高考数学课时训练选修4-1-2

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高中数学人教版选修1-2课时提升作业四 2.1.2 演绎推理习题 Word版含答案

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课时提升作业四　演绎推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的,其中的大前提是( )A.①B.②C.①②D.③【解析】选A.由演绎推理可知,①是大前提.2.(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电,铁是金属,所有铁能导电”这种推理方法属于　( )A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理【解析】选A.由题意知,这种推理包含有大前提、小前提、结论,是演绎推理.3.(2016·聊城高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理　( )A.小前提错误B.结论错误C.正确D.大前提错误【解析】选C.因为9是3的倍数,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.4.(2016·大同高二检测)函数y=xcosx-sinx 在下列哪个区间内是增函数　( )A.B.(π2,3π2)(π,2π)C.D.(2π,3π)(3π2,5π2)【解析】选B.y′=cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0,由选项知x>0,所以sinx<0,故π<x<2π.5.(2016·三明高二检测)观察(x 2)′=2x,(x 4)′=4x 3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=　( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】选D.由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R 上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·大连高二检测)若不等式ax 2+2ax+2<0的解集为,则实数a 的取值范围为∅________.【解析】①a=0时,不等式变为2<0,显然此不等式解集为.∅②a≠0时,需有即解得0<a≤2.{a >0,Δ≤0,{a >0,4a 2‒8a ≤0,综合上述,a 的取值范围为.答案:7.有一段演绎推理:大前提:整数是自然数;小前提:-3是整数;结论:-3是自然数.这个推理显然错误,则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写).【解析】自然数是非负整数,因此整数不一定是自然数,即大前提是错误的.答案:大前提8.已知f(x)=a-为奇函数,则a=________.12x +1【解析】因f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,即f(0)=0.即a-=0,得a=.120+112答案:1 2三、解答题(每小题10分,共20分)9.把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)一切奇数都不能被2整除,(22015+1)是奇数,所以(22015+1)不能被2整除.(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,……………………………………大前提22015+1是奇数,…………………………………………………………………小前提22015+1不能被2整除.…………………………………………………………结论(2)三角函数都是周期函数,…………………………………………………大前提y=tanα是三角函数.…………………………………………………………小前提y=tanα是周期函数.…………………………………………………………结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,…大前提△ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52, …………………………………………………………………小前提△ABC是直角三角形. ………………………………………………………结论10.(2016·南京高二检测)设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.【证明】因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0,那么方程有两个相异实根. …………………………………………………大前提Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ………………………………小前提所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.……………………………………………………………………………………结论一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·鞍山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为　( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选A.因“直线与平面平行”,不能推出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提是错误的.2.(2016·海港高二检测)若平面四边形ABCD 满足+=0,(-)·=0,则四边→A B →C D →A B →A D →A C 形ABCD 一定是　( )A.直角梯形B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选D.由+=0可得AB∥CD 且AB=CD.→A B →C D 由(-)·=0即·=0→A B →A D →A C →D B →A C 可知BD⊥AC.故四边形ABCD 是菱形.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=,则4x ‒12x ‒1f +f +…+f +f =________.(12 015)(22 015)(2 0132 015)(2 0142 015)【解析】因为f(x)===2+.4x ‒12x ‒12(2x ‒1)+12x ‒112x ‒1f(1-x)=2+=2-,12(1‒x)‒112x ‒1所以f(x)+f(1-x)=4,所以f+f =4,…,(12 015)(2 0142 015)f+f =4,(1 0072 015)(1 0082 015)所以f +f +…+f +f =4×1007=4028.(12 015)(22 015)(2 0132 015)(2 0142 015)答案:40284.如图,四棱锥P-ABCD 的底面是平行四边形,E,F 分别为AB,CD 的中点,则AF 与平面PEC 的位置关系是________.(填“相交”或“平行”)【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形.所以AB∥CD且AB=CD.又点E,F分别是AB,CD的中点.所以CF∥AE且CF=AE.所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥CE,又AF⊄平面PEC,CE⊂平面PEC.所以AF∥平面PEC.答案:平行三、解答题(每小题10分,共20分)25.(2016·临沂高二检测)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.【解析】(1)取AB的中点E,连接CE,DE.2因为AC=BC=,AB=2,所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.因为△ADB 是等边三角形,所以DE⊥AB.又平面ADB⊥平面ABC且平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.所以DE⊥CE,由已知得DE=AB=,CE=1.323所以在Rt△CDE 中,CD==2.D E 2+CE 2(2)当△ADB 以AB 为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下:当D 在平面ABC 内时因为BC=AC,AD=BD,所以C,D 都在AB 的垂直平分线上.所以AB⊥CD.当D 不在平面ABC 内时,由(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,又DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE,又CD ⊂平面CDE.所以AB⊥CD.综合上述,当△ADB 转动时,总有AB⊥CD.6.已知a,b,c 是实数,函数f(x)=ax 2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)求证:|c|≤1.(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.【解题指南】(1)利用f(0)=c 结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)在上是增函数,所以g(-1)≤g(x)≤g(1).又g(1)=a+b=f (1)-c,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,所以-2≤g(x)≤2.当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.综上所述,-2≤g(x)≤2.关闭Word文档返回原板块。

2021年高考数学参数方程课时提升作业理北师大版选修4-1

2021年高考数学参数方程课时提升作业理北师大版选修4-1一、选择题1.已知直线l:(t为参数),圆C:ρ=2cosθ,则圆心C到直线l的距离是( )(A)2 (B) (C) (D)12.参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ=-6cosθ所表示的图形分别是( )(A)圆和直线(B)直线和直线(C)椭圆和直线(D)椭圆和圆3.(xx·惠州模拟)直线(t为参数)被圆x2+y2=9截得的弦长为( )(A) (B) (C) (D)二、填空题4.(xx·北京高考)直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为.5.(xx·天津高考)已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p>0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为 E.若|EF|=|MF|,点M的横坐标是3,则p= .6.(xx·咸阳模拟)若直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=3,圆C:(φ为参数)上的点到直线l 的距离为d,则d的最大值为.三、解答题7.已知直线l过点P(1,-3),倾斜角为,求直线l与直线l′:y=x-2的交点Q与点P的距离|PQ|.8.(xx·三明模拟)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合.圆C的参数方程为(α为参数),点Q的极坐标为(2,).(1)化圆C的参数方程为极坐标方程.(2)若点P是圆C上的任意一点,求P,Q两点距离的最小值.9.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以O为原点,Ox轴为极轴,单位长度不变,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程.(2)若直线l和曲线C相切,求实数k的值.10.已知直线l经过点P(1,1),倾斜角α=,(1)写出直线l的参数方程.(2)设l与圆x2+y2=4相交于两点A,B,求点P到A,B两点的距离之积.11.已知某圆的极坐标方程是ρ2-4ρcos(θ-)+6=0,求:(1)圆的普通方程和一个参数方程.(2)圆上所有点(x,y)中xy的最大值和最小值.12.(xx·新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是C1:(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,).(1)求点A,B,C,D的直角坐标.(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.答案解析1.【解析】选C.直线l:(t为参数)的普通方程为x-y+1=0,圆C:ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,则圆心C(1,0)到直线l的距离d==. 2.【解析】选 D.参数方程(θ为参数)的普通方程为+y2=1,表示椭圆.极坐标方程ρ=-6cosθ的直角坐标方程为(x+3)2+y2=9,表示圆.3.【解析】选B.把直线代入x2+y2=9,得(1+2t)2+(2+t)2=9,即5t2+8t-4=0,∴|t1-t2|===.∴弦长为|t1-t2|=.4.【解析】方法一:由直线(t为参数)与曲线(α为参数)的参数方程得(2+t)2+(-1-t)2=9,整理,得t2+3t-2=0,方程有两个不相等的实数根,所以直线与曲线的交点个数有2个.方法二:将直线(t为参数)与曲线(α为参数)的参数方程分别化为直角坐标方程,得x+y-1=0,x2+y2=9.原点(圆心)到直线的距离为d=<r=3,所以直线与圆相交,交点个数为2.答案:25.【解析】消去参数t得抛物线的普通方程为y2=2px,准线方程为x=-,因为M为抛物线上一点,所以有|MF|=|ME|,又|MF|=|EF|,所以三角形MEF为等边三角形,则|EF|=|MF|=2p=3-(-)=3+,解得p=2.答案:26.【解析】由ρcos(θ-)=3得直角坐标方程为x+y-6=0,圆C:(φ为参数)的普通方程为x2+y2=1,圆心(0,0)到直线l的距离为d′==3>r=1,所以直线与圆相离,所以圆上的点到直线l的距离d的最大值为3+1.答案:3+17.【解析】∵l过点P(1,-3),倾斜角为,∴l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),代入y=x-2得-3+t=1+t-2,解得t=4+2.即t=2+4为直线l与l′的交点Q所对应的参数值,根据参数t的几何意义,可知|t|=|PQ|,∴|PQ|=4+2.8.【解析】(1)圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,展开得x2+y2-2x+2y-2=0,化为极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0.(2)点Q的直角坐标为(2,-2),且点Q在圆C内,因为|QC|=,所以P,Q两点距离的最小值为|PQ|=2-.9.【解析】(1)由得直线l的普通方程为y=kx+1.由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ,y2=4x,曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)把y=kx+1代入y2=4x得k2x2+(2k-4)x+1=0,由Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1.10.【解析】(1)直线的参数方程为(t为参数)即(t为参数)(2)把直线的参数方程(t为参数)代入x2+y2=4得(1+t)2+(1+t)2=4,t2+(+1)t-2=0,∴t1t2=-2,则点P到A,B两点的距离之积为2.11.【解析】(1)由ρ2-4ρcos(θ-)+6=0,得ρ2-4(ρcosθ·+ρsinθ·)+6=0,∴普通方程为x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2+(y-2)2=2.一个参数方程为(θ为参数)(2)xy=(2+cosθ)(2+sinθ)=4+2(sinθ+cosθ)+2sinθcosθ令sinθ+cosθ=t∈[-,]得2sinθcosθ=t2-1,xy=t2+2t+3=(t+)2+1,∴当t=-时,(xy)min=1,当t=时,(xy)max=9.12.【解析】(1)因为曲线C2的极坐标方程ρ=2,所以曲线C2是圆心在极点,半径为2的圆,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,),故B(2,),由对称性得,直角坐标分别为A(1,),B(-,1),C(-1,-),D(,-1).(2)由于点P为曲线C1:(φ为参数)上任意一点,得P(2cosφ,3sinφ),则|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=(2cosφ-1)2+(3sinφ-)2+(2cosφ+)2+(3sinφ-1)2+(2cosφ+1)2+(3sinφ+)2+(2cosφ-)2+(3sinφ+1)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ因为32≤32+20sin2φ≤52,所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围是[32,52]. 21022 521E 刞,30314 766A 癪.28974 712E 焮~ 24063 5DFF 巿"^`22808 5918 夘。

2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第四章 4.2 结构图

接

基础自测 2．下面是一信息管理系统的结构图，则其构成有________部分．
栏目链接

基础自测
解析：构成有：用户信息、用户登录、信息管理、错误信息处理共 4 部分．栏目答案：4 链
接

基础自测 3．下列关于函数、函数的定义域、函数的值域、函数的对应法则的结构图正确的是( )
第四章 4．2 结
框图构图
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1 ．通过实例，了解结构图，运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息．
栏 2 ．掌握结构图的画法，结合作出的结构图与他人进行交目链流，体会结构图在揭示事物联系中的作用．接

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基础自测
解析：等腰三角形以可分为 “ 等边三角形”和“腰和底不相等的等腰三角形”两类．栏目答案：等边三角形链
接

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1．重点
用结构图梳理已经学过的知识，整理收集到的资料信息，体会结构图在揭示事物联系中的作用．
栏目链接
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题型1
组织结构图
例1 某公司的组织结构是：总经理之下设执行经理、人事经理和财务经理．执行经理领导生产经理、工程经理、品质管理经理和物料经理．生产经理领导线长，工程经理领导工程师，工程师管理技术员，物料经理领导计划员和仓库管理员．
栏目链分析：由题目可获取的主要信息是这公司的组织结构以 “ 总经接
理”为首，直接领导执行经理、人事经理和财务经理三个下属部门，依次类推．解答本题可按照下属部门画在上属部门的 “下位”并注意平行部门间的关系来画结构图．．解析：结合分析，我们可用下图所示的结构图来描述这家公司的组织结构．

