2016届高三数学二轮复习精选专题练小题专项训练(三文科)

合集下载

湖南省永州市2016届高三下学期第三次高考模拟数学(文)试题(解析版)

2016年湖南省永州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题1．若全集U=R，A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1}B．{2，3}C．{4，5}D．{0，1，4，5}2．已知复数z=i（1﹣i），则|z|=（）A．2B．C．5D．3．下列函数中，满足f（﹣x）+f（x）=0的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2xD．f（x）=2x4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．3D．5．已知命题p：∀x∈R，x+≥4；命题q：∃x0∈（0，∞），log2x0=，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．（￢p）∧（￢q）6．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（7，3）=1，如图是一个算法的程序框图，当输入的n值为15时，输出的结果为（）A．4B．5C．6D．77．椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=3，则△PF1F2的面积为（）A．B．2C．4D．8．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，若17＜a n＜20，则n=（）A．9B．10C．11D．129．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则∠A=（）A．B．C．D．11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+3πB．4+4πC．4﹣D．4+12．已知函数f（x）=，若|f（x）+4|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[0，6]C．[0，5]D．[0，12]二、填空题13．已知向量，满足||=2，|+|=，＜，＞=，则||=．14．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．15．一平面截一球得到面积为5π的圆面，球心到这个平面的距离为2，则该球的表面积是．16．已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比不为1，a1=，且a1，2a2，4a3成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；＜．（2）求证：a1+a3+a5+…+a2n﹣118．我国的人口呈现老龄化趋势，某城市为提高老年人的养老服务质量，分别从甲、乙两个社区随机抽取了7名70岁以上的老年人进行走访，这14名老年人的年龄如图的茎叶图所示，其中甲社区7人的平均年龄为85岁．（1）计算甲社区7为位老年人的方差s2；（2）该城市决定从上述14人中随机抽取2名90岁以上的老年人进行长期跟踪走访，求甲社区至少有一名老年人被抽中的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为AD的中点．（1）求证：平面PCM⊥平面PAD；（2）求三棱锥D﹣PAC的高．20．已知曲线C的方程：x2+y2﹣4x﹣2y﹣m=0．（1）若曲线C是圆，求m的取值范围；（2）当m=0时，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，且以AB为直径的圆过点D（0，3），若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=x+﹣（a﹣1）lnx．（1）讨论f（x）在[1，e]上得单调性；（2）已知g（x）=f（x）﹣x在[1，e]上单调递减，讨论f（x）在[1，e]上零点的个数．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C，F是圆O上的点，CA平分∠BAF，过C点作圆O的切线交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为M．（1）求证：CD⊥AF；（2）若CD=，AM=2，求BM的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线C1的直角坐标方程和圆C2的圆心的极坐标；（2）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞x+3；（2）若对于任意x∈R，有f（x）﹣g（x）≥0，求实数m的最大值．2016年湖南省永州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．若全集U=R，A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，则Venn图中阴影部分表示的集合为（）A．{0，1}B．{2，3}C．{4，5}D．{0，1，4，5}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B但不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．∵全集U=R，A={0，1，2，3}，B={2，3，4，5}，∴B∩（∁U A）={4，5}，故选：C．2．已知复数z=i（1﹣i），则|z|=（）A．2B．C．5D．【考点】复数求模．【分析】由复数代数形式的乘法运算化简，然后直接利用复数模的公式求复数z的模．【解答】解：∵z=i（1﹣i）=1+i，∴|z|==故答案为：．3．下列函数中，满足f（﹣x）+f（x）=0的单调递增函数是（）A．f（x）=x3B．f（x）=﹣x﹣1C．f（x）=log2xD．f（x）=2x【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据函数的关系式可得函数为奇函数，C，D显然不是奇函数，f（x）=﹣x﹣1在定义域内有增有减．η【解答】解：f（﹣x）+f（x）=0，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴函数为奇函数，排除C，D；函数为增函数，排除C选项，故选：A．4．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．3D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得b=2a，由a，b，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由一条渐近线与直线x+2y﹣1=0垂直，可得：﹣•=﹣1，即有b=2a，c==a，可得e==．故选：B．5．已知命题p：∀x∈R，x+≥4；命题q：∃x0∈（0，∞），log2x0=，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：取x=﹣1，x+≥4，不成立，即可判断出真假；命题q：∃x0=∈（0，∞），log2x0=，即可判断出真假．【解答】解：命题p：取x=﹣1，x+≥4，不成立，因此p是假命题；命题q：∃x0=∈（0，∞），log2x0=，因此q是真命题．则下列命题中为真命题的是（￢p）∧q．故选：C．6．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（7，3）=1，如图是一个算法的程序框图，当输入的n值为15时，输出的结果为（）A．4B．5C．6D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（n，i）的值，当i=4，MOD（15，4）=3，满足条件MOD（15，4）=3，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=15，i=2，MOD（15，2）=1，不满足条件MOD（15，2）=3，i=3，MOD（15，3）=0，不满足条件MOD（15，3）=3，i=4，MOD（15，4）=3，满足条件MOD（15，4）=3，退出循环，输出i的值为4．故选：A．7．椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=3，则△PF1F2的面积为（）A．B．2C．4D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得|PF2|=6﹣3=3，||=2，由此能求出△PF1F2的面积．【解答】解：∵椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，|PF1|=3，∴F1（﹣1，0），F2（1，0），|PF2|=6﹣3=3，||=2，∴△PF1F2的面积为S==2．故选：B．8．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n，若17＜a n＜20，则n=（）A．9B．10C．11D．12【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用递推关系可得a n，代入即可得出．【解答】解：∵S n=n2﹣n，=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1经检验，n=1时也适合，故a n=2n﹣2；又17＜a n＜20，则17＜2n﹣2＜20，解得＜n＜11，∴n=10．故选：B．9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得的图象正好关于y轴对称，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位可得函数y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得的图象正好关于y轴对称，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣﹣kπ，k∈Z，当k=﹣1时，φ的最小正值为．故选：C．10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若=，则∠A=（）A．B．C．D．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】使用正弦定理将角化边整理得出a，b，c的关系，利用余弦定理解出cosA．【解答】解：在△ABC中，∵==，∴a2﹣b2=bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc．∴cosA=．∴A=．故选：D．11．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4+3πB．4+4πC．4﹣D．4+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可得该几何体：一个长方体和一个里面挖掉半个小圆柱的大圆柱组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图可得该几何体：一个长方体和一个里面挖掉半个小圆柱的大圆柱组合体，长方体的长、宽、高分别为2、2、1；大圆柱的底面半径为1、高为3，小圆柱的底面半径为1、高为1，所以组合体的体积V==4+，故选：D．12．已知函数f（x）=，若|f（x）+4|≥a（x﹣1），则a的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[0，6]C．[0，5]D．[0，12]【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】设g（x）=|f（x）+4|，作出函数g（x）和y=a（x﹣1）的图象，根据不等式恒成立，讨论a的取值范围建立不等式关系即可得到结论．【解答】解：设g（x）=|f（x）+4|，则当x≥0时，g（x）=|﹣x2﹣3x+4|=|x2+3x﹣4|=．当x＜0时，g（x）=|f（x）+4|=|4+ln（1﹣x）|=4+ln（1﹣x），此时函数g（x）为减函数，且g（x）＞4，作出函数g（x）的图象如图，设y=a（x﹣1），若a=0，则|f（x）+4|≥a（x﹣1），恒成立，若a＜0，|f（x）+4|≥a（x﹣1）不恒成立，不满足条件．若a＞0时，要使|f（x）+4|≥a（x﹣1），恒成立，则只需要到x＞1时，y=x2+3x﹣4与y=a（x﹣1）相切即可，由x2+3x﹣4=a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a﹣4=0，则判别式△=（3﹣a）2﹣4（a﹣4）=a2﹣10a+25=（a﹣5）2=0，则a=5，综上0≤a≤5，故选：C．二、填空题13．已知向量，满足||=2，|+|=，＜，＞=，则||=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对|+|=两边平方，得出关于||的方程，解出即可．【解答】解：，∵|+|=，∴，即，解得||=1．故答案为：1．14．设x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为﹣1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求解即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最小，此时z最大，由，解得，即A（1，1），代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×1=1﹣2=﹣1，∴目标函数z=x﹣2y的最大值是﹣1．故答案为：﹣1．15．一平面截一球得到面积为5π的圆面，球心到这个平面的距离为2，则该球的表面积是36π．【考点】球的体积和表面积．【分析】作出球的轴截面图，根据条件求出球的半径，然后根据球的表面积公式进行计算即可【解答】解：∵一平面截一球得到面积为5π的圆面，∴半径为：，作出球的轴截面图，由题意知AB=2，BC=，球心到这个平面的距离为2，即OC=2，∴球的半径OB==3，∴球的表面积为4π×（3）2=36π．故答案为：36π16．已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=﹣．【考点】二倍角的余弦．【分析】由cos（﹣α）=sin（+α）=，利用二倍角公式即可求得cos（﹣2a）的值．【解答】解：∵cos（﹣α）=sin（+α）=，∴cos（﹣2a）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比不为1，a1=，且a1，2a2，4a3成等差数列．（1）求{a n}的通项公式；＜．（2）求证：a1+a3+a5+…+a2n﹣1【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a1，2a2，4a3成等差数列，可得2×2a2=a1+4a3，代入解出即可得出．=，利用等比数列的前n项和公式即可得出．（2）由a2n﹣1【解答】（1）解：∵a1，2a2，4a3成等差数列，∴2×2a2=a1+4a3，4×q=1+4q2，解得q=．∴a n=．=．（2）证明：a2n﹣1=×=＜．∴a1+a3+a5+…+a2n﹣1∴a1+a3+a5+…+a2n＜．﹣118．我国的人口呈现老龄化趋势，某城市为提高老年人的养老服务质量，分别从甲、乙两个社区随机抽取了7名70岁以上的老年人进行走访，这14名老年人的年龄如图的茎叶图所示，其中甲社区7人的平均年龄为85岁．（1）计算甲社区7为位老年人的方差s2；（2）该城市决定从上述14人中随机抽取2名90岁以上的老年人进行长期跟踪走访，求甲社区至少有一名老年人被抽中的概率．【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据茎叶图中的数据求平均数与方差即可；（2）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率即可．【解答】解：（1）∵甲社区7位老人平均年龄为85岁，∴[79+78+85+80+（80+x）+92+96]=85，解得x=5，∴甲社区7位老年人的方差为s2=[（﹣6）2+（﹣7）2+02+（﹣5）2+02+72+112]=40；（2）甲社区7位老人中90岁以上的老年人有2人，分别记为A、B，乙社区7人中90岁以上老年人有3人，分别记为c 、d 、e ，从这5人中随机抽取2人的基本事件数为AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 、cd 、ce 、de 共10种，其中甲社区至少有1名老年人被抽中的结果为AB 、Ac 、Ad 、Ae 、Bc 、Bd 、Be 共7种，故所求的概率为P=．19．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是∠ABC=60°的菱形，M 为AD 的中点．（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）求三棱锥D ﹣PAC 的高．【考点】平面与平面垂直的判定；棱锥的结构特征．【分析】（1）由题意可知△ACD ，△PAD 是等边三角形，故而PM ⊥AD ，CM ⊥AD ，于是AD ⊥平面PCM ，所以平面PCM ⊥平面PAD ；（2）分别以△ACD 和△PAC 为棱锥的底面求出棱锥的体积，利用体积相等列出方程解出底面PAC 上的高．【解答】证明：（1）∵PA=PD ，M 是AD 的中点，∴PM ⊥AD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC=60°，∴△ACD 是正三角形，∴CM ⊥AD ，又PM ⊂平面PCM ，CM ⊂平面PCM ，PM ∩CM=M ，∴AD ⊥平面PCM ，∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PCM ⊥平面PAD ．（2）∵△ACD ，△PAD 是边长为2的正三角形，∴PM=CM=．∴V P ﹣ACD ==．∵AC=2，PA=2，PC=，∴cos ∠PAC==．∴sin ∠PAC=．∴S △APC ==．设三棱锥D ﹣PAC 的高为h ，则V D ﹣PAC ==V P ﹣ACD ．∴=1．解得h=．20．已知曲线C的方程：x2+y2﹣4x﹣2y﹣m=0．（1）若曲线C是圆，求m的取值范围；（2）当m=0时，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，且以AB为直径的圆过点D（0，3），若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）曲线C的方程化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5+m，由此能求出m的取值范围．（2）假设存在直线l：y=x+b，使l被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过D（0，3），由，得2x2+（2b﹣6）x+b2﹣2b=0，由此利用韦达定理及向量的数量积能求出存在直线y=x和y=x+2满足题意．【解答】解：（1）∵曲线C的方程：x2+y2﹣4x﹣2y﹣m=0，∴曲线C的方程化为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5+m，由圆的性质得5+m＞0，解得m＞﹣5．∴m的取值范围是（﹣5，+∞）．（2）假设存在直线l：y=x+b，使l被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆过D（0，3），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得2x2+（2b﹣6）x+b2﹣2b=0，则x1+x2=﹣（b﹣3），x1x2=，∴y1y2=（x1+b）（x2+b）=，y1+y2=x1+x2+2b=b+3，依题意，=x1x2+（y1﹣3）（y2﹣3）=x1x2+y1y2﹣3（y1+y2）+9=b2﹣2b=0，解得b=0或b=2，∴存在直线y=x和y=x+2满足题意．21．已知函数f（x）=x+﹣（a﹣1）lnx．（1）讨论f（x）在[1，e]上得单调性；（2）已知g（x）=f（x）﹣x在[1，e]上单调递减，讨论f（x）在[1，e]上零点的个数．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断f′（x）的符号，从而求出函数的单调区间；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性求出函数的零点的个数即可．【解答】解：（1）f′（x）=，a≤1时，f′（x）≥0，f（x）在[1，e]递增；1＜a＜e时，若x∈[1，a]，则f′（x）≤0，若x∈（a，e]，则f′（x）≥0，∴f（x）在[1，a]递减，在（a，e]递增；a≥e时，f′（x）≤0，f（x）在[1，e]递减；（2）∵g（x）=f（x）﹣x在[1，e]上单调递减，∴g′（x）=f′（x）﹣1=≤0在[1，e]上恒成立，即x∈[1，e]时，a≥1﹣恒成立，而函数y=1﹣在[1，e]递增，故a≥1﹣，当1﹣≤a≤1时，由（1）得f（x）在[1，e]上单调递增，f（x）min=f（1）=1+a＞0，∴f（x）在[1，e]上无零点；当1＜a＜e时，由（1）得f（x）在[1，a]上单调递减，在[a，e]上单调递增，f（x）min=f（a）=1+a﹣（a﹣1）lna＞a+1﹣（a﹣1）=2＞0，∴f（x）在[1，e]上无零点；当a≥e时，由（1）得f（x）在[1，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=e+﹣（a﹣1），若e≤a＜，则f（x）min=f（e）＞0，∴f（x）在[1，e]上无零点；若a≥，则f（x）min=f（e）≤0，f（x）max=f（1）=1+a＞0，∴f（x）在[1，e]上有1个零点；综上：a≥时，f（x）在[1，e]上有1个零点；1﹣≤a＜时，f（x）在[1，e]上无零点．[选修4-4：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，C，F是圆O上的点，CA平分∠BAF，过C点作圆O的切线交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为M．（1）求证：CD⊥AF；（2）若CD=，AM=2，求BM的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆的切线性质即可在证明CD⊥AF；（2）利用三角形全等以及射影定理进行求解即可．【解答】解：（1）∵CA平分∠BAF，∴∠BAC=∠CAD，∵CD是圆的切线，∴∠ACD=∠ABC，∵AB是圆O的直径，∴∠ABC+∠BAC=∠ACD+∠CAD=90°，则∠ADC=90°，即CD⊥AF；（2）∵∠BAC=∠CAD，AC是公共边，∴Rt△AMC≌Rt△ADC∴CM=CD=，在Rt△ABCA，CM⊥AB，AM=2，由射影定理得CM2=AM•BM，得BM=1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，曲线C2的参数方程为（α为参数）．（1）求直线C1的直角坐标方程和圆C2的圆心的极坐标；（2）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法，可得直线C1的直角坐标方程和圆C2的圆心的极坐标；（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，求线段AB的长．【解答】解：（1）∵直线C1的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ+1=0，∴直线C1的直角坐标方程为x﹣y+1=0；∵曲线C2的参数方程为（α为参数），∴普通方程为（x+1）2+（y﹣）2=4，∴圆C2的圆心的直角坐标为（﹣1，），极坐标（2，）；（﹣1，）到直线x﹣y+1=0的距离d=（2）设直线C1和圆C2的交点为A，B，=，∴线段AB的长2=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞x+3；（2）若对于任意x∈R，有f（x）﹣g（x）≥0，求实数m的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）解关于x的不等式f（x）＞x+3即不等式|x﹣2|＞x+3，分类讨论，去掉绝对值符号，即可得出结论；（2）若对于任意x∈R，有f（x）﹣g（x）≥0，只需要f（2）﹣g（2）≥0，即可求实数m的最大值．【解答】解：（1）不等式f（x）＞x+3，即不等式|x﹣2|＞x+3，x≤2时，2﹣x＞x+3，∴x＜﹣，此时x＜﹣；x＞2时，x﹣2＞x+3，∴x∈∅，∴不等式的解集为{x|x＜﹣}；（2）∵对于任意x∈R，有f（x）﹣g（x）≥0，m≤0时恒成立；m＞0时，如图所示，f（2）﹣g（2）≥0，∴0﹣2m+2≥0，∴m≤1，∴实数m的最大值为1．2016年7月21日。

