20.2(2)平行四边形
平行四边形判定方法
平行四边形判定方法平行四边形是一种特殊的四边形，拥有特定的性质和判定方法。
在这篇文章中，我将详细介绍平行四边形的定义、性质和判定方法，并提供一些实例来帮助读者更好地理解。
首先，让我们来定义平行四边形。
平行四边形是一种具有两对平行边的四边形。
这意味着它的两对边是严格平行的，永远不会相交。
此外，平行四边形的对角线相互平分，并且交点将对角线分成两个相等的部分。
平行四边形具有许多重要的性质，其中一些可以用来确定一个四边形是否为平行四边形。
1. 边的对应角相等：如果一个四边形的对应边之间的夹角相等，则它是一个平行四边形。
换句话说，如果两个对应边的夹角相等，则它们是平行的。
2. 对边互补：如果一个四边形的两对相对边之间的夹角互补（总和为180度），则它是一个平行四边形。
3. 对角线平分：在一个平行四边形中，对角线相互平分，这意味着它们相交的点将两条对角线分成相等的部分。
基于上述性质，我们有一些判定方法可以用来判断一个四边形是否为平行四边形。
1. 检查边的对应角：找到四边形的两条对应边，计算它们之间的夹角。
如果它们相等，则这个四边形是一个平行四边形。
2. 检查对边相加是否为180度：找到四边形的两对相对边，计算它们之间的夹角。
如果两对夹角之和为180度，则这个四边形是一个平行四边形。
3. 检查对角线是否相互平分：找到四边形的两条对角线，计算它们的交点。
如果交点将两条对角线分成相等的部分，则这个四边形是一个平行四边形。
现在，让我们通过一些实例来应用上述判定方法。
实例1：判断以下四边形是否为平行四边形。
[插入四边形示意图]根据判定方法1，我们计算对应边之间的夹角。
夹角A = 夹角C = 60度夹角B = 夹角D = 120度根据计算结果可知，对应边之间的夹角不相等，因此这个四边形不是一个平行四边形。
实例2：判断以下四边形是否为平行四边形。
[插入四边形示意图]根据判定方法2，我们计算相对边之间的夹角的和。
夹角A + 夹角C = 60度+ 120度= 180度夹角B + 夹角D = 120度+ 60度= 180度根据计算结果可知，两对相对边之间的夹角和相等，因此这个四边形是一个平行四边形。
简单的平行四边形的基本概念与性质知识点总结
简单的平行四边形的基本概念与性质知识点总结平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，具有一些独特的性质和概念。
在本文中，我们将对平行四边形的基本概念和性质进行总结和解释。
1. 平行四边形的定义平行四边形是具有两对对边分别平行的四边形。
即，如果一条边与另一条边平行，那么该边所对应的角也是平行的。
简而言之，平行四边形是四边形的一种特殊情况，它的两对对边都是平行的。
2. 平行四边形的性质平行四边形具有以下一些性质：- 相对边相等性质：平行四边形的对边是相等的。
也就是说，对边AB与CD相等，对边BC与AD相等。
- 相对角相等性质：平行四边形的对角是相等的。
也就是说，角A 与角C相等，角B与角D相等。
- 邻补角性质：相邻的补角是相等的。
对于平行四边形ABCD，角A与角D是相邻的补角，角B与角C是相邻的补角。
- 对角线性质：平行四边形的对角线相互平分。
也就是说，对角线AC平分对角线BD，对角线BD平分对角线AC。
3. 平行四边形的重要定理- 空间对角线定理：平行四边形的对角线相互平分且相等，如果且仅当它是菱形。
- 空间角平分线定理：平行四边形的一条角平分线也是另一条角平分线的角平分线。
- 对边平分线定理：平行四边形的一条对边平分线也是另一条对边平分线的平行线。
4. 平行四边形的应用平行四边形的性质和定理在几何学的证明和计算中有广泛的应用。
例如，在证明两条线段平行时，我们可以通过证明构成的四边形是平行四边形来得到结论。
此外，在计算平行四边形的面积和周长时，我们可以利用其性质和定理简化计算步骤。
综上所述，平行四边形作为几何学中一种特殊的四边形，具有独特的性质和概念。
它的定义、性质和定理为我们理解和应用平行四边形提供了基础。
在解决几何问题和证明中，平行四边形的概念和性质是非常重要的，有助于简化计算和推导过程。
因此，对平行四边形的基本概念与性质的了解和掌握对于学习几何学是至关重要的。
(完整版)平行四边形基本知识点总结
(完整版)平行四边形基本知识点总结平行四边形基本知识点总结
平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和特点。
以下是平行四边形的基本知识点总结：