《金版新学案》高三一轮(北师大版)理科数学(+课时作业)：选修4-2第2课时逆矩阵、特征值与特征向省

故 M＝46
2 4.
(2)由(1)知，矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ
＋16，故其另一个特征值为 λ＝2.
设矩阵 M 的另一个特征向量是 e2＝xy，则 Me2＝46xx＋＋42yy＝2xy，
工具
选修4-2 矩阵与变换
所以64xx＋＋24yy＝＝22xy，，所以矩阵 M 的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是 2x＋y＝0.
解析：已知方程组可以写为2 －5x＝4， 3 1y 6
令 M＝23
－5，其行列式为2
1
3
－51＝2×1－3×(5)＝17≠0，
所以 M－1＝－111377
115277，所以xy＝M－164＝20，
பைடு நூலகம்
x＝2，即方程组的解为y＝0.
工具
选修4-2 矩阵与变换
关于特征值问题的一般解法如下：
给定矩阵 A＝ac
(2)求矩阵 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量 e2 的坐标之间
的关系．
解析：
(1)设 M＝ac
b， d
则a c
db11＝811＝88，
故ac＋＋db＝＝88.，
a c
db－12＝－24，
工具
选修4-2 矩阵与变换
故－－ac＋＋22db＝＝4－. 2，
联立以上两方程组解得 a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，
阵乘法的消去律成立．
工具
选修4-2 矩阵与变换
求矩阵 A＝12
3的逆矩阵． 2
解析：方法一：设矩阵 A 的逆矩阵为 A－1＝ac db，
则由2
3a
b＝1
0，
1 2c d 0 1

2012高中数学 4-1.2课后练习同步导学北师大版选修1-1

第4章 1.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极大值C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么，f (x 0)是极小值D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么，f (x 0)是极大值解析：导数为零的点不一定是极值点，“左正右负”有极大值，“左负右正”有极小值．故A ，C ，D 项错．答案： B2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π在区间[－π，π]上取极大值时x 的值为( )A.π2B ．0C ．－π D．π解析： y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π＝cos x ＋π，y ′＝－sin x ，令y ′>0，则－π<x <0，因此在区间[－π，π]上，当x ∈[－π，0]时，函数为增函数，当x ∈[0，π]时，函数为减函数，根据极值定义，当x ＝0时函数在区间[－π，π]取得极大值．答案： B3．下面对于函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)的判断正确的是( ) A ．极大值为5，极小值为－27B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值D ．极小值为－27，无极大值解析： y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)，令y ′＝0，可得x ＝3或x ＝－1.当－2<x <－1时，y ′>0；当－1<x <2时，y ′<0，故当x ＝－1时y 取得极大值．答案： C4．若函数f (x )＝x ·2x在x 0处有极小值，则x 0等于( ) A.1ln2B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2解析： ∵y ＝x ·2x，∴y ′＝2x＋x ·2x·ln2＝2x·(1＋x ·ln2)．令y ′＝0可得：x ＝－1ln2.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1ln2时，y ′<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1ln2，＋∞时，y ′>0. ∴x ＝－1ln2为极小值点．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝2x 3－15x 2＋36x －24的极大值为__________，极小值为________．解析： y ′＝6x 2－30x ＋36，即y ′＝6(x －2)(x －3)，令y ′＝0得x ＝2或x ＝3.经判断有极大值为f (2)＝4，极小值f (3)＝3. 答案： 4 36．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值X 围是________．解析： f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )<0，得－a <x <a ，∴f (x )在(－∞，－a )内递增，在(－a ，a )内递减，在(a ，＋∞)内递增，极大值为f (－a )＝2a 3＋a ＝a (2a 2＋1)>0，极小值为f (a )＝a (1－2a 2)<0，由此解得a >22. 答案： ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求函数f (x )＝x 2e －x的极值．解析：函数的定义域为R ，f ′(x )＝2x e －x ＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ex ′＝2x e －x－x 2e －x＝x (2－x )e －x，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －＋－f (x )4e －2由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0. 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e －2.8．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时函数有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值．解析： (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′＝3a ＋2b ＝0，又y ＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝1. ∴当x ＝0时，函数y 取得极小值0. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值．解析： f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝10，f ′1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f (x )、f ′(x )的变化情况列表如下：x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－113 －113⎝ ⎛⎭⎪⎫－113，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0， ∴f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意．综上可知f (2)＝18.。

北师大版数学高二-选修4-1 第2章2.12课时作业

选修4-1 第2章2.1+2课时作业一、选择题1．从球外一点引球的切线，则()A．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个大圆B．可以引无数条切线，所有切点组成球的一个小圆C．只可以引两条切线，两切点的连线过球心D．只可以引两条切线，两切点的连线不过球心【解析】根据球的切线性质知B正确．【答案】 B2．已知球的半径R＝6，过球外一点P作球的切线长为8，则P点到球面上任意一点Q的最短距离为()A．3B．4C．5 D．6【解析】设点P到球心的距离为d，则d＝62＋82＝10.∴PQ的最短距离为10－6＝4.【答案】 B3．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图2－1－4所示，则截面图可能是()图2－1－4A．①③B．②③C．①④③D．①②③【解析】根据截面的位置不同，可得到的截面形状可能是①②③，但不可能为④，故选D.【答案】 D4．已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是()A．πB．2πC．3π D．4π【解析】如图所示，由题意知OA＝OB＝OS＝r，易知△ACB为直角三角形，所以V球V锥＝43πr313×12(2r)2×r＝4π.【答案】 D二、填空题5．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________．【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝(3)2＋(3)2＋(3)2＝9，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝9π.【答案】9π6．如图2－1－5所示，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝3，则球O的体积等于________．图2－1－5【解析】∵DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，DA⊥AC.又BC⊥AB，AB∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DB，则DC的中点即为球心O.又DA＝AB＝BC＝3，∴AC＝6，DC＝3，∴球O的体积V球＝43π(32)3＝9π2.【答案】9π2三、解答题7．已知半径为R的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离．【解】设四个球的球心分别为O1、O2、O3、O4，将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为2R，如图作O1H⊥面O2O3O4，垂足为H，则O1H 为棱锥的高连接O4H，则O4H＝233R.∵△O1HO4为直角三角形，∠O1HO4＝90°，∴O1H＝263R，∴从上面一个球的球心到桌面的距离为(263＋1)R .8．若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个正四面体的高．【解】如图，设正四面体边长为x ，设球半径为R .∴AH ＝33x,4πR 2＝36π.∴R ＝3，在Rt △AHS 中，SH 2＝SA 2－AH 2，∴SH 2＝x 2－(33x )2＝23x 2，( 23x －R )2＋(33x )2＝9，∴x ＝2 6∴SH ＝4，故正四面体的高为4.图2－1－69．如图2－1－6所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，容器内的水深是多少？【解】由题意，轴截面PAB 为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r ，水面半径为3r ，容器内水的体积就是V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r －43πr 3＝53πr 3.将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面半径为33h.此时容器内水的体积为V′＝13π(33h)2·h＝19πh3.由V＝V′，得h＝315r.即铁球取出后水深为315r.10．已知球面上的三点A、B、C，且AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，球的半径为13 cm.求球心到平面ABC的距离(如图)．【解】因为62＋82＝102，所以△ABC是直角三角形．因为球心O在平面ABC内的射影M是△ABC所在截面圆的圆(外接圆)心，所以M是直角三角形斜边AC上的中点，且OM⊥AC.在Rt△OAM中，OM＝OA2－AM2＝132－52＝12，所以球心到平面ABC的距离为12 cm.。

高考数学课时训练选修4-4-2

Go the distance
以 1 为半径的圆；C2：x2＋y2＝1，表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为 3－1 －1＝1.
答案：1 三、解答题
9．已知曲线 C 的参数方程为yx＝＝csions2αα，， α∈[0,2π)，曲线 D 的极坐标方程为 ρsinθ＋π4
＝－ 2. (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程； (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点？试说明理由．
圆 C2 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ.
解ρ＝2， ρ＝4cos θ
得 ρ＝2，θ＝±π3，
故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－3π.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)解法一
由x＝ρcos θ， y＝ρsin θ
得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1，
3)，(1，－
3)．
已知曲线 C：x42＋y92＝1，直线 l：xy＝＝22＋－2t，t (t 为参数)． (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．
解析：(1)由题知曲线
C
的参数方程为x＝2cos y＝3sin
意，若要使圆上有 3 个点到直线 l 的距离为 1，只要满足圆心到直线的距离为 1 即可，得到 |b| 2
＝1，解得 b＝± 2.
答案：D
5．已知点
P(3，m)在以点
F
为焦点的抛物线x＝4t2， y＝4t
(t 为参数)上，则|PF|＝(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为 y2＝4x，则焦点 F(1,0)，准线方程为 x＝－1，

高中数学人教版选修1-2课时提升作业四 2.1.2 演绎推理习题

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课时提升作业四演绎推理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的,其中的大前提是( )A.①B.②C.①②D.③【解析】选A.由演绎推理可知,①是大前提.2.(2016·福州高二检测)“所有金属都能导电,铁是金属,所有铁能导电”这种推理方法属于( )A.演绎推理B.类比推理C.合情推理D.归纳推理【解析】选A.由题意知,这种推理包含有大前提、小前提、结论,是演绎推理.3.(2016·聊城高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理( )A.小前提错误B.结论错误C.正确D.大前提错误【解析】选C.因为9是3的倍数,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.4.(2016·大同高二检测)函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数( ) A. B.C. D.(2π,3π)【解析】选B.y′=cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0,由选项知x>0,所以sinx<0,故π<x<2π.5.(2016·三明高二检测)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)= ( )A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)【解析】选D.由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x).二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·大连高二检测)若不等式ax2+2ax+2<0的解集为∅,则实数a的取值范围为________.【解析】①a=0时,不等式变为2<0,显然此不等式解集为∅.②a≠0时,需有即解得0<a≤2.综合上述,a的取值范围为.答案:7.有一段演绎推理:大前提:整数是自然数;小前提:-3是整数;结论:-3是自然数.这个推理显然错误,则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写).【解析】自然数是非负整数,因此整数不一定是自然数,即大前提是错误的.答案:大前提8.已知f(x)=a-为奇函数,则a=________.【解析】因f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,即f(0)=0.即a-=0,得a=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.把下列演绎推理写成三段论的形式.(1)一切奇数都不能被2整除,(22015+1)是奇数,所以(22015+1)不能被2整除.(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,……………………………………大前提22015+1是奇数,…………………………………………………………………小前提22015+1不能被2整除.…………………………………………………………结论(2)三角函数都是周期函数,…………………………………………………大前提y=tanα是三角函数.…………………………………………………………小前提y=tanα是周期函数.…………………………………………………………结论(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,…大前提△ABC三边的长依次为3,4,5,且32+42=52, …………………………………………………………………小前提△ABC是直角三角形. ………………………………………………………结论10.(2016·南京高二检测)设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根. 【证明】因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0,那么方程有两个相异实根. …………………………………………………大前提Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ………………………………小前提所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根. ……………………………………………………………………………………结论一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·鞍山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b⊄平面α,直线a⊂平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】选A.因“直线与平面平行”,不能推出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提是错误的.2.(2016·海港高二检测)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则四边形ABCD一定是( )A.直角梯形B.矩形C.正方形D.菱形【解析】选D.由+=0可得AB∥CD且AB=CD.由(-)·=0即·=0可知BD⊥AC.故四边形ABCD是菱形.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·重庆高二检测)已知函数f(x)=,则f+f+…+f+f=________.【解析】因为f(x)===2+.f(1-x)=2+=2-,所以f(x)+f(1-x)=4,所以f+f=4,…,f+f=4,所以f+f+…+f+f=4×1007=4028.答案:40284.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,则AF与平面PEC的位置关系是________.(填“相交”或“平行”)【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形.所以AB∥CD且AB=CD.又点E,F分别是AB,CD的中点.所以CF∥AE且CF=AE.所以四边形AECF为平行四边形.所以AF∥CE,又AF⊄平面PEC,CE⊂平面PEC.所以AF∥平面PEC.答案:平行三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·临沂高二检测)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.【解析】(1)取AB的中点E,连接CE,DE.因为AC=BC=,AB=2,所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.又平面ADB⊥平面ABC且平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.所以DE⊥CE,由已知得DE=AB=,CE=1.所以在Rt△CDE中,CD==2.(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明如下:当D在平面ABC内时因为BC=AC,AD=BD,所以C,D都在AB的垂直平分线上.所以AB⊥CD.当D不在平面ABC内时,由(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,又DE∩CE=E,所以AB⊥平面CDE,又CD⊂平面CDE.所以AB⊥CD.综合上述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.6.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.(1)求证:|c|≤1.(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.【解题指南】(1)利用f(0)=c结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)在上是增函数,所以g(-1)≤g(x)≤g(1).又g(1)=a+b=f (1)-c,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,所以-2≤g(x)≤2.当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.综上所述,-2≤g(x)≤2.关闭Word文档返回原板块小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