【数学】湖南2016届高三下学期高考模拟三数学文试题Word版含答案

【关键字】数学数学（文科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数对应的点在直线上，则实数的值为（）A．0 B．1 C．-1 D．32.若，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．3. 的值等于（）A．B．C．D．14.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．．D．5.已知点的可行域是如图阴影部分（含边界），若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则的取值为（）A．1 B．2 C．6 D．86.如图是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，若，则的离心率是（）A．B．C．D．7.直线与椭圆恒有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．8.如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在处南偏西30°且相距20海里的处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往处求助，则（）A．B．C．D．9.设命题，使，则使得为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．10.如图，在等腰直角三角形中，设向量为边上靠近点的四等分点，过点作的垂线，点为垂线上任意一点，则（）A．B．C．D．11.已知正项数列满足，且，不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．12.偶函数满足，且当时，，若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上．13.对具有线性相关关系的变量有一组观测数据，其回归直线方程是，且，请估算时，____________．14.已知立方体分别是棱，中点，从中任取两点确定的直线中，与平面平行的有__________条．15.在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期．已知数列满足，当数列的周期为3时，则的前2016项的和___________．16.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是_____________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分12分）某中学的高三一班中男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）在（2）中的实验结束后，第一次做实验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69，70，70，72，74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．18.（本题满分12分）已知向量，设函数．（1）若，求的单调递加区间；（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积的最大值．19.（本题满分12分）在如图所示的几何体中，平面平面，四边形平行四边形，．（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积．20.（本题满分12分）已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点 . （1）当点在圆上运动时，求点的轨迹曲线的方程；（2）若直线是过点且相互垂直的两条直线，其中直线交曲线于两点，直线与圆相交于两点，求四边形面积等于14时直线的方程． 21. （本小题满分 12分）已知．（1）若1x =是()f x 的极值点，讨论()f x 的单调性；（2）当2a ≥-时，证明：()f x 在定义域内无零点．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于D C ，两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．（1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,AC AF ==BDF ∆外接圆的半径． 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 B 是过点()1,1P -，倾斜角为4π的直线，以直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线A 的极坐标方程是22123sin ρθ=+．（1）求曲线A 的普通方程和曲线B 的一个参数方程；（2）曲线A 与曲线B 相交于,M N 两点，求MP NP 的值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()()2,2f x x g x m x m R =-=-∈．（1）解关于x 的不等式()23f x x ->；（2）若不等式()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求m 的取值范围．参考答案一、选择题1. B 【解析】因为()1z i bi b i =-=+，对应的点为(),1b ，所以1b =，选B． 2. C 【解析】取1,1a b ==-，排除选项A ，取0,1a b ==-，排除选项B ，取0c =，排除选项D ，显然2101c >+，对不等式a b >的两边同时乘211c +成立，故选C ． 3. C 【解析】()(000000000000000002sin 45cos15sin 302sin 45cos15sin 45152sin 45cos15sin 45cos15cos 45si sin 45cos15cos 45sin15sin 60-=--=--=+==故选C ．4. A 【解析】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2，所以体积83V =，选A ． 5. C 【解析】当0a >时，210,0a a >-<，当221641AC k a a -==⇒=-时，目标函数2z x ay =-在线段AC 上的所有点处都取得最小值，∴6a =，选C ．6. B 【解析】由题意知，1214F F F A ==，∵122F A F A-=，∴22F A =，∴126F A F A +=，∵12=4F F ，∴2C 的离心率是4263=，选B7. B 【解析】()11y k x =-+恒过点()1,1P ，由点()1,1P 在椭圆内或椭圆上得：1119m+≤得98m ≥且9m ≠，选B . 8. A 【解析】在ABC ∆中，040,20,120AB AC ABC ==∠=．由余弦定理，得22202cos1202800BC AB AC AB AC =+-=，所以BC =10. A 【解析】以点O 为原点建立直角坐标系，所以()()311,0,0,1,,44A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，不妨设P 取点C ，∴()()31311,1,144442OP b a ⎛⎫-=-=-+=-⎪⎝⎭，故选A ．11. A 【解析】∵()110n n n a na ++-=，∴11n n a n a n +=+，∴1211112n n n a n n n--==-.∴122311111111111111112231122311n n a a a a a a n n n n n ++++=+++=-+-++-=-+++，∵12231n n a a a a a a m ++++≥恒成立，∴11122m ≤-=，故选A . 12. D 【解析】由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111log 31,53log 51a a a a <<⎧⎪⎪>-⇒<<⎨⎪<-⎪⎩，故D 正确.二、填空题 13.76 【解析】由题意知11,2x y ==，故样本中心为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，代入回归直线方程1ˆˆ3y x a =+，得1ˆ6a =．所以3x =时，76y =． 14．6【解析】连接,EH,FG EG ，∵//EH FG ，∴EFGH 四点共面，由//,//,,EG AB EH AD EGEH E AB AD A ''''==，可得平面EFGH 与平面AB D ''平行，所以符合条件的共6条.15. 1344 【解析】∵32111x x x a a =-=-=-，∴()2016672111344S a a =⨯++-=. 16. 21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦【解析】令()2ln 20xg x x ex m x =-+-=，∴()2ln 20xm x ex x x =-++>，设()2ln 2x h x x ex x =-++，令()()212ln 2,x f x x ex f x x =-+=，∴()221ln xf x x-'=，发现函数()()12,f x f x 在()0,x e ∈上都是单调递增，在[),x e ∈+∞上都是单调递减，∴函数()2ln 2xh x x ex x=-++在()0,x e ∈上单调递增，在[),x e ∈+∞上单调递减，∴当x e =时，()2max 1h x e e =+，∴函数有零点需满足()max m h x ≤，即21m e e≤+．三、解答题17.【解析】（1）由题意可知，抽样比416015==，所以某同学被抽到的概率为115. 课外兴趣小组中男同学454360⨯=（人），女同学1（人）……………………………………………2分（2）把3名男同学和1名女同学分别记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有()()()()()()()()()()()()121312123231323123,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a a a a a b a a a a a b b a b a b a ，，共12个，其中恰有一名女同学的有6个. 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P ==…………………………7分（3）由题意可知两名同学做实验得到的数据的平均数及方差分别为：由于2212s s >，因此，第二位同学的实验更稳定…………………………………………12分18.【解析】（1）()2cossin ,13cos 2cos ,1222x x x f x x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭24cos sin 13cos sin cos 3324x x x x x x π⎛⎫=++-=-+=-+ ⎪⎝⎭…………………………………3分22,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，即322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………………………………………6分（2）因为()344f A A π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.又因为()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故44A ππ-=，所以2A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分于是在ABC ∆中，22210b c a +==，故221152222b c S bc +=≤=，当且仅当5b c ==时等号成立，所以ABC ∆的面积的最大值为52………………………………………………………12分 19.【解析】①∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面AC E 平面ABCD AC =，∵,BC AC BC ⊥⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面AEC ……………………………………………………………………………2分AE 平面AEC ，∴BC AE ⊥，……………………………………………3分又2,1AC AE EC ===，∴222AC AE CE =+，∴AE EC ⊥………………………………………………………4分且BCEC C =，∴AE ⊥平面BCEF ……………………………………………6分（2）设A C 的中点为G ，连接EG ，∵AE CE =，∴A EG C ⊥………………………………………………7分 ∵平面ACE ⊥平面ABCD ，且平面ACE平面ABCD AC =，∴EG ⊥平面ABCD …………………………………………9分 ∵//,EF BC EF ⊄平面ABCD ，所以点F 到平面ABCD 的距离就等于点E 到平面ABCD 的距离，即点F 到平面ABCD 的距离为EG 的长…………………………………………10分 ∴13D ACF F ACDE ACD ACD V V V S EG ---∆===， ∵111222=12222ACD S AC AD EG AC ∆==⨯==，，………………………………………11分∴11326D ACF V -=⨯⨯=，即三棱锥D ACF -的体积为6…………………………………12分 20.【解析】（1）连接QB ，∵4,AQ QP QP QB +==，∴4AQ QB +=，故点Q 的轨迹是以点,A B 为焦点，24a =为长轴的椭圆，所以22,1,3a c b ===，点Q 的轨迹曲线C 的方程为：22143x y +=…………………………………………………5分（2）①当直线1l 的斜率不存在时，则直线1l 的方程为：1x =-，直线2l 的方程为：0y =，故228,3b MN EF a ===，∴183122MFNE S =⨯⨯=，不合题意，故直线1l 的斜率存在．．．．．．．．．．．．．．．6分②当直线1l 的斜率存在时，设直线1l 的方程为：()()()11221,,,,y k x E x y F x y =+， ∴142MFNE S EF MN EF =⨯⨯=. 联立()221143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴()()22223484120k x k x k +++-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k --+==++，……………………………………………………8分∴2211234k EF k +==⨯+， ∴22211448121143434MFNEk S EF k k +⎛⎫==⨯=+= ⎪++⎝⎭…………………………………………10分∴243k =，∴k =，此时，直线1l的方程为()12y x =+或()12y x =-+……………………………………12分21.【解析】（1）∵()1x af x e x+'=-，由1x =是()f x 的极值点，知()0f x '=，故110a e +-=，∴1a =-，………………………………………………………………2分① 当01x <<时，1011,1x e e x -><=，则()0f x '>，所以()f x 在()0,1内单调递增； ② 当1x >时，10101,1x e e x-<<>=，则()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞内单调递减……………5分（2）因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，当2a ≥-时，2x a x e e +-≥，∴()2ln ln x a x f x x e x e +-=-≤-………………………………………6分令()()221ln ,x x g x x e g x e x --'=-=-，令()21x h x e x -=-，∴()2210x h x e x-'=--<， ∴()g x '在()0,+∞上递减，又()1110g e-'=->，()01202g e '=-<，……………………………8分 ∴()g x '在()0,+∞上有唯一的零点0x ， ∴02010x e x --=，∴00001ln 2,2x x ex x =-+=-…………………………………………9分当00x x <<时，则()0g x '>，所以()g x 在()00,x 内单调递增；当0x x >时，则()0g x '<，所以()g x 在()0,x +∞内单调递减. ∴()()02000max 01ln 220x g x g x x e x x -==-=-+-<-=…………………………………11分故当2a ≥-时，()0g x <，故()()0f x g x ≤<，所以当2a ≥-时，()f x 在定义域内无零点…………………………………………………12分22.【解析】（1）因为AB 为圆O 的一条直径，所以BF FH ⊥．又DH BD ⊥，故,,,B D F H 四点在以BH 为直径的圆上.所以，,,,B D F H 四点共圆…………………………………………………………4分（2）由题意得AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =，即(22,4AD AD ==，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===，又AFD ADH ∆∆，则DH ADBF AF=，得DH =. 连接BH （图略），由（1）可知，BH 为BDF ∆外接圆的直径.BH =，故BDF ∆………………………………………………………………10分23.【解析】（1）∵22123sin ρθ=+，∴()223sin 12ρθ+=，即曲线A 的普通方程为：22143x y +=，曲线B的一个参数方程为：112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设12,PM t PN t ==，∴12MP NP t t =．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.把1212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入方程22143x y +=中，得：2231411222⎛⎫⎛⎫-+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：27502t -=，∴1212107t t t t +==-， ∴12107MP NP t t ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）由()223223x f x x x x ≥⎧->⇔⎨-->⎩或2223x x x <⎧⎨-->⎩， ∴x ∈∅或13x <-，故原不等式的解集为1|3x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由()()f x g x ≥，得22x m x -≥-对任意的x R ∈恒成立，当0x =时，不等式22x m x -≥-成立；当0x ≠时，问题等价于22x m x-+≤对任意的非零实数恒成立， ∵22221x x x x++-+≥=， ∴1m ≤，即m 的取值范围是(],1-∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

【3份】2016高考数学文科(通用)二轮专题复习仿真练：选修部分

【3份】2016高考数学文科（通用）二轮专题复习仿真练：选修部分目录选修4-1 几何证明 .................................................................................................................. 1 选修4-4 坐标系与参数方程 .................................................................................................. 4 选修4-5 不等式选讲 .. (6)选修4-1 几何证明1.(2015·陕西卷)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C . (1)证明：∠CBD ＝∠DBA ；(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径. (1)证明因为DE 为⊙O 直径，则∠BED ＋∠EDB ＝90°，又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED ，又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA .(2)解由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝ADCD＝3，又BC ＝2，从而AB ＝32，所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3，由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 直径为3.2.(2015·全国Ⅰ卷)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.(1)证明连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB . 在Rt △AEC 中，由已知得，DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE .连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB . 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，DE 是⊙O 的切线.(2)解设CE ＝1，AE ＝x ，由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2.由射影定理可得，AE 2＝CE ·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0.可得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.3.(2015·全国Ⅱ卷)如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M 、N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB 、AC 分别相切于E 、F 两点. (1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积.(1)证明由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .(2)解由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线，又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上.连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 4.如图所示，⊙O 的直径为AB ，AD 平分∠BAC ，AD 交⊙O 于点D ，BC ∥DE ，且DE 交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F . (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若AB ＝10，AC ＝6，求DF 的长. (1)证明如图所示，连接OD ，可得∠ODA ＝∠OAD ＝∠DAC ，所以OD ∥AE ，又BC ⊥AC 且BC ∥DE ，所以DE ⊥AC ，故DE ⊥OD ，又OD 为半径，所以DE 是⊙O 的切线.(2)解过点D 作DH ⊥AB 于H ，则有∠DOH ＝∠CAB ，又AB 为⊙O 的直径，则∠ACB ＝90°，则cos ∠DOH ＝cos ∠CAB ＝AC AB ＝35＝OHOD .因为OD ＝5，所以OH ＝3，DH ＝4，AD ＝45，由角平分线的性质知AE ＝AH ＝8，又由△AEF ∽△DOF 可得AF DF ＝AE DO ＝85，所以DF ＝5×4513＝20513.5.如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点.若CF ∥AB . 证明：(1)CD ＝BC ； (2)△BCD ∽△GBD .证明 (1)如图，因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点，所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD . 而CF ∥AD ，连接AF ，所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF . 因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC . (2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ，所以GB ＝BD .∴∠BGD ＝∠BDG ，由BC ＝CD 知，∠CBD ＝∠CDB . 又因为∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD .选修4-4 坐标系与参数方程1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最值.解 (1)化为直角坐标方程得，直线l ：x －3y －2＝0，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1. (2)由(1)可知，曲线C 是圆心为 C (1，0)，半径r ＝1的圆.且圆心C (1，0)到直线l 的距离d ＝|1－0－2|1＋3＝12＜r ＝1，故直线l 与曲线C 相交.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝32，最小值为0.2.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点. (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θcos π3＋ρsin θsin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2，令x ＝0，则y ＝233，∴M (2，0)，N ⎝⎛⎫0，233，∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)MN 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，直线OP 的极角为θ＝π6，∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ).3.已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP ︵的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程.解 (1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3. (2)点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6，A (1，0).故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t (t 为参数).4.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值.解 (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α).所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.5.(2015·湖南卷)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 解 (1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎨⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知， |MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.选修4-5 不等式选讲1.设函数f (x )＝2|x －1|＋|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥4的解集；(2)若不等式f (x )＜|m －2|的解集是非空集合，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－2，－x ＋4，－2＜x ≤1，3x ，x ＞1，令f (x )≥4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－3x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ≤1，－x ＋4≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x ≥4，解得x ≤0或x ≥43，所以不等式f (x )≥4的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤0或x ≥43.(2)f (x )在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以f (x )≥f (1)＝3.由于不等式f (x )＜|m －2|的解集是非空集合，所以|m －2|＞3，解得m ＜－1或m ＞5，即实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(5，＋∞).2.(2015·全国Ⅱ卷)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件. 证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2. 因此a ＋b ＞c ＋d .(2)①若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2＜(c －d )2, 即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .由(1)得a ＋b ＞c ＋d .②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2＞(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是 (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件. 3.(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2； (2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .证明 (1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2，因为a ，b 都是正数，所以a ＋b ＞0，又因为a ≠b ，所以(a －b )2＞0，于是(a ＋b )(a －b )2＞0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0，所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. (2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2≥0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .② c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c ).由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c ＞0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c ≥abc .4.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－a ； (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最小值；(2)若f (x )≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1－(x －4)|－1＝4，∴f (x )min ＝4. (2)f (x )≥4a ＋1对任意的实数x 恒成立⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立⇔a ＋4a≤4，当a ＜0时，上式成立；当a ＞0时，a ＋4a≥2a ·4a＝4，当且仅当a ＝4a ，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a ≤4成立.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}.5.已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. (1)解因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.。

2016届高考文科数学---解答题专项训练(含解析)