定义
平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。
性质
1. 对边平行性质：平行四边形的两组对边分别平行。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且长度相等。
3. 内角和性质：平行四边形的内角的和为180度。
4. 外角性质：平行四边形的外角的和为360度。
5. 对边长度性质：平行四边形的对边长度相等。
6. 同底角性质：与平行四边形的一条边相邻，另一条边平行的两个内角相等。
7. 同旁内角性质：与平行四边形的两条边相邻，另一条边平行的两个内角互补。
判定方法
1. 对边平行判定：如果一个四边形中有两组对边分别平行，则它是一个平行四边形。
2. 对角线平分判定：如果一个四边形的对角线互相平分，并且长度相等，则它是一个平行四边形。
特殊类型
1. 矩形：具有四个内角都为90度的平行四边形。
2. 正方形：具有四个内角都为90度，且四条边长度相等的平
行四边形。
相关公式
1. 平行四边形的面积公式：面积 = 底边长度 ×高度。
2. 平行四边形的周长公式：周长= 2 ×(底边长度+ 侧边长度)。
以上是关于平行四边形的基本知识点总结。
通过了解这些性质
和定理，可以更好地理解和解决相关的数学问题。
20.2.2平行四边形
OD C B A O DC B A OD C B A 20.2.2平行四边形课型：新授课 执笔人：卢凤龙 审核人：孙光荣教学目标：1、知识与技能： 探索并掌握平行四边形的对角线互相平分的性质，掌握平行线之间距离处处相等的结论，了解其应用.2、过程与方法：经历探索平行四边形的特殊性质的过程，在探究中发展学生的几何思维和合作交流意识.3、情感态度与价值观： 在观察、推理、归纳等探索过程中发展学生的合情推理能力，进一步培养学生的数学说理习惯与活动.教学重点：掌握平行四边形对角线互相平分的特征和平行线间距离处处相等的性质.教学难点：对角线互相平分的特征和平行线间距离处处相等的性质.教学过程一、学前准备1.什么是平行四边形？2.平行四边形的边、角有何特征？3. Y ABCD 中，AB ∥ ，AD ∥ ，AD= ，AB= ，A ∠= ，B ∠= .二、新知探究1.动手操作，用心观察如图（1），在半透明纸上画两个一模一样的平行四边形，并画出它们的对角线，把他们叠合在一起，然后把上面一个平行四边形绕着对角线的交点O 旋转180°， 你能观察到OA 与OC 、OB 与OD 的关系吗？2.结论归纳 图（1）平行四边形的对角线3.应用探究例1 如图（2），在Y ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，A O B 的周长为15，AB=6，那么对角线AC 与BD 的和是多少？学生观察、思考并与同伴进行分析交流. 【分析】：要求AC+BC 的值，由于平行四边形对角线互相平分，因此只要求2（AO+OB ）的值，即只要求AO+OB的值即可. 图（2）解：例2 如图（2），Y ABCD 的周长为48cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△OBC 的周长多6cm ，求Y ABCD 的各边长.解：G F E D C B AMN F E D B AE D C B A 4. 练后反思：本题利用了平行四边形的对边相等、对角线互相平分的性质，由本题的解答可以得到：平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半；平行四边形被对角线分成的四个小三角形中，相邻的两个三角形周长之差等于邻边之差.三、学习体会：1、本节课你的收获有2、本节课你的疑惑是四、自我测试一、选择题 1.如图（3），AF ∥BG ，AB ∥CD ，C E BG ⊥，F G B G ⊥，则下列说法错误的是（ ）A 、AB=CDB 、点C 到直线BG 的距离就是线段CE 的长C 、EC=FGD 、直线AF 与直线BG 的距离就是线段CD 的长 图（3）2. Y ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=10，BD=8，则BC 的取值范围是（ ）A 、810BC << B 、19B C << C 、45B C <<D 、218B C <<3.下列说法正确的是（ ）A 、平行四边形的对角线平分且相等B 、平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等C 、四边形具有平行四边形的所有性质D 、沿平行四边形的一条对角线对折，这条对角线两旁的图形能够重合 4.如图（4），在Y ABCD 中，DE AB ⊥于E ，BF C D ⊥于F ，D N BC ⊥于E ，则图中相等的线段有（ ）对。