2021年高考数学全等与相似课时提升作业理北师大版选修4-1

2021年高考数学全等与相似课时提升作业理北师大版选修4-1一、选择题1.在△ABC中,MN∥BC,MC,NB交于O,则图中相似三角形的对数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=;④AC2=AD·AB,其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.如图,在平行四边形ABCD中,已知AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6,则△CDF的面积为( )(A)12 (B)24 (C)18 (D)54二、填空题4.如图,已知D为△ABC中AC边的中点,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延长线于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,则AE= .5.(xx·西安模拟)如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFC内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于.6.(xx·永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF= .三、解答题7.已知如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,点D是垂足,求证:BC2=2CD·AC.8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF.9.(xx·宿州模拟)如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(1)求证:A,E,F,D四点共圆.(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.10.如图,在▱ABCD中,AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E,F,AE,BF相交于点M.(1)试说明:AE⊥BF.(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以证明.11.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E,F是BC边上的两点,∠EAF=45°.求证:EF2=BE2+CF2.12.如图,▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB.(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.答案解析1.【解析】选B.根据条件知,△MNO∽△CBO,△AMN∽△ABC.2.【解析】选C.①②利用有两角分别对应相等的两个三角形相似;③两边对应成比例不能判断两个三角形相似;④利用有一角相等且此角的两边对应成比例的两个三角形相似.3.【解析】选D.由题设,AE∶EB=1∶2,∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3.又AE∥CD,∴△AEF∽△CDF,∴==.又∵△AEF的面积为6,∴S△CDF=9S△AEF=54,故选D.4.【解析】∵AE∥BC,D为AC的中点,∴AE=CF,==.设AE=x,又BC=8,∴=,∴x=4,∴AE=4.答案:45.【解析】设正方形边长为x,则由△AFE∽△ACB,可得=,即=,所以x=,于是AF∶FC=1∶2.答案:1∶26.【解析】设AE=x,∵∠BAC=120°,∴∠EAB=60°.又AE⊥EB,∴AB=2x,BE=x,∴==.在Rt△AEF与Rt△BEC中,∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,∴△AEF∽△BEC,∴=,∴AF=4×=.答案:7.【证明】过点A作AE⊥BC,垂足为E,∴CE=BE=BC.由BD⊥AC,AE⊥BC,又∵∠C=∠C,∴△AEC∽△BDC,∴=,∴=,即BC2=2CD·AC.8.【解析】∵AD∥BC,∴===.∴=.∵OE∥AD,∴==,∴OE=AD=×12=,同理可得OF=BC=×20=,∴EF=OE+OF=15.9.【解析】(1)∵AE=AB,∴BE=AB.∵在正△ABC中,AD=AC,∴AD=BE.又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,∴A,E,F,D四点共圆.(2)取AE中点G,连结GD,则AG=GE=AE.∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,AD=AC=,∠DAE=60°.∴△AGD为正三角形,∴GD=GA=AD=,即GA=GE=GD=,∴G是△AED外接圆圆心.且圆G的半径为,∵A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.10.【解析】(1)∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF,∴2∠BAE+2∠ABF=180°,即∠BAE+∠ABF=90°,∴∠AMB=90°,∴AE⊥BF.(2)线段DF与CE是相等关系,即DF=CE.∵在▱ABCD中,CD∥AB,∴∠DEA=∠EAB.又∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD.同理CF=BC.又∵在▱ABCD中,AD=BC,∴DE=CF,∴DE-EF=CF-EF,即DF=CE.11.【证明】如图,以AE为边作△AEG≌△AEB,连接FG.∵△AEG≌△AEB,∴∠1=∠2,∠5=∠B=45°,AG=AB=AC.∵∠1+∠3=∠EAF=45°,∠BAC=90°,∴∠2+∠4=45°,∴∠3=∠4.又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC,∴∠6=∠C=45°.∴∠EGF=∠5+∠6=45°+45°=90°,∴△EFG是直角三角形,∴GE2+GF2=EF2,∴EF2=BE2+CF2.12.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴=()2=,=()2=.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16,∴S四边形ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.33906 8472 葲25061 61E5 懥40157 9CDD 鳝24168 5E68 幨 +{b30334 767E 百29164 71EC 燬36585 8EE9 軩Y28548 6F84 澄33991 84C7 蓇<。

2022高中数学 4-1.2课后练习同步导学北师大版选修1-2

第4章本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！一、选择题每小题5分，共20分1．在复平面内，复数＝in 2＋ico 2对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵错误!＜2＜π，∴in 2＞0，co 2＜0，∴点in 2，co 2在第四象限．答案： D2．已知0＜a＜2，复数的实部为a，虚部为1，则||的取值范围是A．1,5 B．1,3C．1，错误!D．1，错误!解析：由题意得＝a＋i，∴||＝错误!∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴1＜||＜错误!答案： C3．下列四个式子中，正确的是A．4i>3 B．|2＋3i|>|2－3i|C．|2＋i|>2i4D．i2>－i解析：不全是实数的复数不能比较大小，故A、D都错．∵|2＋3i|＝错误!，|2－3i|＝错误!，∴B错．∵|2＋i|＝错误!>2i4＝2，∴C对．答案： C4．在复平面内，O为原点，向量错误!2－3m－3＋i·og2m－3m∈R，若对应的点在直线－2＋1＝0上，则m的值是________．解析：og2m2－3m－3－2og2m－3＋1＝0，og2错误!＝－1，错误!＝错误!，m＝±错误!，而m>3，∴m＝错误!答案：错误!6．若复数－3－2－4i所对应的点在第三象限，则的取值范围是________．解析：由题意可得错误!，∴＜－2或2＜＜3答案：－∞，－2∪2,3三、解答题每小题10分，共20分7．在复平面内画出复数1＝－1，2＝错误!＋错误!i，3＝错误!－错误!i对应的向量错误!，错误!，错误!并求出各复数的模．解析：三个复数对应向量错误!，错误!，错误!如下图所示．|1|＝|－1|＝1，|2|＝错误!＝1，|3|＝错误!＝18．已知复数满足＋||＝2＋8i，求复数解析：设＝＋i，∈R．则＋i＋错误!＝2＋8i，∴错误!∴错误!，∴＝－15＋8i错误!☆☆☆9．10分设∈C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形1||＝2；2||≤3解析：方法一：1复数的模等于2，这表明向量错误!的长度等于2，即点Z到原点的距离等于2，因此满足条件||＝2的点Z的集合是以原点O为圆心，以2为半径的圆．2满足条件||≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的圆及其内部．方法二：设＝＋i，∈R，1||＝2，∴2＋2＝4，∴点Z的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆．2||≤3，∴2＋2≤9∴点Z的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．。

高中同步数学课时训练：1.1.2基本不等式(人教A版选修4

知能巩固提升(二)/课后巩固作业(二)(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.函数的最小值是( )(A) (B)-3(C) (D)2.(2012·淄博高二检测)设a＞0,b＞0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )(A)8 (B)4 (C)1 (D)3.(2012·沈阳高二检测)若实数x,y满足则x2+2y2有( )(A)最大值 (B)最小值(C)最大值6 (D)最小值64.设x,y∈R,a>1,b>1，若a x=b y=3,则的最大值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)5.已知在△ABC中，AB=1，BC=2，则∠C的最大值是( )(A) (B) (C) (D)6.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )(A)5千米处 (B)4千米处 (C)3千米处 (D)2千米处二、填空题(每小题6分，共18分) 7.若a ＞b ＞1,()1a bP lga lgb ,R lg 22+==+=，则P ，Q ，R 的大小关系是________.8.若直角三角形的面积等于50，则两条直角边和的最小值为_________. 9.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是____________. 三、解答题(每小题14分，共28分)10.(易错题)已知a,b,x,y ∈R +，x ，y 为变量，a,b 为常数，且a+b=10， x+y 的最小值为18，求a ，b.11.已知a ＞0,b ＞0,a+b=1,求证：【挑战能力】(18分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形休闲区A 1B 1C 1D 1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). (1)若设休闲区的长和宽的比求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应如何设计?答案解析1.【解析】选D.222266y 3x 3x 33,x 1x 1=+=++-++ ∵3x 2+3＞0,∴2y 33x 1≥-=+）(当且仅当时取等号).2.【解析】选B.由题意可得 ∴a+b=1,此时11a b a b b a2224,aba b a b+++=+=++≥+=（）当且仅当时取等号. 【变式训练】已知x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)4 【解析】选D.由题意知a+b=x+y,cd=xy.()()2222a b x y x y 2xy 2xy24cdxyxy xy++++==≥+= (当且仅当x=y 时取等号).3.【解析】选B.2222222222112y x x 2y x 2y 33x y x y+=++=++≥+（）（）当且仅当时等号成立，故选B.4.【解析】选C.因为a x =b y =3,则=log 3a, =log 3b.又a b +=故233311a b log ab log log 31.xy2++=≤==（）（） 5.【解题指南】利用余弦定理，结合基本不等式求最值.【解析】选A.设AC=b,则222b 21b 3cosC 22b 44b 2+-==+≥⨯因此∠C 的最大值是 6.【解析】选A.由已知：y 2=0.8x(其中x 为仓库到车站的距离).费用之和1220y y y 0.8x 8.x =+=+≥= 当且仅当即x=5时等号成立，故选A. 7.【解析】∵a ＞b ＞1,∴lga ＞0,lgb ＞0, ∴1Q lga lgb P,2=+=（即P ＜Q ，又∵∴()a b 1lglga lgb ,22+=+＞即R ＞Q,∴P ＜Q ＜R. 答案：P ＜Q ＜R8.【解析】设三角形的两条直角边为x,y ，则∴xy=100,∴当且仅当x=y=10时取等号. 答案：209.【解析】∵a,b ∈R +,∴ab a b 33,=++≥ 令 (y ＞0),得y 2-2y-3≥0, ∴y ≥3或y ≤-1(舍去)，∴ab=y 2≥9,即ab 的取值范围是［9,+∞). 答案：［9,+∞)【举一反三】将本题的题干改为a,b ∈R +且a+2b+ab=30结果如何？【解析】∵a,b ∈R+,∴a 2b 2ab,+≥= 代入a+2b+ab=30中得令 (m ＞0),则解得从而 ∴0＜ab ≤18. 答案：(0,18］10.【解析】∵()ab x y x y xy+=++（）2bx ay a b a b ,y x=+++≥++=当且仅当时取等号. 又(x+y)min ==18, 即① 又a+b=10②由①②可得或【方法技巧】应用基本不等式的技巧判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点,常见的方法有: (1)拆项、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中, 如函数()()()()()22x 5x 2x 15x 14x 7x 10f x x 1x 1x 1++++++++===+++，可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑. (2)常值代换这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y 均为正数)，求的最小值”和“已知 (a,b,x,y 均为正数)，求x+y 的最小值”两类题型. (3)构造不等式当和与积同时出现在同一个不等式中时,可利用基本不等式构造一个不等式，从而求出和或积的取值范围,如已知a+b=ab-3,求ab 的取值范围,可构造出不等式a b ab 3,≤+=-即230.-≥ 11.【解题指南】把分别看成然后利用基本不等式可证.11a 3a 21a .2242++=+≤=+（）11b 3b21b,2242++=+≤=+（）()31a b222≤++=(当且仅当时取等号).【挑战能力】【解析】(1)设休闲区的宽为a米,则其长为ax米,由a2x=4 000,得则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4 000+(8x+20)·+160=()4 160x1.+>(2)5S x 4 160 1 600 4 160 5 760.x≥+=+=当且仅当即x=2.5时取等号,此时a=40,ax=100.所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.。

(人教A版)数学高中选修4-1课时同步练习 (全书完整版)