2016届高考文科数学---解答题专项训练中档题满分练(一)1．(2015·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝33，sin (A＋B)＝69，ac＝23，求sin A和c的值．2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．3.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2) 当d>1时，记c n＝a nb n，求数列{c n}的前n项和T n.中档题满分练(二)1．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a ＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程；(2)若f (α)＝43，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π6的值．2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”．(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值；(2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．3.如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．4．某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b－)，(a，b)，(a－，b)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b－)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b)其中a，a－分别表示甲组研发成功和失败；b，b－分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．中档题满分练(三)1．已知向量a ＝(2sin x ，－cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，f (x )＝a·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．3．(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n . ①求P n ；②若16P n ＋6n 3n ≤40027成立，求n 的最大正整数值．压轴题突破练1．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．(2015·北京高考)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．3．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，半焦距为c，B(0，1)为其上顶点，且a2，c2，b2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e；(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且k BP·k BQ＝e2.(ⅰ)试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；(ⅱ)△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．参考答案中档题满分练(一)1．解在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角．所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin A sin C ＝223c 69＝23c ，又ac ＝23，所以c ＝1.2．解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89. 3．(1)证明因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC . 因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ，因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .4．解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.中档题满分练(二)1．解 (1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3sin(2ωx ＋φ)(其中cos φ＝a a 2＋3，sin φ＝3a 2＋3)，由题意知：f (x )的最小正周期为π，由2π2ω＝π，知ω＝1，由f (x )最大值为2，故a 2＋3＝2，又a ＞0，∴a ＝1，则有cos φ＝12，sin φ＝32，取φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．故f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由f (α)＝43知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝43，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19.2．解 (1) ∵b n ＝3n ，则b n ＋1＝3n ＋3＝b n ＋3，由“M 类数列”定义，得p ＝1，q ＝3. (2)∵c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)， ∴c n ＋1－c n ＝－2n (n ∈N *)，则c 2－c 1＝－2，c 3－c 2＝－4，c 4－c 3＝－8，… ∴c n －c n －1＝－2n －1(n ≥2)，以上式子累加得c n ＝－(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝1－2n (n ≥2)，其中c 1＝－1也满足上式．因此c n ＝1－2n (n ∈N *)，则c n ＋1＝1－2n ＋1＝2(1－2n )－1＝2c n －1， {c n }是“M 类数列”．3．(1)证明因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 4．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x －甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x －乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625.因为x －甲＞x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是 (a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1，∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4·sin π3＝ 3.2．解 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为p ＝110. 3．(1)证明设E 为BC 的中点，连接AE ，A 1E ，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，又DE∩BC＝E，A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4.DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝7 2.所以sin ∠A1BF＝7 8.4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80，∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1. (2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n ＝n ＋14·3n －1.∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*)则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**)(*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n .∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1.因此16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ，解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4.所以n 的最大正整数为4.压轴题突破练1．(1)解由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． (2)证明由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2 ＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0，于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0，令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)，由u ′(x )＝1－1x ≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1，即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0，再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0，故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1，－y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行，理由如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1.又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)．令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2，直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2，因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行．3．解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故对称轴为直线x ＝－a 2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45，所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0. 故b 的取值范围是[－3，9－45]．4．解 (1)由题意知b ＝1，a 2＋b 2＝2c 2，又a 2＝b 2＋c 2，解之得a 2＝3，c 2＝2，椭圆的标准方程为x 23＋y 2＝1，离心率e ＝23＝63. (2)(ⅰ)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，且P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋3y 2＝3，得(3＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－3＝0. Δ＝(2mn )2－4(3＋m 2)×(n 2－3)＝12(m 2－n 2＋3)＞0(*)⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mn 3＋m 2，y 1y 2＝n 2－33＋m 2.∵k BM ·k MN ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝e 2＝23， ∴3(y 1－1)(y 2－1)＝2x 1x 2＝2(my 1＋n )(my 2＋n )，∴(2m 2－3)y 1y 2＋(2mn ＋3)(y 1＋y 2)＋2n 2－3＝0，∴(2m 2－3)n 2－33＋m 2＋(2mn ＋3)－2mn 3＋m2＋2n 2－3＝0，整理得n 2－2mn －3m 2＝0，∴(n －3m )(n ＋m )＝0，∴n ＝－m 或n ＝3m .所以直线PQ 的方程为x ＝my －m ＝m (y －1)(舍)或x ＝my ＋3m ＝m (y ＋3)，所以直线PQ 过定点，定点M 的坐标为(0，－3)．(ⅱ)由题意，∠PBQ ≠90°，若∠BPM ＝90°，或∠BQM ＝90°，则P 或Q 在以BM 为直径的圆T 上，即在圆x 2＋(y ＋1)2＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y ＋1）2＝4，x 2＋3y 2＝3.解之得y ＝0，或y ＝1(舍去)．因此P 或Q 只能是椭圆的左右顶点．又直线PQ 过定点M (0，－3)，∴k PQ ＝－3－00±3＝±3. 故△PBQ 可以是直角三角形，此时直线PQ 的斜率为±3.。

天津市2016届高三高考模拟(三)数学(文)试题含答案

第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合{}2230x x x A =+-≤，{}220x xx B =-<，则AB =( ）A ．(]0,1B ．[)0,1C ．[)3,2-D ．(]3,2-2。

从含有三件正品1a ，2a ,3a 和一件次品1b 的四件产品中，每次任取一件,取出后再放回，连续取两次,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为（）A ．14B ．38C ．716D ．123。

阅读下边的程序框图，当该程序运行后，输出的S 值是（） A ．35 B ．63 C ．84 D ．1654。

若a ，b 为实数，则“01a b <<”是“1b a<”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5。

已知1F ，2F 为双曲线22145x y -=的左、右焦点，M 为双曲线上一点，且12F F0M ⋅M =,则点M 到x 轴的距离为( )A ．43B ．53C ．54D ．326. 如图，在半径为10的圆O 中，90∠AOB =，C 为OB 的中点,C A 的延长线交圆O 于点D ,则线段CD 的长为( ） A ．5B ．25C ．35D ．537。

若函数()2221f x x bx b =-+-在区间[]0,1上恰有一个零点，则b 的取值范围是（ )A ．[]1,1-B ．[]2,2-C ．[][]2,10,1--D ．[][]1,01,2- 8.已知函数()243,1ln ,1x x x f x x x ⎧-+-≤=⎨>⎩，若()f x a ax +≥，则a 的取值范围是（ )A ．[]2,0-B ．[]2,1-C ．(],2-∞-D ．(],0-∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题(每题5分，满分30分,将答案填在答题纸上） 9。

【辽宁省大连市】2016届高三下学期第二次模拟考试文科数学试卷-答案

解得： …………………………………………………………………….……8分
………………………………………………10分
∵
∴
∴ …………………………………………………..………12分
22．（1）证明：∵CA为圆O的切线，∴ ，
又∵ 为直径，，∴ ．
又∵ ，，
∴ ，
∴CD为的平分线……………………………………………………………4分
∴椭圆方程为 …………………………………………………………………4分
（2）设，，则，直线BD方程为，
令，则
∴
同理 …………………………………………………………………..7分
∵ 和均为锐角，
∴
∴
…………………….10分
∴ 与互余，
∴ ……………………………………………………………………………….12分
基本事件空间中共有基本事件15个，…………………………………………..8分
设恰有1位同学成绩在区间中为事件A，
A中含基本事件8个，…………………………………………………………….10分
∴ ．………………………………………………………………………..12分
19．证明：（1）取MC中点，记为点D，连结PD，OD
∵
∴ ……………………………………………………………………12分
18．（1）由得 ……………2分
…………………………………………………….…………….6分
（2）由数据知，6名同学中成绩在之间的有两人，记为，，成绩不在之间的有4人，记为，，，，从6位同学中随机抽取2名同学所有可能结果组成的基本事件空间可以为
（2）解：∵ ，∴ ，
又∵ ，

2016级高三文科数学综合训练试题(32)含答案

2016级高三文科数学综合训练试题（32）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}R x x x A ∈≤=,1，}|{x y x B ==，则A B =（）A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|0x x ≥C ．{}|11x x -≤≤D ．∅2．设复数1z i =+（i 是虚数单位），则2z=（） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+3．双曲线14922=-x y 的焦距为（）A ．13B ．26C ．132D ．524．下列函数，其中既是偶函数又在区间0,1（）上单调递减的函数为( )A ．xy 1=B ．x y lg =C ．x y cos =D ．2x y = 5．等比数列}{n a 中，已知262,8a a ==，则4a =（） A ．4± B ．4 C ．4- D ．166．“0>>b a ”是“22b a >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．如右图所示的程序框图，若输出的S 是30，则①可以为 ( )A ．?2≤nB ．?3≤nC ．?4≤nD ．?5≤n8．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，是下列命题中正确的是（）A ．若//a b ，//a α，则//b αB ．若αβ⊥，//a α，则a β⊥C ．若αβ⊥，a β⊥，则//a αD ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ 9．在ABC ∆中，060,10,15===A b a ，则B 2cos =（）ABC ．31D ．13- 10．如图三棱锥V ABC -，,,VA VC AB BC ⊥⊥VAC ACB ∠=∠30=，若侧面VAC ⊥底面ABC ，则其主视图与左视图面积之比为（） AB． CD．411．已知函数()f x 满足：)()()(n f m f n m f =+，)1(f ＝3，则)1()2()1(2f f f +＋)3()4()2(2f f f +＋)5()6()3(2f f f +＋)7()8()4(2f f f + 的值等于( )A ．36B ．24C ．18D ．1212．在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集},),,(|{R y R x y x D ∈∈==上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“ ”．定义如下：对于任意两个向量),,(),,(222111y x a y x a ==，21a a 当且仅当“21x x >”或“2121y y x x >=且”．按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题：①若)1,0(),0,1(21==e e ,)0,0(0=则021 e e ； ②若3221,a a a a ,则31a a ； ③若21a a ,则对于任意D ∈,a a ++21 ；④对于任意向量 0 a ，)0,0(=,若21a a ，则21a a ⋅>⋅. 其中真命题的序号为（）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．②③④本卷包括必考题和选考题两部分。

高三二轮复习精品数学方法三解答题的解法(文科) 强化训练 word版含解析

1.三角解答题（6道） 1．【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试】已知向量)2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ．（Ⅰ）若b a //，求θtan 的值；（Ⅱ）若a b =r r ，求)42sin(πθ+的值．【用到方法】利用共线向量、三角恒等变换.2．【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）】在△ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a bc ，，.已知2cos ,sin 53A B C ==. （1）求tan C 的值；（2）若2a =c 的长及ABC ∆的面积.【解析】(1) ∵2cos 03A =>，∴25sin 1cos 3A A =-=，又()525sin sin sin cos sin cos sin 3C B A C A C C A C C ==+=+=+.整理得：tan 5C =.(2) 由(1)可知5sin 6C =.又由正弦定理知：sin sinCa cA =，故3c = 对角A 运用余弦定理：2222cos 23b c a A bc +-==. ② 解①②得：3b =3b =(舍去). ∴△ABC 的面积为：52S =. 【用到方法】三角恒等变换，正，余弦定理，解三角形.3．【湖南师范大学附属中学2016届高三上学期月考（三）】已知函数2()sin (23sin cos )cos f x x x x x ωωωωλ=+--的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若存在030,5x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使0()0f x =，求λ的取值范围．【用到方法】利用三角恒等变换求出相应的三角函数，结合整体思想和数形结合思想进行求解.4．【河北省衡水中学2016届高三上学期一调考试】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()sin sin 22,2C B A A A π+-=≠.(1)求角A 的取值范围； (2)若1a =，ABC ∆的面积31S +=，C 为钝角，求角A 的大小. 【解析】（1）由()sin sin 22C B A A +-=，得()()sin sin 22cos B A B A A A ++-=，即2sin cos 22cos B A A A =，因为cos 0A ≠，所以sin 2B A =. 由正弦定理，得2b a =，故A 必为锐角，又0sin 1B <≤，所以20sin 2A <≤. 因此角A 的取值范围为0,4π⎛⎤⎥⎝⎦.【用到方法】利用三角恒等变换化简变形，解三角形.5．【2015届高三上学期期末统考】如图，摄影爱好者S 在某公园A 处，发现正前方B 处有一立柱，测得立柱顶端O 的仰角和立柱底部B 的俯角均为.6π设S 3MO SNB A（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN 绕其中点O 在S 与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为3π的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．【解析】（1）作SC 垂直OB 于C ，则∠CSB ＝30°，∠ASB ＝60°．又SA 3Rt △SAB 中，可求得BA ＝3，即摄影者到立柱的水平距离为3米．由SC ＝3，∠CSO ＝30°，在Rt △SCO 中，可求得OC 3BC ＝SA 3OB ＝33（2）连结SM ，SN ，设b SM a SN ==,，在△SON 和△SOM 中，2222(23)1(23)122312231b a +-+-=⋅⋅⋅⋅，得a2＋b2＝26．cos∠MSN＝22222211221112132a bab ab a b+-=≥=>+，又∠MSN∈（0，π），则∠MSN＜3π．故摄影者可以将彩杆全部摄入画面．【用到方法】利用解三角形知识处理实际应用问题，理解俯角、仰角和视角等基本概念. 6．【2015届江苏省通州五校高三12月联考】已知函数()()=23sin cos sin2344f x x x xπππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求()f x的最小正周期；（2）若将()f x的图像向左平移4π个单位，得到函数()g x的图像，求函数()g x在区间[0,]2π上的最大值和最小值．【用到方法】利用三角恒等变换求出相应的三角函数，结合整体思想和数形结合思想进行求解.2.数列解答题（6道）1．【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试】已知数列{}n a的前n项和为n S，向量()1,1,21,2nna S b⎛⎫==-⎪⎝⎭r r满足条件a br rP.⑴求数列{}n a的通项公式；⑵设函数()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭，数列{}n b满足条件()()1111,1nnb f bf b+==--.①求数列{}n b的通项公式；②设nn nb c a =，求数列n c 的前n 项和n T . 【解析】⑴11,21,222n n n na b S S +∴=-=-r r Q P ，当2n ≥时，12n n n n a S S -=-=；当1n =时，112a S ==满足上式，2nn a ∴=，⑵①()()()111,21x n n f x f b f b +⎛⎫== ⎪--⎝⎭Q ，1111111122212n n n nbb b b ++--+⎛⎫∴=∴= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭，1111n n n n b b b b ++∴=+∴-=又{}11n b b =∴Q 是以1为首项，1为公差的等差数列，n b n ∴=，②121121,22222n n n n n n n b n n n c T a --===++++K 两边同乘12，得231112122222n n n n n T +-=++++K ，两式相减得：211111*********n n n n n n T +++=++-=-K ，()222n n n T n N ++∴=-∈．【用到方法】求数列的通项公式，错位相减法求和的运用．2．【江西省南昌市第二中学2016届高三上学期第四次考试】已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且2*1(),()2n n n S n N +∈=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a c ，数列{}n c 的前n 项和n T ，求使4137<n T 成立的n 的最大值．【用到方法】归纳、猜想、证明在数列中的运用，数学归纳法在数列证明的应用． 3．【江西省南昌市二中2016届高三第四次考试】已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且41183-=++a a a ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（Ⅱ）从数列{}n a 的前五项中抽取三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．【用到方法】等差、等比数列的定义的理解，常见数列的求和的应用．4．【湖南省衡阳市第八中学2016届高三上学期第三次月考】已知数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2)1(4+=n n a S ．(1)求}{n a 的通项公式； (2)设11+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和为n T ．【解析】（1）因为n n S a 4)1(2=+，所以()412+=n n a S ，()41211+=++n n a S ．所以==-++11n n n a S S ()()41-1221+++n n a a ，即=+14n a n n n n a a a a221212-+-++， ∴))(()(2111n n n n n n a a a a a a -+=++++．因为01≠++n n a a ，所以21=-+n n a a ，即{}n a 为公差等于2的等差数列．由1214)1(a a =+，解得11=a ，所以12-=n a n（2）由（1）知=n b ()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，∴n n b b b T +++=Λ21＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+++12112151-3131-121n n Λ＝111-221n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭【用到方法】由数列前n 项和求数列通项，数列求和．5．【2015届江苏省通州五校高三12月第一次联考】若数列{}n a 的各项均为正数，*212,n n n n N a a a t ++∀∈=+，t 为常数，且3242a a a =+.（1）求132a a a +的值；（2）证明：数列{}n a 为等差数列；（3）若11a t ==，对任意给定的k ∈N *，是否存在p ，r ∈N *(k<p<r)使1k a ，1p a ，1r a 成等差数列？若存在，用k 分别表示一组p 和r ；若不存在，请说明理由．（3）由（2）知，数列{}n a 为等差数列，设公差为d ，则由条件2121n n n a a a a ++=-，得21111()()n n n a a d a d a +++--+=211d a ∴==，又数列{}n a 的各项为正数，0d ∴>，1d ∴=，n a n ∴=. 当k ＝1时，若存在p ，r 使1k a ，1p a ，1r a 成等差数列，则12210p r p p -=-=≤，与10r >矛盾．因此，当k ＝1时，不存在．当k≥2时，则112k r p +=所以2kpr k p=-，令p ＝2k －1得r ＝kp ＝k(2k －1)，满足k<p<r ．综上所述，当k ＝1时，不存在p ，r ；当k≥2时，存在一组p ＝2k －1，r ＝k(2k －1)满足题意．【用到方法】等差、等比数列的证明，存在性问题在数列中的应用．6．【2015届广东省揭阳市一中高三期中考试】已知向量m n //u u r r，其中31m (,1)1x c =-+-u u r ，n (1,)y =-r(,,)x y c R ∈，把其中,x y 所满足的关系式记为()y f x =，且函数()f x 为奇函数．（1）求函数()f x 的表达式；（2）已知数列{}n a 的各项都是正数，nS为数列{}n a 的前n 项和，且对于任意*n N∈，都有“数列{}()n f a 的前n 项和”等于2n S ，求数列{}n a 的首项1a 和通项公式n a ；（3）若数列{}n b 满足1*42(,)n a n nb a a R n N +=-⋅∈∈，求数列{}n b 的最小值．（Ⅲ）*n a n n N =∈Q （），()()212422n n nn b a aa n N +*∴=-⋅=--∈，令22n t t =≥（），∴222n b t a a t -=-≥（）（），（1）当2a ≤时，数列{b }n 的最小值为当n=1时，144b a =﹣．（2）当a ＞2时，①若1*2k a k N +=∈（）时，数列{b }n 的最小值为当n=k+1时，21k b a +=﹣．②若1*22,2k k k a N ++∈=（）时，数列{b }n 的最小值为当n=k 或n=k+1时，2212kk k b b a a +-==-（）．③若 12222k k ka ++<< *k N ∈（）时，数列{b }n 的最小值为当n=k 时，222kk b a a =（﹣）﹣，④若112222k k k a +++<<时，数列{b n }的最小值为，当n=k+1时，12212k k b a a ++-=-（）．【用到方法】数列与向量和函数的综合应用，分类讨论数学思想的应用． 3.概率统计解答题（6道）1．【湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学2016届高三四校联考】2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段)90,80[，)100,90[，)110,100[，)130,120[，)140,130[后得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这40个学生数学成绩的众数和中位数的估计值；（2）若从数学成绩)100,80[内的学生中任意抽取2人，求成绩在)90,80[中至少有一人的概率.【用到方法】用列举法解决古典概型问题．2．【炎德·英才大联考湖南师大附中2016届高三月考试卷(四）】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85．（1）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的概率．【用到方法】用列举法解决古典概型问题．3．【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试】某车间将10名技工平均分为甲，乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：（1）分别求出甲，乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组技工的技术水平；（2）质检部门从该车间甲，乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率.【解析】⑴依题中的数据可得：()()114579107,56789755x x =++++==+++++=甲乙()()()()()222222147577797107 5.25s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲()()()()()222222221576777879725s x x s s ⎡⎤=-+-+-+-+-==>⎣⎦Q 乙甲乙甲乙， ∴两组技工的总体水平相同，甲组中技工的奇数水平差异比乙组大.【用到方法】用列举法解决古典概型问题．4．【湖南省长沙市雅礼中学2016届高三月考试卷（三）】某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X1 2 3 4 5频率a 0.20.45b c（1）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；（2）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为123,,X X X ，等级系数为5的2件日用品记为12,Y Y ，现从123,,X X X ，12,Y Y 这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.【解析】(1)由频率分布表得0.20.451,0.35a b c a b c ++++=++=，因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以30.1520b ==，等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==，从而0.350.1a b c =--=，所以0.1,0.15,0.1a b c ===. (2)从日用品123,,X X X ，12,Y Y ，中任取两件，所有可能结果()()()121311,,,,,X X X X X Y ，()()()()()()()12232122313212,,,,,,,,,,,,,X Y X X X Y X Y X Y X Y Y Y 有10种，设事件A 表示“从日用品123,,X X X ，12,Y Y 中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为()()1213,,,X X X X ，()()2312,,,X X Y Y 共4个，故所求的概率()40.410P A ==.【用到方法】用列举法解决古典概型问题．5．【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示：是否需要帮助性别男女合计需要50 25 75不需要200 225 425合计250 250 500（1）请根据上表的数据，估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；] （2）能否在出错的概率不超过1%的前提下，认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？并说明理由；（3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？并说明理由．附：独立性检验卡方统计量22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++为样本容量，独立性检验临界值表为：2()P K k≥0.15 0.10 0.05 0．025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【用到方法】独立性检验，统计初步．6．【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】某市举行了“高速公路免费政策”满意度测评，共有1万人参加了这次测评（满分100分，得分全为整数）．为了解本次测评分数情况，从中随机抽取了部分人的测评分数进行统计，整理见下表：组别分组频数频率 1 [)50,60 60 0.12 2 [)60,70 120 0.24 3 [)70,80180 0.36 4 [)80,90 130 c 5 [)90,100a 0.02 合计b1.00（1）求出表中c b a ,,的值；（2）若分数在（含60分）的人对“高速公路免费政策”表示满意，现从全市参加了这次满意度测评的人中随机抽取一人，求此人满意的概率；（3）请你估计全市的平均分数．【用到方法】求独立事件的概率，互斥事件的概率． 4.立体几何解答题（6道）1．【2015高考福建】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若2BC =E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．DOAPBCE（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =o ，所以22112PB =+=．同理C 2P =，所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C ''P =B ，所以C 'O 垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而2626C C +''O =OE +E =+=，亦即C E +OE 的最小值为26+．ABP解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =o，所以45∠OPB =o，22112PB =+=．同理C 2P =．所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =o．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：()2C 12212cos 4560'O =+-⨯⨯⨯+o o 212312222222⎛⎫=+-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎭23=+．从而26C 232+'O =+=．所以C E +OE 的最小值为262+．【用到方法】空间垂直关系的转化，平面展开法.2．【2015高考湖南，文18】如图4，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，,E F 分别是1,BC CC 的中点。

