b c 因此120k k +++=解得k =32-，故选A. 8.如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，B 点的坐标为(1,0).且点C 与点D 在函数f （x ）1,011,02x x x x +⎧⎪=⎨-+<⎪⎩≥的图象上，若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A.16 B.14 C.38 D.12第8题图【参考答案】B【测量目标】几何概型.【试题分析】由已知得B (1,0),C (1,2),D (－2,2),F (0,1),则矩形ABCD 面积为3⨯2=6，阴影部分面积为133122⨯⨯=，故该点取自阴影部分的概率为326=14.9.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积等于（ ）A.8+B.11+C.14+D.15第9题图【参考答案】B【测量目标】三视图和表面积.【试题分析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别是1,2，直角腰长为1底面积为2⨯123⨯=3，侧面积为2+2+4+11+ B.10．变量,x y 满足约束条件0220,0x y x y mx y +⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A.2-B.1-C.1D.2 【参考答案】C【测量目标】线性规划求目标函数的最值.【试题分析】将目标函数变形为y =2x -z ，当z 取最大值时，则直线纵截距最小.故当m ≤0时，不满足题意；当m >0，画出可行域，如图所示，第10题图其中B (22,2121mm m --).显然O （0，0）不是最优解，故只能是B 是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得m=1，故选C. 11.已知椭圆:22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F .短轴的一个端点为M ,直线l ：3x －4y =0交于椭圆E 于A,B ,两点.若|AF|+|BF|=4,点M 到直线l 的距离不小于45,则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.(0,2] B.(0,34] C.[2,1] D.[34,1)【参考答案】A【测量目标】椭圆的定义和简单几何性质.【试题分析】设左焦点为1F ,连接11,AF BF .则四边形1BF AF 是平行四边形，故|1|||AF BF =,所以1||||42,A F A Fa +==所以2a =，设(0,)M b 则44,55b ≥故1,b ≥从而2221,03,03,a c c -<<≥≤E 的离心率的取值范围是（0故选A. 12.“对任意π(0,),sin cos "2x k x x x ∈<是“1"k ≤的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】B【测量目标】导数的应用.和充分必要条件的定义【试题分析】当1k <时，s i n c o ss i n 22k k x x x =，构造函数()sin 2,2k f x x x =-则()cos 210,f x k x '=-<故()f x 在π(0,)2x ∈单调递减，故()(0)0,f x f <=则sin cos k x x x <；当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22x x <，构造函数1()sin 2,2g x x x =-则()cos 210g x x '=-<，故()g x 在π(0,)2x ∈递减，故()(0)0g x g <=，则sin cos x x x <.综上所述，“对任意x ∈（0，π2），s i n c o s k x x x <”是“1k ≤”的必要不充分条件.故选B.14.若△ABC 中，45AC A ==，75C =，则BC =__________.【测量目标】正弦定理.【试题分析】由题意得18060B A C =--=，由正弦定理得sin sin AC BCB A=, 则sin sin AC ABC B=,所以BC ==15.若函数||()2(x a f x a -=∈R ）满足(1)f x +=(1)f x -,且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于______. 【参考答案】1【测量目标】函数的图象与性质.【试题分析】由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故a =1，则|1|()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1. 16.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的最小值等于_______. 【参考答案】9【测量目标】等差中项和等比中项.【试题分析】由韦达定理得,,a b p a b q +=⋅=则0,0,a b >>当,,2a b -适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故44,a b q b a===，当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得a=1，b =4；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）等差数列{n a }中，2474,15a a a =+=. （1）求数列{n a }的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值【测量目标】（1）等差数列通项公式; （2）分组求和.【试题分析】（1）设等差数列{n a }的公差为d , 由已知得1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩所以1(1)2n a a n d n =+-=+. （1） 由（1）可得2n n b n =+所以123b b b +++⋅⋅⋅+10b 23(21)(22)(23)=++++++⋅⋅⋅+10(210)+ =(23222+++⋅⋅⋅+102)(12310)++++⋅⋅⋅+=102(12)(110)10122-+⨯+-=11(22)55-+=112532101+=.18.(本题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中的影响程度的综合指标.据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20.(1)现从融合指数在[4,5]和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数. 【测量目标】(1)古典概型; (2)平均数.【试题分析】解法一：(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为1,23,;A A A 融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为12,B B .从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取的2家的所有的基本事件是：12{,}A A ,1323{,},{,}A A A A ,1112{,},{,},A B A B 2122{,},{,}A B A B ,31{,}A B ,32{,},A B 12{,}B B ,共10个.其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：1213231112{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A B A B 2122{,},{,},A B A B 3132{,},{,}A B A B ,共9个.所以所求的概率910P =. (2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数 等于28734.5 5.5 6.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=. 解法二：(1)融合指数在[7,8] 内的“省级卫视新闻台”记为123,,A A A ;融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为12,.B B 从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{12,}A A ,132311{,},{,},{,}A A A A A B ,122122{,},{,},{,}A B A B A B313212{,},{,},{,}A B A B B B ,共10个，其中，没有一家融合指数在[7,8]内的基本事件是：12{,}B B ,共1个.所以所求的概率1911010P =-=. (2)同解法一.19.（本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点()2,A m 在抛物线E 上，且||3AF =. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点(1,0),G -延长AF 交抛物线E 于点B ,证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.第19题图【测量目标】(1)抛物线的定义;(2)直线和圆的位置关系. 【试题分析】解法一：(1)由抛物线的定义得||22p AF =+.因为 ||3,AF =即22p+=3，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =.(2)因为点(2,)A m 在抛物线2:4E y x =上，所以m =+A ,由(1,0)A F 可得直线AF 的方程为1)y x =-，由2(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1(,2B ,又(1,0)G -,所以0012(1)33(1)2GA GB k k ====-----,所以0GA GB k k +=,从而∠AGF =∠BGF ,这表明点F 到直线,GA GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切.解法二：(1)同解法一.(2) 设点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点(2,)A m 在抛物线2:4E y x=上，所以m=±A,(1,0)F可得直线AF的方程为1)y x=-由21)4y xy x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x-+=，解得122x x==或，从而1(,2B,又(1,0),G-故直线GA的方程为30y-+=，故F到直线AG的距离r=.又直线GB的方程为30y++=，所以点F到直线GB的距离d r===，这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与GB相切.20.(本题满分12分)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O异于,A B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且1PO OB==.第20题图(1)若D为线段AC的中点，求证AC⊥平面PDO;(2)求三棱锥P ABC-体积的最大值；(3)若BC点E在线段PB上，求CE OE+的最小值.【测量目标】(1)直线和平面垂直的判定;(2)三棱锥体积求法; (3)线段和的最值问题.【试题分析】解法一：(1)连接PD，在△AOC中，因为OA OC=,D为AC的中点，所以AC OD⊥,又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO AC⊥,因为DO PO O=，所以AC⊥平面PDO.(2)因为点C在圆O上，所以当CO AB⊥时，C到AB的距离最大，且最大距离为 1.又2AB=,所以△ABC面积的最大值为12112⨯⨯=.又因为三棱锥P ABC-的高1PO=,故三棱锥体积的最大值为111133⨯⨯=.(3)在△POB中，1,90PO BO POB==∠=。
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A． 2
B． 3
C．2
D．3
12．如图， △BCD 与 △ABC 的面积之比为 2，点 P 是区域 ABDC 内
任意一点（含边界） ，且 AP AB AC( , R) ，则
的取值范围是 A ． [0,1] C． [0． 3]
B．[0,2] D． [O,4]
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分．
22．（本小题满分 14 分）
已知函数 f (x) sin x, g( x) f ( x) ax, x [0, ] ． 2
（
I ）当
1
a=
时，求函数
g（ x）的单调递增区间；
2
（Ⅱ）若函数 g（x）的最小值为 0，求实数 a 的取值范围；
（Ⅲ）设 0 x1 x2
，试比较
2