（人教A 版）高中数学选修4-1（全册）课时同步练习汇总课时跟踪检测(一) 平行线等分线段定理一、选择题1．在梯形ABCD 中, M , N 分别是腰AB 与腰CD 的中点, 且AD ＝2, BC ＝4, 则MN 等于( )A ．2.5B ．3C ．3.5D ．不确定解析：选B 由梯形中位线定理知选B.2．如图, AD 是△ABC 的高, E 为AB 的中点, EF ⊥BC 于F , 如果DC ＝13BD , 那么FC是BF 的( )A.53倍B.43倍C.32倍D.23倍解析：选A ∵EF ⊥BC , AD ⊥BC , ∴EF ∥AD .又E 为AB 的中点, 由推论1知F 为BD 的中点, 即BF ＝FD . 又DC ＝13BD ,∴DC ＝23BF .∴FC ＝FD ＋DC ＝BF ＋DC ＝53BF .3．梯形的中位线长为15 cm, 一条对角线把中位线分成3∶2两段, 那么梯形的两底长分别为( )A ．12 cm 18 cmB ．20 cm 10 cmC ．14 cm 16 cmD ．6 cm 9 cm解析：选A 如图, 设MP ∶PN ＝2∶3, 则MP ＝6 cm, PN ＝9 cm. ∵MN 为梯形ABCD 的中位线, 在△BAD 中, MP 为其中位线, ∴AD ＝2MP ＝12 cm. 同理可得BC ＝2PN ＝18 cm.4．梯形的一腰长为10 cm, 该腰和底边所形成的角为30°, 中位线长为12 cm, 则此梯形的面积为 ( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2 解析：选D 如图, 过A 作AE ⊥BC , 在Rt △ABE 中, AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm, ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)．∴梯形的面积S＝12(AD＋BC)·AE＝12×5×24＝60 (cm2)．二、填空题5．如图, 在AD两旁作AB∥CD且AB＝CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD 的两个三等分点, 连接A1C, A2C1, BC2, 则把AD分成四条线段的长度________(填“相等”或“不相等”)．解析：如图, 过A作直线AM平行于A1C, 过D作直线DN平行于BC2, 由AB∥CD, A1, A2为AB的两个三等分点, C1, C2为CD的两个三等分点, 可得四边形A1CC1A2, 四边形A2C1C2B为平行四边形,所以A1C∥A2C1∥C2B, 所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN, 因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D, 由平行线等分线段定理知, A1C, A2C1, BC2把AD分成四条线段的长度相等．答案：相等6．如图, 在△ABC中, E是AB的中点, EF∥BD, EG∥AC交BD于G, CD＝12AD, 若EG＝2 cm, 则AC＝______；若BD＝10 cm, 则EF＝________.解析：由E是AB的中点, EF∥BD, 得F为AD的中点．由EG∥AC, 得EG＝12AD＝FD＝2 cm,结合CD＝12AD,可以得到F, D是AC的三等分点, 则AC＝3EG＝6 cm.由EF∥BD, 得EF＝12BD＝5 cm.答案：6 cm 5 cm7．如图, AB＝AC, AD⊥BC于点D, M是AD的中点, CM交AB于点P, DN∥CP.若AB ＝6 cm, 则AP＝________；若PM＝1 cm, 则PC＝________.解析：由AD⊥BC, AB＝AC, 知BD＝CD,又DN∥CP,∴BN＝NP,又AM＝MD, PM∥DN, 知AP＝PN,∴AP＝13AB＝2 cm.易知PM＝12DN, DN＝12PC,∴PC＝4PM＝4 cm.答案：2 cm 4 cm三、解答题8．已知△ABC中, D是AB的中点, E是BC的三等分点(BE>CE), AE, CD交于点F.求证：F是CD的中点．证明：如图,过D作DG∥AE交BC于G,在△ABE中, ∵AD＝BD, DG∥AE,∴BG＝GE.∵E是BC的三等分点,∴BG＝GE＝EC.在△CDG中, ∵GE＝CE, DG∥EF,∴DF＝CF,即F是CD的中点．9.如图, 在等腰梯形中, AB∥CD, AD＝12 cm, AC交梯形中位线EG于点F, 若EF＝4 cm, FG＝10 cm.求此梯形的面积．解：作高DM, CN,则四边形DMNC为矩形．∵EG是梯形ABCD的中位线,∴EG∥DC∥AB.∴F是AC的中点．∴DC＝2EF＝8, AB＝2FG＝20,MN＝DC＝8.在Rt△ADM和Rt△BCN中,AD＝BC, ∠DAM＝∠CBN, ∠AMD＝∠BNC,∴△ADM≌△BCN.∴AM＝BN＝12(20－8)＝6.∴DM＝AD2－AM2＝122－62＝6 3.∴S梯形＝EG·DM＝14×63＝84 3 (cm2)．10.已知：梯形ABCD中, AD∥BC, 四边形ABDE是平行四边形, AD 的延长线交EC于F.求证：EF＝FC.证明：法一：如图, 连接BE交AF于点O.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BO＝OE.又∵AF∥BC,∴EF＝FC.法二：如图,延长ED交BC于点H.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AB∥ED, AB∥DH,AB＝ED.又∵AF∥BC,∴四边形ABHD是平行四边形．∴AB＝DH.∴ED＝DH.∴EF＝FC.法三：如图, 延长EA交CB的延长线于点M.∵四边形ABDE是平行四边形,∴BD∥EA, AE＝BD.又∵AD∥BC.∴四边形AMBD是平行四边形．∴AM ＝BD . ∴AM ＝AE . ∴EF ＝FC .课时跟踪检测(二) 平行线分线段成比例定理一、选择题1.如图所示, DE ∥AB , DF ∥BC , 下列结论中不．正确的是( ) A.AD DC ＝AF DE B.CE CB ＝BF ABC.CD AD ＝CE DFD.AF BF ＝DF BC解析：选D ∵DF ∥EB , DE ∥FB , ∴四边形DEBF 为平行四边形． ∴DE ＝BF , DF ＝EB . ∴AD DC ＝AF FB ＝AFDE , A 正确． CE CB ＝DE AB ＝BFAB , B 正确． CD AD ＝CE EB ＝CEDF , C 正确．2．已知线段a , m , n 且ax ＝mn , 求作x , 图中作法正确的是( )解析：选C 因为ax ＝mn , 所以a m ＝nx , 故选C.3.如图, 在△ACE 中, B , D 分别在AC , AE 上, 下列推理不．正确的是( )A．BD∥CE⇒ABAC＝BDCE B．BD∥CE⇒ADAE＝BDCEC．BD∥CE⇒ABBC＝ADDE D．BD∥CE⇒ABBC＝BDCE解析：选D由平行线分线段成比例定理的推论不难得出选项A、B、C都是正确的, D 项是错误的．4．如图, 将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A, 折叠至DC边上的点E, 使DE ＝5, 折痕为PQ, 则线段PM和MQ的比是()A．5∶12 B．5∶13 C．5∶19 D．5∶21解析：选C如图, 作MN∥AD交DC于N,∴DNNE＝AMME.又∵AM＝ME, ∴DN＝NE＝12DE＝52.∴NC＝NE＋EC＝52＋7＝192.∵PD∥MN∥QC,∴PMMQ＝DNNC＝52192＝519.二、填空题5．如图所示, 已知DE∥BC, BF∶EF＝3∶2, 则AC∶AE＝________.解析：∵DE∥BC,∴AEAC＝DEBC＝EFBF.∵BF∶EF＝3∶2,∴AC∶AE＝3∶2.答案：3∶26.如图, 在△ABC中, 点D是AC的中点, 点E是BD的中点, AE的延长线交BC于点F, 则BFFC＝________.解析：过点D作DM∥AF交BC于点M. ∵点E是BD的中点,∴在△BDM中, BF＝FM.∵点D是AC的中点,∴在△CAF中, CM＝MF.∴BFFC＝BFFM＋MC＝12.答案：1 27．如图, 四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6, E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3.若四边形ABCD的周长为1, 则四边形AEFD的周长为________．解析：因为在四边形ABCD中, ∠A＝∠B＝90°, AD∶AB∶BC＝3∶4∶6,所以可设AD＝3k, AB＝4k, BC＝6k,作DG⊥BC交BC于点G, 交EF于点H,则DG＝4k, GC＝3k,所以DC＝16k2＋9k2＝5k,因为四边形ABCD的周长为1,所以3k＋4k＋6k＋5k＝1, 所以k＝1 18,因为E, F分别是AB, CD上的点, AE∶AB＝DF∶DC＝1∶3,所以AE＝4k3, DF＝5k3,取BE , CF 的中点M , N , 令EF ＝x , MN ＝y ,则由梯形中位线得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3k ＋y ，2y ＝x ＋6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4k ，y ＝5k ，即EF ＝4k .所以四边形AEFD 的周长是 3k ＋4k 3＋4k ＋5k 3＝10k ＝10×118＝59.答案：59三、解答题8.如图, B 在AC 上, D 在BE 上, 且AB ∶BC ＝2∶1, ED ∶DB ＝2∶1, 求AD ∶DF .解：过点D 作DG ∥AC 交FC 于点G , 则DG BC ＝ED EB ＝23, 所以DG ＝23BC , 又BC ＝13AC ,所以DG ＝29AC ,所以DF AF ＝DG AC ＝29, 所以DF ＝29AF ,从而AD ＝79AF , 故AD ∶DF ＝7∶2.9.如图, 在四边形ABCD 中, AC , BD 交于点O , 过O 作AB 的平行线, 与AD , BC 分别交于E , F , 与CD 的延长线交于K .求证：KO 2＝KE ·KF .证明：延长CK , BA , 设它们交于点H . 因为KO ∥HB ,所以KO HB ＝DK DH , KE HA ＝DK DH . 所以KO HB ＝KE HA , 即KO KE ＝HB HA . 因为KF ∥HB , 同理可得KF KO ＝HBHA .所以KO KE ＝KFKO , 即KO 2＝KE ·KF .10.如图所示, 在梯形ABCD中, AD∥BC, EF经过梯形对角线的交点O, 且EF∥AD.(1)求证：EO＝OF；(2)求EOAD＋EOBC的值；(3)求证：1AD＋1BC＝2EF.解：(1)证明：∵EF∥AD, AD∥BC, ∴EF∥AD∥BC.∵EF∥BC, ∴EOBC＝AEAB,OFBC＝DFDC.∵EF∥AD∥BC,∴AEAB＝DFDC.∴EOBC＝OFBC.∴EO＝OF. (2)∵EO∥AD,∴EOAD＝BEBA.由(1)知EOBC＝AEAB,∴EOAD＋EOBC＝BEBA＋AEAB＝BE＋AEAB＝1.(3)证明：由(2)知EOAD＋EOBC＝1,∴2EOAD＋2EOBC＝2.又EF＝2EO,∴EFAD＋EFBC＝2.∴1AD＋1BC＝2EF.课时跟踪检测(三)相似三角形的判定一、选择题1．如图所示, 点E是▱ABCD的边BC延长线上的一点, AE与CD相交于点F, 则图中相似三角形共有()A．2对B．3对C．4对D．5对解析：选B有3对, 因为∠ABC＝∠ADF, ∠AEB＝∠EAD, 所以△ABE∽△FDA, 因为∠ABC＝∠DCE, ∠E为公共角,所以△BAE∽△CFE.因为∠AFD＝∠EFC, ∠DAF＝∠AEC,所以△ADF∽△ECF.2．三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形, 则这个三角形是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D等腰三角形底边上的高或直角三角形斜边上的高分得的两个三角形分别相似．3．如图, 要使△ACD ∽△BCA , 下列各式中必须成立的是( ) A.AC AB ＝AD BC B.AD CD ＝AC BC C ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：选C ∠C ＝∠C , 只有AC CD ＝CBAC , 即AC 2＝CD ·CB 时, 才能使△ACD ∽△BCA . 4．如图, 在等边三角形ABC 中, E 为AB 的中点, 点D 在AC 上, 使得AD AC ＝13, 则有( )A ．△AED ∽△BEDB ．△AED ∽△CBDC ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD 解析：选B 因为∠A ＝∠C , BC AE ＝CDAD＝2, 所以△AED ∽△CBD . 二、填空题5．如图所示, 在△ABC 中, 点D 在线段BC 上, ∠BAC ＝∠ADC , AC ＝8, BC ＝16, 那么CD ＝________.解析：∵∠BAC ＝∠ADC , 又∠C ＝∠C , ∴△ABC ∽△DAC . ∴AC CD ＝BC AC . 又∵AC ＝8, BC ＝16. ∴CD ＝4. 答案：46．如图所示, ∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D, BC＝3, AC＝4, 则AD＝________, BD＝________.解析：由题设可求得AB＝5,∵Rt△ABC∽Rt△ACD,∴ABAC＝ACAD.∴AD＝AC2AB＝165.又∵Rt△ABC∽Rt△CBD,∴ABCB＝BCBD.∴BD＝BC2AB＝95.答案：165957．已知在△ABC中, AD为∠BAC的平分线, AD的垂直平分线EF与AD交于点E, 与BC的延长线交于点F, 若CF＝4, BC＝5, 则DF＝________.解析：连接AF.∵EF⊥AD, AE＝ED,∴AF＝DF,∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF,∠FDA＝∠BAD＋∠B,且∠DAC＝∠BAD,∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB, ∴△AFC∽△BFA.∴AFCF＝BFAF.∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36.∴AF＝6, 即DF＝6.答案：6三、解答题8.如图, D在AB上, 且DE∥BC交AC于点E, F在AD上, 且AD2＝AF·AB.求证：△AEF∽△ACD.证明：∵DE∥BC, ∴ADAB＝AEAC.∵AD2＝AF·AB, ∴ADAB＝AFAD.∴AEAC＝AFAD.又∠A＝∠A, ∴△AEF∽△ACD.9.如图, 直线EF交AB, AC于点F, E, 交BC的延长线于点D, AC⊥BC, 且AB·CD＝DE·AC.求证：AE·CE＝DE·EF.证明：∵AB·CD＝DE·AC∴ABDE＝ACCD.∵AC⊥BC,∴∠ACB＝∠DCE＝90°.∴△ACB∽△DCE.∴∠A＝∠D.又∵∠AEF＝∠DEC, ∴△AEF∽△DEC.∴AEDE＝EFCE.∴AE·CE＝DE·EF.10.如图, 在△ABC中, EF∥CD, ∠AFE＝∠B, AE＝6, ED＝3, AF＝8.(1)求AC的长；(2)求CD2BC2的值．解：(1)∵EF∥CD,∴AEAD＝AFAC.∵AE＝6, ED＝3, AF＝8,∴66＋3＝8AC.∴AC＝12.(2)∵EF∥DC, ∴∠AFE＝∠ACD, 又∠AFE＝∠B, ∴∠ACD＝∠B. 又∠A＝∠A,∴△ACD∽△ABC.∴CDBC＝ADAC＝6＋312＝34.∴CD2BC2＝916.课时跟踪检测(四) 相似三角形的性质一、选择题1．如图, △ABC 中, DE ∥BC , 若AE ∶EC ＝1∶2, 且AD ＝4 cm, 则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：选D 由DE ∥BC , 得△ADE ∽△ABC , ∴AD AB ＝AE AC , ∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)．2.如图, 在▱ABCD 中, E 是BC 的中点, AE 交对角线BD 于点G , 且△BEG 的面积是1 cm 2, 则▱ABCD 的面积为( )A ．8 cm 2B ．10 cm 2C ．12 cm 2D ．14 cm 2解析：选C 因为AD ∥BC , 所以△BEG ∽△DAG , 因为BE ＝EC , 所以BE BC ＝BE DA ＝12.所以S △BEG S △DAG ＝⎝⎛⎭⎫BE DA 2＝14, 即S △DAG ＝4S △BEG ＝4(cm 2)．又因为AD ∥BC , 所以AG EG ＝DABE ＝2, 所以S △BAG S △BEG ＝AG EG＝2,所以S △BAG ＝2S △BEG ＝2(cm 2),所以S △ABD ＝S △BAG ＋S △DAG ＝2＋4＝6(cm 2), 所以S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝2×6＝12(cm 2)．3．如图所示, 在▱ABCD 中, AB ＝10, AD ＝6, E 是AD 的中点, 在AB 上取一点F , 使△CBF ∽△CDE , 则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：选D ∵△CBF ∽△CDE , ∴BF DE ＝CB CD .∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8.4．如图, AB ∥EF ∥CD , 已知AB ＝20, DC ＝80, 那么EF 的值是( )A ．10B ．12C ．16D ．18解析：选C ∵AB ∥EF ∥CD , ∴AE EC ＝AB DC ＝2080＝14.∴EF AB ＝EC AC ＝45.∴EF ＝45AB ＝45×20＝16.二、填空题5．(广东高考)如图, 在平行四边形 ABCD 中, 点E 在AB 上且EB ＝2AE , AC 与DE 交于点F , 则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________.解析：由CD ∥AE , 得△CDF ∽△AEF , 于是△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝AB AE ＝3.答案：36．如图, 在△ABC 中有一个矩形EFGH , 其顶点E , F 分别在AC , AB 上, G , H 在BC 上, 若EF ＝2FG , BC ＝20, △ABC 的高AD ＝10, 则FG ＝________.