12.3.2乘法公式2两数和(或差)的平方

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两数和(差)的平方教案华东师大版数学八年级上册

两数和(差)的平方教案华东师大版数学八年级上册

12.3.2 两数和(差)的平方教学目标:1、知识与技能:使学生能正确叙述两数和(差)的平方公式,并能运用它进行计算;培养学生分析问题、解决问题的能力,以及运算能力.2、过程与方法:在公式的形成过程的教学中,培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力,以及分析、综合、抽象和概括的能力;了解“特殊一般特殊”的认识规律,体现和学习研究问题的方法;渗透由特殊到一般再由一般到特殊的思想;渗透数形结合思想.3、情感态度与价值观:通过学生自己分析得出结论,使他们感受成功的喜悦从而激发学生学习兴趣。

教学重、难点:教学重点:两数和(差)的平方公式的推导及结构特征和公式直接运用;教学难点:对具体问题会运用公式及理解公式中的字母的广泛含义。

教学方法:(1)、"探究式学习”。

在教学中,突出学生的主动性,让学生通过观察特点——分析——归纳总结——得出结论,初步掌握探究的学习方法。

(2)、在学生的主体参与互动中,培养学生能力,帮助学生结合公式结构特点,分析式子结构,运用转化思想加以解决。

(3)、利用ppt课件教学过程:(一)、温故新知1、两数和乘以这两数差的乘法公式是什么?(a+b)(ab)=a2b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.2、口述多项式乘以多项式法则。

多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加。

情景导入(童话故事)很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。

国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说:“不,我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。

国王想不通了,他说:“你们的要求不是一样的吗?”你认为他们的要求一样吗聪明的孩子们,你们能画图拼一拼么!用不同的形式表示第二个农夫田地的总面积,并进行比较,你发现了什么?我们共同发现:(a+b)2= a2+2ab+b22、交流,讨论,发现规律:(多媒体展示)两数和(差)的平方公式的文字叙述:两个数的和(或差)的平方,等于这两个数的平方和加上(或减去)它们乘积的2倍。

12.3.2 两数和(差)的平方2

12.3.2 两数和(差)的平方2

①填空:(
)2 =9a2―( )+16b2 ;
②计算:(―a+b)2和(―a―b)2 ;
③与(a+b)2及(a―b)2比较,你发现了什么律?
探索发现:(a+b)2=(―a―b)2 , (a―b)2 = (―a+b)2
解题规律:
当所给的二项式的符号相同时,就用“和”的完全平方式 当所给的二项式的符号不同时,就用“差”的完全平方式
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样 先把要计算的式子与完全平方公式对照,
明确哪个是 a , 哪个是 b.
解:(1) (2x+−3)2 = (2x )2 +2 • 2x • 3+ 32 = 4x2 + 12x + 9 ;
(2) (3m−2n)2
Hale Waihona Puke 做题时要边念边写: 首项 的平方,
加上 第一数与第二数乘 的2倍,
=(3m)2 −2•(3m) •(2n)+(2n)2加上 尾项 的平方.
=9m2 −12mn + 4n2
例2、利用两数和的平方公式 计算:
(1) (a+3b)2 (2) (2x+3y)2 (3) (-2x-y)2 (4) (a-b)2
请说出题中哪 部分相当于公 式中的 哪 部分相当于
解:
(1) (a+3b)2 = a2 2 a 3b (3b)2 a2 6ab 9b2
引入
昨天,我们数学老师布置了这样一 道题目:
(a+b)2 与(a+2b)2等于多少,而且要 用拼图来说明。我到现在还没有 结果呢,唉!今天上课又要挨批评 了, 怎么办呢?同学们,你们能帮帮 我吗?

乘法公式2两数和(或差)的平方

乘法公式2两数和(或差)的平方
三角形面积
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积,即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模,即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系,如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移,求解物体的
通过乘法公式的运用, 可以简化复杂的多项 式表达式,降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式, 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简,可以更容 易地找到方程的解,提高解题效率。
在解方程时,可以根据乘法公式的特 点,选择合适的变形方式,简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式,可 以将复杂的不等式化为简单的 形式,便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式,推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系,即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系,如$Delta p = Ft$。

12.3.2《两数和(差)的平方》

12.3.2《两数和(差)的平方》

1 / 312.3.2 两数和(差)的平方【教学目标】:1.能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点,并会用式子表示。

2.能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法。

3.通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出,使学生明白数形结合的思想。

重点:掌握公式的特点,牢记公式。

难点:具体问题具体分析,会用公式进行计算。

【教学建议】:(1)在教学中应在讨论的基础上,从代数运算的角度运用多项式乘法法则,推导出公式()2222b ab a b a ++=+。

(2)关于公式 ()2222b ab a b a ++=+的获得,要鼓励学生自己探索,鼓励学生算法的多样化,学生既要按多项式的乘法 的法则计算;也可以利用公式()2222b ab a b a ++=+来获得结果。