平行四边形的概念与性质
平行四边形的概念与性质平行四边形是几何学中一种常见的四边形形状，它具有独特的特点和性质。
本文将介绍平行四边形的定义、特征以及一些相关的性质。
一、平行四边形的定义平行四边形是指四条边两两平行的四边形。
根据定义，我们可以得出以下结论：1. 平行四边形的两对对边互相平行。
2. 平行四边形的相邻角相等。
3. 平行四边形的对角线相交于一点，并且这条对角线把平行四边形分成两个全等的三角形。
二、平行四边形的特征平行四边形有许多独特的特征，掌握这些特性可以帮助我们更好地理解和解决相关的几何问题。
1. 对边平行性：平行四边形的对边互相平行。
这意味着如果我们已知平行四边形的一个对边，我们可以推断出另一对边也是平行的。
2. 相邻角相等性：平行四边形的相邻角相等。
相邻角是指共享一个顶点并且一个边在内部，另一个边在外部的两个角。
这个性质也可以用来推导平行四边形的其他性质。
3. 对角线的交点：平行四边形的对角线相交于一点。
这个交点将对角线分成两个相等的部分。
这个性质在解决一些平行四边形相关问题时非常有用。
三、平行四边形的性质1. 高度相等性：平行四边形的任意两条高度长度相等。
高度是指从一个顶点到它所对边的垂直距离。
这个性质可以用来计算平行四边形的面积。
2. 周长性：平行四边形的周长等于边长之和的两倍。
这个性质对于计算平行四边形的周长非常有用。
3. 对角线长度关系：平行四边形的对角线互相等长。
通过这个性质，我们可以计算平行四边形的对角线长度。
4. 内角和性质：平行四边形的内角和为360度。
这个性质可以通过将平行四边形划分为两个三角形，并利用三角形内角和性质来证明。
5. 对称性：平行四边形的对边、对角线和中点都具有对称性。
这个性质可以用来解决平行四边形的一些对称性相关问题。
四、平行四边形的应用平行四边形的概念与性质在实际生活和工程中有广泛的应用。
1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的概念和性质经常用于确定建筑物的布局和结构。
平行四边形的概念
平行四边形的概念平行四边形是几何学中的一个基本概念，指的是具有两组平行边的四边形。
在本文中，我将详细介绍平行四边形的定义、性质以及相关定理。
一、定义平行四边形是指具有两组平行边的四边形。
其中，两对相对的边互相平行，并且两对相对的角相等。
根据这个定义，我们可以得出平行四边形的一些特点。
二、性质1. 对角线平行四边形的对角线互相平分，并且交点将对角线分成两条相等的线段。
这意味着平行四边形的对角线长度相等。
2. 边长平行四边形的相对边是平行的，因此相对边的长度相等。
如果一个平行四边形的两组对边长度分别为a、b和c、d，那么a=c，b=d。
3. 内角相对的内角是相等的，也就是说，平行四边形的内角和为360度。
4. 外角平行四边形的相对外角互补，也就是说，相对外角的和为180度。
5. 高度平行四边形的高度是指从底边到顶边的距离，对于一个平行四边形而言，底边与顶边之间的距离是相等的。
三、定理1. 平行四边形的三条特殊线段（中位线、高度、角平分线）互相平行，且等于底边的长度。
2. 平行四边形的对边平方和等于对角线平方和。
即：AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2。
3. 平行四边形的对边互补。
即：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
四、例题解析假设ABCD是一个平行四边形，AB = 6 cm，BC = 8 cm，对角线AC = 10 cm。
求该平行四边形的周长和面积。
解:根据定理2，我们可以列出方程：AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2。
代入已知条件：10^2 + BD^2 = 6^2 + 8^2 + CD^2 + DA^2。
化简得：BD^2 = 100 - 100 = 0，CD^2 + DA^2 = 36 + 64 = 100。
由此可知BD = 0，CD^2 + DA^2 = 100，即CD = DA = 10。
平行四边形的定义与判定