f ( x1) f ( x2 ) 与 f '( x1 ) f '( x2) 的大小，并说明理由．
· 2·
E，O
x2 y2 13．已知椭圆 a 2 b2 1(a 0, b 0) 经过两点 A （ 3， 0）， B（ 0， -2），则椭圆的方程是
14．在平面直角坐标系 zOy 中，以 x 轴的非负半轴为始边作锐角
3 ），则 tan（ 一 a）=
．
5
a，它的终边与单位圆交于点
3x y 0,
15．若实数 x，y 满足 x y 0, ， 且 z=3x +y 的最小值为 6，则实数 b= x y b 0,
21．（本小题满分 12 分）
已知 F 为抛物线 C： x2 =2py （ p>0 ）的焦点，点 F 到直线 l : x
y
2014-2015福建省厦门市高三(上)质量检查(含答案)
厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：V Sh =柱.其中S 为底面面积，h 为高．第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．设集合{}|20A x x =+>，|B x y ⎧==⎨⎩,则A B = A ．{|2}x x >- B ． {|3}x x < C ．{|32}x x x ><-或 D ． {|23}x x -<< 2. 已知命题:p 0x R ∃∈，01sin 2x ≥，则p ⌝是 A ．1,sin 2x R x ∀∈≤B ．1,sin 2x R x ∀∈< C ．001,sin 2x R x ∃∈≤D ．001,sin 2x R x ∃∈< 3.已知向量()1a m,= ,()22b m ,= ,+0a b λ= 则m =A. 0B. 2C. 0或2D. 0-2或 4.曲线23y x =与直线1,2x x ==及x 轴所围成的封闭图形的面积是 A. 1 B.3 C. 7 D. 85.函数()sin y x x x R =+∈的图象的一条对称轴经过点A. ⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π B. ⎪⎭⎫⎝⎛0,6π C. 03,π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. ⎪⎭⎫⎝⎛0,3π 6. 已知,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是 A ．若,//l m αα⊥，则l m ⊥ B. 若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ C ．若//,l m m α⊂，则//l α D ．若//,//l m αα，则l // m 7.等差数列{}n a 中，3a 和9a 是方程2160x x c -+=(64)c <的两实根， 则该数列前11项和11S =A ．58B ．88C ．143D ．1768.在直角坐标系中，函数()1 sinf x xx=-A9 . 椭圆2:13Ea+=的右焦点为F B两点.若△FAB周长的最大值是8，则m的值为A. 0B.1C.D. 210. 设函数[]35211*()(1),(0,1,)3!5!(21)!nnnx x xf x x x n Nn--=-+-+-∈∈-，则A.23()sin()f x x f x≤≤ B.32()sin()f x x f x≤≤C. 23sin()()x f x f x≤≤ D.23()()sinf x f x x≤≤第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11.已知sin2cosαα=,则tan4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭.12.三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于_____.13. 已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的渐近线与圆22(5)9x y-+=相切，则双曲线C的离心率为.14.已知数列{}n a中，13a=，()130nn na ab b++=>，*n N∈.①当1b =时，712S =； ②存在R λ∈,数列{}nn a bλ-成等比数列；③当()1b ,∈+∞时，数列{}2n a 是递增数列； ④当()01b ,∈时， 数列{}n a 是递增数列.以上命题为真命题的是 （写出所有真命题对应的序号）.（二）选做题：本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案．．．．．．．．．．．．．．，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分． 15. （1）（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111A -⎛⎫=⎪⎝⎭，且103xA y -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则x y +=___________. （2）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为cos 1ρθ=，圆C 的参数方程为:22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则圆心C 到直线的距离等于_____________(3)（选修4-5：不等式选讲）已知,x y R +∈且22x y +=的最大值等于_____．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题12分） 已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点（0，12）,且相邻两条对称轴间的距离为2π. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式及其单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边，若1cos 22A f A ()-=， 且1,3bc b c =+=，求a 的值. 17. （本小题12分）如图，菱形ABCD 的边长为2，对角线交于点O, DE ⊥平面ABCD .(Ⅰ)求证：AC ⊥ BE ；(Ⅱ)若120o ADC ∠=，2DE =，BE 上一点F 满足//OF DE求直线AF 与平面BCE 所成角的正弦值.A18. （本小题12分）已知梯形OABC 中，21OA OC AB ===,OC //AB ，3π=∠AOC ,设OA OM λ=,μ=()00,λμ>>, ()12OG OM ON =+,如图： (Ⅰ)当1124,λμ==时，点O,G,B 是否共线，请说明理由； (Ⅱ) 若OMN ∆,求OG 的最小值.19. （本小题13分）营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）.某学校食堂提供的伙食以食物A 和食物B 为主， 1千克食物A 含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元； 1千克食物B 含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元.(Ⅰ)如果某学生只吃食物A ，他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；(Ⅱ) 根据营养学家的建议，同时使得花费最低，学生每天需要同时吃食物A 和食物B 各多少千克.20. （本小题13分）已知抛物线E :x y 42=,点(),0F a ，直线:,l x a =-，0a >，且a 为常数. (Ⅰ) 当1a =时，P 为直线l 上的点,R 是线段PF 与y 轴的交点.若点Q 满足:,RQ FP PQ l ⊥⊥,判断点Q 是否在抛物线E 上，并说明理由；(Ⅱ)过点F 的直线交抛物线E 于A,B 两点, 直线OA ,OB 分别与直线x a =-交于M ,N 两点.，求证：以MN 为直径的圆恒过定点并求定点的坐标.21. （本小题14分）设函数()*()ln 1,2,1n f x ax x n N n a =--∈≥> .（Ⅰ）当2a =，2n =时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个零点12x ,x .(i)求a 的取值范围； (ii)求证：2212n x x e->（e 为自然对数的底数）.厦门市2014-2015学年第一学期高三年级质量检测（理科）试题参考答案及评分标准二、填空题：三、解答题： 16．（本小题满分12分）本题主要考查三角函数的对称性、周期性与单调性，两角和与差的正弦公式及余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想与数形结合思想． 解：（Ⅰ）由()f x 的图象过点（0，12），得1sin 2ϕ= 又02πϕ<<，6πϕ∴=……………………………………………………………….………1分由相邻两条对称轴间的距离为2π，知()f x 的周期T=π…………………………………….2分 则2ππω=，2ω∴=……………………………………………………………………………3分()sin(2)6f x x π∴=+…………………………………………………………………………4分令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，………………………………………………..….5分得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈()f x ∴的递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈…………………………………………..….6分（Ⅱ）由1cos 22A f A ()-=，可得1sin()cos 62A A π+-=11cos cos 22A A A +-=11cos 22A A -=…………………………..…7分 化简得，1sin()62A π-=………………………………………………………………………8分50,666A A ππππ<<∴-<-<……………………………………………………….……9分66A ππ∴-=，即3A π=………………………………………………………….………….10分又bc =1，b+c=3，据余弦定理可得22222cos ()36a b c bc A b c bc =+-=+-= …………………………………………….11分a ∴=…………………………………………………………………………………..…..12分17．（本小题满分12分）本题考查空间线面位置关系以及利用空间向量这一工具解决立体几何中有关长度、角度、垂直、平行问题的能力.考查了空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查了转化与化归思想以及方程思想的应用能力. (Ⅰ)证明：,DE ABCD AC ABCD ⊥⊂平面平面， DE AC ∴⊥ …………….……..…….1分四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，……………………………………………………..2分 又DEBD D =，E AC BD ∴⊥平面 ，……………………………………………..…… 4分BE BDE ⊂平面，∴AC BE ⊥ …………………5分（Ⅱ）（解法一）,//DE ABCD OF DE ⊥平面 ，O F A B C D ∴⊥平面，以O 为原点，以,,OA OB OF 分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：………………………………………….…6分依题意可得(0,1,0),((0,1,2),(0,0,1)A B C E F -，(AF =，(1,0)BC =-，(0,1,1)BF =-, …………………………………7分设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则0n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0,0y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩………………8分取(1,3,n =- ,……………………………………………………………………...……9分则2cos ,7||||AF n AF n AF n ⋅-<>===, ………………………………………….…11分 设直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则21sin |cos ,|AF n θ=<>=12分 (Ⅱ)（解法二）,//DE ABCD OF DE ⊥平面，OF ABCD ∴⊥平面，..6分由题意可得 112O F D E ==，AO OC ==1BO OD ==，..……7分xABE CE ==……………………………………….……8分2AF ==，212BCE S BC ∆==………………………………………………….…9分 连接AE ，设点A 到平面BCE 的距离为d ,A BCE E ABC V V --=，即1111(1)23332BCE ABC S d S DE ∆∆⋅=⋅=⨯⨯⨯ ,解得7d = ，………….…11分 所以直线AF 和平面BCE 所成的角为θ，则sin d AF θ==. ………………..