【评价建议】:过程性:(1)公式推导过程中关注学生 对多项式乘法法则的掌握程序;(2)公式得出后关注学生对公式的理解;(3)关注学生算法的合理性及其与同学们进行交流的积极性。

知识性:关注学生对符合完全平方式计算的多项式乘法观察的敏锐性,熟练运用完全平方公式进行简单的计算。

【教学过程】:1.知识与回顾:(1)两数和的公式是什么?(2)口述多项式乘以多项式法则。

(3)计算 (2x -1)(3x -4)、 (5x +3)(5x -3)2.设计活动,导入新课。

师:有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果来招待他们。

来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖,来三个,就给每人三块……2 / 3(1) 第一天有a 个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?〖设计说明〗从具有现实生活实际的情境设计问题,可以激发生学生学习兴趣,让学生乐于利用所学知识解决实际问题,也可以体现数学的实用性。

(2)第二天有b 个女孩一起去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(3)第三天这(a +b )个孩子一起去看老人,老人一共给了这些孩子多少块糖?(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少? 〖设计说明〗通过一系列的问题,不仅可以体现循序渐进的原则,也利于学生更有效地运用所学知识解决实际问题。

《两数和(差)的平方》(2)教学设计

《两数和(差)的平方》(2)教学设计

《两数和(差)的平方》(2)教学设计街子中学刘永智2013.9.24《两数和(差)的平方》(2)教学设计街子中学刘永智一、教材分析本课是华东师大版八年级(上)第12章第3节《两数和(差)的平方》第2课时,主要研究两数差的平方公式,并对两数和(差)的平方进行总结,通过学习能对两数和(差)的平方运算能进行顺利的计算,对公式的特点能有较为深刻的认识,也是以后学习因式分解和配方法解题的关键.二、设计思想本课对两数差的平方公式进行探索,通过先由学生自己自主探索,教师进行观察,就学生采用的方法进行分析,进一步培养学生的分析能力和自主探索的习惯,让学生主动的从事计算,交流等活动,形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.三、教学目标1、知识与技能①理解并掌握两数的和(差)平方的公式.②能正确区分在实际运算中采用了那个公式或采用了怎样的运算思路,进一步培养学生分析问题的能力.2、过程与方法①能自主探索两数差的平方公式.②通过例子与练习能正确进行计算.3、情感、态度和价值观①经历自主探索、表达交流等活动,体验数学学习需要合情推理,更需要合作交流.②让学生在自主探索的过程中加深对两数和(差)平方公式的理解,激发求知欲望.③培养逆向思维能力.四、教学重点、难点及解决方法重点:两数和(差)的平方公式.难点:两数和(差)的平方公式在解题时的运用.解决方法:对于两数差的平方公式,通过学生先自主探索,然后又师生共同进行总结的方法,形成对问题解决的思路,并在解决的过程中,对公式进行总结.然后进行应用,在应用时,可以既强调正确套用公式,又强调利用推导公式的思路,从而形成对公式本质的认识.五、教学类型研究性学习六、教具准备多媒体课件等七、教学过程:⑵说明:如果时间允许,可进行下列活动,如果时间不允许,下列活动可安排在课后完成: ⑴课本37页习题12.3第4题填空:①226__(__)a a a ++=+; ②22420__(2__)x x x -+=-; ③222()____a b a b +=-+; ④()22()____x y x y -+=+. ⑵阅读课本35页的读一读及课本37页的阅读材料. 八、作业课本37页习题12.3第2题的⑶、⑷及第3题. 九、板书设计 十、教后反思。

华师版数学八年级上册12.3.2 两数和(差)的平方2

华师版数学八年级上册12.3.2 两数和(差)的平方2

12.3.2两数和(差)的平方
【教学内容分析】
本节课通过学生合作学习,利用多项式相乘法则和图形解释而得到两数和(差)的平方公式,进而理解和运用两数和(差)的平方公式,对以后学习因式分解,解一元二次方程都具有举足轻重的作用.
【教学目标】
1、通过合作学习探索得到两数和(差)的平方公式,培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.
2、通过观察发现两数和(差)的平方公式的结构特征,并能从广义上理解公式中字母的含义.
3、初步学会运用两数和(差)的平方公式进行计算.
【教学重点、难点】
重点:理解两数和(差)的平方公式,运用公式进行计算.
难点:从广泛意义上理解公式中的字母,判断要计算的代数式是哪两个数的和(差)的平方.
【教学准备】
展示课件.
【设计说明】
本课时通过合作学习,即通过学生的合作交流,不断探究,自主地构建新知识,然后及时地巩固新知识,并用口诀、表格对知识中的重点和难点予以解决并落实.
在学生的合作学习、探究与交流中渗透了换元思想和数形结合思想,在运用公式过程中,体会从一般到特殊,再从特殊到一般的关系.。