浙江宁波市2016年高考二模考试高三数学(文科)试卷.doc

浙江宁波市2016年高考二模考试高三数学(文科)试卷宁波市2016年高考模拟考试高三数学（文科）试卷第I 卷（选择题部分共40分）一．选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.1. 已知集合A={-1,0,1,2}，B={1，x ，x 2-x}，B ⊆A ，则x=（）A. 1B. 0C. 2D. -12. 已知a ∈R ，则a 2＞3a 是a ＞3的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 下列命题中，正确的是（）A. 若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线B. 若a ，b 是两条直线，且a ∥b ，则直线a 平行于经过直线b 的平面C. 若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D. 若直线a ∥平面α，点P ∈α，则在平面α内过点P 且与直线a 平行的直线有且仅有一条4. 已知等比数列{a n }满足)1(4a a 41a 5422-=⋅=a ，，则=++++87654a a a a a→→→+=AC AB AP 52103，则=∆∆ABC APDS S （）A.103 B. 209 C. 356D. 359第II 卷（非选择题部分共110分）二．填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 下面几个数中：①4.03 ② 15tan 115tan 1-+ ③ 8log ·3log 92 ④ 2.05- ⑤ 31)3(-，最大的是____________，最小的是____________.（请填写对应数的序号）10. 已知双曲线)0(1222>=-b b y x 的离心率为5，则=b ____________，若以)1,2(为圆心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径=r ______________.11. 已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≤-2212x y y x y x ，且目标函数y mx z +=.（I ）若z 的最小值为0，则=m _____________；（II ）若z 仅在点)1,1(处取得最小值，则m 的取值范围为_______________.12. 如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为________（单位：2cm ）. 13. 已知点P 在边长为2的正方形ABCD 边界上运动，点M 在以P 为圆心，1为半径的圆上运动，则→→MC MA · 的最大值为_____________.14. 已知函数),()(2R b a b ax x x f ∈++=，对于任意实数a ，总存在实数m ，当]1,[+∈m m x 时，有0)(≤x f恒成立，则b 的取值范围为________________.15. 已知0,0>>b a ，且12122=+++ba a ，则b a +的最小值是___________，此时=a _____________.三．解答题：本大题共5小题，共74分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本题满分14分）已知函数)0)((sin)cos()sin(2)(2>+=ωωωωx m x x x f 关于点)1,12(π对称. （I ）求m 的值及)(x f 的最小值；（II ）在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，最大内角A 的值为)(x f 的最小正周期，若2=b ，ABC ∆面积的取值范围为]3,23[，求角A 的值及a 的取值范围.17. （本题满分15分）已知数列{}n a 满足)1(1,21111>+==--n a a a a n n n . （I ）求证：数列}1{n a 为等差数列，并求出数列{}na 的通项公式；（II ）已知数列{}n b 满足,2,121==b b 且)2(...1232211>++++=--n b a b a b a b b n n n ，判断2016是否为数列{}n b 中的项？若是，求出相应的项数n ；若不是，请说明理由.18. （本题满分15分）已知直角梯形ABCD 中，CD AB ∥，E CD AB AD A ,42,1,2====∠π为AB 中点，沿线段DE 将ADE ∆折起到DE A 1∆，使得点1A 在平面EBCD上的射影H 在直线CD 上.（I ）求证：平面⊥EC A 1平面DC A 1；（II ）求直线B A 1与平面EBCD 所成角的正弦值.19 （本题满分15分）在“2016”的logo 设计中，有这样一个图案：16 其由线段l 、抛物线弧E 及圆C三部分组成。

2016届第2次大练习文科

n
项和为
Sn
，
S2 S4
1 ，则 S4
3
S8
等于
（
）
3
1
1
1
A.
B.
C.
D.
10
8
9
3
4.
设
f
(
x)
是定义在
R
上的周期为
3
的函数，当
x
[2,1)
时，
f
(x)
4x2
2
x
2 x 0
，则
f
(5)
（
0 x 1
2
）
1
A.0
B.1
C.
D.-1
2
5.命题
p : 若1
y
x, 0
a
1 ，则
1
ax
1
ay
，命题
q :若1
1 10
B.函数 y sin 2x cos 2x 的最小正周期为π
C.函数 y cos 2(x ) 的一个对称中心为 ( , 0)
3
3
D.角的终边经过点 (cos(3),sin(3)) ，则角是第三象限角
8.一个样本容量为 10 的样本数据，它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an}，若 a3 8 ，且 a1, a3, a7 成等比
y
x, 0
a
1 ，则
xa
ya
.在命题①
p
且
q
② p 或 q ③非 p ④非 q 中，真命题是（）
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
6.如右图所示的程序框图中，输入 N=5，则该程序运行后输出的值是（）