平行四边形的定义与判定“同学们，今天我们来学习平行四边形。
”我站在讲台上对学生们说。
“老师，平行四边形是什么呀？”有学生好奇地问。
“好，那我们就先来了解平行四边形的定义。
平行四边形就是有两组对边分别平行的四边形。
大家看这个图形。
”我在黑板上画出一个平行四边形，“比如这个，它的两组对边 AB 和 CD 是平行的，AD 和 BC 也是平行的。
”“那怎么判定一个图形是不是平行四边形呢？”又有学生提问。
“这就有好几种方法啦。
第一种，如果两组对边分别相等，那这个四边形就是平行四边形。
就像这样，如果 AB 等于 CD，AD 等于 BC，那它就是平行四边形。
”我边说边在黑板上比划着。
“老师，能举个例子吗？”“当然可以，同学们看我们教室里的窗户，窗框是不是可以看成一个平行四边形呀，我们可以去量一量它的对边，会发现对边是相等的。
”“第二种方法呢，老师？”“第二种，如果一组对边平行且相等，那也是平行四边形。
比如有一个四边形，其中一组对边不仅平行而且相等，那就可以判定它是平行四边形。
”“第三种呢？”“第三种，如果两组对角分别相等，那也是平行四边形。
比如这个平行四边形，它的角 A 和角 C 是相等的，角 B 和角 D 也是相等的。
”“那还有其他方法吗？”“还有一种，就是对角线互相平分的四边形是平行四边形。
两条对角线相交于一点，并且这一点把两条对角线分成相等的两段，这样的四边形就是平行四边形。
大家想想看，在生活中有没有遇到过这样的例子呢？”学生们开始思考，过了一会儿，有个学生说：“老师，我想到了，我们小区的停车位，很多都是平行四边形的，好像能符合这些判定方法。
”“非常好，这位同学观察得很仔细。
所以呀，平行四边形在我们生活中是很常见的。
大家要学会用我们学过的知识去观察和理解周围的事物。
”“那老师，平行四边形还有其他的特点吗？”“有呀，平行四边形的对边是平行的，所以它的对边也是相等的。
而且平行四边形的对角也是相等的哦。
这些特点在我们解决问题的时候都很有用呢。
平行四边形的特征与性质
平行四边形的特征与性质平行四边形是数学中一个重要的几何概念，它具有独特的特征和性质。
本文将介绍平行四边形的定义、特征以及与其他几何形状的关系。
一、平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边两两平行。
具体而言，设四边形ABCD，若AB || CD 且 AD || BC，则四边形ABCD为平行四边形。
二、平行四边形的特征1. 对边平行性：平行四边形的对边两两平行，即AB || CD 且 AD || BC。
2. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且相交于对角线的交点O，即对角线AC和BD互相平分，并且交于点O。
3. 顶点角性质：平行四边形的相邻顶点的内角互补，即∠A + ∠B = 180度，∠B + ∠C = 180度，∠C + ∠D = 180度，∠D + ∠A = 180度。
三、平行四边形与其他几何形状的关系1. 矩形：矩形是一种特殊的平行四边形，其所有内角均为直角（90度），即四个角度相等且为直角。
2. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，其四个边长相等，所有内角均为直角。
3. 菱形：菱形是一种特殊的平行四边形，其所有边长相等，对边平行，对角线相互垂直且平分。
4. 平行四边形与三角形：平行四边形可以视为两个对边平行的三角形组合而成。
5. 平行四边形与梯形：平行四边形可以视为具有两条平行边的梯形。
四、平行四边形的应用平行四边形广泛应用于几何学和实际生活中。
以下是一些常见的应用示例：1. 建筑：在建筑设计中，平行四边形的性质被用来设计平行墙面、平行地板和天花板等。
2. 地理：在地理学中，平行四边形的性质可用于描述地球上的纬线和经线等。
3. 工程：在工程学中，平行四边形的性质可用于计算斜坡的倾斜度和平行线的距离等。
4. 绘画与艺术：在绘画与艺术领域中，平行四边形的特征被用于构思、设计和呈现各种图案和形状。
总结：平行四边形是一种具有特殊性质的几何形状，其特征包括对边平行性、对角线性质和顶点角性质。
平行四边形与其他几何形状，如矩形、正方形、菱形、三角形和梯形等有着紧密的关系。
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20.2（2）平 行 四 边 形
供稿：周佳伟 审核：八年级数学组 2013.5.9
【教学目标】
1.探索并掌握平行四边形的性质的推论.