2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式2两数和(差)的平方课件新版华东师大版

2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.3乘法公式2两数和(差)的平方课件新版华东师大版
∵a-b=10,b-c=5,∴a-c=15. ∴原式= 12(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac)= 12[(a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2]=175.
19.【2021·广水期末】[知识生成] 通常,用两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一
个恒等式. 例如:如图①是一个长为2a,宽为2b的长方形,沿图中虚线用
A.2 cm2 B.2a cm2 C.4a cm2 D.(a2-1)cm2
【点拨】本题利用了面积法,长方形的面积等于大正 方形的面积减去小正方形的面积,即(a+1)2-(a-1)2 =4a(cm2).
【答案】C
16.【中考·邵阳】先化简,再求值:(a-2b)(a+2b)-(a- 2b)2+8b2,其中a=-2,b= 1 . 2
(4)根据(3)中的等量关系解决如下问题:若x+y=6,xy= 11, 2
则(x-y)2=_1_4______;
[知识迁移] 类似地,用两种不同的方法计算同一几何体的体积,也可以 得到一个恒等式. (5)根据图③,写出一个代数恒等式: __(_a_+__b_)_3=__a_3_+__3_a_2_b_+__3_a_b_2+__b_3___; (6)已知a+b=3,ab=1,利用上面的恒等式求的值. 解:∵a+b=3,ab=1, ∴a3+2 b3=(a+b)3-23ab(a+b)=27- 2 9=9.
D.-12
8.【中考·白银】若x2+4x-4=0,则3(x-2)2-6(x+
1)(x-1)的值为( B )
A.-6
B.6
C.18
D.30
【点拨】3(x-2)2-6(x+1)(x-1)=-3(x2+4x)+18,
由x2+4x-4=0得x2+4x=4,所以原式=-3×4+18

初中数学八年级上册 两数和(差)的平方 人教版

初中数学八年级上册   两数和(差)的平方  人教版
第一重境界,是出得来,而进不去;第二重境界,是进得去,而出不来;第三重境界,才是进退自如、来去随意。放得下,是因为看透了、超脱了,所以随缘。 跟道家学想得开 。道家是追求超世、讲究自然的,要求心明大道、眼观天地、冷眼看破。概括为三个字,就是“想得开”。什么是“想得开”?且看这个“道”字——一个“走”字旁加一个“首”字,也就是脑袋走或者走脑袋。脑袋走就是动脑子,尽量透彻;走脑袋就是依胸中透彻而行,尽量顺应规律。合起来,就是要明道,并依道而行。这种智慧,就是想得开。
B、 (5x-2y)2=25x2-10xy+4y2
C、 (-a-1)2=-a2-2a-1
D、 (-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2 2、无论x取何值,(x+a)2=x2-x+a2,则常数 a等于 (D ) A 、2 B 、 -2 C、1/2 D、 -1/2
新知拓展
(a+b)2 = a2+2ab+b2 ①
已知x

1 x

3,
求x2

1 x2
的值.
解: x2

1 x2

(x1)2 2(x 1)
x
x
(x 1)2 2
x
32 2
7
课后作业
1、若 a2+b2 =14 , a+b=6, 求ab ; 2、若 a2- m a+25 是一个完全平 方式,求m;
3、若 a2-12ab + m 是一个完全 平方式,求m;
怎样才能拿得起?王国维《人间词话》中曾提出,古今之成大事业者,须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神,所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树,独上高楼,望尽天涯路”。登上高楼,远眺天际,正是踌(chóu)躇(chú)满志,志存高远,高瞻远瞩,一腔抱负。人生,志向决定方向,格局决定高度;小溪只能入湖,大河则能入海。所以做事,要先立心中志向;成事,要先拓胸中格局。

两数和(差)的平方公式

两数和(差)的平方公式

b 4a 2 2ab 4
2
练习
1、计算 2 (1)(3x 4 y ) (2)(2 x 5)2 (3)(m 2n)2 (4)(2a b)2 1 2 2 (5) ( x y)

解 : 原式 9 x2 24xy 16y 2 解 : 原式 4 x2 20xy 25 解 : 原式 (m 2n)2 m2 4mn 4n2

两数和(差)的平方:
(a b)2 a2 2ab b2

口诀: 首平方,尾平方,积的2倍在中央, 中间符号照原样。
例题
利用公式计算: 2 ( 2 x 3 y ) (1) 2 2 ( 2 x ) 2 2 x 3 y ( 3 y ) 解:原式=