……12分 18．（本小题满分12分）本题考查平面向量基本定理、几何性质、模与数量积的运算，以及基本不等式等知识的综合应用，考查运算求解能力和推理论证能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法.解法一：(Ⅰ)当11,24λμ== 时，12OB OA AB OA OC =+=+………………………….…..2分 （或：依题意2,//OC AB OC AB =12OB OC OA ∴=+ )111111()()()222442OG OM ON OA OC OA OC =+=+=+..3 4O B O G ∴=…………………………………………….……...4分//OB OG ∴……………………………………………………..5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………..6分 (Ⅱ) 1sin 23OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= ………………………………8分 ()()1122OG OM ON OA OC λμ=+=+ ()22222124OG OA OC OC OA λμλμ=++⋅…………………………..……………………..9分 ()2222112cos 434πλμλμλμλμ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭……………………………………10分33416λμ≥=……………………………………….…...11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43 …………………………….…….12分 解法二：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系…………….…..1分(Ⅰ)15(0,0),(1,0),((,24O A C B ………………….………….…2分54OB ⎛∴= ⎝⎭()()111111151,0,,222448221616OG OM ON OA OC ⎛⎫⎛⎛⎫=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………3分 4OB OG ∴=……..………………………………………………………………………………4分 //OB OG ∴……………………………………………………………………………………….5分 ,,O G B ∴三点共线 …………………………………………………………………………….6分(Ⅱ) 1sin 23416OMN S OM ON π∆=⋅==， 14λμ∴= …………………….……….8分()12,0,24M N G λμλμμμ⎛⎫⎛⎫+∴ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………….…….……9分=()22222144λμμλμλμ⎫+⎛⎫+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………………….…..……10分 33416λμ≥= …………………………………………….…11分当且仅当21==μλ时取等号，∴OG 的最小值是43…………………………..………12分19．（本小题满分13分）本题主要考查二元一次不等式（组）的区域表示，线性规划问题等相关概念，考查学生应用线性规划思想解决实际生活问题的能力以及数据处理能力，同时考查了数形结合、转化与化归等数学思想方法.解：(Ⅰ) 如果学生只吃食物A ，则当蛋白质摄入量在[60，90]（单位：克）时，则食物A 的重量在[1，1.5] （单位：千克），其相应的脂肪摄入量在[9，13.5] （单位：克），不符合营养学家的建议；……………………….2分 当脂肪摄入量在[9，27] （单位：克）时，则食物A 的重量在[2，3] （单位：千克），相应的 蛋白质摄入量在[120，180] （单位：克），不符合营养学家的建议. ………………………….4分 (Ⅱ)设学生每天吃x 千克食物A ，y 千克食物B ，则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0272791890306060y x y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤≤+≤0,0332322y x y x y x ，分作出其相应的可行域，如图阴影部分所示…....8分 每天的伙食费为2015z x y =+……..………….9分由⎩⎨⎧=+=+2322y x y x 解得42(,)55M作直线0:20150l x y +=，平移0l 过点M 时，z 有最小值………………………………………………………………………………………..10分所以min 4220152255z =⨯+⨯=………………………………………………….………….…12分所以学生每天吃0.8千克食物A ，0.4千克食物B ，既能符合营养学家的标准又花费最少.………………………………………………………13分20．（本小题满分13分）本题主要考查抛物线的定义和几何性质、直线的方程、圆的方程等基本知识.本题通过用代数方法研究圆锥曲线的性质,考查学生运算求解能力以及应用解析几何知识解决问题的能力.考查数形结合思想与方程思想等数学思想.(Ⅰ)解法一:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线1分因为O 点为FC 的中点且O R ∥PC,所以R 点为线段PF 的中点.又因为R Q ⊥PF,所以QR 为PF 的垂直平分线,可知PQ=QF. ………4分根据抛物线定义,Q 点在抛物线E :x y 42=上,如图所示. ………5分解法二:由已知1=a ,可得(1,0)F 为焦点,:1l x =-为准线 设P 点坐标为(0,1y -),则直线PF 的方程为)1(210--=x y y ……………………….……….2分 R 点坐标(0,021y ),直线RQ 的方程为00212y x y y +=…………………………….…………..3分 又直线PQ 的方程为0y y =.故Q 点坐标为),41(020y y ………………………………………….4分 把Q 点代入x y 42=,满足方程,即Q 点在抛物线E :x y 42=上………………………….……5分 (Ⅱ)解法一: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .①当直线AB 的斜率不存在时,设直线AB 的方程为a x =,求得)2,(a a A ,)2,(a a B -)2,(),2,(a a N a a M ---,显然以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………………..………6分 ②当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为)(a x k y -=,代入x y 42= 得0)42(22222=++-k a x ak x k .设)2,(11x x A )2,(22x x B -由韦达定理得2212221,42a x x kak x x =+=+………….……7分 又求得212,2x K x K OB OA -==.故直线OA 的方程:x x y 12=,直线OB 的方程:x x y 22-= ………………………………8分得到)2,(),2,(12x a a N x a a M ---………………………………………………………………..9分由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=, …………………………………………………..………………………….10分 求得),2,(2x a m a ---=)2,(1x a m a --=代入上式得…………………..………11分04)(2122=-+x x a m a ,⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).……………………….………13分 解法二: 由图形的对称性可知定点在x 轴上,设定点坐标K )0,(m .设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(221y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………………7分 又求得214,4y K y K OB OA ==.故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= …………………….………………8分 得到)4,(),4,(21y aa N y a a M ----…………………………………………………………….……9分 由于圆恒过定点K )0,(m ,根据圆的性质可知090=∠MKN .即0KM KN ⋅=,………………………………………………………………………….……….10分 求得),4,(1y a m a ---=)4,(2y am a ---=.代入上式得………………………………11分016)(2122=++y y a m a ⇒04)(2=-+a m a ,a a m -±=⇒2.故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..………….………13分解法三: 设直线AB 的方程为a ty x +=(0≠t ),代入x y 42=得0442=--a ty y .设),4(121y y A ,),4(222y y B 由韦达定理得a y y t y y 4,42121-==+.…………………..………6分又求得214,4y K y K OB OA ==. 故直线OA 的方程:x y y 14=,直线OB 的方程:x y y 24= ………………………….….………7分 得到)4,(),4,(21y a a N y a a M ----……………………………………………………….………8分 以MN 为直径的圆的圆心(a -,)22(21y a y a +-),半径|22|21y ay a r -=…………….……………9分 故圆的方程2212212)22()22()(y a y a y a y a y a x -=++++ 化简得016)(4)(212212122=+++++y y a y y y y a y a x ……………………………………………11分由韦达定理结论可得04)(422=-+++a y a x yt满足题目要求只须对于任意非零实数t 上式恒成立.解得⎩⎨⎧=--=02y a a x ,⎩⎨⎧=-=02y a a x .故以MN 为直径的圆恒过定点(0,2a a -),(0,2a a --).………………..……………….13分 21．（本小题满分14分）本题考查函数与导数的基础知识、导数的应用、方程的解及不等式证明等问题，考查运算求解能力，考查了分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想． （Ⅰ）依题意得：由已知得()0x ,∈+∞，2,2n a ==，21144122()x x x f x x x⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭'∴== ………………………………………….……… 1分令 ()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<, …………………..………………… 2分则函数()f x 在102,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，…………………………..… 3分11ln 222f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭为函数()f x 的极小值,且无极大值..………………….………………..…4分（Ⅱ）(i)11()n f x nax x -'=-，1a >，令11()010n n f x nax nax x -'=-=⇒-=，设0x =，…………..………………..…… 5分函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x ,+∞上单调递增，函数()f x 存在两个零点，∴函数的最小值0()0f x <，………………….…………….… 6分则()0111()1ln 1f x a na na n n=⋅-=+-， 即()11ln 10na n n +-<，111n a e n-∴<<，…………………………………………...……… 7分 又11n n na ee-+<<，111n nn e na +-⎛⎫> ⎪⎝⎭ ， 111+10nn n n n n f e a e n ++--⎛⎫⎛⎫+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝， (8)分011nx na=<，且1a >，()110f a ∴=->， 根据零点存在性定理可知()f x 在()00x ，和()0,x +∞各有一个零点………………………..…9分（ii ）解法一：不妨设1x >2x ,依题意得：1122ln 1...........ln 1..........n n ax x ax x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩①②，①-②得：()1212ln ln n na x x x x -=-，①+②得：()()1212ln 2nn a xx x x +=+，…………………………………………..……… 10分又1212ln ln n nx x a x x -=-，()()()12121212ln ln ln 2n nn nx x x x x x x x -+∴+=-，设121x t x =>，()12ln x x ∴=()1ln 21n n t t t +⋅--，……………………………… …………..… 11分 欲证2212n x x e ->，只要证：()122ln 2x x n >-，即证：()12ln 1n n t t t n+⋅>-，……………… 12分即证：21ln 1n n t t n t ->⋅+，设()()21ln 11n n t g t t t n t -=-⋅>+，()()()()()()2212221411220111nnnn n n n t t t ntg t t n t t t t t -+--'=-⋅==>+++， ()g t ∴ 在()1,+∞上递增，()()10g t g ∴>= ， ……………………………..…....… 13分21ln 1n n t t n t -∴>⋅+， ()12ln 1n n t t t n+∴⋅>- ，2212nx x e-∴> …………………………………………………..… 14分。