解析：设FG ＝x , 因为EF ＝2FG , 所以EF ＝2x .因为EF ∥BC , 所以△AFE ∽△ABC , 所以AM AD ＝EFBC , 即10－x 10＝2x 20,解得x ＝5, 即FG ＝5. 答案：57．如图所示, 在矩形ABCD 中, AE ⊥BD 于E , S 矩形ABCD ＝40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°, AE ⊥BD , 所以△ABE ∽△DBA .所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5, 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm, DB ＝5k cm, 则AD ＝2k cm.因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2,所以k ·2k ＝40, 所以k ＝25(cm)．所以BD ＝5k ＝10 (cm), AD ＝45(cm)．又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20,所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)．答案：4 cm 三、解答题8．如图, 已知△ABC 中, ∠A ＝90°, AB ＝AC , D 为AB 的中点, E 是AC 上的点, BE , CD 交于点M .若AC ＝3AE , 求∠EMC 的度数．解：如图, 作EF ⊥BC 于点F , 设AB ＝AC ＝3, 则AD ＝32, BC ＝32,CE ＝2, EF ＝FC ＝ 2. ∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC , ∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ,∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.9.如图, ▱ABCD 中, E 是CD 的延长线上一点, BE 与AD 交于点F , DE ＝12CD .(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2, 求▱ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A ＝∠C , AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC , AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB , △DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ,∴S △DEF S △CEB ＝⎝⎛⎭⎫DE EC 2＝19, S △DEF S △ABF ＝⎝⎛⎭⎫DE AB 2＝14. ∵S △DEF ＝2,∴S △CEB ＝18, S △ABF ＝8, ∴S 四边形BCDF ＝S △CEB －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示, 甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆AB 的高度, 甲在操场上C 处直立3 m 高的竹竿CD , 乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合, 量得CE ＝3 m, 乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5 m ；丙在C 1处也直立3 m 高的竹竿C 1D 1, 乙从E 处退后6 m 到E 1处, 恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合, 量得C 1E 1＝4 m, 求旗杆AB的高．解：设F 1F 与AB , CD , C 1D 1分别交于点G , M , N , GB ＝x m, GM ＝y m. 因为MD ∥GB ,所以∠BGF ＝∠DMF , ∠GBF ＝∠MDF , 所以△BGF ∽△DMF , 所以MD GB ＝MF GF.又因为MD ＝CD －CM ＝CD －EF ＝1.5 (m), 所以1.5x ＝33＋y.①又因为ND 1∥GB , 同理可证得△BGF 1∽△D 1NF 1, 所以ND 1GB ＝NF 1GF 1,即1.5x ＝4y ＋3＋6.②解方程①②组成的方程组, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝15.又AB ＝GB ＋GA ＝9＋1.5＝10.5(m), 即旗杆AB 的高为10.5 m.课时跟踪检测(五) 直角三角形的射影定理一、选择题1．已知Rt △ABC 中, 斜边AB ＝5 cm, BC ＝2 cm, D 为AC 上一点, DE ⊥AB 交AB 于点E , 且AD ＝3.2 cm, 则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图, ∵∠A ＝∠A , ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC , ∴AD AB ＝DEBC, ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)．2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2, 则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2, 则斜边长为5, ∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45. 3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm, 斜边上的高为2.4 cm, 则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm), 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm),∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示, 在△ABC 中, ∠ACB ＝90°, CD ⊥AB , D 为垂足, 若CD ＝6 cm, AD ∶DB ＝1∶2, 则AD 的长是( )A．6 cm B．3 2 cm C．18 cm D．3 6 cm解析：选B∵AD∶DB＝1∶2,∴可设AD＝t, DB＝2t.又∵CD2＝AD·DB, ∴36＝t·2t,∴2t2＝36, ∴t＝32(cm), 即AD＝3 2 cm.二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1, 则该三角形在直线l上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长．答案： 26．如图所示, 四边形ABCD是矩形, ∠BEF＝90°, ①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD为矩形,所以∠A＝∠D＝90°.因为∠BEF＝90°, 所以∠AEB＋∠DEF＝90°.因为∠DEF＋∠DFE＝90°, 所以∠AEB＝∠DFE.所以△ABE∽△DEF.答案：①③7．如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB＝90°, CD⊥AB, AC＝6, AD＝3.6, 则BC＝________.解析：由射影定理得,AC2＝AD·AB, BC2＝BD·AB,∴AC2BC2＝ADBD, 即BC2＝AC2·BDAD.又∵CD2＝AD·BD,∴BD＝CD2 AD.∴BC2＝AC2·CD2AD2＝62(62－3.62)3.62＝64.∴BC＝8.答案：8三、解答题8．如图所示, D为△ABC中BC边上的一点, ∠CAD＝∠B, 若AD ＝6, AB＝10, BD＝8, 求CD的长．解：在△ABD中, AD＝6, AB＝10, BD＝8,满足AB2＝AD2＋BD2,∴∠ADB＝90°, 即AD⊥BC.又∵∠CAD＝∠B, 且∠C＋∠CAD＝90°.∴∠C＋∠B＝90°, 即∠BAC＝90°.故在Rt△BAC中, AD⊥BC,由射影定理知AD2＝BD·CD, 即62＝8·CD,∴CD＝9 2.9.如图, AD, BE是△ABC的两条高, DF⊥AB, 垂足为F, 直线FD交BE 于点G , 交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中,因为∠H ＋∠BAC ＝90°, ∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°, 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°, 所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF ,所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中, FD ⊥AB , 所以DF 2＝AF ·BF , 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm, 一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图, 设CD ＝3x , BD ＝5x , 则BC ＝8x , 过D 作DE ⊥AB , 由题意可得, DE ＝3x , BE ＝4x , ∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ,∴AC ＝24－6x , AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2,解得x 1＝0(舍去), x 2＝2. ∴AB ＝20, AC ＝12, BC ＝16, ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F , ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理, BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm, 645 cm.课时跟踪检测(六) 圆周角定理一、选择题1．如图, △ABC 内接于⊙O , OD ⊥BC 于D , ∠A ＝50°, 则∠OCD 的度数是( )A ．40°B ．25°C ．50°D ．60°解析：选A 连接OB .因为∠A ＝50°, 所以BC 弦所对的圆心角∠BOC ＝100°, ∠COD ＝12∠BOC ＝50°, ∠OCD ＝90°－∠COD ＝90°－50°＝40°.所以∠OCD ＝40°.2．如图, CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD 于点E , ∠BCD ＝25°, 则下列结论错误的是( )A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．∠AOD ＝50°D ．D 是AB 的中点解析：选B 因为CD 是⊙O 的直径, 弦AB ⊥CD , 所以AD ＝BD , AE ＝BE . 因为∠BCD ＝25°,所以∠AOD ＝2∠BCD ＝50°, 故A 、C 、D 项结论正确, 选B.3．Rt △ABC 中, ∠C ＝90°, ∠A ＝30°, AC ＝23, 则此三角形外接圆的半径为( ) A. 3 B ．2 C ．2 3D ．4解析：选B 由推论2知AB 为Rt △ABC 的外接圆的直径, 又AB ＝23cos 30°＝4, 故外接圆半径r ＝12AB ＝2.4．如图, 已知AB 是半圆O 的直径, 弦AD , BC 相交于点P , 若CD ＝3, AB ＝4, 则tan ∠BPD 等于( )A.34B.43C.53D.73解析：选D 连接BD , 则∠BDP ＝90°. ∵△CPD ∽△APB , ∴CD AB ＝PD PB ＝34.在Rt △BPD 中, cos ∠BPD ＝PD PB ＝34,∴tan ∠BPD ＝73. 二、填空题5．如图, △ABC 为⊙O 的内接三角形, AB 为⊙O 的直径, 点D 在⊙O 上, ∠ADC ＝68°, 则∠BAC ＝________.解析：AB 是⊙O 的直径, 所以弧ACB 的度数为180 °, 它所对的圆周角为90°, 所以∠BAC ＝90°－∠ABC ＝90°－∠ADC ＝90°－68°＝22°.答案：22°6．如图, A , E 是半圆周上的两个三等分点, 直径BC ＝4, AD ⊥BC , 垂足为D , BE 与AD 相交于点F , 则AF 的长为______．解析：如图, 连接AB , AC , 由A , E 为半圆周上的三等分点, 得∠FBD ＝30°, ∠ABD ＝60°, ∠ACB ＝30°. 由BC ＝4,得AB ＝2, AD ＝3, BD ＝1,则DF ＝33, 故AF ＝233. 答案：2337．如图所示, 已知⊙O 为△ABC 的外接圆, AB ＝AC ＝6, 弦AE 交BC 于点D , 若AD ＝4, 则AE ＝________.解析：连接CE , 则∠AEC ＝∠ABC . 又△ABC 中, AB ＝AC , ∴∠ABC ＝∠ACB , ∴∠AEC ＝∠ACB , ∴△ADC ∽△ACE , ∴AD AC ＝AC AE , ∴AE ＝AC 2AD ＝9.答案：9 三、解答题8．如图, AB 是⊙O 的直径, 弦CD ⊥AB 于点N , 点M 在⊙O 上, ∠1＝∠C .(1)求证：CB ∥MD ；(2)若BC ＝4, sin M ＝23, 求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为∠C 与∠M 是同一弧所对的圆周角, 所以∠C ＝∠M .又∠1＝∠C , 所以∠1＝∠M ,所以CB ∥MD (内错角相等, 两直线平行)．(2)由sin M ＝23知, sin C ＝23,所以BN BC ＝23, BN ＝23×4＝83.由射影定理得：BC 2＝BN ·AB , 则AB ＝6. 所以⊙O 的直径为6.9.如图, 已知△ABC 内接于圆, D 为BC 的中点, 连接AD 交BC 于点E . 求证：(1)AE EC ＝BE ED ； (2)AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC . 证明：(1)连接CD . ∵∠1＝∠3, ∠4＝∠5, ∴△ABE ∽△CDE .∴AE EC ＝BE ED. (2)连接BD . ∵AE EC ＝BEDE, ∴AE ·DE ＝BE ·EC .∴AE 2＋BE ·EC ＝AE 2＋AE ·DE ＝AE (AE ＋DE )＝AE ·AD .①在△ABD 与△AEC 中, ∵D 为BC 的中点, ∴∠1＝∠2.又∵∠ACE ＝∠ACB ＝∠ADB , ∴△ABD ∽△AEC .∴AB AE ＝AD AC , 即AB ·AC ＝AD ·AE ②由①②知：AB ·AC ＝AE 2＋EB ·EC .10.如图所示, ⊙O是△ABC的外接圆, ∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I, 延长AI 交⊙O于点D, 连接BD, DC.(1)求证：BD＝DC＝DI；(2)若⊙O的半径为10 cm, ∠BAC＝120°, 求△BCD的面积．解：(1)证明：因为AI平分∠BAC,所以∠BAD＝∠DAC,所以BD＝DC, 所以BD＝DC.因为BI平分∠ABC, 所以∠ABI＝∠CBI,因为∠BAD＝∠DAC, ∠DBC＝∠DAC,所以∠BAD＝∠DBC.又因为∠DBI＝∠DBC＋∠CBI,∠DIB＝∠ABI＋∠BAD,所以∠DBI＝∠DIB, 所以△BDI为等腰三角形,所以BD＝ID, 所以BD＝DC＝DI.(2)当∠BAC＝120°时,△ABC为钝角三角形,所以圆心O在△ABC外．连接OB, OD, OC,则∠DOC＝∠BOD＝2∠BAD＝120°,所以∠DBC＝∠DCB＝60°,所以△BDC为正三角形．所以OB是∠DBC的平分线．延长CO交BD于点E, 则OE⊥BD,所以BE＝12BD.又因为OB＝10,所以BC＝BD＝2OB cos 30°＝2×10×32＝103,所以CE＝BC·sin 60°＝103×32＝15,所以S△BCD＝12BD·CE＝12×103×15＝75 3.所以△BCD的面积为75 3.课时跟踪检测(七) 圆内接四边形的性质与判定定理一、选择题1．四边形ABCD的一个内角∠C＝36°, E是BA延长线上一点, 若∠DAE＝36°, 则四边形ABCD()A．一定有一个外接圆B．四个顶点不在同一个圆上C．一定有内切圆D．四个顶点是否共圆不能确定解析：选A因为∠C＝36°, ∠DAE＝36°, 所以∠C与∠BAD的一个外角相等, 由圆内接四边形判定定理的推论知, 该四边形有外接圆, 故选A.2．圆内接四边形ABCD中, ∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：选B由四边形ABCD内接于圆, 得∠A＋∠C＝∠B＋∠D, 从而只有B项符合题意．3．如图, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形, E为AB的延长线上一点, ∠CBE＝40°, 则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：选C四边形ABCD是圆内接四边形, 且∠CBE＝40°, 由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°, 又由圆周角定理知∠AOC＝2∠D＝80°.4．已知四边形ABCD是圆内接四边形, 下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C, 则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B, 则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确, ②④错误．二、填空题5．如图, 直径AB＝10, 弦BC＝8, CD平分∠ACB, 则AC＝______, BD＝________.解析：∠ACB＝90°, ∠ADB＝90°.在Rt△ABC中, AB＝10, BC＝8,∴AC＝AB2－BC2＝6.又∵CD平分∠ACB, 即∠ACD＝∠BCD,∴AD＝BD.∴BD＝AB22＝5 2.答案：65 26．如图, 在圆内接四边形ABCD中, AB＝AD, AC＝1, ∠ACD＝60°, 则四边形ABCD 的面积为________．