= 4 x2 12xy 9 y 2
(2) (2m 5n)2 解:原式= (2m)2 2 (2m) 5n (5n)2 2 2 4 m 20 m n 25 n = 2 ( 5 n 2 m ) 或 原式= 2 2 ( 5 n ) 2 5 n 2 m ( 2 m ) =
25n 2 20mn 4m2
探究发现

计算下列各式,你能发现什么规律?
( p 1)2 ( p 1)( p 1) p2 2 p 1
( x 3)2
(a b)2
( x 3)( x 3) x 2 6 x 9
(a b)(a b) a2 2ab b2
两数和的平方
小结


两数和(差)的平方公式: (a b)2 a2 2ab b2 特点:
公式的左边是二项式(两数和(差))的平方; 公式的右边是一个三项式,其中有两项是这两个数的 平方,另一项是这两个数积的2倍。

华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.2.两数和(差)的平方》

华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.2.两数和(差)的平方》

华东师大版八年级上册数学教学设计《12.3.2.两数和(差)的平方》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《12.3.2.两数和(差)的平方》这一节主要让学生掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。

这是初中数学中比较重要的一个知识点,也是学习二次函数、解一元二次方程等知识的基础。

本节课的内容在教材中处于承前启后的位置,既是对前面所学平方知识的一个巩固,又是为后面学习二次函数做铺垫。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了有理数的乘方、平方差公式等知识,对平方运算有一定的了解。

但是,对于两个数的和的平方、差的平方的计算方法,还需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。

同时,学生在学习过程中可能存在对公式死记硬背的现象,缺乏对公式的理解和灵活运用能力。

三. 教学目标1.让学生掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生对平方运算的理解和灵活运用能力。

四. 教学重难点1.重点:掌握两个数的和的平方、差的平方的计算方法。

2.难点:对两个数的和的平方、差的平方的计算方法的灵活运用。

五. 教学方法采用“问题-探究”的教学方法,通过实例引入,引导学生发现问题、探究问题,从而解决问题。

同时,运用小组合作、讨论交流等教学方法,培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。

2.准备课件和教学素材。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题引入本节课的内容:已知两个数,求它们的和的平方和差的平方。