15届厦门市高三(上)文质量分析试题.doc
厦门市2014-2015学年度第一学期高三年级质量检测数学(文科)试题注意事项：1. 本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2. 本试卷分为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：锥体体积公式：=-Sh,其中S 为底面面积，力为高.第I 卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个答案 是正确的.1.已知集合A = {0丄2},集合B = {xlx-2<0},则AC\B =A. {0,1}B. {0,2}C. {1,2} A. 23.函数/(x)是定义在/?上的奇函数，当兀>0时,/(x) = x 2+l,则/(-I)等于A. 1B. -1C. 2D. -2 4.若 a G (―,/r), sin(^-6r) = -,贝ij tan a - 25 4 4 小 3 小 3 A.—— B.- — C.—— D. 一 3 3 x W 0. x +y ^0, 4 4 5.若关于兀,y 的不等式组也7 + 1=0,表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图，在棱长为1的正方体ABC/)-A l B ]C l D l 中，E 是棱BC 上的一点, 则三棱锥D- BGE 的体积等于1 亦 小能 1A ・一B ・ ----C ・ -------D ・ 一 3 12 6 62 2 _7. 过双曲线C : —-^- = 1的左焦点作倾斜角为兰的直线/,贝怕线/与双曲线C 的交点情况是 4 9 6D. {0,1,2}2.向量tz = (l,m), b = (2,-4)若a = AbU 为实数)，则加的值为第6题图A.没有交点B.只有一•个交点C.两个交点都在左支上D.两个交点分别在左、右支上8.已知加w/?, “函数丁=2"+加一1有零点”是"函数y = log//?x在(0,+oo)上为减函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必耍条件9. 如图，网格纸上小止方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体最长的棱的长度等于A. V34B. V41C. 5A /2D. 2届10. 已知函数/•⑴的导函数广⑴的图象如图所示,/(-!) = /(2) = 3,令g(x) = (x-V)f(x),则不等式g(x) > 3x-3的解集是A. [-1,1]U[2,+00)B. (-8,-1]U[1,2]C. (—00, —1]U[2, +oo)D. [—1,2] 第II 卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的相应位置. 11・抛物线y 2 = 4x 的准线方程是 ________________________________ ・7T 7T12.将函数/(x) = cosx 的图彖向右平移一个单位，得到函数y = g(x)的图彖，则 6213.函数y = x + —(x>I)的最小值是 _________________ x-1a -1 数列｛%｝屮，6/,=-,勺+严 一，则该数列的前22项和等于 2 色 如图，正方形ABCD 屮，AB = 2, DE = EC.若F 是线段BC±的一个动点，则正•乔 的最人值是 _________________ .点P(x, y)在直线丁 =也+ 2上，记卩=兀| +卜若使T 取得垠小值的点P 冇无数个,则实数R 的収值是 ___________ • 三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17.(本小题满分12分)数列｛%｝中，坷=一1, a 4 = 8 . •(I )若数列｛%｝为等比数列,求吗的值;(II)若数列｛%｝为等差数列，其询〃项和为S”.已知S”=%+6,求刃的值.14. 15. i 第9题图18.(本小题满分12分)2 2 已知圆M：(I 2)24- /= 16,椭圆C： 1+匚=1(。
2015年福建省厦门市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知i为虚数单位，则复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）某校为了了解学生参加社会实践活动的意向，采用分层抽样从高一、高二、高三学生中抽取容量为200的样本进行调查，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3，则应从高三学生中抽取的人数是（）A．30B．40C．60D．803．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x＞a}，则“a＝0”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S等于（）A．6B．14C．30D．325．（5分）若P是长度为6的线段AB上任意一点，则点P到线段AB两端距离均不小于1的概率（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β7．（5分）如表给出的是某产品的产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据：根据上表提供的数据，得出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+，试预测当产量x＝8时，生产能耗y约为（）A．4.95B．5.57C．5.95D．6.758．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝2lnx+x﹣1B．f（x）＝2lnx﹣x+1C．f（x）＝2xlnx D．f（x）＝9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，如图所示，f（0）＝﹣，则A的值是（）A．1B．C．D．210．（5分）已知函数f（x）＝，以下说法正确的是（）A．∀a∈R，函数f（x）在定义域上单调递增B．∀a∈R，函数f（x）存在零点C．∃a∈R，函数f（x）有最大值D．∃a∈R，函数f（x）没有最小值11．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0）作其中一条渐近线的垂线，垂直为E，O为坐标原点，当△OEF的面积最大时，双曲线的离心率等于（）A．B．C．2D．312．（5分）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点（含边界），且＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，3]D．[0，4]二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，共20分13．（4分）已知椭圆+＝1（a＞0，b＞0）经过两点A（3，0），B（0，﹣2），则椭圆的方程是．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作锐角α，它的终边和单位圆交于点A（x，），则tan（π﹣α）＝．15．（4分）若实数x，y满足，且z＝3x+y的最小值为6，则实数b＝．16．（4分）关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题，本大题共6小题，满分74分17．（12分）已知三棱柱ABC＝A1B1C1的侧棱BB1⊥底面ABC，其侧视图与俯视图如图所示，AB＝BC且AB⊥BC，M，N分别是A1B，A1C1的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）求三棱锥B﹣A1B1N的体积．18．（12分）从0，1，2，3，4中抽取三个数构成等比数列，余下的两个数是递增等差数列{a n}的前两项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n＝++…+，对任意n∈N*，都有T n＜m2，求实数m 的取值范围．19．（12分）某小学生同时参加了“掷实心球”和“引体向上”两个科目的测试，每个科目的成绩有7分，6分，5分，4分，3分，2分1分共7个分数等级，经测试，该校某班每位学生每科成绩都不少于3分，学生测试成绩的数据统计二1，2，所示，其中“掷实心球”科目成绩为3分的学生有2人．（1）求该班学生“引体向上”科目成绩为7分的人数；（2）已知该班学生中恰有3人两个科目成绩均为7分，在至少一个科目成绩为7分的学生中，随机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分的概率．20．（12分）如图，CM，CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN＝120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，记BC＝a，AC＝b，AB＝c（单位：百米）（1）若a，b，c成等差数列，且公差为4，求b的值；（2）已知AB＝12，记∠ABC＝θ，试用θ表示观景路线A﹣C﹣B的长，并求观景路线A﹣C﹣B长的最大值．21．（12分）设F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点F到直线l：x+y+2＝0的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）若Q为直线l上一动点，过点Q引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，试探究直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．22．（14分）已知函数f（x）＝sin x，g（x）＝f（x）﹣ax，x∈[0，]．（1）当a＝时，求函数g（x）的单调递增区间；（2）若函数g（x）的最小值为0，求实数a的取值范围；（3）设0≤x1＜x2≤，试比较﹣与的大小，并说明理由．2015年福建省厦门市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知i为虚数单位，则复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：＝．故选：A．2．（5分）某校为了了解学生参加社会实践活动的意向，采用分层抽样从高一、高二、高三学生中抽取容量为200的样本进行调查，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4：3：3，则应从高三学生中抽取的人数是（）A．30B．40C．60D．80【解答】解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，∴高三在总体中所占的比例是，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为200的样本，∴要从高三抽取×200＝60名学生，故选：C．3．（5分）设集合A＝{x|y＝}，B＝{x|x＞a}，则“a＝0”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：A＝{x|y＝}＝A＝{x|x≥1}，若A⊆B，则a≥1，则“a＝0”是“A⊆B”的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S等于（）A．6B．14C．30D．32【解答】解：模拟执行程序，可得S＝0，i＝1S＝2，i＝2不满足条件i≥4，S＝6，i＝3不满足条件i≥4，S＝14，i＝4满足条件i≥4，退出循环，输出S的值为14．故选：B．5．（5分）若P是长度为6的线段AB上任意一点，则点P到线段AB两端距离均不小于1的概率（）A．B．C．D．【解答】解：设“长为6的线段AB”对应区间[0，6]，“与线段两端点A、B的距离均不小于1”为事件A，则满足A的区间为[1，5]，根据几何概率的计算公式可得，P（A）＝＝．