【7个专题19份】2016高考数学文科(通用)二轮专题复习仿真练

【7个专题19份】2016高考数学文科（通用）二轮专题复习仿真练目录专题一 (2)第1讲函数图象与性质及函数与方程 (2)第2讲不等式及线性规划 (5)第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题 (10)第4讲函数图象的切线及交点个数问题 (14)第5讲导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题 (17)专题二 (22)第1讲三角函数的图象与性质 (22)第2讲三角恒等变换与解三角形 (27)第3讲平面向量 (31)专题三 (35)第1讲等差数列、等比数列 (35)第2讲数列的通项与求和问题 (39)专题四 (44)第1讲空间几何体中的计算问题 (44)第2讲空间中的平行与垂直的证明问题 (49)专题五 (55)第1讲直线与圆、圆锥曲线的概念与性质 (55)第2讲直线与圆锥曲线的位置关系 (59)第3讲圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题 (65)专题六 (70)第1讲概率 (70)第2讲统计与统计案例 (74)专题七 (79)第1讲函数与方程思想、数形结合思想 (79)第2讲分类讨论思想、转化与化归思想 (83)专题一第1讲函数图象与性质及函数与方程一、选择题1.(2015·石家庄模拟)函数f (x )＝1－3xx －1的定义域为( )A.(－∞，0]B.[0，1)∪[1，＋∞)C.[1，＋∞)D.(1，＋∞)【详细分析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，x ≠1，解得x ≤0且x ≠1.答案 A2.函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C.(1，2) D.(2，3) 【详细分析】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数. f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－11＝0－1＜0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1，2)内.答案 C3.(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A.y ＝ln x B.y ＝x 2＋1 C.y ＝sin x D.y ＝cos x【详细分析】对数函数y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1为偶函数但没有零点；y ＝sin x 是奇函数；y ＝cos x 是偶函数且有零点，故选D. 答案 D4.(2015·山东卷)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞) 【详细分析】∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a，整理得(1－a )(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，化简得(2x －2)(2x －1)＜0，∴1＜2x ＜2，∴0＜x ＜1.答案 C5.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A.2B.3C.4D.5【详细分析】函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数f (x )与g (x )图象的交点个数，记h (x )＝－f (2－x )，在同一坐标系中作出函数f (x )与h (x )的图象，如图，g (x )的图象为h (x )的图象向上平移3个单位，可知f (x )与g (x )的图象有两个交点，故选A. 答案 A 二、填空题6.(2015·浙江卷)计算：log 222＝________，2log23＋log43＝________. 【详细分析】log 222＝log 22－12＝－12， 2log23＋log43＝2log23＋12log23＝2log2332＝3 3.答案－123 37.(2015·长沙模拟)已知奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x ，则f ⎝⎛⎭⎫72的值为________.【详细分析】由f (x ＋2)＝－f (x )知f (x )的周期为4，又f (－x )＝－f (x )，∴f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫72－4＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－ 2. 答案－ 28.(2015·武汉模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________.【详细分析】当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0＜2x ≤20＝1，所以0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0，1] 三、解答题9.定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R ).(1)写出f (x )在[0，1]上的解析式； (2)求f (x )在[0，1]上的最大值.解 (1)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，∴f (0)＝0，∴a ＝1，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －12x .设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]， ∴f (－x )＝14x －12x ＝4x －2x ，∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x －4x . ∴f (x )在[0，1]上的解析式为f (x )＝2x －4x . (2)f (x )＝2x －4x ，x ∈[0，1]，令t ＝2x ，t ∈[1，2]， g (t )＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14. ∴g (t )在[1，2]上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝0，即x ＝0，f (x )max ＝0.10.(2015·太原模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2，4]上单调，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a ＞0时，f (x )在[2，3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝5，f （2）＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. ②当a ＜0时，f (x )在[2，3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f （3）＝2，f （2）＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. (2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2， g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2. 若g (x )在[2，4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4，∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26.故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞). 11.已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0).(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.解 (1)∵x ＞0，∴g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根. 故m ∈[2e ，＋∞).(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象.∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞).第2讲不等式及线性规划一、选择题1.已知x ＞－1，则函数y ＝x ＋1x ＋1的最小值为( ) A.－1B.0C.1D.2【详细分析】∵x ＞－1，∴x ＋1＞0. ∴y ＝x ＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，≥2（x ＋1）·1x ＋1－1＝1，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时取等号. 答案 C2.(2015·成都模拟)若点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y4＝1上，则mn 的最大值是( )A.3B.4C.7D.12【详细分析】因为点A (m ，n )在第一象限，且在直线x 3＋y 4＝1上，所以m ，n ∈R ＋，且m3＋n 4＝1，所以m 3·n4≤(m 3＋n42 )2 ⎝⎛⎭⎫当且仅当m 3＝n 4＝12，即m ＝32，n ＝2时，取“＝”，所以m 3·n 4≤⎝⎛⎭⎫122＝14，即mn ≤3，所以mn 的最大值为3. 答案 A3.(2015·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为( ) A.7B.8C.9D.14【详细分析】作出约束条件对应的可行域，如图中阴影部分，作直线l ：3x ＋y ＝0，平移直线l 可知，经过点A 时，z ＝3x ＋y取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，x ＋2y －8＝0，得A (2，3)，故z max ＝3×2＋3＝9.选C. 答案 C4.已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为( ) A.1B.2C.3D.4【详细分析】∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号). 又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xyx ＋y ，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋（x ＋2y ）x ＋y＝2， ∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max＝2.∴λ的最小值为2.答案 B5.(2015·四川卷)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A.252B.492C.12D.16【详细分析】xy ＝12×2xy ≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22≤12⎝⎛⎭⎫1022＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时，等号成立，把x ＝52，y ＝5代入约束条件，满足.故xy 的最大值为252.答案 A 二、填空题6.(2015·江苏卷)不等式22x x-＜4的解集为________.【详细分析】不等式22x x-＜4⇔x 2－x ＜2⇔－1＜x ＜2，故原不等式的解集为(－1，2).答案 (－1，2)7.(2015·北京卷)如图，△ABC 及其内部的点组成的集合记为D ，P (x ，y )为D 中任意一点，则z ＝2x ＋3y 的最大值为________.【详细分析】z ＝2x ＋3y ，化为y ＝－23x ＋13z ，当直线y ＝－23x ＋z3在点A (2，1)处时，z 取最大值，z ＝2×2＋3＝7.答案 78.(2015·重庆卷)设a ，b ＞0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________.【详细分析】∵a ，b ＞0，a ＋b ＝5，∴(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1b ＋3≤a ＋b ＋4＋(a ＋1)2＋(b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋a ＋b ＋4＝18，当且仅当a ＝72，b ＝32时，等号成立，则a ＋1＋b ＋3≤32，即a ＋1＋b ＋3最大值为3 2. 答案 3 2 三、解答题9.已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3，或x ＞－2}，求k 的值； (2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围. 解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0. 由已知{x |x ＜－3，或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号.由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 10.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号.所以炮的最大射程为10千米.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标.11.已知函数f (x )＝13ax 3－bx 2＋(2－b )x ＋1在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，且0＜x 1＜1＜x 2＜2. (1)证明：a ＞0；(2)若z ＝a ＋2b ，求z 的取值范围.(1)证明求函数f (x )的导数f ′(x )＝ax 2－2bx ＋2－b . 由函数f (x )在x ＝x 1处取得极大值，在x ＝x 2处取得极小值，知x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2).当x ＜x 1时，f (x )为增函数，f ′(x )＞0，由x －x 1＜0，x －x 2＜0得a ＞0.(2)解在题设下，0＜x 1＜1＜x 2＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧f ′（0）＞0，f ′（1）＜0，f ′（2）＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －2b ＋2－b ＜0，4a －4b ＋2－b ＞0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＞0，a －3b ＋2＜0，4a －5b ＋2＞0.此不等式组表示的区域为平面aOb 上的三条直线：2－b ＝0，a －3b ＋2＝0，4a －5b ＋2＝0所围成的△ABC 的内部，其三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫47，67，B (2，2)，C (4，2). z 在这三点的值依次为167，6，8.所以z 的取值范围为⎝⎛⎭⎫167，8.第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题一、选择题1.函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A.(－1，1]B.(0，1]C.[1，＋∞)D.(0，＋∞)【详细分析】由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1x ≤0，解得0＜x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1]. 答案 B2.(2015·昆明模拟)已知函数f (x )＝12mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是( ) A.[－1，1] B.[－1，＋∞) C.[1，＋∞)D.(－∞，1]【详细分析】f ′(x )＝mx ＋1x －2≥0对一切x ＞0恒成立，∴m ≥－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x .令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ，则当1x ＝1，即x ＝1时，函数g (x )取最大值1.故m ≥1. 答案 C3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2]B.(－∞，－1]C.[2，＋∞)D.[1，＋∞)【详细分析】f ′(x )＝k －1x ，由题意知f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0＜1x ＜1，所以k ≥1.故选D.答案 D4.(2015·临沂模拟)函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是( ) A.[0，1)B.(－1，1)C.⎝⎛⎭⎫0，12D.(0，1)【详细分析】f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a ).当a ≤0时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，1)内单调递增，无最小值. 当a ＞0时，f ′(x )＝3(x －a )(x ＋a ).当x ∈(－∞，－a )和(a ，＋∞)时，f (x )单调递增；当x ∈(－a ，a )时，f (x )单调递减，所以当a ＜1，即0＜a ＜1时，f (x )在(0，1)内有最小值. 答案 D5.已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋3x ＋1有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(3，＋∞)B.(－∞，－3)C.(－3，3)D.(－∞，－3)∪(3，＋∞)【详细分析】f ′(x )＝x 2＋2ax ＋3.由题意知方程f ′(x )＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a 2－12＞0，解得a ＞3或a ＜－ 3. 答案 D 二、填空题6.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________.【详细分析】f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)，由f ′(1)＝3得，a (ln 1＋1)＝3，解得a ＝3. 答案 37.若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1在R 上单调递增，则a 的取值范围是________. 【详细分析】f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2). 由题意知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以Δ＝36a 2－4×3×3(a ＋2)≤0，解得－1≤a ≤2. 答案 [－1，2]8.(2015·衡水中学期末)若函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________.【详细分析】对f (x )求导，得f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－x 2＋4x －3x ＝－（x －1）（x －3）x.由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，所以t ＜1＜t ＋1或t ＜3＜t ＋1，解得0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案 (0，1)∪(2，3) 三、解答题9.(2015·安徽卷)已知函数f (x )＝ax（x ＋r ）2(a >0，r >0).(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若ar＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值.解 (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞). f (x )＝ax （x ＋r ）2＝axx 2＋2rx ＋r 2， f ′(x )＝a （x 2＋2rx ＋r 2）－ax （2x ＋2r ）（x 2＋2rx ＋r 2）2＝a （r －x ）（x ＋r ）（x ＋r ）4.所以当x <－r 或x >r 时，f ′(x )<0，当－r <x <r 时，f ′(x )>0.因此，f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞)；f (x )的单调递增区间为(－r ，r ). (2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减. 因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar （2r ）2＝a 4r ＝4004＝100. 10.已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax.由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3.(2)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x ，得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax .由函数g (x )为[1，2]上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1，2]上恒成立，即－2x 2＋2x ＋2ax ≤0在[1，2]上恒成立，即a ≤1x －x 2在[1，2]上恒成立.令h (x )＝1x－x 2，在[1，2]上h ′(x )＝－1x2－2x ＝－⎝⎛⎭⎫1x 2＋2x ＜0，所以h (x )在[1，2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72.所以a ≤－72.11.(2015·合肥模拟)已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)已知函数g (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)，讨论函数g (x )的单调性.解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，得a ≤32⎝⎛⎭⎫x －1x . 记t (x )＝32⎝⎛⎭⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，所以t (x )min ＝32(1－1)＝0.所以a ≤0. (2)g ′(x )＝x （kx ＋k －1）1＋x，x ∈(－1，＋∞).当k ＝0时，g ′(x )＝－x 1＋x，所以在区间(－1，0)上，g ′(x )＞0；在区间(0，＋∞)上，g ′(x )＜0.故g (x )的单调递增区间是(－1，0]，单调递减区间是[0，＋∞). 当0＜k ＜1时，由g ′(x )＝x （kx ＋k －1）1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk ＞0，所以在区间(－1，0)和⎝⎛⎭⎫1－k k ，＋∞上，g ′(x )＞0；在区间⎝⎛⎭⎫0，1－k k 上，g ′(x )＜0.故g (x )的单调递增区间是(－1，0]和⎣⎡⎭⎫1－k k ，＋∞，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤0，1－k k . 当k ＝1时，g ′(x )＝x 21＋x＞0，故g (x )的单调递增区间是(－1，＋∞). 当k ＞1时，g ′(x )＝x （kx ＋k －1）1＋x＝0，得x 1＝1－kk ∈(－1，0)，x 2＝0，所以在区间⎝⎛⎭⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)上，g ′(x )＞0，在区间⎝⎛⎭⎫1－k k ，0上，g ′(x )＜0. 故g (x )的单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－1，1－k k 和[0，＋∞)，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤1－k k ，0.第4讲函数图象的切线及交点个数问题一、选择题1.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A.y ＝2x ＋1B.y ＝2x －1C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x －2【详细分析】易知点(－1，－1)在曲线上，且y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝21＝2. 由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案 A2.(2015·武汉模拟)若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b 的值为( ) A.－1B.0C.1D.2【详细分析】∵f ′(x )＝－a sin x ，∴f ′(0)＝0. 又g ′(x )＝2x ＋b ，∴g ′(0)＝b ，∴b ＝0. 又g (0)＝1＝m ，∴f (0)＝a ＝m ＝1，∴a ＋b ＝1. 答案 C3.(2015·邯郸模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值为( ) A.2B.－1C.1D.－2【详细分析】∵y ′＝3x 2＋a .∴y ′|x ＝1＝3＋a ＝k ，又3＝k ＋1，∴k ＝2，∴a ＝－1.又3＝1＋a ＋b ，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝－2＋3＝1. 答案 C4.(2015·武汉模拟)曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A.2B.－2C.12D.－12【详细分析】依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′|x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2，故选A. 答案 A5.已知e 是自然对数的底数，函数f (x )＝e x ＋x －2的零点为a ，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为b ，则下列不等式中成立的是( ) A.f (a )＜f (1)＜f (b ) B.f (a )＜f (b )＜f (1) C.f (1)＜f (a )＜f (b )D.f (b )＜f (1)＜f (a )【详细分析】由题意，知f ′(x )＝e x ＋1＞0恒成立，所以函数f (x )在R 上是单调递增的，而f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，所以函数f (x )的零点a ∈(0，1)；由题意，知g ′(x )＝1x ＋1＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上是单调递增的，又g (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，g (2)＝ln 2＋2－2＝ln 2＞0，所以函数g (x )的零点b ∈(1，2). 综上，可得0＜a ＜1＜b ＜2. 因为f (x )在R 上是增函数，所以f (a )＜f (1)＜f (b ). 答案 A 二、填空题6.(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.【详细分析】由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，此切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0，得a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 87.函数f (x )＝13x 3－x 2－3x －1的图象与x 轴的交点个数是________.【详细分析】f ′(x )＝x 2－2x －3＝(x ＋1)(x －3)，函数f (x )在(－∞，－1)和(3，＋∞)上是增函数，在(－1，3)上是减函数，由f (x )极小值＝f (3)＝－10＜0，f (x )极大值＝f (－1)＝23＞0知函数f (x )的图象与x 轴的交点个数为3. 答案 38.(2015·长沙模拟)关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是________.【详细分析】由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x ＜0时，f ′(x )＞0；当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＞0，－4－a ＜0，解得－4＜a ＜0. 答案 (－4，0)三、解答题9.已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a ). 由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1，0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2，0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎨⎧f （－2）＜0，f （－1）＞0，f （0）＜0.解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13. 10.(2015·郑州模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －2(e 为自然对数的底数，a ∈R ). (1)判断曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )的公共点个数； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，若函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点，求a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝ln x ＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝1. 又f (1)＝0，∴曲线在点(1，0)处的切线方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋ax －2，y ＝x －1⇒x 2＋(1－a )x ＋1＝0. 由Δ＝(1－a )2－4＝a 2－2a －3＝(a ＋1)(a －3)可知：当Δ＞0时，即a ＜－1或a ＞3时，有两个公共点；当Δ＝0时，即a ＝－1或a ＝3时，有一个公共点；当Δ＜0时，即－1＜a ＜3时，没有公共点. (2)y ＝f (x )－g (x )＝x 2－ax ＋2＋x ln x ，由y ＝0，得a ＝x ＋2x＋ln x .令h (x )＝x ＋2x ＋ln x ，则h ′(x )＝（x －1）（x ＋2）x 2.当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，由h ′(x )＝0，得x ＝1.所以h (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，1上单调递减，在[1，e]上单调递增，因此h (x )min ＝h (1)＝3.由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋2e －1，h (e)＝e ＋2e ＋1，比较可知h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)，所以，结合函数图象可得，当3＜a ≤e ＋2e ＋1时，函数y ＝f (x )－g (x )有两个零点.11.(2015·济南模拟)已知函数f (x )＝2ln x －x 2＋ax (a ∈R ). (1)当a ＝2时，求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若函数g (x )＝f (x )－ax ＋m 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝2ln x －x 2＋2x ， f ′(x )＝2x－2x ＋2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，则切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. (2)g (x )＝2ln x －x 2＋m ，则g ′(x )＝2x －2x ＝－2（x ＋1）（x －1）x .因为x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，所以当g ′(x )＝0时，x ＝1. 当1e ＜x ＜1时，g ′(x )＞0；当1＜x ＜e 时，g ′(x )＜0. 故g (x )在x ＝1处取得极大值g (1)＝m －1. 又g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2，g (e)＝m ＋2－e 2， g (e)－g ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e 2＜0，则g (e)＜g ⎝⎛⎭⎫1e ，所以g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是g (e). g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点的条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝m －1＞0，g ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0，解得1＜m ≤2＋1e2，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2. 第5讲导数与不等式的证明、存在性及恒成立问题一、选择题1.(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A.a >0，b <0，c >0，d >0 B.a >0，b <0，c <0，d >0 C.a <0，b <0，c >0，d >0 D.a >0，b >0，c >0，d <0【详细分析】由已知f (0)＝d >0，可排除D ；其导函数f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c 且f ′(0)＝c >0，可排除B ；又f ′(x )＝0有两不等实根，且x 1x 2＝c3a ＞0，所以a ＞0，故选A.答案 A2.已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3m ，x ∈[0，＋∞)，若f (x )＋5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫179，＋∞B.⎝⎛⎭⎫179，＋∞ C.(－∞，2] D.(－∞，2) 【详细分析】f ′(x )＝x 2－4x ，由f ′(x )＞0，得x ＞4或x ＜0.∴f (x )在(0，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增， ∴当x ∈[0，＋∞)时，f (x )min ＝f (4).∴要使f (x )＋5≥0恒成立，只需f (4)＋5≥0恒成立即可，代入解之得m ≥179.答案 A3.若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) B.(－2，＋∞) C.(0，＋∞) D.(－1，＋∞) 【详细分析】∵2x (x －a )＜1， ∴a ＞x －12x .令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， ∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)，故选D. 答案 D4.当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A.[－5，－3] B.⎣⎡⎦⎤－6，－98 C.[－6，－2] D.[－4，－3]【详细分析】当x ∈(0，1]时，得a ≥－3⎝⎛⎭⎫1x 3－4⎝⎛⎭⎫1x 2＋1x ，令t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)，a ≥－3t 3－4t 2＋t ，令g (t )＝－3t 3－4t 2＋t ，t ∈[1，＋∞)，则g ′(t )＝－9t 2－8t ＋1＝－(t ＋1)·(9t －1)，显然在[1，＋∞)上，g ′(t )＜0，g (t )单调递减，所以g (t )max ＝g (1)＝－6，因此a ≥－6；同理，当x ∈[－2，0)时，得a ≤－2. 由以上两种情况得－6≤a ≤－2，显然当x ＝0时也成立. 故实数a 的取值范围为[－6，－2]. 答案 C5.(2015·长沙模拟)已知f (x )是定义在(0，＋∞) 上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意的0<a <b ，则必有( )A.af (b )≤bf (a )B.bf (a )≤af (b )C.af (a )≤f (b )D.bf (b )≤f (a ) 【详细分析】因为xf ′(x )≤－f (x )，f (x )≥0，所以⎣⎡⎦⎤f （x ）x ′＝xf ′（x ）－f （x ）x 2≤－2f （x ）x 2≤0，则函数f （x ）x 在(0，＋∞)上单调递减.由于0<a <b ，则f （a ）a ≥f （b ）b ，即af (b )≤bf (a ). 答案 A 二、填空题6.(2015·合肥模拟)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________.【详细分析】若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0时，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为 a ≥3x 2－1x3.令g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减.因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0时，即x ∈[－1，0)时，同理a ≤3x 2－1x3.g (x )在区间[－1，0)上单调递增，所以g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案 47.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________.【详细分析】作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1＜0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0，解得－22＜m ＜0. 答案 ⎝⎛⎭⎫－22，08.(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对于任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________. 【详细分析】由于f ′(x )＝1＋1（x ＋1）2＞0，因此函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以x ∈[0，1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1.根据题意可知存在x ∈[1，2]，使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 能成立，令h (x )＝x 2＋52x ，则要使a ≥h (x )在x ∈[1，2]能成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x 在x ∈[1，2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.答案 ⎣⎡⎭⎫94，＋∞ 三、解答题9.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2＞0； (1)解根据题意知，f ′(x )＝a （1－x ）x(x ＞0)，当a＞0时，则当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；当a＜0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间.(2)证明当a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3，所以f(1)＝－2，由(1)知f(x)＝－ln x＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞f(1).即f(x)＞－2，所以f(x)＋2＞0.10.(2015·唐山期末)已知函数f(x)＝a e x＋x2，g(x)＝sin πx2＋bx，直线l与曲线y＝f(x)切于点(0，f(0))，且与曲线y＝g(x)切于点(1，g(1)).(1)求a，b的值和直线l的方程；(2)证明：f(x)＞g(x).(1)解f′(x)＝a e x＋2x，g′(x)＝π2cosπ2x＋b，f(0)＝a，f′(0)＝a，g(1)＝1＋b，g′(1)＝b.曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线为y＝ax＋a，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线为：y＝b(x－1)＋1＋b，即y＝bx＋1，依题意有a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1，(2)证明由(1)知f(x)＝e x＋x2，g(x)＝sin π2x＋x，设F(x)＝f(x)－(x＋1)＝e x＋x2－x－1，则F′(x)＝e x＋2x－1，当x∈(－∞，0)时，F′(x)＜F′(0)＝0，当x∈(0，＋∞)时，F′(x)＞F′(0)＝0.F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故F(x)≥F(0)＝0，设G(x)＝x＋1－g(x)＝1－sin π2x，则G(x)≥0，当且仅当x＝4k＋1(k∈Z)时等号成立，由上可知，f(x)≥x＋1≥g(x)，且两个等号不同时成立，因此f(x)＞g(x).11.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1.(1)解函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x e x －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e. 故a ＝1，b ＝2.(2)证明由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )＞1等价于x ln x ＞x e －x －2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x . 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x )＞0. 故g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x (1－x ).所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0. 故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e .综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即f (x )＞1.专题二第1讲三角函数的图象与性质一、选择题1.为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A.向右平移π4个单位B.向左平移π4个单位C.向右平移π12个单位D.向左平移π12个单位【详细分析】因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4，要得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，故选C.答案 C2.(2015·豫西名校期末)若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a ＞0)的最小正周期为2，则函数f (x )的一个零点为( )A.－π3B.23 C.⎝⎛⎭⎫23，0 D.(0，0) 【详细分析】f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π3，∵T ＝2πa ＝2，∴a ＝π. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π3，∴当x ＝23时，f (x )＝0.故选B. 答案 B3.(2015·成都期末)把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A.x ＝－π2B.x ＝－π4C.x ＝π8D.x ＝π4【详细分析】由题意知y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ，验证可知x ＝－π2是所得图象的一条对称轴. 答案 A4.(2015·唐山期末)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A.3B.2C.6D.5【详细分析】∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0. ∴当x ＝π6＋π22＝π3时，f (x )＝0.∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ， ∴ω＝3k －1，k ∈Z ，排除A 、C ；又f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，把ω＝2，ω＝5代入验证，可知ω＝2. 答案 B5.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22等于( ) A.12 B.22 C.32D.1 【详细分析】由图象可知，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，得到f (x )的一条对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12，所以x 1＋x 2＝2×π12＝π6，观察图象可知f ⎝⎛⎭⎫π12＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝1.答案 D 二、填空题6.(2015·陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.【详细分析】由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5，∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 87.(2015·湖北卷)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________. 【详细分析】f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2.令f (x )＝0，则sin 2x ＝x 2，则函数f (x )的零点个数即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2的图象的交点个数.作出函数图象知，两函数交点有2个，即函数f (x )的零点个数为2. 答案 28.(2015·天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________. 【详细分析】f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，∵函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，∴f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，∴ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，∴ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，∴ω＝π2. 答案π2三、解答题9.已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1(x ∈R )，问：该函数的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到. 解法一 y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14(2cos 2x －1)＋14＋34(2sin x cos x )＋1 ＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋54＝12⎝⎛⎫cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54.法二化简同法一y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 10.已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间. 解 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以α＝π4，从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12. (2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 11.(2015·重庆卷)已知函数f (x )＝12sin 2x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求g (x )的值域.解 (1)f (x )＝12sin 2x －3cos 2x ＝12sin 2x －32(1＋cos 2x ).＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最小值为－2＋32.(2)由条件可知，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32. 当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，有x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，从而sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的值域为⎣⎡⎦⎤12，1，那么sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－32的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 故g (x )在区间⎣⎡⎦⎤π2，π上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，2－32. 第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C.－34 D.－43 【详细分析】∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2 α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得：4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C. 答案 C2.(2015·武汉模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，则cos α等于( ) A.－210 B.7210 C.－210或7210 D.－7210【详细分析】∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＋π4∈⎝⎛⎭⎫34π，54π.∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45， ∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4 ＝－45×22＋35×22＝－210.答案 A3.(2014·新课标全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A.5B.5C.2D.1【详细分析】S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B. 答案 B4.(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，且b <c ，则b ＝( ) A. 3 B.2 2 C.2 D. 3【详细分析】由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝4或b ＝2，又b <c ，∴b ＝2. 答案 C5.已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365B.3365C.1365D.6365或3365【详细分析】依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513＜sin β，因此有α＋β＞π2(否则，若α＋β≤π2，则有0＜β＜α＋β≤π2，0＜sin β＜sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)＜sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.答案 A 二、填空题6.(2015·济宁模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝________. 【详细分析】∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0， ∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3 ＝－12cos α－32sin α＝45.答案 457.(2015·安徽卷)在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________. 【详细分析】由已知C ＝60°，由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C，∴AC ＝6sin 45°sin 60°＝6×2232＝2.答案 28.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米.【详细分析】如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.因为∠ADC ＝150°，所以∠ADB ＝30°.所以∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°. 由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD .所以400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米).在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理可得 AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AC ·CD ·cos ∠ADC＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米).故索道AC 的长为40013米. 答案 40013 三、解答题9.(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°.(1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值.解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277. 因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 10.(2015·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2. (1)求sin 2Asin 2A ＋cos 2 A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积.解 (1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13. 所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5.由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4得sin C ＝255，设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.11.(2015·四川卷)已知A 、B 、C 为△ABC 的内角，tan A ，tan B 是关于x 的方程x 2＋3px －p ＋1＝0(p ∈R )的两个实根. (1)求C 的大小；(2)若AB ＝3，AC ＝6，求p 的值.解 (1)由已知，方程x 2＋3px －p ＋1＝0的判别式 Δ＝(3p )2－4(－p ＋1)＝3p 2＋4p －4≥0，所以p ≤－2，或p ≥23，由根与系数的关系，有tan A ＋tan B ＝－3p ，tan A tan B ＝1－p ，于是1－tan A tan B ＝1－(1－p )＝p ≠0，从而tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3pp ＝－3，所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝3，所以C ＝60°. (2)由正弦定理，得sin B ＝AC sin C AB ＝6sin 60°3＝22，解得B ＝45°，或B ＝135°(舍去)，于是A ＝180°－B －C ＝75°，则tan A ＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－33＝2＋3，所以p ＝－13(tan A ＋tan B )＝－13(2＋3＋1)＝－1－ 3. 第3讲平面向量一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.2【详细分析】因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C. 答案 C2.已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A.－92 B.0 C.3 D.152【详细分析】因为2a －3b ＝(2k －3，－6)，且(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3，选C. 答案 C3.(2015·四川卷)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.6【详细分析】a ＝(2，4)，b ＝(x ，6)，∵a ∥b ，∴4x －2×6＝0，∴x ＝3. 答案 B。