让学生思考如何解决这个问题,从而引出本节课的主题。

2.呈现(10分钟)呈现两个数的和的平方和差的平方的计算方法,让学生观察和理解这两个公式的意义和运用。

3.操练(10分钟)让学生分组进行练习,运用这两个公式计算一些给定的数的和的平方和差的平方。

教师巡回指导,解答学生的问题。

4.巩固(10分钟)通过一些变式的练习题,让学生进一步巩固这两个公式的运用。

八年级数学上册12.3乘法公式2两数和(差)的平方作业(新版)华东师大版

八年级数学上册12.3乘法公式2两数和(差)的平方作业(新版)华东师大版

[12.3 2.两数和(差)的平方]一、选择题1.运用乘法公式计算(x+3)2的结果是( )A.x2+9 B.x2-6x+9C.x2+6x+9 D.x2+3x+92.在下列各式中,与(-a+2b)2相等的是( )A.a2-4ab+4b2 B.a2-4b2C.a2+4b2 D.a2-2ab+4b23.2017·福建长泰一中、华安一中联考若(x-2y)2=x2-xy+4y2+M,则M为( )A.xy B.-xy C.3xy D.-3xy4.将一张边长为a cm(a>2)的正方形图片各边都减小2 cm,则缩小后的图片面积减少了( )A.(4a-4)cm2 B.4 cm2C.(a2-4)cm2 D.(2a-4)cm25.若(a+b)2加上一个单项式后等于(a-b)2,则这个单项式为( )A.2ab B.-2ab C.4ab D.-4ab6.已知(x+m)2=x2+nx+36,则n的值为( )A.±6 B.±12 C.±18 D.±727.计算(a+2b)2+(a-2b)2的结果是( )A.2a2 B.4b2C.2a2-8b2 D.2a2+8b28.2017·淄博若a+b=3,a2+b2=7,则ab等于( )A.2 B.1 C.-2 D.-1二、填空题9.计算:(x +1)2=________;(m -3n )2=________. 10.计算:(x +4)(x -4)-(x -4)2=________. 11.(1)x 2+49+________=(x +7)2; (2)(x -y )2+________=(x +y )2.12.若(3x -1)2=ax 2+bx +c ,则a +b +c =________.13.4个数a ,b ,c ,d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac bd ,我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac bd =ad -bc .若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +3 x -3x -3 x +3=12,则x =________.图K -14-114.请你观察图K -14-1所示的图形,依据图形面积的关系,不需要添加辅助线,便可得到一个你非常熟悉的公式,这个公式是_____________________.三、解答题 15.计算:(1)2017·重庆(1)x (x -2y )-(x +y )2;(2)(3-2x +y )(3+2x -y ).16.用公式简化计算: (1)10032; (2)982. 链接听课例2归纳总结17.先化简,再求值:(1)(a +b )(a -b )+(a +b )2,其中a =-1,b =12;(2)2017·眉山(a +3)2-2(3a +4),其中a =-2.18.(1)已知(x +y )2=3,xy =1,求x 2+y 2的值;(2)已知x +y =12,x -y =4,不解出x ,y 的值,求xy 的值.19.观察下列各式:1×2×3×4+1=25=52;2×3×4×5+1=121=112;3×4×5×6+1=361=192;…根据上述算式所反映出的规律,猜想“任意四个连续正整数的积与1的和一定是一个完全平方数”,你认为这个猜想正确吗?说说你的理由.20.学校有一个边长为a的正方形草坪,现将其各边增加b,扩大草坪面积,有的同学说:“扩建后比扩建前面积增大b2.”你认为这种说法正确吗?若正确,请说明理由;若不正确,请你计算出扩建后比扩建前草坪的面积增大了多少.(写出解答过程)21.如图K-14-2,把一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后拼成一个正方形.(1)请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.(直接用含m,n的代数式表示)方法1:____________;方法2:____________.(2)根据(1)中的结论,请你写出下列三个代数式(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系.(3)根据(2)题中的等量关系,解决问题:已知实数a,b满足a+b=3,ab=2,求a-b 的值.图K-14-2材料阅读先仔细阅读材料,再尝试解决问题:两数和(差)的平方公式x2±2xy+y2=(x±y)2及(x±y)2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+12x-4的最小值时,我们可以这样处理:解:原式=2(x2+6x-2)=2(x2+6x+9-9-2)=2[(x+3)2-11]=2(x+3)2-22.因为无论x取什么数,都有(x+3)2的值为非负数,所以(x+3)2的最小值为0,此时x=-3,进而2(x+3)2-22的最小值是2×0-22=-22,所以当x=-3时,原多项式的最小值是-22.解决问题:请根据上面的解题思路,探求多项式3x2-6x+12的最小值是多少,并写出对应的x的取值.详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1.C 2.A3.[解析] D (x -2y )2=x 2-4xy +4y 2,所以x 2-4xy +4y 2=x 2-xy +4y 2+M , 所以M =-3xy .4.[解析] A 原图片的面积为a 2cm 2,缩小后的图片的面积为(a -2)2cm 2,所以减少的面积为a 2-(a -2)2=a 2-(a 2-4a +4)=(4a -4)cm 2.5.[解析] D 根据题意,得(a -b )2-(a +b )2=(a 2-2ab +b 2)-(a 2+2ab +b 2)=-4ab . 6.B 7.D8.[解析] B 因为(a +b )2=a 2+2ab +b 2,所以ab =(a +b )2-(a 2+b 2)2=32-72=1.9.x 2+2x +1 m 2-6mn +9n 210.8x -32 11.(1)14x (2)4xy 12.[答案] 4[解析] 方法一:取x =1,代入已知等式,得(3×1-1)2=a +b +c ,所以a +b +c =4. 方法二:已知式可化为9x 2-6x +1=ax 2+bx +c ,比较两边系数,得a =9,b =-6,c =1,所以a +b +c =9-6+1=4.13.1 [解析] 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +3 x -3x -3 x +3=12,所以(x +3)2-(x -3)2=12.解得x =1.故答案为1. 14. (x -y )2=x 2-2xy +y 215.解:(1)原式=x 2-2xy -(x 2+2xy +y 2)=x 2-2xy -x 2-2xy -y 2=-4xy -y 2. (2)原式=9-(2x -y )2=9-4x 2+4xy -y 2.16.解:(1)原式=(1000+3)2=10002+2×1000×3+32=1006009. (2)原式=(100-2)2=1002-2×100×2+22 =9604.17.解:(1)(a +b )(a -b )+(a +b )2=a 2-b 2+a 2+2ab +b 2=2a 2+2ab . 当a =-1,b =12时,原式=2×(-1)2+2×(-1)×12=1.(2)原式=a 2+6a +9-6a -8=a 2+1. 当a =-2时,原式=(-2)2+1=5.18.[解析] 如果要先求出x ,y 的值再代入,现阶段同学们是无能为力的,若应用乘法公式的变形就可使问题迎刃而解了.解:(1)x 2+y 2=(x +y )2-2xy =3-2×1=1. (2)因为(x +y )2-(x -y )2=4xy , 所以122-42=4xy , 所以4xy =128,即xy =32. 19.解:正确.理由:设四个连续的正整数为n ,n +1,n +2,n +3,则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =(n 2+3n )(n 2+3n +2)+1 =(n 2+3n )2+2(n 2+3n )+1 =(n 2+3n +1)2.20.解:不正确.扩建后正方形草坪的边长为a +b ,增大面积为(a +b )2-a 2=a 2+2ab +b 2-a 2=2ab +b 2,所以扩建后比扩建前草坪的面积增大2ab +b 2.21.解:(1)方法1:阴影部分的面积为(m+n)2-4mn;方法2:阴影部分的边长为m-n,故阴影部分的面积为(m-n)2.(2)(m-n)2=(m+n)2-4mn.(3)∵(a-b)2=(a+b)2-4ab=1,∴a-b=±1.[素养提升]解:原式=3(x2-2x+4)=3(x2-2x+1-1+4)=3(x-1)2+9.∵无论x取什么数,都有(x-1)2的值为非负数,∴(x-1)2的最小值为0,此时x=1,∴3(x-1)2+9的最小值为3×0+9=9.则当x=1时,原多项式的最小值是9.。