故选：B．6．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β【解答】解：对于A，若m∥n，m⊂α，则n∥α，或n⊂α，故A不正确；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α∩β＝l，故B不正确；对于C，当α、β、γ分别为墙角的三个两两垂直的墙面（α为底面）时，满足α⊥β，α⊥γ，但β与γ相交，故C错误；对于D，若m∥n，m⊥α，n⊥β，由线面垂直的性质知，α∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）如表给出的是某产品的产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据：根据上表提供的数据，得出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+，试预测当产量x＝8时，生产能耗y约为（）A．4.95B．5.57C．5.95D．6.75【解答】解：由表中数据可得：＝＝4.5，＝＝3.5，∵归直线一定经过样本数据中心点，故＝﹣0.7＝3.5﹣0.7×4.5＝0.35．y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35．预测当产量x＝8时，生产能耗y＝0.7×8+0.35＝5.95．故选：C．8．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝2lnx+x﹣1B．f（x）＝2lnx﹣x+1C．f（x）＝2xlnx D．f（x）＝【解答】解：（1）∵lnx递增、x﹣1递增，∴函数f（x）＝2lnx+x﹣1递增，而图象在x＞1时先增后减，故A不正确；（2）令x＝e10带入f（x）得f（e10）＝21﹣e10＜0，故B不正确；（3）f′（x）＝2（lnx+1），当x＞e时f′（x）＞0，函数f（x）递增，故C不正确；故选：D．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，如图所示，f（0）＝﹣，则A的值是（）A．1B．C．D．2【解答】解：由图象知函数的周期T＝2（）＝π，即，解得ω＝2，由五点对应法则，解得φ＝﹣，则函数f（x）＝A sin（2x﹣），∵f（0）＝﹣，∴f（0）＝A sin（﹣）＝﹣＝﹣，即A＝，故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝，以下说法正确的是（）A．∀a∈R，函数f（x）在定义域上单调递增B．∀a∈R，函数f（x）存在零点C．∃a∈R，函数f（x）有最大值D．∃a∈R，函数f（x）没有最小值【解答】解：对于A，当a＝1时，f（0）＝﹣1＜＝f（﹣1），函数f（x）在定义域上不是单调递增函数，故A错误；对于B，当a＜0时，在区间[0，+∞）上，f（x）＝x﹣a＞0恒成立，在区间（﹣∞，0）上，f（x）＝2x＞0恒成立，所以函数f（x）在定义域内不存在零点，故B错误；对于C，当x≥0时，f（x）＝x﹣a，无论a取何值，函数无最大值，故C错误；对于D，∃a＝1∈R，使得函数f（x）的值域为（0，+∞），没有最小值，故D正确．故选：D．11．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0）作其中一条渐近线的垂线，垂直为E，O为坐标原点，当△OEF的面积最大时，双曲线的离心率等于（）A．B．C．2D．3【解答】解：设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即有右焦点F（c，0）（c＝2）到渐近线的距离为：d＝＝b，则|OE|＝＝＝a，由a2+b2＝4，又ab≤＝2，（当且仅当a＝b取等号），则△OEF的面积为ab≤1，当且仅当a＝b＝取得最大值1．则离心率e＝＝．故选：A．12．（5分）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是区域ABCD内任意一点（含边界），且＝λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围是（）A．[0，1]B．[0，2]C．[0，3]D．[0，4]【解答】解：将图形特殊化，设AD垂直平分BC于O，则DO＝2AO，P在A时，λ＝0，μ＝0，所以λ+μ＝0，此时为最小；P在D时，＝3＝3×（+），λ＝，μ＝，所以λ+μ＝3，此时为最大．故选：C．二、填空题，本大题共4小题，每小题4分，共20分13．（4分）已知椭圆+＝1（a＞0，b＞0）经过两点A（3，0），B（0，﹣2），则椭圆的方程是．【解答】解：由题意，a＝3，b＝2，方程为，故答案为：．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作锐角α，它的终边和单位圆交于点A（x，），则tan（π﹣α）＝．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边作锐角α，它的终边和单位圆交于点A（x，），所以x＝，tanα＝．tan（π﹣α）＝﹣tanα＝．故答案为：．15．（4分）若实数x，y满足，且z＝3x+y的最小值为6，则实数b＝4．【解答】解：作出不等式对应的平面区域如图，由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，平移直线y＝﹣3x+z，由图象可知当直线y＝﹣3x+z，经过点A时，直线y＝﹣3x+z的截距最小，此时z最小为6，即3x+y＝6．由，解得，即A（1，3），此时A也在直线x+y﹣b＝0上，∴1+3﹣b＝0，解得b＝4，故答案为：4．16．（4分）关于x的不等式（ax﹣1）（lnx+ax）≥0在（0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是a≤﹣或a＝e．【解答】解：a＜0，则lnx+ax≤0，令y＝lnx+ax，则y′＝+a，∴0＜x＜﹣时，y′＞0，x＞﹣时，y′＜0∴x＝﹣时，函数取得最大值ln（﹣）﹣1，∵lnx+ax≤0，∴ln（﹣）﹣1≤0，∴a≤﹣；a＝0时，则lnx≤0，在（0，+∞）上不恒成立，不合题意；a＞0时，或，a＝e，综上，a≤﹣或a＝e．三、解答题，本大题共6小题，满分74分17．（12分）已知三棱柱ABC＝A1B1C1的侧棱BB1⊥底面ABC，其侧视图与俯视图如图所示，AB＝BC且AB⊥BC，M，N分别是A1B，A1C1的中点．（1）求证：MN∥平面BCC1B1；（2）求三棱锥B﹣A1B1N的体积．【解答】（1）证明：连接BC1，∵M，N分别是A1B，A1C1的中点．∴MN∥BC1，又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1；∴MN∥平面BCC1B1；（2）解：由侧视图与俯视图可知：BB1＝2，B1N＝1，∵A1B1＝B1C1且A1B1⊥B1C1，N是A1C1的中点，∴A1C1＝2＝2A1N．B1N⊥A1C1．∴三棱锥B﹣A1B1N的体积V＝×BB1＝×2＝．18．（12分）从0，1，2，3，4中抽取三个数构成等比数列，余下的两个数是递增等差数列{a n}的前两项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记T n＝++…+，对任意n∈N*，都有T n＜m2，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）只能由1，2，4，三个数构成等比数列，因此剩下的两个数：0，3，为递增等差数列{a n}的前两项．∴首项为0，公差为3，∴a n＝0+3（n﹣1）＝3n﹣3．（2）由（1）可得a n＝3n﹣3，a n+1＝3n，∴当n≥2时，＝＝．∴T n＝++…+＝+…+＝＝．∵对任意n∈N*，都有T n＜m2，∴m2，解得或m．∴实数m的取值范围是或m．19．（12分）某小学生同时参加了“掷实心球”和“引体向上”两个科目的测试，每个科目的成绩有7分，6分，5分，4分，3分，2分1分共7个分数等级，经测试，该校某班每位学生每科成绩都不少于3分，学生测试成绩的数据统计二1，2，所示，其中“掷实心球”科目成绩为3分的学生有2人．（1）求该班学生“引体向上”科目成绩为7分的人数；（2）已知该班学生中恰有3人两个科目成绩均为7分，在至少一个科目成绩为7分的学生中，随机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分的概率．【解答】解：（1）“掷实心球”科目成绩为3分的学生有2人，3分的频率为1﹣0.1﹣0.35﹣0.4﹣0.1＝0.05∴该班有＝40人，∵该班学生“引体向上”科目成绩为7分的频率为1﹣0.05﹣0.15﹣0.3﹣0.4＝0.1，∴该班学生“引体向上”科目成绩为7分的人数为40×0.1＝4人，（2）∵“掷实心球”科目成绩为7分的学生有40×0.1＝4人，“引体向上”科目成绩为7分的为4人，恰有3人两个科目成绩均为7分∴至少有一科成绩等级为A的有5人，其中恰有3人两个科目成绩均为7分，另2人只有一个个科目成绩均为7分；设这5人为A、B、C、D，E，其中A，B，C是两个科目成绩均为7分的同学，则至少一个科目成绩为7分的学生中，随机抽取2人，基本事件空间为Ω＝{（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（DE）}，一共有10个基本事件；而设这2人两个科目成绩均为7分的有3个基本事件，分别为（A，B），（A，C），（B，C），∴随机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分的概率P＝，20．（12分）如图，CM，CN为某公园景观湖胖的两条木栈道，∠MCN＝120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，记BC＝a，AC＝b，AB＝c（单位：百米）（1）若a，b，c成等差数列，且公差为4，求b的值；（2）已知AB＝12，记∠ABC＝θ，试用θ表示观景路线A﹣C﹣B的长，并求观景路线A﹣C﹣B长的最大值．【解答】解：（1）∵a，b，c成等差数列，且公差为4，∴a＝b﹣4，c＝b+4，∵∠MCN＝120°，∴（b+4）2＝（b﹣4）2+b2﹣2b（b﹣4）cos120°，∴b＝10；（2）由题意，＝＝，∴AC＝8sinθ，BC＝8sin（60°﹣θ），∴观景路线A﹣C﹣B的长y＝8sinθ+8sin（60°﹣θ）＝8sin（60°+θ）∴θ＝30°时，观景路线A﹣C﹣B长的最大值为8．21．（12分）设F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，点F到直线l：x+y+2＝0的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）若Q为直线l上一动点，过点Q引抛物线的两条切线，切点分别为A，B，试探究直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F（0，），点F到直线l：x+y+2＝0的距离为，即有＝，解得p＝2，抛物线C的方程为x2＝4y；（2）设A（x1，），B（x2，），Q（x0，﹣2﹣x0），∵y＝x2的导数为y′＝x，即有k AQ＝，∴AQ的方程为y﹣＝（x﹣x1），∴x12﹣2x1x+4y＝0．∵AQ过Q，∴x12﹣2x1x0﹣8﹣4x0＝0，同理x22﹣2x2x0﹣8﹣4x0＝0，∴x1，x2为方程x2﹣2x0x﹣4x0﹣8＝0的两个根，∴x1x2＝﹣4x0﹣8，x1+x2＝2x0，又k AB＝＝，∴AB的方程为y﹣＝（x﹣x1），∴y＝x﹣，即有y＝x﹣（﹣x0﹣2），即为x0（1+）＝y﹣2，令y＝2，可得x＝﹣2，所以直线AB过定点（﹣2，2）22．（14分）已知函数f（x）＝sin x，g（x）＝f（x）﹣ax，x∈[0，]．（1）当a＝时，求函数g（x）的单调递增区间；（2）若函数g（x）的最小值为0，求实数a的取值范围；（3）设0≤x1＜x2≤，试比较﹣与的大小，并说明理由．【解答】解：（1）a＝时，g（x）＝sin x﹣x，x∈[0，]，g′（x）＝cos x﹣，令g′（x）≥0，解得：0≤x≤，∴函数g（x）在[0，]单调递增；（2）∵g′（x）＝cos x﹣a，①a＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）在[0，]单调递减，∴g（x）min＝g（）＝﹣a＝0，解得：a＝0（舍），②0≤a≤1时，g（x）min＝{g（0），g（）}，由g（0）＝0，∴g（）≥g（0）＝0，∴0≤a≤，③a＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）在[0，]单调递增，g（x）min＝g（0）＝0，综上a≤；（3）由于+＝+＝，∵x1＜x2，∴只需研究2（cos x1﹣cos x2）+（x1﹣x2）（sin x1+sin x2）在0≤x1＜x2≤上的正负情况，令h（x）＝22（cos x1﹣cos x2）+（x1﹣x2）（sin x1+sin x2），x∈[0，x2），其中0＜x2≤，h′（x）＝﹣sin x+sin x2+（x﹣x2）cos x，令s（x）＝h′（x）＝﹣sin x+sin x2+（x﹣x2）cos x，则s′（x）＝﹣cos x+cos x+（x﹣x2）（﹣sin x）＝﹣（x﹣x2）sin x，∵0≤x＜x2≤，∴s′（x）≥0，∴s（x）在[0，x2）上↑，∴h′（x）＝s（x）＜s（x2）＝0在[0，x2）上成立，∴h（x）在[0，x2）上递减，∴h（x）＞h（x2）＝0，∴+＜0，∴﹣＞．。
