离散-12-2-代数运算(1)

封闭型
单位元 零元 幂等元
iff
iff iff iff
运算表中的每个元素均属于A;
运算表关于主对角线对称； 该元素对应行与表头行相同，对应列与表头列相同； 零元素对应的行和列全部元素都等于零元； 主对角线上元素与该行（列）的表头元素相同。
. -吴扬扬制12
可交换性 iff
作业：P146 1(3,5),2,5,7(1)
例1中：关于+: aR的左逆元、右逆元和逆元均为-a。
关于: aRa0, a的左逆元、右逆元和逆元均为1/a。
例2中：关于: (A)中，的左逆元、右逆元和逆元均为 。
关于: (A)中，U左逆元、右逆元和逆元均为U。
例3中：关于o: Σ *中，空串的左逆元、右逆元和逆元均为 。 例4中：关于*: A中，浅色的左逆元、右逆元和逆元均为浅色 。
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§7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(5)

定理7.1.6 设*是A上的可结合的二元运算，e是关于*的单位元， al,ar分别为a关于*的左右逆元，则al=ar且它是a关于*的唯一逆元。

幂等元：

定义：设*是A上二元运算，aA，若a*a=a,则称a是关于*的幂等元。 定义：设*是A上二元运算，aA， ① x,yA,a*x=a*yx=y,则称a关于*左可约； ② x,yA,x*a=y*ax=y,则称a关于*右可约；
P125 5
设f:X→Y,|X|≥2.证明f可逆 iff f有唯一的左(右)逆函数
需证明:(1) f可逆 iff f有唯一的左逆函数; (2) f可逆 iff f有唯一的右逆函数. 证明(1): 必要性 设f可逆, 则有f-1,满足fof-1=IY,f-1of=IX 若g:Y→X是f的左逆函数,则gof=IX ∴ g=goIy =go(fof-1)=(gof)of-1 =IXof-1 =f-1 ∴ f-1是f唯一的左逆函数 同理可证 f-1是f唯一的右逆函数 充分性 设g:Y→X是f唯一的左逆函数 ∵ gof=IX
证明： el = el * er = er 令 e=er=el, 则e是关于*的单位元， 设e’也是关于*的单位元，则 e’=e*e’=e, 所以，e是关于*的唯一单位元
. -吴扬扬制7
§7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(3)

零元： 定义：设*是A上的二元运算， ① 若zlA,使得aA, 有zl*a=zl, 则称zl为关于*的左零元. ② 若zrA,使得aA, 有a*zr=zr, 则称zr为关于*的右零元. ③ 若zA, 使得aA, 有z*a=a*z=z, 则称z为关于*的零元. 例1中: R关于+: 左零元、右零元、零元均无。 R关于: 左零元、右零位元、零元均为0。 例2中: (U)关于: 左零元、右零元、零元均为U。 (U)关于: 左零元、右零元、零元均为。 例3中:Σ *关于o: 无左零元、右零元和零元。 例4中：A关于*: 左零元、右零位元、零元均为 “深色” 例5中：N关于*: 每个元素都是右零元、无左零位元和零元。
∴ f单射
f还是满射,否则,必bY,bf(X) ∵|X|≥2 ∴ 必有aX,ag(b)
构造函数g’ :Y→X
g( y) y b g( y) yb a
则g’of=IX 但gg’ 矛盾
1
∴ f是双射的, 由定理5.3.1知,f可逆.
主要内容：

代数运算 定义 性质 特殊元
例1中： R关于+: 左单位元、右单位元、单位元均为0。 R关于: 左单位元、右单位元、单位元均为1。 例2中：(U)关于: 左单位元、右单位元、单位元均为。 (U)关于: 左单位元、右单位元、单位元均为U。 例3中：Σ *关于o: 左单位元、右单位元、单位元均为空串 。 例4中：A关于*: 左单位元、右单位元、单位元均为“浅色”。
.
-吴扬扬制-
2
§7.1 代数运算与代数系统 1. 代数运算定义
n称为运算的阶。
封闭性
性质» 单位元» 零元» 逆元» 可约» 判别
(1) 定义：设A为非空集合，nI+,f:An→A称为A上的n元运算，
例1：R上的加法+、乘法运算是R上的二元运算。 例2：幂集(U)上, 集合的补是(U)上的一元运算，交、并是二元运算。 例3：字符串的连接运算是字符串集合上的二元运算。 Σ –字母集合， 例4：设A={ 深色，浅色 } *：A2→A *是A上的二元运算。
. -吴扬扬制6
§7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(2)
例5：N上定义*：a, bN, a*b=b
零元» 可约»
N关于*的左单位元 ：每个元素都是左单位元；
右单位元 ：无； 单位元