【10份】2016高考数学文科(通用)二轮专题复习：小题分类补偿练

【10份】2016高考数学文科（通用）二轮专题复习：小题分类补偿练目录补偿练1集合与简易逻辑 (1)补偿练2函数与导数 (4)补偿练3不等式 (9)补偿练4三角函数与三角恒等变换 (14)补偿练5平面向量 (21)补偿练6数列 (25)补偿练7立体几何 (29)补偿练8解析几何 (34)补偿练9概率与统计 (39)补偿练10复数、程序框图、推理与证明 (44)补偿练1集合与简易逻辑(限时：30分钟)一、选择题1.已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{3，4，5}，N＝{1，2，5}，则集合{1，2}可以表示为()A.M∩NB.(∁U M)∩NC.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)【详细分析】由题意得：∁U M＝{1，2}，∁U N＝{3，4}，所以M∩N＝{5}，(∁U M)∩N＝{1，2}，M∩(∁U N)＝{3，4}，(∁U M)∩(∁U N)＝∅.答案 B2.设集合M＝{x|x2＋x－6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝()A.[1，2)B.[1，2]C.(2，3]D.[2，3]【详细分析】由集合M中不等式x2＋x－6＜0，分解因式得：(x－2)(x＋3)＜0，解得：－3＜x＜2，∴M＝(－3，2)，又N＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]，则M∩N＝[1，2).答案 A3.已知全集U＝R，A＝{x||x|＜2}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则A∩(∁U B)等于()A.{x|1≤x＜3}B.{x|－2≤x＜1}C.{x|1≤x＜2}D.{x|－2＜x≤3}【详细分析】由A中不等式解得：－2＜x＜2，即A＝{x|－2＜x＜2}，由B中不等式变形得：(x－1)(x－3)＞0，解得：x＜1或x＞3，即B＝{x|x＜1或x＞3}，∴∁U B＝{x|1≤x≤3}，则A∩(∁U B)＝{x|1≤x＜2}.答案 C4.已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆(∁R B)，那么m的值可以是()A.1B.2C.3D.4【详细分析】∵∁R B＝{x|x≥2m}，又A⊆(∁R B)，∴2m≤2，即m≤1.答案 A5.已知集合A＝{0，1，m}，B＝{x|0＜x＜2}，若A∩B＝{1，m}，则m的取值范围是()A.(0，1)B.(1，2)C.(0，1)∪(1，2)D.(0，2)【详细分析】因为由A∩B＝{1，m}可知0＜m＜2，再根据集合中元素的互异性可得m≠1，所以m的取值范围是(0，1)∪(1，2).答案 C6.命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A.∀x∈R，|x|＋x2＜0B.∀x∈R，|x|＋x2≤0C.∃x0∈R，|x0|＋x20＜0D.∃x0∈R，|x0|＋x20≥0【详细分析】∵命题∀x∈R，|x|＋x2≥0是全称命题，∴命题∀x∈R，|x|＋x2≥0的否定是：∃x0∈R，|x0|＋x20＜0.答案 C7.已知f(x)是定义在R上的函数，命题p：f(x)满足∀x∈R，f(－x)＝－f(x)，命题q：f(0)＝0，则命题p 是命题q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【详细分析】由f (x )满足∀x ∈R ，f (－x )＝－f (x )，可得函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故f (0)＝0，反之，f (0)＝0，函数不一定是奇函数，故命题p 是命题q 的充分不必要条件.答案 A8.给定命题p ：若x ∈R ，则x ＋1x≥2；命题q ：若x ≥0，则x 2≥0，则下列各命题中，假命题的是( )A.p ∨qB.(綈p )∨qC.(綈p )∧qD.(綈p )∧(綈q )【详细分析】由题意，命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以綈p 是真命题，綈q 是假命题，故D 是假命题.答案 D9.已知条件p ：x ≤1，条件q ：1x＜1，则q 是綈p 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【详细分析】∵p ：x ≤1，綈p ：x ＞1，q ：1x＜1⇒x ＜0，或x ＞1，故q 是綈p 成立的必要不充分条件.答案 B10.设a ，b 为实数，则“a ＞b ＞0是1a ＜1b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【详细分析】若a ＞b ＞0，则1a －1b ＝b －a ab ＜0，即1a ＜1b成立. 若1a ＜1b ，则1a －1b ＝b －a ab＜0，a ＞b ＞0或0＞a ＞b ，所以“a ＞b ＞0是1a ＜1b”的充分不必要条件. 答案 A11.下列四种说法中，正确的是( )A.A ＝{－1，0}的子集有3个B.“若am 2＜bm 2，则a ＜b ”的逆命题为真C.“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件D.命题“∀x ∈R ，均有x 2－3x －2≥0”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－3x －2≤0”【详细分析】C 中命题p ∨q 为真，说明p ，q 中至少一个为真即可，命题p ∧q 为真，则p ，q 必须同时为真.答案 C12.下列有关命题的说法正确的是( ).A.命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为：“若xy ＝0，则x ≠0”B.命题“∃x 0∈R ，使得2x 20－1＜0”的否定是：“∀x ∈R ，均有2x 2－1＜0”C.“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题D.命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题【详细分析】A 中的否命题是“若xy ≠0，则x ≠0”；B 中的否定是“∀x ∈R ，均有2x 2－1≥0”；C 正确；当x ＝0，y ＝2π时，D 中的逆否命题是假命题.答案 C二、填空题13.设集合A ＝{x |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则∁A B ＝________.【详细分析】因为A ＝{x |x 2－3x －4≤0}，所以解得A ＝{x |－1≤x ≤4}，又因为B ＝{x |0≤x ≤4}，则∁A B ＝[－1，0).故答案为：[－1，0).答案 [－1，0)14.设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝________.【详细分析】A ＝{x ||x －1|＜2}＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}＝{y |1≤y ≤4}，故A ∩B ＝{x |1≤x ＜3}.答案 {x |1≤x ＜3}15.如果否命题为“若x ＋y ≤0，则x ≤0或y ≤0”，则相应的原命题是________.答案若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞016.已知命题：“∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋3＜0”是假命题，则实数a 的取值范围是________.【详细分析】命题“∃x 0∈R ，ax 20＋2x 0＋3＜0”的否定为：“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3≥0”，即命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3≥0”为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. 答案 ⎣⎡⎭⎫13，＋∞补偿练2 函数与导数(限时：40分钟)一、选择题1.已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A.{x |x ＞－1} B.{x |x ＜1}C.{x |－1＜x ＜1}D.∅【详细分析】∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x 的取值范围，∴由1－x ＞0求得函数的定义域M ＝{x |x ＜1}，由1＋x ＞0，得N ＝{x |x ＞－1}，∴M ∩N ＝{x |－1＜x ＜1}.答案 C2.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x ≤0），log 2x （x ＞0），则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值是( ) A.－1 B.12C.2D.4【详细分析】f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (－1)＝2－1＝12. 答案 B3.函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( )A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)【详细分析】由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2，3)上有唯一的零点.答案 C4.f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )A.－x 3－ln(1－x )B.x 3＋ln(1－x )C.x 3－ln(1－x )D.－x 3＋ln(1－x )【详细分析】当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]，∴f (x )＝x 3－ln(1－x ).答案 C5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0）在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则常数a 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－∞，1]∪[2，＋∞)C.[1，2]D.(－∞，1)∪(2，＋∞)【详细分析】由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，＋∞），x 3＋a 2－3a ＋2，x ∈（－∞，0），且f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，则当x ≥0时，y ＝x 2显然递增；当x ＜0时，y ＝x 3＋a 2－3a ＋2的导数为y ′＝3x 2≥0，则递增；由f (x )在R 上单调递增，则02≥03＋a 2－3a ＋2，即a 2－3a ＋2≤0，解得1≤a ≤2.答案 C6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(0，＋∞)内有1 007个零点，则f (x )的零点共有( )A.1 007个B.2 013个C.2 014个D.2 015个【详细分析】因为已知f (x )是定义域为R 的奇函数，故函数的图象关于原点对称，再由函数在(0，＋∞)内有1 007个零点，可得函数在(－∞，0)内也有1 007个零点，再根据f (0)＝0，可得函数的零点个数为1 007＋1 007＋1＝2 015.答案 D7.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( ) A.1 B.45 C.－1 D.－45【详细分析】∵定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，又∵f (x )＝f (x ＋4).∴函数f (x )为周期为4的周期函数，又∵log 232＞log 220＞log 216，∴4＜log 220＜5，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝⎛⎭⎫log 254 ＝－f ⎝⎛⎭⎫－log 254＝－f ⎝⎛⎭⎫log 245，又∵x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x ＋15，∴f ⎝⎛⎭⎫log 245＝1，故f (log 220)＝－1.答案 C8.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A.3B.2C.1D.12【详细分析】令切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0，∵y ′＝12x －3x， ∴k ＝12x 0－3x 0＝－12，∴x 0＝2. 答案 B9.设函数f (x )＝x e x ，则( )A.x ＝1为f (x )的极大值点B.x ＝1为f (x )的极小值点C.x ＝－1为f (x )的极大值点D.x ＝－1为f (x )的极小值点【详细分析】f ′(x )＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，当x ＞－1时，f ′(x )＞0，函数f (x )递增，当x ＜－1时，f ′(x )＜0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，f (x )有极小值.答案 D10.已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0，1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1，2)上为增函数，则a 的值等于( )A.1B.2C.0D. 2【详细分析】∵函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0，1)上为减函数，∴a 2≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a x，依题意g ′(x )≥0在x ∈(1，2)上恒成立，得2x 2≥a 在x ∈(1，2)上恒成立，有a ≤2，∴a ＝2.答案 B11.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( )A.(－3，0)B.(－3，5)C.(0，5)D.(－∞，－3)∪(5，＋∞)【详细分析】由图可知函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.因为f (－3)＝f (5)＝1，故不等式f (x )＜1的解集为(－3，5)，故选B.答案 B12.已知定义域为R 的奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x ＞0时，f ′(x )＋f （x ）x ＞0，若a ＝12f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)，c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12 f ⎝⎛⎭⎫ln 12，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A.a ＜c ＜b B.b ＜c ＜aC.a ＜b ＜cD.c ＜a ＜b【详细分析】设h (x )＝xf (x )，∴h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，∵y ＝f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，∴h (x )是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，h ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )＞0，∴此时函数h (x )单调递增.∵a ＝12 f ⎝⎛⎭⎫12＝h ⎝⎛⎭⎫12，b ＝－2f (－2)＝2f (2)＝h (2)， c ＝⎝⎛⎭⎫ln 12 f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝h ⎝⎛⎭⎫ln 12＝h (－ln 2)＝h (ln 2)，又2＞ln 2＞12，∴b ＞c ＞a . 答案 A二、填空题13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－e x ＋1（x ≤0），x －2（x ＞0），若f (a )＝－1，则实数a 的值为________. 【详细分析】若a ≤0，则－e a ＋1＝－1，解得a ＝－1；若a ＞0，则a －2＝－1，解得a ＝1.综上所述，a ＝±1.答案 ±114.已知幂函数f (x )＝x －m 2－2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f (2)的值为________.【详细分析】因为幂函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2－2m ＋3＞0，解得－3＜m ＜1，因为m ∈Z ，所以m ＝－2或－1或0.因为幂函数f (x )为偶函数，所以－m 2－2m ＋3是偶数，当m ＝－2时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去；当m ＝－1时，－m 2－2m ＋3＝4；当m ＝0时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去.所以f (x )＝x 4，故f (2)＝24＝16.答案 1615.设a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x )，且f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为________.【详细分析】∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，∵f ′(x )是偶函数，∴3(－x )2＋2a (－x )＋(a －3)＝3x 2＋2ax ＋(a －3)，解得a ＝0，∴f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，则f (2)＝2，k ＝f ′(2)＝9，即切点为(2，2)，切线的斜率为9，∴切线方程为y －2＝9(x －2)，即9x －y －16＝0.答案 9x －y －16＝016.设边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则S 的最小值是________.【详细分析】如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)，则DE ＝AD ＝x m ，∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x (m)，又S △ADE ＝34x 2(m 2)， ∴梯形的面积为34－34x 2(m 2)， ∴S ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0＜x ＜1)， ∴S ′＝－833×（3x －1）（x －3）（1－x 2）2，令S ′＝0，得x ＝13或3(舍去)，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，S ′＜0，S 递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫13，1时，S ′＞0，S 递增.故当x ＝13时，S 的最小值是3233. 答案 3233补偿练3 不等式(限时：40分钟)一、选择题1.下列选项中正确的是( )A.若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B.若ab ＞0，a ＞b ，则1a ＜1bC.若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b dD.若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d【详细分析】若a ＞b ，取c ＝0，则ac 2＞bc 2不成立，排除A ；取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝1，则选项C 不成立，排除C ；取a ＝2，b ＝1，c ＝1，d ＝－1，则选项D 不成立，排除D.选B.答案 B2.若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π5，则( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a【详细分析】因为a ＝20.6＞20＝1，又log π1＜log π3＜log ππ，所以0＜b ＜1.c ＝log 2sin2π5＜log 21＝0，于是a ＞b ＞c . 答案 A3.下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a ＜c b (a ＞b ＞c ＞0)；③a ＋m b ＋m ＞a b(a ，b ，m ＞0且a ＜b )，恒成立的个数为( )A.3B.2C.1D.0【详细分析】当x ＜0时，①不成立；由a ＞b ＞c ＞0得1a ＜1b ，所以c a ＜c b成立，所以②恒成立；a ＋m b ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ），由于a ，b ，m ＞0且a ＜b 知a ＋m b ＋m －a b＞0恒成立，故③恒成立，所以选B.答案 B4.已知a ∈R 且a ≠0，则“1a－1＜0”是“a －1＞0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】由1a －1＝1－a a＜0⇔a (1－a )＜0⇔a (a －1)＞0⇔a ＜0或a ＞1，a －1＞0⇔a ＞1两式相对照，有a ＞1⇒a ＜0或a ＞1，反之不行.答案 B5.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1，则z ＝2x －y 的最小值为( )A.－1B.0C.1D.2【详细分析】作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，y －x ≤1，x ≤1表示的平面区域如图：平移直线y ＝2x －z 知，过点M (0，1)时，z 最小＝－1.故选A. 答案 A6.已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( ) A.{x |x ＜－1或x ＞lg 2} B.{x |－1＜x ＜lg 2} C.{x |x ＞－lg 2} D.{x |x ＜－lg 2}【详细分析】因为一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－1或x ＞12，所以可设f (x )＝a (x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12(a ＜0)，由f (10x )＞0可得(10x ＋1)·⎝⎛⎭⎫10x －12＜0，即10x ＜12，x ＜－lg 2. 答案 D7.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3 D.7＋4 3【详细分析】因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0，所以4a ＋3b ＝1(a ＞0，b ＞0)，a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3ab ≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，故选D. 答案 D8.若对任意的x ＞1，x 2＋3x －1≥a 恒成立，则a 的最大值是( )A.4B.6C.8D.10 【详细分析】a ≤x 2＋3x －1，x ∈(1，＋∞)恒成立即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋3x －1min而x 2＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋4x －1 ＝(x －1)＋4x －1＋2，∵x ＞1，∴(x －1)＋4x －1＋2≥6. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时取“＝”. ∴a ≤6. 答案 B9.设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a 等于( )A.－5B.3C.－5或3D.5或－3 【详细分析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，将a －12，a ＋12代入z ＝x ＋ay 有7＝a －12＋a ·a ＋12，得a ＝3或a ＝－5，当a ＝－5时，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥－5，x －y ≤－1表示的平面区域如图所示.z ＝x －5y ，5y ＝x －z ，y ＝15x －z5，画直线y ＝15x 向上平行移动，－z5越来越大，z 越来越小，但没有最小值，舍去，a ＝3符合题意.故选B. 答案 B10.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A.9B.8C.4D.2【详细分析】依题意得题中的圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝⎛⎭⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c ，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.答案 A11.设a ＞1，b ＞0，若a ＋b ＝2，则1a －1＋2b 的最小值为( )A.3＋2 2B.6C.4 2D.2 2【详细分析】因为a ＞1，b ＞0，a ＋b ＝2，所以a －1＞0，a －1＋b ＝1；所以1a －1＋2b ＝a －1＋b a －1＋2（a －1＋b ）b ＝3＋ba －1＋2（a －1）b ≥3＋2b a －1·2（a －1）b ＝3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a －1＝2（a －1）b ，a ＋b ＝2时，“＝”成立，故答案为A. 答案 A12.变量x 、y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －2≤0，y －x ≤2，y ≥－x －1，则目标函数z ＝kx －y 仅在点(0，2)取得最小值，则k 的取值范围是( )A.k ＜－3B.k ＞1C.－3＜k ＜1D.－1＜k ＜1【详细分析】作出不等式对应的平面区域，由z ＝kx －y 得y ＝kx －z ，要使目标函数y ＝kx －z 仅在点A (0，2)处取得最小值，则阴影部分区域在直线y ＝kx －z 的下方， ∴目标函数的斜率k 满足－3＜k ＜1，答案 C 二、填空题13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤1，e x －1，x ＞1，则不等式f (x )＞1的解集是________.【详细分析】原不等式f (x )＞1可转化为⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2＞1，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧e x －1＞1，x ＞1，解得－1＜x ＜1或x ＞1，故答案为(－1，1)∪(1，＋∞). 答案 (－1，1)∪(1，＋∞)14.若x ，y ∈R ＋，且2x ＋y ＝2，则1x ＋1y 的最小值为________.【详细分析】由2x ＋y ＝2，可得1＝2x ＋y2，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋y 2＝12⎝⎛⎭⎫3＋y x ＋2x y ≥12(3＋22)＝3＋222，当且仅当x ＝2－2，y ＝22－2时等号成立. 故1x ＋1y 的最小值为3＋222.答案3＋22215.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≤2，x ≥1，则z ＝x ＋2y 最小值为________.【详细分析】由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≤2，x ≥1作出可行域如图，化目标函数z ＝x ＋2y 为直线方程的斜截式y ＝－12x ＋12z ，由图可知，当直线过点A (1，－1)时，直线在y 轴上的截距最小，z 最小. ∴z min ＝1＋2×(－1)＝－1. 答案－116.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2x ，x ≤－1，2x ＋2，x ＞－1，则满足f (a )≥2的实数a 的取值范围是________.【详细分析】当a ≤－1时，由f (a )＝2－2a≥2，解得a ≤－12，此时，a ≤－1；当a ＞－1时，由f (a )＝2a ＋2≥2. 解得a ≥0，此时a ≥0，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞). 答案 (－∞，－1]∪[0，＋∞)补偿练4 三角函数与三角恒等变换(限时：40分钟)一、选择题1.已知sin α＋cos α＝13，则sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝( ) A.118 B.1718 C.89 D.29 【详细分析】∵sin α＋cos α＝13，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝－89，∴sin 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α2＝1－sin 2α2＝1718. 答案 B2.已知函数f (x )＝22sin x cos x ，为了得到函数g (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A.向右平移π4个单位长度B.向左平移π4个单位长度C.向右平移π8个单位长度D.向左平移π8个单位长度【详细分析】由于函数f (x )＝22sin x cos x ＝2sin 2x ，函数g (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8，故将y ＝f (x )的图象向左平移π8个单位长度，即可得到g (x )的图象. 答案 D3.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式可以为( ) A.f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B.f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 C.f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 D.f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4【详细分析】由图象可知A ＝3，T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π⇒T ＝4π⇒ω＝12. 当x ＝－π2时，sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝1⇒－π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝3π4＋2k π(k ∈Z )，∴解析式可以为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4. 答案 D4.已知函数f (x )＝2sin x (3cos x －sin x )＋1，若f (x －φ)为偶函数，则φ可以为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π6【详细分析】f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f (x －φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π6，∵f (x －φ)为偶函数，∴－2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝－k π2－π6，k ∈Z ，结合各选项可知，φ可以为π3，故选B.