2.应用平行四边形的性质解决简单的平行四边形计算问题，并会进行有关的推理论证.
3.通过探究平行四边形的性质的推论，培养学生发现问题，解决问题的能力及逻辑推理能力.
4.通过分组合作学习活动，培养学生团队精神.
5.通过探索平行四边形性质的推论合作学习的过程，体验图形是描述现实世界的重要手段，体验数学活动充满探索性和创造性，培养学生实事求是的态度.
【教学重点、难点】
重点：平行四边形的性质以及推论的应用.
难点：运用平行四边形的性质进行有关的推论和计算.
【教学过程】
一. 温故知新
我们知道平行四边形是我们生活中常见的图形之一，你能说说上节课所学习的平行四边形的
性质吗？
二. 新课教学
1. 平行四边形性质的推论1：
创设问题情境（一）：
如图1，直线1l ∥2l ，AB,CD 是夹在直线1l 、2l 之间的两条平行线段，你能猜想出什么
结论？试与同学交流你的想法.
探究解决问题（二）：
由性质1，可得：
推论1：夹在两平行线间的平行线段相等. 2. 平行四边形性质的推论2. 忆一忆：点到点的距离
点到线的距离 .
那么两平行线间的距离指的是什么？ ________ .
试一试：
如图，在网格纸上画两条互相平行的直线，
在其中一条直线上任取若干点，过这些点
作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平
行线之间的垂线段的长度
A C
B D 图1
1l 2l
图2
度量的结果发现这些垂线段的长度相等，这种现象说明了平行线的又一个性质：
______________ .
再说说你的理由：
由推论1可知：如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离都相
等.因此，可以用点到直线的距离来定义两平行线间的距离.
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离叫做两条平行线的距离.
推论2：平行线间的距离处处相等.
三.例题示范
例2.（见课本P 75） 已知：如图2，过△ABC 的三个顶点，分别作对边的平行线，这三
条直线两两相交，得△C B A '''.求证：△ABC 的三个顶点分别是△C B A '''三边的中点.
教学步骤：1.让学生阅读75页地例2，
2.提示学生证明边相等的方法有：
（1）线段中点；
（2）同一个三角形中，等角对等边；
（3）全等三角形对应边相等；
（4）平行四边形对边相等；
（5）夹在两平行线间的平行线段相等；
（6）平行线间的距离处处相等.
3.找小组代表板演，同时查看学生的证明情况。
4.提供完整的证明过程： 证明：∵AB ∥B ’C, BC ∥AB ’ ∴ AB ’∥BC
同理：AC ’=BC ∴ AB ’=AC ’
同理：BC ’=BA ’ , CA ’=CB ’
所以△ABC 的顶点A 、B 、C 分别是△A ‘B ‘C ’三边的中点。
四.巩固练习
如图3，已知AF ∥BG ,AB ∥CD,CE ⊥BG 于点E ，FG ⊥BG 于点G,则下列说法
错误的是（ ）
A 、 AB=CD
B 、CE=FG
C 、 A,B 两点之间的距离就是线段AB 的长
D 、 AF 与BG 之间的距离就是线段AB 的长度
五.归纳小结 本课主要学习了平行四边形的性质的推论及平行线间的距离的概念.
证明线段相等的方法有：（1）线段中点；（2）同一个三角形中，等角对等边；（3）全等三角
形对应边相等；（4）平行四边形对边相等；（5）夹在两平行线间的平行线段相等；（6）平行
线间的距离处处相等.
六.布置作业
课本第81页习题20.2第2,6题
七、教后反思 （3）。