解析：过A作AE⊥BC于E, AF⊥CD于F.因为∠ADF＋∠ABC＝180°,∠ABE＋∠ABC＝180°,所以∠ABE＝∠ADF.又因为AB＝AD,∠AEB＝∠AFD＝90°,所以Rt△AEB≌Rt△AFD.所以S四边形ABCD＝S四边形AECF, AE＝AF. 又因为∠E＝∠AFC＝90°, AC＝AC, 所以Rt△AEC≌Rt△AFC.因为∠ACD＝60°, ∠AFC＝90°,所以∠CAF＝30°.因为AC＝1,所以CF＝12, AF＝32,所以S四边形ABCD＝2S△ACF＝2×12CF×AF＝34.答案：3 47.如图, 已知四边形ABCD内接于圆, 分别延长AB和DC相交于点E, EG平分∠E, 且与BC, AD分别相交于F, G, 若∠AED＝40°, ∠CFG＝80°, 则∠A＝________.解析：∵EG平分∠E, ∴∠FEC＝20°.∴∠FCE＝∠CFG－∠FEC＝60°.∵四边形ABCD内接于圆,∴∠A＝∠FCE＝60°.答案：60°三、解答题8.如图, 在△ABC中, ∠C＝60°, 以AB为直径的半圆O分别交AC, BC于点D, E, 已知⊙O的半径为2 3.(1)求证：△CDE∽△CBA；(2)求DE的长．解：(1)证明：因为四边形ABED为⊙O的内接四边形,所以∠CED＝∠A(或∠CDE＝∠B)．又∠C＝∠C,所以△CDE∽△CBA.(2)法一：连接AE.由(1)得DEBA＝CECA,因为AB为⊙O的直径,所以∠AEB ＝∠AEC ＝90°.在Rt △AEC 中, 因为∠C ＝60°, 所以∠CAE ＝30°, 所以DE BA ＝CE CA ＝12, 即DE ＝2 3.法二：连接DO , EO . 因为AO ＝DO ＝OE ＝OB , 所以∠A ＝∠ODA , ∠B ＝∠OEB .由(1)知∠A ＋∠B ＝∠CDE ＋∠CED ＝120°, 又∠A ＋∠B ＋∠ADE ＋∠DEB ＝360°, 所以∠ODE ＋∠OED ＝120°, 则∠DOE ＝60°,所以△ODE 为等边三角形, 所以DE ＝OB ＝2 3.9.如图, A , B , C , D 四点在同一圆上, AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点, 且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F , 延长DC 到G , 使得EF ＝EG , 证明：A , B , G , F 四点共圆．证明：(1)因为EC ＝ED , 所以∠EDC ＝∠ECD .因为A , B , C , D 四点在同一圆上, 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知, AE ＝BE . 因为EF ＝EG ,故∠EFD ＝∠EGC , 从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF , BG , 则△EFA ≌△EGB , 故∠FAE ＝∠GBE .又CD ∥AB , ∠EDC ＝∠ECD , 所以∠FAB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A , B , G , F 四点共圆．10．如图, 已知⊙O 的半径为2, 弦AB 的长为23, 点C 与点D 分别是劣弧AB 与优弧ADB 上的任一点(点C , D 均不与A , B 重合)．(1)求∠ACB ；(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA , OB , 作OE ⊥AB , E 为垂足, 则AE ＝BE . Rt △AOE 中, OA ＝2, AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.∴sin ∠AOE ＝AE OA ＝32,∴∠AOE ＝60°, ∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB , ∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形, ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°. 从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB , 垂足为F , 则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然, 当DF 经过圆心O 时, DF 取最大值, 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3, S △ABD ＝33, 即△ABD 的最大面积是3 3.课时跟踪检测(八) 圆的切线的性质及判定定理一、选择题1.如图, AB切⊙O于点B, 延长AO交⊙O于点C, 连接BC.若∠A＝40°, 则∠C等于()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：选B连接OB, 因为AB切⊙O于点B,所以OB⊥AB, 即∠ABO＝90°,所以∠AOB＝50°,又因为点C在AO的延长线上, 且在⊙O上,所以∠C＝12∠AOB＝25°.2．如图, AB是⊙O的直径, BC是⊙O的切线, AC交⊙O于D.若AB＝6, BC＝8, 则BD等于()A．4 B．4.8C．5.2 D．6解析：选B∵AB是⊙O的直径, ∴BD⊥AC.∵BC是⊙O的切线, ∴AB⊥BC.∵AB＝6, BC＝8, ∴AC＝10.∴BD＝AB·BCAC＝4.8.3．如图, AB是⊙O的直径, BC交⊙O于点D, DE⊥AC于点E, 要使DE是⊙O的切线, 还需补充一个条件, 则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时, 如图,连接AD, 因为AB是⊙O的直径,所以AD⊥BC, 所以CD＝BD.因为AO ＝BO ,所以OD 是△ABC 的中位线, 所以OD ∥AC .因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD , 所以DE 是⊙O 的切线．所以选项B 正确．当CD ＝BD 时, AO ＝BO , 同选项B, 所以选项C 正确．当AC ∥OD 时, 因为DE ⊥AC , 所以DE ⊥OD .所以DE 是⊙O 的切线．所以选项D 正确．4．如图, 在⊙O 中, AB 为直径, AD 为弦, 过B 点的切线与AD 的延长线交于C , 若AD ＝DC , 则sin ∠ACO 等于( )A.1010 B.210 C.55 D.24解析：选A 连接BD , 则BD ⊥AC . ∵AD ＝DC , ∴BA ＝BC , ∴∠BCA ＝45°.∵BC 是⊙O 的切线, 切点为B , ∴∠OBC ＝90°.∴sin ∠BCO ＝OB OC ＝OB 5OB ＝55,cos ∠BCO＝BCOC＝2OB5OB＝255.∴sin ∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin 45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO＝22×255－22×55＝1010.二、填空题5.如图, ⊙O的半径为3 cm, B为⊙O外一点, OB交⊙O于点A, AB ＝OA, 动点P从点A出发, 以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间t为________s时, BP与⊙O相切．解析：连接OP.当OP⊥PB时, BP与⊙O相切．因为AB＝OA, OA＝OP,所以OB＝2OP,又因为∠OPB＝90°, 所以∠B＝30°,所以∠O＝60°.因为OA＝3 cm,所以AP＝60×π×3180＝π, 圆的周长为6π,所以点P运动的距离为π或6π－π＝5π；所以当t＝1 s或5 s时, BP与⊙O相切．答案：1或56．已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA＝2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于B点, PB ＝1.则圆O的半径R＝________.解析：如图, 连接AB,则AB＝AP2－PB2＝ 3.由AB2＝PB·BC,∴BC＝3, 在Rt△ABC中,AC＝AB2＋BC2＝2 3.∴半径R＝ 3.答案： 37．圆O的直径AB＝6, C为圆周上一点, BC＝3, 过C作圆的切线l, 过A作l的垂线AD , AD 分别与直线l 、圆交于点D , E , 则∠DAC ＝________, DC ＝________.解析：连接OC .∵OC ＝OB , ∴∠OCB ＝∠OBC . 又∠DCA ＋∠ACO ＝90°, ∠ACO ＋∠OCB ＝90°, ∴∠DCA ＝∠OCB . ∵OC ＝3, BC ＝3, ∴△OCB 是正三角形．∴∠OBC ＝60°, 即∠DCA ＝60°. ∴∠DAC ＝30°.在Rt △ACB 中, AC ＝AB 2－BC 2＝33, DC ＝AC sin 30°＝32 3.答案：30° 332三、解答题8．如图, 已知在△ABC 中, AB ＝AC , 以AB 为直径的⊙O 交BC 于D , 过D 点作⊙O 的切线交AC 于E .求证：(1)DE ⊥AC ； (2)BD 2＝CE ·CA . 证明：(1)连接OD , AD . ∵DE 是⊙O 的切线, D 为切点, ∴OD ⊥DE .∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC .又AB ＝AC , ∴BD ＝DC .又O 为AB 的中点, ∴OD ∥AC .∴DE ⊥AC . (2)∵AD ⊥BC , DE ⊥AC , ∴△CDE ∽△CAD . ∴CD CA ＝CECD.∴CD 2＝CE ·CA . 又∵BD ＝DC , ∴BD 2＝CE ·CA .9.如图, ⊙O 内切于△ABC , 切点分别为D , E , F , AB ＝AC , 连接AD 交⊙O 于H , 直线FH 交BC 的延长线于G .(1)求证：圆心O 在AD 上；(2)求证：CD＝CG；(3)若AH∶AF＝3∶4, CG＝10, 求FH的长．解：(1)证明：由题知AE＝AF,CF＝CD, BD＝BE,又∵AB＝AC,∴CD＝CF＝BE＝BD.∴D为BC中点．∴AD是∠BAC的角平分线．∴圆心O在AD上．(2)证明：连接DF.∵O在AD上, ∴DH为直径．∴∠DFH＝90°.∵CF＝CD, ∴∠CFD＝∠FDC.∴∠G＝90°－∠FDC＝90°－∠CFD＝∠CFG.∴CG＝CF.∴CG＝CD.(3)∵∠AFH＝∠90°－∠CFD＝90°－∠FDC＝∠FDA, 又∠FAD为公共角, 则△AHF∽△AFD.∴FHFD＝AHAF＝34.∴在Rt△HFD中, FH∶FD∶DH＝3∶4∶5. ∵△HDF∽△DGF,∴DF∶GF∶DG＝3∶4∶5.∴DF＝3×20×15＝12, ∴FH＝34FD＝9.10.如图, 四边形ABCD内接于⊙O, BD是⊙O的直径, AE⊥CD, 垂足为E, DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC＝30°, DE＝1 cm, 求BD的长．解：(1)证明：连接OA.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA.∵OA＝OD,∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠EDA.∴OA∥CE.∵AE⊥DE,∴AE⊥OA.∴AE是⊙O的切线．(2)∵BD是直径,∴∠BCD＝∠BAD＝90°.∵∠DBC＝30°, ∴∠BDC＝60°.∴∠BDE＝120°.∵DA平分∠BDE,∴∠BDA＝∠EDA＝60°.∴∠ABD＝∠EAD＝30°.在Rt△AED中, ∠AED＝90°, ∠EAD＝30°,∴AD＝2DE.在Rt△ABD中, ∠BAD＝90°, ∠ABD＝30°,∴BD＝2AD＝4DE＝4 (cm)．课时跟踪检测(九) 弦切角的性质一、选择题1．P在⊙O外, PM切⊙O于C, PAB交⊙O于A, B, 则()A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA解析：选C由弦切角定理知∠PCA＝∠B.2．如图, PC与⊙O相切于C点, 割线PAB过圆心O, ∠P＝40°, 则∠ACP等于()A．20°B．25°C．30°D．40°解析：选B连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵∠P＝40°,∴∠POC＝50°.连接BC,则∠B＝12∠POC＝25°,∴∠ACP＝∠B＝25°.3．如图, AB是⊙O的直径, EF切⊙O于C, AD⊥EF于D, AD＝2, AB＝6, 则AC的长为()A．2 B．3 C．2 3 D．4解析：选C连接BC, 则∠ACB＝90°, 又AD⊥EF,∴∠ADC＝90°,即∠ADC＝∠ACB,又∵∠ACD＝∠ABC,∴△ABC∽△ACD,∴ACAD＝ABAC,∴AC2＝AD·AB＝12,即AC＝2 3.4．如图, AB是⊙O的直径, P在AB的延长线上, PD切⊙O于C点, 连接AC, 若AC＝PC, PB＝1, 则⊙O的半径为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A连接BC.∵AC＝PC, ∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A, ∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC PA＝PB PC.∴PC2＝PB·PA,即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2,设⊙O半径为r,则4r2－12＝1·(1＋2r), 解得r＝1.二、填空题5．如图, AB是⊙O的直径, PB, PE分别切⊙O于B, C, 若∠ACE＝40°, 则∠P＝________.解析：连接BC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°,∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°6．如图, 点P在圆O直径AB的延长线上, 且PB＝OB＝2, PC切圆O于C点, CD⊥AB于D点, 则CD＝________.解析：连接OC.∵PC切⊙O于C点,∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2, OC＝2.∴PC＝2 3.∵OC·PC＝OP·CD,∴CD＝2×234＝ 3.答案： 37．如图, 过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A, B, 且PB＝7, C是圆上一点使得BC＝5, ∠BAC＝∠APB, 则AB＝________.解析：由PA为⊙O的切线, BA为弦,得∠PAB＝∠BCA,又∠BAC＝∠APB,于是△APB∽△CAB,所以PBAB＝ABBC.而PB＝7, BC＝5,故AB2＝PB·BC＝7×5＝35, 即AB＝35.答案：35三、解答题8.如图, AB是半圆O的直径, C是圆周上一点(异于A, B), 过C作圆O的切线l, 过A作直线l的垂线AD, 垂足为D, AD交半圆于点E.求证：CB＝CE.证明：连接AC, BE, 在DC延长线上取一点F, 因为AB是半圆O的直径, C为圆周上一点,所以∠ACB＝90°,即∠BCF＋∠ACD＝90°.又因为AD⊥l, 所以∠DAC＋∠ACD＝90°.所以∠BCF＝∠DAC.又因为直线l是圆O的切线, 所以∠CEB＝∠BCF,又∠DAC＝∠CBE,所以∠CBE＝∠CEB,所以CB＝CE.9.如图所示, △ABC内接于⊙O, AB＝AC, 直线XY切⊙O于点C, 弦BD∥XY, AC, BD相交于点E.(1)求证：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6 cm, BC＝4 cm, 求AE的长．解：(1)证明：因为XY是⊙O的切线,所以∠1＝∠2.因为BD∥XY, 所以∠1＝∠3,所以∠2＝∠3.因为∠3＝∠4, 所以∠2＝∠4.因为∠ABD＝∠ACD,又因为AB＝AC,所以△ABE≌△ACD.(2)因为∠3＝∠2, ∠ABC＝∠ACB,所以△BCE∽△ACB, 所以BCAC＝CECB,即AC·CE＝BC2.因为AB＝AC＝6 cm, BC＝4 cm, 所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝103(cm)．10.如图, 已知C点在圆O直径BE的延长线上, CA切圆O于A点, DC是∠ACB的角平分线, 交AE于点F, 交AB于D点．(1)求∠ADF的度数；(2)若AB＝AC, 求AC∶BC.解：(1)∵AC为圆O的切线,∴∠B＝∠EAC.又DC是∠ACB的平分线,∴∠ACD＝∠DCB.∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD, 即∠ADF＝∠AFD.又∵BE为圆O的直径,∴∠DAE＝90°,∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.(2)∵∠B＝∠EAC, ∠ACB＝∠ACE,∴△ACE∽△BCA.∴ACBC＝AEAB.又∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB＝23∠ADF＝30°.∴在Rt△ABE中, ACBC＝AEAB＝tan ∠B＝tan 30°＝33.课时跟踪检测(十) 与圆有关的比例线段一、选择题1．在半径为12 cm的圆中, 垂直平分半径的弦的长为()A．3 3 cm B．27 cm C．12 3 cm D．6 3 cm解析：选C法一：如图所示, OA＝12, CD为OA的垂直平分线, 连接OD.在Rt△POD中,PD＝OD2－OP2＝122－62＝63,∴CD＝2PD＝123(cm)．法二：如图, 延长AO交⊙O于M,由相交弦定理得PA·PM＝PC·PD.又∵CD为线段OA的垂直平分线,∴PD2＝PA·PM.又∵PA＝6, PM＝6＋12＝18,∴PD2＝6×18.∴PD＝6 3.∴CD＝2PD＝123(cm)．2．如图, CA, CD分别切圆O1于A, D两点, CB, CE分别切圆O2于B, E两点．若∠1＝60°, ∠2＝65°, 判断AB, CD, CE的长度, 下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°, ∠2＝65°,所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°,所以∠2>∠1>∠ABC,所以AB>BC>AC.。