答案 B5.已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，则下列说法错误的是( ) A.函数f (x )的周期为π2B.函数f (x )的值域为RC.点⎝⎛⎭⎫π6，0是函数f (x )的图象一个对称中心D.f ⎝⎛⎭⎫2π5＜f ⎝⎛⎭⎫3π5 【详细分析】由题设知，A ：T ＝π2，正确；B ：y ∈R ，正确，C ：f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，正确；D ：f ⎝⎛⎭⎫2π5＝tan 7π15＞0，f ⎝⎛⎭⎫3π5＝tan 13π15＜0，tan 7π15＞tan 13π15，错误. 答案 D6.在△ABC 中内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【详细分析】由b ＝2c cos A ，根据正弦定理得sin B ＝2sin C cos A ，因为在三角形中， sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，代入上式可得：sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin C cos A ，即sin A cos C －cos A sin C ＝sin(A －C )＝0，又－π＜A －C ＜π，所以A －C ＝0，即A ＝C ，同理A ＝B ，所以△ABC 的形状为等边三角形. 答案 C7.使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数的θ值为( ) A.－π3 B.－π6 C.5π6 D.2π3【详细分析】由已知得：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3，由于函数为奇函数，故有θ＋π3＝k π，k ∈Z ，即θ＝k π－π3(k ∈Z )，可淘汰B 、C 选项，然后分别将A 和D 选项代入检验，易知当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin 2x 其在区间⎣⎡⎦⎤－π4，0上递减. 答案 D8.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知3cos A cos C ＝ac ，且a 2－c 2＝2b ，则b ＝( )A.1B.2C.3D.4 【详细分析】在△ABC 中，由3cos A cos C ＝ac得a cos C ＝3c cos A ，由余弦定理有cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3b 2＋c 2－a 22ab ，化简并整理得2(a 2－c 2)＝b 2.又由已知a 2－c 2＝2b ，∴4b ＝b 2，解得b ＝4或b ＝0(舍). 答案 D9.设ω＞0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为( )A.23B.43C.32D.3 【详细分析】∵函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，∴4π3＝n ×2πω，n ∈Z ，∴ω＝n ×32，n ∈Z ，又ω＞0，故其最小值是32.答案 C10.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示.若方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )A.π3B.23πC.43πD.π3或43π 【详细分析】要使方程f (x )＝m 在区间[0，π]上有两个不同的实数解.只需函数y ＝f (x )与函数y ＝m 的图象在区间[0，π]上有两个不同的交点，由图象知，两个交点关于直线x ＝π6或关于x ＝2π3对称，因此x 1＋x 2＝2×π6＝π3或x 1＋x 2＝2×2π3＝4π3.答案 D11.设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A.y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B.y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C.y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D.y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数【详细分析】f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π6，∵函数图象关于直线x ＝0对称，∴函数f (x )为偶函数， ∴φ＝π3，∴f (x )＝2cos 2x ，∴T ＝2π2＝π，∵0＜x ＜π2，∴0＜2x ＜π，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数. 答案 B12.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若其图象向右平移π3个单位后得到的函数为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象( ) A.关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 B.关于直线x ＝π12对称C.关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称 D.关于直线x ＝5π12对称【详细分析】由题意可得2πω＝π，解得ω＝2，故函数 f (x )＝sin(2x ＋φ)，其图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的函数为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎫x －π3＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ是奇函数，又|φ|＜π2，故φ＝－π3，故函数 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故当x ＝5π12时，函数f (x )＝sin π2＝1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3关于直线x ＝5π12对称，答案 D 二、填空题13.已知sin 2α＝2425，0＜α＜π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值等于________. 【详细分析】∵(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α ＝1＋sin 2α＝1＋2425＝4925，0＜α＜π2，∴sin α＋cos α＝75，∴2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ 2⎝⎛⎭⎫22cos α＋22sin α＝cos α＋sin α＝75.答案 7514.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若B ＝A ＋π3，b ＝2a ，则B ＝________.【详细分析】∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫B －π3＝sin B －3cos B ⇒cos B ＝0，∴B ＝π2. 答案 π215.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示.若f (α)＝1，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，则sin 2α＝________. 【详细分析】由函数图象知：A ＝3，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，则ω＝2；故f (x )＝3sin(2x＋φ)，又过⎝⎛⎭⎫π3，0，解得φ＝π3， f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，因为f (α)＝1，即3sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝13，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴2α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3， ∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π，故cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－223，则sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝1＋266. 答案1＋26616.设函数f (x )＝3sin (ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是______.(填序号) ①f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，32； ②f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数； ③f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位得到函数y ＝3sin ωx 的图象. 【详细分析】∵周期为π， ∴2πω＝π⇒ω＝2， ∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f ⎝⎛⎭⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ，则sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝1或－1， ∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴4π3＋φ∈⎝⎛⎭⎫5π6，116π， ∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确.②：令2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋3π2，k ∈Z ⇒k π＋π6＜x ＜k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6＜x ＜2π3，即f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，23π上单调递减，而在⎝⎛⎭⎫π12，π6上单调递增，错误. ③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确.④：应平移π12个单位，错误.答案 ①③补偿练5 平面向量(限时：40分钟)一、选择题1.向量a ＝(m ，1)，b ＝(n ，1)，则mn ＝1是a ∥b 的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【详细分析】若m ＝n ，则由向量的定义显然有a ＝b ，必有a ∥b ，若a ∥b ，则m ·1－n ·1＝0，得m ＝n ，不能推出mn ＝1，故选A.答案 A2.已知向量a ＝(3，4)，若|λa |＝5，则实数λ的值为( ) A.15 B.1 C.±15D.±1 【详细分析】因为a ＝(3，4)，所以|a |＝32＋42＝5，因为|λa |＝|λ|·|a |＝5，所以5|λ|＝5，解得：λ＝±1. 答案 D3.已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( ) A.－2 B.－13 C.－1 D.－23【详细分析】由题知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)，又λa ＋b 与c 共线， ∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1. 答案 C4.已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与向量a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.－17 B.17 C.－16 D.16【详细分析】λa ＋b ＝(－3λ－1，2λ)，a －2b ＝(－1，2)，由(λa ＋b )·(a －2b )＝0得(－3λ－1，2λ)·(－1，2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.答案 A5.在平面四边形ABCD 中，满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →＝0，则四边形ABCD 是( ) A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形【详细分析】因为AB →＋CD →＝0，所以AB →＝－CD →＝DC →，所以四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →－AD →)·AC →＝DB →·AC →＝0，所以四边形的对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形.答案 C6.已知a ＝(1，－2)，|b |＝25，且a ∥b ，则b ＝( ) A.(2，－4) B.(－2，4) C.(2，－4)或(－2，4) D.(4，－8) 【详细分析】设b ＝(x ，y )，由题意可得⎩⎨⎧y ＋2x ＝0，x 2＋y 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝4， ∴b ＝(2，－4)或(－2，4). 答案 C7.已知△ABC 中，平面内一点P 满足CP →＝23CA →＋13CB →，若|PB →|＝t |P A →|，则t 的值为( )A.3B.13C.2D.12【详细分析】由题意可知PB →＝CB →－CP →＝CB →－⎝⎛⎭⎫23CA →＋13CB →＝23(CB →－CA →)＝23AB →，同理可得P A →＝－13AB →，∴|PB →|＝2|P A →|，即t ＝2. 答案 C8.若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6 D.2π3【详细分析】由题意作图，设AB →＝b ，AD →＝a ，结合向量的几何意义可知∠ABD ＝∠CAB ＝π6，故向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角为2π3.答案 D9.在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E 、F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝( )A.89B.109C.259D.269【详细分析】若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →) ＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC → ＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109. 答案 B10.已知△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|＝( ) A.6 B.5 C.4 D.3【详细分析】∵AD →＝12(AB →＋AC →)，AB →·AC →＝－16，∴|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝－16，在△ABC 中，|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|·cos ∠BAC ， ∴102＝|AB →|2＋|AC →|2＋32，即|AB →|2＋|AC →|2＝68，∴|AD →|2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(68－32)＝9，∴|AD →|＝3. 答案 D11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝( ) A.14a ＋12b B.12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 【详细分析】AD →＝AO →＋OD →＝12AC →＋12BD →＝12a ＋12b ，∵E 是OD 的中点，DE EB ＝13，∴DF→＝13AB →＝13(OB →－OA →)＝13×⎣⎡⎦⎤－12BD →－⎝⎛⎭⎫－12AC →＝16AC →－16BD →＝16a －16b ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b .答案 C12.已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1t b |的最小值是( )A.2B.2 2C.4D.4 2 【详细分析】设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，则c ＝(1，1)，代入得c ＋t a ＋1t b ＝⎝⎛⎭⎫1＋t ，1＋1t ，所以|c ＋t a ＋1t b |＝（1＋t ）2＋⎝⎛⎭⎫1＋1t 2＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t＋2≥2 2.答案 B 二、填空题13.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 【详细分析】∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6， ∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝10， |a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝6，两式相减得：4a ·b ＝4，即a ·b ＝1. 答案 114.在△ABC 中，已知AB →·(BC →－BA →)＝4，AB →·BC →＝－12，则|AC →－BC →|＝________. 【详细分析】由AB →·(BC →－BA →)＝4得AB →·AC →＝4，又AB →·AC →－AB →·BC →＝|AB →|2＝16得|AB →|＝4，故|AC →－BC →|＝|AB →|＝4. 答案 415.已知向量p ＝(2，－1)，q ＝(x ，2)，且p ⊥q ，则|p ＋λq |的最小值为________.【详细分析】p ·q ＝(2，－1)·(x ，2)＝2x －2＝0，从而x ＝1，∴p ＋λq ＝(2，－1)＋λ(1，2)＝(2＋λ，2λ－1)，|p ＋λq |＝（2＋λ）2＋（2λ－1）2＝5λ2＋5≥5， ∴最小值为 5. 答案516.圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为________.【详细分析】∵AB →＋AC →＝2AO →，∴O 是BC 的中点，故△ABC 为直角三角形，在△AOC 中，有|OA →|＝|AC →|， ∴∠B ＝30°.由定义，向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝23×32＝3.答案 3补偿练6 数列(限时：40分钟)一、选择题1.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( ) A.53 B.54 C.55 D.109【详细分析】a 7＝(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(7＋6＋5＋4＋3＋2)＋1＝55. 答案 C2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若6a 3＋2a 4－3a 2＝5，则S 7＝( ) A.28 B.21 C.14 D.7【详细分析】6a 3＋2a 4－3a 2＝6(a 1＋2d )＋2(a 1＋3d )－3(a 1＋d )＝5a 1＋15d ＝5a 4， ∴a 4＝1，∴S 7＝7a 4＝7. 答案 D3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A.2B.73C.83 D.3【详细分析】∵数列{a n }是等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，则(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，令S 6＝3，S 3＝1，解得：S 9＝7， ∴S 9S 6＝73. 答案 B4.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【详细分析】由S n ＋2－S n ＝36，得：a n ＋1＋a n ＋2＝36，即a 1＋nd ＋a 1＋(n ＋1)d ＝36，又a 1＝1，d ＝2， ∴2＋2n ＋2(n ＋1)＝36. 解得n ＝8. 答案 D5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 4”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【详细分析】当a 1＜0，q ＜－1时，满足a 1＜a 2＜a 4，但此时的数列a 1，a 3，a 5，…＜0，a 2，a 4，a 6，…＞0，是摆动数列，所以a 1＜a 2＜a 4时，数列{a n }不一定是递增数列，充分性不成立；若数列{a n }是递增数列，则一定有a 1＜a 2＜a 4，必要性成立. 答案 B6.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1，2，…)，则a 3等于( ) A.15 B.10 C.9 D.5【详细分析】由a 2＝(2－λ)a 1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，∴a 3＝(2×2＋1)×3＝15. 答案 A7.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，则S n 取得最小值时，n 的值为( )A.4B.5C.6D.7【详细分析】设{a n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝2，因此等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11，令a n ＞0，解得n ＞112，故前5项和最小.答案 B8.在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，则S 7的值为( )A.125B.126C.127D.128【详细分析】设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，且a 1＝1，由－a 3，a 2，a 4成等差数列，得2a 2＝a 4－a 3，即2a 1q ＝a 1q 3－a 1q 2. 因为q ＞0.所以q 2－q －2＝0.解得q ＝－1(舍)，或q ＝2. 则S 7＝a 1（1－q 7）1－q ＝1·（1－27）1－2＝127.答案 C9.已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A.1B.2C.4D.8【详细分析】由a 4－2a 27＋3a 8＝0得：2a 27＝a 4＋3a 8＝4a 7，∴a 7＝2，∴b 7＝2，又∵b 2b 8b 11＝b 1q ·b 1q 7·b 1q 10＝b 31·q 18＝(b 7)3＝8. 答案 D10.设等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A.54B.56C.58D.57【详细分析】由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57. 答案 D11.已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线斜率为3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为( )A.2 0122 013B.2 0132 014C.2 0142 015D.2 0152 016 【详细分析】函数的导数f ′(x )＝2x ＋b ， ∵点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，∴f ′(1)＝2＋b ＝3，解得b ＝1.∴f (x )＝x 2＋x ＝x (x ＋1)， ∴1f （n ）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴S 2 014＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案 C12.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A.4B.3C.23－2D.92【详细分析】据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列可得(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据基本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2（n ＋1）×9n ＋1－2＝4，当n ＝2时取得最小值4. 答案 A 二、填空题13.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a 1d的值为________.【详细分析】∵a 1，a 3，a 7成等比数列，∴a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴4d 2＝2a 1d ，∴a 1d ＝2.答案 214.已知数列{a n }，a n ＝2n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝________.【详细分析】由题意得数列{a n }为首项是2，公比为2的等比数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为12的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n . 答案 1－12n15.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.【详细分析】由a 5＝14＝a 2·q 3＝2·q 3，解得q ＝12.数列{a n a n ＋1}仍是等比数列，其首项是a 1a 2＝8，公比为14，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n1－14＝323(1－4－n ). 答案323(1－4－n ) 16.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，a n ＝2S n －1＋3n (n ≥2)，则该数列的通项公式a n ＝________.【详细分析】∵a n ＝2S n －1＋3n ，∴a n －1＝2S n －2＋3n －1(n ≥3)，相减得：a n －a n －1＝2a n －1＋2×3n －1，即a n ＝3a n －1＋2×3n －1，∴a n 3n ＝a n －13n －1＋23(n ≥3).又a 2＝2S 1＋32＝2a 1＋32＝15，a 232＝53，a 13＋23＝53，即a 232＝a 13＋23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以1为首项，23为公差的等差数列，∴a n3n ＝1＋(n －1)×23，∴a n ＝(2n ＋1)3n －1.答案 (2n ＋1)·3n－1补偿练7 立体几何(限时：40分钟)一、选择题1.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.4【详细分析】由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，三棱锥A －BCD ，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面中，全部是直角三角形.答案 D2.已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是( ) A.若l ∥α，l ∥β，则α∥β B.若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β C.若l ∥α，α∥β，则l ∥β D.若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β 【详细分析】对于A ，若l ∥α，l ∥β，则α∥β或α与β相交，所以A 错；对于B ，若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β或l ⊂β或l 与β相交，所以B 错；对于C ，若l ∥α，α∥β，则l ∥β或l ⊂β，所以C 错；对于D ，若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β，由面面垂直的判定可知选项D 正确. 答案 D3.已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为233，则该锥体的俯视图可以是( )【详细分析】由正视图得：该锥体的高是h ＝22－12＝3，因为该锥体的体积为233，所以该锥体的底面面积是S ＝23313h ＝23333＝2.A 项的正方形的面积是2×2＝4，B 项的圆的面积是π×12＝π，C 项的三角形的面积是12×2×2＝2，D 项的三角形的面积是34×22＝ 3. 答案 C4.已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( ) A.43 cm 3 B.83 cm 3 C.2 cm 3 D.4 cm 3【详细分析】由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为2 cm ，高为2 cm 的四棱锥，如图，故V ＝13×22×2＝83 (cm 3).答案 B5.某空间几何体的三视图如图所示(其中俯视图的弧线为四分之一圆)，则该几何体的表面积为( ) A.5π＋4 B.8π＋4 C.5π＋12 D.8π＋12【详细分析】由三视图可知，该几何体是底面为14圆的柱体，S表＝2×π×224＋(π＋4)×3＝5π＋12. 答案 C6.设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分条件为( ) A.a ⊥c ，b ⊥c B.α⊥β，a ⊂α，b ⊂β C.a ⊥α，b ∥αD.a ⊥α，b ⊥α【详细分析】A中，若a⊥c，b⊥c，则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直，所以此选项错误；B中，若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b可能异面，可能平行，可能垂直，所以此选项错误：C中，若a⊥α，b∥α，则根据线与线的位置关系可得a⊥b，所以C正确；D中，若a⊥α，b⊥α，则根据线面垂直的性质定理可得a∥b.答案 C7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，①DA1与BC1平行；②DD1与BC1垂直；③BC1与AC所成角为60°.以上三个结论中，正确结论的序号是()A.①B.②C.③D.②③【详细分析】①错，应为DA1⊥BC1；②错，两直线所成角为45°；③正确，将BC1平移至AD1，由于三角形AD1C为等边三角形，故两异面直线所成角为60°，即正确结论的序号为③，故选C.答案 C8.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确的命题是()A.①②B.②③C.③④D.①④【详细分析】由面面垂直的判定定理知①正确；若m，n是平面α内两条平行直线，则②的结论不一定成立，故②错；若m，n是互相平行的两个平面内的两条异面直线，则n与α平行，故③错误；由α∩β＝m得m⊂α，m⊂β，又n∥m，n⊄α，n⊄β，所以n∥α，n∥β，故④正确.答案 D9.一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是()A.①②B.②③C.②④D.①③【详细分析】由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过。