：无
定理7.1.4 设*是A上的二元运算，el和er分别是关于*的左右单位元，
则 el=er，且它是关于*的唯一单位元。

可约元：

③ 若a关于*既左可约又右可约，则称a关于*可约；
④ 若aA 都是可约的，则称*满足消去律。 分析例1-4
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§7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(6)
例1中：关于+: aR均为左可约，右可约，也是可约的； 关于: aRa0均为左可约，右可约，也是可约的； +满足消去律。 例2中：关于：是可约的；关于：U可约。 例3中：关于o: * 均可约。 例4中：关于*: 浅色可约。 例5中：关于*: iN均左可约。

定理7.1.7 设*为A上的可结合的二元运算，aA，若a关于*可逆，
则a关于*可约。
* 此定理的逆不成立。
例6：N中的乘法运算.
. -吴扬扬制11
定理7.1.7:设*为A上的可结合的二元运算，aA， 若a关于*可逆，则a关于*可约。
证明：x,y A，如果 a*x=a*y, ∵ a关于*可逆, ∴ 有a-1,使a-1*a=a*a-1=e; ∴ a-1*(a*x)=(a-1*a)*x =e*x =x 由a*x=a*y，又有a-1*(a*x)=a-1*(a*y)=(a-1*a)*y=e*y=y ∴ x=y 故a关于*左可约。 同理可证a关于*右可约。 分析例4的运算表，如何识别运算的性质及特殊元？

*对o左可分配: a,b,cA,有a*(boc)=(a*b)o(a*c)
*对o右可分配：a,b,cA,有(aob)*c=(a*c)o(b*c).
分析例1-4
. -吴扬扬制5
§7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(1)

单位元（幺元）

定义：设*是A上的二元运算， ① 若elA, 使得aA, 有el*a=a,则称el为关于*的左单位元. ② 若erA, 使得aA, 有a*er=a,则称er为关于*的右单位元. ③ 若eA, 使得aA, 有e*a=a*e=a, 则称e为关于*的单位元.

证明：设a1,„,an∩C，
则SC, 有a1,„,anS, ∵ S关于运算o是封闭的,
∴
∴
o(a1, „, an)S,
o(a1, „, an)∩C,
. -吴扬扬制4
故∩C关于运算o也是封闭的。
§7.1 代数运算与代数系统 2. 代数运算的性质(2)
设 *, o是集合A上的二元运算

.
-吴扬扬*a
结合律：a,b,cA, 有(a*b)*c=a*(b*c)

常用an 表示a*a*„*a, 并称为a的n次幂，n为a的指数。
定理7.1.3 若*是集合A上的可结合的二元运算，则
aA，m, nI, 有am*an=am+n; (am)n=amn

分配律：*对o既是左可分配，又是右可分配；

定理7.1.5 若关于*的左右零元都存在，则他们相等，是唯一零元。
§7.1 代数运算与代数系统 3.与二元运算相关的特殊元(4)

逆元：

定义：设*是A上的二元运算，e是关于*的单位元，aA ① 若alA, 使得al*a=e, 则称al为a关于*的左逆元. ② 若arA, 使得a*ar=e, 则称ar为a关于*的右逆元. ③ 若a’A, 使得a’*a=a*a’=e, 则称a’为a关于*的逆元.
.
Σ *–由Σ 中的字母构成的字符串集合，
*
o–字符串的连接运算, o: (Σ *)2→Σ
*
深色
深色
浅色
浅色
深色 深色 深色 浅色
3
-吴扬扬制-
§7.1 代数运算与代数系统 2. 代数运算的性质(1)

封闭性

设o是A上的n元运算，SA且S，如果a1,„,anS, 均有o(a1,„,an)S,则称S关于运算o是封闭的。 定理7.1.1: 设o是A上的n元运算，C是(A)的非空子集， 若SC,S关于运算o是封闭的，则∩C关于运算o也是封闭的。