近年高考数学一轮复习矩阵与变换课时训练选修4-2(2021年整理)

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选修42矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法1。

已知矩阵A＝错误!，B＝错误!满足AX＝B，求矩阵X。

解：设X＝错误!，由错误!错误!＝错误!得错误!解得错误!所以X＝错误!。

2. 已知变换矩阵A：平面上的点P(2,－1），Q（－1，2）分别变换成点P1（3,－4），Q1（0，5），求变换矩阵A。

解：设所求的变换矩阵A＝错误!，依题意，可得错误!错误!＝错误!及错误!错误!＝错误!，即错误!解得错误!所以所求的变换矩阵A＝错误!.2，－1，－4， 3，N＝错误!,求二阶矩阵X，使MX3. 已知M＝[］＝N.解：设X＝错误!，由题意有错误!错误!＝错误!，根据矩阵乘法法则有错误!解得错误!∴X＝错误!.4. 曲线x2＋4xy＋2y2＝1在二阶矩阵M＝错误!的作用下变换为曲线x2－2y2＝1,求实数a，b的值．解：设P(x，y)为曲线x2－2y2＝1上任意一点，P′(x′,y′）为曲线x2＋4xy＋2y2＝1 上与P对应的点，则错误!错误!＝错误!,即错误!代入x2－2y2＝1得(x′＋ay′）2－2（bx′＋y′)2＝1，整理得(1－2b2）x′2＋（2a－4b)x′y′＋（a2－2）y′2＝1，又x′2＋4x′y′＋2y′2＝1，所以错误!解得错误!5. (2017·扬州中学期初)已知点M(3，－1)绕原点按逆时针旋转90°后，在矩阵A＝错误!对应的变换作用下，得到点N(3，5）,求a，b的值．解：由题意,错误!错误!＝错误!，又错误!错误!＝错误!，所以错误!解得错误!6. 已知曲线C: y2＝2x在矩阵M＝错误!对应的变换作用下得到曲线C1,C1在矩阵N＝错误!对应的变换作用下得到曲线C2,求曲线C2的方程．解：设A＝NM，则A＝错误!错误!＝错误!，设P′（x′，y′）是曲线C上任一点，在两次变换作用下，在曲线C2上的对应点为P（x， y），则错误!＝错误!错误!＝错误!，即错误!∴错误!又点P′(x′，y′）在曲线C: y2＝2x上,∴错误!2＝2y，即曲线C2的方程为y＝错误!x2.7. 设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵A＝错误!（a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1。

高三数学选修4-1.4-2数学试题

高三数学选修4-1、4-2模块考试试题班级姓名一. 选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（请讲选择题答案写在答题框内）1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是( ).A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110 C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001 D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000 2.在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201对应的变换下，点A （2，1）将会转换成（）. A (5, 2) B (4, 1) C （2，5） D( 1, 4) 3. 将点（2，4）先经矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为（） A (8, 2 ) B( 2, 8 ) C (2, －8 ) D （－8，2）4. 若⎢⎣⎡01⎥⎦⎤1x 3=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤11，则x 的值（） A 3 B 31C 2D 05. 如图所示，在半圆O 中，AB 为直径，CD ⊥AB ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，则图中相似三角形一共有( )对.A 3B 4C 5D 66. 先将平面图形作关于直线y =x 的反射变换，再将它的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的三分之一，则整个变换可用下列矩阵表示的是（）A 1001-⎡⎤⎢⎥⎣⎦B⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡03120C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0211D ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31137.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y 轴对称的变换，再将它做关于直线y =x 对称的变换，则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为（）A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02210B ⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10 C⎢⎣⎡21 ⎥⎦⎤10 D⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10021. 8. 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA =2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB =1，则圆O 的半径R =( ).A22B 3C 3D223 9. 若1301⎛⎫⎪⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12⎛⎫⎪⎝⎭，则x+y ＝( ) A 9 B －3 C 3 D －2 10. 当λ为（）时，二元一次方程组2213⎛⎫⎪⎝⎭x y ⎛⎫⎪⎝⎭＝λx y ⎛⎫⎪⎝⎭有非零解。