新华师大版八年级上册初中数学 2-两数和(差)的平方 教学课件

新华师大版八年级上册初中数学 2-两数和(差)的平方 教学课件
如图(2) ,边长为(a-b) 的正方形的面积是(a-b)2 . 它的面积还可以视为大正方形的面积减去两个小长方形面积的差,即 a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 .
a-b
所以:(a-b)2=a2-2ab+b2
b
第七页,共二十页。
a (2)
新课讲解
知识点1 完全平方公式
公式:(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 语言叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和, 加上(或减去)它们的积的2倍.
应改为: (2a + 1)2=(2a)2 + 2 ×2a •1+1 ; (3)第一数平方未添括号,第一数与第二数乘积 的2倍错了符号;第二数的平方这一项错了符号;
应改为: (- a-1)2=(-a)2 - 2 • (- a) •1 +
1 2.
第十八页,共二十页。
拓展与延伸
已知m+n=8,mn=6,求m2+n2,(m-n)2 .
第十二章 整式的乘除2
12.3 乘法公式 2.两数和(差)的平方
第一页,共二十页。


CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解
5 当堂小练
7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
第二页,共二十页。
学习目标
1.了解并掌握完全平方公式.(重点) 2.理解完全平方公式的推导过程,并会应用完全平方公式进 行计算.(难点)
如图(1) ,边长为(a+b) 的正方形的面积是(a+b)2 . 它的面积还可以视为两个小正方形和两个小长方形面积的和,即a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 .

两数和(差)的平方-PPT课件

两数和(差)的平方-PPT课件
14.(复习题11变式)已知(x+y)2=18,(x-y)2=6,求x2+y2和xy的值. 解:x2+y2=12,xy=3
11
15.如图,从边长为(a+1) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1) cm的 正方形(a>1),剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙),则 该长方形的面积是( C) A.2 cm2 B.2a cm2 C.4a cm2 D.(a2-1) cm2
第12章 整式的乘除
12.3 乘法公式
第2课时 两数和(差)的平方
1
1.下列计算正确的是( )D A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.(-x+y)2=x2-2xy+y2 2.下列计算结果为2ab-a2-b2的是( )D A.(a-b)2 B.(-a-b)2 C.-(a+b)2 D.-(a-b)2
2
3.计算:(2a+b)2=
4a2+4ab+b;2
(x-2y)2=
x2-4xy+4y2.
4.(习题4变式)(1)(2x+____)23=y ____+41x22xy+9y2;
(2)(____-43ab)2=16a2-24ab+____.9b2
3
5.(例题 5 变式)计算: (1)(21x+2y)2;
14
8
12.(习题 3 变式)计算: (1)(21m+2)2-(2-12m)(-2-12m); 解:2m+8
(2)(2x+3y)2-(2x-3y)2;
解:24xy (3)(m+1)2(m-1)2. 解:m4-2m2+1
9
大家学习辛苦了,还是要坚持
继续保持安静
10
13.先化简,再求值: (1)(a-1)(a+1)-(a+2)2,其中a=-3; 解:原式=-4a-5,当a=-3时,原式=7 (2)(a+2b)(a-2b)-(a-2b)2+12b2,其中a2+2ab+b2=0. 解:原式=4b2+4ab=4b(a+b),∵a2+2ab+b2=0,∴(a+b)2=0,∴ 原式=0

12.3 乘法公式(第2课时)(课件)八年级数学上册(华东师大版)

12.3 乘法公式(第2课时)(课件)八年级数学上册(华东师大版)