新课标2016届高三数学(文)专题复习检测：专题三过关提升 Word版含答案

专题三数列专题过关·提升卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是数列“{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要且不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＝8，S3＝6，则a9等于() A．32 B．24C．16 D．83．已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2－10x＋9＝0的两个根，则S6等于()A．120 B．254C．364 D．1284．(2015·长春调研)已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S4＝20，S6－S2＝36，则该等差数列的公差d＝()A．－2 B．2C．－4 D．45．各项为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝5S2，a2＝2且S k ＝31，则正整数k 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．76．(2015·太原诊断)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋1＋a (n ∈N *)，则实数a 的值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．37．(2014·肇庆模拟)已知正项数列{a n }为等比数列且5a 2是a 4与3a 3的等差中项，若a 2＝2，则该数列的前5项的和为( )A.3312B ．31 C.314 D ．以上都不正确8．(2015·焦作高三统考)已知正项等比数列{a n }满足a 3·a 2n －3＝4n (n ＞1)，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n 2B ．(n ＋1)2C ．n (2n －1)D ．(n －1)2 9．(2015·衡水点睛联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ≥2，且n ∈N *)则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝3nn ＋2B ．a n ＝n ＋23nC ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝(n ＋2)·3n10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋1＝2a 6，且S 7＝S 10，则使得S n 取得最小值时，n 的值是( )A ．8B ．9C ．8或9D ．10 11．(2015·绵阳市一诊)设各项均不为0的数列{a n }满足a n ＋1＝ 2a n (n ≥1)，若a 2a 4＝2a 5，则a 3＝( ) A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．412．(2015·郑州质检)设数列{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋a n ＋1是等差数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 013＋1a 2 014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 014＋1a 2 015＝( ) A ．2 012B ．2 013C ．4 024D ．4 026第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．14．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．15．(2015·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________． 16．(2015·菏泽调研)西非埃博拉病毒导致2 500多人死亡，引起国际社会广泛关注，为防止疫情蔓延，西非各国政府在世界卫生组织、国际社会援助下全力抗击埃博拉疫情，预计某首都医院近30天内每天因治愈出院的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝3，a 2＝2，且满足a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，则该医院30天内因治愈埃博拉病毒出院的患者共有________人．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2015·大庆质检)已知公差不为0的等差数列{a n }满足S 7＝77，且a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .18．(本小题满分12分)(2015·揭阳模拟)已知等比数列{a n }满足：a n >0，a 1＝5，S n 为其前n 项和，且20S 1，S 3，7S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)(2015·山东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知2S n ＝3n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n b n ＝log 3a n ，求{b n }的前n 项和T n .20．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列；(2)在(1)的条件下证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列，并求a n .21．(本小题满分12分)(2015·安徽高考)设n ∈N ，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明T n ≥14n .22．(本小题满分12分)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝1－2S n ；将函数y ＝sin πx 在区间(0，＋∞)内的全部零点按从小到大的顺序排成数列{a n }．(1)求{b n }与{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ·b n (n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和．若a 2－2a >4T n 恒成立，试求实数a 的取值范围．专题过关·提升卷1．D [当a 1<0，q >1时，数列{a n }是递减数列．当{a n }为递增数列时，a 1<0，0<q <1或a 1>0，q >1.因此，“q >1”是{a n }为递增数列的既不充分也不必要条件．]2．C [设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，因为a 5＝8，S 3＝6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝8，3a 1＋3d ＝6，解得a 1＝0，d ＝2. 所以a 9＝a 1＋8d ＝8×2＝16.]3．C [因为a 1，a 3是方程x 2－10x ＋9＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＝10，a 1·a 3＝9，又{a n }是递增数列，所以a 1＝1，a 3＝9，所以q ＝3，S 6＝1－361－3＝364.] 4．B [由题意，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝20，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝36，作差可得8d ＝16，即d ＝2.]5．B [由S 4＝5S 2，得a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)，∴q 2(a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)，由于a 1＋a 2≠0，则q ＝2.又a 2＝a 1q ＝2a 1＝2.知a 1＝1.∴S k ＝1·（1－2k ）1－2＝31，解得k ＝5.] 6．A [由S n ＝3n ＋1＋a ，则S n －1＝3n ＋a .∴a n ＝S n －S n －1＝2·3n (n ≥2，n ∈N *)．∵a 1＝S 1＝9＋a ，又数列{a n }为等比数列，因此a 1应满足a n ＝2·3n ，即a 1＝6.所以9＋a ＝6，∴a ＝－3.]7．B [设公比为q ，由题意得10a 2＝a 4＋3a 3，则20＝2q 2＋3×2q ，q 2＋3q －10＝0，又q ＞0，∴q ＝2.又a 2＝2，∴a 1＝1，S 5＝1·（1－25）1－2＝31，故选B.] 8．A [∵a 3·a 2n －3＝4n ，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3…a 2n －1)＝log 2(a 1a 2n －1a 3a 2n －3…)＝log 2(4n )n 2＝n 2.]9．B [由a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，得3n a n ＝3n －1a n －1＋1(n ≥2)． ∴数列{3n a n }是以3为首项，公差为1的等差数列．因此3na n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，所以a n ＝n ＋23n .] 10．C [设等差数列{a n }的公差为d .由S 10＝S 7，得a 8＋a 9＋a 10＝0，知a 9＝0，又2a 6＝a 2＋a 10＝a 2＋1，得a 10＝1，∴公差d ＝a 10－a 9＝1>0，数列{a n }单调递增．所以，当n ≤8时，a n <0，当n ≥10时，a n >0，因此{a n }的前8项或前9项和最小．]11．D [由a n ＋1＝2a n (n ≥1)知数列{a n }是以2为公比的等比数列，因为a 2a 4＝2a 5，所以a 1q ·a 1q 3＝2a 1q 4⇒a 1＝2，所以a 3＝4.]12．D [因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n＋a n ＋1是等差数列，则1a 1＋a 2＋1a 3＋a 4＝2a 2＋a 3，又{a n }是首项为1，公比为q (q ≠－1)的等比数列，∴11＋q ＋1q 2＋q 3＝2·1q ＋q 2⇒q ＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为1的常数列，则a n ＝1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2 014＋1a 2 015＝4 026.] 13．5 [设数列的首项为a 1，由等差数列与中位数定义，则a 1＋2 015＝2×1 010，∴a 1＝5.]14.23 －1 [因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1， ∴2a 1＋a 1＋d ＝1即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1.]15.2011 [∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2)，将上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n .∴a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2(n ≥2)，又a 1＝1适合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)，令b n ＝1a n＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝2011.] 16．285 [由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，知，当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0；当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2. 所以数列a 1，a 3，a 5，…，a 29为常数列；a 2，a 4，a 6，…，a 30是公差为2的等差数列．又a 1＝3，a 2＝2.因此S 30＝15×3＋a 2＋a 302×15＝45＋2＋302×15＝285.]17．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 7＝7a 4＝77，得a 4＝11，∴a 1＋3d ＝11，①因为a 1，a 3，a 11成等比数列，所以a 23＝a 1a 11，整理得2d 2＝3a 1d ，又因d ≠0.所以2d ＝3a 1②联立①，②解得a 1＝2，d ＝3.所以{a n }的通项公式a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝2a n ，所以b n ＝23n －1＝12·8n ，所以数列{b n }是以4为首项，8为公比的等比数列，由等比数列前n 项和公式得，T n ＝4（1－8n ）1－8＝23n ＋2－47. 18．解 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)．∵20S 1，S 3，7S 2成等差数列，∴2S 3＝20S 1＋7S 2. 则2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝20a 1＋7(a 1＋a 1q )．化简得2q 2－5q －25＝0，解得q ＝5或q ＝－52. 由q >0.舍去q ＝－52.所以数列{a n }的通项公式a n ＝a 1q n －1＝5n .(2)由(1)知，a 2n ＋2＝52n ＋2，则log 5a 2n ＋2＝2n ＋2. 因此b n ＝log 5a 2＋log 5a 4＋…＋log 5a 2n ＋2 ＝2＋4＋…＋2(n ＋1)＝(n ＋1)(n ＋2)． ∴1b n＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n 2（n ＋2）. 19．解 (1)∵2S n ＝3n ＋3，①∴当n ＝2时，2a 1＝2S 1＝3＋3，∴a 1＝3. 当n ≥2时，2S n －1＝3n －1＋3.②则①－②得2a n ＝2S n －2S n －1＝3n －3n －1，则a n ＝3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2. (2)因为a n b n ＝log 3a n ，所以b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝31－n log 33n －1＝(n －1)·31－n .所以T 1＝b 1＝13；当n ≥2时，T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝13＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n ]，所以3T n ＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n －1)×32－n ]，两式相减，得2T n ＝23＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n )－(n －1)×31－n＝23＋1－31－n1－3－1－(n －1)×31－n ＝136－6n ＋32×3n ，所以T n ＝1312－6n ＋34×3n，经检验，n ＝1时也适合．综上可得T n ＝1312－6n ＋34×3n. 20．(1)证明由a 1＝1，及S n ＋1＝4a n ＋2，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.由S n ＋1＝4a n ＋2①知当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1，∴{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)解由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，∴数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14，a n ＝(3n －1)·2n －2.21．(1)解由y ＝x 2n ＋2＋1，得y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1. 由导数的几何意义知，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率k ＝2n ＋2.从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故数列{x n }的通项公式x n ＝n n ＋1(n ∈N *)． (2)证明由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n . 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n . 22．解 (1)由b n ＝1－2S n ，令n ＝1，则b 1＝1－2S 1＝1－2b 1，∴b 1＝13.又当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1，∴b n －b n －1＝(1－2S n )－(1－2S n －1)＝－2b n .因此3b n ＝b n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比为q ＝13的等比数列．所以b n ＝b 1q n －1＝13n .令y ＝sin πx ＝0，x ∈(0，＋∞)，得πx ＝n π(n ∈N *)，∴x ＝n (n ∈N *)，它在区间(0，＋∞)内的取值构成以1为首项，以1为公差的等差数列．于是数列{a n }的通项公式a n ＝n .(2)由(1)知，c n ＝a n ·b n ＝n 3n ，则T n ＝13＋232＋333＋…＋n 3n ①所以13T n ＝132＋233＋…＋n －13n ＋n 3n ＋1② 由①－②，得23T n ＝13＋132＋…＋13n －n 3n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＋1，于是T n ＝34－14·3n －1－n 2·3n <34，要使a 2－2a >4T n 恒成立，则a 2－2a ≥3.解之得a ≥3或a ≤－1，所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。