【真题】15年福建省厦门二中高三(上)数学期中试卷含答案(文科)
2014-2015学年福建省厦门二中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．1．（5分）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）2．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．35．（5分）若a=3，b=log cos60°，c=log 2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．（，0）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（，0）8．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥1，则实数a的取值范围为（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，3]D．[0，+∞）9．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）=x•sinx的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．（4分）命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是．12．（4分）等差数列{a n}中，a3+a8=6，则=．13．（4分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．14．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．15．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．16．（4分）记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，sinx），函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．20．（12分）如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．（1）求sin∠BDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？21．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．22．（14分）已知a∈R，函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．2014-2015学年福建省厦门二中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将答案填写在答题卷上的相应题目的答题区域内．1．（5分）已知集合M={x|x2+x﹣2＜0}，，则M∩N=（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）【解答】解：∵x2+x﹣2＜0即（x+2）（x﹣1）＜0解得：2＜x＜1∴M={x|﹣2＜x＜1}∵解得：x＜﹣1∴N={x|x＜﹣1}∴M∩N=（﹣2，﹣1）故选：C．2．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“x=30°”⇒“”正确，但是解得x=k•360°+30°或x=k•360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，所以“x=30°”是“”的充分而不必要条件．故选：A．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=e x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|【解答】解：y=是偶函数，在（0，+∞）单调递减，故排除A，y=e x是增函数，但不具备奇偶性，故排除B，y=﹣x2+1是偶函数，但在（0，+∞）单调递减，故排除C，y=lg|x|是偶函数，且x＞0时，y=lgx单调递增，故选：D．4．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选：A．5．（5分）若a=3，b=log cos60°，c=log 2tan30°，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解答】解：∵a=3＞30=1，0=＜b=log cos60°＜=1，c=log2tan30°＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：A．6．（5分）已知l，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（）A．若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥m C．若l∥m，m⊂α，则l∥αD．若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l∥m【解答】解：若l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，l⊥α，故A错误；若l⊥α，α∥β，m⊂β，则l⊥β，所以l⊥m，故B正确；若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C错误；若l⊥α，α⊥β，m⊂β，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选：B．7．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则它的一个对称中心是（）A．（，0）B．（﹣，0） C．（﹣，0） D．（，0）【解答】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：当x=时，sin（2×﹣）=0；∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．故选：A．8．（5分）已知函数f（x）=若f（a）≥1，则实数a的取值范围为（）A．[0，1]B．[1，+∞）C．[0，3]D．[0，+∞）【解答】解：若a≤1，则由f（a）≥1，得f（a）=2a≥1，解得0≤a≤1，若a＞1，则由f（a）≥1，得f（a）=a2﹣4a+5≥1，即a2﹣4a+4=（a﹣2）2≥0，解得a＞1，综上a≥0，故选：D．9．（5分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，则•等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图所示，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，对角线相交于点O，P是线段BD的一个三等分点，∴A（0，1），C（0，﹣1），P．则•=•（0，﹣2）=2．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=x•sinx的图象是下列两个图象中的一个，请你选择后再根据图象做出下面的判断：若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则（）A．x1＞x2B．x1+x2＞0 C．x1＜x2D．【解答】解：由于函数f（x）=x•sinx，∴f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴函数f（x）=x•sinx是偶函数，其图象关于y轴对称，其图象是右边一个图．且当x时，函数f（x）=x•sinx是增函数，当x时，函数f （x）=x•sinx是减函数．∴若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则有x1＜x2，故A选项错；若x1，x2且f（x1）＜f（x2），则有x1＞x2，故B、C选项错；根据排除法，正确的是D．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．11．（4分）命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2+2x+1≥0．”的否定是：．故答案为：（写成∃x∈R，x2+2x+1＜0也给分）12．（4分）等差数列{a n}中，a3+a8=6，则=30．【解答】解：由等差数列{a n}，a3+a8=6，∴a1+a10=a2+a9=a3+a8=…，∴==a1+a2+…+a10=5（a3+a8）=5×6=30．故答案为30．13．（4分）已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为．【解答】解：由题意，点在第四象限∵==∴角α的最小正值为故答案为：14．（4分）已知a＞0，b＞0，且a+2b=1，则的最小值为．【解答】解：∵a＞0，b＞0，且a+2b=1，∴=（a+2b）=3+=，当且仅当a=b时取等号．∴的最小值为．故答案为：．15．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为2．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由主视图知CD=2，由左视图知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．16．（4分）记S k=1k+2k+3k+…+n k，当k=1，2，3，…时，观察下列等式：S1=n，S2=n，S3=，S4=n，S5=An6+，…可以推测，A﹣B=．【解答】解：根据所给的已知等式得到：各等式右边各项的系数和为1；最高次项的系数为该项次数的倒数；所以A=，解得B=，所以A﹣B=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列，a1=1，且a2，a3+1，a6成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2，a3+1，a6成等比数列．∴，即（2d+2）2=（1+d）（1+5d），解得d=3或d=﹣1．由已知数列{a n}各项均为正数，∴d=3，故a n=1+3（n﹣1）=3n﹣2．（2）∵，∴．∴S n=1﹣=．18．（12分）已知向量=（cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，sinx），函数f（x）=•（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵=，∴函数f（x）的最小正周期为．（II）令，∵，∴，即，∴sint在上是增函数，在上是减函数，∴当，即，时，．当或，即x=0或时，．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，=，∴S△ABD∵M为AD中点，=S△ABD=，∴S△ABM∵CD⊥平面ABD，=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．∴V A﹣MBC20．（12分）如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．（1）求sin∠BDC的值；（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？【解答】解：（1）由已知可得CD=40×=20，△BDC中，根据余弦定理求得cos∠BDC==﹣，∴sin∠BDC==．（2）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，∴sin∠ABD=sin（∠BDC﹣60°）=×﹣（﹣）×=．△ABD中，由正弦定理可得．又BD=21，∴AD==15，∴t==22.5分钟．即这艘游轮再向前航行22.5分钟即可到达城市A．21．（14分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E，F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）若EC=3，求证：ND⊥FC；（Ⅲ）求四面体NFEC体积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF，EFDC都是矩形，所以MN∥EF∥CD，MN=EF=CD．所以四边形MNCD是平行四边形，…（2分）所以NC∥MD，…（3分）因为NC⊄平面MFD，所以NC∥平面MFD．…（4分）（Ⅱ）证明：连接ED，设ED∩FC=O．因为平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，所以NE⊥平面ECDF，…（5分）因为FC⊂平面ECDF，所以FC⊥NE．…（6分）又EC=CD，所以四边形ECDF为正方形，所以FC⊥ED．…（7分）所以FC⊥平面NED，…（8分）因为ND⊂平面NED，所以ND⊥FC．…（9分）（Ⅲ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4．由（Ⅰ）得NE⊥平面FEC，所以四面体NFEC的体积为．…（11分）所以．…（13分）当且仅当x=4﹣x，即x=2时，四面体NFEC的体积最大．…（14分）22．（14分）已知a∈R，函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；（2）讨论f（x）的单调性；（3）是否存在a的值，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当a=1时，∴k=f′（1）=0所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为0；（2）①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当.．∴（3）存在a∈（0，e3），使得方程f（x）=2有两个不等的实数根．理由如下：由（1）可知当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，方程f（x）=2不可能有两个不等的实数根；由（2）得，，使得方程f（x）=2有两个不等的实数根，等价于函数f（x）的极小值，即，解得0＜a＜e3所以a的取值范围是（0，e3）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(福建卷,含解析)