A.10 B.13 C.16 D.19
【详解】解:设正方形A的边长为a,正方形B的 边长为b, 由图甲得:(a-b)2=3,即a2+b2-2ab=3, 由图乙得:(a+b)2-a2-b2=16,整理得2ab=16, 所以a2+b2=19. 即正方形A、B的面积之和为19. 故选:D.
当堂检测
5.如果x2-x+m是完全平方式,则m的值为( )
当堂检测
1.下面各式的计算是否正确?如果不正确,应当 怎样改正?
(1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
× x2+2xy +y2 × x2-2xy +y2 × x2 -2xy +y2 × 4x2+4xy +y2
讲授新课
补充例题 已知x+y=4,xy=2, 求(1)x2+y2;(2)3x2-xy+3y2;(3)x-y 解 (1)x2+y2=(x+y)2-2xy=42-2×2=16-4=12 (2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy=3×42-7×4=3×16-28=20 (3)(x-y)2=(x+y)2-4xy =42-4×2=8 所以 x-y= x2 - y2 = 8 2 2
22
=16a2+4ab+b42
讲授新课
试一试 推导两数差的平方公式(a-b)2
(a b)2 [a (b)]2 a2 2a(b) (b)2 a2 2ab b2

2021-2022年华师大版八年级数学上册《两数和(差)的平方》优质课课件

2021-2022年华师大版八年级数学上册《两数和(差)的平方》优质课课件
图 12-3-4 用“-b”替换公式中的“b”,即可得到“两数和的平方公 式”的另一形式——“两数差的平方公式”:(a-b)2= _a_2-2ab+b2 __.
11、即使是普通孩子,只要教育得法,也会成为不平凡的人。 12、首先是教师品格的陶冶,行为的教育,然后才是专门知识和技能的训练。 13、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。 14、孩子在快乐的时候,他学习任何东西都比较容易。 15、生活即教育,社会即学校,教学做合一。 16、当在学校所学的一切全都忘记之后,还剩下来的才是教育。2021年10月19日星期二2021/10/192021/10/192021/10/19 17、播种行为,可以收获习惯;播种习惯,可以收获性格;播种性格,可以收获命运。2021年10月 2021/10/192021/10/192021/10/1910/19/2021 18、我们发现了儿童有创造力,认识了儿童有创造力,就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/192021/10/19October 19, 2021 19、人自身有一种力量,用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量,一旦他这样做,就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/192021/10/192021/10/192021/10/19
12.3.2 两数和(差)的平方
12.3.2 两数和(差)的平方
探究新知
活动1 知识准备 计算:(1)(p+q)(p+q)=__p_2+2pq+q2 _; (2)(m+2)(m+2)=_ m2+4m+4 _; (3)(x-y)(x-y)=__ x2-2xy+y_2 _.
12.3.2 两数和(差)的平方
12.3.2 两数和(差)的平方
重难互动探究
探究问题一 理解两数和(差)的平方公式 例 1 [课本例 4、例 5 变式题] 填空: (1)(a + 2b)2 = (__a__)2 + 2·__a__·__2_b_ + (__2_b_)2 =
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a ab ab b b) ( a a 2 2ab b 2
2 2
2