2012高中数学 4-1.2课后练习同步导学北师大版选修1-2

第4章 1.2(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析： ∵π2＜2＜π，∴sin 2＞0，cos 2＜0， ∴点(sin 2，cos 2)在第四象限．答案： D2．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是( ) A ．(1,5) B ．(1,3) C ．(1，5)D ．(1，3)解析：由题意得z ＝a ＋i ，∴|z |＝a 2＋1. ∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5， ∴1＜|z |＜ 5. 答案： C3．下列四个式子中，正确的是( ) A ．4i>3 B ．|2＋3i|>|2－3i| C ．|2＋i|>2i 4D ．i 2>－i解析：不全是实数的复数不能比较大小，故A 、D 都错． ∵|2＋3i|＝13，|2－3i|＝13，∴B 错． ∵|2＋i|＝5>2i 4＝2，∴C 对．答案： C4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：点A (－1，－2)，关于直线y ＝－x 的对称点为B (2,1)，则向量OOB →对应的复数为2＋i.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R )，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．解析： log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0，log 2m 2－3m －3m －32＝－1，m 2－3m －3m －32＝12，m ＝±15，而m >3，∴m ＝15. 答案：156．若复数(k －3)－(k 2－4)i 所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k －3＜0－k 2－4＜0，∴k ＜－2或2＜k ＜3. 答案： (－∞，－2)∪(2,3) 三、解答题(每小题10分，共20分)7．在复平面内画出复数z 1＝－1，z 2＝12＋32i ，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→并求出各复数的模．解析：三个复数对应向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如下图所示．|z 1|＝|－1|＝1， |z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. 8．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．则x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝8∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－15y ＝8，∴z ＝－15＋8i. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ (1)|z |＝2；(2)|z |≤3.解析：方法一：(1)复数z 的模等于2，这表明向量OZ →的长度等于2，即点Z 到原点的距离等于2，因此满足条件|z |＝2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以2为半径的圆．(2)满足条件|z |≤3的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以3为半径的圆及其内部．方法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， (1)|z |＝2，∴x 2＋y 2＝4，∴点Z 的集合是以原点为圆心，以2为半径的圆． (2)|z |≤3，∴x 2＋y 2≤9.∴点Z 的集合是以原点为圆心，以3为半径的圆及其内部．。

高考数学一轮复习不等式选讲课时训练选修4

选修45 不等式选讲第1课时绝对值不等式1. 解不等式1<|x －1|<3.解：原不等式可化为1<x －1<3或－3<x －1<－1，解得不等式的解集为(－2，0)∪(2，4)． 2. 解不等式|x ＋1|＋|x －2|＜4.解：当x<－1时，不等式化为－x －1＋2－x<4，解得－32<x<－1；当－1≤x≤2时，不等式化为x ＋1＋2－x<4，得－1≤x≤2；当x>2时，不等式化为x ＋1＋x －2<4，解得2<x<52.∴ 原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 3. 解不等式|x 2－2x ＋4|>2x.解：原不等式等价于x 2－2x ＋4<－2x ①，或x 2－2x ＋4>2x ②. 解①得解集为∅，解②得解集为{x|x∈R 且x≠2}．∴ 原不等式的解集为{x|x∈R 且x≠2}．4. 解不等式x 2－|x|－2<0.解：(解法1)当x≥0时，x 2－x －2<0，解得－1<x<2，∴ 0≤x<2；当x<0时，x 2＋x －2<0，解得－2<x<1， ∴ －2<x<0.∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．(解法2)原不等式可化为|x|2－|x|－2<0，解得－1<|x|<2.∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2<x<2. ∴ 原不等式的解集为{x|－2<x<2}．5. 已知满足不等式|2x ＋a|＋|x －3|≤4的x 的最大值为3，求实数a 的值．解：因为x 的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x ＋a|＋3－x≤4，所以|2x ＋a|≤x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，－x －1≤2x＋a≤x＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x ≥－a －13，x ≤1－a ，因为x 的最大值为3，所以1－a ＝3，即a ＝－2.6. 已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|－|a 2－2a|.若函数f(x)的图象恒在x 轴上方，求实数a 的取值范围．解：f(x)的最小值为3－|a 2－2a|，由题设，得|a 2－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x －3|. (1) 解关于x 的不等式f(x)≥1；(2) 若存在x 0∈R ，使得关于x 的不等式m ≤f(x 0)成立，求实数m 的取值范围．解：(1) 原不等式等价于不等式组①：⎩⎪⎨⎪⎧x≤0，－x ＋（x －3）≥1或②：⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，x ＋（x －3）≥1或③：⎩⎪⎨⎪⎧x≥3，x －x ＋3≥1.不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不等式的解集为[2，＋∞)．(2) 由题意知m≤f (x)max ，因为f(x)＝|x|－|x －3|≤|x－x ＋3|＝3，所以f(x)max ＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]．8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值；(2) |2t －1|≥f(x)恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x ＋2＋x|＝3，当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max ＝3. (2) 由|2t －1|≥f(x)恒成立得|2t －1|≥f(x)max ，即|2t －1|≥3，2t －1≥3或2t －1≤－3，解得t≥2 或 t≤－1，∴ 实数t 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x 的不等式|ax －1|＋|ax －a|≥1(a>0)． (1) 当a ＝1时，求此不等式的解集；(2) 若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，得2|x －1|≥1, 即|x －1|≥12，解得x≥32或x≤12，∴ 不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞. (2) ∵ |ax－1|＋|ax －a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R 等价于|a －1|≥1. ∴ a ≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a ≥2.∴ 实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x ＋1|－|x －2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集；(2) ∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t ，求实数t 的取值范围．解：(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x<－12，3x －1，－12≤x<2，x ＋3，x ≥2，当x<－12时，－x －3>2，x<－5，∴ x<－5；当－12≤x<2时，3x －1>2，x>1，∴ 1<x<2；当x≥2时，x ＋3>2，x>－1，∴ x ≥2.综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}．(2) f(x)min ＝－52，若∀x ∈R ，f (x)≥t 2－112t 恒成立，则只需f(x)min ＝－52≥t 2－11t 2，解得12≤t ≤5.即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5.11. 设函数f(x)＝|2x －1|－|x ＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D ；(2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x ＋2－x>a 成立，求实数a 的取值范围．解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x ＋2≤0得x≥2，所以x ∈∅；当－1<x≤12时，由f(x)＝－3x≤0得x≥0，所以0≤x≤12；当x>12时，由f(x)＝x －2≤0得x≤2，所以12<x ≤2.综上，不等式f(x)≤0的解集D ＝{x|0≤x≤2}．(2) 3x ＋2－x ＝3x ＋2－x ，由柯西不等式得(3x ＋2－x)2≤(3＋1)[x ＋(2－x)]＝8，∴ 3x ＋2－x ≤22，当且仅当x ＝32时取“＝”， ∴ a 的取值范围是(－∞，22)．第2课时不等式证明的基本方法1. 已知x≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y.证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1＝(1－y)[yx 2－(1＋y)x ＋1]＝(1－y)(xy －1)(x －1)，∵ x ≥1，y ≥1，∴ 1－y≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 从而左边－右边≤0，∴ x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a ，b ，x ，y 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)＝ab(x 2＋y 2)＋xy(a 2＋b 2)≥ab ·2xy ＋xy(a 2＋b 2)＝(a ＋b)2xy.又a ＋b ＝1，所以(ax ＋by)(bx ＋ay)≥xy. 当且仅当x ＝y 时等号成立．3. 已知x ，y ，z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号，所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.4. 已知函数f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x ＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集；(2) 若t∈M，求证：t 2＋1≥3t＋3t.(1) 解：依题意，得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1.2－x ，－1＜x ＜12，3x ，x ≥12，于是得f(x)≤3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－3x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x－1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时，取等号，∴M ＝[3，＋∞)．原不等式等价于t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝（t －3）（t 2＋1）t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1＞0.∴（t －3）（t 2＋1）t ≥0.∴t 2＋1≥3t＋3t.5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a ，b ，c 为正实数，求证：b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.证明：∵ a，b ，c 为正实数，∴ a ＋b 2a ≥2b ，b ＋c 2b ≥2c ，c ＋a2c ≥2a ，将上面三个式子相加得a ＋b ＋c ＋b 2a ＋c 2b ＋a2c≥2a ＋2b ＋2c ，∴ b 2a ＋c 2b ＋a2c≥a ＋b ＋c.6. 设a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.证明：因为a 1，a 2，a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥3(a 1a 2a 3)13·3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1·1a 2·1a 313＝9(当且仅当a 1＝a 2＝a 3时等号成立)，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.7. 已知正数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求1x ＋2y ＋3z的最小值．解：1x ＋2y ＋3z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋42y ＋93z (x ＋2y ＋3z)＝1＋4＋9＋2y x ＋3z x ＋4x 2y ＋12z 2y ＋9x 3z ＋18y3z≥14＋22y x ·4x 2y ＋23z x ·9x 3z ＋212z 2y ·18y 3z＝36，当且仅当x ＝y ＝z ＝16时等号成立，∴ 1x ＋2y ＋3z的最小值为36. 8. 已知x ＞0，y ＞0，z ＞0且xyz ＝1，求证：x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx. 证明：∵ x＞0，y ＞0，z ＞0，∴ x 3＋y 3＋z 3≥3xyz.同理x 3＋y 3＋1≥3xy，y 3＋z 3＋1≥3yz，x 3＋z 3＋1≥3xz.将以上各式相加，得3x 3＋3y 3＋3z 3＋3≥3xyz＋3xy ＋3yz ＋3zx.∵ xyz ＝1，∴ x 3＋y 3＋z 3≥xy ＋yz ＋zx.9. 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3.求1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1的最小值，并指出取得最小值时a ，b ，c 的值．解：∵ a＋2b ＋4c ＝3，∴ (a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10. ∵ a ，b ，c 为正数，∴ 由柯西不等式得[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥(1＋2＋2)2.当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2时，等式成立．∴1a ＋1＋1b ＋1＋1c ＋1≥11＋6210， ∴ 2(c ＋1)＋22(c ＋1)＋4(c ＋1)＝10，∴ c ＝8－527，b ＝152－177，a ＝23－1027.10. 已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c ＞0.求证：(1) abc≤127；(2) a 2＋b 2＋c 2≥3abc.证明：(1) a ＋b ＋c≥3·3abc ，而a ＋b ＋c ＝1⇒abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．(2) 由柯西不等式得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c)2＝13，由(1)知3abc ≤13，∴ a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝时取等号．11. 已知函数f(x)＝3x ＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，求实数a 的取值范围．解：存在实数x 使f(x)＋g(x)＞a 成立，等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ＝3×x ＋2＋1×14－x ，由柯西不等式得，(3×x ＋2＋1×14－x)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x ＋6＋14－x ≤8，当且仅当x ＝10时取等号．故实数a 的取值范围是(－∞，8)．。

2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第四章 4.1 流程图

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2．复数加减法的几何意义
进一步认识程序框图，了解工序流程图，绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作用．
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2．难点绘制算法的程序框图，绘制简单实际问题的流程图．
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3．知识结构图
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第四章 4．1 流
框图程图
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1．通过具体实例，进一步认识程序框图． 2．通过具体实例，了解工序流程图(即统筹图)．
栏
3 ．能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实目链际问题中的作用．接
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基础梳理
1．流程图的概念．图形符号和___________ 文字说明构成的图示称为________ 流程图．流由一些__________ 程图常用来表示一些动态过程，通常会有一个“起点”，一个或多终点 ”，流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到个“________ 栏结束的全部步骤．目链 2．常用的流程图．接算法 (1)程序框图是流程图的一种，是________步骤的直观图示．算输出、条件、 ________ 循环等基本单元构成了程序框图法的输入、 ________ 流程线来建立．的基本要素，基本要素之间的关系由 ________
解析：①③正确，②④不正确．故选 B. 答案：B
基础自测
2．下图是用函数拟合解决实际问题的流程图，则矩形框中应填入( )
A．整理数据，求函数表达式 B．画散点图，进行模拟修改 C．画散点图，求函数表达式 D．整理数据，进行模拟修改
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基础自测
解析：由数据拟合的过程知 C 正确．故选 C. 答案：C

高考数学课时训练选修4-1-2

高中数学人教版选修1-2课时提升作业四 2.1.2 演绎推理 习题 Word版含答案

2021年高考数学 参数方程课时提升作业 理 北师大版选修4-1

2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第四章 4.2 结 构 图