通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题 bn 2n n ，故可采取分组求和法求其
前 10 项和．
试题解析：（I）设等差数列an 的公差为 d ．
由已知得
a1 d
a1 3d
4
a1
6d
15
，
解得
ad1
3 1
．
所以 an a1 n 1 d n 2 ．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分 12 分） 全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合 指数进行分组统计，结果如表所示．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卡的相应位置.
13．某校高一年级有 900 名学生，其中女生 400 名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取
一个容量为 45 的样本，则应抽取的男生人数为_______．
【答案】 25
【解析】
试题分析：由题意得抽样比例为 45 1 ，故应抽取的男生人数为 500 1 25．
考点：集合的运算． 3．下列函数为奇函数的是( )
A． y x B． y ex C． y cos x D． y ex ex
【答案】D 【解析】
试题分析：函数 y x 和 y ex 是非奇非偶函数； y cos x 是偶函数； y ex ex 是奇函数，故选 D．
考点：函数的奇偶性．
2
4
2
4
【答案】A
考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．
2015福建文高考数学试题
2015普通高等学校招生全国统一考试(福建文)一、选择题1．若(1＋i)＋(2－3i)＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ，b 的值分别等于( ) A ．3，－2 B ．3，2 C ．3，－3 D ．－1，4 【解析】由已知得，3－2i ＝a ＋b i ，故a ＝3，b ＝－2，选A ．2．若集合M ＝{x |－2≤x ＜2}，N ＝{0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0，1，2} D ．{0，1} 3．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x【解】函数y ＝x 和y ＝e x 是非奇非偶函数；y ＝cos x 是偶函数；y ＝e x －e －x 是奇函数，故选D ．4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( ) A ．2 B ．7 C ．8 D ．128【解】由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则f (1)＝9－1＝8，故选C ．5．若直线x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1－sin 2α＝1213，于是tan α＝sin αcos α＝－512，故选D. 7．设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．328．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A ．16B ．14C ．38D ．12解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1，0)，故C 点坐标为(1，2)，D 点坐标为(－2，2)，A 点坐标为(－2，0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A ．8＋2 2 B ．11＋2 2 C ．14＋2 2 D ．15【解析】由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为1，2，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为2×12×3＝3，侧面积为则其表面积为2＋2＋4＋22＝8＋22，故该几何体的表面积为11＋22，故选B ．10．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC【解析】将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当m ≤0时，不满足题意；当m ＞0时，画出可行域，如图所示，其中22(,)2121mB m m --．显然O (0，0)不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得m ＝1，故选C ．11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A ．(0，32]B ．(0，34]C ．[32，1)D ．[34，1)12．“对任意x ∈(0，π2)，k sin x cos x ＜x ”是“k ＜1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k sin x cos x ＜x ⇔∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，k ＜2x sin2x ，令f (x )＝2x －sin2x ．故f ′(x )＝2－2cos2x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2为增函数，故f (x )＞f (0)＝0．故2x ＞sin2x ，故2x sin2x ＞1，故k ≤1． 二、填空题13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．【解析】由题意得抽样比例为45：900＝120，故应抽取的男生人数为500×120＝25．14．若△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________．【解析】由题意得，B ＝180°－A －C ＝60°．由正弦定理得AC sin B ＝BC sin A ，则BC ＝AC ·sin Asin B ，故BC＝2．15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．【解析】由f (1＋x )＝f (1－x )得函数f (x )关于x ＝1对称，故a ＝1，则f (x )＝2|x －1|，由复合函数单调性得f (x )在[1，＋∞)递增，故m ≥1，故实数m 的最小值等于1．16．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________． 三、解答题17．(本小题满分12分)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 【解】⑴．设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2．18．(本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20组号 分组 频数 1 [4，5) 2 2 [5，6) 8 3 [6，7) 7 4 [7，8] 3(1)现从融合指数在[4，5)和2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解：(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2．从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，共9个．故所求的概率P ＝910．(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5．5×820＋6．5×720＋7．5×320＝6．05．解法二：（I ）融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1，A 2，A 3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1，B 2．从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B 1，B 2}，共1个．故所求的概率P ＝1－110＝910．（II ）同解法一．19．(本小题满分12分)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E上，且|AF |＝3．(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【解析】解法一：⑴．由抛物线的定义得AF ＝2＋p 2．因AF ＝3，即2＋p2＝3，解得p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．⑵．因点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，故m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x 得，x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1，0)，故k AG ＝223，k BG ＝－223，故k AG ＋k BG ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等，故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ．因点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，故m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2，22)，F (1，0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．将y ＝22(x －1)代入y 2＝4x 得，2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2)．又G (－1，0)，故直线GA 的方程为22x －3y＋22＝0，从而r ＝41734．又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，故点F 到直线GB 的距离d＝41734＝r ．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切． 20．(本小题满分12分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1．(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC ⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P -ABC 体积的最大值；(3)若BC ＝2，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．【解析一】⑴．在ΔAOC 中，因为OA ＝OC ，D 为AC 的中点，故AC ⊥OD ．又OP 垂直于圆O 所在的平面，故OP ⊥AC ．因DO ∩OP ＝O ，故AC ⊥平面PDO ．⑵．因为点C 在圆O 上，故当CO ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又AB ＝2，故ΔABC 面积的最大值为12×2×1＝1．又因为三棱锥P －ABC 的高OP ＝1，故三棱锥P －ABC 体积的最大值为13×1×1＝13． ⑶．在ΔPOB 中，OP ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，故∠OPB ＝45°，所以PB ＝2．