图13.3.2
a 2ab b
2
2
(2)用等式表示下图中图形面积的运算.
图13.3.2
(a b)
2
______

a2
+
2ab
+
b ___
2
第(2)题
小结
“两数和的平方”公式:
语言描述:
两数和的平方,等于它们的平方和加上积的2倍.
语言表述:两数和(差)的平方,等于它们 的平方和加上(减去)它们乘积的两倍。
公式的结构特征:
(1)公式左边是两数和(差)的平方;
(2)公式右边是二次三项式,它是左边两数的平方 和加上(减去)左边两数积的两倍。
即:首平方,尾平方,二倍在中央。
(三)达标练习
A组
(1) ( x 3)
2 2
2 2
1、计算:
x 2 x 3 3
2
2
(1)(x 3)
x 6x 9
(2) (2 x y ) 2 (2 x) 2 2 2 x y y 2 4 x 2 4 xy y 2
(2) (2 x y )
(三)达标练习
A组
(1) ( x 3)
2 2
2 2
a 2ab b 2ab
2 2
2
2 4 xy 4 ( x y) __________ _ ( x y) 2 2 2 2 x 2 xy y 4 xy x 2 xy y
(a+b)2 = a2+2ab+b2 2 2 2 (a-b) = a -2ab+b
4 x 12xy 9 y
2
2
小结
“两数差的平方”公式:
语言描述:
两数差的平方,等于它们的平方和减去积的2倍.
请直接用 (a b)2 a 2 2ab b2 公式做上面的第(2)题:
解:
(2) (2 x 3 y )
2
2
(2x)2 2 2x 3 y (3 y)2
(a b c)(a b c)
(a b) c
2
2
2
2 2
a 2ab b c
a b ca b c ?
布置作业
选做 填空: (1)若4Байду номын сангаас2
m x 1是一个关于x的完全平方
式,则m=_______; (2)要使 4 x 2 1 成为一个完全平方式,则应加上
4a 9
2
4a b
6
4
(4)、 (4a 1)(4a 1)
1 16a
2
1
三、请大家开心的探究新知吧! (一)自学导航
1、计算: (a b) 2 提示:将 (a b) 2 转化成(a+b)(a+b),再按多项式乘以多 项式的法则进行计算. 2、先观察图13.3.2: (1)用不同的方法表示它的面积 . 解 (a b)2 (a b)(a b)
2 2 已知x y 7,xy 10, 求x y 的值.
解: x y 7, xy 10 x y x y 2 xy 2 7 2 10 29
2 2 2
a2+b2 =(a+b)2 -2ab
1 1 2 已知 x 3, 求x 2 的值 . x x 1 1 2 1 2 解 : x 2 ( x ) 2( x ) x x x 1 2 (x ) 2 x 2
两数和的平方
一、与本节有关的知识请记牢! 复习
请同学们把多项式与多项式相乘的法则齐声朗读一遍!
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一 项分别乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积 相加.
回顾 & 思考 ☞
回顾与思考 (a+b)(a−b)= a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差.
2
法一:
法二:
(2) ( a b)
2
2 2 2
(2) ( a b) ( a b)
2 2
2
[(a ) b]
2
(a) 2 (a) b b a 2ab b
2 2 2
a 2ab b
2
(2) ( a b)
法三:
2
[( a ) ( b)] a 2ab b
3 2 7
(a b c) ?
2
(a b c)(a b c)
[(a b) c] 2 2 (a b) 2(a b)c c
2
a 2ab b 2ac 2bc c
2 2 2 2 2
2
a b c 2ab 2bc 2ac
4x 12xy 9 y
2
(2) (2 x 3 y )
2
2
2x 3 y (2x) 2 2 2x (3 y) (3 y) 2
4 x 12xy 9 y
2
2
提示:请对比!哪种方法 简单?
完全平方公式: (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
例2.运用完全平方公式计算:
(1) 1032 ; (2)1992
解:(1) 1032 =(100+3)2
=1002+2×100×3+32
=10000+600+9=10609
(2) 1992 =(200-1)2 =2002-2×200×1+12 =40000-400+1=39601
1、在下列各式中,计算正确的是( D )
的式子是_______;
A、(2m-n)2=4m2-n2 B、 (5x-2y)2=25x2-10xy+4y2
C、 (-a-1)2=-a2-2a-1
D、 (-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2 2、无论x取何值,(x+a)2=x2-x+a2,则常数a 等于 ( D )
A 、2
B 、 -2
C、1/2
D、 -1/2
(二)应用迁移
2 2 2 例1、用 (a b) a 2ab b 计算: b 2 2 (1)(2a 3b) (2) ( 2a ) 2 解: b 2 2 ( 2 ) ( 2 a ) (1)(2a 3b) 2 2 b b 2 (2a) 2 2 2a 3b (3b) 2 (2a) 2 2a 2 2 4a 2 12ab 9b 2
① ②
公式变形
由①得 a2+b2 = (a+b)2-2ab
a2+b2 = (a-b)2+2ab ① - ②得 (a+b)2- (a-b)2 = 4ab
① + ②得
2 2 (a + b ) + ( a - b ) = 2 2 2 (a + b
由②得
)
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
x 2 x 3 3 x 6x 9
2、计算:
( 1) ( x 3)
2
2
(2) ( 2m n) 2 ( 2m) 2 2 2m n n 2 4m 2 4m n n 2
(2) (2m n)
(三)达标练习
B组
法一:
(1) ( a b)
2
2 2 2
( 1) (a b)
(2) (a b)
说明:每一小题 只少用2种方法 做.
1、计算:
[(a ) b]
2
2
(a) 2 (a) b b a 2 2ab b 2
法二:
(1) ( a b) (b a )
2 2
2
b 2b a a b 2 2ab a 2
4、 填空 : 1 a 6a _______ (a ______) 9 3
2 2
a 2 a 3 3
2
2
2 x
2 4x 2 3 a
2
2
2 2x 5 5
2
2 5 20x ______ (2 x ______) 25 2 2
2ab b (a b) __________
2
2=a2+2ab+b2 ; ( a + b ) 完全平方公式: (a−b)2= a2 −2ab+b2.
在解题过程中要正确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不 丢项、不弄错符号、2ab时不能少乘2。
完全平方公式的灵活运用,应掌握公式的简单变形。
(a+b)2 = a2+2ab+b2
2 (a - b ) = 2 2 a -2ab+b
2
提示:把底数 相减转化成相 加.
2
2
(a) 2 a (b) (b) a 2 2ab b 2
(2) (2 x 3 y )
2
2
2x 3 y (2x) 2 2 2x (3 y) (3 y) 2
提示:从(1) 中你发现什么规 律了吗?
提示:请大家认 真对照公式,找 准谁相当于公式 中的“a”和“b”;
2 b 4a 2 2ab 4
2 2 2 ( a b ) a 2 ab b 例2、用 计算:
2 (1)(a b) (2) (2 x 3 y ) 2 解: (1)(a b)
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