同理PC ＝2，故PB ＝PC ＝BC ．在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕BP 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．又OP ＝OB ，C ′P ＝BC ′，故OC ′垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而OC ′＝OE ＋EC ′＝12(6＋2)，亦即CE ＋OE 的最小值为12(6＋2)．解法二：⑴．⑵．同解法一．⑶．在ΔPOB 中，OP ＝OB ＝1，∠POB ＝90°，故∠OPB ＝45°，所以PB ＝2．同理PC ＝2．故PB ＝PC ＝BC ，故∠CPB ＝60°．在三棱锥P －ABC 中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC ′P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C ′共线时，CE ＋OE 取得最小值．故在ΔOC ′P 中，由余弦定理得：OC ′2＝1＋2－2×1×2cos(45°＋60°)＝1＋2－22×22(12－32)＝2＋3．从而OC ′＝12(6＋2)．故CE ＋OE 的最小值为12(6＋2)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x2．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，且函数g (x )的最大值为2．①求函数g (x )的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0．【解析】⑴．因f (x )＝103sin x 2cos x 2＋10cos 2x 2＝5＋53sin x ＋5cos x ＝5＋10sin(x ＋π6)．故函数f (x )的最小正周期T ＝2π．⑵．①．将f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到y ＝5＋10sin x 的图象，再向下平移a (a ＞0)个单位长度后得到g (x )＝5－a ＋10sin x 的图象．又已知函数g (x )的最大值为2，故10＋5－a ＝2，解得a ＝13．故g (x )＝－8＋10sin x ．②．要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得－8＋10sin x 0＞0，即sin x 0＞45．由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45．由正弦函数的性质可知，当x ∈(α0，π－α0)时，均有sin x ＞45．因为y ＝sin x 的周期为2π，故当x ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z)时，均有sin x ＞45．因为对任意的整数k ，(2k π＋π－α0)－(2k π＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，故对任意的正整数k ，都存在正整数x k ∈(2k π＋α0，2k π＋π－α0)(k ∈Z)，使得sin x k ＞45．亦即存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得g (x 0)＞0．22．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－12(x －1)2＋ln x ．⑴．求函数f (x )的单调递增区间； ⑵．证明：当x ＞1时，f (x )＜x －1；⑶．确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )＞k (x －1)． 【解】⑴．f ′(x )＝－1x (x 2－x －1)，x ＞0，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜5＋12，故f (x )的单调递增区间是(0，5＋12)； ⑵．令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ＞0，则F ′(x )＝－1x (x 2－1)．当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＜0，故F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即当x ＞1时，f (x )＜x －1；⑶．由⑵知，当k ＝1时，不存在x 0＞1满足题意．当k ＞1时，对于x ＞1，有f (x )＜x －1＜k (x －1)，则f (x )＜k (x －1)，从而不存在x 0＞1满足题意．当k ＜1时，令g (x )＝f (x )－k (x －1)，x ＞0，则g ′(x )＝－1x [x 2＋(k －1)x －1]．由g ′(x )＝0得，x 2＋(k －1)x －1＝0，解得，10x =<，21x =>．当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＞0，故g (x )在(1，x 2)内单调递增．从而当x∈(1，x 2)时，g (x )＞g (1)＝0，即f (x )＞k (x －1)，综上，k的取值范围是(－∞，1)．。
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福建省厦门市普通高中2015届高三质量检查
数学（文）试题
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班
级、姓名、座号；
2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120
分钟．
参考公式：锥体体积公式y=}鼢，其中s 为底面面积，矗为高．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则复数
2
1i
-之等于 A ．1+i B ．1-i C ．-1+i D ．-1 -i 2．某校为了了解学生参加社会实践活动意向，采用分层抽样从高一、高二、 高三学生中抽取容量为200的样本进行调查．已知高一、高二、高三的学生 人数之比为4:3:3，则应从高三学生中抽取的人数是
A ．30
B ．40
C ．60
D ．80
3．已知集合{|{|}A x y B x x a ==
=>，则“a=0”是“A ⊆B”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，则输出的S 等于 A ．6 B ．14 C ．30 D ．32 5．若P 是长度为6的线段AB 土任一点，则点P 到线段AB 两端距离均 不小于l 的概率是 A ．
5
6
B ．
2
3
C ．
1
2
D ．
13
6．已知m ，n 为两条不同的直线，,,αβγ为三个不同的平面，则下列命题中正 确的是
A ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α
B ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β
C ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
D ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥p ，则α∥β
7．下表给出的是某产品的产量x （吨）与生产能耗y （吨）的对应数据：
根据上表中的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y=0．7x +a ，试预测当产量x=8时， 生产能耗y 约为 A ．4．95 B ．5．75 C ．5．95 D ．6．75 8．函数f （x ）的图象如图所示，则f （x ）的解析式可以是
A ．f （x ）=21nx +x -1
B ．()211f x nx x =-+
C ．()21f x x nx =
D ．21()nx
f x x
=
9．已知函数()sin()(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的图象
如图所示，2
(0)
3
f =-，则A 的值是
A ．l B
C
D ．2
10．已知函数2,0,
(),0,
x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，以下说法正确的是
A ．a R ∀∈，函数()f x 在定义域上单调递增
B ．a R ∀∈，函数()f x 存在零点
C ．a R ∃∈，函数()f x 有最大值
D ．a R ∃∈，函数()f x 没有最小值
11．过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F （2，0）作其中一条渐近线的垂线，垂足为E ，O
为坐标原点．当△OEF 的面积最大时，双曲线的离心率等于
A
B
C ．2
D ．3
12．如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABDC 内
任意一点（含边界），且(,)AP AB AC R λμλμ=+∈
，则λμ+
的取值范围是 A ．[0,1] B ．[0,2]
C ．[0．3]
D ．[O,4]
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
13．已知椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>经过两点A （3，0），B （0，-2），则椭圆的方程是 ．
14．在平面直角坐标系zOy 中，以x 轴的非负半轴为始边作锐角a ，它的终边与单位圆交于点A （x ，
35
），则tan （π一a ）= ． 15．若实数x ，y 满足30,0,0,x y x y x y b -≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
， 且z=3x +y 的最小值为6，则实数b= ▲，
16．若关于x 的不等式(1)(1)0ax nx ax -+≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围是 。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知三棱柱ABC –A 1B 1C 1的侧棱BB 1⊥底面ABC ，其侧视图与俯视图如图所示，AB =BC 且AB
⊥BC ，M ，N 分别是A1B ，A 1 C 1的中点． （ I ）求证：MN ∥平面BCC 1B 1； （Ⅱ）求三棱锥B –A 1B 1N 的体积． 18．（本小题满分12分）
从0，1，2，3，4中抽取三个数构成等比数列，余下的两个数是递增等差数列{a n }的前两项． （I ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记234512
111n n n T a a a a a a ++=
+++
，若对任意*
n N ∈，都有2n T m <，求实数m 的取值范围．
19．（本小题满分12分）
某校学生同时参加了“掷实心球”和“引体向上”两个科目的测试，每个科目的成绩有7分，6分，5
分，4分，3分，2分，1分共7个分数等级．经测试，该校某班每位学生每个科目成绩都不少于3分，学生测试成绩的数据统计如图1，2所示，其中“掷实心球”科目成绩为3分的学生有2人．
（I ）求该班学生“引体向上”科目成绩为7分的人数；
（Ⅱ）已知该班学生中恰有3人两个科目成绩均为7分，在至少一个科目成绩为7分的学生申，随
机抽取2人，求这2人两个科目成绩均为7分的概率． 20．（本小题满分12分）
如图，CM ，CN 为某公园景观湖旁的两条木栈道，∠MCN= 120°．现拟在两条木栈道的A ，B 处设置观景台，记BC =a ，AC =b ，AB =c （单位：百米）． （I ）若a ，b ，c 成等差数列，且公差为4，求b 的值；
（Ⅱ）已知AB =12．记∠ABC=θ，试用θ表示观景路线A-C-B 的长，并求观景路线A-C-B 长的
最大值． 21．（本小题满分12分） 已知F 为抛物线C ：x 2 =2py （p>0）的焦点，点F 到直线:20l x y ++=
（I ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若Q 为直线l 上的一个动点，过点Q 引抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ．试探究直线
AB 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 22．（本小题满分14分） 已知函数()sin ,()(),[0,]2
f x x
g x f x ax x π
==-∈．
（ I ）当a=
1
2
时，求函数g （x ）的单调递增区间； （Ⅱ）若函数g （x ）的最小值为0，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设1202
x x π
≤<≤，试比较12()()2f x f x +-
与1221
'()'()
f x f x x x --的大小，并说明理由．
·11·。